एकपदी को मानक रूप में कम करना, उदाहरण, समाधान।

बहुपद की अवधारणा

बहुपद की परिभाषा: एक बहुपद एकपदी का योग है। बहुपद उदाहरण:

यहां हम दो एकपदों का योग देखते हैं, और यह एक बहुपद है, अर्थात। एकपदी का योग.

वे पद जो बहुपद बनाते हैं, बहुपद के पद कहलाते हैं।

क्या एकपदी का अंतर एक बहुपद है? हाँ, ऐसा है, क्योंकि अंतर आसानी से एक योग तक कम हो जाता है, उदाहरण: 5a - 2b = 5a + (-2b)।

एकपदी को बहुपद भी माना जाता है। लेकिन एकपदी का कोई योग नहीं होता, फिर इसे बहुपद क्यों माना जाता है? और आप इसमें शून्य जोड़ सकते हैं और शून्य एकपदी के साथ इसका योग प्राप्त कर सकते हैं। तो एकपदी है विशेष मामलाबहुपद, इसमें एक सदस्य होता है।

संख्या शून्य शून्य बहुपद है।

बहुपद का मानक रूप

मानक रूप का बहुपद क्या है? एक बहुपद एकपदी का योग है, और यदि बहुपद बनाने वाले ये सभी एकपदी मानक रूप में लिखे गए हैं, और उनके बीच कोई समान नहीं होना चाहिए, तो बहुपद मानक रूप में लिखा जाता है।

मानक रूप में बहुपद का एक उदाहरण:

यहां बहुपद में 2 एकपदी होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का एक मानक रूप होता है; एकपदी के बीच कोई समान नहीं होता है।

अब एक बहुपद का उदाहरण जिसका कोई मानक रूप नहीं है:

यहां दो एकपदी: 2ए और 4ए समान हैं। आपको उन्हें जोड़ना होगा, फिर बहुपद मानक रूप ले लेगा:

एक और उदाहरण:

इस बहुपद को घटा दिया गया है मानक दृश्य? नहीं, उनका दूसरा कार्यकाल मानक रूप में नहीं लिखा गया है। इसे मानक रूप में लिखने पर हमें मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त होता है:

बहुपद डिग्री

बहुपद की डिग्री क्या है?

बहुपद डिग्री परिभाषा:

बहुपद की घात वह उच्चतम घात होती है जो किसी दिए गए मानक रूप के बहुपद को बनाने वाले एकपदी के पास होती है।

उदाहरण। बहुपद 5h की घात क्या है? बहुपद 5h की घात एक के बराबर होती है, क्योंकि इस बहुपद में केवल एक एकपद होता है और इसकी घात एक के बराबर होती है।

एक और उदाहरण। बहुपद 5a 2 h 3 s 4 +1 की घात क्या है? बहुपद 5a 2 h 3 s 4 + 1 की घात नौ के बराबर है, क्योंकि इस बहुपद में दो एकपदी शामिल हैं, पहले एकपदी 5a 2 h 3 s 4 की घात सबसे अधिक है, और इसकी घात 9 है।

एक और उदाहरण। बहुपद 5 की घात क्या है? एक बहुपद 5 की घात शून्य है। तो, एक बहुपद की घात जिसमें केवल एक संख्या होती है, अर्थात। अक्षरों के बिना, शून्य के बराबर है।

आखिरी उदाहरण. शून्य बहुपद की डिग्री क्या है, अर्थात शून्य? शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है।

इस पाठ में, हम इस विषय की मूल परिभाषाओं को याद करेंगे और कुछ विशिष्ट समस्याओं पर विचार करेंगे, अर्थात् एक बहुपद को एक मानक रूप में कम करना और चर के दिए गए मानों के लिए एक संख्यात्मक मान की गणना करना। हम कई उदाहरणों को हल करेंगे जिनमें विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए एक मानक रूप में कमी का उपयोग किया जाएगा।

विषय:बहुपद. एकपदी पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

पाठ:एक बहुपद को मानक रूप में कम करना। विशिष्ट कार्य

आइए मूल परिभाषा को याद करें: एक बहुपद एकपदी का योग है। प्रत्येक एकपद जो एक पद के रूप में बहुपद का भाग होता है, उसका सदस्य कहलाता है। उदाहरण के लिए:

द्विपद;

बहुपद;

द्विपद;

चूँकि एक बहुपद में एकपदी होते हैं, बहुपद के साथ पहली क्रिया यहीं से होती है - आपको सभी एकपदी को एक मानक रूप में लाने की आवश्यकता है। हम आपको याद दिला दें कि ऐसा करने के लिए आपको सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करना होगा - एक संख्यात्मक गुणांक प्राप्त करना होगा, और संबंधित शक्तियों को गुणा करना होगा - अक्षर भाग प्राप्त करना होगा। इसके अलावा, आइए शक्तियों के उत्पाद के बारे में प्रमेय पर ध्यान दें: शक्तियों को गुणा करते समय, उनके घातांक जुड़ जाते हैं।

चलो गौर करते हैं महत्वपूर्ण ऑपरेशन- बहुपद को मानक रूप में लाना। उदाहरण:

टिप्पणी: एक बहुपद को एक मानक रूप में लाने के लिए, आपको इसकी संरचना में शामिल सभी एकपदी को एक मानक रूप में लाना होगा, जिसके बाद, यदि समान एकपदी हैं - और ये समान अक्षर भाग वाले एकपदी हैं - तो उनके साथ क्रियाएं करें .

इसलिए, हमने पहली विशिष्ट समस्या पर ध्यान दिया - एक बहुपद को एक मानक रूप में लाना।

अगला विशिष्ट कार्य- इसमें शामिल चरों के दिए गए संख्यात्मक मानों के लिए बहुपद के विशिष्ट मान की गणना। आइए पिछले उदाहरण को देखना जारी रखें और चर के मान निर्धारित करें:

टिप्पणी: आइए याद रखें कि किसी भी प्राकृतिक शक्ति के लिए एक एक के बराबर है, और किसी भी प्राकृतिक शक्ति के लिए शून्य शून्य के बराबर है, इसके अलावा, हम याद करते हैं कि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर हमें शून्य मिलता है।

आइए एक बहुपद को मानक रूप में लाने और उसके मान की गणना करने की विशिष्ट संक्रियाओं के कई उदाहरण देखें:

उदाहरण 1 - मानक रूप में लाएँ:

टिप्पणी: पहला कदम एकपदी को मानक रूप में लाना है, आपको पहला, दूसरा और छठा लाना होगा; दूसरी क्रिया - हम समान पद लाते हैं, अर्थात हम उन पर दिए गए कार्य करते हैं अंकगणितीय आपरेशनस: हम पहले को पांचवें के साथ जोड़ते हैं, दूसरे को तीसरे के साथ, बाकी को बिना बदलाव के फिर से लिखा जाता है, क्योंकि उनके पास कोई समान नहीं है।

उदाहरण 2 - चरों के मानों को देखते हुए उदाहरण 1 से बहुपद के मान की गणना करें:

टिप्पणी: गणना करते समय, आपको याद रखना चाहिए कि किसी भी प्राकृतिक शक्ति की एक इकाई एक होती है; यदि दो की शक्तियों की गणना करना मुश्किल है, तो आप शक्तियों की तालिका का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण 3 - तारक के स्थान पर एकपदी लगाएं जिससे परिणाम में कोई चर न हो:

टिप्पणी: कार्य चाहे जो भी हो, पहली क्रिया हमेशा एक ही होती है - बहुपद को एक मानक रूप में लाना। हमारे उदाहरण में, यह क्रिया समान शर्तों को लाने के लिए आती है। इसके बाद आपको शर्त को दोबारा ध्यान से पढ़ना चाहिए और सोचना चाहिए कि हम एकपदी से कैसे छुटकारा पा सकते हैं। जाहिर है, इसके लिए आपको इसमें वही एकपदी जोड़ने की जरूरत है, लेकिन साथ में विपरीत संकेत- . इसके बाद, हम तारांकन को इस एकपदी से बदल देते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि हमारा समाधान सही है।

बहुपद के विषय का अध्ययन करते समय यह अलग से उल्लेख करना आवश्यक है कि बहुपद मानक तथा अमानक दोनों रूपों में होते हैं। इस मामले में, एक गैर-मानक रूप के बहुपद को मानक रूप में घटाया जा सकता है। दरअसल, इस लेख में इस प्रश्न पर चर्चा की जाएगी। आइए विस्तृत चरण-दर-चरण विवरण के साथ उदाहरणों के साथ स्पष्टीकरण को सुदृढ़ करें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

बहुपद को मानक रूप में घटाने का अर्थ

आइए अवधारणा, क्रिया - "एक बहुपद को एक मानक रूप में लाना" में थोड़ा गहराई से उतरें।

बहुपद, किसी भी अन्य अभिव्यक्ति की तरह, समान रूप से रूपांतरित किए जा सकते हैं। परिणामस्वरूप, इस मामले में हमें ऐसे भाव प्राप्त होते हैं जो मूल अभिव्यक्ति के समान होते हैं।

परिभाषा 1

बहुपद को मानक रूप में घटाएँ- इसका अर्थ है मूल बहुपद को समान परिवर्तनों का उपयोग करके मूल बहुपद से प्राप्त मानक रूप के समान बहुपद के साथ बदलना।

बहुपद को मानक रूप में छोटा करने की एक विधि

आइए इस विषय पर अनुमान लगाएं कि कौन से पहचान परिवर्तन बहुपद को मानक रूप में ले जाएंगे।

परिभाषा 2

परिभाषा के अनुसार, मानक रूप के प्रत्येक बहुपद में एक मानक रूप के एकपदी होते हैं और इसमें समान पद नहीं होते हैं। एक गैर-मानक रूप के बहुपद में एक गैर-मानक रूप के एकपदी और समान पद शामिल हो सकते हैं। उपरोक्त से, एक नियम स्वाभाविक रूप से निकाला जाता है कि एक बहुपद को मानक रूप में कैसे कम किया जाए:

• सबसे पहले, किसी दिए गए बहुपद को बनाने वाले एकपदी को मानक रूप में घटा दिया जाता है;
• फिर समान सदस्यों की कमी की जाती है।

उदाहरण और समाधान

आइए उन उदाहरणों की विस्तार से जांच करें जिनमें हम बहुपद को मानक रूप में घटाते हैं। हम ऊपर दिए गए नियम का पालन करेंगे।

ध्यान दें कि कभी-कभी प्रारंभिक अवस्था में बहुपद के पदों का पहले से ही एक मानक रूप होता है, और केवल समान पद लाना ही शेष रह जाता है। ऐसा होता है कि कार्रवाई के पहले चरण के बाद ऐसी कोई शर्तें नहीं होती हैं, तो हम दूसरे चरण को छोड़ देते हैं। में सामान्य मामलेउपरोक्त नियम से दोनों क्रियाएं करना आवश्यक है।

उदाहरण 1

बहुपद दिए गए हैं:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 ,

0, 8 + 2 ए 3 0, 6 - बी ए बी 4 बी 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8।

इन्हें मानक स्वरूप में लाना जरूरी है।

समाधान

आइए सबसे पहले बहुपद 5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 पर विचार करें : इसके सदस्यों के पास एक मानक रूप है, कोई समान पद नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि बहुपद एक मानक रूप में निर्दिष्ट है, और किसी अतिरिक्त कार्रवाई की आवश्यकता नहीं है।

अब आइए बहुपद 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 को देखें। यह होते हैं गैर-मानक एकपदी: 2 · ए 3 · 0, 6 और - बी · ए · बी 4 · बी 5, यानी। हमें बहुपद को मानक रूप में लाने की आवश्यकता है, जिसके लिए पहला कदम एकपदी को मानक रूप में बदलना है:

2 · ए 3 · 0, 6 = 1, 2 · ए 3;

- बी · ए · बी 4 · बी 5 = - ए · बी 1 + 4 + 5 = - ए · बी 10, इस प्रकार हमें निम्नलिखित बहुपद प्राप्त होता है:

0, 8 + 2 · ए 3 · 0, 6 - बी · ए · बी 4 · बी 5 = 0, 8 + 1, 2 · ए 3 - ए · बी 10।

परिणामी बहुपद में, सभी पद मानक हैं, कोई समान पद नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि बहुपद को मानक रूप में लाने के हमारे कार्य पूरे हो गए हैं।

दिए गए तीसरे बहुपद पर विचार करें: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

आइए इसके सदस्यों को मानक रूप में लाएँ और प्राप्त करें:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

हम देखते हैं कि बहुपद में समान सदस्य होते हैं, आइए समान सदस्य लाते हैं:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = एक्स वाई + 1

इस प्रकार, दिया गया बहुपद 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 मानक रूप लेता है - x y + 1।

उत्तर:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1- बहुपद को मानक के रूप में सेट किया गया है;

0, 8 + 2 ए 3 0, 6 - बी ए बी 4 बी 5 = 0, 8 + 1, 2 ए 3 - ए बी 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1।

कई समस्याओं में, उत्तर की खोज करते समय एक बहुपद को मानक रूप में कम करने की क्रिया मध्यवर्ती होती है प्रश्न पूछा. आइए इस उदाहरण पर विचार करें.

उदाहरण 2

बहुपद 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 दिया गया है। 5 · z 2 + z 3 . इसे एक मानक रूप में लाना, इसकी डिग्री इंगित करना और किसी दिए गए बहुपद के पदों को चर की अवरोही डिग्री में व्यवस्थित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए हम दिए गए बहुपद के पदों को मानक रूप में घटाएँ:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

अगला कदमयहां कुछ समान शब्द दिए गए हैं:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

हमने मानक रूप का एक बहुपद प्राप्त किया है, जो हमें बहुपद की डिग्री (इसके घटक एकपदी की उच्चतम डिग्री के बराबर) निर्दिष्ट करने की अनुमति देता है। जाहिर है, आवश्यक डिग्री 5 है।

जो कुछ बचा है वह चरों की घटती घातों में पदों को व्यवस्थित करना है। इस प्रयोजन के लिए, हम आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए, मानक रूप के परिणामी बहुपद में पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं। इस प्रकार, हमें मिलता है:

जेड 5 + 1 3 · जेड 3 - 0 , 5 · जेड 2 + 11 .

उत्तर:

11 - 2 3 · जेड 2 · जेड + 1 3 · जेड 5 · 3 - 0, 5 · जेड 2 + जेड 3 = 11 + 1 3 · जेड 3 + जेड 5 - 0, 5 · जेड 2, जबकि की डिग्री बहुपद - 5 ; चरों की घटती घातों में बहुपद के पदों को व्यवस्थित करने के परिणामस्वरूप, बहुपद का रूप होगा: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

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किसी भी दशमलव भिन्न को a ,bc... · 10 k के रूप में लिखा जा सकता है। ऐसे रिकार्ड अक्सर वैज्ञानिक गणनाओं में मिलते रहते हैं। ऐसा माना जाता है कि उनके साथ काम करना सामान्य दशमलव अंकन की तुलना में और भी अधिक सुविधाजनक है।

आज हम सीखेंगे कि किसी भी दशमलव भिन्न को इस रूप में कैसे बदला जाता है। साथ ही, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि ऐसी प्रविष्टि पहले से ही "अत्यधिक" है, और ज्यादातर मामलों में यह कोई लाभ प्रदान नहीं करती है।

सबसे पहले, थोड़ा दोहराव. जैसा कि आप जानते हैं, दशमलव भिन्नों को न केवल आपस में गुणा किया जा सकता है, बल्कि साधारण पूर्णांकों से भी गुणा किया जा सकता है (पाठ "" देखें)। विशेष रुचि दस की घातों से गुणा करना है। नज़र रखना:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 25.81 10; 0.00005 1000; 8.0034 100.

गुणन मानक योजना के अनुसार किया जाता है, जिसमें प्रत्येक कारक के लिए महत्वपूर्ण भाग आवंटित किया जाता है। आइए संक्षेप में इन चरणों का वर्णन करें:

पहली अभिव्यक्ति के लिए: 25.81 10.

1. महत्वपूर्ण भाग: 25.81 → 2581 (2 अंकों से दाईं ओर शिफ्ट); 10 → 1 (1 अंक से बायीं ओर बदलाव);
2. गुणा करें: 2581 · 1 = 2581;
3. कुल बदलाव: दाएं से 2 − 1 = 1 अंक। हम एक रिवर्स शिफ्ट करते हैं: 2581 → 258.1।

दूसरी अभिव्यक्ति के लिए: 0.00005 1000।

1. महत्वपूर्ण भाग: 0.00005 → 5 (5 अंकों से दाईं ओर शिफ्ट); 1000 → 1 (3 अंकों द्वारा बायीं ओर बदलाव);
2. गुणा करें: 5 · 1 = 5;
3. कुल बदलाव: दाएँ से 5 − 3 = 2 अंक। हम रिवर्स शिफ्ट करते हैं: 5 → .05 = 0.05।

अंतिम अभिव्यक्ति: 8.0034 100.

1. महत्वपूर्ण भाग: 8.0034 → 80034 (4 अंकों से दाईं ओर शिफ्ट); 100 → 1 (2 अंकों से बायीं ओर बदलाव);
2. गुणा करें: 80,034 · 1 = 80,034;
3. कुल बदलाव: दाएं से 4 − 2 = 2 अंक। हम एक रिवर्स शिफ्ट करते हैं: 80,034 → 800.34।

आइए मूल उदाहरणों को थोड़ा फिर से लिखें और उत्तरों के साथ उनकी तुलना करें:

1. 25.81 · 10 1 = 258.1;
2. 0.00005 10 3 = 0.05;
3. 8.0034 · 10 2 = 800.34.

क्या हो रहा है? इससे पता चलता है कि दशमलव अंश को संख्या 10 k (जहां k > 0) से गुणा करना दशमलव बिंदु को k स्थानों से दाईं ओर स्थानांतरित करने के बराबर है। दाईं ओर - क्योंकि संख्या बढ़ रही है।

इसी तरह, 10 −k से गुणा करना (जहाँ k > 0) 10 k से विभाजित करने के बराबर है, अर्थात। k अंकों द्वारा बायीं ओर बदलाव, जिससे संख्या में कमी आती है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: 2.73 10; 25.008:10; 1.447: 100;

सभी अभिव्यक्तियों में, दूसरी संख्या दस की घात है, इसलिए हमारे पास है:

1. 2.73 · 10 = 2.73 · 10 1 = 27.3;
2. 25.008: 10 = 25.008: 10 1 = 25.008 · 10 −1 = 2.5008;
3. 1.447: 100 = 1.447: 10 2 = 1.447 10 −2 = .01447 = 0.01447।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक ही दशमलव भिन्न को अनंत तरीकों से लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए: 137.25 = 13.725 10 1 = 1.3725 10 2 = 0.13725 10 3 = ...

किसी संख्या का मानक रूप a ,bc ... · 10 k के रूप की अभिव्यक्ति है, जहां a , b , c , ... सामान्य संख्याएं हैं, और a ≠ 0. संख्या k एक पूर्णांक है।

1. 8.25 · 10 4 = 82,500;
2. 3.6 10−2 = 0.036;
3. 1.075 · 10 6 = 1,075,000;
4. 9.8 10−6 = 0.0000098.

मानक रूप में लिखी गई प्रत्येक संख्या के लिए, उसके आगे संबंधित दशमलव अंश दर्शाया गया है।

मानक दृश्य पर स्विच करें

सामान्य दशमलव अंश से मानक रूप में संक्रमण के लिए एल्गोरिदम बहुत सरल है। लेकिन इसका उपयोग करने से पहले, यह समीक्षा करना सुनिश्चित करें कि किसी संख्या का महत्वपूर्ण भाग क्या है (पाठ "दशमलव को गुणा और विभाजित करना" देखें)। तो, एल्गोरिथ्म:

1. मूल संख्या का महत्वपूर्ण भाग लिखें और पहले महत्वपूर्ण अंक के बाद एक दशमलव बिंदु लगाएं;
2. परिणामी बदलाव का पता लगाएं, यानी मूल भिन्न की तुलना में दशमलव बिंदु कितने स्थान आगे बढ़ गया है? माना कि यह संख्या k है;
3. उस महत्वपूर्ण भाग की तुलना करें जिसे हमने पहले चरण में मूल संख्या के साथ लिखा था। यदि महत्वपूर्ण भाग (दशमलव बिंदु सहित) मूल संख्या से कम है, तो 10 k का गुणनखंड जोड़ें। यदि अधिक है, तो 10 −k का गुणनखंड जोड़ें। यह अभिव्यक्ति मानक दृश्य होगी.

काम। संख्या को मानक रूप में लिखें:

1. 9280;
2. 125,05;
3. 0,0081;
4. 17 000 000;
5. 1,00005.

1. 9280 → 9.28. दशमलव बिंदु को 3 स्थान बायीं ओर खिसकाने पर संख्या घट जाएगी (स्पष्टतः 9.28)।< 9280). Результат: 9,28 · 10 3 ;
2. 125.05 → 1.2505. शिफ्ट - 2 अंक बाईं ओर, संख्या घट गई है (1.2505< 125,05). Результат: 1,2505 · 10 2 ;
3. 0.0081 → 8.1. इस बार बदलाव 3 अंकों से दाईं ओर था, इसलिए संख्या बढ़ गई (8.1 > 0.0081)। परिणाम: 8.1 · 10 −3 ;
4. 17000000 → 1.7. बाईं ओर 7 अंकों का बदलाव, संख्या कम हो गई है। परिणाम: 1.7 · 10 7 ;
5. 1.00005 → 1.00005. कोई शिफ्ट नहीं है, इसलिए k = 0. परिणाम: 1.00005 · 10 0 (ऐसा भी होता है!)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, न केवल दशमलव भिन्नों को मानक रूप में दर्शाया जाता है, बल्कि सामान्य पूर्णांकों को भी दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए: 812,000 = 8.12 · 10 5 ; 6,500,000 = 6.5 10 6.

मानक संकेतन का उपयोग कब करें

सिद्धांत रूप में, मानक संख्या अंकन को भिन्नात्मक गणनाओं को और भी आसान बनाना चाहिए। लेकिन व्यवहार में, तुलनात्मक ऑपरेशन करने पर ही ध्यान देने योग्य लाभ प्राप्त होता है। क्योंकि मानक रूप में लिखी संख्याओं की तुलना इस प्रकार की जाती है:

1. दस की घातों की तुलना करें। सबसे बड़ी संख्या वह होगी जिसके पास यह डिग्री अधिक होगी;
2. यदि डिग्रियाँ समान हैं, तो हम तुलना करना शुरू करते हैं महत्वपूर्ण लोग- सामान्य दशमलव भिन्नों की तरह। तुलना बाएँ से दाएँ, सबसे महत्वपूर्ण से सबसे कम महत्वपूर्ण की ओर जाती है। सबसे बड़ी संख्या वह होगी जिसमें अगला अंक बड़ा हो;
3. यदि दस की घातें समान हैं, और सभी अंक समान हैं, तो भिन्न भी समान हैं।

निःसंदेह, यह सब केवल सकारात्मक संख्याओं के लिए सत्य है। ऋणात्मक संख्याओं के लिए, सभी चिह्न उलट दिए जाते हैं।

मानक रूप में लिखे गए भिन्नों का एक उल्लेखनीय गुण यह है कि उनके महत्वपूर्ण भाग को किसी भी संख्या में शून्य निर्दिष्ट किया जा सकता है - बाएँ और दाएँ दोनों तरफ। इसी तरह का नियम अन्य दशमलव भिन्नों के लिए भी मौजूद है (पाठ "दशमलव" देखें), लेकिन उनकी अपनी सीमाएँ हैं।

काम। संख्याओं की तुलना करें:

1. 8.0382 10 6 और 1.099 10 25;
2. 1.76 · 10 3 और 2.5 · 10 −4 ;
3. 2.215 · 10 11 और 2.64 · 10 11 ;
4. −1.3975 · 10 3 और −3.28 · 10 4 ;
5. −1.0015 · 10 −8 और −1.001498 · 10 −8.

1. 8.0382 10 6 और 1.099 10 25। दोनों संख्याएँ सकारात्मक हैं, और पहली की डिग्री दूसरी (6) की तुलना में दस कम है< 25). Значит, 8,0382 · 10 6 < 1,099 · 10 25 ;
2. 1.76 · 10 3 और 2.5 · 10 −4. संख्याएँ फिर से सकारात्मक हैं, और उनमें से पहले के लिए दस की डिग्री दूसरे (3 > −4) से अधिक है। इसलिए, 1.76 · 10 3 > 2.5 · 10 −4 ;
3. 2.215 10 11 और 2.64 10 11. संख्याएँ सकारात्मक हैं, दस की घातें समान हैं। हम महत्वपूर्ण भाग को देखते हैं: पहले अंक भी मेल खाते हैं (2 = 2)। अंतर दूसरे अंक से शुरू होता है: 2< 6, поэтому 2,215 · 10 11 < 2,64 · 10 11 ;
4. −1.3975 · 10 3 और −3.28 · 10 4। यह नकारात्मक संख्याएँ. पहले की डिग्री दस कम (3) है< 4), поэтому (в силу отрицательности) само число будет больше: −1,3975 · 10 3 >−3.28 · 10 4 ;
5. −1.0015 · 10 −8 और −1.001498 · 10 −8. पुनः ऋणात्मक संख्याएँ, और दस की घातें समान हैं। सार्थक भाग के प्रथम 4 अंक भी समान हैं (1001 = 1001)। 5वें अंक पर अंतर शुरू होता है, अर्थात्: 5 > 4। चूँकि मूल संख्याएँ ऋणात्मक हैं, हम निष्कर्ष निकालते हैं: −1.0015 10 −8< −1,001498 · 10 −8 .

हमने नोट किया कि कोई भी एकपदी हो सकता है मानक रूप में लाओ. इस लेख में हम समझेंगे कि एकपदी को मानक रूप में लाना किसे कहते हैं, कौन सी क्रियाएं इस प्रक्रिया को पूरा करने की अनुमति देती हैं, और विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे।

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एकपदी को मानक रूप में कम करने का क्या मतलब है?

जब एकपदी मानक रूप में लिखे जाते हैं तो उनके साथ काम करना सुविधाजनक होता है। हालाँकि, अक्सर एकपदी को मानक एक से भिन्न रूप में निर्दिष्ट किया जाता है। इन मामलों में, आप हमेशा पहचान परिवर्तन करके मूल एकपदी से मानक रूप के एकपदी में जा सकते हैं। ऐसे परिवर्तनों को करने की प्रक्रिया को एकपदी को मानक रूप में कम करना कहा जाता है।

आइए उपरोक्त तर्कों को संक्षेप में प्रस्तुत करें। एकपदी को मानक रूप में घटाएँ- इसका मतलब है इसके साथ समान परिवर्तन करना ताकि यह एक मानक रूप ले सके।

एकपदी को मानक रूप में कैसे लाया जाए?

अब यह पता लगाने का समय आ गया है कि एकपदी को मानक रूप में कैसे कम किया जाए।

जैसा कि परिभाषा से ज्ञात होता है, गैर-मानक रूप के एकपदी संख्याओं, चरों और उनकी शक्तियों और संभवतः दोहराई जाने वाली शक्तियों के गुणनफल होते हैं। और मानक रूप के एकपदी में इसके अंकन में केवल एक संख्या और गैर-दोहराए जाने वाले चर या उनकी घातें शामिल हो सकती हैं। अब यह समझना बाकी है कि पहले प्रकार के उत्पादों को दूसरे प्रकार के उत्पादों में कैसे लाया जाए?

ऐसा करने के लिए आपको निम्नलिखित का उपयोग करना होगा एकपदी को मानक रूप में घटाने का नियमदो चरणों से मिलकर बना है:

• सबसे पहले, संख्यात्मक कारकों का एक समूहीकरण किया जाता है, साथ ही समान चर और उनकी शक्तियां भी;
• दूसरे, संख्याओं के गुणनफल की गणना की जाती है और उसे लागू किया जाता है।

बताए गए नियम को लागू करने के परिणामस्वरूप, कोई भी एकपदी एक मानक रूप में सिमट जाएगी।

उदाहरण, समाधान

उदाहरणों को हल करते समय पिछले पैराग्राफ से नियम को कैसे लागू किया जाए यह सीखना बाकी है।

उदाहरण।

एकपदी 3 x 2 x 2 को मानक रूप में घटाएँ।

समाधान।

आइए संख्यात्मक कारकों और कारकों को एक चर x के साथ समूहित करें। समूहीकरण के बाद, मूल एकपदी (3·2)·(x·x 2) का रूप ले लेगा। पहले कोष्ठक में संख्याओं का गुणनफल 6 के बराबर है, और समान आधारों से घातों को गुणा करने का नियम दूसरे कोष्ठक में अभिव्यक्ति को x 1 +2=x 3 के रूप में प्रस्तुत करने की अनुमति देता है। परिणामस्वरूप, हमें मानक रूप 6 x 3 का एक बहुपद प्राप्त होता है।

यहां समाधान का संक्षिप्त सारांश दिया गया है: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

उत्तर:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

इसलिए, एकपदी को मानक रूप में लाने के लिए, आपको कारकों को समूहित करने, संख्याओं को गुणा करने और घातों के साथ काम करने में सक्षम होने की आवश्यकता है।

सामग्री को समेकित करने के लिए, आइए एक और उदाहरण हल करें।

उदाहरण।

एकपदी को मानक रूप में प्रस्तुत करें और उसका गुणांक बताएं।

समाधान।

मूल एकपदी के अंकन में एक एकल संख्यात्मक कारक होता है -1, आइए इसे शुरुआत में ले जाएँ। इसके बाद, हम चर a के साथ कारकों को अलग से समूहित करेंगे, चर b के साथ अलग से, और चर m के साथ समूह बनाने के लिए कुछ भी नहीं है, हम इसे वैसे ही छोड़ देंगे, हमारे पास है . कोष्ठक में घातों के साथ संचालन करने के बाद, एकपदी हमारे लिए आवश्यक मानक रूप ले लेगी, जिससे हम एकपदी का गुणांक -1 के बराबर देख सकते हैं। ऋण एक को ऋण चिह्न से बदला जा सकता है: .