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फूरियर श्रृंखला में कार्यों की प्रणाली का विस्तार करें। आवधिक संकेतों का फूरियर श्रृंखला प्रतिनिधित्व

यह अनुभाग फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके आवधिक संकेतों के प्रतिनिधित्व की जांच करेगा। फूरियर श्रृंखला वर्णक्रमीय विश्लेषण के सिद्धांत का आधार है क्योंकि, जैसा कि हम बाद में देखेंगे, फूरियर श्रृंखला को अनंत पुनरावृत्ति अवधि की सीमा तक ले जाकर एक गैर-आवधिक संकेत का फूरियर रूपांतरण प्राप्त किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, फूरियर श्रृंखला के गुण गैर-आवधिक संकेतों के फूरियर रूपांतरण के लिए भी मान्य हैं।

हम त्रिकोणमितीय और जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला की अभिव्यक्तियों पर विचार करेंगे, और फूरियर श्रृंखला के अभिसरण के लिए डिरिचलेट स्थितियों पर भी ध्यान देंगे। इसके अलावा, हम सिग्नल स्पेक्ट्रम की नकारात्मक आवृत्ति जैसी अवधारणा की व्याख्या पर विस्तार से ध्यान देंगे, जो वर्णक्रमीय विश्लेषण के सिद्धांत से परिचित होने पर अक्सर कठिनाई का कारण बनती है।

आवधिक संकेत. त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला

मान लीजिए कि निरंतर समय का एक आवधिक संकेत है, जो एक अवधि सी के साथ दोहराता है, यानी। , एक मनमाना पूर्णांक कहां है.

उदाहरण के तौर पर, चित्र 1 सी अवधि के आयताकार दालों का एक क्रम दिखाता है, जिसे सी अवधि के साथ दोहराया जाता है।

चित्र 1. आवधिक अनुक्रम
आयताकार दालें

गणितीय विश्लेषण के दौरान यह ज्ञात होता है कि त्रिकोणमितीय कार्यों की प्रणाली

एकाधिक आवृत्तियों के साथ, जहां रेड/एस एक पूर्णांक है, यह डिरिचलेट शर्तों को संतुष्ट करने वाली अवधि के साथ आवधिक संकेतों के अपघटन के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है। फूरियर श्रृंखला के अभिसरण के लिए डिरिचलेट शर्तों के लिए आवश्यक है कि खंड पर एक आवधिक संकेत निर्दिष्ट किया जाए और निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाए:

उदाहरण के लिए, आवधिक कार्य फ़ंक्शन के कारण डिरिचलेट शर्तों को पूरा नहीं करता है इसमें दूसरे प्रकार की असंततताएं हैं और अनंत मान लेता है, जहां एक मनमाना पूर्णांक है। तो समारोह प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता फूरियर के बगल में. आप फ़ंक्शन का उदाहरण भी दे सकते हैं , जो सीमित है, लेकिन डिरिचलेट शर्तों को भी पूरा नहीं करता है, क्योंकि शून्य के करीब पहुंचने पर इसमें अनंत संख्या में चरम बिंदु होते हैं। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्र 2 में दिखाया गया है।

चित्र 2. फ़ंक्शन ग्राफ़ :
ए - दो पुनरावृत्ति अवधि; बी - आसपास के क्षेत्र में

चित्र 2ए फ़ंक्शन की दो पुनरावृत्ति अवधि दिखाता है , और चित्र 2बी में - के आसपास का क्षेत्र। यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे यह शून्य के करीब पहुंचता है, दोलन आवृत्ति असीम रूप से बढ़ जाती है, और ऐसे फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, क्योंकि यह टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक नहीं है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि व्यवहार में अनंत धारा या वोल्टेज मान वाले कोई सिग्नल नहीं हैं। प्रकार की एक्स्ट्रेमा की अनंत संख्या के साथ कार्य लागू समस्याओं में भी नहीं होता है. सभी वास्तविक आवधिक संकेत डिरिचलेट शर्तों को पूरा करते हैं और इन्हें अनंत त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:

अभिव्यक्ति (2) में, गुणांक आवधिक संकेत के निरंतर घटक को निर्दिष्ट करता है।

उन सभी बिंदुओं पर जहां सिग्नल निरंतर है, फूरियर श्रृंखला (2) दिए गए सिग्नल के मूल्यों में परिवर्तित हो जाती है, और पहली तरह के असंतोष के बिंदुओं पर - औसत मूल्य तक, जहां बाईं ओर की सीमाएं हैं और क्रमशः असंततता बिंदु के दाईं ओर।

गणितीय विश्लेषण के पाठ्यक्रम से यह भी ज्ञात होता है कि एक काटी गई फूरियर श्रृंखला का उपयोग, जिसमें अनंत योग के बजाय केवल पहले पद होते हैं, संकेत का अनुमानित प्रतिनिधित्व होता है:

जिस पर न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि सुनिश्चित होती है। चित्र 3 फूरियर श्रृंखला शब्दों की विभिन्न संख्याओं का उपयोग करते समय एक आवधिक वर्ग तरंग ट्रेन और एक आवधिक रैंप तरंग के सन्निकटन को दर्शाता है।

चित्र 3. काटी गई फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके संकेतों का अनुमान:
ए - आयताकार दालें; बी - सॉटूथ सिग्नल

जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला

पिछले अनुभाग में, हमने डिरिचलेट स्थितियों को संतुष्ट करने वाले एक मनमाने आवधिक संकेत के विस्तार के लिए त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला की जांच की। यूलर के सूत्र का उपयोग करके, हम दिखा सकते हैं:

फिर त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला (2) को ध्यान में रखते हुए (4):

इस प्रकार, एक आवधिक संकेत को सकारात्मक आवृत्तियों के लिए गुणांक के साथ आवृत्तियों पर घूमने वाले निरंतर घटक और जटिल घातांक के योग द्वारा और नकारात्मक आवृत्तियों पर घूमने वाले जटिल घातांक के योग द्वारा दर्शाया जा सकता है।

आइए सकारात्मक आवृत्तियों के साथ घूमने वाले जटिल घातांक के गुणांकों पर विचार करें:

इसी प्रकार, नकारात्मक आवृत्तियों के साथ घूमने वाले जटिल घातांक के गुणांक हैं:

अभिव्यक्तियाँ (6) और (7) मेल खाती हैं; इसके अलावा, स्थिर घटक को शून्य आवृत्ति पर एक जटिल घातांक के माध्यम से भी लिखा जा सकता है:

इस प्रकार, (5) को ध्यान में रखते हुए (6)-(8) को शून्य से अनंत तक अनुक्रमित करने पर एकल योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

अभिव्यक्ति (9) जटिल रूप में एक फूरियर श्रृंखला है। जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला के गुणांक त्रिकोणमितीय रूप में श्रृंखला के गुणांक से संबंधित हैं, और सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आवृत्तियों के लिए निर्धारित किए जाते हैं। आवृत्ति पदनाम में सबस्क्रिप्ट नकारात्मक आवृत्तियों के अनुरूप नकारात्मक सबस्क्रिप्ट के साथ असतत हार्मोनिक की संख्या को इंगित करता है।

अभिव्यक्ति (2) से यह पता चलता है कि वास्तविक सिग्नल के लिए श्रृंखला (2) के गुणांक भी वास्तविक हैं। हालाँकि, (9) एक वास्तविक संकेत को सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आवृत्तियों से संबंधित जटिल संयुग्म गुणांकों के एक सेट के साथ जोड़ता है।

जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला की कुछ व्याख्याएँ

पिछले अनुभाग में, हमने त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला (2) से जटिल रूप (9) में फूरियर श्रृंखला में परिवर्तन किया। परिणामस्वरूप, वास्तविक त्रिकोणमितीय कार्यों के आधार पर आवधिक संकेतों को विघटित करने के बजाय, हमें जटिल गुणांक के साथ जटिल घातांक के आधार में विस्तार प्राप्त हुआ, और यहां तक कि विस्तार में नकारात्मक आवृत्तियां भी दिखाई दीं! चूँकि इस मुद्दे को अक्सर गलत समझा जाता है, इसलिए कुछ स्पष्टीकरण आवश्यक है।

सबसे पहले, त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम करने की तुलना में जटिल घातांक के साथ काम करना ज्यादातर मामलों में आसान होता है। उदाहरण के लिए, जटिल घातांकों को गुणा और विभाजित करते समय, केवल घातांकों को जोड़ना (घटाना) ही पर्याप्त होता है, जबकि त्रिकोणमितीय कार्यों को गुणा और विभाजित करने के सूत्र अधिक बोझिल होते हैं।

घातांकों को विभेदित करना और एकीकृत करना, यहां तक कि जटिल वाले भी, त्रिकोणमितीय कार्यों की तुलना में आसान है, जो विभेदित और एकीकृत होने पर लगातार बदलते रहते हैं (साइन कोसाइन में बदल जाता है और इसके विपरीत)।

यदि संकेत आवधिक और वास्तविक है, तो त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला (2) अधिक स्पष्ट लगती है, क्योंकि सभी विस्तार गुणांक वास्तविक रहते हैं। हालाँकि, किसी को अक्सर जटिल आवधिक संकेतों से निपटना पड़ता है (उदाहरण के लिए, जब मॉड्यूलेटिंग और डिमोडुलेटिंग, जटिल लिफाफे का एक चतुर्भुज प्रतिनिधित्व उपयोग किया जाता है)। इस मामले में, त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते समय, सभी गुणांक और विस्तार (2) जटिल हो जाएंगे, जबकि जटिल रूप (9) में फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते समय, वास्तविक और जटिल इनपुट सिग्नल दोनों के लिए समान विस्तार गुणांक का उपयोग किया जाएगा। .

और अंत में, (9) में दिखाई देने वाली नकारात्मक आवृत्तियों की व्याख्या पर ध्यान देना आवश्यक है। यह प्रश्न अक्सर ग़लतफ़हमी का कारण बनता है। में रोजमर्रा की जिंदगीहमें नकारात्मक आवृत्तियों का सामना नहीं करना पड़ता। उदाहरण के लिए, हम अपने रेडियो को कभी भी नकारात्मक आवृत्ति पर ट्यून नहीं करते हैं। आइए यांत्रिकी से निम्नलिखित सादृश्य पर विचार करें। मान लीजिए कि एक यांत्रिक स्प्रिंग पेंडुलम है जो एक निश्चित आवृत्ति के साथ स्वतंत्र रूप से दोलन करता है। क्या कोई लोलक ऋणात्मक आवृत्ति पर दोलन कर सकता है? बिल्कुल नहीं। जिस प्रकार नकारात्मक आवृत्तियों पर प्रसारण करने वाले कोई रेडियो स्टेशन नहीं हैं, उसी प्रकार पेंडुलम के दोलनों की आवृत्ति नकारात्मक नहीं हो सकती। लेकिन स्प्रिंग पेंडुलम एक आयामी वस्तु है (पेंडुलम एक सीधी रेखा के साथ दोलन करता है)।

हम यांत्रिकी से एक और सादृश्य भी दे सकते हैं: की आवृत्ति के साथ घूमने वाला एक पहिया। पहिया, पेंडुलम के विपरीत, घूमता है, अर्थात। पहिये की सतह पर एक बिंदु एक समतल में चलता है, और केवल एक सीधी रेखा के साथ दोलन नहीं करता है। इसलिए, पहिये के घूर्णन को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए, घूर्णन गति निर्धारित करना पर्याप्त नहीं है, क्योंकि घूर्णन की दिशा निर्धारित करना भी आवश्यक है। यही कारण है कि हम आवृत्ति चिह्न का उपयोग कर सकते हैं।

इसलिए, यदि पहिया कोणीय आवृत्ति रेड/एस के साथ वामावर्त घूमता है, तो हम मानते हैं कि पहिया सकारात्मक आवृत्ति के साथ घूमता है, और यदि दक्षिणावर्त है, तो घूर्णन आवृत्ति नकारात्मक होगी। इस प्रकार, एक रोटेशन कमांड के लिए, एक नकारात्मक आवृत्ति बकवास होना बंद कर देती है और रोटेशन की दिशा को इंगित करती है।

और अब सबसे महत्वपूर्ण बात जो हमें समझनी चाहिए. एक-आयामी वस्तु (उदाहरण के लिए, एक स्प्रिंग पेंडुलम) के दोलन को चित्र 4 में दिखाए गए दो वैक्टरों के घूर्णन के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

चित्र 4. स्प्रिंग पेंडुलम का दोलन
दो सदिशों के घूर्णन के योग के रूप में
जटिल तल पर

पेंडुलम हार्मोनिक कानून के अनुसार आवृत्ति के साथ जटिल विमान के वास्तविक अक्ष के साथ दोलन करता है। पेंडुलम की गति को एक क्षैतिज वेक्टर के रूप में दिखाया गया है। शीर्ष वेक्टर जटिल तल पर सकारात्मक आवृत्ति (वामावर्त) के साथ घूमता है, और निचला वेक्टर नकारात्मक आवृत्ति (घड़ी की दिशा में) के साथ घूमता है। चित्र 4 त्रिकोणमिति पाठ्यक्रम से सुप्रसिद्ध संबंध को स्पष्ट रूप से दर्शाता है:

इस प्रकार, जटिल रूप (9) में फूरियर श्रृंखला सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्तियों के साथ घूमने वाले जटिल विमान पर वैक्टर के योग के रूप में आवधिक एक-आयामी संकेतों का प्रतिनिधित्व करती है। साथ ही, आइए ध्यान दें कि वास्तविक सिग्नल के मामले में, (9) के अनुसार, नकारात्मक आवृत्तियों के लिए विस्तार गुणांक सकारात्मक आवृत्तियों के लिए संबंधित गुणांक के साथ जटिल संयुग्मित होते हैं। एक जटिल सिग्नल के मामले में, गुणांक की यह संपत्ति इस तथ्य के कारण मान्य नहीं है कि वे जटिल भी हैं।

आवधिक संकेतों का स्पेक्ट्रम

जटिल रूप में फूरियर श्रृंखला एक आवधिक सिग्नल का अपघटन है जो कि संबंधित जटिल गुणांक के साथ रेड/सी के गुणकों में सकारात्मक और नकारात्मक आवृत्तियों पर घूमने वाले जटिल घातांक के योग में होता है जो सिग्नल के स्पेक्ट्रम को निर्धारित करता है। जटिल गुणांकों को यूलर के सूत्र का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है, जहां आयाम स्पेक्ट्रम है, ए चरण स्पेक्ट्रम है।

चूंकि आवधिक सिग्नल केवल एक निश्चित आवृत्ति ग्रिड पर एक पंक्ति में रखे जाते हैं, इसलिए आवधिक संकेतों का स्पेक्ट्रम पंक्तिबद्ध (अलग) होता है।

चित्र 5. आवधिक अनुक्रम का स्पेक्ट्रम
आयताकार दालें:
ए - आयाम स्पेक्ट्रम; बी - चरण स्पेक्ट्रम

चित्र 5 सी, पल्स अवधि सी और पल्स आयाम बी पर आयताकार दालों (चित्र 1 देखें) के आवधिक अनुक्रम के आयाम और चरण स्पेक्ट्रम का एक उदाहरण दिखाता है।

अवधि 2π के साथ आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला।

फूरियर श्रृंखला हमें आवधिक कार्यों को घटकों में विघटित करके उनका अध्ययन करने की अनुमति देती है। प्रत्यावर्ती धाराएं और वोल्टेज, विस्थापन, गति और क्रैंक तंत्र और ध्वनिक तरंगों का त्वरण विशिष्ट हैं व्यावहारिक उदाहरणइंजीनियरिंग गणना में आवधिक कार्यों का अनुप्रयोग।

फूरियर श्रृंखला का विस्तार इस धारणा पर आधारित है कि अंतराल -π ≤x≤ π में व्यावहारिक महत्व के सभी कार्यों को अभिसरण त्रिकोणमितीय श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (एक श्रृंखला को अभिसरण माना जाता है यदि उसके पदों से बना आंशिक योग का क्रम अभिसरण):

सिनएक्स और कॉसएक्स के योग के माध्यम से मानक (=साधारण) संकेतन

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 synx+b 2 syn2x+b 3 syn3x+...,

जहां a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. वास्तविक स्थिरांक हैं, अर्थात्।

जहां, -π से π तक की सीमा के लिए, फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

गुणांक a o , a n और b n कहलाते हैं फूरियर गुणांक, और यदि वे पाए जा सकते हैं, तो श्रृंखला (1) कहलाती है फूरियर के बगल में,फ़ंक्शन f(x) के अनुरूप। श्रृंखला (1) के लिए, पद (a 1 cosx+b 1 synx) को पहला या कहा जाता है मौलिक हार्मोनिक,

श्रृंखला लिखने का दूसरा तरीका संबंध acosx+bsinx=csin(x+α) का उपयोग करना है

f(x)=a o +c 1 पाप(x+α 1)+c 2 पाप(2x+α 2)+...+c n पाप(nx+α n)

जहां a o एक स्थिरांक है, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 विभिन्न घटकों के आयाम हैं, और a n =arctg a n के बराबर है /बी एन.

श्रृंखला (1) के लिए, पद (a 1 cosx+b 1 synx) या c 1 syn(x+α 1) को पहला या कहा जाता है मौलिक हार्मोनिक,(a2cos2x+b2sin2x) या c2sin(2x+α2) कहलाता है दूसरा हार्मोनिकऔर इसी तरह।

किसी जटिल सिग्नल को सटीक रूप से प्रस्तुत करने के लिए आमतौर पर अनंत संख्या में शब्दों की आवश्यकता होती है। हालाँकि, कई व्यावहारिक समस्याओं में केवल पहले कुछ शब्दों पर विचार करना ही पर्याप्त है।

अवधि 2π के साथ गैर-आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला।

गैर-आवधिक कार्यों का विस्तार।

यदि फ़ंक्शन f(x) गैर-आवधिक है, तो इसका मतलब है कि इसे x के सभी मानों के लिए फूरियर श्रृंखला में विस्तारित नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, चौड़ाई 2π की किसी भी सीमा पर एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने वाली फूरियर श्रृंखला को परिभाषित करना संभव है।

एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन को देखते हुए, एक निश्चित सीमा के भीतर f(x) के मानों का चयन करके और उन्हें 2π अंतराल पर उस सीमा के बाहर दोहराकर एक नया फ़ंक्शन बनाया जा सकता है। चूँकि नया फ़ंक्शन 2π की अवधि के साथ आवधिक है, इसे x के सभी मानों के लिए फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फलन f(x)=x आवर्त नहीं है। हालाँकि, यदि इसे o से 2π के अंतराल में फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करना आवश्यक है, तो इस अंतराल के बाहर 2π की अवधि के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है (जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है)।

गैर-आवधिक कार्यों जैसे कि f(x)=x के लिए, फूरियर श्रृंखला का योग किसी दी गई सीमा में सभी बिंदुओं पर f(x) के मान के बराबर है, लेकिन यह बिंदुओं के लिए f(x) के बराबर नहीं है सीमा के बाहर. 2π रेंज में एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला को खोजने के लिए, फूरियर गुणांक के समान सूत्र का उपयोग किया जाता है।

सम और विषम कार्य।

वे कहते हैं फलन y=f(x) यहां तक की, यदि x के सभी मानों के लिए f(-x)=f(x) है। सम फलनों के ग्राफ़ हमेशा y-अक्ष के बारे में सममित होते हैं (अर्थात्, वे दर्पण छवियाँ हैं)। सम फलनों के दो उदाहरण: y=x2 और y=cosx।

वे कहते हैं कि फलन y=f(x) विषम,यदि x के सभी मानों के लिए f(-x)=-f(x) विषम फलनों के ग्राफ सदैव मूल बिन्दु के सापेक्ष सममित होते हैं।

कई फलन न तो सम हैं और न ही विषम।

कोसाइन में फूरियर श्रृंखला का विस्तार।

अवधि 2π के साथ एक सम आवधिक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला में केवल कोसाइन पद शामिल हैं (यानी, कोई साइन पद नहीं) और इसमें एक स्थिर पद शामिल हो सकता है। इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

अवधि 2π के साथ एक विषम आवधिक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला में केवल साइन वाले पद शामिल हैं (अर्थात, इसमें कोसाइन वाले पद शामिल नहीं हैं)।

इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

आधे चक्र पर फूरियर श्रृंखला।

यदि किसी फ़ंक्शन को किसी श्रेणी के लिए परिभाषित किया गया है, मान लीजिए 0 से π तक, न कि केवल 0 से 2π तक, तो इसे एक श्रृंखला में केवल साइन में या केवल कोसाइन में विस्तारित किया जा सकता है। परिणामी फूरियर श्रृंखला कहलाती है आधे चक्र पर फूरियर के पास।

यदि आप अपघटन प्राप्त करना चाहते हैं कोसाइन द्वारा अर्ध-चक्र फूरियरफ़ंक्शन f(x) 0 से π तक की सीमा में है, तो एक सम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। क्योंकि यहां तक कि समारोहएफ(एक्स) अक्ष के बारे में सममित, रेखा एबी खींचें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। नीचे। यदि हम मान लें कि विचारित अंतराल के बाहर प्राप्त होता है त्रिकोणीय आकार 2π की अवधि के साथ आवर्त है, तो अंतिम ग्राफ़ इस प्रकार दिखता है, दिखाएँ। चित्र में नीचे। चूँकि हमें कोसाइन में फूरियर विस्तार प्राप्त करने की आवश्यकता है, पहले की तरह, हम फूरियर गुणांक ए ओ और एन की गणना करते हैं

यदि आपको प्राप्त करने की आवश्यकता है फूरियर आधा-चक्र साइन विस्तारफ़ंक्शन f(x) 0 से π तक की सीमा में है, तो एक विषम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि विषम फलन मूल बिन्दु के प्रति सममित है, हम रेखा CD बनाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि हम मानते हैं कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी सॉटूथ सिग्नल 2π की अवधि के साथ आवधिक है, तो अंतिम ग्राफ़ में चित्र में दिखाया गया रूप है। चूँकि हमें पहले की तरह, साइन के संदर्भ में आधे चक्र के फूरियर विस्तार को प्राप्त करने की आवश्यकता है, हम फूरियर गुणांक की गणना करते हैं। बी

एक मनमाने अंतराल के लिए फूरियर श्रृंखला।

अवधि एल के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन का विस्तार।

आवधिक कार्यजैसे-जैसे x L से बढ़ता है, f(x) दोहराता है, अर्थात। f(x+L)=f(x). 2π की अवधि के साथ पहले से विचार किए गए कार्यों से एल की अवधि के साथ कार्यों में संक्रमण काफी सरल है, क्योंकि यह चर के परिवर्तन का उपयोग करके किया जा सकता है।

-L/2≤x≤L/2 की श्रेणी में फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला खोजने के लिए, हम एक नया वेरिएबल u पेश करते हैं ताकि फ़ंक्शन f(x) की अवधि u के सापेक्ष 2π हो। यदि u=2πx/L, तो u=-π के लिए x=-L/2 और u=π के लिए x=L/2। यह भी मान लीजिए कि f(x)=f(Lu/2π)=F(u). फूरियर श्रृंखला F(u) का रूप है

(एकीकरण की सीमा को L लंबाई के किसी भी अंतराल से बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, 0 से L तक)

अंतराल L≠2π में निर्दिष्ट कार्यों के लिए आधे-चक्र पर फूरियर श्रृंखला।

प्रतिस्थापन u=πх/L के लिए, x=0 से x=L तक का अंतराल u=0 से u=π तक के अंतराल से मेल खाता है। नतीजतन, फ़ंक्शन को केवल कोसाइन में या केवल साइन में एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात। वी आधे चक्र पर फूरियर श्रृंखला.

0 से L तक की सीमा में कोज्या विस्तार का रूप होता है

फूरियर के पासअंतराल (-π ; π) पर फ़ंक्शन f(x) को फॉर्म की त्रिकोणमितीय श्रृंखला कहा जाता है:
, कहाँ
.

अंतराल (-l;l) पर एक फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला इस रूप की एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला है:
, कहाँ
.

उद्देश्य। ऑनलाइन कैलकुलेटरफ़ंक्शन f(x) को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

मॉड्यूलो फ़ंक्शंस (जैसे |x|) के लिए, उपयोग करें कोसाइन विस्तार.

कार्यों में प्रवेश के नियम:

मॉड्यूलो फ़ंक्शंस के लिए, कोसाइन विस्तार का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, |x| के लिए किसी मॉड्यूल के बिना किसी फ़ंक्शन को दर्ज करना आवश्यक है, अर्थात। एक्स।

फूरियर श्रृंखला टुकड़े-टुकड़े निरंतर, टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक और अंतराल पर बंधी हुई (- एल;एल) फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर अभिसरण करता है।

फूरियर श्रृंखला का योग S(x) :

आवर्त 2 के साथ एक आवर्त फलन है एल. एक फ़ंक्शन u(x) को अवधि T (या T-आवधिक) के साथ आवधिक कहा जाता है यदि क्षेत्र R के सभी x के लिए, u(x+T)=u(x)।
अंतराल पर (- एल;एल) फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है एफ(एक्स), ब्रेकप्वाइंट को छोड़कर
फ़ंक्शन के असंततता के बिंदुओं पर (पहली तरह का, क्योंकि फ़ंक्शन परिबद्ध है)। एफ(एक्स) और अंतराल के अंत में औसत मान लेता है:

.
वे कहते हैं कि फ़ंक्शन अंतराल पर फूरियर श्रृंखला में विस्तारित होता है (- एल;एल):

अगर एफ(एक्स) एक सम फलन है, तभी सम फलन ही इसके विस्तार में भाग लेता है, अर्थात् बी एन=0.
अगर एफ(एक्स) एक विषम फलन है, तो उसके विस्तार में केवल विषम फलन ही भाग लेते हैं, अर्थात् एक=0

फूरियर के पास कार्य एफ(एक्स) अंतराल पर (0; एल) एकाधिक चापों की कोज्या द्वारा पंक्ति को कहा जाता है:
, कहाँ
.
फूरियर के पास कार्य एफ(एक्स) अंतराल पर (0; एल) अनेक चापों की ज्याओं के अनुदिश पंक्ति को कहा जाता है:
, कहाँ .
अनेक चापों की कोज्याओं पर फूरियर श्रृंखला का योग आवर्त 2 के साथ एक सम आवर्त फलन है एल, के साथ मेल खाता है एफ(एक्स) अंतराल पर (0; एल) निरंतरता के बिंदुओं पर।
अनेक चापों की ज्याओं पर फूरियर श्रृंखला का योग आवर्त 2 के साथ एक विषम आवर्त फलन है एल, के साथ मेल खाता है एफ(एक्स) अंतराल पर (0; एल) निरंतरता के बिंदुओं पर।
किसी दिए गए अंतराल पर दिए गए फ़ंक्शन के लिए फूरियर श्रृंखला में विशिष्टता का गुण होता है, अर्थात, यदि विस्तार सूत्रों का उपयोग करने के अलावा किसी अन्य तरीके से प्राप्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, गुणांक का चयन करके, तो ये गुणांक सूत्रों से गणना किए गए गुणांक के साथ मेल खाते हैं। .

उदाहरण क्रमांक 1. फ़ंक्शन का विस्तार करें एफ(एक्स)=1:
a) अंतराल पर पूर्ण फूरियर श्रृंखला में(-π ;π);
बी) अंतराल पर एकाधिक चापों की ज्याओं के अनुदिश एक श्रृंखला में(0;π); परिणामी फूरियर श्रृंखला को प्लॉट करें
समाधान:
ए) अंतराल (-π;π) पर फूरियर श्रृंखला के विस्तार का रूप है:
,
और सभी गुणांक बी एन=0, क्योंकि यह फ़ंक्शन सम है; इस प्रकार,

जाहिर है, यदि हम स्वीकार करेंगे तो समानता संतुष्ट होगी
ए 0 =2, ए 1 =ए 2 =ए 3 =…=0
विशिष्टता गुण के कारण, ये आवश्यक गुणांक हैं। इस प्रकार, आवश्यक अपघटन: या सिर्फ 1=1.
इस मामले में, जब कोई श्रृंखला अपने फ़ंक्शन के साथ समान रूप से मेल खाती है, तो फूरियर श्रृंखला का ग्राफ़ संपूर्ण संख्या रेखा पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ मेल खाता है।
बी) एकाधिक चापों की ज्याओं के संदर्भ में अंतराल (0;π) पर विस्तार का रूप है:
गुणांकों का चयन करना स्पष्ट रूप से असंभव है ताकि समानता समान रूप से बनी रहे। आइए गुणांकों की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करें:

इस प्रकार, सम के लिए एन (एन=2क) हमारे पास है बी एन=0, विषम के लिए ( एन=2क-1) -
अंत में, .
आइए इसके गुणों का उपयोग करके परिणामी फूरियर श्रृंखला को प्लॉट करें (ऊपर देखें)।
सबसे पहले, हम किसी दिए गए अंतराल पर इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाते हैं। इसके बाद, श्रृंखला के योग की विषमता का लाभ उठाते हुए, हम ग्राफ को मूल बिंदु तक सममित रूप से जारी रखते हैं:

हम संपूर्ण संख्या रेखा के साथ आवधिक तरीके से जारी रखते हैं:

और अंत में, ब्रेक पॉइंट पर हम औसत (दाएं और बाएं सीमाओं के बीच) मान भरते हैं:

उदाहरण संख्या 2. किसी फ़ंक्शन का विस्तार करें अनेक चापों की ज्याओं के अनुदिश अंतराल (0;6) पर।
समाधान: आवश्यक विस्तार का रूप है:

चूँकि बाएँ और दाएँ दोनों पक्षों में ही समानता समाहित है कार्य पापविभिन्न तर्कों से, आपको यह जांचना चाहिए कि क्या, n (प्राकृतिक!) के किसी भी मान के लिए, बाईं ओर ज्या के तर्क हैं और सही भागसमानता:
या, जिससे n =18. इसका मतलब यह है कि ऐसा शब्द दाईं ओर निहित है और इसका गुणांक बाईं ओर के गुणांक के साथ मेल खाना चाहिए: बी 18 =1;
या, जिससे n =4. मतलब, बी 4 =-5.
इस प्रकार, गुणांकों का चयन करके वांछित विस्तार प्राप्त करना संभव था:

संघीय राज्य बजट शैक्षिक संस्था उच्च शिक्षा

"वोल्गा स्टेट यूनिवर्सिटी

दूरसंचार और सूचना विज्ञान"

उच्च गणित विभाग

ओ.वी.स्टारोज़िलोवा

गणित के विशेष अध्याय

प्रोटोकॉल संख्या 45, दिनांक 10 मार्च 2017

स्टारोज़िलोवा, ओ.वी.

C गणित के विशेष अध्याय: पाठ्यपुस्तक //स्टारोज़िलोवा ओ.वी.. - समारा: पीजीयूटीआई, 2017. -221 पी।

ट्यूटोरियलगणित की विशेष शाखाओं को छूता है: गणितीय तर्क और ऑटोमेटा सिद्धांत, प्रस्तावक बीजगणित, प्रस्तावक कलन, एल्गोरिदम के सिद्धांत के तत्व, प्रतिगमन विश्लेषण, अनुकूलन विधियाँ।

दिशा में अध्ययनरत विश्वविद्यालय के छात्रों और परास्नातक के लिए 03/09/02" सूचना प्रणाली और प्रौद्योगिकियाँ", जो गणित के विशेष अध्यायों का स्वयं अध्ययन करना चाहते हैं।

प्रत्येक अनुभाग नियंत्रण प्रश्नों के साथ समाप्त होता है जो पाठ्यक्रम की सैद्धांतिक महारत की जांच करने में मदद करेगा, इसमें बड़ी संख्या में कार्य शामिल हैं स्वतंत्र निर्णयऔर जांचने के लिए उत्तर।

मैनुअल में कम्प्यूटेशनल गणित विधियों के सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन पर जोर देने के साथ एक प्रयोगशाला परिसर और कई इंजीनियरिंग समस्याएं शामिल हैं।

स्टारोज़िलोवा ओ.वी., 2017

अध्याय 1 हार्मोनिक विश्लेषण 6

1.1 साउंडिंग स्ट्रिंग समस्या 7

1.2 कार्यों की ऑर्थोगोनल प्रणाली 8

1.3 कार्यों की त्रिकोणमितीय प्रणाली 10 के लिए फूरियर श्रृंखला

1.4 पर्याप्त स्थितियाँफूरियर श्रृंखला 13 में एक फ़ंक्शन का विस्तार

1.5 एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन का फूरियर श्रृंखला विस्तार 17

1.6 सम और विषम कार्यों के लिए फूरियर श्रृंखला 18

1.7 किसी भी अवधि के कार्यों के लिए फूरियर श्रृंखला 21

1.8 फूरियर इंटीग्रल 27

1.9 सम और विषम कार्यों के लिए फूरियर इंटीग्रल 29

1.10 जटिल रूपफूरियर इंटीग्रल 30

1.11 फूरियर रूपांतरण 32

अध्याय 2 गणितीय तर्क और IV 33

2.1 तर्क विकास के चरण 34

2.2 प्रस्तावात्मक तर्क 38

2.3 तार्किक संयोजक 40

2.4तार्किक संचालन 41

2.5 प्रस्तावित कलन की वर्णमाला 42

2.6 सूत्र. 42

2.7 प्रस्तावात्मक तर्क के नियम 44

2.8 औपचारिक सिद्धांत. अंडे सेने की क्षमता। व्याख्या 46

2.9 स्वयंसिद्ध विधि 47

2.10 प्रस्तावात्मक कलन के अभिगृहीतों की प्रणाली (पीएस) 52

2.11 निष्कर्ष नियम 53

2.12 व्युत्पन्न अनुमान नियम 56

2.13 प्रस्तावात्मक तर्क 62 में निष्कर्ष का निर्माण

2.14 बीजगणित और प्रस्तावात्मक कलन के बीच संबंध 66

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें 69

अध्याय 3 प्रतिगमन विश्लेषण समस्याएँ 70

3.1 विधि कम से कम वर्गों 74

3.2 रेखीय प्रतिगमन विश्लेषण 76

3.3 प्रतिगमन मॉडल 79 का अनुमान

3.4 रैखिक प्रतिगमन विधि को लागू करने में समस्याएं 83

3.5 सांख्यिकीय मॉडल एलआर 85 की पूर्वापेक्षाएँ

3.6 प्रतिगमन विश्लेषण की समस्याएं 86

3.7 बहुभिन्नरूपी सामान्य प्रतिगमन मॉडल 90

3.8 आश्रित चर 92 का परिवर्तन

परीक्षण प्रश्न 94

अध्याय 4 सामान्य सूत्रीकरण और निर्णय लेने की समस्याओं के प्रकार 95

4.1 अनुकूलन समस्या का गणितीय सूत्रीकरण 97

4.2 स्थानीय और वैश्विक न्यूनतम टीएफ 99

4.3 विधियाँ बिना शर्त अनुकूलन 102

4.4 समन्वय अवतरण विधि 102

4.5 रोसेनब्रॉक विधि 105

4.6 कॉन्फ़िगरेशन विधि 105

4.7 यादृच्छिक खोज विधियाँ 108

4.8 न्यूटन की विधि 112

अध्याय 5 फूरियर ट्रांसफॉर्म 114

5.1 फूरियर फ़ंक्शन सन्निकटन 114

5.2 फूरियर रूपांतरण 117

5.3 फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म 120

प्रयोगशाला परिसर 123

हार्मोनिक और वर्णक्रमीय विश्लेषण 123

विषय 1. "प्रस्तावात्मक तर्क" 131

एलपी 133 विषय के लिए व्यक्तिगत असाइनमेंट के प्रकार

विषय 2. रैखिक जोड़ीवार प्रतिगमन 140

प्रयोगशाला कार्य № 1 141

एलआर समीकरण 141 के गुणांकों की गणना

प्रयोगशाला कार्य संख्या 2 144

नमूना सहसंबंध गुणांक 144 की गणना

प्रयोगशाला कार्य संख्या 3 145

युग्मित एलआर 145 के प्रसरणों के अनुमान की गणना

प्रयोगशाला कार्य क्रमांक 4 147

युग्मित एलआर गुणांक 147 के लिए एक्सेल फ़ंक्शन

प्रयोगशाला कार्य क्रमांक 5 149

युग्मित एलआर फ़ंक्शन 149 के लिए एक अंतराल अनुमान का निर्माण

प्रयोगशाला कार्य संख्या 6 151

फिशर मानदंड 151 का उपयोग करके एलआर समीकरण के महत्व की जाँच करना

विषय 3 अरेखीय जोड़ीवार प्रतिगमन 153

प्रयोगशाला कार्य संख्या 7 153

153 का उपयोग करके एक अरेखीय प्रतिगमन का निर्माण

ट्रेंडलाइन कमांड 153 जोड़ें

प्रयोगशाला कार्य संख्या 8 158

सर्वोत्तम अरेखीय प्रतिगमन 158 का चयन करना

विषय 4. रैखिक एकाधिक प्रतिगमन 161

प्रयोगशाला कार्य संख्या 9 162

एलएमआर गुणांकों की गणना 162

प्रयोगशाला कार्य संख्या 10 166

प्रतिगमन मोड 166 में महत्व परीक्षण

विषय 5. अरेखीय एकाधिक प्रतिगमन 175

प्रयोगशाला कार्य संख्या 11 175

कॉब-डगलस फ़ंक्शन 175 के लिए गणना

परीक्षा № 1 179

युग्मित प्रतिगमन 179

टेस्ट नंबर 2 181

बहुवचन रेखीय प्रतिगमन 181

बिना शर्त चरम सीमा 185 की खोज के लिए संख्यात्मक तरीके

फ़ंक्शन 185 का ग्राफिकल विश्लेषण

एक आयामी खोज समस्या 187

स्वेन का एल्गोरिदम 190

पाशविक बल विधि 193

बिटवाइज़ खोज विधि 195

द्विभाजन विधि. 198

फाइबोनैचि विधि 201

स्वर्णिम अनुपात विधि 205

मध्यबिंदु विधि 210

न्यूटन की विधि 214

साहित्य 218

अध्याय 1 हार्मोनिक विश्लेषण

परिभाषाहार्मोनिक विश्लेषण-गणित की वह शाखा जो कंपनों को हार्मोनिक कंपनों में विघटित करती है।

आवधिक (अर्थात, समय में दोहराई जाने वाली) घटनाओं का अध्ययन करते समय, हम विचार करते हैं आवधिक कार्य.

उदाहरण के लिए, एक हार्मोनिक दोलन का वर्णन समय के एक आवधिक कार्य द्वारा किया जाता है टी:

Ø परिभाषाआवधिक कार्य- एक फ़ंक्शन जिसका मान किसी निश्चित गैर-शून्य संख्या को कॉल करने पर नहीं बदलता है अवधिकार्य.

चूँकि दो आवर्तों का योग और अंतर पुनः एक आवर्त होता है और इसलिए, किसी आवर्त का कोई भी गुणज भी एक आवर्त होता है, तो प्रत्येक आवर्त फलन में आवर्तों की अनंत संख्या होती है।

यदि किसी आवर्त फलन की वास्तविक अवधि होती है, वह निरंतर होता है और स्थिरांक से भिन्न होता है, तो इसकी सबसे छोटी सकारात्मक अवधि होती है टी; उसी फ़ंक्शन की किसी अन्य वास्तविक अवधि का रूप होगा के.टी., कहाँ क =±1, ±2,....

समान अवधि वाले आवर्त कार्यों का योग, गुणनफल और भागफल समान अवधि वाले आवर्त फलन होते हैं।

आवधिक कार्य दोलनों के सिद्धांत और सामान्य रूप से गणितीय भौतिकी में अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। गणितीय विश्लेषण के दौरान, हम एक कार्यात्मक श्रृंखला की अवधारणा से परिचित हुए, इसके महत्वपूर्ण विशेष मामले पर काम किया - बिजली की श्रृंखला. आइए एक और बहुत महत्वपूर्ण बात पर विचार करें (भौतिक अनुप्रयोगों सहित) विशेष मामलाकार्यात्मक श्रृंखला - त्रिकोणमितीय श्रृंखला।

Ø परिभाषा कार्यात्मक सीमा -फॉर्म की श्रृंखला

एक चर या कई चर के आधार पर कार्य कहाँ होते हैं।

प्रत्येक निश्चित मान के लिए, कार्यात्मक श्रृंखला एक संख्यात्मक श्रृंखला में बदल जाती है

जो एक हो सकता है या अलग हो सकता है।

Ø परिभाषा कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरण बिंदु- वह बिंदु जिस पर कार्यात्मक श्रृंखला अभिसरित होती है।

Ø परिभाषाअभिसरण के सभी बिंदुओं के समुच्चय को कहा जाता है श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र.

क्या ऐसा संभव है यह फ़ंक्शनत्रिकोणमितीय श्रृंखला के रूप में निरूपित करें, अर्थात। क्या गुणांक ज्ञात करना संभव है? एकऔर बी एनऐसा कि सबके लिए समानता हो

श्रृंखला का योग स्पष्ट रूप से एक आवर्ती फलन है। इसका मतलब यह है कि केवल आवधिक कार्यों को त्रिकोणमितीय श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है एफ.

इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि यदि दो आवधिक कार्य एक अंतराल पर मेल खाते हैं जिसकी लंबाई अवधि के बराबर है, तो वे हर जगह मेल खाते हैं। इसलिए, यह लंबाई के एक निश्चित अंतराल पर जांच करने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए,।

1.1 साउंडिंग स्ट्रिंग समस्या

त्रिकोणमितीय श्रृंखला का अध्ययन 18वीं शताब्दी में उत्पन्न ध्वनि स्ट्रिंग समस्या के कारण हुआ।

किसी फ़ंक्शन को देखते हुए, क्या एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला ढूंढना संभव है जो अभिसरण करती है और इसके योग के रूप में फ़ंक्शन होता है। इस पर प्रतिबंध लगाना आवश्यक है ताकि कोई इससे मिलती-जुलती त्रिकोणमितीय श्रृंखला की खोज कर सके।

एक समान कार्य के लिए था बिजली की श्रृंखला, यदि यह हल करने योग्य है, तो ऐसी श्रृंखला टेलर श्रृंखला है।

1.2 कार्यों की ऑर्थोगोनल प्रणाली

गणितीय भौतिकी के समीकरणों की सीमा मूल्य समस्याओं को हल करने के लिए फूरियर विधि के संबंध में कार्यों की ऑर्थोगोनल प्रणालियों का व्यवस्थित अध्ययन शुरू किया गया था। फ़ंक्शंस के ऑर्थोगोनल सिस्टम के सिद्धांत में मुख्य समस्याओं में से एक फ़ंक्शन को विघटित करने की समस्या है एफ(एक्स) प्रपत्र की एक श्रृंखला में, कार्यों की एक ऑर्थोगोनल प्रणाली कहां है।

Ø परिभाषाफ़ंक्शन कहलाते हैं ओर्थोगोनलपर, यदि पूरा हो गया:

क्यू उदाहरण , - फ़ंक्शंस ओर्थोगोनल हैं, क्योंकि

क्यू उदाहरण on किसी भी परिभाषित फ़ंक्शन के लिए ओर्थोगोनल है।

Ø परिभाषाकार्यों की एक अनंत प्रणाली कहलाती है ओर्थोगोनलअगर पर

क्यू उदाहरणकार्यों की एक अनंत प्रणाली कार्यों की एक ऑर्थोगोनल प्रणाली नहीं बनाती है

क्यू उदाहरण -त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन प्रणालीइसके लिए ओर्थोगोनल कार्यों की एक प्रणाली बनाता है।

, , .

Ø परिभाषाकार्यों की एक मनमानी प्रणाली को ऑर्थोगोनल होने दें। पंक्ति

मनमाना संख्यात्मक गुणांक कहाँ कहलाते हैं? कार्यों की एक ऑर्थोगोनल प्रणाली के अनुसार एक दूसरे के बगल में।

Ø परिभाषाकार्यों की त्रिकोणमितीय प्रणाली के अनुसार श्रृंखला

बुलाया त्रिकोणमितीय श्रृंखला.

ü टिप्पणीयदि प्रत्येक बिंदु पर अभिसरण करने वाली त्रिकोणमितीय श्रृंखला का योग है, तो यह आवधिक है, क्योंकि, अवधि के साथ आवधिक कार्य हैं, फिर समानता में कुछ भी नहीं बदलेगा, इसलिए आवधिक।

ü टिप्पणीयदि खंड पर दिया गया है, लेकिन नहीं, तो निर्देशांक की उत्पत्ति को स्थानांतरित करके इसे अध्ययन किए गए मामले में कम किया जा सकता है।

ü टिप्पणीयदि आवर्त के साथ कोई आवर्त फलन नहीं है, तो इसे त्रिकोणमितीय श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है

क्यू प्रमेययदि कोई संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है, तो त्रिकोणमितीय श्रृंखला

संपूर्ण अक्ष पर बिल्कुल और समान रूप से अभिसरण होता है।

सबूत

इस तरह,

श्रृंखला - किसी दी गई त्रिकोणमितीय श्रृंखला को प्रमुख बनाती है, और वीयरस्ट्रैस के परीक्षण के अनुसार, समान रूप से अभिसरण करती है।

पूर्ण अभिसरण स्पष्ट है.

1.3 कार्यों की त्रिकोणमितीय प्रणाली के लिए फूरियर श्रृंखला

जीन बैप्टिस्ट जोसेफ फूरियर 1768 – 1830 – फ़्रांसीसी गणितज्ञ।

फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना करने के लिए, हम अभिन्नों की गणना करते हैं

, ,

क्यू प्रमेयअगर सबके लिए समानता हो

और त्रिकोणमितीय श्रृंखला संपूर्ण अक्ष पर समान रूप से परिवर्तित होती है, तो इस श्रृंखला के गुणांक निर्धारित किए जाते हैं

, ,

सबूत

श्रृंखला संपूर्ण संख्या रेखा पर समान रूप से अभिसरण करती है, इसके पद निरंतर फलन हैं, फिर इसका योग भी निरंतर है और श्रृंखला का पद-दर-अवधि एकीकरण संभव है

प्रत्येक अभिन्न शून्य के बराबर है, क्योंकि कार्यों की त्रिकोणमितीय प्रणाली ऑर्थोगोनल है, और फिर

इसे सिद्ध करने के लिए दोनों पक्षों को इससे गुणा करें

इससे श्रृंखला का एकसमान अभिसरण बाधित नहीं होगा।

श्रृंखला के एकसमान अभिसरण के कारण

और इसका अर्थ है श्रृंखला का एकसमान अभिसरण।

पर एकीकरण, हमारे पास है

कार्यों की त्रिकोणमितीय प्रणाली की रूढ़िवादिता के कारण

, , और से अभिन्न पर ,

, वह, आदि

आइए इसे याद रखें

इन समानताओं की वैधता त्रिकोणमितीय सूत्रों के इंटीग्रैंड के अनुप्रयोग से होती है।

का सूत्र इसी प्रकार सिद्ध किया जाता है।

ü टिप्पणीप्रमेय किसी भी अंतराल पर मान्य रहता है, और एकीकरण की सीमाएं क्रमशः और द्वारा प्रतिस्थापित की जाती हैं।

Ø परिभाषात्रिकोणमितीय श्रृंखला

जिनके गुणांक सूत्रों द्वारा निर्धारित होते हैं

, ,

बुलाया फूरियर के बगल मेंफ़ंक्शन के लिए, और गुणांकों को कहा जाता है फूरियर गुणांक.

यदि किसी फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला एफ(एक्स)निरंतरता के सभी बिंदुओं पर अभिसरण होता है, तो हम कहते हैं कि फ़ंक्शन f(x) को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया गया है।

ü टिप्पणीप्रत्येक त्रिकोणमिति श्रृंखला फूरियर श्रृंखला नहीं है, भले ही वह संपूर्ण संख्या रेखा पर अभिसरित हो।

एक गैर-समान रूप से अभिसरण श्रृंखला का योग असंतत हो सकता है और पूर्णांक नहीं हो सकता है, इसलिए फूरियर गुणांक का निर्धारण असंभव है।

ü टिप्पणीफूरियर श्रृंखला कार्यात्मक श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

1.4 फूरियर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के विस्तार के लिए पर्याप्त शर्तें

Ø परिभाषाफ़ंक्शन को कॉल किया जाता है खंड पर टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक,यदि इस खंड को अंकों की एक सीमित संख्या से विभाजित किया जा सकता है एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन-1अंतराल में ( ए,एक्स 1), (एक्स 1,एक्स 2), ..., (xn-1,बी) ताकि प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक हो, यानी, यह या तो बढ़ता नहीं है या घटता नहीं है।

ü टिप्पणीपरिभाषा से यह पता चलता है कि यदि कोई फ़ंक्शन टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक है और [से घिरा है ए,बी], तो इसमें केवल पहली तरह की असाततताएं हैं।

Ø परिभाषाफ़ंक्शन को कॉल किया जाता है टुकड़ों में चिकना, यदि प्रत्येक परिमित अंतराल पर इसके और इसके व्युत्पन्न में पहली तरह के असंततता बिंदुओं की अधिकतम एक सीमित संख्या हो।

क्यू प्रमेय (डिरिचलेट स्थिति)फूरियर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन की विघटनशीलता के लिए पर्याप्त शर्त): यदि एक अवधि के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन शर्तों में से एक को संतुष्ट करता है:

तब इस फ़ंक्शन के लिए निर्मित फूरियर श्रृंखला सभी बिंदुओं पर अभिसरण होती है

और संख्या में एकत्रित हो जाता है इसके असंततता के प्रत्येक बिंदु पर.

परिणामी श्रृंखला का योग फ़ंक्शन की निरंतरता के बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान के बराबर है

कार्य, उन्हें घटकों में विघटित करना। वैकल्पिक धाराएं और वोल्टेज, विस्थापन, गति और क्रैंक तंत्र और ध्वनिक तरंगों का त्वरण इंजीनियरिंग गणना में आवधिक कार्यों के उपयोग के विशिष्ट व्यावहारिक उदाहरण हैं।

सिनएक्स और कॉसएक्स के योग के माध्यम से मानक (=साधारण) संकेतन

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 synx+b 2 syn2x+b 3 syn3x+...,

जहां a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. वास्तविक स्थिरांक हैं, अर्थात्।

जहां, -π से π तक की सीमा के लिए, फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना सूत्रों का उपयोग करके की जाती है:

श्रृंखला लिखने का दूसरा तरीका संबंध acosx+bsinx=csin(x+α) का उपयोग करना है

f(x)=a o +c 1 पाप(x+α 1)+c 2 पाप(2x+α 2)+...+c n पाप(nx+α n)

अवधि 2π के साथ गैर-आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला।

फूरियर श्रृंखला में गैर-आवधिक कार्यों का विस्तार।

सम और विषम कार्य।

कई फलन न तो सम हैं और न ही विषम।

कोसाइन में फूरियर श्रृंखला का विस्तार।

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

इस तरह,

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहां हैं,

आधे चक्र पर फूरियर श्रृंखला।

यदि आप अपघटन प्राप्त करना चाहते हैं कोसाइन द्वारा अर्ध-चक्र फूरियरफ़ंक्शन f(x) 0 से π तक की सीमा में है, तो एक सम आवधिक फ़ंक्शन का निर्माण करना आवश्यक है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि सम फलन f(x) अक्ष के प्रति सममित है, हम रेखा AB खींचते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। नीचे। यदि हम मानते हैं कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी त्रिकोणीय आकार 2π की अवधि के साथ आवधिक है, तो अंतिम ग्राफ इस तरह दिखता है: चित्र में नीचे। चूँकि हमें कोसाइन में फूरियर विस्तार प्राप्त करने की आवश्यकता है, पहले की तरह, हम फूरियर गुणांक ए ओ और एन की गणना करते हैं

यदि आप 0 से π तक की सीमा में फ़ंक्शन f(x) प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको एक विषम आवधिक फ़ंक्शन बनाने की आवश्यकता है। चित्र में. नीचे फ़ंक्शन f(x)=x है, जो x=0 से x=π के अंतराल पर बनाया गया है। चूँकि विषम फलन मूल बिन्दु के प्रति सममित है, हम रेखा CD बनाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यदि हम मानते हैं कि विचारित अंतराल के बाहर परिणामी सॉटूथ सिग्नल 2π की अवधि के साथ आवधिक है, तो अंतिम ग्राफ़ में चित्र में दिखाया गया रूप है। चूँकि हमें पहले की तरह, साइन के संदर्भ में आधे चक्र के फूरियर विस्तार को प्राप्त करने की आवश्यकता है, हम फूरियर गुणांक की गणना करते हैं। बी

एक मनमाने अंतराल के लिए फूरियर श्रृंखला।

अवधि एल के साथ एक आवधिक फ़ंक्शन का विस्तार।

जैसे-जैसे x L से बढ़ता है, आवर्त फलन f(x) दोहराता है, अर्थात। f(x+L)=f(x). 2π की अवधि के साथ पहले से विचार किए गए कार्यों से एल की अवधि के साथ कार्यों में संक्रमण काफी सरल है, क्योंकि यह चर के परिवर्तन का उपयोग करके किया जा सकता है।

फूरियर श्रृंखला के गुणांक कहाँ हैं,

हालाँकि, अक्सर उपरोक्त सूत्र का परिणाम x पर निर्भरता होता है। चूँकि u=2πx/L, इसका अर्थ है du=(2π/L)dx, और एकीकरण की सीमाएं - π से π के बजाय -L/2 से L/2 तक हैं। नतीजतन, x पर निर्भरता के लिए फूरियर श्रृंखला का रूप है

जहां -L/2 से L/2 की सीमा में फूरियर श्रृंखला के गुणांक हैं,