इस पाठ में हम देखेंगे बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन, उनके गुण और ग्राफ़, और सूची भी त्रिकोणमितीय समीकरणों और प्रणालियों के बुनियादी प्रकार. इसके अलावा, हम संकेत देते हैं सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के सामान्य समाधान और उनके विशेष मामले.
यह पाठ आपको किसी एक प्रकार के कार्य के लिए तैयारी करने में मदद करेगा बी5 और सी1.
गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी
प्रयोग
पाठ 10. त्रिकोणमितीय फलन। त्रिकोणमितीय समीकरण और उनकी प्रणालियाँ।
लिखित
पाठ सारांश
हम पहले ही कई बार "त्रिकोणमितीय फलन" शब्द का प्रयोग कर चुके हैं। इस विषय के पहले पाठ में, हमने उन्हें एक समकोण त्रिभुज और एक इकाई त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके परिभाषित किया था। इन तरीकों का उपयोग करना त्रिकोणमितीय कार्य, हम पहले ही यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उनके लिए तर्क (या कोण) का एक मान फ़ंक्शन के बिल्कुल एक मान से मेल खाता है, यानी। हमें साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट फ़ंक्शन को कॉल करने का अधिकार है।
इस पाठ में, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना के लिए पहले चर्चा की गई विधियों से सार निकालने का प्रयास करने का समय आ गया है। आज हम फ़ंक्शंस के साथ काम करने के लिए सामान्य बीजगणितीय दृष्टिकोण पर आगे बढ़ेंगे, हम उनके गुणों को देखेंगे और ग्राफ़ चित्रित करेंगे।
जहाँ तक त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का प्रश्न है विशेष ध्यानध्यान दिया जाना चाहिए:
परिभाषा का क्षेत्र और मूल्यों की सीमा, क्योंकि साइन और कोसाइन के लिए मानों की सीमा पर प्रतिबंध हैं, और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषा की सीमा पर प्रतिबंध हैं;
सभी त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता, क्योंकि हमने पहले ही सबसे छोटे गैर-शून्य तर्क की उपस्थिति नोट कर ली है, जिसके जुड़ने से फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है। इस तर्क को फ़ंक्शन की अवधि कहा जाता है और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। साइन/कोसाइन और टेंगेंट/कोटैंजेंट के लिए ये अवधि अलग-अलग हैं।
फ़ंक्शन पर विचार करें:
1) परिभाषा का दायरा;
2) मूल्य सीमा 
;
3) फ़ंक्शन विषम है 
;
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, उस क्षेत्र की छवि के साथ निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो ग्राफ़ को ऊपर से संख्या 1 और नीचे से संख्या तक सीमित करता है, जो फ़ंक्शन के मानों की सीमा से जुड़ा होता है। इसके अलावा, निर्माण के लिए कई मुख्य तालिका कोणों की ज्याओं के मूल्यों को याद रखना उपयोगी है, उदाहरण के लिए, यह आपको ग्राफ़ की पहली पूर्ण "तरंग" बनाने और फिर इसे दाईं ओर फिर से बनाने की अनुमति देगा और बाईं ओर, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि चित्र को एक अवधि के बदलाव के साथ दोहराया जाएगा, अर्थात। पर ।
अब आइए फ़ंक्शन को देखें:
इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:
1) परिभाषा का दायरा;
2) मूल्य सीमा ;
3) सम कार्य 
इसका तात्पर्य यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कोटि के बारे में सममित है;
4) फ़ंक्शन अपनी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में एकरस नहीं है;
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। साइन का निर्माण करते समय, उस क्षेत्र की एक छवि के साथ शुरू करना सुविधाजनक होता है जो ग्राफ़ को शीर्ष पर संख्या 1 के साथ और नीचे संख्या के साथ सीमित करता है, जो फ़ंक्शन के मानों की सीमा से जुड़ा होता है। हम ग्राफ़ पर कई बिंदुओं के निर्देशांक भी प्लॉट करेंगे, जिसके लिए हमें कई मुख्य तालिका कोणों के कोसाइन के मानों को याद रखना होगा, उदाहरण के लिए, इन बिंदुओं की सहायता से हम पहली पूर्ण "तरंग" बना सकते हैं ग्राफ़ का "और फिर इसे दाईं और बाईं ओर फिर से बनाएं, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि चित्र एक अवधि बदलाव के साथ दोहराएगा, यानी। पर ।
आइए फ़ंक्शन पर आगे बढ़ें:
इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:
1) डोमेन सिवाय , कहाँ . हम पिछले पाठों में पहले ही बता चुके हैं कि इसका अस्तित्व नहीं है। स्पर्शरेखा अवधि पर विचार करके इस कथन को सामान्यीकृत किया जा सकता है;
2) मूल्यों की सीमा, अर्थात्। स्पर्शरेखा मान सीमित नहीं हैं;
3) फ़ंक्शन विषम है 
;
4) फ़ंक्शन अपनी तथाकथित स्पर्शरेखा शाखाओं के भीतर नीरस रूप से बढ़ता है, जिसे अब हम चित्र में देखेंगे;
5) फलन एक अवधि के साथ आवधिक है
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, उन बिंदुओं पर ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी को चित्रित करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो परिभाषा डोमेन में शामिल नहीं हैं, यानी। वगैरह। इसके बाद, हम अनंतस्पर्शी द्वारा बनाई गई प्रत्येक पट्टी के अंदर स्पर्शरेखा की शाखाओं को चित्रित करते हैं, उन्हें बाएं अनंतस्पर्शी और दाईं ओर दबाते हैं। साथ ही, यह न भूलें कि प्रत्येक शाखा एकरस रूप से बढ़ती है। हम सभी शाखाओं को एक ही तरह से चित्रित करते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन की अवधि बराबर होती है। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि प्रत्येक शाखा पड़ोसी को एब्सिस्सा अक्ष के साथ स्थानांतरित करके प्राप्त की जाती है।
और हम फ़ंक्शन पर एक नज़र डालकर समाप्त करते हैं:
इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:
1) डोमेन को छोड़कर , कहाँ . त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की तालिका से, हम पहले से ही जानते हैं कि इसका अस्तित्व नहीं है। कोटैंजेंट अवधि पर विचार करके इस कथन को सामान्यीकृत किया जा सकता है;
2) मूल्यों की सीमा, अर्थात्। कोटैंजेंट मान सीमित नहीं हैं;
3) फ़ंक्शन विषम है 
;
4) फ़ंक्शन अपनी शाखाओं के भीतर नीरस रूप से घटता है, जो स्पर्शरेखा शाखाओं के समान होते हैं;
5) फलन एक अवधि के साथ आवधिक है
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, जहां तक स्पर्शरेखा की बात है, तो ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों को उन बिंदुओं पर चित्रित करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो परिभाषा क्षेत्र में शामिल नहीं हैं, यानी। वगैरह। इसके बाद, हम अनंतस्पर्शी द्वारा बनाई गई प्रत्येक धारियों के अंदर कोटैंजेंट की शाखाओं को चित्रित करते हैं, उन्हें बाएं अनंतस्पर्शी और दाईं ओर दबाते हैं। इस मामले में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि प्रत्येक शाखा नीरस रूप से घटती है। हम सभी शाखाओं को समान रूप से स्पर्शरेखा के समान चित्रित करते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन की अवधि बराबर होती है।
अलग से, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जटिल तर्कों वाले त्रिकोणमितीय कार्यों में एक गैर-मानक अवधि हो सकती है। हम प्रपत्र के कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं:
उनकी अवधि बराबर है. और कार्यों के बारे में:
उनकी अवधि बराबर है.
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक नई अवधि की गणना करने के लिए, मानक अवधि को केवल तर्क में कारक से विभाजित किया जाता है। यह फ़ंक्शन के अन्य संशोधनों पर निर्भर नहीं है।
आप फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाने और बदलने के पाठ में अधिक विस्तार से समझ सकते हैं और समझ सकते हैं कि ये सूत्र कहाँ से आते हैं।
हम "त्रिकोणमिति" विषय के सबसे महत्वपूर्ण भागों में से एक पर आ गए हैं, जिसे हम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित करेंगे। ऐसे समीकरणों को हल करने की क्षमता महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, भौतिकी में दोलन प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय। आइए कल्पना करें कि आपने एक स्पोर्ट्स कार में गो-कार्ट में कुछ चक्कर लगाए हैं; त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने से आपको यह निर्धारित करने में मदद मिलेगी कि आप ट्रैक पर कार की स्थिति के आधार पर कितनी देर तक दौड़ रहे हैं।
आइए सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण लिखें:
ऐसे समीकरण का हल वे तर्क हैं जिनकी ज्या के बराबर है। लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि साइन की आवधिकता के कारण ऐसे तर्कों की संख्या अनंत है। इस प्रकार, इस समीकरण का हल होगा, आदि। यही बात किसी अन्य सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने पर भी लागू होती है, उनकी संख्या अनंत होगी;
त्रिकोणमितीय समीकरणों को कई मुख्य प्रकारों में विभाजित किया गया है। अलग से, हमें सबसे सरल बातों पर ध्यान देना चाहिए, क्योंकि बाकी सब कुछ उनके पास आता है। ऐसे चार समीकरण हैं (बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की संख्या के अनुसार)। उनके लिए सामान्य समाधान ज्ञात हैं, उन्हें याद रखा जाना चाहिए।
सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण और उनके सामान्य समाधानऐसे दिखते हैं:
कृपया ध्यान दें कि साइन और कोसाइन के मूल्यों को हमें ज्ञात सीमाओं को ध्यान में रखना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण का कोई समाधान नहीं है और निर्दिष्ट सूत्र लागू नहीं किया जाना चाहिए।
इसके अलावा, निर्दिष्ट रूट सूत्रों में एक मनमाना पूर्णांक के रूप में एक पैरामीटर होता है। में स्कूल के पाठ्यक्रमयह एकमात्र मामला है जब किसी पैरामीटर के बिना समीकरण के समाधान में एक पैरामीटर होता है। यह मनमाना पूर्णांक दर्शाता है कि सभी पूर्णांकों को बारी-बारी से प्रतिस्थापित करके उपरोक्त किसी भी समीकरण के मूलों की अनंत संख्या को लिखना संभव है।
आप 10वीं कक्षा के बीजगणित कार्यक्रम में "त्रिकोणमितीय समीकरण" अध्याय को दोहराकर इन सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति से परिचित हो सकते हैं।
अलग से, साइन और कोसाइन के साथ सरलतम समीकरणों के विशेष मामलों को हल करने पर ध्यान देना आवश्यक है। ये समीकरण इस प्रकार दिखते हैं:
उन पर सूत्र ढूँढना लागू नहीं किया जाना चाहिए सामान्य समाधान. ऐसे समीकरणों को त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके सबसे आसानी से हल किया जाता है, जो सामान्य समाधान सूत्रों की तुलना में सरल परिणाम देता है।
उदाहरण के लिए, समीकरण का हल है 
. इस उत्तर को स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें और संकेतित शेष समीकरणों को हल करें।
संकेतित सबसे सामान्य प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों के अलावा, कई और मानक समीकरण भी हैं। हम उन्हें उन बातों को ध्यान में रखते हुए सूचीबद्ध करते हैं जिन्हें हम पहले ही इंगित कर चुके हैं:
1) प्रोटोजोआ, उदाहरण के लिए, ;
2) सरलतम समीकरणों के विशेष मामले, उदाहरण के लिए, ;
3) जटिल तर्क वाले समीकरण, उदाहरण के लिए, 
;
4) एक सामान्य गुणनखंड को हटाकर समीकरणों को सरलतम बना दिया जाता है, उदाहरण के लिए, ;
5) त्रिकोणमितीय फलनों को रूपांतरित करके समीकरणों को सरलतम बनाया गया, उदाहरण के लिए, ;
6) प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों को उनके सरलतम में घटाया गया, उदाहरण के लिए, ;
7) सजातीय समीकरण , उदाहरण के लिए, ;
8) समीकरण जिन्हें फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 
. इस तथ्य से चिंतित न हों कि इस समीकरण में दो चर हैं; यह स्वयं ही हल हो जाता है;
साथ ही ऐसे समीकरण जिनका उपयोग करके हल किया जा सकता है विभिन्न तरीके.
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के अलावा, आपको उनके सिस्टम को हल करने में भी सक्षम होना चाहिए।
सिस्टम के सबसे सामान्य प्रकार हैं:
1) जिसमें से एक समीकरण शक्ति है, उदाहरण के लिए, 
;
2) सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों की प्रणाली, उदाहरण के लिए, 
.
आज के पाठ में हमने बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों, उनके गुणों और ग्राफ़ को देखा। हम भी मिले सामान्य सूत्रसरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान, ऐसे समीकरणों के मुख्य प्रकार और उनकी प्रणालियों को दर्शाते हैं।
पाठ के व्यावहारिक भाग में, हम त्रिकोणमितीय समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के तरीकों की जाँच करेंगे।
बॉक्स 1.सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामलों को हल करना.
जैसा कि हमने पाठ के मुख्य भाग में पहले ही कहा है, साइन और कोसाइन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले:
और लें सरल उपाय, सामान्य समाधान के सूत्र क्या देते हैं।
इसके लिए त्रिकोणमितीय वृत्त का प्रयोग किया जाता है। आइए समीकरण के उदाहरण का उपयोग करके उन्हें हल करने की विधि का विश्लेषण करें।
आइए हम त्रिकोणमितीय वृत्त पर उस बिंदु को चित्रित करें जिस पर कोसाइन मान शून्य है, जो भुज अक्ष के साथ निर्देशांक भी है। जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे दो बिंदु हैं। हमारा कार्य यह इंगित करना है कि वृत्त पर इन बिंदुओं से मेल खाने वाला कोण किसके बराबर है।
 |
हम भुज अक्ष (कोसाइन अक्ष) की सकारात्मक दिशा से गिनती शुरू करते हैं और कोण निर्धारित करते समय हम पहले चित्रित बिंदु पर पहुंचते हैं, यानी। एक समाधान यह कोण मान होगा। लेकिन हम अभी भी उस कोण से संतुष्ट हैं जो दूसरे बिंदु से मेल खाता है। इसमें कैसे प्रवेश करें?
इस पाठ में हम देखेंगे बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन, उनके गुण और ग्राफ़, और सूची भी त्रिकोणमितीय समीकरणों और प्रणालियों के बुनियादी प्रकार. इसके अलावा, हम संकेत देते हैं सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के सामान्य समाधान और उनके विशेष मामले.
यह पाठ आपको किसी एक प्रकार के कार्य के लिए तैयारी करने में मदद करेगा बी5 और सी1.
गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी
प्रयोग
पाठ 10. त्रिकोणमितीय फलन। त्रिकोणमितीय समीकरण और उनकी प्रणालियाँ।
लिखित
पाठ सारांश
हम पहले ही कई बार "त्रिकोणमितीय फलन" शब्द का प्रयोग कर चुके हैं। इस विषय के पहले पाठ में, हमने उन्हें एक समकोण त्रिभुज और एक इकाई त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके परिभाषित किया था। त्रिकोणमितीय कार्यों को निर्दिष्ट करने के इन तरीकों का उपयोग करके, हम पहले से ही यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उनके लिए तर्क (या कोण) का एक मान फ़ंक्शन के बिल्कुल एक मान से मेल खाता है, यानी। हमें साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट फ़ंक्शन को कॉल करने का अधिकार है।
इस पाठ में, त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना के लिए पहले चर्चा की गई विधियों से सार निकालने का प्रयास करने का समय आ गया है। आज हम फ़ंक्शंस के साथ काम करने के लिए सामान्य बीजगणितीय दृष्टिकोण पर आगे बढ़ेंगे, हम उनके गुणों को देखेंगे और ग्राफ़ चित्रित करेंगे।
त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणों के संबंध में, विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए:
परिभाषा का क्षेत्र और मूल्यों की सीमा, क्योंकि साइन और कोसाइन के लिए मानों की सीमा पर प्रतिबंध हैं, और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषा की सीमा पर प्रतिबंध हैं;
सभी त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता, क्योंकि हमने पहले ही सबसे छोटे गैर-शून्य तर्क की उपस्थिति नोट कर ली है, जिसके जुड़ने से फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है। इस तर्क को फ़ंक्शन की अवधि कहा जाता है और इसे अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। साइन/कोसाइन और टेंगेंट/कोटैंजेंट के लिए ये अवधि अलग-अलग हैं।
फ़ंक्शन पर विचार करें:
1) परिभाषा का दायरा;
2) मूल्य सीमा ;
3) फ़ंक्शन विषम है ;
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, उस क्षेत्र की छवि के साथ निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो ग्राफ़ को ऊपर से संख्या 1 और नीचे से संख्या तक सीमित करता है, जो फ़ंक्शन के मानों की सीमा से जुड़ा होता है। इसके अलावा, निर्माण के लिए कई मुख्य तालिका कोणों की ज्याओं के मूल्यों को याद रखना उपयोगी है, उदाहरण के लिए, यह आपको ग्राफ़ की पहली पूर्ण "तरंग" बनाने और फिर इसे दाईं ओर फिर से बनाने की अनुमति देगा और बाईं ओर, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि चित्र को एक अवधि के बदलाव के साथ दोहराया जाएगा, अर्थात। पर ।
अब आइए फ़ंक्शन को देखें:
इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:
1) परिभाषा का दायरा;
2) मूल्य सीमा ;
3) सम कार्य इसका तात्पर्य यह है कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कोटि के बारे में सममित है;
4) फ़ंक्शन अपनी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में एकरस नहीं है;
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। साइन का निर्माण करते समय, उस क्षेत्र की एक छवि के साथ शुरू करना सुविधाजनक होता है जो ग्राफ़ को शीर्ष पर संख्या 1 के साथ और नीचे संख्या के साथ सीमित करता है, जो फ़ंक्शन के मानों की सीमा से जुड़ा होता है। हम ग्राफ़ पर कई बिंदुओं के निर्देशांक भी प्लॉट करेंगे, जिसके लिए हमें कई मुख्य तालिका कोणों के कोसाइन के मानों को याद रखना होगा, उदाहरण के लिए, इन बिंदुओं की सहायता से हम पहली पूर्ण "तरंग" बना सकते हैं ग्राफ़ का "और फिर इसे दाईं और बाईं ओर फिर से बनाएं, इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि चित्र एक अवधि बदलाव के साथ दोहराएगा, यानी। पर ।
आइए फ़ंक्शन पर आगे बढ़ें:
इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:
1) डोमेन सिवाय , कहाँ . हम पिछले पाठों में पहले ही बता चुके हैं कि इसका अस्तित्व नहीं है। स्पर्शरेखा अवधि पर विचार करके इस कथन को सामान्यीकृत किया जा सकता है;
2) मूल्यों की सीमा, अर्थात्। स्पर्शरेखा मान सीमित नहीं हैं;
3) फ़ंक्शन विषम है ;
4) फ़ंक्शन अपनी तथाकथित स्पर्शरेखा शाखाओं के भीतर नीरस रूप से बढ़ता है, जिसे अब हम चित्र में देखेंगे;
5) फलन एक अवधि के साथ आवधिक है
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, उन बिंदुओं पर ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी को चित्रित करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो परिभाषा डोमेन में शामिल नहीं हैं, यानी। वगैरह। इसके बाद, हम अनंतस्पर्शी द्वारा बनाई गई प्रत्येक पट्टी के अंदर स्पर्शरेखा की शाखाओं को चित्रित करते हैं, उन्हें बाएं अनंतस्पर्शी और दाईं ओर दबाते हैं। साथ ही, यह न भूलें कि प्रत्येक शाखा एकरस रूप से बढ़ती है। हम सभी शाखाओं को एक ही तरह से चित्रित करते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन की अवधि बराबर होती है। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि प्रत्येक शाखा पड़ोसी को एब्सिस्सा अक्ष के साथ स्थानांतरित करके प्राप्त की जाती है।
और हम फ़ंक्शन पर एक नज़र डालकर समाप्त करते हैं:
इस फ़ंक्शन के मुख्य गुण:
1) डोमेन को छोड़कर , कहाँ . त्रिकोणमितीय फलनों के मानों की तालिका से, हम पहले से ही जानते हैं कि इसका अस्तित्व नहीं है। कोटैंजेंट अवधि पर विचार करके इस कथन को सामान्यीकृत किया जा सकता है;
2) मूल्यों की सीमा, अर्थात्। कोटैंजेंट मान सीमित नहीं हैं;
3) फ़ंक्शन विषम है ;
4) फ़ंक्शन अपनी शाखाओं के भीतर नीरस रूप से घटता है, जो स्पर्शरेखा शाखाओं के समान होते हैं;
5) फलन एक अवधि के साथ आवधिक है
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। इस मामले में, जहां तक स्पर्शरेखा की बात है, तो ग्राफ़ के ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों को उन बिंदुओं पर चित्रित करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है जो परिभाषा क्षेत्र में शामिल नहीं हैं, यानी। वगैरह। इसके बाद, हम अनंतस्पर्शी द्वारा बनाई गई प्रत्येक धारियों के अंदर कोटैंजेंट की शाखाओं को चित्रित करते हैं, उन्हें बाएं अनंतस्पर्शी और दाईं ओर दबाते हैं। इस मामले में, हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि प्रत्येक शाखा नीरस रूप से घटती है। हम सभी शाखाओं को समान रूप से स्पर्शरेखा के समान चित्रित करते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन की अवधि बराबर होती है।
अलग से, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जटिल तर्कों वाले त्रिकोणमितीय कार्यों में एक गैर-मानक अवधि हो सकती है। हम प्रपत्र के कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं:
उनकी अवधि बराबर है. और कार्यों के बारे में:
उनकी अवधि बराबर है.
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक नई अवधि की गणना करने के लिए, मानक अवधि को केवल तर्क में कारक से विभाजित किया जाता है। यह फ़ंक्शन के अन्य संशोधनों पर निर्भर नहीं है।
आप फ़ंक्शंस के ग्राफ़ बनाने और बदलने के पाठ में अधिक विस्तार से समझ सकते हैं और समझ सकते हैं कि ये सूत्र कहाँ से आते हैं।
हम "त्रिकोणमिति" विषय के सबसे महत्वपूर्ण भागों में से एक पर आ गए हैं, जिसे हम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित करेंगे। ऐसे समीकरणों को हल करने की क्षमता महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, भौतिकी में दोलन प्रक्रियाओं का वर्णन करते समय। आइए कल्पना करें कि आपने एक स्पोर्ट्स कार में गो-कार्ट में कुछ चक्कर लगाए हैं; त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने से आपको यह निर्धारित करने में मदद मिलेगी कि आप ट्रैक पर कार की स्थिति के आधार पर कितनी देर तक दौड़ रहे हैं।
आइए सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण लिखें:
ऐसे समीकरण का हल वे तर्क हैं जिनकी ज्या के बराबर है। लेकिन हम पहले से ही जानते हैं कि साइन की आवधिकता के कारण ऐसे तर्कों की संख्या अनंत है। इस प्रकार, इस समीकरण का हल होगा, आदि। यही बात किसी अन्य सरल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने पर भी लागू होती है, उनकी संख्या अनंत होगी;
त्रिकोणमितीय समीकरणों को कई मुख्य प्रकारों में विभाजित किया गया है। अलग से, हमें सबसे सरल बातों पर ध्यान देना चाहिए, क्योंकि बाकी सब कुछ उनके पास आता है। ऐसे चार समीकरण हैं (बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की संख्या के अनुसार)। उनके लिए सामान्य समाधान ज्ञात हैं, उन्हें याद रखा जाना चाहिए।
सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरण और उनके सामान्य समाधानऐसे दिखते हैं:
कृपया ध्यान दें कि साइन और कोसाइन के मूल्यों को हमें ज्ञात सीमाओं को ध्यान में रखना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि समीकरण का कोई समाधान नहीं है और निर्दिष्ट सूत्र लागू नहीं किया जाना चाहिए।
इसके अलावा, निर्दिष्ट रूट सूत्रों में एक मनमाना पूर्णांक के रूप में एक पैरामीटर होता है। स्कूली पाठ्यक्रम में, यह एकमात्र मामला है जब किसी पैरामीटर के बिना किसी समीकरण के समाधान में एक पैरामीटर होता है। यह मनमाना पूर्णांक दर्शाता है कि सभी पूर्णांकों को बारी-बारी से प्रतिस्थापित करके उपरोक्त किसी भी समीकरण के मूलों की अनंत संख्या को लिखना संभव है।
आप 10वीं कक्षा के बीजगणित कार्यक्रम में "त्रिकोणमितीय समीकरण" अध्याय को दोहराकर इन सूत्रों की विस्तृत व्युत्पत्ति से परिचित हो सकते हैं।
अलग से, साइन और कोसाइन के साथ सरलतम समीकरणों के विशेष मामलों को हल करने पर ध्यान देना आवश्यक है। ये समीकरण इस प्रकार दिखते हैं:
सामान्य समाधान खोजने के सूत्र उन पर लागू नहीं होने चाहिए। ऐसे समीकरणों को त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग करके सबसे आसानी से हल किया जाता है, जो सामान्य समाधान सूत्रों की तुलना में सरल परिणाम देता है।
उदाहरण के लिए, समीकरण का हल है . इस उत्तर को स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें और संकेतित शेष समीकरणों को हल करें।
संकेतित सबसे सामान्य प्रकार के त्रिकोणमितीय समीकरणों के अलावा, कई और मानक समीकरण भी हैं। हम उन्हें उन बातों को ध्यान में रखते हुए सूचीबद्ध करते हैं जिन्हें हम पहले ही इंगित कर चुके हैं:
1) प्रोटोजोआ, उदाहरण के लिए, ;
2) सरलतम समीकरणों के विशेष मामले, उदाहरण के लिए, ;
3) जटिल तर्क वाले समीकरण, उदाहरण के लिए, ;
4) एक सामान्य गुणनखंड को हटाकर समीकरणों को सरलतम बना दिया जाता है, उदाहरण के लिए, ;
5) त्रिकोणमितीय फलनों को रूपांतरित करके समीकरणों को सरलतम बनाया गया, उदाहरण के लिए, ;
6) प्रतिस्थापन द्वारा समीकरणों को उनके सरलतम में घटाया गया, उदाहरण के लिए, ;
7) सजातीय समीकरण, उदाहरण के लिए, ;
8) समीकरण जिन्हें फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, . इस तथ्य से चिंतित न हों कि इस समीकरण में दो चर हैं; यह स्वयं ही हल हो जाता है;
साथ ही ऐसे समीकरण जिन्हें विभिन्न विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है।
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के अलावा, आपको उनके सिस्टम को हल करने में भी सक्षम होना चाहिए।
सिस्टम के सबसे सामान्य प्रकार हैं:
1) जिसमें से एक समीकरण शक्ति है, उदाहरण के लिए, ;
2) सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों की प्रणाली, उदाहरण के लिए, .
आज के पाठ में हमने बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों, उनके गुणों और ग्राफ़ को देखा। हम सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के सामान्य सूत्रों से भी परिचित हुए, ऐसे समीकरणों के मुख्य प्रकारों और उनकी प्रणालियों का संकेत दिया।
पाठ के व्यावहारिक भाग में, हम त्रिकोणमितीय समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के तरीकों की जाँच करेंगे।
बॉक्स 1.सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामलों को हल करना.
जैसा कि हमने पाठ के मुख्य भाग में पहले ही कहा है, साइन और कोसाइन के साथ त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले:
सामान्य समाधान सूत्रों द्वारा दिए गए समाधानों की तुलना में इनका समाधान अधिक सरल है।
इसके लिए त्रिकोणमितीय वृत्त का प्रयोग किया जाता है। आइए समीकरण के उदाहरण का उपयोग करके उन्हें हल करने की विधि का विश्लेषण करें।
आइए हम त्रिकोणमितीय वृत्त पर उस बिंदु को चित्रित करें जिस पर कोसाइन मान शून्य है, जो भुज अक्ष के साथ निर्देशांक भी है। जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे दो बिंदु हैं। हमारा कार्य यह इंगित करना है कि वृत्त पर इन बिंदुओं से मेल खाने वाला कोण किसके बराबर है।
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हम भुज अक्ष (कोसाइन अक्ष) की सकारात्मक दिशा से गिनती शुरू करते हैं और कोण निर्धारित करते समय हम पहले चित्रित बिंदु पर पहुंचते हैं, यानी। एक समाधान यह कोण मान होगा। लेकिन हम अभी भी उस कोण से संतुष्ट हैं जो दूसरे बिंदु से मेल खाता है। इसमें कैसे प्रवेश करें?
1. त्रिकोणमितीय कार्यप्रतिनिधित्व करना प्राथमिक कार्य, किसका तर्क है कोना. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन एक समकोण त्रिभुज में भुजाओं और न्यून कोणों के बीच संबंधों का वर्णन करते हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के अनुप्रयोग के क्षेत्र अत्यंत विविध हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी आवधिक प्रक्रिया को त्रिकोणमितीय कार्यों (फूरियर श्रृंखला) के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। ये फ़ंक्शन अक्सर अंतर और कार्यात्मक समीकरणों को हल करते समय दिखाई देते हैं।
2. त्रिकोणमितीय कार्यों में निम्नलिखित 6 कार्य शामिल हैं: साइनस, कोज्या, स्पर्शरेखा,कोटैंजेंट, काटनेवालाऔर cosecant. प्रत्येक के लिए निर्दिष्ट कार्यएक व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन है।
3. इसका उपयोग करके त्रिकोणमितीय फलनों की ज्यामितीय परिभाषा प्रस्तुत करना सुविधाजनक है इकाई चक्र. नीचे दिया गया चित्र त्रिज्या r=1 वाला एक वृत्त दिखाता है। वृत्त पर बिंदु M(x,y) अंकित है। त्रिज्या वेक्टर OM और ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के बीच का कोण α के बराबर है।
4. साइनसकोण α, बिंदु M(x,y) की कोटि y और त्रिज्या r का अनुपात है:
पापα=y/r.
चूँकि r=1, तो ज्या बिंदु M(x,y) की कोटि के बराबर है।
5. कोज्याकोण α, बिंदु M(x,y) के भुज x और त्रिज्या r का अनुपात है:
cosα=x/r
6. स्पर्शरेखाकोण α एक बिंदु M(x,y) की कोटि y और उसके भुज x का अनुपात है:
tanα=y/x,x≠0
7. कोटैंजेंटकोण α एक बिंदु M(x,y) के भुज x और उसकी कोटि y का अनुपात है:
cotα=x/y,y≠0
8. काटनेवालाकोण α त्रिज्या r और बिंदु M(x,y) के भुज x का अनुपात है:
secα=r/x=1/x,x≠0
9. cosecantकोण α त्रिज्या r और बिंदु M(x,y) की कोटि y का अनुपात है:
cscα=r/y=1/y,y≠0
10. इकाई वृत्त में, प्रक्षेपण x, y, बिंदु M(x,y) और त्रिज्या r एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, जिसमें x,y पैर हैं, और r कर्ण है। इसलिए, परिशिष्ट में त्रिकोणमितीय कार्यों की उपरोक्त परिभाषाएँ सही त्रिकोणनिम्नानुसार तैयार किए गए हैं:
साइनसकोण α कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है।
कोज्याकोण α आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है।
स्पर्शरेखाकोण α को आसन्न पैर का विपरीत पैर कहा जाता है।
कोटैंजेंटकोण α को विपरीत भुजा की आसन्न भुजा कहा जाता है।
काटनेवालाकोण α कर्ण और आसन्न पैर का अनुपात है।
cosecantकोण α कर्ण और विपरीत भुजा का अनुपात है।
11. साइन फ़ंक्शन का ग्राफ़
y=sinx, परिभाषा का क्षेत्र: x∈R, मानों की सीमा: −1≤sinx≤1
12. कोसाइन फ़ंक्शन का ग्राफ़
y=cosx, डोमेन: x∈R, रेंज: −1≤cosx≤1
13. स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ 14. कोटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़ 15. सेकेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़
y=tanx, डोमेन: x∈R,x≠(2k+1)π/2, रेंज: −∞ 
y=cotx, डोमेन: x∈R,x≠kπ, रेंज: −∞ 
y=secx, डोमेन: x∈R,x≠(2k+1)π/2, रेंज: secx∈(−∞,−1]∪∪)
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