लघुगणक क्या मान ले सकता है? शक्ति श्रृंखला विस्तार

के संदर्भ में

दी गई अन्य दो संख्याओं में से किसी भी तीन संख्या को खोजने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। यदि ए और फिर एन दिया गया है, तो वे घातांक द्वारा पाए जाते हैं। यदि N और फिर a को घात x का मूल लेकर (या इसे घात तक बढ़ाकर) दिया जाता है। अब उस मामले पर विचार करें, जब ए और एन दिए जाने पर, हमें एक्स खोजने की जरूरत है।

माना कि संख्या N धनात्मक है: संख्या a धनात्मक है और एक के बराबर नहीं है:।

परिभाषा। आधार a पर संख्या N का लघुगणक वह घातांक है जिस पर संख्या N प्राप्त करने के लिए a को उठाया जाना चाहिए; लघुगणक द्वारा निरूपित किया जाता है

इस प्रकार, समानता (26.1) में घातांक को आधार a के लघुगणक N के रूप में पाया जाता है। पदों

एक ही अर्थ है. समानता (26.1) को कभी-कभी लघुगणक के सिद्धांत की मुख्य पहचान कहा जाता है; वास्तव में यह लघुगणक की अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करता है। द्वारा यह परिभाषालघुगणक का आधार हमेशा सकारात्मक और एकता से भिन्न होता है; लघुगणकीय संख्या N धनात्मक है। ऋणात्मक संख्याओं और शून्य में कोई लघुगणक नहीं होता। यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी दिए गए आधार वाली किसी भी संख्या में एक अच्छी तरह से परिभाषित लघुगणक होता है। इसलिए समानता आवश्यक है. ध्यान दें कि शर्त यहां आवश्यक है; अन्यथा, निष्कर्ष उचित नहीं होगा, क्योंकि समानता x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है।

उदाहरण 1. खोजें

समाधान। कोई संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको आधार 2 को घात तक बढ़ाना होगा।

ऐसे उदाहरणों को हल करते समय आप निम्नलिखित रूप में नोट्स बना सकते हैं:

उदाहरण 2. खोजें ।

समाधान। हमारे पास है

उदाहरण 1 और 2 में, हमने तर्कसंगत घातांक के साथ आधार की शक्ति के रूप में लघुगणक संख्या का प्रतिनिधित्व करके आसानी से वांछित लघुगणक पाया। में सामान्य मामला, उदाहरण के लिए, आदि के लिए, ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि लघुगणक का एक अपरिमेय मान होता है। आइए इस बयान से जुड़े एक मुद्दे पर ध्यान दें. पैराग्राफ 12 में, हमने किसी दिए गए सकारात्मक संख्या की किसी भी वास्तविक शक्ति को निर्धारित करने की संभावना की अवधारणा दी। लघुगणक की शुरूआत के लिए यह आवश्यक था, जो सामान्यतः अपरिमेय संख्याएँ हो सकती हैं।

आइए लघुगणक के कुछ गुणों पर नजर डालें।

संपत्ति 1. यदि संख्या और आधार बराबर हैं, तो लघुगणक एक के बराबर है, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक एक के बराबर है, तो संख्या और आधार बराबर हैं।

सबूत। चलो एक लघुगणक की परिभाषा से हमारे पास है और कहाँ से

इसके विपरीत, परिभाषा के अनुसार फिर चलो

गुण 2. किसी भी आधार का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।

सबूत। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार (किसी भी धनात्मक आधार की शून्य घात एक के बराबर होती है, देखें (10.1))। यहाँ से

क्यू.ई.डी.

विपरीत कथन भी सत्य है: यदि, तो N = 1. वास्तव में, हमारे पास है।

लघुगणक की अगली संपत्ति तैयार करने से पहले, आइए हम यह कहने के लिए सहमत हों कि दो संख्याएँ a और b तीसरी संख्या c के एक ही तरफ स्थित हैं यदि वे दोनों c से बड़े हैं या c से कम हैं। यदि इनमें से एक संख्या c से बड़ी है और दूसरी c से कम है, तो हम कहेंगे कि वे c के विपरीत दिशा में स्थित हैं।

गुण 3. यदि संख्या और आधार एक ही तरफ हों, तो लघुगणक धनात्मक होता है; यदि संख्या और आधार एक के विपरीत दिशा में स्थित हैं, तो लघुगणक ऋणात्मक होता है।

गुण 3 का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक सकारात्मक है या आधार एक से कम है और घातांक नकारात्मक है तो a की घात एक से अधिक है। एक घात एक से कम है यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक नकारात्मक है या आधार एक से कम है और घातांक सकारात्मक है।

विचार करने के लिए चार मामले हैं:

हम उनमें से पहले का विश्लेषण करने तक ही सीमित रहेंगे; बाकी पर पाठक स्वयं विचार करेगा।

मान लीजिए कि समानता में घातांक न तो नकारात्मक हो सकता है और न ही शून्य के बराबर हो सकता है, इसलिए, यह सकारात्मक है, अर्थात, जैसा कि सिद्ध किया जाना आवश्यक है।

उदाहरण 3. पता लगाएं कि नीचे दिए गए लघुगणक में से कौन सा सकारात्मक है और कौन सा नकारात्मक है:

समाधान, ए) चूँकि संख्या 15 और आधार 12 एक ही तरफ स्थित हैं;

बी) चूंकि 1000 और 2 इकाई के एक तरफ स्थित हैं; इस मामले में, यह महत्वपूर्ण नहीं है कि आधार लघुगणकीय संख्या से बड़ा हो;

ग) चूँकि 3.1 और 0.8 एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं;

जी) ; क्यों?

डी) ; क्यों?

निम्नलिखित गुण 4-6 को अक्सर लघुगणक के नियम कहा जाता है: वे कुछ संख्याओं के लघुगणक को जानकर, उनमें से प्रत्येक के उत्पाद, भागफल और डिग्री के लघुगणक को खोजने की अनुमति देते हैं।

संपत्ति 4 (उत्पाद लघुगणक नियम)। अनेक धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक यह आधार योग के बराबरइन संख्याओं के लघुगणक एक ही आधार पर।

सबूत। माना कि दी गई संख्याएँ धनात्मक हैं।

उनके उत्पाद के लघुगणक के लिए, हम समानता (26.1) लिखते हैं जो लघुगणक को परिभाषित करता है:

यहां से हम ढूंढ लेंगे

पहले और अंतिम भाव के घातांकों की तुलना करने पर, हमें आवश्यक समानता प्राप्त होती है:

ध्यान दें कि शर्त आवश्यक है; दो ऋणात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक समझ में आता है, लेकिन इस मामले में हमें मिलता है

सामान्य तौर पर, यदि कई कारकों का गुणनफल सकारात्मक है, तो इसका लघुगणक इन कारकों के निरपेक्ष मानों के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

गुण 5 (भागफल का लघुगणक लेने का नियम)। धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक एक ही आधार पर लिए गए लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। सबूत। हम लगातार पाते हैं

क्यू.ई.डी.

संपत्ति 6 ​​(शक्ति लघुगणक नियम)। किसी भी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक उस संख्या के घातांक से गुणा किये गये लघुगणक के बराबर होता है।

सबूत। आइए संख्या के लिए मुख्य पहचान (26.1) फिर से लिखें:

क्यू.ई.डी.

परिणाम। किसी धनात्मक संख्या के मूल का लघुगणक मूल के घातांक से विभाजित मूलांक के लघुगणक के बराबर होता है:

इस परिणाम की वैधता को कैसे और संपत्ति 6 ​​का उपयोग करके कल्पना करके सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण 4. आधार a पर लघुगणक लें:

ए) (यह माना जाता है कि सभी मान बी, सी, डी, ई सकारात्मक हैं);

बी) (ऐसा माना जाता है)।

समाधान, क) इस अभिव्यक्ति में भिन्नात्मक घातों पर जाना सुविधाजनक है:

समानताओं (26.5)-(26.7) के आधार पर, अब हम लिख सकते हैं:

हम देखते हैं कि संख्याओं के लघुगणक पर संख्याओं की तुलना में सरल संक्रियाएँ की जाती हैं: संख्याओं को गुणा करते समय, उनके लघुगणक जोड़े जाते हैं, विभाजित करते समय, उन्हें घटाया जाता है, आदि।

इसीलिए कंप्यूटिंग अभ्यास में लघुगणक का उपयोग किया जाता है (पैराग्राफ 29 देखें)।

लघुगणक की व्युत्क्रम क्रिया को पोटेंशिएशन कहा जाता है, अर्थात्: पोटेंशिएशन वह क्रिया है जिसके द्वारा किसी संख्या के दिए गए लघुगणक से संख्या स्वयं पाई जाती है। मूलतः, पोटेंशिएशन नहीं है विशेष क्रिया: इसका उद्देश्य आधार को एक घात (संख्या के लघुगणक के बराबर) तक बढ़ाना है। शब्द "पोटेंशियेशन" को "एक्सपोनेंशियेशन" शब्द का पर्याय माना जा सकता है।

पोटेंशिएट करते समय, आपको लघुगणक के नियमों के विपरीत नियमों का उपयोग करना चाहिए: लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक से बदलें, लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से बदलें, आदि। विशेष रूप से, यदि सामने कोई कारक है लघुगणक के चिह्न के, फिर पोटेंशिएशन के दौरान इसे लघुगणक के चिह्न के तहत घातांक डिग्री में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

उदाहरण 5. यदि यह ज्ञात हो तो N ज्ञात कीजिए

समाधान। पोटेंशिएशन के अभी बताए गए नियम के संबंध में, हम इस समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेतों के सामने खड़े कारक 2/3 और 1/3 को इन लघुगणक के संकेतों के तहत घातांक में स्थानांतरित करेंगे; हम पाते हैं

अब हम लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से प्रतिस्थापित करते हैं:

समानता की इस श्रृंखला में अंतिम भिन्न प्राप्त करने के लिए, हमने पिछले भिन्न को हर में अतार्किकता से मुक्त कर दिया (खंड 25)।

गुण 7. यदि आधार एक से बड़ा हो तो बड़ी संख्याइसका लघुगणक बड़ा होता है (और छोटी संख्या का लघुगणक होता है), यदि आधार एक से कम है, तो बड़ी संख्या का लघुगणक छोटा होता है (और छोटी संख्या का बड़ा होता है)।

यह गुण असमानताओं के लघुगणक लेने के नियम के रूप में भी तैयार किया गया है, जिसके दोनों पक्ष सकारात्मक हैं:

जब असमानताओं के लघुगणक को एक से बड़े आधार पर लिया जाता है, तो असमानता का संकेत संरक्षित रहता है, और जब एक से कम आधार पर लघुगणक लिया जाता है, तो असमानता का चिह्न विपरीत में बदल जाता है (पैराग्राफ 80 भी देखें)।

प्रमाण गुण 5 और 3 पर आधारित है। उस मामले पर विचार करें जब यदि, तब और, लघुगणक लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

(ए और एन/एम एकता के एक ही तरफ स्थित हैं)। यहाँ से

स्थिति इस प्रकार है, पाठक स्वयं ही इसका पता लगा लेगा।

निर्देश

दिया गया लघुगणकीय व्यंजक लिखिए। यदि अभिव्यक्ति 10 के लघुगणक का उपयोग करती है, तो इसका अंकन छोटा हो जाता है और इस तरह दिखता है: एलजी बी है दशमलव लघुगणक. यदि लघुगणक का आधार संख्या e है, तो अभिव्यक्ति लिखें: ln b - प्राकृतिक लघुगणक। यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह शक्ति है जिस तक संख्या बी प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को बढ़ाया जाना चाहिए।

दो कार्यों का योग ज्ञात करते समय, आपको बस उन्हें एक-एक करके अलग करना होगा और परिणाम जोड़ना होगा: (u+v)" = u"+v";

दो कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न ज्ञात करते समय, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करना आवश्यक है: (u*v)" = u"*v +v"*u;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद से लाभांश के फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए भाजक के व्युत्पन्न के उत्पाद को घटाना और विभाजित करना आवश्यक है यह सब विभाजक फलन द्वारा वर्गित किया जाता है। (यू/वी)" = (यू"*वी-वी"*यू)/वी^2;

अगर दिया जाए जटिल कार्य, तो इसके अवकलज को गुणा करना आवश्यक है आंतरिक कार्यऔर बाहरी का व्युत्पन्न। मान लीजिए y=u(v(x)), तो y"(x)=y"(u)*v"(x).

ऊपर प्राप्त परिणामों का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो आइए कुछ उदाहरण देखें:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *एक्स));
एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना करने में भी समस्याएं हैं। मान लीजिए कि फ़ंक्शन y=e^(x^2+6x+5) दिया गया है, आपको बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना होगा।
1) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) फ़ंक्शन के मान की गणना करें दिया गया बिंदु y"(1)=8*e^0=8

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मददगार सलाह

प्राथमिक व्युत्पन्नों की तालिका जानें. इससे समय की काफी बचत होगी.

स्रोत:

• एक स्थिरांक का व्युत्पन्न

तो, एक अपरिमेय समीकरण और एक तर्कसंगत समीकरण के बीच क्या अंतर है? यदि अज्ञात चर वर्गमूल चिह्न के नीचे है, तो समीकरण अपरिमेय माना जाता है।

निर्देश

ऐसे समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि दोनों पक्षों के निर्माण की विधि है समीकरणएक वर्ग में. तथापि। यह स्वाभाविक है, सबसे पहली चीज़ जो आपको करने की ज़रूरत है वह है संकेत से छुटकारा पाना। यह तरीका तकनीकी रूप से कठिन नहीं है, लेकिन कभी-कभी परेशानी का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7) है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर आपको 2x-5=4x-7 प्राप्त होता है। ऐसे समीकरण को हल करना कठिन नहीं है; एक्स=1. लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण. क्यों? समीकरण में x के मान के स्थान पर एक रखें और दाएँ और बाएँ पक्षों में ऐसे भाव होंगे जिनका कोई मतलब नहीं है। यह मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है. इसलिए, 1 एक बाह्य मूल है, और इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

तो, एक अपरिमेय समीकरण को उसके दोनों पक्षों का वर्ग करने की विधि का उपयोग करके हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के बाद, इसे काटना आवश्यक है बाहरी जड़ें. ऐसा करने के लिए, पाए गए मूलों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

दूसरे पर विचार करें.
2х+vх-3=0
बेशक, इस समीकरण को पिछले समीकरण के समान समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। यौगिकों को स्थानांतरित करें समीकरण, जिसका कोई वर्गमूल नहीं है, में दाहिनी ओरऔर फिर वर्ग विधि का उपयोग करें। परिणामी तर्कसंगत समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुंदर भी। एक नया चर दर्ज करें; vх=y. तदनुसार, आपको 2y2+y-3=0 के रूप का एक समीकरण प्राप्त होगा। यानी सामान्य द्विघात समीकरण. इसकी जड़ें खोजें; y1=1 और y2=-3/2. अगला, दो को हल करें समीकरण vх=1; vх=-3/2. दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है; पहले से हम पाते हैं कि x=1. जड़ों की जांच करना न भूलें.

पहचान को हल करना काफी सरल है। ऐसा करने के लिए, लक्ष्य प्राप्त होने तक समान परिवर्तन करना आवश्यक है। इस प्रकार, सबसे सरल की मदद से अंकगणितीय आपरेशनसहाथ में आया कार्य हल हो जाएगा.

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - कलम।

निर्देश

ऐसे परिवर्तनों में सबसे सरल बीजगणितीय संक्षिप्त गुणन हैं (जैसे कि योग (अंतर) का वर्ग, वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का घन (अंतर))। इसके अलावा भी बहुत सारे हैं त्रिकोणमितीय सूत्र, जो मूलतः एक ही पहचान हैं।

दरअसल, दो पदों के योग का वर्ग पहले के वर्ग के बराबर होता है जिसमें पहले और दूसरे के गुणनफल का दोगुना और दूसरे के वर्ग का योग होता है, यानी (a+b)^2= (a+ बी)(ए+बी)=ए^2+एबी +बीए+बी ^2=ए^2+2एबी+बी^2।

दोनों को सरल कीजिये

समाधान के सामान्य सिद्धांत

पाठ्यपुस्तक के अनुसार दोहराएँ गणितीय विश्लेषणया उच्चतर गणित, एक निश्चित अभिन्न अंग क्या है। जैसा कि ज्ञात है, समाधान समाकलन परिभाषित करेंएक फ़ंक्शन है जिसका व्युत्पन्न एक इंटीग्रैंड देता है। यह फ़ंक्शनप्रतिअवकलन कहलाता है। इस सिद्धांत के आधार पर, बुनियादी अभिन्न अंग का निर्माण किया जाता है।
इंटीग्रैंड के रूप से निर्धारित करें कि तालिका में से कौन सा इंटीग्रल फिट बैठता है इस मामले में. इसे तुरंत निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, इंटीग्रैंड को सरल बनाने के लिए कई परिवर्तनों के बाद ही सारणीबद्ध रूप ध्यान देने योग्य हो जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

यदि इंटीग्रैंड फ़ंक्शन है त्रिकोणमितीय फलन, जिसके तर्क में कुछ बहुपद शामिल हैं, तो चर प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, इंटीग्रैंड के तर्क में बहुपद को कुछ नए चर से बदलें। नए और पुराने चरों के बीच संबंधों के आधार पर एकीकरण की नई सीमाएँ निर्धारित करें। इस अभिव्यक्ति को अलग करके, नया अंतर खोजें। इस प्रकार, आपको पिछले इंटीग्रल का एक नया रूप मिलेगा, किसी तालिका के करीब या उसके अनुरूप।

दूसरे प्रकार के अभिन्नों को हल करना

यदि इंटीग्रल दूसरे प्रकार का इंटीग्रल है, इंटीग्रैंड का एक वेक्टर रूप है, तो आपको इन इंटीग्रल्स से स्केलर में संक्रमण के लिए नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। ऐसा ही एक नियम है ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस संबंध। यह कानून हमें एक निश्चित वेक्टर फ़ंक्शन के रोटर फ्लक्स से किसी दिए गए वेक्टर क्षेत्र के विचलन पर ट्रिपल इंटीग्रल तक जाने की अनुमति देता है।

एकीकरण सीमाओं का प्रतिस्थापन

प्रतिअवकलज ज्ञात करने के बाद समाकलन की सीमाएँ प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। सबसे पहले, ऊपरी सीमा के मान को प्रतिअवकलन के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आपको कुछ नंबर मिलेंगे. इसके बाद, परिणामी संख्या से निचली सीमा से प्राप्त अन्य संख्या को प्रतिअवकलन में घटाएं। यदि एकीकरण की सीमाओं में से एक अनंत है, तो इसे प्रतिअवकलन फलन में प्रतिस्थापित करते समय, सीमा तक जाना और यह पता लगाना आवश्यक है कि अभिव्यक्ति किस ओर प्रवृत्त होती है।
यदि अभिन्न द्वि-आयामी या त्रि-आयामी है, तो आपको अभिन्न का मूल्यांकन करने के तरीके को समझने के लिए ज्यामितीय रूप से एकीकरण की सीमाओं का प्रतिनिधित्व करना होगा। दरअसल, त्रि-आयामी अभिन्न के मामले में, एकीकरण की सीमाएं संपूर्ण विमान हो सकती हैं जो एकीकृत होने की मात्रा को सीमित करती हैं।

प्राकृतिक लघुगणक के मूल गुण, ग्राफ़, परिभाषा का क्षेत्र, मानों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, विस्तार बिजली की श्रृंखलाऔर जटिल संख्याओं का उपयोग करके फ़ंक्शन ln x का प्रतिनिधित्व।

परिभाषा

प्राकृतिक फलन y = है एलएन एक्स, घातांक का व्युत्क्रम, x = e y, और संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

गणित में प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का रूप सबसे सरल है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है इ:
ई ≅ 2.718281828459045...;
.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ़ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) सीधी रेखा y = x के सापेक्ष दर्पण प्रतिबिंब द्वारा घातीय ग्राफ से प्राप्त किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक को चर x के सकारात्मक मानों के लिए परिभाषित किया गया है। यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है।

x → पर 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत (-∞) है।

जैसे x → + ∞, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस इनफिनिटी (+ ∞) है। बड़े x के लिए, लघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई ऊर्जा समीकरण x a एक सकारात्मक घातांक के साथ लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का समुच्चय, चरम सीमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

एलएन 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

व्युत्क्रम फलन की परिभाषा से निम्नलिखित सूत्र:

लघुगणक का मुख्य गुण और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

किसी भी लघुगणक को आधार प्रतिस्थापन सूत्र का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम घातांक है।

तो अगर

तो अगर।

व्युत्पन्न एलएन एक्स

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मापांक x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्र व्युत्पन्न करना > > >

अभिन्न

अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:
.
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

जटिल चर z के फ़ंक्शन पर विचार करें:
.
आइए जटिल चर को व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। यदि आप डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
यह अलग-अलग n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में, एक एकल-मूल्य वाला फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति शृंखला विस्तार

जब विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेषकर लघुगणक वाले समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! मुझ पर विश्वास नहीं है? अच्छा। अब, केवल 10-20 मिनट में आप:

1. आप समझ जायेंगे लघुगणक क्या है.

2. घातीय समीकरणों की एक पूरी कक्षा को हल करना सीखें। भले ही आपने उनके बारे में कुछ नहीं सुना हो.

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन सारणी और किसी संख्या को घात तक कैसे बढ़ाया जाए, यह जानने की आवश्यकता होगी...

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आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

इस लेख का फोकस है लोगारित्म. यहां हम लघुगणक की परिभाषा देंगे, स्वीकृत अंकन दिखाएंगे, लघुगणक के उदाहरण देंगे, और प्राकृतिक और दशमलव लघुगणक के बारे में बात करेंगे। इसके बाद हम मूल लघुगणकीय पहचान पर विचार करेंगे।

पेज नेविगेशन.

लघुगणक की परिभाषा

किसी समस्या को हल करते समय लघुगणक की अवधारणा उत्पन्न होती है एक निश्चित अर्थ मेंउलटा, जब आपको इसका प्रतिपादक खोजने की आवश्यकता हो ज्ञात मूल्यडिग्री और ज्ञात आधार.

लेकिन बहुत हो चुकी प्रस्तावनाएं, अब इस प्रश्न का उत्तर देने का समय आ गया है कि "लघुगणक क्या है"? आइए हम संबंधित परिभाषा दें।

परिभाषा।

आधार ए से बी का लघुगणक, जहां a>0, a≠1 और b>0 वह घातांक है जिसके परिणामस्वरूप b प्राप्त करने के लिए आपको संख्या a बढ़ाने की आवश्यकता है।

इस स्तर पर, हम ध्यान दें कि बोले गए शब्द "लघुगणक" से तुरंत दो अनुवर्ती प्रश्न उठने चाहिए: "कौन सी संख्या" और "किस आधार पर।" दूसरे शब्दों में, कोई लघुगणक नहीं है, बल्कि केवल किसी संख्या का किसी आधार का लघुगणक है।

आइए तुरंत प्रवेश करें लघुगणक संकेतन: किसी संख्या b से आधार a का लघुगणक आमतौर पर लघुगणक a b के रूप में दर्शाया जाता है। किसी संख्या b से आधार e के लघुगणक और आधार 10 के लघुगणक के क्रमशः अपने विशेष पदनाम lnb और logb होते हैं, अर्थात, वे log e b नहीं, बल्कि lnb लिखते हैं, और log 10 b नहीं, बल्कि lgb लिखते हैं।

अब हम दे सकते हैं: .
और रिकार्ड कोई मतलब नहीं है, क्योंकि उनमें से पहले में लघुगणक के चिह्न के नीचे है एक ऋणात्मक संख्या, दूसरे में आधार में एक ऋणात्मक संख्या है, और तीसरे में लघुगणक चिह्न के नीचे एक ऋणात्मक संख्या है और आधार में एक इकाई है।

अब बात करते हैं लघुगणक पढ़ने के नियम. लॉग ए बी को "बी से आधार ए का लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, लॉग 2 3 आधार 2 से तीन का लघुगणक है, और आधार 2 से दो दशमलव दो तिहाई का लघुगणक है। वर्गमूलपांच में से. आधार ई का लघुगणक कहलाता है प्राकृतिक, और अंकन एलएनबी "बी का प्राकृतिक लघुगणक" पढ़ता है। उदाहरण के लिए, ln7 सात का प्राकृतिक लघुगणक है, और हम इसे पाई के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में पढ़ेंगे। आधार 10 लघुगणक का एक विशेष नाम भी है - दशमलव लघुगणक, और एलजीबी को "बी का दशमलव लघुगणक" के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, lg1 एक का दशमलव लघुगणक है, और lg2.75 दो दशमलव सात पाँच सौवें भाग का दशमलव लघुगणक है।

शर्तों a>0, a≠1 और b>0 पर अलग से ध्यान देना उचित है, जिसके तहत लघुगणक की परिभाषा दी गई है। आइए हम बताएं कि ये प्रतिबंध कहां से आते हैं। नामक प्रपत्र की समानता, जो ऊपर दी गई लघुगणक की परिभाषा से सीधे अनुसरण करती है, हमें ऐसा करने में मदद करेगी।

आइए a≠1 से शुरू करें। चूँकि किसी भी घात का एक, एक के बराबर होता है, समानता केवल तभी सत्य हो सकती है जब b=1, लेकिन लघुगणक 1 1 कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। इस अस्पष्टता से बचने के लिए, a≠1 मान लिया गया है।

आइए हम शर्त a>0 की समीचीनता को उचित ठहराएँ। a=0 के साथ, लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास समानता होगी, जो केवल b=0 के साथ संभव है। लेकिन फिर लॉग 0 0 कोई भी गैर-शून्य वास्तविक संख्या हो सकती है, क्योंकि शून्य से किसी भी गैर-शून्य घात शून्य है। शर्त a≠0 हमें इस अस्पष्टता से बचने की अनुमति देती है। और जब ए<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

अंत में, स्थिति b>0 असमानता a>0 से अनुसरण करती है, क्योंकि, और सकारात्मक आधार वाली शक्ति का मान हमेशा सकारात्मक होता है।

इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, मान लें कि लघुगणक की बताई गई परिभाषा आपको लघुगणक के मान को तुरंत इंगित करने की अनुमति देती है जब लघुगणक चिह्न के नीचे की संख्या आधार की एक निश्चित शक्ति होती है। वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा हमें यह बताने की अनुमति देती है कि यदि b=ap, तो आधार a पर संख्या b का लघुगणक p के बराबर है। अर्थात्, समानता लॉग a a p =p सत्य है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि 2 3 =8, तो लघुगणक 2 8=3। हम लेख में इसके बारे में अधिक बात करेंगे।