उदाहरण के लिए, यह प्रोग्रामों के मूल सेट से एक कैलकुलेटर हो सकता है ऑपरेटिंग सिस्टमखिड़कियाँ। इसे लॉन्च करने का लिंक ओएस के मुख्य मेनू में छिपा हुआ है - इसे "स्टार्ट" बटन पर क्लिक करके खोलें, फिर इसका "प्रोग्राम" अनुभाग खोलें, "मानक" उपधारा पर जाएं, और फिर "यूटिलिटीज" पर जाएं। अनुभाग और अंत में, "कैलकुलेटर" आइटम पर क्लिक करें। माउस का उपयोग करने और मेनू के माध्यम से नेविगेट करने के बजाय, आप कीबोर्ड और प्रोग्राम लॉन्च डायलॉग का उपयोग कर सकते हैं - विन + आर कुंजी संयोजन दबाएं, कैल्क टाइप करें (यह कैलकुलेटर निष्पादन योग्य फ़ाइल का नाम है) और एंटर दबाएं।
कैलकुलेटर इंटरफ़ेस को उन्नत मोड पर स्विच करें, जो आपको यह करने की अनुमति देता है... डिफ़ॉल्ट रूप से यह "सामान्य" दृश्य में खुलता है, लेकिन आपको "इंजीनियरिंग" या " " (आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे ओएस के संस्करण के आधार पर) की आवश्यकता है। मेनू में "देखें" अनुभाग का विस्तार करें और उचित पंक्ति का चयन करें।
वह तर्क दर्ज करें जिसका प्राकृतिक मूल्य आप मूल्यांकन करना चाहते हैं। यह या तो कीबोर्ड से या स्क्रीन पर कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में संबंधित बटन पर क्लिक करके किया जा सकता है।
एलएन लेबल वाले बटन पर क्लिक करें - प्रोग्राम आधार ई पर लघुगणक की गणना करेगा और परिणाम दिखाएगा।
मूल्य की वैकल्पिक गणना के रूप में -कैलकुलेटर में से किसी एक का उपयोग करें प्राकृतिक. उदाहरण के लिए, जो स्थित है http://calc.org.ua. इसका इंटरफ़ेस बेहद सरल है - एक एकल इनपुट फ़ील्ड है जहां आपको संख्या का मान टाइप करना होगा, जिसका लघुगणक आपको गणना करना होगा। बटनों में से, जो एलएन कहता है उसे ढूंढें और क्लिक करें। इस कैलकुलेटर की स्क्रिप्ट के लिए सर्वर पर डेटा भेजने और प्रतिक्रिया की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए आपको गणना परिणाम लगभग तुरंत प्राप्त होगा। एकमात्र विशेषता जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए वह भिन्नात्मक और के बीच विभाजक है संपूर्ण भागयहां दर्ज किए गए नंबर में एक बिंदु होना चाहिए, न कि .
शब्द " लोगारित्म"दो से उतरा ग्रीक शब्द, जिनमें से एक का अर्थ "संख्या" और दूसरा का अर्थ "अनुपात" है। यह एक परिवर्तनीय मात्रा (घातांक) की गणना करने के गणितीय संचालन को दर्शाता है, जिसमें चिह्न के नीचे दर्शाई गई संख्या प्राप्त करने के लिए एक स्थिर मान (आधार) बढ़ाया जाना चाहिए। लोगारित्मएक। यदि आधार गणितीय स्थिरांक के बराबर है जिसे संख्या "ई" कहा जाता है, तो लोगारित्म"प्राकृतिक" कहा जाता है।
आपको चाहिये होगा
- इंटरनेट एक्सेस, माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल या कैलकुलेटर।
निर्देश
इंटरनेट पर उपलब्ध कई कैलकुलेटर का उपयोग करें - यह शायद प्राकृतिक गणना करने का एक आसान तरीका है। आपको उपयुक्त सेवा की खोज करने की ज़रूरत नहीं है, क्योंकि कई खोज इंजनऔर उनके पास अंतर्निर्मित कैलकुलेटर हैं, जो काम करने के लिए काफी उपयुक्त हैं लोगारित्मअमी. उदाहरण के लिए, सबसे बड़े ऑनलाइन खोज इंजन - Google के मुख्य पृष्ठ पर जाएँ। यहां मान दर्ज करने या फ़ंक्शन का चयन करने के लिए किसी बटन की आवश्यकता नहीं है, बस अनुरोध इनपुट फ़ील्ड में वांछित टाइप करें गणितीय कार्य. मान लीजिए, गणना करने के लिए लोगारित्मऔर आधार "ई" में संख्या 457, एलएन 457 दर्ज करें - यह Google के लिए सर्वर पर अनुरोध भेजने के लिए बटन दबाए बिना भी आठ दशमलव स्थानों (6.12468339) की सटीकता के साथ प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त होगा।
यदि आपको प्राकृतिक के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है तो उपयुक्त अंतर्निहित फ़ंक्शन का उपयोग करें लोगारित्मऔर लोकप्रिय स्प्रेडशीट संपादक माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल में डेटा के साथ काम करते समय होता है। इस फ़ंक्शन को सामान्य नोटेशन का उपयोग करके यहां कॉल किया जाता है लोगारित्मऔर अपरकेस में - एल.एन. उस सेल का चयन करें जिसमें गणना परिणाम प्रदर्शित किया जाना चाहिए और एक समान चिह्न दर्ज करें - इस प्रकार इस स्प्रेडशीट संपादक में मुख्य मेनू के "सभी प्रोग्राम" अनुभाग के "मानक" उपधारा में शामिल कोशिकाओं में रिकॉर्ड शुरू होने चाहिए। Alt + 2 दबाकर कैलकुलेटर को अधिक कार्यात्मक मोड में स्विच करें। फिर प्राकृतिक मान दर्ज करें लोगारित्मजिसे आप गणना करना चाहते हैं, और प्रोग्राम इंटरफ़ेस में प्रतीकों एलएन द्वारा इंगित बटन पर क्लिक करें। एप्लिकेशन गणना करेगा और परिणाम प्रदर्शित करेगा।
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बिल्कुल भी बुरा नहीं है, है ना? जबकि गणितज्ञ आपको एक लंबी, भ्रमित करने वाली परिभाषा देने के लिए शब्दों की खोज करते हैं, आइए इस सरल और स्पष्ट परिभाषा पर करीब से नज़र डालें।
संख्या ई का अर्थ है वृद्धि
संख्या ई का अर्थ है निरंतर वृद्धि। जैसा कि हमने पिछले उदाहरण में देखा, ईएक्स हमें ब्याज और समय को जोड़ने की अनुमति देता है: "चक्रवृद्धि ब्याज" मानते हुए, 100% वृद्धि पर 3 वर्ष 300% पर 1 वर्ष के समान है।
आप किसी भी प्रतिशत और समय मान (4 वर्षों के लिए 50%) को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, लेकिन सुविधा के लिए प्रतिशत को 100% के रूप में सेट करना बेहतर है (यह 2 वर्षों के लिए 100% हो जाता है)। 100% पर जाकर, हम केवल समय घटक पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं:
ई एक्स = ई प्रतिशत * समय = ई 1.0 * समय = ई समय
जाहिर है ई एक्स का मतलब है:
- समय की x इकाइयों के बाद मेरा योगदान कितना बढ़ेगा (100% निरंतर वृद्धि मानकर)।
- उदाहरण के लिए, 3 समय अंतराल के बाद मुझे ई 3 = 20.08 गुना अधिक "चीज़ें" प्राप्त होंगी।
ई एक्स एक स्केलिंग कारक है जो दर्शाता है कि हम एक्स समय में किस स्तर तक बढ़ेंगे।
प्राकृतिक लघुगणक का अर्थ है समय
प्राकृतिक लघुगणक ई का व्युत्क्रम है, जो विपरीत के लिए एक फैंसी शब्द है। विचित्रताओं की बात हो रही है; लैटिन में इसे लॉगरिदमस नेचुरली कहा जाता है, इसलिए इसका संक्षिप्त नाम ln है।
और इस व्युत्क्रम या विपरीत का क्या अर्थ है?
- ई एक्स हमें समय को प्रतिस्थापित करने और विकास प्राप्त करने की अनुमति देता है।
- ln(x) हमें विकास या आय लेने और इसे उत्पन्न करने में लगने वाले समय का पता लगाने की अनुमति देता है।
उदाहरण के लिए:
- ई 3 20.08 के बराबर है। तीन अवधियों के बाद, हमारे पास जितना हमने शुरू किया था उससे 20.08 गुना अधिक होगा।
- एलएन(08/20) लगभग 3 होगा। यदि आप 20.08 गुना की वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आपको 3 समय अवधि की आवश्यकता होगी (फिर से, 100% निरंतर वृद्धि मानते हुए)।
अभी भी पढ़ रहे हैं? प्राकृतिक लघुगणक वांछित स्तर तक पहुँचने के लिए आवश्यक समय दिखाता है।
यह अमानक लघुगणक गणना
क्या आप लघुगणक से गुज़रे हैं - वे अजीब प्राणी हैं। उन्होंने गुणन को जोड़ में बदलने का प्रबंधन कैसे किया? विभाजन को घटाव में बदलने के बारे में क्या? आइये एक नजर डालते हैं.
ln(1) किसके बराबर है? सहज रूप से, सवाल यह है: मेरे पास जो है उससे 1 गुना अधिक पाने के लिए मुझे कितनी देर तक इंतजार करना चाहिए?
शून्य। शून्य। बिल्कुल नहीं। आपके पास यह पहले से ही एक बार है. लेवल 1 से लेवल 1 तक जाने में ज्यादा समय नहीं लगता।
- एलएन(1) = 0
ठीक है, भिन्नात्मक मान के बारे में क्या? हमारे पास उपलब्ध मात्रा का 1/2 भाग शेष रहने में कितना समय लगेगा? हम जानते हैं कि 100% निरंतर वृद्धि के साथ, ln(2) का मतलब दोगुना होने में लगने वाला समय है। हम अगर आइए समय को पीछे घुमाएँ(यानी, नकारात्मक समय तक प्रतीक्षा करें), फिर हमारे पास जो है उसका आधा हिस्सा हमें मिलेगा।
- एलएन(1/2) = -एलएन(2) = -0.693
तार्किक, सही? यदि हम (समय पीछे) 0.693 सेकंड पर जाएं, तो हमें आधी मात्रा उपलब्ध मिलेगी। सामान्य तौर पर, आप भिन्न को पलट सकते हैं और ऋणात्मक मान ले सकते हैं: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09। इसका मतलब यह है कि यदि हम समय में 1.09 गुना पीछे जाएं, तो हमें वर्तमान संख्या का केवल एक तिहाई ही मिलेगा।
ठीक है, ऋणात्मक संख्या के लघुगणक के बारे में क्या? 1 से -3 तक बैक्टीरिया की एक कॉलोनी को "विकसित" होने में कितना समय लगता है?
ऐसा हो ही नहीं सकता! आप नकारात्मक जीवाणु गणना प्राप्त नहीं कर सकते, क्या आप कर सकते हैं? आप अधिकतम (एर...न्यूनतम) शून्य प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन ऐसा कोई तरीका नहीं है जिससे आप इन छोटे क्रिटर्स से ऋणात्मक संख्या प्राप्त कर सकें। में ऋणात्मक संख्याबैक्टीरिया का कोई मतलब नहीं है।
- ln(ऋणात्मक संख्या) = अपरिभाषित
"अपरिभाषित" का अर्थ है कि नकारात्मक मान प्राप्त करने के लिए इतना समय नहीं लगाना पड़ेगा।
लघुगणकीय गुणन अत्यंत हास्यास्पद है
चार गुना बढ़ने में कितना समय लगेगा? निःसंदेह, आप केवल ln(4) ले सकते हैं। लेकिन यह बहुत आसान है, हम दूसरे रास्ते पर जायेंगे।
आप चौगुनी वृद्धि को दोगुना करने (ln(2) इकाइयों के समय की आवश्यकता) और फिर से दोगुना करने (समय की अन्य ln(2) इकाइयों की आवश्यकता) के रूप में सोच सकते हैं:
- 4 गुना बढ़ने का समय = ln(4) = दोगुना होने और फिर दोगुना होने का समय = ln(2) + ln(2)
दिलचस्प। किसी भी विकास दर, मान लीजिए 20, को 10 गुना वृद्धि के ठीक बाद दोगुना माना जा सकता है। या 4 गुना वृद्धि, और फिर 5 गुना। या तिगुना और फिर 6.666 गुना बढ़ जाना। पैटर्न देखें?
- एलएन(ए*बी) = एलएन(ए) + एलएन(बी)
A गुना B का लघुगणक log(A) + log(B) है। विकास के संदर्भ में देखने पर यह रिश्ता तुरंत समझ में आता है।
यदि आप 30x वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो आप एक बैठक में ln(30) प्रतीक्षा कर सकते हैं, या तीन गुना के लिए ln(3) प्रतीक्षा कर सकते हैं, और फिर 10x के लिए दूसरी ln(10) प्रतीक्षा कर सकते हैं। अंतिम परिणाम वही है, इसलिए निश्चित रूप से समय स्थिर रहना चाहिए (और ऐसा होता है)।
विभाजन के बारे में क्या? विशेष रूप से, ln(5/3) का अर्थ है: 5 गुना बढ़ने और फिर उसका 1/3 प्राप्त करने में कितना समय लगेगा?
बढ़िया, 5 गुना वृद्धि ln(5) है। 1/3 गुना वृद्धि में -ln(3) इकाई समय लगेगा। इसलिए,
- एलएन(5/3) = एलएन(5) - एलएन(3)
इसका मतलब है: इसे 5 गुना बढ़ने दें, और फिर "समय में पीछे जाएं" उस बिंदु पर जहां उस राशि का केवल एक तिहाई ही बचता है, इसलिए आपको 5/3 वृद्धि मिलती है। सामान्य तौर पर यह पता चला है
- एलएन(ए/बी) = एलएन(ए) - एलएन(बी)
मुझे आशा है कि लघुगणक का अजीब अंकगणित आपको समझ में आने लगा है: विकास दर को गुणा करना विकास समय इकाइयों को जोड़ना बन जाता है, और विभाजित करना समय इकाइयों को घटाना बन जाता है। नियमों को याद रखने की जरूरत नहीं है, उन्हें समझने की कोशिश करें।
मनमानी वृद्धि के लिए प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करना
ठीक है, बिल्कुल," आप कहते हैं, "अगर विकास 100% है तो यह सब अच्छा है, लेकिन मुझे जो 5% मिलता है उसका क्या होगा?"
कोई बात नहीं। जिस "समय" की गणना हम ln() से करते हैं वह वास्तव में ब्याज दर और समय का एक संयोजन है, जो कि e x समीकरण से समान X है। हमने सरलता के लिए प्रतिशत को 100% पर सेट करने का निर्णय लिया है, लेकिन हम किसी भी संख्या का उपयोग करने के लिए स्वतंत्र हैं।
मान लीजिए कि हम 30 गुना वृद्धि हासिल करना चाहते हैं: ln(30) लें और 3.4 प्राप्त करें इसका मतलब है:
- ई एक्स = ऊंचाई
- ई 3.4 = 30
जाहिर है, इस समीकरण का अर्थ है "3.4 वर्षों में 100% रिटर्न 30 गुना वृद्धि देता है।" हम इस समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
- ई एक्स = ई दर*समय
- ई 100% * 3.4 वर्ष = 30
हम "शर्त" और "समय" के मूल्यों को बदल सकते हैं, जब तक कि शर्त * का समय 3.4 रहता है। उदाहरण के लिए, यदि हम 30 गुना वृद्धि में रुचि रखते हैं, तो हमें 5% की ब्याज दर पर कब तक इंतजार करना होगा?
- एलएन(30) = 3.4
- दर * समय = 3.4
- 0.05 * समय = 3.4
- समय = 3.4 / 0.05 = 68 वर्ष
मेरा तर्क इस प्रकार है: "एलएन(30) = 3.4, इसलिए 100% वृद्धि पर 3.4 वर्ष लगेंगे। यदि मैं विकास दर को दोगुना कर दूं, तो आवश्यक समय आधा हो जाएगा।"
- 3.4 वर्षों के लिए 100% = 1.0 * 3.4 = 3.4
- 1.7 वर्ष में 200% = 2.0 * 1.7 = 3.4
- 6.8 वर्षों के लिए 50% = 0.5 * 6.8 = 3.4
- 68 वर्ष से अधिक 5% = .05 * 68 = 3.4.
बहुत बढ़िया, है ना? प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किसी भी ब्याज दर और समय के साथ किया जा सकता है क्योंकि उनका उत्पाद स्थिर रहता है। आप वैरिएबल मानों को जितना चाहें उतना स्थानांतरित कर सकते हैं।
बढ़िया उदाहरण: बहत्तर का नियम
बहत्तर-दो का नियम एक गणितीय तकनीक है जो आपको यह अनुमान लगाने की अनुमति देती है कि आपका पैसा दोगुना होने में कितना समय लगेगा। अब हम इसका निष्कर्ष निकालेंगे (हाँ!), और इसके अलावा, हम इसके सार को समझने की कोशिश करेंगे।
100% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर आपका पैसा दोगुना होने में कितना समय लगेगा?
उफ़. हमने निरंतर वृद्धि के मामले के लिए प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग किया, और अब आप वार्षिक चक्रवृद्धि के बारे में बात कर रहे हैं? क्या यह फार्मूला ऐसे मामले के लिए अनुपयुक्त नहीं हो जाएगा? हां, यह होगा, लेकिन 5%, 6% या यहां तक कि 15% जैसी वास्तविक ब्याज दरों के लिए, वार्षिक चक्रवृद्धि और निरंतर वृद्धि के बीच का अंतर छोटा होगा। तो मोटा अनुमान काम करता है, उम, मोटे तौर पर, इसलिए हम दिखावा करेंगे कि हमारे पास पूरी तरह से निरंतर संचय है।
अब प्रश्न सरल है: आप 100% वृद्धि के साथ कितनी जल्दी दोगुना हो सकते हैं? एलएन(2) = 0.693. 100% की निरंतर वृद्धि के साथ हमारी राशि को दोगुना करने में 0.693 यूनिट समय (हमारे मामले में वर्ष) लगता है।
तो, क्या होगा यदि ब्याज दर 100% नहीं है, बल्कि 5% या 10% है?
आसानी से! चूंकि शर्त * समय = 0.693, हम राशि दोगुनी कर देंगे:
- दर * समय = 0.693
- समय = 0.693/शर्त
इससे पता चलता है कि यदि वृद्धि 10% है, तो इसे दोगुना होने में 0.693 / 0.10 = 6.93 वर्ष लगेंगे।
गणना को सरल बनाने के लिए, आइए दोनों पक्षों को 100 से गुणा करें, फिर हम "0.10" के बजाय "10" कह सकते हैं:
- दोगुना होने का समय = 69.3/शर्त, जहां शर्त को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अब 5% की दर से दोगुना होने का समय है, 69.3/5 = 13.86 वर्ष। हालाँकि, 69.3 सबसे सुविधाजनक लाभांश नहीं है। आइए एक करीबी संख्या 72 चुनें, जिसे 2, 3, 4, 6, 8 और अन्य संख्याओं से विभाजित करना सुविधाजनक है।
- दोगुना करने का समय = 72/शर्त
जो बहत्तर का नियम है. सब कुछ ढका हुआ है.
यदि आपको तिगुना होने का समय ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो आप ln(3) ~109.8 का उपयोग कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं
- तिगुना करने का समय = 110/शर्त
दूसरा क्या है उपयोगी नियम. "72 का नियम" ब्याज दरों में वृद्धि, जनसंख्या वृद्धि, जीवाणु संस्कृतियों और तेजी से बढ़ने वाली किसी भी चीज़ पर लागू होता है।
आगे क्या होगा?
उम्मीद है कि प्राकृतिक लघुगणक अब आपको समझ में आ गया है - यह किसी भी संख्या को तेजी से बढ़ने में लगने वाले समय को दर्शाता है। मुझे लगता है कि इसे प्राकृतिक कहा जाता है क्योंकि यह विकास का एक सार्वभौमिक उपाय है, इसलिए इसे बढ़ने में कितना समय लगता है यह निर्धारित करने का एक सार्वभौमिक तरीका माना जा सकता है।
हर बार जब आप ln(x) देखें, तो याद रखें "इसे X गुना बढ़ने में लगने वाला समय"। आगामी लेख में मैं ई और एलएन का एक साथ वर्णन करूंगा ताकि गणित की ताज़ा खुशबू हवा में भर जाए।
परिशिष्ट: ई का प्राकृतिक लघुगणक
त्वरित प्रश्नोत्तरी: एलएन(ई) क्या है?
- एक गणित रोबोट कहेगा: चूँकि उन्हें एक दूसरे के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है, यह स्पष्ट है कि ln(e) = 1।
- समझने वाला व्यक्ति: ln(e) वह संख्या है जो "e" गुना (लगभग 2.718) बढ़ने में लगती है। हालाँकि, संख्या e स्वयं 1 के कारक द्वारा वृद्धि का माप है, इसलिए ln(e) = 1।
स्पष्ट सोचो।
9 सितंबर 2013अक्सर एक नंबर लेते हैं इ = 2,718281828 . लघुगणक द्वारा यह आधारकहा जाता है प्राकृतिक. प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना करते समय, चिह्न के साथ काम करना आम बात है एलएन, लेकिन नहीं लकड़ी का लट्ठा; जबकि संख्या 2,718281828 , आधार को परिभाषित करते हुए संकेत नहीं दिया गया है।
दूसरे शब्दों में, सूत्रीकरण इस प्रकार दिखेगा: प्राकृतिकनंबर एक्स- यह एक प्रतिपादक है जिसके लिए एक संख्या बढ़ाई जानी चाहिए इ, प्राप्त करने के लिए एक्स.
इसलिए, एलएन(7,389...)= 2, चूँकि इ 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही इ= 1 क्योंकि इ 1 =इ, और एकता का प्राकृतिक लघुगणक शून्य है, चूँकि इ 0 = 1.
नंबर ही इएक मोनोटोनिक बंधे अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करता है
उसका हिसाब लगाया इ = 2,7182818284... .
अक्सर, किसी संख्या को मेमोरी में ठीक करने के लिए, आवश्यक संख्या के अंक किसी बकाया तारीख से जुड़े होते हैं। किसी संख्या के पहले नौ अंक याद रखने की गति इदशमलव के बाद दशमलव बिंदु बढ़ जाएगा यदि आप ध्यान दें कि 1828 लियो टॉल्स्टॉय का जन्म वर्ष है!
आज तो बहुत हैं पूर्ण तालिकाएँप्राकृतिक लघुगणक.
प्राकृतिक लघुगणक ग्राफ(कार्य य =एलएन एक्स) घातांक ग्राफ़ के सीधी रेखा की दर्पण छवि होने का परिणाम है वाई = एक्सऔर इसका रूप है:
प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक पाया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में य = 1/एक्ससे 1 पहले ए.
इस सूत्रीकरण की प्राथमिक प्रकृति, जो कई अन्य सूत्रों के अनुरूप है जिसमें प्राकृतिक लघुगणक शामिल है, "प्राकृतिक" नाम के गठन का कारण था।
यदि आप विश्लेषण करें प्राकृतिक, एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में, यह कार्य करता है उलटा काम करनाएक घातीय फ़ंक्शन के लिए, जो पहचान को कम करता है:
ई एलएन(ए) =ए (ए>0)
एलएन(ई ए) =ए
सभी लघुगणक के अनुरूप, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ में, विभाजन को घटाव में परिवर्तित करता है:
एल.एन(xy) = एल.एन(एक्स) + एल.एन(य)
एल.एन(x/y)= एलएनएक्स - lny
लघुगणक हर उस सकारात्मक आधार के लिए पाया जा सकता है जो एक के बराबर नहीं है, केवल इसके लिए नहीं इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक प्राकृतिक लघुगणक से केवल एक स्थिर कारक द्वारा भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित होते हैं।
विश्लेषण करके प्राकृतिक लघुगणक ग्राफ,हम पाते हैं कि यह चर के सकारात्मक मानों के लिए मौजूद है एक्स. यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है।
पर एक्स → 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत है ( -∞ )।पर एक्स → +∞ प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत है ( + ∞ ). अत्याधिक एक्सलघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी शक्ति कार्य एक्सएएक सकारात्मक प्रतिपादक के साथ एलघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है। प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसका कोई चरम नहीं है।
प्रयोग प्राकृतिक लघुगणकउच्च गणित उत्तीर्ण करते समय बहुत तर्कसंगत। इस प्रकार, लघुगणक का उपयोग उन समीकरणों का उत्तर खोजने के लिए सुविधाजनक है जिनमें अज्ञात घातांक के रूप में दिखाई देते हैं। गणनाओं में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग बड़ी संख्या में सरलीकरण को सरल बनाना संभव बनाता है गणितीय सूत्र. आधार के लिए लघुगणक इ महत्वपूर्ण संख्या में भौतिक समस्याओं को हल करने में मौजूद हैं और स्वाभाविक रूप से व्यक्तिगत रासायनिक, जैविक और अन्य प्रक्रियाओं के गणितीय विवरण में शामिल हैं। इस प्रकार, लघुगणक का उपयोग ज्ञात आधे जीवन के लिए क्षय स्थिरांक की गणना करने या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय की गणना करने के लिए किया जाता है। वे इसमें प्रदर्शन करते हैं अग्रणी भूमिकागणित और व्यावहारिक विज्ञान की कई शाखाओं में, इनका उपयोग वित्त के क्षेत्र में चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सहित बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।
लोगारित्मकिसी दी गई संख्या का वह घातांक कहलाता है जिससे दूसरी संख्या बढ़ाई जानी चाहिए, कहा जाता है आधारइस संख्या को प्राप्त करने के लिए लघुगणक. उदाहरण के लिए, 100 का आधार 10 लघुगणक 2 है। दूसरे शब्दों में, 100 प्राप्त करने के लिए 10 का वर्ग करना होगा (10 2 = 100)। अगर एन- एक दिया गया नंबर, बी– आधार और एल- फिर लघुगणक बी एल = एन. संख्या एनइसे बेस एंटीलोगारिथ्म भी कहा जाता है बीनंबर एल. उदाहरण के लिए, 2 से आधार 10 का प्रतिलघुगणक 100 के बराबर है। इसे संबंध लॉग के रूप में लिखा जा सकता है बी एन = एलऔर एंटीलॉग बी एल = एन.
लघुगणक के मूल गुण:
एक के अलावा कोई भी सकारात्मक संख्या लघुगणक के लिए आधार के रूप में काम कर सकती है, लेकिन दुर्भाग्य से यह पता चला है कि यदि बीऔर एनपरिमेय संख्याएँ हैं, तो दुर्लभ मामलों में ऐसी कोई परिमेय संख्या होती है एल, क्या बी एल = एन. हालाँकि, एक अपरिमेय संख्या को परिभाषित करना संभव है एल, उदाहरण के लिए, जैसे कि 10 एल= 2; यह एक अपरिमेय संख्या है एलकिसी भी आवश्यक सटीकता के साथ अनुमान लगाया जा सकता है भिन्नात्मक संख्याएं. यह दिए गए उदाहरण से पता चलता है एललगभग 0.3010 के बराबर है, और 2 के आधार 10 लघुगणक का यह अनुमान दशमलव लघुगणक की चार-अंकीय तालिकाओं में पाया जा सकता है। आधार 10 लघुगणक (या आधार 10 लघुगणक) का उपयोग गणनाओं में इतना सामान्यतः किया जाता है कि उन्हें कहा जाता है साधारणलघुगणक और लघुगणक के आधार के स्पष्ट संकेत को छोड़कर, log2 = 0.3010 या log2 = 0.3010 के रूप में लिखा जाता है। आधार के लिए लघुगणक इ, लगभग 2.71828 के बराबर एक पारलौकिक संख्या कहलाती है प्राकृतिकलघुगणक. वे मुख्य रूप से कार्यों में पाए जाते हैं गणितीय विश्लेषणऔर विभिन्न विज्ञानों में इसके अनुप्रयोग। प्राकृतिक लघुगणक भी आधार को स्पष्ट रूप से इंगित किए बिना लिखे जाते हैं, लेकिन विशेष संकेतन ln का उपयोग करते हुए: उदाहरण के लिए, ln2 = 0.6931, क्योंकि इ 0,6931 = 2.
साधारण लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करना।
किसी संख्या का नियमित लघुगणक एक घातांक होता है जिसमें दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए 10 को बढ़ाया जाना चाहिए। चूँकि 10 0 = 1, 10 1 = 10 और 10 2 = 100, हमें तुरंत पता चलता है कि लॉग1 = 0, लॉग10 = 1, लॉग100 = 2, आदि। पूर्णांक घातों को बढ़ाने के लिए 10. इसी प्रकार, 10 -1 = 0.1, 10 -2 = 0.01 और इसलिए log0.1 = -1, log0.01 = -2, आदि। सभी नकारात्मक पूर्णांक घातों के लिए 10. शेष संख्याओं के सामान्य लघुगणक 10 की निकटतम पूर्णांक घातों के लघुगणक के बीच संलग्न होते हैं; log2 0 और 1 के बीच होना चाहिए, log20 1 और 2 के बीच होना चाहिए, और log0.2 -1 और 0 के बीच होना चाहिए। इस प्रकार, लघुगणक में दो भाग होते हैं, एक पूर्णांक और दशमलव, 0 और 1 के बीच संलग्न पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषतालघुगणक और संख्या से ही निर्धारित होता है, अंशबुलाया अपूर्णांशऔर तालिकाओं से पाया जा सकता है। साथ ही, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 का लघुगणक 0.3010 है, इसलिए log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010। इसी प्रकार, log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. घटाने के बाद, हमें log0.2 = – 0.6990 मिलता है। हालाँकि, log0.2 को 0.3010 - 1 या 9.3010 - 10 के रूप में प्रस्तुत करना अधिक सुविधाजनक है; तैयार किया जा सकता है और सामान्य नियम: किसी दी गई संख्या को 10 की घात से गुणा करने पर प्राप्त सभी संख्याओं का एक ही मंटिसा होता है, जो दी गई संख्या के मंटिसा के बराबर होता है। अधिकांश तालिकाएँ 1 से 10 तक की संख्याओं के मंटिसा को दर्शाती हैं, क्योंकि अन्य सभी संख्याओं के मंटिसा को तालिका में दिए गए संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है।
अधिकांश तालिकाएँ चार या पाँच दशमलव स्थानों के साथ लघुगणक देती हैं, हालाँकि सात अंकों की तालिकाएँ और इससे भी अधिक दशमलव स्थानों वाली तालिकाएँ हैं। ऐसी तालिकाओं का उपयोग करना सीखने का सबसे आसान तरीका उदाहरणों से है। लॉग3.59 को खोजने के लिए, सबसे पहले, हम ध्यान दें कि संख्या 3.59 10 0 और 10 1 के बीच है, इसलिए इसकी विशेषता 0 है। हम तालिका में संख्या 35 (बाईं ओर) पाते हैं और पंक्ति के साथ आगे बढ़ते हैं वह स्तंभ जिसके शीर्ष पर संख्या 9 है; इस स्तंभ और पंक्ति 35 का प्रतिच्छेदन 5551 है, इसलिए लॉग3.59 = 0.5551। चार वाली संख्या का मंटिसा ज्ञात करना महत्वपूर्ण लोग, प्रक्षेप का सहारा लेना आवश्यक है। कुछ तालिकाओं में, तालिकाओं के प्रत्येक पृष्ठ के दाईं ओर अंतिम नौ स्तंभों में दिए गए अनुपात से प्रक्षेप की सुविधा होती है। आइए अब log736.4 खोजें; संख्या 736.4 10 2 और 10 3 के बीच स्थित है, इसलिए इसके लघुगणक की विशेषता 2 है। तालिका में हमें बाईं ओर एक पंक्ति मिलती है जिसके बाईं ओर 73 और स्तंभ 6 है। इस पंक्ति और इस स्तंभ के चौराहे पर है संख्या 8669. बीच में रैखिक भागहमें कॉलम 4 मिलता है। पंक्ति 73 और कॉलम 4 के प्रतिच्छेदन पर संख्या 2 है। 8669 में 2 जोड़ने पर, हमें मंटिसा मिलता है - यह 8671 के बराबर है। इस प्रकार, लॉग736.4 = 2.8671।
प्राकृतिक लघुगणक.
प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ और गुण सामान्य लघुगणक की तालिकाओं और गुणों के समान होते हैं। दोनों के बीच मुख्य अंतर यह है कि प्राकृतिक लघुगणक का पूर्णांक भाग दशमलव बिंदु की स्थिति निर्धारित करने में महत्वपूर्ण नहीं है, और इसलिए मंटिसा और विशेषता के बीच का अंतर कोई विशेष भूमिका नहीं निभाता है। संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक 5.432; 54.32 और 543.2 क्रमशः 1.6923 के बराबर हैं; 3.9949 और 6.2975. यदि हम उनके बीच के अंतरों पर विचार करें तो इन लघुगणक के बीच संबंध स्पष्ट हो जाएगा: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; अंतिम संख्यासंख्या 10 के प्राकृतिक लघुगणक से अधिक कुछ नहीं है (इस तरह लिखा गया है: ln10); लॉग543.2 - लॉग5.432 = 4.6052; अंतिम संख्या 2ln10 है. लेकिन 543.2 = 10ґ54.32 = 10 2ґ5.432। इस प्रकार, किसी दी गई संख्या के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा एआप संख्याओं के गुणनफल के बराबर संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक पा सकते हैं एकिसी भी डिग्री के लिए एनसंख्या 10 यदि एल.एन ए ln10 को गुणा करके जोड़ें एन, अर्थात। एलएन( एґ10एन) = लॉग ए + एनएलएन10 = एलएन ए + 2,3026एन. उदाहरण के लिए, ln0.005432 = ln(5.432ґ10 –3) = ln5.432 – 3ln10 = 1.6923 – (3ґ2.3026) = – 5.2155. इसलिए, सामान्य लघुगणक की तालिकाओं की तरह, प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं में आमतौर पर केवल 1 से 10 तक की संख्याओं के लघुगणक होते हैं। प्राकृतिक लघुगणक की प्रणाली में, कोई एंटीलघुगणक के बारे में बात कर सकता है, लेकिन अधिक बार वे एक घातीय फ़ंक्शन या एक घातांक के बारे में बात करते हैं। अगर एक्स= लॉग य, वह य = पूर्व, और यका प्रतिपादक कहा जाता है एक्स(टाइपोग्राफ़िक सुविधा के लिए, वे अक्सर लिखते हैं य= ऍक्स्प एक्स). घातांक संख्या के प्रतिलघुगणक की भूमिका निभाता है एक्स.
दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करके, आप 10 और के अलावा किसी भी आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं इ. यदि लॉग करें बी ० ए = एक्स, वह बी एक्स = ए, और इसलिए लॉग करें सी बी एक्स=लॉग सीएया एक्सलकड़ी का लट्ठा सी बी=लॉग सीए, या एक्स=लॉग सीए/लकड़ी का लट्ठा सी बी=लॉग बी ० ए. इसलिए, आधार लघुगणक तालिका से इस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करना सीआप किसी अन्य आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं बी. गुणक 1/लॉग सी बीबुलाया संक्रमण मॉड्यूलआधार से सीआधार तक बी. उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करने या लघुगणक की एक प्रणाली से दूसरे में संक्रमण करने, सामान्य लघुगणक की तालिका से प्राकृतिक लघुगणक खोजने या विपरीत संक्रमण करने से कुछ भी नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, लॉग105.432 = लॉग इ 5.432/लॉग इ 10 = 1.6923/2.3026 = 1.6923ґ0.4343 = 0.7350। संख्या 0.4343, जिससे एक साधारण लघुगणक प्राप्त करने के लिए किसी दिए गए संख्या के प्राकृतिक लघुगणक को गुणा किया जाना चाहिए, सामान्य लघुगणक की प्रणाली में संक्रमण का मापांक है।
विशेष टेबल.
लघुगणक का आविष्कार मूल रूप से इसलिए किया गया था ताकि, उनके गुणों का उपयोग करके लॉग किया जा सके अब=लॉग ए+ लॉग बीऔर लॉग करें ए/बी=लॉग ए-लकड़ी का लट्ठा बी, गुणनफल को योग में और भागफल को अंतर में बदलें। दूसरे शब्दों में, यदि लॉग एऔर लॉग करें बीज्ञात हैं, तो जोड़ और घटाव का उपयोग करके हम उत्पाद और भागफल का लघुगणक आसानी से पा सकते हैं। हालाँकि, खगोल विज्ञान में, अक्सर लॉग के मान दिए जाते हैं एऔर लॉग करें बीलॉग ढूंढने की आवश्यकता है( ए + बी) या लॉग( ए – बी). निःसंदेह, कोई भी सबसे पहले लघुगणक की तालिकाओं से पता लगा सकता है एऔर बी, फिर संकेतित जोड़ या घटाव करें और, फिर से तालिकाओं का संदर्भ लेते हुए, आवश्यक लघुगणक खोजें, लेकिन ऐसी प्रक्रिया के लिए तालिकाओं को तीन बार संदर्भित करने की आवश्यकता होगी। 1802 में जेड लियोनेली ने तथाकथित की तालिकाएँ प्रकाशित कीं। गाऊसी लघुगणक- योगों और अंतरों को जोड़ने के लिए लघुगणक - जिससे स्वयं को तालिकाओं तक एक पहुंच तक सीमित करना संभव हो गया।
1624 में, आई. केप्लर ने आनुपातिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रस्तावित कीं, अर्थात्। संख्याओं के लघुगणक ए/एक्स, कहाँ ए– कुछ सकारात्मक स्थिरांक मान. इन तालिकाओं का उपयोग मुख्य रूप से खगोलविदों और नाविकों द्वारा किया जाता है।
आनुपातिक लघुगणक पर ए=1 कहलाते हैं कोलोगैरिथ्मऔर गणना में उपयोग किया जाता है जब किसी को उत्पादों और भागफल से निपटना होता है। किसी संख्या का कोलोगैरिथ्म एनपारस्परिक संख्या के लघुगणक के बराबर; वे। कोलॉग एन= लॉग1/ एन= – लॉग एन. यदि log2 = 0.3010, तो colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. कोलोगारिथ्म का उपयोग करने का लाभ यह है कि जैसे भावों के लघुगणक के मान की गणना करते समय पी क्यू/आरधनात्मक दशमलव का तिगुना योग लॉग करें पी+ लॉग क्यू+कोलॉग आरमिश्रित योग और अंतर लॉग की तुलना में इसे खोजना आसान है पी+ लॉग क्यू-लकड़ी का लट्ठा आर.
कहानी।
लघुगणक की किसी भी प्रणाली के अंतर्निहित सिद्धांत को बहुत लंबे समय से जाना जाता है और इसका पता प्राचीन बेबीलोनियन गणित (लगभग 2000 ईसा पूर्व) में लगाया जा सकता है। उन दिनों, बीच प्रक्षेप तालिका मानचक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए पूर्णांकों की धनात्मक पूर्णांक घातों का उपयोग किया गया। बहुत बाद में, आर्किमिडीज़ (287-212 ईसा पूर्व) ने तत्कालीन ज्ञात ब्रह्मांड को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक रेत के कणों की संख्या की ऊपरी सीमा खोजने के लिए 108 की शक्तियों का उपयोग किया। आर्किमिडीज़ ने घातांकों की उस संपत्ति की ओर ध्यान आकर्षित किया जो लघुगणक की प्रभावशीलता को रेखांकित करती है: शक्तियों का उत्पाद घातांकों के योग से मेल खाता है। मध्य युग के अंत और आधुनिक युग की शुरुआत में, गणितज्ञों ने तेजी से ज्यामितीय और अंकगणितीय प्रगति के बीच संबंधों की ओर रुख करना शुरू कर दिया। एम. स्टिफ़ेल ने अपने निबंध में पूर्णांक अंकगणित(1544) ने संख्या 2 की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों की एक तालिका दी:
स्टिफ़ेल ने देखा कि पहली पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संख्याओं का योग नीचे की पंक्ति (घातांक पंक्ति) में दो संगत संख्याओं के उत्पाद के बराबर है। इस तालिका के संबंध में, स्टिफ़ेल ने घातांक पर संचालन के लिए चार आधुनिक नियमों या लघुगणक पर संचालन के लिए चार नियमों के बराबर चार नियम तैयार किए: शीर्ष रेखा पर योग नीचे की रेखा पर उत्पाद से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर घटाव निचली रेखा पर विभाजन से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर गुणन नीचे की रेखा पर घातांक से मेल खाता है; शीर्ष रेखा पर विभाजन निचली रेखा पर रूटिंग से मेल खाता है।
जाहिरा तौर पर, स्टिफ़ेल के नियमों के समान नियमों ने जे. नेपर को औपचारिक रूप से अपने काम में लघुगणक की पहली प्रणाली पेश करने के लिए प्रेरित किया। लघुगणक की अद्भुत तालिका का विवरण, 1614 में प्रकाशित। लेकिन नेपियर के विचार तभी से उत्पादों को रकम में परिवर्तित करने की समस्या में व्यस्त थे, अपने काम के प्रकाशन से दस साल से अधिक पहले, नेपियर को डेनमार्क से खबर मिली कि टाइको ब्राहे वेधशाला में उनके सहायकों के पास एक विधि थी जो बनाई गई थी उत्पादों को रकम में परिवर्तित करना संभव है। नेपियर को प्राप्त संदेश में उल्लिखित विधि उपयोग पर आधारित थी त्रिकोणमितीय सूत्रप्रकार
इसलिए नेपर की तालिकाओं में मुख्य रूप से लघुगणक शामिल थे त्रिकोणमितीय कार्य. हालाँकि नेपियर द्वारा प्रस्तावित परिभाषा में आधार की अवधारणा को स्पष्ट रूप से शामिल नहीं किया गया था, लेकिन उनके सिस्टम में लघुगणक प्रणाली के आधार के बराबर भूमिका संख्या (1 - 10 -7)ґ10 7 द्वारा निभाई गई थी, जो लगभग 1/ के बराबर थी। इ.
नेपर से स्वतंत्र रूप से और लगभग उसके साथ ही, जे. बर्गी द्वारा प्राग में लघुगणक की एक प्रणाली का आविष्कार और प्रकाशन किया गया था, जो 1620 में प्रकाशित हुआ था। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति तालिकाएँ. ये आधार (1 + 10 -4) ґ10 4 के प्रति लघुगणक की तालिकाएँ थीं, जो संख्या का काफी अच्छा अनुमान था इ.
नेपर प्रणाली में, संख्या 10 7 का लघुगणक शून्य माना जाता था, और जैसे-जैसे संख्याएँ घटती गईं, लघुगणक बढ़ते गए। जब जी. ब्रिग्स (1561-1631) ने नेपियर का दौरा किया, तो दोनों इस बात पर सहमत हुए कि संख्या 10 को आधार के रूप में उपयोग करना और एक के लघुगणक को शून्य मानना अधिक सुविधाजनक होगा। फिर, जैसे-जैसे संख्याएँ बढ़ती गईं, उनके लघुगणक भी बढ़ते गए। तो हमें मिल गया आधुनिक प्रणालीदशमलव लघुगणक, जिसकी एक तालिका ब्रिग्स ने अपने काम में प्रकाशित की लघुगणक अंकगणित(1620). आधार के लिए लघुगणक इ, हालांकि नेपर द्वारा पेश किए गए बिल्कुल सही नहीं हैं, फिर भी उन्हें अक्सर नेपर कहा जाता है। ब्रिग्स द्वारा "विशेषतावादी" और "मेंटिसा" शब्द प्रस्तावित किए गए थे।
पहले लघुगणक में, ऐतिहासिक कारणों से, संख्याओं के सन्निकटन का उपयोग किया जाता था 1/ इऔर इ. कुछ समय बाद, प्राकृतिक लघुगणक का विचार हाइपरबोला के अंतर्गत क्षेत्रों के अध्ययन से जुड़ा होने लगा xy= 1 (चित्र 1)। 17वीं सदी में यह दिखाया गया कि इस वक्र, अक्ष से घिरा क्षेत्र एक्सऔर निर्देशांक एक्स= 1 और एक्स = ए(चित्र 1 में यह क्षेत्र मोटे और विरल बिंदुओं से ढका हुआ है) में वृद्धि होती है अंकगणितीय प्रगति, कब एमें वृद्धि होती है ज्यामितीय अनुक्रम. यह वह निर्भरता है जो घातांक और लघुगणक के साथ संचालन के नियमों में उत्पन्न होती है। इसने नेपेरियन लघुगणक को "अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक" कहने को जन्म दिया।
लघुगणकीय कार्य.
एक समय था जब लघुगणक को केवल गणना के साधन के रूप में माना जाता था, लेकिन 18 वीं शताब्दी में, मुख्य रूप से यूलर के काम के लिए धन्यवाद, एक लघुगणक फ़ंक्शन की अवधारणा का गठन किया गया था। ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= लॉग एक्स, जिसके निर्देशांक अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, जबकि भुज ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, चित्र में प्रस्तुत किया गया है। 2, ए. व्युत्क्रम या घातांकीय फलन का ग्राफ़ वाई = ई एक्स, जिनके निर्देशांक ज्यामितीय प्रगति में बढ़ते हैं, और जिनके भुज अंकगणितीय प्रगति में बढ़ते हैं, क्रमशः चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 2, बी. (वक्र य=लॉग एक्सऔर य = 10एक्सआकार में वक्र के समान य= लॉग एक्सऔर य = पूर्व.) लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की वैकल्पिक परिभाषाएँ भी प्रस्तावित की गई हैं, उदाहरण के लिए।
केपीआई; और, इसी प्रकार, संख्या -1 के प्राकृतिक लघुगणक हैं जटिल आंकड़ेप्रकार (2 क + 1)अनुकरणीय, कहाँ क- पूर्णांक। समान कथन सामान्य लघुगणक या लघुगणक की अन्य प्रणालियों के लिए सत्य हैं। इसके अतिरिक्त, जटिल संख्याओं के जटिल लघुगणक को शामिल करने के लिए यूलर की पहचान का उपयोग करके लघुगणक की परिभाषा को सामान्यीकृत किया जा सकता है।
लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एक वैकल्पिक परिभाषा देता है कार्यात्मक विश्लेषण. अगर एफ(एक्स) – सतत कार्यवास्तविक संख्या एक्स, जिसमें निम्नलिखित तीन गुण हैं: एफ (1) = 0, एफ (बी) = 1, एफ (पराबैंगनी) = एफ (यू) + एफ (वी), वह एफ(एक्स) को संख्या के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है एक्सपर आधारित बी. इस लेख की शुरुआत में दी गई परिभाषा की तुलना में इस परिभाषा के कई फायदे हैं।
अनुप्रयोग।
लॉगरिदम का उपयोग मूल रूप से केवल गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया गया था, और यह एप्लिकेशन अभी भी उनके सबसे महत्वपूर्ण में से एक है। उत्पादों, भागफलों, घातों और मूलों की गणना न केवल लघुगणक की प्रकाशित तालिकाओं की व्यापक उपलब्धता से, बल्कि तथाकथित के उपयोग से भी सुगम होती है। स्लाइड नियम - एक कम्प्यूटेशनल उपकरण जिसका संचालन सिद्धांत लघुगणक के गुणों पर आधारित है। रूलर लघुगणकीय पैमानों से सुसज्जित है, अर्थात्। नंबर 1 से किसी भी नंबर की दूरी एक्सलॉग के बराबर होने के लिए चुना गया एक्स; एक पैमाने को दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित करके, लघुगणक के योग या अंतर को आलेखित करना संभव है, जिससे सीधे पैमाने से संबंधित संख्याओं के उत्पादों या भागफल को पढ़ना संभव हो जाता है। आप संख्याओं को लघुगणकीय रूप में प्रस्तुत करने के लाभों का भी लाभ उठा सकते हैं। ग्राफ़ बनाने के लिए लॉगरिदमिक पेपर (दोनों समन्वय अक्षों पर लॉगरिदमिक स्केल मुद्रित होने वाला पेपर)। यदि कोई फ़ंक्शन प्रपत्र के शक्ति नियम को संतुष्ट करता है y = kxn, तो इसका लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, क्योंकि लकड़ी का लट्ठा य=लॉग क + एनलकड़ी का लट्ठा एक्स- लॉग के संबंध में समीकरण रैखिक यऔर लॉग करें एक्स. इसके विपरीत, यदि किसी कार्यात्मक निर्भरता का लघुगणक ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, तो यह निर्भरता एक शक्ति है। सेमी-लॉग पेपर (जहां y-अक्ष में एक लघुगणकीय पैमाना होता है और x-अक्ष में एक समान पैमाना होता है) तब उपयोगी होता है जब आपको घातीय कार्यों की पहचान करने की आवश्यकता होती है। प्रपत्र के समीकरण वाई = केबी आरएक्सयह तब होता है जब कोई मात्रा, जैसे जनसंख्या, रेडियोधर्मी सामग्री की मात्रा, या बैंक बैलेंस, उपलब्ध के अनुपातिक दर से घटती या बढ़ती है इस पलनिवासियों की संख्या, रेडियोधर्मी पदार्थ या धन। यदि ऐसी निर्भरता अर्ध-लघुगणक कागज पर अंकित की जाती है, तो ग्राफ़ एक सीधी रेखा जैसा दिखेगा।
लॉगरिदमिक फ़ंक्शन विभिन्न प्रकार के प्राकृतिक रूपों के संबंध में उत्पन्न होता है। सूरजमुखी के पुष्पक्रम में फूल लघुगणक सर्पिल में व्यवस्थित होते हैं, मोलस्क के गोले मुड़े होते हैं नॉटिलस, पहाड़ी भेड़ के सींग और तोते की चोंच। ये सभी प्राकृतिक आकृतियाँ एक लघुगणकीय सर्पिल के रूप में जाने जाने वाले वक्र के उदाहरण के रूप में काम कर सकती हैं, क्योंकि एक ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, इसका समीकरण है आर = एई बीक्यू, या एल.एन आर= लॉग ए + bq. इस तरह के वक्र को एक गतिमान बिंदु द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसके ध्रुव से दूरी ज्यामितीय प्रगति में बढ़ती है, और इसके त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित कोण अंकगणितीय प्रगति में बढ़ता है। इस तरह के वक्र की सर्वव्यापकता, और इसलिए लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की, इस तथ्य से अच्छी तरह से चित्रित होती है कि यह एक विलक्षण कैमरे के समोच्च और प्रकाश की ओर उड़ने वाले कुछ कीड़ों के प्रक्षेपवक्र के रूप में इतने दूर और पूरी तरह से अलग क्षेत्रों में होता है।
किसी संख्या b से आधार a तक का लघुगणक वह घातांक है जिस पर संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a को ऊपर उठाया जाना चाहिए।
तो अगर।
लघुगणक - चरम महत्वपूर्ण गणितीय मात्रा , चूंकि लॉगरिदमिक कैलकुलस न केवल घातीय समीकरणों को हल करने की अनुमति देता है, बल्कि घातांक के साथ काम करने, घातीय और लघुगणकीय कार्यों को अलग करने, उन्हें एकीकृत करने और उन्हें गणना के लिए अधिक स्वीकार्य रूप में ले जाने की भी अनुमति देता है।
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लघुगणक के सभी गुण सीधे घातीय कार्यों के गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि 
मतलब कि:
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लघुगणक के गुण शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।
आइए कुछ पहचान प्रस्तुत करें:
यहां बुनियादी बीजगणितीय अभिव्यक्तियां हैं:
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ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।
आइए इस प्रश्न को समझने का प्रयास करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या हैं। गणित में विशेष रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले वाले के आधार पर संख्या "10" है, और इसे "कहा जाता है" दशमलव लघुगणक" दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या "ई" है। इसी बारे में हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।
पदनाम:
- एलजी एक्स - दशमलव;
- एलएन एक्स - प्राकृतिक।
पहचान का उपयोग करके, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, साथ ही यह तथ्य भी कि lg 10=1।
प्राकृतिक लघुगणक ग्राफ
आइए मानक का उपयोग करके प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाएं क्लासिक तरीके सेअंकों द्वारा. यदि आप चाहें तो फ़ंक्शन की जांच करके यह जांच सकते हैं कि हम फ़ंक्शन का निर्माण सही ढंग से कर रहे हैं या नहीं। हालाँकि, लघुगणक की सही गणना कैसे करें, यह जानने के लिए इसे "मैन्युअल रूप से" बनाना सीखना समझ में आता है।
फलन: y = ln x. आइए उन बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिनसे होकर ग्राफ़ गुज़रेगा:
आइए हम बताएं कि हमने तर्क x के इन विशेष मानों को क्यों चुना। यह सब पहचान के बारे में है: . प्राकृतिक लघुगणक के लिए यह पहचान इस तरह दिखेगी:
सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:
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इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणक की गणना करना काफी सरल कार्य है; इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल बनाता है, उन्हें में बदल देता है सामान्य गुणन.
बिंदु-दर-बिंदु ग्राफ़ बनाने पर, हमें एक अनुमानित ग्राफ़ मिलता है:
प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा का क्षेत्र (अर्थात्, तर्क X के सभी मान्य मान) शून्य से बड़ी सभी संख्याएँ हैं।
ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र में केवल सकारात्मक संख्याएँ शामिल हैं! परिभाषा के दायरे में x=0 शामिल नहीं है। लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।
मानों की श्रेणी (अर्थात् फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।
प्राकृतिक लॉग सीमा
ग्राफ़ का अध्ययन करने पर प्रश्न उठता है - फ़ंक्शन y पर कैसे व्यवहार करता है<0.
जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x का प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.
प्राकृतिक की सीमा लकड़ी का लट्ठाइस प्रकार लिखा जा सकता है:
लघुगणक के आधार को बदलने का सूत्र
प्राकृतिक लघुगणक से निपटना मनमाना आधार वाले लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है। इसीलिए हम यह सीखने का प्रयास करेंगे कि किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से इसे एक मनमाना आधार पर कैसे व्यक्त किया जाए।
आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:
फिर किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
जहाँ x कोई संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।
इस अभिव्यक्ति को दोनों तरफ लघुगणकीय रूप से लिया जा सकता है। आइए इसे एक मनमाना आधार z का उपयोग करके करें:
आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "सी" के बजाय हमारे पास अभिव्यक्ति है):
यहाँ से हमें सार्वभौमिक सूत्र मिलता है:
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विशेष रूप से, यदि z=e, तो:
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हम दो प्राकृतिक लघुगणक के अनुपात के माध्यम से एक लघुगणक को एक मनमाने आधार पर प्रस्तुत करने में सक्षम थे।
हम समस्याओं का समाधान करते हैं
प्राकृतिक लघुगणक को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए कई समस्याओं के उदाहरण देखें।
समस्या 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।
समाधान:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि , तो , हमें मिलता है:
समस्या 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।
समाधान: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए: यदि, तो, हम पाते हैं:
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आइए फिर से लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें:
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इस प्रकार:
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आप उत्तर की लगभग गणना कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।
कार्य 3.प्रश्न हल करें।
समाधान:आइए एक प्रतिस्थापन करें: t = ln x। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:
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हमारे पास एक द्विघात समीकरण है. आइए इसका विभेदक खोजें:
समीकरण का पहला मूल:
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समीकरण का दूसरा मूल:
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यह याद रखते हुए कि हमने प्रतिस्थापन t = ln x किया है, हमें मिलता है:
सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत बार पाई जाती हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई अक्सर घातीय मात्रा की वृद्धि दर को दर्शाती है।
कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लॉगरिदम अक्सर पाए जाते हैं, उदाहरण के लिए, मेमोरी में एन बिट्स को स्टोर करने के लिए।
फ्रैक्टल और आयामों के सिद्धांतों में, लघुगणक का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि फ्रैक्टल के आयाम केवल उनकी सहायता से निर्धारित किए जाते हैं।
यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई अनुभाग नहीं है जहाँ लघुगणक का उपयोग न किया गया हो। बैरोमेट्रिक वितरण, सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स के सभी सिद्धांत, त्सोल्कोवस्की समीकरण, आदि ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लघुगणक का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।
रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों और रेडॉक्स प्रक्रियाओं के विवरण में किया जाता है।
आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या जानने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।
प्राकृतिक लघुगणक फलन y=ln x इसके गुण
प्राकृतिक लघुगणक की मुख्य संपत्ति का प्रमाण
