जोड़ सूत्र आपको कोण ए के त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से पाप (2 * ए), कॉस (2 * ए) और टैन (ए) को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।
1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - पाप(a)*sin(b)।
2. पाप(ए+बी) = पाप(ए)*कॉस(बी) + कॉस(ए)*सिन(बी)।
3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).
आइए इन सूत्रों में a = b डालें। परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित पहचान प्राप्त होती है:
1. पाप(2*ए) = 2*पाप(ए)*कॉस(ए)।
2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2।
3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).
इन सर्वसमिकाओं को द्विकोण सूत्र कहा जाता है। आइए दोहरे कोण सूत्रों का उपयोग करने के कई उदाहरण देखें।
उदाहरण 1।यह जानते हुए कि cos(a) = -0.8 है और a तीसरा चौथाई कोण है, पाप(2*a) का मान ज्ञात कीजिए। समाधान:
सबसे पहले आइए पाप(ए) की गणना करें। चूँकि कोण a तीसरी तिमाही है, तीसरी तिमाही में ज्या ऋणात्मक होगी:
पाप(ए) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0.64) = -v0.36 = -0.6.
दोहरे कोण ज्या सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:
पाप(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0.6)*(-0.8) = 0.96।
उत्तर: पाप(2*ए) = 0.96.
उदाहरण 2.अभिव्यक्ति को सरल बनाएं पाप(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). समाधान:
आइए पाप(ए)*कॉस(ए) को कोष्ठक से बाहर निकालें। हम पाते हैं:
पाप(ए)*(कॉस(ए)) 3 - (पाप(ए)) 3 *कॉस(ए) = पाप(ए)*कॉस(ए)*(कॉस(ए)) 2 - (पाप(ए)) 2).
आइए अब दोहरे कोण सूत्रों का उपयोग करें:
= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*पाप(4*ए).
उत्तर: पाप(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).
दोहरे कोण सूत्रों का उपयोग करके आप निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं
1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,
1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2।
कभी-कभी उदाहरणों को हल करते समय इन सूत्रों का उपयोग करना बहुत सुविधाजनक होता है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:
उदाहरण 3.व्यंजक (1-cos(a))/(1+cos(a)) को सरल कीजिए। समाधान:
आइए अभिव्यक्ति (1-cos(a)) और (1+cos(a)) के लिए ऊपर लिखे सूत्रों को लागू करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले कोण a को निम्नलिखित उत्पाद 2*(a/2) के रूप में दर्शाते हैं।
परिवर्तनों के परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है:
(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),
स्पर्शरेखा की परिभाषा का उपयोग करते हुए हमारे पास:
(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .
उत्तर: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2।
सर्वाधिक बार पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या दिए गए नमूने के अनुसार किसी दस्तावेज़ पर मोहर बनाना संभव है? उत्तर हाँ, यह संभव है। एक स्कैन की हुई कॉपी या फोटो हमारे ईमेल पते पर भेजें अच्छी गुणवत्ता, और हम आवश्यक डुप्लिकेट बनाएंगे।
आप किस प्रकार का भुगतान स्वीकार करते हैं?
उत्तर आप कूरियर द्वारा प्राप्त होने पर, डिप्लोमा के निष्पादन की शुद्धता और गुणवत्ता की जांच करने के बाद दस्तावेज़ के लिए भुगतान कर सकते हैं। यह कैश ऑन डिलीवरी सेवाएं देने वाली डाक कंपनियों के कार्यालय में भी किया जा सकता है।
दस्तावेज़ों की डिलीवरी और भुगतान की सभी शर्तें "भुगतान और डिलीवरी" अनुभाग में वर्णित हैं। हम दस्तावेज़ की डिलीवरी और भुगतान की शर्तों के संबंध में आपके सुझाव सुनने के लिए भी तैयार हैं।
क्या मैं आश्वस्त हो सकता हूँ कि ऑर्डर देने के बाद आप मेरे पैसे लेकर गायब नहीं होंगे? उत्तर डिप्लोमा उत्पादन के क्षेत्र में हमारा काफी लंबा अनुभव है। हमारी कई वेबसाइटें हैं जो लगातार अपडेट होती रहती हैं। हमारे विशेषज्ञ देश के विभिन्न हिस्सों में काम करते हैं, प्रतिदिन 10 से अधिक दस्तावेज़ तैयार करते हैं। पिछले कुछ वर्षों में, हमारे दस्तावेज़ों ने कई लोगों को रोज़गार संबंधी समस्याओं को हल करने या आगे बढ़ने में मदद की है ऊँची कमाई वाली नौकरी. हमने ग्राहकों के बीच विश्वास और मान्यता अर्जित की है, इसलिए हमारे पास ऐसा करने का कोई कारण नहीं है। इसके अलावा, शारीरिक रूप से ऐसा करना बिल्कुल असंभव है: आप अपना ऑर्डर तब भुगतान करते हैं जब वह आपके हाथ में आ जाता है, कोई पूर्व भुगतान नहीं होता है।
क्या मैं किसी विश्वविद्यालय से डिप्लोमा मंगवा सकता हूँ? उत्तर सामान्य तौर पर, हाँ. हम लगभग 12 वर्षों से इस क्षेत्र में काम कर रहे हैं। इस दौरान देश और विदेश के लगभग सभी विश्वविद्यालयों द्वारा जारी किए गए दस्तावेज़ों का लगभग पूरा डेटाबेस तैयार किया गया। अलग-अलग सालजारी करने, निर्गमन। आपको बस एक विश्वविद्यालय, विशेषता, दस्तावेज़ का चयन करना और ऑर्डर फॉर्म भरना है।
यदि आपको किसी दस्तावेज़ में टाइपो और त्रुटियाँ मिलती हैं तो क्या करें?
उत्तर हमारी कूरियर या डाक कंपनी से दस्तावेज़ प्राप्त करते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि आप सभी विवरणों की सावधानीपूर्वक जाँच करें। यदि कोई टाइपो, त्रुटि या अशुद्धि पाई जाती है, तो आपको डिप्लोमा न लेने का अधिकार है, लेकिन आपको पता चली कमियों को कूरियर को व्यक्तिगत रूप से या लिखित रूप में एक पत्र भेजकर बताना होगा। ईमेल.
में जितनी जल्दी हो सकेहम दस्तावेज़ को सही कर देंगे और उसे निर्दिष्ट पते पर पुनः भेज देंगे। बेशक, शिपिंग का भुगतान हमारी कंपनी द्वारा किया जाएगा।
ऐसी ग़लतफ़हमियों से बचने के लिए, मूल फॉर्म भरने से पहले, हम ग्राहक को अंतिम संस्करण की जाँच और अनुमोदन के लिए भविष्य के दस्तावेज़ का एक मॉक-अप ईमेल करते हैं। कूरियर या मेल द्वारा दस्तावेज़ भेजने से पहले, हम अतिरिक्त फ़ोटो और वीडियो (पराबैंगनी प्रकाश सहित) भी लेते हैं ताकि आपको यह स्पष्ट पता चल सके कि अंत में आपको क्या मिलेगा।
आपकी कंपनी से डिप्लोमा ऑर्डर करने के लिए मुझे क्या करना चाहिए?
उत्तर किसी दस्तावेज़ (प्रमाणपत्र, डिप्लोमा, शैक्षणिक प्रमाणपत्र आदि) का ऑर्डर करने के लिए, आपको हमारी वेबसाइट पर ऑनलाइन ऑर्डर फॉर्म भरना होगा या अपना ईमेल प्रदान करना होगा ताकि हम आपको एक आवेदन पत्र भेज सकें, जिसे आपको भरकर वापस भेजना होगा। हम लोगो को।
यदि आप नहीं जानते कि ऑर्डर फॉर्म/प्रश्नावली के किसी भी क्षेत्र में क्या इंगित करना है, तो उन्हें खाली छोड़ दें। सभी गयाब सूचनाइसलिए, हम इसे फोन पर स्पष्ट करेंगे।'
नवीनतम समीक्षा
टोरीवाइल्ड:
जब मैं दूसरे शहर में चला गया और मुझे अपनी चीज़ों में अपना डिप्लोमा नहीं मिला तो मैंने आपकी कंपनी से एक डिप्लोमा खरीदने का फैसला किया। उसके बिना, मुझे अच्छी, अच्छी तनख्वाह वाली नौकरी पर नहीं रखा जाता। आपके सलाहकार ने मुझे इसका आश्वासन दिया यह जानकारीखुलासा नहीं किया गया है, और कोई भी दस्तावेज़ को मूल से अलग नहीं करेगा। इसमें कोई संदेह नहीं था, लेकिन मुझे जोखिम उठाना पड़ा। मुझे अच्छा लगा कि किसी पूर्व भुगतान की आवश्यकता नहीं है। सामान्य तौर पर, मुझे अपना डिप्लोमा समय पर प्राप्त हुआ और मुझे धोखा नहीं दिया गया। धन्यवाद!
ओक्साना इवानोव्ना:
जब मेरा डिप्लोमा चोरी हो गया तो मैं बहुत परेशान हो गया। आख़िरकार, मुझे उसी समय निकाल दिया गया था, लेकिन अब मैं उन्हें ढूंढ सकता हूँ अच्छा कामबिना डिप्लोमा के उच्च शिक्षालगभग असंभव। सौभाग्य से, एक पड़ोसी ने आपके संगठन से संपर्क करने का सुझाव दिया। पहले तो मुझे संदेह हुआ, लेकिन मैंने जोखिम लेने का फैसला किया। मैंने कंपनी मैनेजर को फोन किया और अपनी स्थिति बताई। और मैं भाग्यशाली हूँ! उन्होंने सब कुछ तुरंत किया, और सबसे महत्वपूर्ण बात, उन्होंने मेरा रहस्य उजागर न करने का वादा किया। मुझे चिंता थी कि कहीं बाद में यह तथ्य सामने न आ जाए कि मैंने डिप्लोमा खरीदा है।
माशा कुटेनकोवा:
कार्य के लिए धन्यवाद! मैंने 1991 से एक डिप्लोमा का आदेश दिया। जब उन्होंने दस्तावेज़ जुटाना शुरू किया, तो पता चला कि अनुभव बहुत कम था, और उन्हें अपनी शिक्षा की पुष्टि करने वाले एक दस्तावेज़ की भी आवश्यकता थी। मेरे पास एक भी नहीं था, और बॉस को यह पता था, और उसने खुद आपकी कंपनी की सिफारिश की थी (जाहिर है, मैं एक कर्मचारी जैसा कुछ भी नहीं हूं)। दस्तावेज़ पर, उसने मुझे विवरण बताया - जैसे, वे किस वर्ष स्याही या स्याही का उपयोग करते हैं, हस्ताक्षर की मोटाई, आदि। सावधानी और गुणवत्ता के लिए धन्यवाद!
लेनठीक है:
जिन कर्मचारियों के डिप्लोमा रंगीन प्रिंटर पर छपे थे, उनकी शर्मनाक बर्खास्तगी के बारे में कहानियाँ पढ़ने के बाद, मैं विश्वविद्यालय में आवेदन करने गया। अफसोस, कोई बजट नहीं है, पढ़ाई के लिए पैसे नहीं हैं और सत्रों के लिए भुगतान करने के लिए पैसे नहीं हैं, इसलिए मुझे जोखिम उठाना पड़ा। हालाँकि मुझे बहुत खुशी है कि मैं आपकी कंपनी से मिला। हालाँकि प्रैक्टिकल ब्लॉक की विफलता के कारण मुझे आपके डिप्लोमा के साथ काम पर नहीं रखा गया था, यह आपकी गलती नहीं है। जैसे ही मुझे कोई नई जगह मिलेगी, मैं बिना देर किए सीधे आपके पास आऊंगा!
जैरी टेरी:
यह देखकर कि मेरे सहकर्मी को फर्जी डिप्लोमा के कारण कितनी शर्मिंदगी से बाहर निकाल दिया गया, उसके उदाहरण का अनुसरण करना डरावना था। यदि वह गॉडमदर न होती जिसने आपसे आदेश दिया होता, तो मैं जोखिम नहीं उठाता। उन्होंने आश्वस्त किया कि यहां सब कुछ सुचारू है और जहां भी जरूरत होगी मेरा नाम होगा। मेरे पास सब कुछ करने के लिए 4 दिन थे। आपकी गति के लिए धन्यवाद - हमने इसे 3 में पूरा कर लिया, और जाली दस्तावेजों के तरीकों का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने में भी कामयाब रहे, लेकिन आपका फॉर्म नकली के रूप में योग्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह मूल के रूप में पारित हो जाएगा।
एंड्री:
मैंने कभी नहीं सोचा था कि मुझे डिप्लोमा खरीदना पड़ेगा। स्कूल के बाद, मेरी बेटी काम करने के लिए पोलैंड चली गई; जब वह 5 साल बाद वापस लौटी, तो वह एक स्थानीय फैशन हाउस में कपड़े डिजाइनर के रूप में नौकरी करना चाहती थी। बिना डिप्लोमा के कोई भी उसे नौकरी पर नहीं रखना चाहता था। वह समझ गया कि अगर उसे यह नौकरी नहीं मिली तो वह फिर छोड़ देगा। मैंने शाम इंटरनेट पर सर्फिंग में बिताई, और सुबह मैं अपनी बेटी के दस्तावेज़ों के साथ पहले से ही कार्यालय में था। एक सप्ताह बाद, वह उसका डिप्लोमा अपने साथ ले गया, और अंततः वह अपने शहर में वांछित पद पर काम करने के लिए रुक गई। आपको अंदाज़ा नहीं है कि मैं आपका कितना आभारी हूँ!
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क्या मैं किसी विश्वविद्यालय से डिप्लोमा मंगवा सकता हूँ? उत्तर सामान्य तौर पर, हाँ. हम लगभग 12 वर्षों से इस क्षेत्र में काम कर रहे हैं। इस दौरान, देश के लगभग सभी विश्वविद्यालयों द्वारा जारी किए गए और जारी होने के विभिन्न वर्षों के दस्तावेजों का लगभग पूरा डेटाबेस तैयार किया गया। आपको बस एक विश्वविद्यालय, विशेषता, दस्तावेज़ का चयन करना और ऑर्डर फॉर्म भरना है।
यदि आपको किसी दस्तावेज़ में टाइपो और त्रुटियाँ मिलती हैं तो क्या करें?
उत्तर हमारी कूरियर या डाक कंपनी से दस्तावेज़ प्राप्त करते समय, हम अनुशंसा करते हैं कि आप सभी विवरणों की सावधानीपूर्वक जाँच करें। यदि कोई टाइपो, त्रुटि या अशुद्धि पाई जाती है, तो आपको डिप्लोमा न लेने का अधिकार है, लेकिन आपको कूरियर को व्यक्तिगत रूप से या ईमेल भेजकर पता लगाए गए दोषों को इंगित करना होगा।
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ऐसी ग़लतफ़हमियों से बचने के लिए, मूल फॉर्म भरने से पहले, हम ग्राहक को अंतिम संस्करण की जाँच और अनुमोदन के लिए भविष्य के दस्तावेज़ का एक मॉक-अप ईमेल करते हैं। कूरियर या मेल द्वारा दस्तावेज़ भेजने से पहले, हम अतिरिक्त फ़ोटो और वीडियो (पराबैंगनी प्रकाश सहित) भी लेते हैं ताकि आपको यह स्पष्ट पता चल सके कि अंत में आपको क्या मिलेगा।
आपकी कंपनी से डिप्लोमा ऑर्डर करने के लिए मुझे क्या करना चाहिए?
उत्तर किसी दस्तावेज़ (प्रमाणपत्र, डिप्लोमा, शैक्षणिक प्रमाणपत्र आदि) का ऑर्डर करने के लिए, आपको हमारी वेबसाइट पर ऑनलाइन ऑर्डर फॉर्म भरना होगा या अपना ईमेल प्रदान करना होगा ताकि हम आपको एक आवेदन पत्र भेज सकें, जिसे आपको भरकर वापस भेजना होगा। हम लोगो को।
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नवीनतम समीक्षा
टोरीवाइल्ड:
जब मैं दूसरे शहर में चला गया और मुझे अपनी चीज़ों में अपना डिप्लोमा नहीं मिला तो मैंने आपकी कंपनी से एक डिप्लोमा खरीदने का फैसला किया। उसके बिना, मुझे अच्छी, अच्छी तनख्वाह वाली नौकरी पर नहीं रखा जाता। आपके सलाहकार ने मुझे आश्वासन दिया कि यह जानकारी प्रकट नहीं की जाएगी, और कोई भी दस्तावेज़ को मूल से अलग नहीं करेगा। इसमें कोई संदेह नहीं था, लेकिन मुझे जोखिम उठाना पड़ा। मुझे अच्छा लगा कि किसी पूर्व भुगतान की आवश्यकता नहीं है। सामान्य तौर पर, मुझे अपना डिप्लोमा समय पर प्राप्त हुआ और मुझे धोखा नहीं दिया गया। धन्यवाद!
ओक्साना इवानोव्ना:
जब मेरा डिप्लोमा चोरी हो गया तो मैं बहुत परेशान हो गया। आख़िरकार, मुझे उसी समय निकाल दिया गया था, और अब उच्च शिक्षा डिप्लोमा के बिना अच्छी नौकरी पाना लगभग असंभव है। सौभाग्य से, एक पड़ोसी ने आपके संगठन से संपर्क करने का सुझाव दिया। पहले तो मुझे संदेह हुआ, लेकिन मैंने जोखिम लेने का फैसला किया। मैंने कंपनी मैनेजर को फोन किया और अपनी स्थिति बताई। और मैं भाग्यशाली हूँ! उन्होंने सब कुछ तुरंत किया, और सबसे महत्वपूर्ण बात, उन्होंने मेरा रहस्य उजागर न करने का वादा किया। मुझे चिंता थी कि कहीं बाद में यह तथ्य सामने न आ जाए कि मैंने डिप्लोमा खरीदा है।
माशा कुटेनकोवा:
कार्य के लिए धन्यवाद! मैंने 1991 से एक डिप्लोमा का आदेश दिया। जब उन्होंने दस्तावेज़ जुटाना शुरू किया, तो पता चला कि अनुभव बहुत कम था, और उन्हें अपनी शिक्षा की पुष्टि करने वाले एक दस्तावेज़ की भी आवश्यकता थी। मेरे पास एक भी नहीं था, और बॉस को यह पता था, और उसने खुद आपकी कंपनी की सिफारिश की थी (जाहिर है, मैं एक कर्मचारी जैसा कुछ भी नहीं हूं)। दस्तावेज़ पर, उसने मुझे विवरण बताया - जैसे, वे किस वर्ष स्याही या स्याही का उपयोग करते हैं, हस्ताक्षर की मोटाई, आदि। सावधानी और गुणवत्ता के लिए धन्यवाद!
लेनठीक है:
जिन कर्मचारियों के डिप्लोमा रंगीन प्रिंटर पर छपे थे, उनकी शर्मनाक बर्खास्तगी के बारे में कहानियाँ पढ़ने के बाद, मैं विश्वविद्यालय में आवेदन करने गया। अफसोस, कोई बजट नहीं है, पढ़ाई के लिए पैसे नहीं हैं और सत्रों के लिए भुगतान करने के लिए पैसे नहीं हैं, इसलिए मुझे जोखिम उठाना पड़ा। हालाँकि मुझे बहुत खुशी है कि मैं आपकी कंपनी से मिला। हालाँकि प्रैक्टिकल ब्लॉक की विफलता के कारण मुझे आपके डिप्लोमा के साथ काम पर नहीं रखा गया था, यह आपकी गलती नहीं है। जैसे ही मुझे कोई नई जगह मिलेगी, मैं बिना देर किए सीधे आपके पास आऊंगा!
जैरी टेरी:
यह देखकर कि मेरे सहकर्मी को फर्जी डिप्लोमा के कारण कितनी शर्मिंदगी से बाहर निकाल दिया गया, उसके उदाहरण का अनुसरण करना डरावना था। यदि वह गॉडमदर न होती जिसने आपसे आदेश दिया होता, तो मैं जोखिम नहीं उठाता। उन्होंने आश्वस्त किया कि यहां सब कुछ सुचारू है और जहां भी जरूरत होगी मेरा नाम होगा। मेरे पास सब कुछ करने के लिए 4 दिन थे। आपकी गति के लिए धन्यवाद - हमने इसे 3 में पूरा कर लिया, और जाली दस्तावेजों के तरीकों का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने में भी कामयाब रहे, लेकिन आपका फॉर्म नकली के रूप में योग्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह मूल के रूप में पारित हो जाएगा।
एंड्री:
मैंने कभी नहीं सोचा था कि मुझे डिप्लोमा खरीदना पड़ेगा। स्कूल के बाद, मेरी बेटी काम करने के लिए पोलैंड चली गई; जब वह 5 साल बाद वापस लौटी, तो वह एक स्थानीय फैशन हाउस में कपड़े डिजाइनर के रूप में नौकरी करना चाहती थी। बिना डिप्लोमा के कोई भी उसे नौकरी पर नहीं रखना चाहता था। वह समझ गया कि अगर उसे यह नौकरी नहीं मिली तो वह फिर छोड़ देगा। मैंने शाम इंटरनेट पर सर्फिंग में बिताई, और सुबह मैं अपनी बेटी के दस्तावेज़ों के साथ पहले से ही कार्यालय में था। एक सप्ताह बाद, वह उसका डिप्लोमा अपने साथ ले गया, और अंततः वह अपने शहर में वांछित पद पर काम करने के लिए रुक गई। आपको अंदाज़ा नहीं है कि मैं आपका कितना आभारी हूँ!
-त्रिकोणमिति पर निश्चित रूप से कार्य होंगे। त्रिकोणमिति को अक्सर नापसंद किया जाता है क्योंकि इसमें रटने की आवश्यकता होती है बड़ी राशिकठिन सूत्र, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट से भरे हुए। साइट ने पहले ही एक बार यूलर और पील फ़ार्मुलों के उदाहरण का उपयोग करके भूले हुए फ़ॉर्मूले को याद रखने की सलाह दी थी।
और इस लेख में हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि केवल पांच सबसे सरल बातों को दृढ़ता से जानना ही काफी है त्रिकोणमितीय सूत्र, और बाकी के बारे में है सामान्य विचारऔर जाते समय उन्हें बाहर ले आना। यह डीएनए के समान है: यह अणु में संग्रहीत नहीं है। पूर्ण चित्रएक पूर्ण जीवित प्राणी. बल्कि, इसमें उपलब्ध अमीनो एसिड से इसे असेंबल करने के निर्देश शामिल हैं। तो त्रिकोणमिति में, कुछ जानना सामान्य सिद्धांतों, हम उन सभी आवश्यक सूत्रों को एक छोटे से सेट से प्राप्त करेंगे जिन्हें ध्यान में रखा जाना चाहिए।
हम निम्नलिखित सूत्रों पर भरोसा करेंगे:
ज्या और कोज्या योग के सूत्रों से, कोज्या फलन की समता और ज्या फलन की विषमता के बारे में जानकर, b के स्थान पर -b प्रतिस्थापित करने पर, हमें अंतर के सूत्र प्राप्त होते हैं:
- अंतर की साइन: पाप(ए-बी) = पापएओल(-बी)+ओलएपाप(-बी) = पापएओलबी-ओलएपापबी
- अंतर की कोज्या: ओल(ए-बी) = ओलएओल(-बी)-पापएपाप(-बी) = ओलएओलबी+पापएपापबी
समान सूत्रों में a = b डालने पर, हमें दोहरे कोणों की ज्या और कोज्या के सूत्र प्राप्त होते हैं:
- दोहरे कोण की ज्या: पाप2ए = पाप(ए+ए) = पापएओलए+ओलएपापए = 2पापएओलए
- दोहरे कोण की कोज्या: ओल2ए = ओल(ए+ए) = ओलएओलए-पापएपापए = ओल2 ए-पाप2 ए
अन्य अनेक कोणों के सूत्र इसी प्रकार प्राप्त होते हैं:
- त्रिकोण की ज्या: पाप3 ए = पाप(2ए+ए)= पाप2एओलए+ओल2एपापए = (2पापएओलए)ओलए+(ओल2 ए-पाप2 ए)पापए = 2पापएओल2 ए+पापएओल2 ए-पाप 3 ए = 3 पापएओल2 ए-पाप 3 ए = 3 पापए(1-पाप2 ए)-पाप 3 ए = 3 पापए-4पाप 3 ए
- त्रिकोण की कोज्या: ओल3 ए = ओल(2ए+ए)= ओल2एओलए-पाप2एपापए = (ओल2 ए-पाप2 ए)ओलए-(2पापएओलए)पापए = ओल 3 ए- पाप2 एओलए-2पाप2 एओलए = ओल 3 ए-3 पाप2 एओलए = ओल 3 ए-3(1- ओल2 ए)ओलए = 4ओल 3 ए-3 ओलए
इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, आइए एक समस्या पर नजर डालें।
दिया गया है: कोण तीव्र है।
यदि इसकी कोज्या ज्ञात कीजिए
एक छात्र द्वारा दिया गया समाधान:
क्योंकि , वह पापए= 3,ए ओलए = 4.
(गणित हास्य से)
तो, स्पर्शरेखा की परिभाषा इस फ़ंक्शन को साइन और कोसाइन दोनों से संबंधित करती है। लेकिन आप एक ऐसा सूत्र प्राप्त कर सकते हैं जो स्पर्शरेखा को केवल कोज्या से जोड़ता है। इसे प्राप्त करने के लिए, हम मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान लेते हैं: पाप 2 ए+ओल 2 ए= 1 और इसे से विभाजित करें ओल 2 ए. हम पाते हैं:
तो इस समस्या का समाधान यह होगा:
(चूंकि कोण न्यून है, मूल निकालते समय + चिह्न लिया जाता है)
किसी योग के स्पर्शरेखा का सूत्र एक और सूत्र है जिसे याद रखना कठिन है। आइए इसे इस तरह आउटपुट करें:
तुरंत प्रदर्शित और
दोहरे कोण के लिए कोज्या सूत्र से, आप आधे कोणों के लिए ज्या और कोज्या सूत्र प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, दोहरे कोण कोज्या सूत्र के बाईं ओर:
ओल2
ए = ओल 2
ए-पाप 2
ए
हम एक जोड़ते हैं, और दाईं ओर - एक त्रिकोणमितीय इकाई, यानी। ज्या और कोज्या के वर्गों का योग.
ओल2ए+1 = ओल2 ए-पाप2 ए+ओल2 ए+पाप2 ए
2ओल 2
ए = ओल2
ए+1
जताते ओलएके माध्यम से ओल2
एऔर चरों में परिवर्तन करते हुए, हमें मिलता है:
चतुर्थांश के आधार पर चिन्ह लिया जाता है।
इसी प्रकार, समानता के बाईं ओर से एक और दाईं ओर से ज्या और कोज्या के वर्गों के योग को घटाने पर, हमें प्राप्त होता है:
ओल2ए-1 = ओल2 ए-पाप2 ए-ओल2 ए-पाप2 ए
2पाप 2
ए = 1-ओल2
ए
और अंत में, राशि परिवर्तित करने के लिए त्रिकोणमितीय कार्यकाम में, हम उपयोग करते हैं अगली नियुक्ति. मान लीजिए कि हमें ज्याओं के योग को एक उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता है पापए+पापबी. आइए वेरिएबल x और y का परिचय इस प्रकार करें कि a = x+y, b+x-y। तब
पापए+पापबी = पाप(x+y)+ पाप(एक्स-वाई) = पापएक्स ओल y+ ओलएक्स पाप y+ पापएक्स ओलआप- ओलएक्स पापआप=2 पापएक्स ओलवाई आइए अब x और y को a और b के पदों में व्यक्त करें।
चूँकि a = x+y, b = x-y, तो। इसीलिए
आप तुरंत वापस ले सकते हैं
- विभाजन का सूत्र साइन और कोसाइन के उत्पादवी मात्रा: पापएओलबी = 0.5(पाप(ए+बी)+पाप(ए-बी))
हम अनुशंसा करते हैं कि आप साइन के अंतर और कोसाइन के योग और अंतर को उत्पाद में परिवर्तित करने के साथ-साथ साइन और कोसाइन के उत्पादों को योग में विभाजित करने के लिए स्वयं अभ्यास करें और सूत्र प्राप्त करें। इन अभ्यासों को पूरा करने के बाद, आप त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्राप्त करने के कौशल में पूरी तरह से महारत हासिल कर लेंगे और सबसे कठिन परीक्षा, ओलंपियाड या परीक्षण में भी हार नहीं मानेंगे।