गणितीय अपेक्षा और विचरण का अनुमान. एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का अनुमान

एस एक्स =(1.11)

हम आगे विचार करेंगे महत्वपूर्ण कार्यकिसी प्रेक्षित यादृच्छिक चर का अध्ययन करना। चलो कुछ नमूना है (हम इसे निरूपित करेंगे)। एस) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक्स. उपलब्ध नमूने से अनुमान लगाना आवश्यक है अज्ञात मान एमएक्सऔर ।

विभिन्न मापदंडों के अनुमान का सिद्धांत व्याप्त है गणितीय सांख्यिकीमहत्वपूर्ण स्थान. इसलिए, आइए पहले विचार करें सामान्य कार्य. मान लीजिए कि कुछ पैरामीटर का अनुमान लगाना आवश्यक है एनमूने द्वारा एस. ऐसा प्रत्येक मूल्यांकन ए*कुछ कार्य है ए*=ए*(एस)नमूना मूल्यों से. नमूना मान यादृच्छिक हैं, इसलिए अनुमान स्वयं ए*एक यादृच्छिक चर है. अनेकों का निर्माण संभव है अलग-अलग अनुमान(अर्थात् कार्य) ए*, लेकिन साथ ही एक अर्थ में "अच्छा" या "सर्वश्रेष्ठ" होना भी वांछनीय है। निम्नलिखित तीन प्राकृतिक आवश्यकताएँ आमतौर पर मूल्यांकन पर लगाई जाती हैं।

1. विस्थापित.मूल्यांकन की गणितीय अपेक्षा ए*पैरामीटर के सटीक मान के बराबर होना चाहिए: एम = ए. दूसरे शब्दों में, स्कोर ए*व्यवस्थित त्रुटि नहीं होनी चाहिए.

2. धन.नमूना आकार में अनंत वृद्धि के साथ, अनुमान ए*एक सटीक मान पर अभिसरण होना चाहिए, अर्थात, जैसे-जैसे अवलोकनों की संख्या बढ़ती है, अनुमान त्रुटि शून्य हो जाती है।

3. दक्षता.श्रेणी ए*इसे कुशल कहा जाता है यदि यह निष्पक्ष हो और इसमें त्रुटि भिन्नता सबसे कम हो। इस मामले में, अनुमानों का प्रसार न्यूनतम है ए*सटीक मान के सापेक्ष और अनुमान एक निश्चित अर्थ में "सबसे सटीक" है।

दुर्भाग्य से, ऐसा मूल्यांकन बनाना हमेशा संभव नहीं होता जो सभी तीन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा करता हो।

गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए, अनुमान का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

= , (1.12)

अर्थात्, नमूने का अंकगणितीय माध्य। यदि यादृच्छिक चर एक्सपरिमित है एमएक्सऔर एस एक्स, तो अनुमान (1.12) पक्षपातपूर्ण और सुसंगत नहीं है। यह अनुमान प्रभावी है, उदाहरण के लिए, यदि एक्सइसका सामान्य वितरण है (चित्र 1.4, परिशिष्ट 1)। अन्य वितरणों के लिए यह प्रभावी नहीं हो सकता है. उदाहरण के लिए, मामले में वर्दी वितरण(चित्र 1.1, परिशिष्ट 1) एक निष्पक्ष, सुसंगत अनुमान होगा

(1.13)

साथ ही, सामान्य वितरण के लिए अनुमान (1.13) न तो सुसंगत होगा और न ही प्रभावी होगा, और नमूना आकार बढ़ने के साथ और भी खराब हो जाएगा।

इस प्रकार, प्रत्येक प्रकार के वितरण के लिए एक यादृच्छिक चर होता है एक्सआपको गणितीय अपेक्षा के अपने अनुमान का उपयोग करना चाहिए। हालाँकि, हमारी स्थिति में, वितरण का प्रकार केवल अस्थायी तौर पर ही जाना जा सकता है। इसलिए, हम अनुमान (1.12) का उपयोग करेंगे, जो काफी सरल है और सबसे अधिक है महत्वपूर्ण गुणनिष्पक्षता और निरंतरता.

समूहीकृत नमूने के लिए गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए, निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है:

= , (1.14)

जो पिछले वाले से प्राप्त किया जा सकता है, अगर हम हर चीज़ पर विचार करें एम मैंनमूना मान शामिल हैं मैं-वें अंतराल प्रतिनिधि के बराबर z मैंयह अंतराल. यह अनुमान स्वाभाविक रूप से अधिक मोटा है, लेकिन इसमें काफी कम गणना की आवश्यकता होती है, खासकर बड़े नमूना आकार के साथ।

विचरण का अनुमान लगाने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला अनुमान है:

= , (1.15)

यह अनुमान पक्षपातपूर्ण नहीं है और किसी भी यादृच्छिक चर के लिए मान्य है एक्स, जिसमें चौथे क्रम तक सीमित क्षण शामिल हैं।

समूहीकृत नमूने के मामले में, उपयोग किया गया अनुमान है:

= (1.16)

अनुमान (1.14) और (1.16), एक नियम के रूप में, पक्षपाती और अस्थिर हैं, क्योंकि उनकी गणितीय अपेक्षाएँ और वे सीमाएँ जिनसे वे अभिसरण करते हैं, भिन्न हैं एमएक्सऔर इसमें शामिल सभी नमूना मूल्यों के प्रतिस्थापन के कारण मैं-वें अंतराल, प्रति अंतराल प्रतिनिधि z मैं.

ध्यान दें कि बड़े के लिए एन,गुणक एन/(एन - 1)अभिव्यक्ति (1.15) और (1.16) में एकता के करीब है, इसलिए इसे छोड़ा जा सकता है।

अंतराल अनुमान.

होने देना सही मूल्यकुछ पैरामीटर के बराबर है एऔर इसका अनुमान पाया गया जैसा)नमूने द्वारा एस. मूल्यांकन ए*संख्यात्मक अक्ष पर एक बिंदु से मेल खाता है (चित्र 1.5), इसलिए यह अनुमान कहा जाता है बिंदु. पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए सभी अनुमान बिंदु अनुमान हैं। लगभग हमेशा, संयोगवश

ए* ¹ ए, और हम केवल यही आशा कर सकते हैं कि बात ए*कहीं आस-पास है ए. लेकिन कितना करीब? किसी भी अन्य बिंदु अनुमान में वही खामी होगी - परिणाम की विश्वसनीयता के माप की कमी।

चित्र.1.5. बिंदु पैरामीटर अनुमान.

इस संबंध में और अधिक विशिष्ट हैं अंतराल अनुमान. अंतराल स्कोर एक अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है मैं बी = (ए, बी), जिसमें किसी दी गई संभावना के साथ अनुमानित पैरामीटर का सटीक मान पाया जाता है बी. मध्यान्तर आईबीबुलाया विश्वास अंतराल, और संभावना बीबुलाया आत्मविश्वास की संभावना और माना जा सकता है मूल्यांकन की विश्वसनीयता.

विश्वास अंतराल उपलब्ध नमूने पर आधारित है एस, यह इस अर्थ में यादृच्छिक है कि इसकी सीमाएँ यादृच्छिक हैं जैसा)और बी(एस), जिसकी गणना हम एक (यादृच्छिक) नमूने से करेंगे। इसीलिए बीऐसी संभावना है कि यादृच्छिक अंतराल आईबीएक गैर-यादृच्छिक बिंदु को कवर करेगा ए. चित्र में. 1.6. मध्यान्तर आईबीमुद्दे को कवर किया ए, ए आईबी*- नहीं। इसलिए ऐसा कहना पूरी तरह से सही नहीं है ए "गिरता है" अंतराल में।

यदि आत्मविश्वास की संभावना बीबड़ा (उदाहरण के लिए, बी = 0.999), तो लगभग हमेशा सटीक मान एनिर्मित अंतराल के भीतर है.

चित्र.1.6. पैरामीटर का विश्वास अंतराल एविभिन्न नमूनों के लिए.

आइए निर्माण विधि पर विचार करें विश्वास अंतरालएक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा के लिए एक्स,पर आधारित केंद्रीय सीमा प्रमेय.

चलो यादृच्छिक चर एक्सएक अज्ञात गणितीय अपेक्षा है एमएक्सऔर ज्ञात विचरण. फिर, केंद्रीय सीमा प्रमेय के आधार पर, अंकगणितीय माध्य है:

= , (1.17)

परिणाम एन स्वतंत्र परीक्षणमात्रा एक्सएक यादृच्छिक चर है जिसका वितरण बड़े पैमाने पर होता है एन, के करीब सामान्य वितरणऔसत के साथ एमएक्सऔर मानक विचलन. इसलिए यादृच्छिक चर

(1.18)

एक संभाव्यता वितरण है जिस पर विचार किया जा सकता है मानक सामान्यवितरण घनत्व के साथ जे(टी), जिसका ग्राफ चित्र 1.7 (साथ ही चित्र 1.4, परिशिष्ट 1) में दिखाया गया है।

चित्र.1.7. एक यादृच्छिक चर का संभाव्यता घनत्व वितरण टी.

विश्वास की संभावना दी जाए बीऔर टी बी -समीकरण को संतुष्ट करने वाली संख्या

बी = Ф 0 (टी बी) – Ф 0 (-टी बी) = 2 Ф 0 (टी बी),(1.19)

कहाँ - लाप्लास फ़ंक्शन. फिर अंतराल में गिरने की संभावना (-टी बी , टी बी)चित्र 1.7 में छायांकित के बराबर होगा। क्षेत्र, और, अभिव्यक्ति के आधार पर (1.19), के बराबर है बी. इस तरह

बी = पी(-टी बी< < t b) = P( - टी.बी< m x < + टी बी ) =

= पी( - टी.बी< m x < + टी बी ) .(1.20)

इस प्रकार, विश्वास अंतराल के रूप में हम अंतराल ले सकते हैं

मैं बी = ( – टी बी ; + टी बी ) , (1.21)

चूँकि अभिव्यक्ति (1.20) का अर्थ है कि अज्ञात सटीक मान एमएक्समें है आईबीकिसी निश्चित आत्मविश्वास संभावना के साथ बी. निर्माण के लिए आईबीनिर्दिष्ट के अनुसार आवश्यक है बीखोजो टी बीसमीकरण (1.19) से. आइए कुछ मूल्य दें टी बीभविष्य में जरूरत है :

टी 0.9 = 1.645; टी 0.95 = 1.96; टी 0.99 = 2.58; टी 0.999 = 3.3.

व्यंजक (1.21) निकालते समय यह मान लिया गया कि मानक विचलन का सटीक मान ज्ञात है एस एक्स. हालाँकि, यह हमेशा ज्ञात नहीं होता है। इसलिए आइए हम उसके अनुमान (1.15) का उपयोग करें और प्राप्त करें:

मैं बी = ( – टी बी ; +टीबी). (1.22)

तदनुसार, समूहीकृत नमूने से प्राप्त अनुमान और विश्वास अंतराल के लिए निम्नलिखित सूत्र देते हैं:

मैं बी = ( – टी बी ; +टीबी). (1.23)

व्याख्यान का उद्देश्य: एक अज्ञात वितरण पैरामीटर का अनुमान लगाने की अवधारणा का परिचय देना और ऐसे अनुमानों का वर्गीकरण देना; गणितीय अपेक्षा और फैलाव के बिंदु और अंतराल अनुमान प्राप्त करें।

व्यवहार में, ज्यादातर मामलों में, यादृच्छिक चर का वितरण कानून अज्ञात है, और अवलोकनों के परिणामों के अनुसार
संख्यात्मक विशेषताओं (उदाहरण के लिए, गणितीय अपेक्षा, फैलाव या अन्य क्षण) या अज्ञात पैरामीटर का अनुमान लगाना आवश्यक है , जो वितरण कानून (वितरण घनत्व) निर्धारित करता है
यादृच्छिक चर का अध्ययन किया जा रहा है। इस प्रकार, एक घातीय वितरण या पॉइसन वितरण के लिए, एक पैरामीटर का अनुमान लगाना पर्याप्त है, लेकिन सामान्य वितरण के लिए, दो मापदंडों का अनुमान लगाया जाना चाहिए - गणितीय अपेक्षा और विचरण।

आकलन के प्रकार

यादृच्छिक मूल्य
संभाव्यता घनत्व है
, कहाँ – अज्ञात वितरण पैरामीटर. प्रयोग के परिणामस्वरूप, इस यादृच्छिक चर के मान प्राप्त हुए:
. मूल्यांकन करने का अनिवार्य रूप से मतलब है कि एक यादृच्छिक चर का नमूना मान एक निश्चित पैरामीटर मान के साथ जुड़ा होना चाहिए , यानी अवलोकन परिणामों का कुछ फ़ंक्शन बनाएं
, जिसका मूल्य अनुमान के रूप में लिया जाता है पैरामीटर . अनुक्रमणिका किए गए प्रयोगों की संख्या को इंगित करता है।

कोई भी फ़ंक्शन जो अवलोकनों के परिणामों पर निर्भर करता है, कहलाता है आंकड़े. चूँकि प्रेक्षणों के परिणाम यादृच्छिक चर होते हैं, सांख्यिकी भी एक यादृच्छिक चर होगी। इसलिए, मूल्यांकन
अज्ञात पैरामीटर इसे एक यादृच्छिक चर के रूप में माना जाना चाहिए, और इसके मूल्य की गणना मात्रा में प्रयोगात्मक डेटा से की जानी चाहिए , - में से एक संभावित मानयह यादृच्छिक चर.

वितरण मापदंडों के अनुमान (यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएं) को बिंदु और अंतराल में विभाजित किया गया है। बिंदु लागतपैरामीटर एक संख्या द्वारा निर्धारित , और इसकी सटीकता अनुमान के भिन्नता द्वारा विशेषता है। अंतराल अनुमानवह स्कोर कहलाता है जो दो संख्याओं द्वारा निर्धारित होता है, और - अनुमानित पैरामीटर को कवर करने वाले अंतराल के अंत किसी निश्चित आत्मविश्वास संभावना के साथ।

वर्गीकरण बिंदु अनुमान

किसी अज्ञात पैरामीटर के बिंदु अनुमान के लिए
सटीकता की दृष्टि से सर्वोत्तम, यह सुसंगत, निष्पक्ष और कुशल होना चाहिए।

धनवानमूल्यांकन कहा जाता है
पैरामीटर , यदि यह अनुमानित पैरामीटर में संभाव्यता में परिवर्तित हो जाता है, अर्थात।

. (8.8)

चेबीशेव की असमानता के आधार पर यह दिखाया जा सकता है पर्याप्त स्थितिसंबंध की पूर्ति (8.8) समानता है

.

संगति अनुमान की एक स्पर्शोन्मुख विशेषता है
.

निष्पक्षमूल्यांकन कहा जाता है
(व्यवस्थित त्रुटि के बिना अनुमान), जिसकी गणितीय अपेक्षा अनुमानित पैरामीटर के बराबर है, अर्थात।

. (8.9)

यदि समानता (8.9) संतुष्ट न हो तो अनुमान पक्षपातपूर्ण कहा जाता है। अंतर
अनुमान में पूर्वाग्रह या व्यवस्थित त्रुटि कहा जाता है। यदि समानता (8.9) केवल के लिए संतुष्ट है
, तो संबंधित अनुमान को स्पर्शोन्मुख रूप से निष्पक्ष कहा जाता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि व्यवहार में उपयोग किए जाने वाले सभी अनुमानों के लिए स्थिरता लगभग अनिवार्य शर्त है (असंगत अनुमानों का उपयोग बहुत ही कम किया जाता है), तो निष्पक्षता की संपत्ति केवल वांछनीय है। अक्सर उपयोग किए जाने वाले कई अनुमानों में निष्पक्ष संपत्ति नहीं होती है।

सामान्य तौर पर, कुछ पैरामीटर का अनुमान लगाने की सटीकता , प्रायोगिक डेटा के आधार पर प्राप्त किया गया
, माध्य चुकता त्रुटि द्वारा विशेषता

,

जिसे फॉर्म में छोटा किया जा सकता है

,

भिन्नता कहां है,
- वर्ग अनुमान पूर्वाग्रह.

यदि अनुमान निष्पक्ष है, तो

परिमित पर माध्य वर्ग त्रुटि के आधार पर अनुमान भिन्न हो सकते हैं . स्वाभाविक रूप से, यह त्रुटि जितनी छोटी होगी, अनुमानित पैरामीटर के आसपास मूल्यांकन मान उतने ही अधिक समूहीकृत होंगे। इसलिए, यह हमेशा वांछनीय है कि अनुमान त्रुटि यथासंभव छोटी हो, यानी शर्त पूरी हो

. (8.10)

मूल्यांकन , संतोषजनक स्थिति (8.10), को न्यूनतम वर्ग त्रुटि वाला अनुमान कहा जाता है।

असरदारमूल्यांकन कहा जाता है
, जिसके लिए माध्य चुकता त्रुटि किसी अन्य अनुमान की माध्य चुकता त्रुटि से अधिक नहीं है, अर्थात।

कहाँ - कोई अन्य पैरामीटर अनुमान .

यह ज्ञात है कि एक पैरामीटर के किसी भी निष्पक्ष अनुमान का विचरण क्रैमर-राव असमानता को संतुष्ट करता है

,

कहाँ
- पैरामीटर के वास्तविक मान पर यादृच्छिक चर के प्राप्त मूल्यों का सशर्त संभाव्यता घनत्व वितरण .

इस प्रकार, निष्पक्ष अनुमान
, जिसके लिए क्रैमर-राव असमानता समानता बन जाती है, प्रभावी होगी, यानी, ऐसे अनुमान में न्यूनतम भिन्नता होती है।

अपेक्षा और विचरण का बिंदु अनुमान

यदि एक यादृच्छिक चर पर विचार किया जाता है
, जिसकी गणितीय अपेक्षा है और विचरण , तो ये दोनों पैरामीटर अज्ञात माने जाते हैं। इसलिए, एक यादृच्छिक चर पर
उत्पादन स्वतंत्र प्रयोग जो परिणाम देते हैं:
. अज्ञात मापदंडों के सुसंगत और निष्पक्ष अनुमान लगाना आवश्यक है और .

जैसा अनुमान है और आमतौर पर सांख्यिकीय (नमूना) माध्य और सांख्यिकीय (नमूना) विचरण क्रमशः चुना जाता है:

; (8.11)

. (8.12)

गणितीय अपेक्षा का अनुमान (8.11) बड़ी संख्या के नियम (चेबीशेव प्रमेय) के अनुसार सुसंगत है:

.

एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा

.

इसलिए, अनुमान निष्पक्ष है.

गणितीय अपेक्षा अनुमान का फैलाव:

यदि यादृच्छिक चर
सामान्य कानून के अनुसार वितरित किया जाता है, फिर अनुमान प्रभावी भी है.

विचरण अनुमान की अपेक्षा

एक ही समय में

.

क्योंकि
, ए
, तो हमें मिलता है

. (8.13)

इस प्रकार,
- एक पक्षपातपूर्ण मूल्यांकन, हालांकि यह सुसंगत और प्रभावी है।

सूत्र (8.13) से यह निष्कर्ष निकलता है कि निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करना है
नमूना विचरण (8.12) को निम्नानुसार संशोधित किया जाना चाहिए:

जिसे अनुमान (8.12) की तुलना में "बेहतर" माना जाता है, हालाँकि बड़े पैमाने पर ये अनुमान लगभग एक दूसरे के बराबर हैं।

वितरण मापदंडों का अनुमान प्राप्त करने की विधियाँ

अक्सर व्यवहार में, यह उस भौतिक तंत्र के विश्लेषण पर आधारित होता है जो यादृच्छिक चर उत्पन्न करता है
, हम इस यादृच्छिक चर के वितरण कानून के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं। हालाँकि, इस वितरण के पैरामीटर अज्ञात हैं और प्रयोगात्मक परिणामों से अनुमान लगाया जाना चाहिए, आमतौर पर एक सीमित नमूने के रूप में प्रस्तुत किया जाता है
. इस समस्या को हल करने के लिए, दो विधियों का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है: क्षणों की विधि और अधिकतम संभावना विधि।

क्षणों की विधि. इस विधि में सैद्धांतिक क्षणों को समान क्रम के संगत अनुभवजन्य क्षणों के साथ बराबर करना शामिल है।

अनुभवजन्य प्रारंभिक बिंदु -वां क्रम सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है:

,

और संबंधित सैद्धांतिक प्रारंभिक क्षण -वां क्रम - सूत्र:

असतत यादृच्छिक चर के लिए,

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए,

कहाँ - अनुमानित वितरण पैरामीटर।

दो अज्ञात मापदंडों वाले वितरण के मापदंडों का अनुमान प्राप्त करना और , दो समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की गई है

कहाँ और - दूसरे क्रम के सैद्धांतिक और अनुभवजन्य केंद्रीय क्षण।

समीकरणों की प्रणाली का समाधान अनुमान है और अज्ञात वितरण पैरामीटर और .

पहले क्रम के सैद्धांतिक और अनुभवजन्य प्रारंभिक क्षणों की बराबरी करते हुए, हम एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाकर इसे प्राप्त करते हैं
, एक मनमाना वितरण होने पर, नमूना माध्य होगा, अर्थात।
. फिर, दूसरे क्रम के सैद्धांतिक और अनुभवजन्य केंद्रीय क्षणों की बराबरी करते हुए, हम पाते हैं कि यादृच्छिक चर के विचरण का अनुमान
, जिसका मनमाना वितरण होता है, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

.

इसी प्रकार, कोई भी किसी भी क्रम के सैद्धांतिक क्षणों का अनुमान पा सकता है।

क्षणों की विधि सरल है और इसमें जटिल गणनाओं की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन इस विधि द्वारा प्राप्त अनुमान अक्सर अप्रभावी होते हैं।

अधिकतम संभावना विधि. अज्ञात वितरण मापदंडों के बिंदु अनुमान की अधिकतम संभावना विधि एक या अधिक अनुमानित मापदंडों के अधिकतम कार्य को खोजने के लिए नीचे आती है।

होने देना
एक सतत यादृच्छिक चर है, जिसके परिणामस्वरूप परीक्षणों ने मान लिया
. किसी अज्ञात पैरामीटर का अनुमान प्राप्त करने के लिए ऐसा मान ज्ञात करना आवश्यक है , जिस पर परिणामी नमूने को लागू करने की संभावना अधिकतम होगी। क्योंकि
समान संभाव्यता घनत्व के साथ परस्पर स्वतंत्र मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं
, वह संभाव्यता समारोहतर्क फ़ंक्शन को कॉल करें :

पैरामीटर की अधिकतम संभावना अनुमान द्वारा इस मान को कहा जाता है , जिस पर संभाव्यता फलन अधिकतम तक पहुँच जाता है, अर्थात, समीकरण का एक समाधान है

,

जो स्पष्ट रूप से परीक्षण परिणामों पर निर्भर करता है
.

कार्यों के बाद से
और
समान मूल्यों पर अधिकतम तक पहुँचें
, फिर गणनाओं को सरल बनाने के लिए वे अक्सर लॉगरिदमिक संभावना फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं और संबंधित समीकरण की जड़ की तलाश करते हैं

,

जिसे कहा जाता है संभाव्यता समीकरण.

यदि आपको कई मापदंडों का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है
वितरण
, तो संभावना फ़ंक्शन इन मापदंडों पर निर्भर करेगा। अनुमान खोजने के लिए
सिस्टम को हल करने के लिए वितरण पैरामीटर आवश्यक है संभाव्यता समीकरण

.

अधिकतम संभावना विधि सुसंगत और असममित रूप से कुशल अनुमान प्रदान करती है। हालाँकि, अधिकतम संभावना विधि द्वारा प्राप्त अनुमान पक्षपाती होते हैं, और, इसके अलावा, अनुमान खोजने के लिए, समीकरणों की जटिल प्रणालियों को हल करना अक्सर आवश्यक होता है।

अंतराल पैरामीटर अनुमान

बिंदु अनुमानों की सटीकता उनके विचरण द्वारा विशेषता है। हालाँकि, इस बारे में कोई जानकारी नहीं है कि प्राप्त अनुमान मापदंडों के वास्तविक मूल्यों के कितने करीब हैं। कई कार्यों में, आपको न केवल पैरामीटर खोजने की आवश्यकता है उपयुक्त संख्यात्मक मान, बल्कि इसकी सटीकता और विश्वसनीयता का मूल्यांकन भी करना। आपको यह पता लगाना होगा कि किसी पैरामीटर को बदलने से कौन सी त्रुटियाँ हो सकती हैं इसका बिंदु अनुमान और हमें किस हद तक विश्वास के साथ यह उम्मीद करनी चाहिए कि ये त्रुटियाँ ज्ञात सीमाओं से अधिक नहीं होंगी।

ऐसे कार्य विशेष रूप से प्रासंगिक होते हैं जब प्रयोगों की संख्या कम होती है। , जब बिंदु अनुमान काफी हद तक यादृच्छिक और अनुमानित प्रतिस्थापन पर महत्वपूर्ण त्रुटियाँ हो सकती हैं।

अधिक पूर्ण और विश्वसनीय तरीकावितरण के मापदंडों का अनुमान लगाने में एक बिंदु मान निर्धारित करना शामिल नहीं है, बल्कि एक अंतराल है, जो किसी दी गई संभावना के साथ, अनुमानित पैरामीटर के सही मूल्य को कवर करता है।

नतीजों के मुताबिक चलो प्रयोगों से एक निष्पक्ष अनुमान प्राप्त हुआ
पैरामीटर . संभावित त्रुटि का मूल्यांकन करना आवश्यक है. कुछ पर्याप्त रूप से बड़ी संभावना का चयन किया गया है
(उदाहरण के लिए), जैसे कि इस संभावना वाली एक घटना को व्यावहारिक रूप से एक निश्चित घटना माना जा सकता है, और ऐसा मान पाया जाता है , जिसके लिए

. (8.15)

इस मामले में, प्रतिस्थापन के दौरान होने वाली त्रुटि के व्यावहारिक रूप से संभावित मूल्यों की सीमा पर , इच्छा
, और बड़े वाले निरपेक्ष मूल्यत्रुटियाँ केवल कम संभावना के साथ दिखाई देंगी .

अभिव्यक्ति (8.15) का अर्थ है कि संभाव्यता के साथ
अज्ञात पैरामीटर मान अंतराल में पड़ता है

. (8.16)

संभावना
बुलाया आत्मविश्वास की संभावना, और अंतराल , संभाव्यता के साथ कवर करना पैरामीटर का सही मान कहा जाता है विश्वास अंतराल. ध्यान दें कि यह कहना गलत है कि पैरामीटर मान संभाव्यता के साथ विश्वास अंतराल के भीतर है . प्रयुक्त सूत्रीकरण (कवर) का अर्थ है कि यद्यपि अनुमानित पैरामीटर अज्ञात है, इसका एक स्थिर मूल्य है और इसलिए इसका कोई प्रसार नहीं है क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर नहीं है।

विषय:गणितीय अपेक्षा का बिंदु अनुमान. विचरण का बिंदु अनुमान. किसी घटना की संभावना का बिंदु अनुमान. समान वितरण मापदंडों का बिंदु अनुमान।

खण्ड 1.गणितीय अपेक्षा का बिंदु अनुमान.

आइए मान लें कि यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन अज्ञात पैरामीटर पर निर्भर करता है θ : पी (ξ θ;).

अगर एक्स 1 , एक्स 2 …., एक्स एनएक यादृच्छिक चर ξ की सामान्य जनसंख्या से एक नमूना है, फिर पैरामीटर का अनुमान लगाकर θ नमूना मूल्यों का एक मनमाना कार्य है

अनुमान का मूल्य नमूने से नमूने में बदलता है और इसलिए, एक यादृच्छिक चर है। अधिकांश प्रयोगों में, इस यादृच्छिक चर का मान अनुमानित पैरामीटर के मान के करीब है; यदि किसी मान n के लिए मान की गणितीय अपेक्षा पैरामीटर के वास्तविक मान के बराबर है, तो शर्त को पूरा करने वाले अनुमान कहलाते हैं निष्पक्ष. निष्पक्ष अनुमान का अर्थ है कि अनुमान व्यवस्थित त्रुटि के अधीन नहीं है।

अनुमान को सुसंगत पैरामीटर अनुमान कहा जाता है θ , यदि किसी ξ>0 के लिए यह सत्य है

इस प्रकार, जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, परिणाम की सटीकता बढ़ती है।

होने देना एक्स 1 , एक्स 2 … एक्स एन - एक अज्ञात गणितीय अपेक्षा और ज्ञात विचरण Dξ=σ 2 के साथ एक यादृच्छिक चर ξ के अनुरूप सामान्य जनसंख्या से एक नमूना। आइए हम अज्ञात पैरामीटर के कई अनुमान बनाएं। तो अगर , अर्थात। विचाराधीन अनुमानक एक निष्पक्ष अनुमानक है। लेकिन, चूँकि मान नमूना आकार n पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है, इसलिए अनुमान मान्य नहीं है।

सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा का एक प्रभावी अनुमान अनुमान है

अब से, एक यादृच्छिक चर की अज्ञात गणितीय अपेक्षा का अनुमान लगाने के लिए, हम नमूना औसत का उपयोग करेंगे, अर्थात।

अज्ञात वितरण मापदंडों का अनुमान प्राप्त करने के लिए मानक (नियमित) तरीके हैं। उनमें से सबसे प्रसिद्ध: क्षणों की विधि, अधिकतम संभावना विधिऔर न्यूनतम वर्ग विधि.

पृ.2 विचरण के बिंदु अनुमान।

एक यादृच्छिक चर के प्रसरण σ 2 के लिए ξ निम्नलिखित मूल्यांकन प्रस्तावित किया जा सकता है:

नमूना माध्य कहां है.

यह साबित हो चुका है कि यह अनुमान वैध है, लेकिन विस्थापित.

विचरण के सुसंगत निष्पक्ष अनुमान के रूप में, मान का उपयोग करें

यह बिल्कुल अनुमान की निष्पक्षता है एस 2 उसे और समझाता है बारंबार उपयोगपरिमाण के अनुमान के रूप में डीξ.

ध्यान दें कि मैथकैड भिन्नता के अनुमान के रूप में मूल्य प्रदान करता है , नॉट एस 2: फ़ंक्शन वर(एक्स) मूल्य की गणना करता है

कहाँ अर्थ (एक्स) -नमूना माध्य।

कार्य 6.5

Μξ और विचरण डीξ कार्य में दिए गए नमूना मानों के आधार पर यादृच्छिक चर।

कार्य पूर्ण करने की प्रक्रिया

डिस्क से नमूना मान वाली फ़ाइल पढ़ें, या कीबोर्ड से एक निर्दिष्ट नमूना दर्ज करें।

बिंदु अनुमान की गणना करें Μξ और डीξ.

किसी कार्य को पूरा करने का उदाहरण

गणितीय अपेक्षा के लगातार निष्पक्ष अनुमान खोजें Μξ और विचरण डीξ अनियमित परिवर्तनशील वस्तु ξ निम्नलिखित तालिका द्वारा दिए गए नमूना मूल्यों के अनुसार।

इस प्रकार की तालिका द्वारा परिभाषित नमूने के लिए (नमूना मूल्य और एक संख्या दी गई है जो दर्शाती है कि नमूने में यह मान कितनी बार आता है), अपेक्षा और भिन्नता के लगातार निष्पक्ष अनुमान के लिए सूत्र हैं:

, ,

कहाँ क - तालिका में मानों की संख्या; एन मैं - मानों की संख्या एक्स मैं नमूने में; एन- नमूने का आकार।

बिंदु अनुमानों की गणना के साथ मैथकैड वर्किंग पेपर का एक टुकड़ा नीचे दिया गया है।

उपरोक्त गणना से यह स्पष्ट है कि पक्षपाती अनुमान विचरण अनुमान का कम अनुमान देता है।

खण्ड 3. घटना संभाव्यता का बिंदु अनुमान

मान लीजिए कि किसी प्रयोग में घटना ए(अनुकूल परीक्षण परिणाम) संभाव्यता के साथ होता है पीऔर संभावना के साथ नहीं होता है क्यू = 1 - आर।कार्य अज्ञात वितरण पैरामीटर का अनुमान प्राप्त करना है पीश्रृंखला परिणामों के आधार पर एनयादृच्छिक प्रयोग. परीक्षणों की एक निश्चित संख्या के लिए एनअनुकूल परिणामों की संख्या एमपरीक्षणों की एक श्रृंखला में - बर्नौली वितरण वाला एक यादृच्छिक चर। आइए इसे अक्षर द्वारा निरूपित करें μ.

यदि घटना एकी एक श्रृंखला में एनस्वतंत्र परीक्षण हुए

एमसमय, फिर मूल्य का अनुमान पीसूत्र का उपयोग करके गणना करने का प्रस्ताव है

आइए प्रस्तावित अनुमान के गुणों का पता लगाएं। यादृच्छिक चर के बाद से μ फिर, बर्नौली वितरण है Μμ= एन.पी. औरएम = एम = पी, अर्थात। एक निष्पक्ष अनुमान है.

बर्नौली परीक्षणों के लिए, बर्नौली का प्रमेय मान्य है, जिसके अनुसार , अर्थात। श्रेणी पी धनवान।

यह सिद्ध हो चुका है कि यह अनुमान प्रभावी है क्योंकि, अन्य चीजें समान होने के बावजूद, इसमें न्यूनतम भिन्नता है।

मैथकैड में, बर्नौली वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर के मूल्यों का एक नमूना अनुकरण करने के लिए, फ़ंक्शन rbinom(fc,η,ρ) का इरादा है, जो एक वेक्टर उत्पन्न करता है को यादृच्छिक संख्या, κα­ ι जिनमें से प्रत्येक η स्वतंत्र परीक्षणों की श्रृंखला में सफलताओं की संख्या के बराबर है और प्रत्येक में सफलता की संभावना ρ है।

कार्य 6.6

किसी दिए गए पैरामीटर मान के साथ बर्नौली वितरण वाले यादृच्छिक चर के मानों के कई नमूने अनुकरण करें आर. प्रत्येक नमूने के लिए पैरामीटर अनुमान की गणना करें पीऔर निर्दिष्ट मान से तुलना करें. गणना परिणामों को ग्राफिक रूप से प्रस्तुत करें।

कार्य पूर्ण करने की प्रक्रिया

1. फ़ंक्शन rbinom(1, का उपयोग करना एन, पी), दिए गए बर्नौली वितरण वाले एक यादृच्छिक चर के मानों के अनुक्रम का वर्णन करें और उत्पन्न करें पीऔर एनके लिए एन = 10, 20, ..., Ν, नमूना आकार के एक फ़ंक्शन के रूप में पी।

2. प्रत्येक मान की गणना करें एनबिंदु संभाव्यता अनुमान आर।

किसी कार्य को पूरा करने का उदाहरण

आयतन नमूनों के लिए बिंदु अनुमान प्राप्त करने का एक उदाहरण एन= 10, 20,..., पैरामीटर के साथ बर्नौली वितरण वाले एक यादृच्छिक चर μ के 200 मान पी= 0.3, नीचे दिया गया है।

टिप्पणी। चूंकि फ़ंक्शन का मान है वेक्टर, एक शृंखला में सफलताओं की संख्या एनसफलता की संभावना के साथ स्वतंत्र परीक्षण पीप्रत्येक परीक्षण में वेक्टर rbinom(1,) के पहले घटक में निहित है एन, पी), अर्थात। सफलताओं की संख्या rbinom(1, एन, पी). उपरोक्त स्निपेट में क- मैं वेक्टर घटक Ρ श्रृंखला में सफलताओं की संख्या 10 शामिल है कके लिए स्वतंत्र परीक्षण क = 1,2,..., 200.

आइटम 4. समान वितरण के मापदंडों का बिंदु अनुमान

आइए एक और शिक्षाप्रद उदाहरण देखें। मान लीजिए कि यह एक यादृच्छिक चर के अनुरूप सामान्य जनसंख्या से एक नमूना है, जिसका एक अज्ञात पैरामीटर वाले खंड पर एक समान वितरण है θ . हमारा कार्य इस अज्ञात पैरामीटर का अनुमान लगाना है।

आइए इनमें से एक पर विचार करें संभावित तरीकेआवश्यक अनुमान का निर्माण. अगर ξ एक यादृच्छिक चर है जिसका खंड पर एक समान वितरण होता है Μ ξ = . परिमाण अनुमान के बाद से एमξ ज्ञात Μξ =, फिर पैरामीटर अनुमान के लिए θ आप एक अनुमान ले सकते हैं

अनुमान की निष्पक्षता स्पष्ट है:

फैलाव और सीमा D की n →∞ के रूप में गणना करने के बाद, हम अनुमान की वैधता की पुष्टि करते हैं:

एक अलग पैरामीटर अनुमान प्राप्त करने के लिए θ आइये अन्य आँकड़ों पर नजर डालते हैं। मान लीजिए = अधिकतम)। आइए यादृच्छिक चर का वितरण ज्ञात करें:

फिर यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण

वितरण के साथ क्रमशः बराबर हैं:

;

वे। मूल्यांकन वैध है, लेकिन पक्षपातपूर्ण है। हालाँकि, यदि = अधिकतम) के बजाय हम = अधिकतम) पर विचार करते हैं, तो दोनों, और, इसलिए, अनुमान सुसंगत और निष्पक्ष है।

उसी समय से

मूल्यांकन की तुलना में काफी अधिक प्रभावी है

उदाहरण के लिए, n = 97 के साथ, अनुमान का प्रसार θ^ अनुमान के प्रसार से 33 राल कम है

अंतिम उदाहरण एक बार फिर दिखाता है कि किसी अज्ञात वितरण पैरामीटर का सांख्यिकीय अनुमान चुनना एक महत्वपूर्ण और गैर-तुच्छ कार्य है।

मैथकैड में, एक यादृच्छिक चर के मानों का एक नमूना अनुकरण करने के लिए जिसका अंतराल [ए, बी] पर एक समान वितरण होता है, फ़ंक्शन रनिफ़ (एफसी, ओ, बी) का इरादा है, जो एक वेक्टर उत्पन्न करता है को यादृच्छिक संख्याएँ, जिनमें से प्रत्येक अंतराल [ए, 6] पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर का मान है।