प्राकृतिक लघुगणक को हल करना. लोगारित्म

अक्सर एक नंबर लेते हैं इ = 2,718281828 . लघुगणक द्वारा यह आधारकहा जाता है प्राकृतिक. प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना करते समय, चिह्न के साथ काम करना आम बात है एलएन, लेकिन नहीं लकड़ी का लट्ठा; जबकि संख्या 2,718281828 , आधार को परिभाषित करते हुए संकेत नहीं दिया गया है।

दूसरे शब्दों में, सूत्रीकरण इस प्रकार दिखेगा: प्राकृतिकनंबर एक्स- यह एक प्रतिपादक है जिसके लिए एक संख्या बढ़ाई जानी चाहिए इ, प्राप्त करने के लिए एक्स.

इसलिए, एलएन(7,389...)= 2, चूँकि इ 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही इ= 1 क्योंकि इ 1 =इ, और एकता का प्राकृतिक लघुगणक शून्य है, चूँकि इ 0 = 1.

नंबर ही इएक मोनोटोनिक बंधे अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करता है

उसका हिसाब लगाया इ = 2,7182818284... .

अक्सर, किसी संख्या को मेमोरी में ठीक करने के लिए, आवश्यक संख्या के अंक किसी बकाया तारीख से जुड़े होते हैं। किसी संख्या के पहले नौ अंक याद रखने की गति इदशमलव के बाद दशमलव बिंदु बढ़ जाएगा यदि आप ध्यान दें कि 1828 लियो टॉल्स्टॉय का जन्म वर्ष है!

आज तो बहुत हैं पूर्ण तालिकाएँप्राकृतिक लघुगणक.

प्राकृतिक लघुगणक ग्राफ(कार्य य =एलएन एक्स) घातांक ग्राफ़ के सीधी रेखा की दर्पण छवि होने का परिणाम है वाई = एक्सऔर इसका रूप है:

प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक पाया जा सकता है एवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में य = 1/एक्ससे 1 पहले ए.

इस सूत्रीकरण की प्राथमिक प्रकृति, जो कई अन्य सूत्रों के अनुरूप है जिसमें प्राकृतिक लघुगणक शामिल है, "प्राकृतिक" नाम के गठन का कारण था।

यदि आप विश्लेषण करें प्राकृतिक, एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में, यह कार्य करता है उलटा काम करनाएक घातीय फ़ंक्शन के लिए, जो पहचान को कम करता है:

ई एलएन(ए) =ए (ए>0)

एलएन(ई ए) =ए

सभी लघुगणक के अनुरूप, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ में, विभाजन को घटाव में परिवर्तित करता है:

एल.एन(xy) = एल.एन(एक्स) + एल.एन(य)

एल.एन(x/y)= एलएनएक्स - lny

लघुगणक हर उस सकारात्मक आधार के लिए पाया जा सकता है जो एक के बराबर नहीं है, केवल इसके लिए नहीं इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक प्राकृतिक लघुगणक से केवल एक स्थिर कारक द्वारा भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित होते हैं।

विश्लेषण करके प्राकृतिक लघुगणक ग्राफ,हम पाते हैं कि यह चर के सकारात्मक मानों के लिए मौजूद है एक्स. यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में नीरस रूप से बढ़ता है।

पर एक्स → 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा शून्य से अनंत है ( -∞ )।पर एक्स → +∞ प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत है ( + ∞ ). अत्याधिक एक्सलघुगणक काफी धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी शक्ति कार्य एक्सएएक सकारात्मक प्रतिपादक के साथ एलघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है। प्राकृतिकएक नीरस रूप से बढ़ने वाला कार्य है, इसलिए इसकी कोई चरम सीमा नहीं है।

प्रयोग प्राकृतिक लघुगणकउच्च गणित उत्तीर्ण करते समय बहुत तर्कसंगत। इस प्रकार, लघुगणक का उपयोग उन समीकरणों का उत्तर खोजने के लिए सुविधाजनक है जिनमें अज्ञात घातांक के रूप में दिखाई देते हैं। गणनाओं में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग बड़ी संख्या में सरलीकरण को सरल बनाना संभव बनाता है गणितीय सूत्र. आधार के लिए लघुगणक इ महत्वपूर्ण संख्या में भौतिक समस्याओं को हल करने में मौजूद हैं और स्वाभाविक रूप से व्यक्तिगत रासायनिक, जैविक और अन्य प्रक्रियाओं के गणितीय विवरण में शामिल हैं। इस प्रकार, लघुगणक का उपयोग ज्ञात आधे जीवन के लिए क्षय स्थिरांक की गणना करने या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय की गणना करने के लिए किया जाता है। वे इसमें प्रदर्शन करते हैं अग्रणी भूमिकागणित और व्यावहारिक विज्ञान की कई शाखाओं में, इनका उपयोग वित्त के क्षेत्र में चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सहित बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है।

विषयों पर पाठ और प्रस्तुति: "प्राकृतिक लघुगणक। प्राकृतिक लघुगणक का आधार। एक प्राकृतिक संख्या का लघुगणक"

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प्राकृतिक लघुगणक क्या है

दोस्तों, पिछले पाठ में हमने एक नया, विशेष नंबर सीखा - ई. आज हम इस नंबर के साथ काम करना जारी रखेंगे।
हमने लघुगणक का अध्ययन किया है और हम जानते हैं कि एक लघुगणक का आधार कई संख्याएँ हो सकती हैं जो 0 से बड़ी हों। आज हम एक ऐसे लघुगणक को भी देखेंगे जिसका आधार संख्या e है। ऐसे लघुगणक को आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। इसका अपना अंकन है: $\ln(n)$ प्राकृतिक लघुगणक है। यह प्रविष्टि प्रविष्टि के समतुल्य है: $\log_e(n)=\ln(n)$.
घातांकीय और लघुगणकीय फलन व्युत्क्रम हैं, तो प्राकृतिक लघुगणक फलन का व्युत्क्रम है: $y=e^x$।
व्युत्क्रम फलन सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में सममित होते हैं।
आइए सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में घातीय फलन को आलेखित करके प्राकृतिक लघुगणक आलेखित करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि बिंदु (0;1) पर फ़ंक्शन $y=e^x$ के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण 45° है। फिर बिंदु (1;0) पर प्राकृतिक लघुगणक के ग्राफ के स्पर्शरेखा के झुकाव का कोण भी 45° के बराबर होगा। ये दोनों स्पर्शरेखाएँ रेखा $y=x$ के समानांतर होंगी। आइए स्पर्शरेखाओं का आरेख बनाएं:

फ़ंक्शन के गुण $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. न तो सम है और न ही विषम।
3. परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में वृद्धि होती है।
4. न ऊपर से सीमित, न नीचे से सीमित।
5. सबसे बड़ा मूल्यनहीं, सबसे कम मूल्यनहीं।
6. सतत.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. ऊपर की ओर उत्तल।
9. हर जगह अलग-अलग होना।

उच्च गणित के पाठ्यक्रम में यह सिद्ध हो चुका है किसी व्युत्क्रम फलन का व्युत्पन्न किसी दिए गए फलन के व्युत्पन्न का व्युत्क्रम होता है.
प्रमाण में जाने का ज्यादा मतलब नहीं है, आइए बस सूत्र लिखें: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

उदाहरण।
फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y=\ln(2x-7)$ बिंदु $x=4$ पर।
समाधान।
में सामान्य रूप से देखेंहमारा फ़ंक्शन फ़ंक्शन $y=f(kx+m)$ द्वारा दर्शाया जाता है, हम ऐसे फ़ंक्शन के डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं।
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
आइए आवश्यक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
उत्तर: 2.

उदाहरण।
फ़ंक्शन $y=ln(x)$ के ग्राफ़ पर बिंदु $х=е$ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं।
समाधान।
हमें बिंदु $x=a$ पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा का समीकरण अच्छी तरह से याद है।
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
हम क्रमिक रूप से आवश्यक मानों की गणना करते हैं।
$ए=ई$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
बिंदु $x=e$ पर स्पर्शरेखा समीकरण फ़ंक्शन $y=\frac(x)(e)$ है।
आइए प्राकृतिक लघुगणक और स्पर्शरेखा रेखा आलेखित करें।

उदाहरण।
एकरसता और एक्स्ट्रेमा के लिए फ़ंक्शन की जांच करें: $y=x^6-6*ln(x)$।
समाधान।
फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र $D(y)=(0;+∞)$.
आइए दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
परिभाषा के क्षेत्र से सभी x के लिए व्युत्पन्न मौजूद है, फिर कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। आइए स्थिर बिंदु खोजें:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
बिंदु $х=-1$ परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है। तब हमारे पास एक स्थिर बिंदु $x=1$ होता है। आइए बढ़ते और घटते अंतराल का पता लगाएं:

बिंदु $x=1$ न्यूनतम बिंदु है, तो $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
उत्तर: खंड (0;1) पर फ़ंक्शन घटता है, किरण $ (\displaystyle ) पर फ़ंक्शन बढ़ता है. इस परिभाषा की सरलता, जो इस लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य सूत्रों के अनुरूप है, "प्राकृतिक" नाम की उत्पत्ति की व्याख्या करती है।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर का वास्तविक फलन मानते हैं, तो यह घातीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जो सर्वसमिकाओं की ओर ले जाता है:

ई एलएन ⁡ ए = ए (ए > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) एलएन ⁡ ई ए = ए (ए > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

सभी लघुगणक की तरह, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ से जोड़ता है:

एलएन ⁡ एक्स वाई = एलएन ⁡ एक्स + एलएन ⁡ वाई . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)