द्विघात समीकरणों का अध्ययन 8वीं कक्षा में किया जाता है, इसलिए यहां कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता नितांत आवश्यक है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a, b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a ≠ 0 है।

विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. बिलकुल एक जड़ हो;
3. दो हैं विभिन्न जड़ें.

यह द्विघात समीकरणों और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। यह कैसे निर्धारित करें कि किसी समीकरण के कितने मूल हैं? इसके लिए एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है तो विवेचक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।

आपको इस सूत्र को दिल से जानना होगा। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है. एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. यदि डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0, तो वास्तव में एक ही मूल है;
3. यदि D > 0, तो दो जड़ें होंगी।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, उनके संकेतों को बिल्कुल नहीं, जैसा कि किसी कारण से कई लोग मानते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप स्वयं सब कुछ समझ जाएंगे:

काम। द्विघात समीकरण के कितने मूल होते हैं:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

आइए पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखें और विवेचक खोजें:
ए = 1, बी = −8, सी = 12;
डी = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

इसलिए विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण के दो अलग-अलग मूल हैं। हम दूसरे समीकरण का विश्लेषण इसी प्रकार करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

विवेचक नकारात्मक है, कोई जड़ें नहीं हैं। शेष अंतिम समीकरण है:
ए = 1; बी = −6; सी = 9;
डी = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

विभेदक शून्य है - जड़ एक होगी।

कृपया ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हाँ, यह लंबा है, हाँ, यह थकाऊ है, लेकिन आप बाधाओं को मिश्रित नहीं करेंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप इसे समझ लें, तो कुछ समय बाद आपको सभी गुणांकों को लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने दिमाग में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। अधिकांश लोग 50-70 समीकरण हल करने के बाद कहीं न कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, उतना नहीं।

द्विघात समीकरण की जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर ही बढ़ते हैं। यदि विवेचक D > 0 है, तो मूल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

मूल मूल सूत्र द्विघात समीकरण

जब D = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलेगी, जो उत्तर होगी। अंततः, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; बी = −2; सी = −3;
डी = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें खोजें:

दूसरा समीकरण:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; बी = −2; सी = 15;
डी = (−2) 2 −4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ समीकरण के फिर से दो मूल हैं। आइए उन्हें खोजें

\[\begin(संरेखित करें) और ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(संरेखित करें)\]

अंत में, तीसरा समीकरण:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ समीकरण का एक मूल है। किसी भी फॉर्मूले का उपयोग किया जा सकता है. उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनती कर सकते हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित करते समय त्रुटियाँ होती हैं। यहां फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को लिखें - और बहुत जल्द आपको त्रुटियों से छुटकारा मिल जाएगा।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि एक द्विघात समीकरण परिभाषा में दिए गए समीकरण से थोड़ा अलग होता है। उदाहरण के लिए:

1. एक्स 2 + 9एक्स = 0;
2. एक्स 2 − 16 = 0.

यह नोटिस करना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। ऐसे द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान होता है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं होती है। तो, आइए एक नई अवधारणा का परिचय दें:

समीकरण ax 2 + bx + c = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि b = 0 या c = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b = c = 0. इस मामले में, समीकरण ax 2 = 0 का रूप लेता है। जाहिर है, ऐसे समीकरण का एक ही मूल होता है: x = 0.

आइए शेष मामलों पर विचार करें। मान लीजिए b = 0, तो हमें ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

चूँकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या का मौजूद होता है, अंतिम समानता केवल (−c /a) ≥ 0 के लिए समझ में आती है। निष्कर्ष:

1. यदि ax 2 + c = 0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण में असमानता (−c /a) ≥ 0 संतुष्ट है, तो दो जड़ें होंगी। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. यदि (−c /a)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं होती है। वास्तव में, असमानता (−c /a) ≥ 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और यह देखने के लिए पर्याप्त है कि समान चिह्न के दूसरी तरफ क्या है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो जड़ें होंगी। यदि यह नकारात्मक है, तो कोई जड़ें नहीं होंगी।

अब आइए ax 2 + bx = 0 के रूप के समीकरण देखें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

जब कम से कम एक कारक शून्य हो तो उत्पाद शून्य होता है। यहीं से जड़ें आती हैं। अंत में, आइए इनमें से कुछ समीकरणों पर नजर डालें:

काम। द्विघात समीकरण हल करें:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि एक वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 = −1.5.

मुझे आशा है कि इस लेख का अध्ययन करने के बाद आप सीखेंगे कि पूर्ण द्विघात समीकरण के मूल कैसे ज्ञात करें।

विवेचक का उपयोग करके, केवल पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल किया जाता है; अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें आप लेख "अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना" में पाएंगे।

किस द्विघात समीकरण को पूर्ण कहा जाता है? यह ax 2 + b x + c = 0 के रूप के समीकरण, जहां गुणांक ए, बी और सी शून्य के बराबर नहीं हैं। इसलिए, एक पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, हमें विवेचक डी की गणना करने की आवश्यकता है।

डी = बी 2 - 4एसी।

विवेचक के मूल्य के आधार पर, हम उत्तर लिखेंगे।

यदि विवेचक एक ऋणात्मक संख्या है (D< 0),то корней нет.

यदि विवेचक शून्य है, तो x = (-b)/2a. जब विवेचक एक धनात्मक संख्या (D > 0) हो,

तब x 1 = (-b - √D)/2a, और x 2 = (-b + √D)/2a।

उदाहरण के लिए। प्रश्न हल करें एक्स 2– 4x + 4= 0.

डी = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

उत्तर: 2.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + एक्स + 3 = 0.

डी = 1 2 – 4 2 3 = – 23

उत्तर: कोई जड़ नहीं.

समीकरण 2 हल करें एक्स 2 + 5x – 7 = 0.

डी = 5 2 – 4 2 (-7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

उत्तर:- 3.5; 1.

तो आइए चित्र 1 में दिए गए आरेख का उपयोग करके पूर्ण द्विघात समीकरणों के समाधान की कल्पना करें।

इन सूत्रों का उपयोग करके आप किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। आपको बस सावधान रहने की जरूरत है समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा गया था

ए एक्स 2 + बीएक्स + सी,अन्यथा आप गलती कर सकते हैं. उदाहरण के लिए, समीकरण x + 3 + 2x 2 = 0 लिखते समय, आप गलती से यह तय कर सकते हैं कि

ए = 1, बी = 3 और सी = 2. फिर

डी = 3 2 – 4 1 2 = 1 और फिर समीकरण के दो मूल हैं। और ये सच नहीं है. (ऊपर उदाहरण 2 का समाधान देखें)।

इसलिए, यदि समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में नहीं लिखा गया है, तो पहले पूर्ण द्विघात समीकरण को मानक रूप के बहुपद के रूप में लिखा जाना चाहिए (सबसे बड़े घातांक वाला एकपदी पहले आना चाहिए, अर्थात) ए एक्स 2 , फिर कम के साथ – बीएक्सऔर फिर एक स्वतंत्र सदस्य साथ।

दूसरे पद में घटे हुए द्विघात समीकरण और सम गुणांक वाले द्विघात समीकरण को हल करते समय, आप अन्य सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। आइये इन सूत्रों से परिचित होते हैं। यदि पूर्ण द्विघात समीकरण में दूसरे पद पर गुणांक सम (b = 2k) है, तो आप चित्र 2 में आरेख में दिए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल कर सकते हैं।

यदि गुणांक पर हो तो पूर्ण द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है एक्स 2 एक के बराबर है और समीकरण का रूप ले लेता है एक्स 2 + पीएक्स + क्यू = 0. ऐसा समीकरण समाधान के लिए दिया जा सकता है, या समीकरण के सभी गुणांकों को गुणांक से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है ए, पर खड़ा है एक्स 2 .

चित्र 3 घटे हुए वर्ग को हल करने के लिए एक आरेख दिखाता है
समीकरण. आइए इस आलेख में चर्चा किए गए सूत्रों के अनुप्रयोग का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण। प्रश्न हल करें

3एक्स 2 + 6x – 6 = 0.

आइए चित्र 1 में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।

डी = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = -1 + √3

उत्तर:-1-√3; –1 + √3

आप देख सकते हैं कि इस समीकरण में x का गुणांक एक सम संख्या है, अर्थात b = 6 या b = 2k, जहाँ से k = 3. तो आइए आकृति D के आरेख में दिखाए गए सूत्रों का उपयोग करके समीकरण को हल करने का प्रयास करें 1 = 3 2 - 3 · (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(डी 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

उत्तर:-1-√3; –1 + √3. यह ध्यान में रखते हुए कि इस द्विघात समीकरण में सभी गुणांक 3 से विभाज्य हैं और विभाजन करने पर, हमें लघु द्विघात समीकरण x 2 + 2x – 2 = 0 प्राप्त होता है। लघु द्विघात समीकरण के सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करें।
समीकरण चित्र 3.

डी 2 = 2 2 – 4 (-2) = 4 + 8 = 12

√(डी 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

उत्तर:-1-√3; –1 + √3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न सूत्रों का उपयोग करके इस समीकरण को हल करने पर, हमें एक ही उत्तर प्राप्त हुआ। इसलिए, चित्र 1 में दिखाए गए सूत्रों में पूरी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप हमेशा किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे।

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- एक विवेचक का उपयोग करना
- विएटा के प्रमेय का उपयोग करना (यदि संभव हो)।

इसके अलावा, उत्तर सटीक प्रदर्शित होता है, अनुमानित नहीं।
उदाहरण के लिए, समीकरण \(81x^2-16x-1=0\) के लिए उत्तर निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित होता है:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ और इस तरह नहीं: \(x_1 = 0.247; \क्वाड x_2 = -0.05\)

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, हम अनुशंसा करते हैं कि आप स्वयं को उनसे परिचित कर लें।

द्विघात बहुपद दर्ज करने के नियम
कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।

उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), आदि।
संख्याओं को पूर्ण या आंशिक संख्याओं के रूप में दर्ज किया जा सकता है।

इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।
दशमलव भिन्न दर्ज करने के नियम. दशमलव मेंआंशिक हिस्सा
पूर्ण से पूर्णविराम या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रवेश कर सकते हैंदशमलव

इस तरह: 2.5x - 3.5x^2
केवल एक पूर्ण संख्या ही भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

हर ऋणात्मक नहीं हो सकता.

एक संख्यात्मक भिन्न दर्ज करते समय, अंश को हर से एक विभाजन चिह्न द्वारा अलग किया जाता है: /
संपूर्ण भागएम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया गया: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

एक अभिव्यक्ति दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, द्विघात समीकरण को हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

तय करना

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं की गईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
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थोड़ा सिद्धांत.

द्विघात समीकरण और उसकी जड़ें. अपूर्ण द्विघात समीकरण

प्रत्येक समीकरण
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
की तरह लगता है
\(ax^2+bx+c=0, \)
जहाँ x एक चर है, a, b और c संख्याएँ हैं।
पहले समीकरण में a = -1, b = 6 और c = 1.4, दूसरे में a = 8, b = -7 और c = 0, तीसरे में a = 1, b = 0 और c = 4/9। ऐसे समीकरण कहलाते हैं द्विघातीय समीकरण.

परिभाषा।
द्विघात समीकरणइसे ax 2 +bx+c=0 के रूप का समीकरण कहा जाता है, जहां x एक चर है, a, b और c कुछ संख्याएं हैं, और \(a \neq 0 \)।

संख्याएँ a, b और c द्विघात समीकरण के गुणांक हैं। संख्या a को पहला गुणांक कहा जाता है, संख्या b को दूसरा गुणांक कहा जाता है, और संख्या c मुक्त पद है।

ax 2 +bx+c=0 के रूप के प्रत्येक समीकरण में, जहां \(a \neq 0 \), चर x की सबसे बड़ी घात एक वर्ग है। इसलिए नाम: द्विघात समीकरण.

ध्यान दें कि द्विघात समीकरण को दूसरी डिग्री का समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि इसका बायां भाग दूसरी डिग्री का बहुपद है।

वह द्विघात समीकरण जिसमें x 2 का गुणांक 1 के बराबर होता है, कहलाता है द्विघात समीकरण दिया गया है. उदाहरण के लिए, दिए गए द्विघात समीकरण समीकरण हैं
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

यदि द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 में कम से कम एक गुणांक b या c शून्य के बराबर है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है अपूर्ण द्विघात समीकरण. इस प्रकार, समीकरण -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 अपूर्ण द्विघात समीकरण हैं। इनमें से पहले में b=0, दूसरे में c=0, तीसरे में b=0 और c=0.

अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:
1) ax 2 +c=0, जहां \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, जहां \(b \neq 0 \);
3) कुल्हाड़ी 2 =0.

आइए इनमें से प्रत्येक प्रकार के समीकरणों को हल करने पर विचार करें।

\(c \neq 0 \) के लिए ax 2 +c=0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए, इसका मुक्त पद स्थानांतरित किया जाता है दाहिनी ओरऔर समीकरण के दोनों पक्षों को a से विभाजित करें:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \राइटएरो x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

चूँकि \(c \neq 0 \), तो \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

यदि \(-\frac(c)(a)>0\), तो समीकरण के दो मूल हैं।

यदि \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण को \(b \neq 0 \) के साथ हल करने के लिए इसका विस्तार करें बाईं तरफकारकों द्वारा और समीकरण प्राप्त करें
\(x(ax+b)=0 \दायां तीर \बाएं\( \begin(सरणी)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \दाएं। \दायां तीर \बाएं\( \शुरू (सरणी)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

इसका मतलब यह है कि \(b \neq 0 \) के रूप में ax 2 +bx=0 के अपूर्ण द्विघात समीकरण में हमेशा दो जड़ें होती हैं।

ax 2 =0 के रूप का एक अधूरा द्विघात समीकरण, समीकरण x 2 =0 के बराबर है और इसलिए इसका एक ही मूल 0 है।

द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र

आइए अब विचार करें कि द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए जिसमें अज्ञात के गुणांक और मुक्त पद दोनों शून्येतर हों।

आइए द्विघात समीकरण को हल करें सामान्य रूप से देखेंऔर परिणामस्वरूप हमें जड़ों का सूत्र प्राप्त होता है। इस सूत्र का उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है।

द्विघात समीकरण ax 2 +bx+c=0 को हल करें

दोनों पक्षों को a से विभाजित करने पर, हमें समतुल्य लघु द्विघात समीकरण प्राप्त होता है
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

आइए द्विपद का वर्ग चुनकर इस समीकरण को रूपांतरित करें:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \दायाँ तीर \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( सी)(ए) \दायां तीर \बाएं(x+\frac(b)(2a)\दाएं)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \दायां तीर \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \राइटएरो x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \दायां तीर \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

उग्र अभिव्यक्ति को कहा जाता है द्विघात समीकरण का विभेदक ax 2 +bx+c=0 (लैटिन में "विभेदक" - विभेदक)। इसे अक्षर D द्वारा निरूपित किया जाता है, अर्थात्।
\(D = b^2-4ac\)

अब, विभेदक संकेतन का उपयोग करते हुए, हम द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र को फिर से लिखते हैं:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), जहां \(D= b^2-4ac \)

यह स्पष्ट है कि:
1) यदि D>0, तो द्विघात समीकरण के दो मूल हैं।
2) यदि D=0, तो द्विघात समीकरण का एक मूल \(x=-\frac(b)(2a)\) है।
3) यदि D इस प्रकार, विवेचक के मान के आधार पर, एक द्विघात समीकरण के दो मूल हो सकते हैं (D > 0 के लिए), एक मूल (D = 0 के लिए) या कोई मूल नहीं हो सकता (D के लिए) इसका उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय सूत्र, इसे निम्न तरीके से करने की सलाह दी जाती है:
1) विवेचक की गणना करें और इसकी तुलना शून्य से करें;
2) यदि विवेचक सकारात्मक है या शून्य के बराबर है, तो मूल सूत्र का उपयोग करें यदि विवेचक नकारात्मक है, तो लिखें कि कोई जड़ नहीं है।

विएटा का प्रमेय

दिए गए द्विघात समीकरण ax 2 -7x+10=0 के मूल 2 और 5 हैं। मूलों का योग 7 है और गुणनफल 10 है। हम देखते हैं कि मूलों का योग दूसरे गुणांक के बराबर है। विपरीत संकेत, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है। किसी भी घटे हुए द्विघात समीकरण, जिसके मूल हों, में यह गुण होता है।

घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है।

वे। विएटा के प्रमेय में कहा गया है कि घटे हुए द्विघात समीकरण x 2 +px+q=0 के मूल x 1 और x 2 में गुण है:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

ग्रंथ सूची विवरण:गैसानोव ए.आर., कुरमशिन ए.ए., एल्कोव ए.ए., शिलनेंकोव एन.वी., उलानोव डी.डी., श्मेलेवा ओ.वी. द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके // युवा वैज्ञानिक। 2016. क्रमांक 6.1. पृ. 17-20..02.2019).



हमारा प्रोजेक्ट द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों के बारे में है। परियोजना का लक्ष्य: स्कूली पाठ्यक्रम में शामिल नहीं किए गए तरीकों से द्विघात समीकरणों को हल करना सीखें। कार्य: सब कुछ ढूँढ़ें संभावित तरीकेद्विघात समीकरणों को हल करना और स्वयं उनका उपयोग करना सीखना और अपने सहपाठियों को इन विधियों से परिचित कराना।

"द्विघात समीकरण" क्या हैं?

द्विघात समीकरण- प्रपत्र का समीकरण कुल्हाड़ी2 + बीएक्स + सी = 0, कहाँ ए, बी, सी- कुछ संख्याएँ ( ए ≠ 0), एक्स- अज्ञात।

संख्याएँ a, b, c द्विघात समीकरण के गुणांक कहलाती हैं।

• ए को पहला गुणांक कहा जाता है;
• b को दूसरा गुणांक कहा जाता है;
• सी - मुफ़्त सदस्य.

द्विघात समीकरणों का "आविष्कार" करने वाले पहले व्यक्ति कौन थे?

रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल करने की कुछ बीजगणितीय तकनीकें 4000 साल पहले ज्ञात थीं प्राचीन बेबीलोन. 1800 और 1600 ईसा पूर्व के बीच की प्राचीन बेबीलोनियाई मिट्टी की गोलियों की खोज, द्विघात समीकरणों के अध्ययन का सबसे पहला प्रमाण प्रदान करती है। उन्हीं गोलियों में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ होती हैं।

न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, यहां तक ​​​​कि प्राचीन काल में भी, भूमि भूखंडों के क्षेत्रों को खोजने और सैन्य प्रकृति के उत्खनन कार्यों से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। जैसा कि खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ ही हुआ।

बेबीलोनियन ग्रंथों में निर्धारित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनियन इस नियम पर कैसे पहुंचे। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ केवल व्यंजनों के रूप में दिए गए समाधानों के साथ समस्याएं प्रदान करते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्हें कैसे खोजा गया था। इसके बावजूद उच्च स्तरबेबीलोन में बीजगणित के विकास के कारण, कीलाकार ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा का अभाव है सामान्य तरीकेद्विघात समीकरणों को हल करना.

लगभग चौथी शताब्दी ईसा पूर्व के बेबीलोनियाई गणितज्ञ। सकारात्मक मूल वाले समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग की पूरक विधि का उपयोग किया। लगभग 300 ई.पू यूक्लिड एक अधिक सामान्य ज्यामितीय समाधान विधि लेकर आए। पहला गणितज्ञ जिसने बीजगणितीय सूत्र के रूप में नकारात्मक जड़ों वाले समीकरणों का समाधान खोजा वह एक भारतीय वैज्ञानिक थे ब्रह्मगुप्त(भारत, 7वीं शताब्दी ई.पू.)।

ब्रह्मगुप्त ने द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने के लिए एक सामान्य नियम बनाया:

ax2 + bx = c, a>0

इस समीकरण में गुणांक ऋणात्मक भी हो सकते हैं। ब्रह्मगुप्त का शासन मूलतः हमारे जैसा ही है।

कठिन समस्याओं को सुलझाने के लिए सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ भारत में आम थीं। पुरानी भारतीय पुस्तकों में से एक ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से तारों को ग्रहण कर लेता है, वैसे ही विद्वान व्यक्तिमें महिमा ग्रहण करेगा लोगों की सभाएँ, बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव करना और हल करना। समस्याओं को प्रायः काव्यात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता था।

एक बीजगणितीय ग्रंथ में अल-ख्वारिज्मीरैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक ने 6 प्रकार के समीकरण गिनाए हैं और उन्हें इस प्रकार व्यक्त किया है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं," यानी ax2 = bx।

2) "वर्ग संख्याओं के बराबर होते हैं," यानी ax2 = c।

3) "मूल संख्या के बराबर हैं," यानी ax2 = c।

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं," यानी ax2 + c = bx।

5) "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं," यानी ax2 + bx = c।

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं," अर्थात bx + c == ax2।

अल-ख्वारिज्मी के लिए, जो नकारात्मक संख्याओं के उपयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण के पद जोड़ हैं, घटाने योग्य नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक ने अल-जबर और अल-मुकाबल की तकनीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीके निर्धारित किए हैं। निःसंदेह, उनका निर्णय हमारे निर्णय से पूरी तरह मेल नहीं खाता। यह उल्लेख करने की आवश्यकता नहीं है कि यह पूरी तरह से अलंकारिक है, उदाहरण के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय, अल-खोरज़मी, 17वीं शताब्दी तक के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक कार्यों में इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। आंशिक पर अल-ख्वारिज्मी के पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय संख्यात्मक उदाहरणसमाधान नियम और फिर उनके ज्यामितीय प्रमाण प्रस्तुत करता है।

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के उदाहरण के बाद द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए फॉर्म पहली बार 1202 में लिखी गई "अबेकस की पुस्तक" में दिए गए थे। इतालवी गणितज्ञ लियोनार्ड फाइबोनैचि. लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करने के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे।

इस पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में भी बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। इस पुस्तक की कई समस्याओं का उपयोग 14वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में किया गया था। सामान्य नियमचिह्नों और गुणांकों b, c के सभी संभावित संयोजनों के लिए एकल विहित रूप x2 + bх = с में परिवर्तित द्विघात समीकरणों का समाधान 1544 में यूरोप में तैयार किया गया था। एम. स्टिफ़ेल.

सामान्य रूप में द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र की व्युत्पत्ति विएथ से उपलब्ध है, लेकिन विएथ ने केवल सकारात्मक जड़ों को ही पहचाना। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी में सबसे पहले में से एक। सकारात्मक जड़ों के अलावा, नकारात्मक जड़ों को भी ध्यान में रखा जाता है। केवल 17वीं शताब्दी में। प्रयासों को धन्यवाद गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटनऔर अन्य वैज्ञानिकों द्वारा द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि आधुनिक रूप लेती है।

आइए द्विघात समीकरणों को हल करने के कई तरीकों पर नजर डालें।

द्विघात समीकरणों को हल करने की मानक विधियाँ स्कूल के पाठ्यक्रम:

1. समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंडन।
2. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि.
3. सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।
4. ग्राफ़िक समाधानद्विघात समीकरण.
5. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

आइए विएटा के प्रमेय का उपयोग करके कम और कम न किए गए द्विघात समीकरणों के समाधान पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

याद रखें कि उपरोक्त द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए, दो संख्याएँ खोजना पर्याप्त है जिनका गुणनफल मुक्त पद के बराबर है, और जिनका योग विपरीत चिह्न वाले दूसरे गुणांक के बराबर है।

उदाहरण।एक्स 2 -5x+6=0

आपको वे संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी जिनका गुणनफल 6 है और जिनका योग 5 है। ये संख्याएँ 3 और 2 होंगी।

उत्तर: एक्स 1 =2, एक्स 2 =3.

लेकिन आप इस पद्धति का उपयोग उन समीकरणों के लिए भी कर सकते हैं जिनका पहला गुणांक एक के बराबर नहीं है।

उदाहरण।3x 2 +2x-5=0

पहला गुणांक लें और इसे मुक्त पद से गुणा करें: x 2 +2x-15=0

इस समीकरण के मूल वे संख्याएँ होंगी जिनका गुणनफल - 15 है और जिनका योग - 2 है। ये संख्याएँ 5 और 3 हैं। मूल ज्ञात करने के लिए मूल समीकरण, परिणामी जड़ों को पहले गुणांक से विभाजित करें।

उत्तर: एक्स 1 =-5/3, एक्स 2 =1

6. "थ्रो" विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 पर विचार करें, जहां a≠0।

दोनों पक्षों को a से गुणा करने पर, हमें समीकरण a 2 x 2 + abx + ac = 0 प्राप्त होता है।

माना ax = y, जहाँ से x = y/a; तब हम समीकरण y 2 + by + ac = 0 पर पहुंचते हैं, जो दिए गए समीकरण के बराबर है। हम विएटा के प्रमेय का उपयोग करके 1 और 2 के लिए इसकी जड़ें ढूंढते हैं।

अंततः हमें x 1 = y 1 /a और x 2 = y 2 /a प्राप्त होता है।

इस विधि के साथ, गुणांक ए को मुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक दिया गया" हो, यही कारण है कि इसे "थ्रो" विधि कहा जाता है। इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब आप विएटा के प्रमेय का उपयोग करके आसानी से समीकरण की जड़ें पा सकते हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

उदाहरण।2x 2 - 11x + 15 = 0.

आइए गुणांक 2 को मुक्त पद पर "फेंक" दें और एक प्रतिस्थापन करें और समीकरण y 2 - 11y + 30 = 0 प्राप्त करें।

विएटा के व्युत्क्रम प्रमेय के अनुसार

वाई 1 = 5, एक्स 1 = 5/2, एक्स 1 = 2.5; वाई 2 = 6, एक्स 2 = 6/2, एक्स 2 = 3।

उत्तर: एक्स 1 =2.5; एक्स 2 = 3.

7. द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण।

मान लीजिए द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 दिया गया है।

1. यदि a+ b + c = 0 (अर्थात समीकरण के गुणांकों का योग शून्य है), तो x 1 = 1.

2. यदि a - b + c = 0, या b = a + c, तो x 1 = - 1.

उदाहरण।345x 2 - 137x - 208 = 0.

चूँकि a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), तो x 1 = 1, x 2 = -208/345।

उत्तर: एक्स 1 =1; एक्स 2 = -208/345 .

उदाहरण।132x 2 + 247x + 115 = 0

क्योंकि a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), फिर x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

उत्तर: एक्स 1 = - 1; एक्स 2 =- 115/132

द्विघात समीकरण के गुणांकों के अन्य गुण भी हैं। लेकिन उनका उपयोग अधिक जटिल है.

8. नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना।

चित्र 1. नॉमोग्राम

यह द्विघात समीकरणों को हल करने की एक पुरानी और वर्तमान में भूली हुई विधि है, जिसे संग्रह के पृष्ठ 83 पर रखा गया है: ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणित तालिकाएँ। - एम., शिक्षा, 1990।

तालिका XXII. समीकरण को हल करने के लिए नॉमोग्राम z 2 + pz + q = 0. यह नॉमोग्राम द्विघात समीकरण को हल किए बिना, उसके गुणांकों से समीकरण की जड़ें निर्धारित करने की अनुमति देता है।

नॉमोग्राम का वक्ररेखीय पैमाना सूत्रों के अनुसार बनाया गया है (चित्र 1):

विश्वास ओएस = पी, ईडी = क्यू, ओई = ए(सभी सेमी में), चित्र 1 से त्रिभुजों की समानताएँ सैनऔर सीडीएफहमें अनुपात मिलता है

जो, प्रतिस्थापन और सरलीकरण के बाद, समीकरण उत्पन्न करता है जेड 2 + पीजेड + क्यू = 0,और पत्र जेडइसका अर्थ है घुमावदार पैमाने पर किसी बिंदु का निशान।

चावल। 2 नॉमोग्राम का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

उदाहरण.

1) समीकरण के लिए जेड 2 - 9z + 8 = 0नॉमोग्राम मूल z 1 = 8.0 और z 2 = 1.0 देता है

उत्तर:8.0; 1.0.

2) नॉमोग्राम का उपयोग करके, हम समीकरण को हल करते हैं

2z 2 - 9z + 2 = 0.

इस समीकरण के गुणांकों को 2 से विभाजित करने पर हमें समीकरण z 2 - 4.5z + 1 = 0 प्राप्त होता है।

नॉमोग्राम मूल z 1 = 4 और z 2 = 0.5 देता है।

उत्तर: 4; 0.5.

9. द्विघात समीकरणों को हल करने की ज्यामितीय विधि।

उदाहरण।एक्स 2 + 10x = 39.

मूल में, यह समस्या इस प्रकार तैयार की गई है: "वर्ग और दस मूल 39 के बराबर हैं।"

भुजा x वाले एक वर्ग पर विचार करें, इसके किनारों पर आयतों का निर्माण किया जाता है ताकि उनमें से प्रत्येक की दूसरी भुजा 2.5 हो, इसलिए प्रत्येक का क्षेत्रफल 2.5x है। फिर परिणामी आकृति को कोनों में चार वर्ग जोड़कर, एक नए वर्ग एबीसीडी में पूरा किया जाता है। बराबर वर्ग, उनमें से प्रत्येक की भुजा 2.5 है, और क्षेत्रफल 6.25 है

चावल। 3 समीकरण x 2 + 10x = 39 को हल करने के लिए ग्राफ़िकल विधि

वर्ग ABCD के क्षेत्रफल S को निम्नलिखित क्षेत्रफलों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: मूल वर्ग x 2, चार आयत (4∙2.5x = 10x) और चार अतिरिक्त वर्ग (6.25∙4 = 25), यानी। S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x को संख्या 39 से प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है कि S = 39+ 25 = 64, जिसका अर्थ है कि वर्ग की भुजा ABCD है, अर्थात। खंड AB = 8. मूल वर्ग की आवश्यक भुजा x के लिए हमें प्राप्त होता है

10. बेज़आउट प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना।

बेज़ाउट का प्रमेय. बहुपद P(x) को द्विपद x - α से विभाजित करने पर शेषफल P(α) के बराबर होता है (अर्थात, x = α पर P(x) का मान)।

यदि संख्या α बहुपद P(x) का मूल है, तो यह बहुपद बिना किसी शेषफल के x -α से विभाज्य है।

उदाहरण।x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. P(x) को (x-1) से विभाजित करें: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, या x-3=0, x=3; उत्तर: एक्स1 =2, एक्स2 =3.

निष्कर्ष:द्विघात समीकरणों को जल्दी और तर्कसंगत रूप से हल करने की क्षमता अधिक जटिल समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक है, उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरण, उच्च डिग्री के समीकरण, द्विघात समीकरण, और हाई स्कूल में त्रिकोणमितीय, घातीय और लघुगणक समीकरण। द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए पाए गए सभी तरीकों का अध्ययन करने के बाद, हम अपने सहपाठियों को मानक तरीकों के अलावा, स्थानांतरण विधि (6) द्वारा हल करने और गुणांक (7) की संपत्ति का उपयोग करके समीकरणों को हल करने की सलाह दे सकते हैं, क्योंकि वे अधिक सुलभ हैं समझने के लिए.

साहित्य:

1. ब्रैडिस वी.एम. चार अंकों की गणित तालिकाएँ। - एम., शिक्षा, 1990।
2. बीजगणित 8वीं कक्षा: 8वीं कक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा संस्थान माकार्यचेव यू.एन., मिंड्युक एन.जी., नेशकोव के.आई., सुवोरोवा एस.बी. एड। एस. ए. टेल्यकोवस्की 15वां संस्करण, संशोधित। - एम.: शिक्षा, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. ग्लेज़र जी.आई. स्कूल में गणित का इतिहास. शिक्षकों के लिए मैनुअल. / एड. वी.एन. छोटा। - एम.: शिक्षा, 1964।

कई लोगों के ऐसा न होने के कारण यह विषय पहली बार में कठिन लग सकता है सरल सूत्र. न केवल द्विघात समीकरणों में स्वयं लंबे अंकन होते हैं, बल्कि विवेचक के माध्यम से जड़ें भी पाई जाती हैं। कुल मिलाकर, तीन नए सूत्र प्राप्त होते हैं। याद रखना बहुत आसान नहीं है. ऐसे समीकरणों को बार-बार हल करने पर ही यह संभव है। फिर सारे सूत्र अपने आप याद हो जायेंगे।

द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य

यहां हम उनके स्पष्ट अंकन का प्रस्ताव करते हैं, जब सबसे बड़ी डिग्री पहले लिखी जाती है, और फिर अवरोही क्रम में। अक्सर ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब शर्तें असंगत होती हैं। फिर चर की डिग्री के अवरोही क्रम में समीकरण को फिर से लिखना बेहतर है।

आइए कुछ संकेतन का परिचय दें। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

यदि हम इन नोटेशनों को स्वीकार करते हैं, तो सभी द्विघात समीकरण निम्नलिखित नोटेशन में कम हो जाते हैं।

इसके अलावा, गुणांक a ≠ 0. मान लीजिए कि इस सूत्र को नंबर एक नामित किया गया है।

जब कोई समीकरण दिया जाता है तो यह स्पष्ट नहीं होता कि उत्तर में कितने मूल होंगे। क्योंकि तीन विकल्पों में से एक हमेशा संभव है:

• समाधान की दो जड़ें होंगी;
• उत्तर एक अंक होगा;
• समीकरण की कोई जड़ नहीं होगी।

और जब तक निर्णय अंतिम नहीं हो जाता, तब तक यह समझना मुश्किल है कि किसी विशेष मामले में कौन सा विकल्प सामने आएगा।

द्विघात समीकरणों की रिकॉर्डिंग के प्रकार

कार्यों में अलग-अलग प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। वे हमेशा ऐसे नहीं दिखेंगे सामान्य सूत्रद्विघात समीकरण. कभी-कभी इसमें कुछ शर्तें गायब होंगी। जो ऊपर लिखा गया था वह है पूरा समीकरण. यदि आप इसमें दूसरा या तीसरा पद हटा दें तो आपको कुछ और मिलता है। इन अभिलेखों को द्विघात समीकरण भी कहा जाता है, जो केवल अधूरे हैं।

इसके अलावा, केवल गुणांक "बी" और "सी" वाले शब्द ही गायब हो सकते हैं। संख्या "ए" किसी भी परिस्थिति में शून्य के बराबर नहीं हो सकती। क्योंकि इस स्थिति में सूत्र एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है। समीकरणों के अपूर्ण रूप के सूत्र इस प्रकार होंगे:

तो, केवल दो प्रकार के होते हैं; पूर्ण के अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरण भी होते हैं। मान लीजिए पहला सूत्र नंबर दो है, और दूसरा - तीन।

इसके मूल्य पर जड़ों की संख्या का विभेदक और निर्भरता

समीकरण के मूलों की गणना करने के लिए आपको यह संख्या जानना आवश्यक है। इसकी गणना हमेशा की जा सकती है, चाहे द्विघात समीकरण का सूत्र कोई भी हो। विवेचक की गणना करने के लिए, आपको नीचे लिखी समानता का उपयोग करने की आवश्यकता है, जिसमें संख्या चार होगी।

इस सूत्र में गुणांक मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, आप संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं विभिन्न संकेत. यदि उत्तर हाँ है, तो समीकरण का उत्तर दो भिन्न मूल होंगे। पर ऋणात्मक संख्याद्विघात समीकरण के मूल गायब होंगे। यदि यह शून्य के बराबर है, तो केवल एक ही उत्तर होगा।

संपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

दरअसल, इस मुद्दे पर विचार शुरू हो चुका है. क्योंकि सबसे पहले आपको एक विवेचक ढूंढना होगा। यह निर्धारित होने के बाद कि द्विघात समीकरण की जड़ें हैं, और उनकी संख्या ज्ञात है, आपको चर के लिए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि दो जड़ें हैं, तो आपको निम्नलिखित सूत्र लागू करने की आवश्यकता है।

चूंकि इसमें "±" चिन्ह है, इसलिए इसके दो अर्थ होंगे। वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति विभेदक है। इसलिए, सूत्र को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है।

फॉर्मूला नंबर पांच. उसी रिकॉर्ड से यह स्पष्ट है कि यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो दोनों मूल समान मान लेंगे।

यदि द्विघात समीकरणों को हल करना अभी तक संभव नहीं हो पाया है, तो विभेदक और चर सूत्रों को लागू करने से पहले सभी गुणांकों के मूल्यों को लिख लेना बेहतर है। बाद में यह क्षण कठिनाइयों का कारण नहीं बनेगा। लेकिन शुरुआत में ही भ्रम की स्थिति है.

अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

यहां सब कुछ बहुत सरल है. अतिरिक्त फ़ॉर्मूले की भी आवश्यकता नहीं है. और जो पहले से ही विभेदक और अज्ञात के लिए लिखे गए हैं उनकी आवश्यकता नहीं होगी।

आइए पहले विचार करें अधूरा समीकरणदूसरे नंबर पर. इस समानता में अज्ञात मात्रा को कोष्ठक से निकालकर रैखिक समीकरण को हल करना आवश्यक है, जो कोष्ठक में ही रहेगा। उत्तर की दो जड़ें होंगी. पहला आवश्यक रूप से शून्य के बराबर है, क्योंकि चर में ही एक गुणक होता है। दूसरा एक रैखिक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाएगा।

अपूर्ण समीकरण संख्या तीन को संख्या को समानता के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाकर हल किया जाता है। फिर आपको अज्ञात का सामना करने वाले गुणांक से विभाजित करने की आवश्यकता है। जो कुछ बचा है वह वर्गमूल निकालना है और इसे विपरीत चिह्नों के साथ दो बार लिखना याद रखें।

नीचे कुछ क्रियाएं दी गई हैं जो आपको यह सीखने में मदद करेंगी कि द्विघात समीकरणों में बदलने वाली सभी प्रकार की समानताओं को कैसे हल किया जाए। वे छात्र को असावधानी के कारण होने वाली गलतियों से बचने में मदद करेंगे। व्यापक विषय "द्विघात समीकरण (ग्रेड 8)" का अध्ययन करते समय ये कमियाँ खराब ग्रेड का कारण बन सकती हैं। इसके बाद, इन क्रियाओं को लगातार करने की आवश्यकता नहीं होगी। क्योंकि एक स्थिर कौशल दिखाई देगा.

• सबसे पहले आपको समीकरण को मानक रूप में लिखना होगा। अर्थात्, पहले चर की सबसे बड़ी घात वाला पद, और फिर - बिना घात वाला, और अंतिम - केवल एक संख्या।

• यदि गुणांक "ए" से पहले एक ऋण दिखाई देता है, तो यह द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने वाले शुरुआती के लिए काम को जटिल बना सकता है। इससे छुटकारा पाना ही बेहतर है. इस प्रयोजन के लिए, सभी समानता को "-1" से गुणा किया जाना चाहिए। इसका मतलब यह है कि सभी पद विपरीत दिशा में संकेत बदल देंगे।

• इसी प्रकार भिन्नों से छुटकारा पाने की अनुशंसा की जाती है। बस समीकरण को उचित कारक से गुणा करें ताकि हर रद्द हो जाए।

उदाहरण

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक है:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12एक्स + एक्स 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

पहला समीकरण: x 2 − 7x = 0. यह अधूरा है, इसलिए इसे सूत्र संख्या दो में वर्णित अनुसार हल किया गया है।

कोष्ठक से बाहर निकालने पर यह प्राप्त होता है: x (x - 7) = 0.

पहला रूट मान लेता है: x 1 = 0. दूसरा से मिलेगा रैखिक समीकरण: x - 7 = 0. यह देखना आसान है कि x 2 = 7.

दूसरा समीकरण: 5x 2 + 30 = 0. फिर अधूरा। केवल इसे तीसरे सूत्र में वर्णित अनुसार हल किया जा सकता है।

30 को समीकरण के दाईं ओर ले जाने के बाद: 5x 2 = 30। अब आपको 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह निकलता है: x 2 = 6। उत्तर संख्याएं होंगी: x 1 = √6, x 2 = - √6.

तीसरा समीकरण: 15 − 2х − x 2 = 0. यहां और आगे, द्विघात समीकरणों को हल करना उनके पुनर्लेखन के साथ शुरू होगा मानक दृश्य: − x 2 − 2x + 15 = 0. अब दूसरे का उपयोग करने का समय आ गया है उपयोगी सलाहऔर हर चीज़ को शून्य से एक से गुणा करें। यह x 2 + 2x - 15 = 0 निकला। चौथे सूत्र का उपयोग करके, आपको विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64। यह एक सकारात्मक संख्या है। ऊपर जो कहा गया है, उससे यह पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं। उन्हें पांचवें सूत्र का उपयोग करके गणना करने की आवश्यकता है। यह पता चला कि x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. फिर x 1 = 3, x 2 = - 5.

चौथा समीकरण x 2 + 8 + 3x = 0 इस प्रकार परिवर्तित होता है: x 2 + 3x + 8 = 0. इसका विभेदक इस मान के बराबर है: -23. चूँकि यह संख्या ऋणात्मक है, इस कार्य का उत्तर निम्नलिखित प्रविष्टि होगी: "कोई जड़ें नहीं हैं।"

पांचवें समीकरण 12x + x 2 + 36 = 0 को इस प्रकार फिर से लिखा जाना चाहिए: x 2 + 12x + 36 = 0. विवेचक के लिए सूत्र लागू करने के बाद, संख्या शून्य प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि इसका एक मूल होगा, अर्थात्: x = -12/ (2 * 1) = -6।

छठे समीकरण (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) में परिवर्तन की आवश्यकता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि आपको पहले कोष्ठक खोलकर समान पद लाने की आवश्यकता है। पहले के स्थान पर निम्नलिखित अभिव्यक्ति होगी: x 2 + 2x + 1. समानता के बाद, यह प्रविष्टि दिखाई देगी: x 2 + 3x + 2. समान पदों की गणना के बाद, समीकरण रूप लेगा: x 2 - x = 0. यह अधूरा हो गया है. इससे मिलती-जुलती बात पर पहले ही थोड़ा ऊपर चर्चा की जा चुकी है। इसके मूल अंक 0 और 1 होंगे।