दूसरे क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों के विशेष प्रकार। दूसरे क्रम और उच्च क्रम के विभेदक समीकरण

रैखिक अमानवीय को हल करने की मूल बातें विभेदक समीकरणदूसरा ऑर्डर (LNDU-2) के साथ स्थिर गुणांक(पीसी)

स्थिर गुणांक $p$ और $q$ के साथ दूसरे क्रम के LDDE का रूप $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ है, जहां $f\left(x \right)$ एक सतत फलन है।

पीसी के साथ एलएनडीयू 2 के संबंध में, निम्नलिखित दो कथन सत्य हैं।

आइए मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $U$ एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक मनमाना आंशिक समाधान है। आइए हम यह भी मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $Y$ संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ का सामान्य समाधान (GS) है। फिर का GR LHDE-2 संकेतित निजी और सामान्य समाधानों के योग के बराबर है, यानी $y=U+Y$।

अगर दाहिना भागदूसरे क्रम का एलपीडीई कार्यों का योग है, अर्थात, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, तो पहले हम PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ढूंढ सकते हैं जो प्रत्येक फ़ंक्शन के अनुरूप हैं $f_ (1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, और उसके बाद CR LNDU-2 को इसमें लिखें फॉर्म $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

पीसी के साथ दूसरे क्रम के एलपीडीई का समाधान

यह स्पष्ट है कि किसी दिए गए LNDU-2 के एक या दूसरे PD $U$ का प्रकार उसके दाएँ हाथ के $f\left(x\right)$ के विशिष्ट रूप पर निर्भर करता है। पीडी एलएनडीयू-2 की खोज के सबसे सरल मामले निम्नलिखित चार नियमों के रूप में तैयार किए गए हैं।

नियम 1।

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, यानी इसे a कहा जाता है घात का बहुपद $n$। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) \left(x\right)$ दूसरा है इसका बहुपद $P_(n) \left(x\right)$ के समान है, और $r$ मूलों की संख्या है विशेषता समीकरण LOD-2 के अनुरूप, शून्य के बराबर। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक अनिश्चित गुणांक (यूके) की विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 2.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \left( x\right)$ डिग्री $n$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n ) \ बाएँ(x\दाएँ)$, $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री का एक और बहुपद है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है $\alpha $ के बराबर। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 3.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) का रूप है \दाएं) $, जहां $a$, $b$ और $\beta$ हैं ज्ञात संख्याएँ. फिर इसका PD $U$ इस रूप में मांगा जाता है $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, जहां $A$ और $B$ अज्ञात गुणांक हैं, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है, जो $i\cdot के बराबर है \बीटा$. गुणांक $A$ और $B$ गैर-विनाशकारी विधि का उपयोग करके पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 4.

LNDU-2 के दाईं ओर का रूप $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ है, जहां $P_(n) \left(x\right)$ है घात $ n$ का एक बहुपद, और $P_(m) \left(x\right)$ घात $m$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(s) \left(x\right)$ और $ R_(s) \left(x\right)$ डिग्री $s$ वाले बहुपद हैं, संख्या $s$ दो संख्याओं $n$ और $m$ में से अधिकतम है, और $r$ मूलों की संख्या है संगत LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण का, $\alpha +i\cdot \beta $ के बराबर। बहुपद $Q_(s) \left(x\right)$ और $R_(s) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

एनके पद्धति में निम्नलिखित नियम लागू करना शामिल है। बहुपद के अज्ञात गुणांकों को खोजने के लिए जो अमानवीय अंतर समीकरण LNDU-2 के आंशिक समाधान का हिस्सा हैं, यह आवश्यक है:

• इसमें लिखे PD $U$ को प्रतिस्थापित करें सामान्य रूप से देखें, वी बाईं तरफएलएनडीयू-2;
• LNDU-2 के बाईं ओर, समान शक्तियों $x$ के साथ सरलीकरण और समूह शब्द निष्पादित करें;
• परिणामी पहचान में, बाएँ और दाएँ पक्ष की समान घात $x$ वाले पदों के गुणांकों को बराबर करें;
• अज्ञात गुणांकों के लिए रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।

उदाहरण 1

कार्य: OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ढूंढें। PD भी खोजें , $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ को संतुष्ट करता है।

हम संबंधित LOD-2 लिखते हैं: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

विशेषता समीकरण: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. विशिष्ट समीकरण के मूल हैं: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ये जड़ें वैध और विशिष्ट हैं। इस प्रकार, संबंधित LODE-2 के OR का रूप है: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

इस LNDU-2 के दाईं ओर $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ का रूप है। घातांक $\alpha =3$ के गुणांक पर विचार करना आवश्यक है। यह गुणांक विशेषता समीकरण की किसी भी जड़ से मेल नहीं खाता है। इसलिए, इस LNDU-2 के PD का फॉर्म $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है।

हम एनसी विधि का उपयोग करके गुणांक $A$, $B$ की खोज करेंगे।

हमें चेक गणराज्य का पहला व्युत्पन्न मिलता है:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हमें चेक गणराज्य का दूसरा व्युत्पन्न मिलता है:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(() ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम दिए गए NLDE-2 $y""-3\cdot y" में $y""$, $y"$ और $y$ के स्थान पर फ़ंक्शन $U""$, $U"$ और $U$ को प्रतिस्थापित करते हैं। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x). $ इसके अलावा, चूंकि घातांक $e^(3\cdot x) $ को एक कारक के रूप में शामिल किया गया है सभी घटकों में, तो इसे छोड़ा जा सकता है:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

हम परिणामी समानता के बाईं ओर क्रियाएँ करते हैं:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

हम एनडीटी पद्धति का उपयोग करते हैं। हमें दो अज्ञातों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

इस प्रणाली का समाधान है: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ हमारी समस्या के लिए इस तरह दिखता है: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

हमारी समस्या के लिए OR $y=Y+U$ इस तरह दिखता है: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ बाएँ(-2\cdot x-1\दाएँ)\cdot e^(3\cdot x) $।

दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करने वाले पीडी की खोज करने के लिए, हम ओपी का व्युत्पन्न $y"$ पाते हैं:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

हम $y$ और $y"$ में $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:

$6=सी_(1) +सी_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

आइए इसे सुलझाएं. हम Cramer के सूत्र का उपयोग करके $C_(1) $ पाते हैं, और $C_(2) $ हम पहले समीकरण से निर्धारित करते हैं:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

इस प्रकार, इस अंतर समीकरण के PD का रूप है: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \दाएं )\cdot e^(3\cdot x) $.

यहां हम रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने के लिए लैग्रेंज स्थिरांक की भिन्नता की विधि लागू करेंगे। विस्तृत विवरणमनमाने क्रम के समीकरणों को हल करने की यह विधि पृष्ठ पर वर्णित है
लैग्रेंज विधि >>> द्वारा उच्च कोटि के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों का समाधान।

उदाहरण 1

लैग्रेंज स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का उपयोग करके स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को हल करें:
(1)

समाधान

सबसे पहले हम समांगी अवकल समीकरण को हल करते हैं:
(2)

यह दूसरे क्रम का समीकरण है.

द्विघात समीकरण को हल करना:
.
एकाधिक जड़ें: .
(3) .
समीकरण (2) के समाधान की मूल प्रणाली का रूप इस प्रकार है: यहां से हमें सामान्य समाधान मिलता है (2):
(4) .

सजातीय समीकरण 1 स्थिरांकों को परिवर्तित करना C 2 और सी
.
. अर्थात्, हम (4) में स्थिरांकों को फ़ंक्शंस से प्रतिस्थापित करते हैं:समाधान ढूंढ रहे हैं
(5) .

मूल समीकरण
.
(1) जैसे:
(6) .
व्युत्पन्न ढूँढना:
.

आइए फ़ंक्शंस और समीकरण को कनेक्ट करें:
.
तब
(1) ;



.
हमें दूसरा व्युत्पन्न मिलता है:
(7) .
मूल समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें:

चूँकि सजातीय समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं, अंतिम तीन पंक्तियों के प्रत्येक स्तंभ में पदों का योग शून्य देता है और पिछला समीकरण इस प्रकार लेता है:
(6) :
(7) .

यहाँ ।

समीकरण (6) के साथ हम कार्यों को निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं और:
.
समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना
;
.

हम क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली (6-7) को हल करते हैं। हम सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं:

.
क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:
;
.

तो, हमें फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न मिले:
;
.
आइए एकीकृत करें (जड़ों को एकीकृत करने के तरीके देखें)। प्रतिस्थापन करना
; ; ; .

.
.

;
.

उत्तर

उदाहरण 2

लैग्रेंज स्थिरांकों की भिन्नता की विधि द्वारा अवकल समीकरण को हल करें:
(8)

समाधान

चरण 1. सजातीय समीकरण को हल करना

हम सजातीय अंतर समीकरण को हल करते हैं:

(9)
हम फॉर्म में समाधान तलाश रहे हैं।'

हम विशेषता समीकरण बनाते हैं:
.
इस समीकरण की जड़ें जटिल हैं:
(10) .
इन जड़ों के अनुरूप समाधानों की मूलभूत प्रणाली का रूप इस प्रकार है:
(11) .

सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान (9):

चरण 2. स्थिरांकों का परिवर्तन - स्थिरांकों को फलनों से बदलना 1 स्थिरांकों को परिवर्तित करना C 2 अब हम स्थिरांक C को बदलते हैं
.
.
(12) .

अर्थात्, हम (11) में स्थिरांकों को फ़ंक्शंस से प्रतिस्थापित करते हैं: हम मूल समीकरण (8) का हल इस रूप में ढूंढ रहे हैं:इसके अलावा, समाधान की प्रगति उदाहरण 1 जैसी ही है। हम पहुंचते हैं
(13) :
(14) .
मूल समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें:

यहाँ ।

अगली प्रणाली
.
कार्यों के निर्धारण के लिए समीकरण और:
;
.

आइए इस प्रणाली को हल करें। आइए फ़ंक्शंस के लिए अभिव्यक्तियाँ लिखें और:

.
क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:
;
.

.
डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
.
व्युत्पन्न ढूँढना:
.

हम क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली (13-14) को हल करते हैं। सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक:


.

चूँकि, लघुगणक चिह्न के अंतर्गत मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है। अंश और हर को इससे गुणा करें: मूल समीकरण का सामान्य समाधान:

दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण"" + प्रपत्र का समीकरण कहा जाता है(य)दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण" + पी(य)दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण = एक्स(य) ,

क्यू दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरणएफ प्रपत्र का समीकरण कहा जाता है(य) , पी(यकहाँ एक्स(यपाया जाने वाला कार्य है, और ) और) .

) - एक निश्चित अंतराल पर निरंतर कार्य ( एक्स(यए, बी यदि समीकरण का दायां पक्ष शून्य है ( ) = 0), तो समीकरण कहा जाता है एक्स(यरैखिक सजातीय समीकरण

. इस पाठ का व्यावहारिक भाग मुख्य रूप से ऐसे समीकरणों के लिए समर्पित होगा। यदि समीकरण का दायां पक्ष शून्य के बराबर नहीं है ( दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण"" :

दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण"" = −प्रपत्र का समीकरण कहा जाता है(य)दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण" − पी(य)दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण + एक्स(य) .

) ≠ 0), तो समीकरण कहा जाता है। जिन समस्याओं के लिए हमें समीकरण हल करने की आवश्यकता होती है .

दूसरे क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों का एक अद्वितीय समाधान होता है

कौची समस्याएँ

दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण"" + प्रपत्र का समीकरण कहा जाता है(य)दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण" + पी(य)दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण = 0 .

अगर दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण1 (य) दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अवकल समीकरण और उसका समाधान दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण2 (य) एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें:

1) दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण1 (य) + दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण 2 (य) और

2) यदि इस समीकरण के विशेष समाधान हैं, तो निम्नलिखित कथन सत्य हैं:1 (य) - इस समीकरण का एक समाधान भी है; सीवाई, कहाँ

सी

सीवाई1 दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण 1 (य) + सीवाई 2 दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण 2 (य)

- एक मनमाना स्थिरांक (स्थिर), भी इस समीकरण का एक समाधान है।

इन दो कथनों से यह निष्कर्ष निकलता है कि फलन इस समीकरण का एक समाधान भी है। एक उचित प्रश्न उठता है: क्या यह समाधान है? सीवाई1 दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अवकल समीकरण और उसका समाधान सीवाई2 क्या समीकरण के सभी संभावित समाधान प्राप्त करना संभव है?

इस प्रश्न का उत्तर है: हो सकता है, लेकिन कुछ शर्तों के तहत। यह विशेष समाधानों में क्या गुण होने चाहिए, इस पर शर्त दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण1 (य) दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अवकल समीकरण और उसका समाधान दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण2 (य) .

और इस स्थिति को स्थिति कहा जाता है रैखिक स्वतंत्रतानिजी समाधान.

प्रमेय. समारोह सीवाई1 दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण 1 (य) + सीवाई 2 दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण 2 (य) यदि फ़ंक्शन एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान है दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण1 (य) दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अवकल समीकरण और उसका समाधान दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण2 (य) रैखिक रूप से स्वतंत्र।

परिभाषा. कार्य दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण1 (य) दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अवकल समीकरण और उसका समाधान दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण2 (य) यदि उनका अनुपात स्थिर गैर-शून्य है तो उन्हें रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है:

दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण1 (य)/दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण 2 (य) = क ; क = कॉन्स्ट ; क ≠ 0 .

हालाँकि, परिभाषा के अनुसार यह निर्धारित करना कि क्या ये कार्य रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, अक्सर बहुत श्रमसाध्य होता है। व्रोनस्की निर्धारक का उपयोग करके रैखिक स्वतंत्रता स्थापित करने का एक तरीका है डब्ल्यू(य) :

यदि व्रोनस्की निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं . यदि व्रोनस्की निर्धारक शून्य है, तो समाधान रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

उदाहरण 1।एक रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम दो बार एकीकृत करते हैं और, जैसा कि देखना आसान है, किसी फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न और स्वयं फ़ंक्शन के बीच का अंतर शून्य के बराबर होने के लिए, समाधान को एक घातांक से संबद्ध किया जाना चाहिए जिसका व्युत्पन्न स्वयं के बराबर है। अर्थात्, आंशिक समाधान हैं और।

व्रोनस्की निर्धारक के बाद से

शून्य के बराबर नहीं है, तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, इस समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जा सकता है

.

स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण: सिद्धांत और व्यवहार

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का रैखिक सजातीय अंतर समीकरण मूल समीकरण का सामान्य समाधान:

दूसरे क्रम का रैखिक अवकल समीकरण"" + पाई" + क्यू = 0 ,

क्यू प्रपत्र का समीकरण कहा जाता हैऔर पी- स्थिर मान.

तथ्य यह है कि यह एक दूसरे क्रम का समीकरण है, वांछित फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न की उपस्थिति से संकेत मिलता है, और इसकी एकरूपता दाईं ओर शून्य द्वारा इंगित की जाती है। पहले से ऊपर उल्लिखित मानों को स्थिरांक गुणांक कहा जाता है।

को स्थिर गुणांकों के साथ एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को हल करें , आपको पहले फॉर्म के तथाकथित विशेषता समीकरण को हल करना होगा

क² + पी क्यू + पी = 0 ,

जो, जैसा कि देखा जा सकता है, एक सामान्य द्विघात समीकरण है।

विशेषता समीकरण के समाधान के आधार पर, तीन अलग-अलग विकल्प संभव हैं स्थिर गुणांकों के साथ एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का समाधान , जिसका अब हम विश्लेषण करेंगे। पूर्ण निश्चितता के लिए, हम मान लेंगे कि सभी विशेष समाधानों का परीक्षण व्रोनस्की निर्धारक द्वारा किया गया है और यह सभी मामलों में शून्य के बराबर नहीं है। हालाँकि, जिन लोगों को इस पर संदेह है, वे स्वयं इसकी जाँच कर सकते हैं।

विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं

दूसरे शब्दों में, । इस मामले में, स्थिर गुणांक वाले रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के समाधान का रूप होता है

.

उदाहरण 2. एक रैखिक सजातीय अवकल समीकरण को हल करें

.

उदाहरण 3. एक रैखिक सजातीय अवकल समीकरण को हल करें

.

समाधान। अभिलक्षणिक समीकरण का रूप, उसकी जड़ें वास्तविक और विशिष्ट होती हैं। समीकरण के संगत आंशिक समाधान हैं: और। इस अवकल समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है

.

विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और समान हैं

वह है, । इस मामले में, स्थिर गुणांक वाले रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण के समाधान का रूप होता है

.

उदाहरण 4. एक रैखिक सजातीय अवकल समीकरण को हल करें

.

समाधान। विशेषता समीकरण समान जड़ें हैं. समीकरण के संगत आंशिक समाधान हैं: और। इस अवकल समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है

उदाहरण 5. एक रैखिक सजातीय अवकल समीकरण को हल करें

.

समाधान। अभिलक्षणिक समीकरण के मूल समान होते हैं। समीकरण के संगत आंशिक समाधान हैं: और। इस अवकल समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार है

शैक्षणिक संस्थान "बेलारूसी राज्य

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

दिशा-निर्देश

पत्राचार शिक्षा के लेखांकन संकाय (एनआईएसपीओ) के छात्रों द्वारा "दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण" विषय का अध्ययन करने के लिए

गोर्की, 2013

रैखिक विभेदक समीकरण

स्थिरांक के साथ दूसरा क्रमगुणांकों

रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण प्रपत्र का समीकरण कहा जाता है

वे। एक समीकरण जिसमें वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव केवल पहली डिग्री तक होते हैं और उनके उत्पाद शामिल नहीं होते हैं। इस समीकरण में और
- कुछ संख्याएँ, और एक फ़ंक्शन
एक निश्चित अंतराल पर दिया जाता है
.

अगर
अंतराल पर
, तो समीकरण (1) का रूप ले लेगा

, (2)

और कहा जाता है रैखिक सजातीय . अन्यथा, समीकरण (1) कहा जाता है रैखिक अमानवीय .

जटिल फ़ंक्शन पर विचार करें

, (3)

कहाँ
और
- वास्तविक कार्य। यदि फ़ंक्शन (3) समीकरण (2) का एक जटिल समाधान है, तो वास्तविक भाग
, और काल्पनिक भाग
समाधान
एक ही सजातीय समीकरण के अलग-अलग समाधान हैं। इस प्रकार, सब कुछ व्यापक समाधानसमीकरण (2) इस समीकरण के दो वास्तविक समाधान उत्पन्न करता है।

सजातीय के समाधान रेखीय समीकरणगुण हैं:

अगर समीकरण (2) का हल है, तो फलन
, कहाँ साथ- एक मनमाना स्थिरांक भी समीकरण (2) का समाधान होगा;

अगर और समीकरण (2) के समाधान हैं, फिर फ़ंक्शन
समीकरण (2) का भी समाधान होगा;

अगर और समीकरण (2) के समाधान हैं, फिर उनका रैखिक संयोजन
समीकरण (2) का भी समाधान होगा, जहाँ और
- मनमाना स्थिरांक.

कार्य
और
कहा जाता है रैखिक रूप से निर्भर अंतराल पर
, यदि ऐसी संख्याएँ मौजूद हैं और
, एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं, इस अंतराल पर समानता

यदि समानता (4) तभी घटित होती है
और
, फिर फ़ंक्शन
और
कहा जाता है रैखिक रूप से स्वतंत्र अंतराल पर
.

उदाहरण 1 . कार्य
और
चूँकि, रैखिक रूप से निर्भर हैं
संपूर्ण संख्या रेखा पर. इस उदाहरण में
.

उदाहरण 2 . कार्य
और
समानता के बाद से, किसी भी अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
तभी संभव है जब
, और
.

निर्माण सामान्य समाधानरैखिक सजातीय

समीकरण

समीकरण (2) का सामान्य समाधान खोजने के लिए, आपको इसके दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजने होंगे और . इन समाधानों का रैखिक संयोजन
, कहाँ और
मनमाना स्थिरांक हैं, और एक रैखिक सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान देंगे।

हम फॉर्म में समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान की तलाश करेंगे

, (5)

कहाँ - एक निश्चित संख्या. तब
,
. आइए इन अभिव्यक्तियों को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें:

या
.

क्योंकि
, वह
. तो समारोह
समीकरण (2) का समाधान होगा यदि समीकरण को संतुष्ट करेगा

. (6)

समीकरण (6) कहा जाता है विशेषता समीकरण समीकरण (2) के लिए. यह समीकरण एक बीजगणितीय द्विघात समीकरण है.

होने देना और इस समीकरण की जड़ें हैं. वे या तो वास्तविक और भिन्न, या जटिल, या वास्तविक और समान हो सकते हैं। आइए इन मामलों पर विचार करें।

जड़ें चलो और विशेषता समीकरण वास्तविक और विशिष्ट हैं। तब समीकरण (2) के समाधान फलन होंगे
और
. समानता के बाद से ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
तभी किया जा सकता है जब
, और
. इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है

,

कहाँ और
- मनमाना स्थिरांक.

उदाहरण 3
.

समाधान . इस अंतर के लिए विशेषता समीकरण होगा
. इस द्विघात समीकरण को हल करने के बाद, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं
और
. कार्य
और
अवकल समीकरण के समाधान हैं। इस समीकरण का सामान्य हल है
.

जटिल संख्या रूप की अभिव्यक्ति कहलाती है
, कहाँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, और
काल्पनिक इकाई कहलाती है। अगर
, फिर संख्या
पूर्णतः काल्पनिक कहा जाता है. अगर
, फिर संख्या
वास्तविक संख्या से पहचाना जाता है .

संख्या किसी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाता है, और - काल्पनिक भाग. यदि दो सम्मिश्र संख्याएँ केवल काल्पनिक भाग के चिन्ह द्वारा एक दूसरे से भिन्न हों, तो वे संयुग्म कहलाती हैं:
,
.

उदाहरण 4 . द्विघात समीकरण हल करें
.

समाधान . विभेदक समीकरण
. तब। वैसे ही,
. इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण में संयुग्मित जटिल जड़ें हैं।

मान लीजिए कि विशेषता समीकरण की जड़ें जटिल हैं, यानी।
,
, कहाँ
.
,
समीकरण (2) के हल इस रूप में लिखे जा सकते हैं
,
या

,
.

.
और
यूलर के सूत्रों के अनुसार

तब ,। जैसा कि ज्ञात है, यदि एक जटिल फ़ंक्शन एक रैखिक सजातीय समीकरण का समाधान है, तो इस समीकरण के समाधान इस फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग हैं। इस प्रकार, समीकरण (2) का समाधान फलन होगा
और
. समानता के बाद से

कहाँ और
- मनमाना स्थिरांक.

केवल तभी निष्पादित किया जा सकता है यदि , तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है
.

समाधान उदाहरण 5
. अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें
,
. कार्य
और
. समीकरण

किसी दिए गए अंतर की विशेषता है। आइए इसे हल करें और जटिल जड़ें प्राप्त करें
अवकल समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं। इस समीकरण का सामान्य समाधान है:
और
मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं, अर्थात्।
और
. तब समीकरण (2) के समाधान फलन हैं
.

. ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि अभिव्यक्ति केवल तभी शून्य के बराबर हो सकती है , तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है
.

समाधान . इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है
उदाहरण 6
. विशेषता समीकरण
और
समान जड़ें हैं
.

. इस मामले में, अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान कार्य हैं

. सामान्य समाधान का स्वरूप होता है

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के अमानवीय रैखिक अंतर समीकरण
और विशेष दाहिनी ओर
रैखिक अमानवीय समीकरण (1) का सामान्य समाधान सामान्य समाधान के योग के बराबर है:
.

संगत सजातीय समीकरण और कोई विशेष समाधान
अमानवीय समीकरण

कुछ मामलों में, एक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान दाहिने हाथ के रूप में काफी सरलता से पाया जा सकता है समीकरण (1). आइए उन मामलों को देखें जहां यह संभव है।वे। अमानवीय समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है
एम समीकरण (1). आइए उन मामलों को देखें जहां यह संभव है।. अगर

विशेषता समीकरण का मूल नहीं है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान डिग्री के बहुपद के रूप में खोजा जाना चाहिए
, अर्थात।

कठिनाइयाँ
किसी विशेष समाधान को खोजने की प्रक्रिया में निर्धारित किया जाता है।

अगर , तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है
.

समाधान विशेषता समीकरण का मूल है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान रूप में खोजा जाना चाहिए
उदाहरण 7
. इस समीकरण के लिए संगत सजातीय समीकरण है
और
. इसका अभिलक्षणिक समीकरण
.

क्योंकि
विशेषता समीकरण की जड़ नहीं है, तो हम एक फ़ंक्शन के रूप में अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे
. आइए इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें
,
और उन्हें इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

या । आइए हम इसके लिए गुणांकों की बराबरी करें और मुफ़्त सदस्य:
निर्णय कर लिया है यह प्रणाली, हम पाते हैं
,
. तब अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप होता है
, और किसी दिए गए अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान और अमानवीय के विशेष समाधान का योग होगा:
.

मान लीजिए कि अमानवीय समीकरण का रूप है

अगर
विशेषता समीकरण की जड़ नहीं है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान फॉर्म में खोजा जाना चाहिए। अगर
विशेषता बहुलता समीकरण का मूल है क (क=1 या क=2), तो इस स्थिति में अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप होगा।

उदाहरण 8 , तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है
.

समाधान . संगत सजातीय समीकरण के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का रूप होता है
. इसकी जड़ें
,
. इस स्थिति में, संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान प्रपत्र में लिखा जाता है
.

चूँकि संख्या 3 विशेषता समीकरण का मूल नहीं है, इसलिए अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान इस रूप में खोजा जाना चाहिए
. आइए पहले और दूसरे ऑर्डर के डेरिवेटिव खोजें:

आइए अंतर समीकरण में स्थानापन्न करें:
+ +,
+,.

आइए हम इसके लिए गुणांकों की बराबरी करें और मुफ़्त सदस्य:

यहाँ से
,
. तब इस समीकरण का एक विशेष समाधान रूप होता है
, और सामान्य समाधान

.

मनमाना स्थिरांकों के परिवर्तन की लैग्रेंज विधि

मनमाना स्थिरांक को अलग-अलग करने की विधि को स्थिर गुणांक वाले किसी भी अमानवीय रैखिक समीकरण पर लागू किया जा सकता है, भले ही दाईं ओर का प्रकार कुछ भी हो। यदि संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात हो तो यह विधि आपको हमेशा एक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान खोजने की अनुमति देती है।

होने देना
और
समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं। तब इस समीकरण का सामान्य हल है
, कहाँ और
- मनमाना स्थिरांक. मनमाना स्थिरांकों को अलग-अलग करने की विधि का सार यह है कि समीकरण (1) का सामान्य समाधान इस रूप में खोजा जाता है

कहाँ
और
- नए अज्ञात फ़ंक्शन जिन्हें खोजने की आवश्यकता है। चूँकि दो अज्ञात फलन हैं, उन्हें खोजने के लिए, इन फलनों वाले दो समीकरणों की आवश्यकता है। ये दो समीकरण प्रणाली बनाते हैं

जो कि समीकरणों की एक रैखिक बीजगणितीय प्रणाली है
और
. इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं
और
. प्राप्त समानताओं के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हुए, हम पाते हैं

और
.

इन व्यंजकों को (9) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अमानवीय रैखिक समीकरण (1) का एक सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 9 , तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) का सामान्य समाधान इस प्रकार है
.

समाधान। किसी दिए गए अंतर समीकरण के अनुरूप सजातीय समीकरण के लिए विशेषता समीकरण है
. इसकी जड़ें जटिल हैं
,
. क्योंकि
और
, वह
,
, और सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है। फिर हम इस अमानवीय समीकरण का एक सामान्य समाधान इस रूप में खोजेंगे
और
- अज्ञात कार्य.

इन अज्ञात कार्यों को खोजने के लिए समीकरणों की प्रणाली का रूप है

इस प्रणाली को हल करने के बाद, हम पाते हैं
,
. तब

,
. आइए हम परिणामी अभिव्यक्तियों को सामान्य समाधान के सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

यह लैग्रेंज विधि का उपयोग करके प्राप्त इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है।

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

किस अवकल समीकरण को स्थिर गुणांकों वाला द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

किस रैखिक अवकल समीकरण को सजातीय तथा किसको अमानवीय कहा जाता है?

एक रैखिक सजातीय समीकरण में क्या गुण होते हैं?

रैखिक अवकल समीकरण के लिए किस समीकरण को विशेषता कहा जाता है और इसे कैसे प्राप्त किया जाता है?

अभिलक्षणिक समीकरण के विभिन्न मूलों की स्थिति में अचर गुणांक वाले रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल किस रूप में लिखा जाता है?

अभिलक्षणिक समीकरण के समान मूलों की स्थिति में अचर गुणांक वाले रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल किस रूप में लिखा जाता है?

विशेषता समीकरण की जटिल जड़ों के मामले में निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान किस रूप में लिखा जाता है?

रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य हल कैसे लिखा जाता है?

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान किस रूप में खोजा जाता है यदि विशेषता समीकरण की जड़ें अलग-अलग हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं, और समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है समीकरण (1). आइए उन मामलों को देखें जहां यह संभव है।?

यदि विशेषता समीकरण की जड़ों के बीच एक शून्य है और समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है तो रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान किस रूप में खोजा जाता है समीकरण (1). आइए उन मामलों को देखें जहां यह संभव है।?

लैग्रेंज विधि का सार क्या है?

इस अनुच्छेद पर चर्चा होगी विशेष मामलादूसरे क्रम के रैखिक समीकरण, जब समीकरण के गुणांक स्थिर होते हैं, अर्थात वे संख्याएँ होते हैं। ऐसे समीकरणों को स्थिर गुणांक वाले समीकरण कहा जाता है। इस प्रकार के समीकरणों का विशेष रूप से व्यापक अनुप्रयोग होता है।

1. रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरा क्रम

समीकरण पर विचार करें

जिसमें गुणांक स्थिर हैं। यह मानते हुए कि समीकरण के सभी पदों को और निरूपित करके विभाजित किया गया है

आइए इस समीकरण को इस रूप में लिखें

जैसा कि ज्ञात है, एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के समीकरण का सामान्य समाधान खोजने के लिए, इसे जानना पर्याप्त है मौलिक प्रणालीनिजी समाधान. आइए हम दिखाएं कि स्थिर गुणांक वाले एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण के लिए आंशिक समाधान की एक मौलिक प्रणाली कैसे खोजें। हम फॉर्म में इस समीकरण का एक विशेष समाधान तलाशेंगे

इस फ़ंक्शन को दो बार विभेदित करने और समीकरण (59) में व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

चूँकि, घटाने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

इस समीकरण से k के वे मान निर्धारित होते हैं जिनके लिए फ़ंक्शन समीकरण (59) का समाधान होगा।

गुणांक k के निर्धारण के लिए बीजगणितीय समीकरण (61) को इस अंतर समीकरण (59) का अभिलक्षणिक समीकरण कहा जाता है।

अभिलक्षणिक समीकरण दूसरी डिग्री का समीकरण है और इसलिए इसके दो मूल हैं। ये जड़ें या तो वास्तविक भिन्न, वास्तविक और समान या जटिल संयुग्मी हो सकती हैं।

आइए विचार करें कि इनमें से प्रत्येक मामले में विशेष समाधानों की मूलभूत प्रणाली का स्वरूप क्या है।

1. विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं:। इस मामले में, सूत्र (60) का उपयोग करके हम दो आंशिक समाधान पाते हैं:

ये दो विशेष समाधान संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं, क्योंकि व्रोनस्की निर्धारक कहीं भी गायब नहीं होता है:

नतीजतन, सूत्र (48) के अनुसार समीकरण का सामान्य समाधान रूप है

2. अभिलक्षणिक समीकरण के मूल बराबर हैं: . इस स्थिति में, दोनों जड़ें वास्तविक होंगी। सूत्र (60) का उपयोग करके, हम केवल एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं

आइए हम दिखाएं कि दूसरा विशेष समाधान, जो पहले के साथ मिलकर एक मौलिक प्रणाली बनाता है, का रूप है

सबसे पहले, आइए जाँचें कि फ़ंक्शन समीकरण (59) का समाधान है। वास्तव में,

लेकिन, चूँकि विशेषता समीकरण (61) का एक मूल है। इसके अलावा, विएटा के प्रमेय के अनुसार, इसलिए। नतीजतन, यानी, फ़ंक्शन वास्तव में समीकरण (59) का एक समाधान है।

आइए अब हम दिखाते हैं कि पाए गए आंशिक समाधान समाधानों की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं। वास्तव में,

इस प्रकार, इस मामले में सजातीय रैखिक समीकरण के सामान्य समाधान का रूप होता है

3. विशेषता समीकरण की जड़ें जटिल हैं। जैसा कि ज्ञात है, जटिल जड़ें द्विघात समीकरणवास्तविक गुणांकों के साथ संयुग्मित होते हैं जटिल आंकड़े, यानी वे इस तरह दिखते हैं: . इस स्थिति में, सूत्र (60) के अनुसार समीकरण (59) के आंशिक समाधान का रूप होगा:

यूलर के सूत्रों का उपयोग करते हुए (अध्याय XI, § 5, पैराग्राफ 3 देखें), अभिव्यक्तियाँ इस प्रकार लिखी जा सकती हैं:

ये समाधान व्यापक हैं. वैध समाधान पाने के लिए, नए कार्यों पर विचार करें

वे समाधानों के रैखिक संयोजन हैं और इसलिए, स्वयं समीकरण (59) के समाधान हैं (देखें § 3, आइटम 2, प्रमेय 1)।

यह दिखाना आसान है कि इन समाधानों के लिए व्रोनस्की निर्धारक गैर-शून्य है और इसलिए, समाधान समाधानों की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

इस प्रकार, विशेषता समीकरण की जटिल जड़ों के मामले में एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण का सामान्य समाधान रूप है

निष्कर्ष में, हम विशेषता समीकरण की जड़ों के प्रकार के आधार पर समीकरण (59) के सामान्य समाधान के लिए सूत्रों की एक तालिका प्रस्तुत करते हैं।