2 ऑर्डर उदाहरण हैं. स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

के साथ एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण पर विचार करें स्थिर गुणांक:
(1) .
इसका समाधान निम्नलिखित द्वारा प्राप्त किया जा सकता है सामान्य विधिआदेश में कमी.

हालाँकि, मौलिक प्रणाली को तुरंत प्राप्त करना आसान है एनरैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान और उसके आधार पर एक सामान्य समाधान बनाते हैं। इस मामले में, संपूर्ण समाधान प्रक्रिया कम हो जाती है अगले कदम.

हम फॉर्म में समीकरण (1) का समाधान ढूंढ रहे हैं। हम पाते हैं विशेषता समीकरण :
(2) .
इसकी n जड़ें हैं. हम समीकरण (2) को हल करते हैं और उसके मूल ज्ञात करते हैं। तब विशेषता समीकरण (2) को निम्नलिखित रूप में दर्शाया जा सकता है:
(3) .
प्रत्येक जड़ समीकरण (1) के समाधान की मौलिक प्रणाली के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों में से एक से मेल खाती है। फिर सामान्य समाधान मूल समीकरण(1) का रूप है:
(4) .

असली जड़ें

आइए वास्तविक जड़ों पर विचार करें. जड़ को एकल रहने दो. अर्थात्, कारक केवल एक बार विशेषता समीकरण (3) में प्रवेश करता है। तब यह मूल समाधान से मेल खाता है
.

मान लीजिए कि बहुलता p का एक गुणज मूल है। वह है
. इस मामले में, गुणक p गुना है:
.
ये एकाधिक (समान) मूल मूल समीकरण (1) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के अनुरूप हैं:
; ; ; ...; .

जटिल जड़ें

जटिल जड़ों पर विचार करें. आइए हम जटिल मूल को वास्तविक और काल्पनिक भागों के रूप में व्यक्त करें:
.
चूँकि मूल के गुणांक वास्तविक हैं, तो जड़ के अतिरिक्त एक जटिल संयुग्मी जड़ होती है
.

मान लीजिए कि सम्मिश्र मूल अनेक है। फिर जड़ों की एक जोड़ी दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों से मेल खाती है:
; .

मान लीजिए कि बहुलता p का एक एकाधिक जटिल मूल है। फिर जटिल संयुग्म मान बहुलता पी के विशेषता समीकरण की जड़ भी है और गुणक पी बार में प्रवेश करता है:
.
यह 2पीजड़ें मेल खाती हैं 2पीरैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों की मौलिक प्रणाली मिल जाने के बाद, हम सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

प्रश्न हल करें:
.

समाधान

.
आइए इसे रूपांतरित करें:
;
;
.

आइए इस समीकरण की जड़ों पर नजर डालें। हमें बहुलता 2 की चार जटिल जड़ें मिलीं:
; .
वे मूल समीकरण के चार रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के अनुरूप हैं:
; ; ; .

हमारे पास गुणज 3 की तीन वास्तविक जड़ें भी हैं:
.
वे तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के अनुरूप हैं:
; ; .

सामान्य निर्णयमूल समीकरण का रूप इस प्रकार है:
.

उत्तर

उदाहरण 2

प्रश्न हल करें

समाधान

हम फॉर्म में समाधान तलाश रहे हैं।' हम विशेषता समीकरण बनाते हैं:
.
द्विघात समीकरण को हल करना.
.

हमें दो जटिल जड़ें मिलीं:
.
वे दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के अनुरूप हैं:
.
समीकरण का सामान्य समाधान:
.

भौतिकी की कुछ समस्याओं में प्रक्रिया का वर्णन करने वाली मात्राओं के बीच सीधा संबंध स्थापित करना संभव नहीं है। लेकिन अध्ययन के तहत कार्यों के व्युत्पन्न युक्त समानता प्राप्त करना संभव है। वे इसी प्रकार उत्पन्न होते हैं विभेदक समीकरणऔर अज्ञात फ़ंक्शन को खोजने के लिए उन्हें हल करने की आवश्यकता है।

यह आलेख उन लोगों के लिए है जो एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या का सामना कर रहे हैं जिसमें अज्ञात फ़ंक्शन एक चर का एक फ़ंक्शन है। सिद्धांत को इस तरह से संरचित किया गया है कि अंतर समीकरणों के शून्य ज्ञान के साथ, आप अपना कार्य पूरा कर सकते हैं।

प्रत्येक प्रकार के विभेदक समीकरण विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत स्पष्टीकरण और समाधान के साथ एक समाधान विधि से जुड़े होते हैं। आपको बस अपनी समस्या के विभेदक समीकरण के प्रकार को निर्धारित करना है, एक समान विश्लेषित उदाहरण ढूंढना है और समान कार्य करना है।

अवकल समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको प्रतिअवकलन के सेट खोजने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी ( अनिश्चितकालीन अभिन्न) विभिन्न कार्य. यदि आवश्यक हो, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप अनुभाग देखें।

सबसे पहले, हम पहले क्रम के सामान्य अंतर समीकरणों के प्रकारों पर विचार करेंगे जिन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है, फिर हम दूसरे क्रम के ओडीई पर आगे बढ़ेंगे, फिर हम उच्च-क्रम समीकरणों पर ध्यान केंद्रित करेंगे और सिस्टम के साथ समाप्त करेंगे विभेदक समीकरण।

याद रखें कि यदि y तर्क x का एक फ़ंक्शन है।

प्रथम कोटि अवकल समीकरण.

प्रपत्र का सबसे सरल प्रथम कोटि अवकल समीकरण।

आइए ऐसे रिमोट कंट्रोल के कुछ उदाहरण लिखें .

विभेदक समीकरण समानता के दोनों पक्षों को f(x) से विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है। इस मामले में, हम एक ऐसे समीकरण पर पहुंचते हैं जो f(x) ≠ 0 के लिए मूल समीकरण के बराबर होगा। ऐसे ODE के उदाहरण हैं।

यदि तर्क x के ऐसे मान हैं जिन पर फ़ंक्शन f(x) और g(x) एक साथ गायब हो जाते हैं, तो अतिरिक्त समाधान दिखाई देते हैं। समीकरण के अतिरिक्त समाधान दिए गए x इन तर्क मानों के लिए परिभाषित कोई फ़ंक्शन हैं। ऐसे विभेदक समीकरणों के उदाहरणों में शामिल हैं:

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण।

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण।

स्थिर गुणांक वाला एलडीई एक बहुत ही सामान्य प्रकार का अंतर समीकरण है। इनका समाधान विशेष कठिन नहीं है। सबसे पहले, विशेषता समीकरण की जड़ें पाई जाती हैं . विभिन्न पी और क्यू के लिए, तीन मामले संभव हैं: विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और भिन्न, वास्तविक और संयोगी हो सकती हैं या जटिल संयुग्म। अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों के मान के आधार पर अवकल समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिखा जाता है , या , या क्रमशः।

उदाहरण के लिए, स्थिर गुणांक वाले एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें। इसके अभिलक्षणिक समीकरण के मूल k 1 = -3 और k 2 = 0 हैं। जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं, इसलिए, स्थिर गुणांक वाले LODE के सामान्य समाधान का रूप होता है


स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण।

स्थिर गुणांक y के साथ दूसरे क्रम के LDDE का सामान्य समाधान संबंधित LDDE के सामान्य समाधान के योग के रूप में मांगा जाता है। और मूल समाधान का कोई विशेष समाधान नहीं है सजातीय समीकरण, वह है, । पिछला पैराग्राफ स्थिर गुणांक वाले सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजने के लिए समर्पित है। और एक विशेष समाधान या तो मूल समीकरण के दाईं ओर फ़ंक्शन f(x) के एक निश्चित रूप के लिए अनिश्चित गुणांक की विधि द्वारा, या अलग-अलग मनमाने स्थिरांक की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है।

स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के एलडीडीई के उदाहरण के रूप में, हम देते हैं


सिद्धांत को समझने और उदाहरणों के विस्तृत समाधानों से परिचित होने के लिए, हम आपको पृष्ठ पर निरंतर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण प्रदान करते हैं।

रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (LODE) और दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण (LNDE)।

इस प्रकार के विभेदक समीकरणों का एक विशेष मामला स्थिर गुणांक वाले LODE और LDDE हैं।

एक निश्चित खंड पर LODE का सामान्य समाधान इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान y 1 और y 2 के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, .

मुख्य कठिनाई इस प्रकार के विभेदक समीकरण के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान खोजने में निहित है। आमतौर पर, विशेष समाधानों को निम्नलिखित प्रणालियों से रैखिक रूप से चुना जाता है स्वतंत्र कार्य:


हालाँकि, विशेष समाधान हमेशा इस रूप में प्रस्तुत नहीं किए जाते हैं।

LOD का एक उदाहरण है .

एलडीडीई का सामान्य समाधान फॉर्म में मांगा गया है, जहां संबंधित एलडीडीई का सामान्य समाधान है, और मूल अंतर समीकरण का विशेष समाधान है। हमने अभी इसे खोजने के बारे में बात की है, लेकिन इसे अलग-अलग मनमाने स्थिरांक की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

एलएनडीयू का उदाहरण दिया जा सकता है .

उच्च कोटि के विभेदक समीकरण।

विभेदक समीकरण जो क्रम में कमी की अनुमति देते हैं।

विभेदक समीकरण का क्रम , जिसमें k-1 क्रम तक वांछित फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव शामिल नहीं हैं, को प्रतिस्थापित करके n-k तक कम किया जा सकता है।

इस मामले में, मूल अंतर समीकरण कम हो जाएगा। इसका समाधान p(x) खोजने के बाद, प्रतिस्थापन पर वापस लौटना और अज्ञात फ़ंक्शन y निर्धारित करना बाकी है।

उदाहरण के लिए, विभेदक समीकरण प्रतिस्थापन के बाद, यह वियोज्य चर वाला एक समीकरण बन जाएगा, और इसका क्रम तीसरे से घटकर पहले हो जाएगा।

इस अनुच्छेद पर चर्चा होगी विशेष मामला रेखीय समीकरणदूसरा क्रम, जब समीकरण के गुणांक स्थिर होते हैं, अर्थात वे संख्याएँ होते हैं। ऐसे समीकरणों को स्थिर गुणांक वाले समीकरण कहा जाता है। इस प्रकार के समीकरणों का विशेष रूप से व्यापक अनुप्रयोग होता है।

1. रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरा क्रम

समीकरण पर विचार करें

जिसमें गुणांक स्थिर हैं। यह मानते हुए कि समीकरण के सभी पदों को और निरूपित करके विभाजित किया गया है

आइए इस समीकरण को इस रूप में लिखें

जैसा कि ज्ञात है, एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के समीकरण का सामान्य समाधान खोजने के लिए, इसके आंशिक समाधान की मौलिक प्रणाली को जानना पर्याप्त है। आइए हम दिखाएं कि स्थिर गुणांक वाले एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण के लिए आंशिक समाधान की एक मौलिक प्रणाली कैसे खोजें। हम फॉर्म में इस समीकरण का एक विशेष समाधान तलाशेंगे

इस फ़ंक्शन को दो बार विभेदित करने और समीकरण (59) में व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

चूँकि, घटाने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है

इस समीकरण से k के वे मान निर्धारित होते हैं जिनके लिए फ़ंक्शन समीकरण (59) का समाधान होगा।

गुणांक k के निर्धारण के लिए बीजगणितीय समीकरण (61) को इस अंतर समीकरण (59) का अभिलक्षणिक समीकरण कहा जाता है।

अभिलक्षणिक समीकरण दूसरी डिग्री का समीकरण है और इसलिए इसके दो मूल हैं। ये जड़ें या तो वास्तविक भिन्न, वास्तविक और समान या जटिल संयुग्मी हो सकती हैं।

आइए विचार करें कि इनमें से प्रत्येक मामले में विशेष समाधानों की मूलभूत प्रणाली का स्वरूप क्या है।

1. विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं:। इस मामले में, सूत्र (60) का उपयोग करके हम दो आंशिक समाधान पाते हैं:

ये दो विशेष समाधान संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं, क्योंकि व्रोनस्की निर्धारक कहीं भी गायब नहीं होता है:

नतीजतन, सूत्र (48) के अनुसार समीकरण का सामान्य समाधान रूप है

2. अभिलक्षणिक समीकरण के मूल बराबर हैं: . इस स्थिति में, दोनों जड़ें वास्तविक होंगी। सूत्र (60) का उपयोग करके, हम केवल एक विशेष समाधान प्राप्त करते हैं

आइए हम दिखाएं कि दूसरा विशेष समाधान, जो पहले के साथ मिलकर एक मौलिक प्रणाली बनाता है, का रूप है

सबसे पहले, आइए जाँचें कि फ़ंक्शन समीकरण (59) का समाधान है। वास्तव में,

लेकिन, चूँकि विशेषता समीकरण (61) का एक मूल है। इसके अलावा, विएटा के प्रमेय के अनुसार, इसलिए। नतीजतन, यानी, फ़ंक्शन वास्तव में समीकरण (59) का एक समाधान है।

आइए अब हम दिखाते हैं कि पाए गए आंशिक समाधान समाधानों की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं। वास्तव में,

इस प्रकार, इस मामले में सजातीय रैखिक समीकरण के सामान्य समाधान का रूप होता है

3. विशेषता समीकरण की जड़ें जटिल हैं। जैसा कि ज्ञात है, वास्तविक गुणांक वाले द्विघात समीकरण की जटिल जड़ें संयुग्मी होती हैं जटिल आंकड़े, यानी वे इस तरह दिखते हैं: . इस मामले में, सूत्र (60) के अनुसार समीकरण (59) के आंशिक समाधान का रूप होगा:

यूलर के सूत्रों का उपयोग करते हुए (अध्याय XI, § 5, पैराग्राफ 3 देखें), अभिव्यक्तियाँ इस प्रकार लिखी जा सकती हैं:

ये समाधान व्यापक हैं. वैध समाधान पाने के लिए, नए कार्यों पर विचार करें

वे समाधानों के रैखिक संयोजन हैं और इसलिए, स्वयं समीकरण (59) के समाधान हैं (देखें § 3, आइटम 2, प्रमेय 1)।

यह दिखाना आसान है कि इन समाधानों के लिए व्रोनस्की निर्धारक गैर-शून्य है और इसलिए, समाधान समाधानों की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं।

इस प्रकार, विशेषता समीकरण की जटिल जड़ों के मामले में एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण का सामान्य समाधान रूप होता है

निष्कर्ष में, हम विशेषता समीकरण की जड़ों के प्रकार के आधार पर समीकरण (59) के सामान्य समाधान के लिए सूत्रों की एक तालिका प्रस्तुत करते हैं।

स्थिर गुणांकों (पीसी) के साथ रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों (LNDE-2) को हल करने के मूल सिद्धांत

स्थिर गुणांक $p$ और $q$ के साथ दूसरे क्रम के LDDE का रूप $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ है, जहां $f\left(x \right)$ एक सतत फलन है।

पीसी के साथ एलएनडीयू 2 के संबंध में, निम्नलिखित दो कथन सत्य हैं।

आइए मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $U$ एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक मनमाना आंशिक समाधान है। आइए हम यह भी मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $Y$ संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ का सामान्य समाधान (GS) है। फिर का GS LHDE-2 संकेतित निजी और सामान्य समाधानों के योग के बराबर है, यानी $y=U+Y$।

यदि दूसरे क्रम के LMDE का दाहिना भाग कार्यों का योग है, अर्थात, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+..+f_(r) \left(x\right)$, तो पहले हम PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ढूंढ सकते हैं जो संगत हैं प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, और उसके बाद CR LNDU-2 को $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ के रूप में लिखें।

पीसी के साथ दूसरे क्रम के एलपीडीई का समाधान

यह स्पष्ट है कि किसी दिए गए LNDU-2 के एक या दूसरे PD $U$ का प्रकार उसके दाएँ हाथ के $f\left(x\right)$ के विशिष्ट रूप पर निर्भर करता है। पीडी एलएनडीयू-2 की खोज के सबसे सरल मामले निम्नलिखित चार नियमों के रूप में तैयार किए गए हैं।

नियम 1।

दाहिना भाग LNDU-2 का रूप $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ है, जहां $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, अर्थात इसे घात वाला बहुपद कहा जाता है $ n$. फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) \left(x\right)$ दूसरा है इसका बहुपद $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है जो शून्य के बराबर है। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक अनिश्चित गुणांक (यूके) की विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 2.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \left( x\right)$ डिग्री $n$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n ) \ बाएँ(x\दाएँ)$, $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री का एक और बहुपद है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है , $\alpha $ के बराबर। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 3.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) का रूप है \दाएं) $, जहां $a$, $b$ और $\beta$ हैं ज्ञात संख्याएँ. फिर इसका PD $U$ इस रूप में मांगा जाता है $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, जहां $A$ और $B$ अज्ञात गुणांक हैं, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है, जो $i\cdot के बराबर है \बीटा$. गुणांक $A$ और $B$ गैर-विनाशकारी विधि का उपयोग करके पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 4.

LNDU-2 के दाईं ओर का रूप $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ है, जहां $P_(n) \left(x\right)$ है घात $ n$ का एक बहुपद, और $P_(m) \left(x\right)$ घात $m$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(s) \left(x\right)$ और $ R_(s) \left(x\right)$ डिग्री $s$ वाले बहुपद हैं, संख्या $s$ दो संख्याओं $n$ और $m$ में से अधिकतम है, और $r$ मूलों की संख्या है संगत LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण का, $\alpha +i\cdot \beta $ के बराबर। बहुपद $Q_(s) \left(x\right)$ और $R_(s) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

एनके पद्धति में निम्नलिखित नियम लागू करना शामिल है। बहुपद के अज्ञात गुणांकों को खोजने के लिए जो अमानवीय अंतर समीकरण LNDU-2 के आंशिक समाधान का हिस्सा हैं, यह आवश्यक है:

• इसमें लिखे PD $U$ को प्रतिस्थापित करें सामान्य रूप से देखें, वी बाईं तरफएलएनडीयू-2;
• LNDU-2 के बाईं ओर, समान शक्तियों $x$ के साथ सरलीकरण और समूह शब्द निष्पादित करें;
• परिणामी पहचान में, बाएँ और दाएँ पक्ष की समान घात $x$ वाले पदों के गुणांकों को बराबर करें;
• अज्ञात गुणांकों के लिए रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।

उदाहरण 1

कार्य: OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ढूंढें। PD भी खोजें , $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ को संतुष्ट करता है।

हम संबंधित LOD-2 लिखते हैं: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

विशेषता समीकरण: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. विशिष्ट समीकरण के मूल हैं: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ये जड़ें वैध और विशिष्ट हैं। इस प्रकार, संबंधित LODE-2 के OR का रूप है: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

इस LNDU-2 के दाईं ओर $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ का रूप है। घातांक $\alpha =3$ के गुणांक पर विचार करना आवश्यक है। यह गुणांक विशेषता समीकरण की किसी भी जड़ से मेल नहीं खाता है। इसलिए, इस LNDU-2 के PD का फॉर्म $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है।

हम एनसी विधि का उपयोग करके गुणांक $A$, $B$ की खोज करेंगे।

हमें चेक गणराज्य का पहला व्युत्पन्न मिलता है:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हमें चेक गणराज्य का दूसरा व्युत्पन्न मिलता है:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(() ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम दिए गए NLDE-2 $y""-3\cdot y" में $y""$, $y"$ और $y$ के स्थान पर फ़ंक्शन $U""$, $U"$ और $U$ को प्रतिस्थापित करते हैं। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x). $ इसके अलावा, चूंकि घातांक $e^(3\cdot x) $ को एक कारक के रूप में शामिल किया गया है सभी घटकों में, तो इसे छोड़ा जा सकता है:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

हम परिणामी समानता के बाईं ओर क्रियाएँ करते हैं:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

हम एनडीटी पद्धति का उपयोग करते हैं। हमें दो अज्ञातों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

इस प्रणाली का समाधान है: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ हमारी समस्या के लिए इस तरह दिखता है: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

हमारी समस्या के लिए OR $y=Y+U$ इस तरह दिखता है: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ बाएँ(-2\cdot x-1\दाएँ)\cdot e^(3\cdot x) $।

दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करने वाले पीडी की खोज करने के लिए, हम ओपी का व्युत्पन्न $y"$ पाते हैं:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

हम $y$ और $y"$ में $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:

$6=सी_(1) +सी_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

आइए इसे सुलझाएं. हम Cramer के सूत्र का उपयोग करके $C_(1) $ पाते हैं, और $C_(2) $ हम पहले समीकरण से निर्धारित करते हैं:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

इस प्रकार, इस अंतर समीकरण के PD का रूप है: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \दाएं )\cdot e^(3\cdot x) $.

यहां हम रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने के लिए लैग्रेंज स्थिरांक की भिन्नता की विधि लागू करेंगे। विस्तृत विवरणमनमाने क्रम के समीकरणों को हल करने की यह विधि पृष्ठ पर वर्णित है
लैग्रेंज विधि >>> द्वारा उच्च कोटि के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों का समाधान।

उदाहरण 1

लैग्रेंज स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का उपयोग करके स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के अंतर समीकरण को हल करें:
(1)

समाधान

सबसे पहले हम समांगी अवकल समीकरण को हल करते हैं:
(2)

यह दूसरे क्रम का समीकरण है.

द्विघात समीकरण को हल करना:
.
एकाधिक जड़ें: . मौलिक प्रणालीसमीकरण (2) के समाधान का रूप है:
(3) .
यहां से हमें सजातीय समीकरण (2) का एक सामान्य समाधान प्राप्त होता है:
(4) .

स्थिरांकों को परिवर्तित करना C 1 और सी 2 . अर्थात्, हम (4) में स्थिरांकों को फ़ंक्शंस से प्रतिस्थापित करते हैं:
.
हम मूल समीकरण (1) का समाधान इस रूप में ढूंढ रहे हैं:
(5) .

व्युत्पन्न ढूँढना:
.
आइए फ़ंक्शंस और समीकरण को कनेक्ट करें:
(6) .
तब
.

हमें दूसरा व्युत्पन्न मिलता है:
.
मूल समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें:
(1) ;



.
चूँकि सजातीय समीकरण (2) को संतुष्ट करते हैं, अंतिम तीन पंक्तियों के प्रत्येक स्तंभ में पदों का योग शून्य देता है और पिछला समीकरण इस प्रकार लेता है:
(7) .
यहाँ ।

समीकरण (6) के साथ हम कार्यों को निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं और:
(6) :
(7) .

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

हम समीकरणों की प्रणाली (6-7) को हल करते हैं। आइए फ़ंक्शंस के लिए अभिव्यक्तियाँ लिखें और:
.
हम उनके व्युत्पन्न पाते हैं:
;
.

हम क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली (6-7) को हल करते हैं। हम सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करते हैं:

.
क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:
;
.

तो, हमें फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न मिले:
;
.
आइए एकीकृत करें (जड़ों को एकीकृत करने के तरीके देखें)। प्रतिस्थापन करना
; ; ; .

.
.

;
.

उत्तर

उदाहरण 2

लैग्रेंज स्थिरांकों की भिन्नता की विधि द्वारा अवकल समीकरण को हल करें:
(8)

समाधान

चरण 1. सजातीय समीकरण को हल करना

हम सजातीय अंतर समीकरण को हल करते हैं:

(9)
हम फॉर्म में समाधान तलाश रहे हैं।' हम विशेषता समीकरण बनाते हैं:

इस समीकरण की जड़ें जटिल हैं:
.
इन जड़ों के अनुरूप समाधानों की मूलभूत प्रणाली का रूप इस प्रकार है:
(10) .
सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान (9):
(11) .

चरण 2. स्थिरांकों का परिवर्तन - स्थिरांकों को फलनों से बदलना

अब हम स्थिरांक C को बदलते हैं 1 और सी 2 . अर्थात्, हम (11) में स्थिरांकों को फ़ंक्शंस से प्रतिस्थापित करते हैं:
.
हम मूल समीकरण (8) का हल इस रूप में ढूंढ रहे हैं:
(12) .

इसके अलावा, समाधान की प्रगति उदाहरण 1 जैसी ही है। हम पहुंचते हैं अगली प्रणालीकार्यों के निर्धारण के लिए समीकरण और:
(13) :
(14) .
यहाँ ।

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना

आइए इस प्रणाली को हल करें। आइए फ़ंक्शंस के लिए अभिव्यक्तियाँ लिखें और :
.
डेरिवेटिव की तालिका से हम पाते हैं:
;
.

हम क्रैमर विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली (13-14) को हल करते हैं। सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक:

.
क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:
;
.

.
चूँकि, लघुगणक चिह्न के अंतर्गत मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है। अंश और हर को इससे गुणा करें:
.
तब
.

मूल समीकरण का सामान्य समाधान:


.