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प्रथम कोटि अवकल समीकरण. समाधान के उदाहरण

निर्णय लेते समय विभिन्न कार्यभौतिकी, रसायन विज्ञान, गणित और अन्य सटीक विज्ञानअक्सर इस्तमल होता है गणितीय मॉडलएक या अधिक स्वतंत्र चरों से संबंधित समीकरणों के रूप में, इन चरों का एक अज्ञात फ़ंक्शन और इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न (या अंतर)। इस तरह समीकरणों को अवकल कहा जाता है।
यदि केवल एक स्वतंत्र चर है, तो समीकरण को साधारण कहा जाता है; यदि दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर हों तो समीकरण कहलाता है आंशिक विभेदक समीकरण।उन सभी विश्वविद्यालयों में उच्च योग्य विशेषज्ञ प्राप्त करने के लिए जहां सटीक विषयों का अध्ययन किया जाता है, विभेदक समीकरणों में एक पाठ्यक्रम की आवश्यकता होती है। कुछ छात्रों के लिए, सिद्धांत कठिन है, अभ्यास एक संघर्ष है; दूसरों के लिए, सिद्धांत और अभ्यास दोनों कठिन हैं। यदि आप व्यावहारिक दृष्टिकोण से अंतर समीकरणों का विश्लेषण करते हैं, तो उनकी गणना करने के लिए आपको केवल एकीकृत करने और डेरिवेटिव लेने में अच्छा होना चाहिए। अन्य सभी परिवर्तन कई योजनाओं में आते हैं जिन्हें समझा और अध्ययन किया जा सकता है। नीचे हम सरल डीआर को हल करने की मूल परिभाषाओं और विधि का अध्ययन करेंगे।

विभेदक समीकरणों का सिद्धांत

परिभाषा: साधारण अंतर समीकरणएक समीकरण है जो स्वतंत्र चर x, फ़ंक्शन y(x), इसके डेरिवेटिव y"(x), y n (x) को जोड़ता है और है सामान्य फ़ॉर्मF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
अंतर समीकरण(DR) को या तो साधारण अवकल समीकरण या आंशिक अवकल समीकरण कहा जाता है। विभेदक समीकरण का क्रमउच्चतम व्युत्पन्न (एन) के क्रम से निर्धारित होता है, जो इस अंतर समीकरण में शामिल है।

अवकल समीकरण का सामान्य समाधानएक फ़ंक्शन है जिसमें अंतर समीकरण के क्रम के अनुसार कई स्थिरांक होते हैं, और किसी दिए गए अंतर समीकरण में इसका प्रतिस्थापन इसे एक पहचान में बदल देता है, यानी, इसका रूप y=f(x, C 1, C 2) है , ..., सी एन).
एक सामान्य समाधान जिसे y(x) के संबंध में हल नहीं किया गया है और जिसका रूप F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 है, उसे कहा जाता है एक विभेदक समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग।
स्थिरांक C 1 , C 2 , …, C n के निश्चित मानों के लिए सामान्य से पाया गया समाधान कहलाता है एक विभेदक समीकरण का निजी समाधान।
किसी विभेदक समीकरण और प्रारंभिक स्थितियों की संगत संख्या के एक साथ विनिर्देशन को कहा जाता है कॉची समस्या.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0)=y n (0)
प्रथम कोटि का साधारण अवकल समीकरणप्रपत्र का समीकरण कहा जाता है
F(x, y, y")=0. (1)
समीकरण का अभिन्न अंग(1) को फॉर्म Ф (x,y)=0 का संबंध कहा जाता है यदि इसके द्वारा निर्दिष्ट प्रत्येक निरंतर विभेदित फ़ंक्शन समीकरण (1) का समाधान है।
एक समीकरण जिसका रूप (1) है और जिसे छोटा नहीं किया जा सकता सरल दृश्यसमीकरण कहा जाता है, व्युत्पन्न के संबंध में अनिर्णीत.अगर इसे फॉर्म में लिखा जा सके
y" = f(x,y), तो इसे कहा जाता है व्युत्पन्न के लिए हल किया गया समीकरण।
प्रथम कोटि समीकरण के लिए कॉची समस्याइसमें केवल एक प्रारंभिक शर्त शामिल है और इसका रूप है:
एफ(एक्स,वाई,वाई")=0
आप(x 0)=y 0 .
प्रपत्र के समीकरण
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
जहां चर x i y "सममित" हैं: हम मान सकते हैं कि x एक स्वतंत्र चर है और y एक आश्रित चर है, या इसके विपरीत, y एक स्वतंत्र चर है और x एक आश्रित चर है, जिसे कहा जाता है सममित रूप में समीकरण.
प्रथम कोटि अवकल समीकरण का ज्यामितीय अर्थ
y"=f(x,y) (3)
इस प्रकार है।
यह समीकरण बिंदु (x;y) के निर्देशांक और इस बिंदु से गुजरने वाले अभिन्न वक्र के स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक y" के बीच एक संबंध (निर्भरता) स्थापित करता है। इस प्रकार, समीकरण y"= f(x,y) एक सेट है दिशानिर्देश (दिशा फ़ील्ड)कार्तीय ऑक्सी तल पर.
ऐसे बिंदुओं पर निर्मित वक्र, जिन पर क्षेत्र की दिशा समान होती है, समद्विबाहु रेखा कहलाती है। इंटीग्रल वक्रों के निर्माण का अनुमान लगाने के लिए आइसोक्लिंस का उपयोग किया जा सकता है। समद्विबाहु समीकरण व्युत्पन्न को स्थिरांक y"=C के बराबर रखकर प्राप्त किया जा सकता है
एफ(एक्स, वाई)=सी - समद्विबाहु समीकरण..
समीकरण की अभिन्न रेखा(3) को इस समीकरण के समाधान का ग्राफ कहा जाता है।
साधारण अवकल समीकरण जिनके समाधान विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट किए जा सकते हैं y=g(x) कहलाते हैं अभिन्न समीकरण.
प्रपत्र के समीकरण
एम 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
कहा जाता है अलग-अलग विनिमेय वाले समीकरण।
उनसे हम अवकल समीकरणों से अपना परिचय शुरू करेंगे। डीआर का समाधान खोजने की प्रक्रिया कहलाती है एक विभेदक समीकरण का एकीकरण.

अलग किए गए परिवर्तनीय समीकरण

उदाहरण 1। समीकरण का हल खोजें y"=x .
समाधान की जाँच करें.
समाधान: समीकरण को अवकलों में लिखिए
dy/dx=x या dy=x*dx.
आइए समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों का समाकलन ज्ञात करें
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2 /2+C.
यह डीआर इंटीग्रल है.
आइए इसकी शुद्धता की जांच करें और फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें
y"=1/2*2x+0=x.
जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें मूल डीआर प्राप्त हुआ, इसलिए गणना सही है।
हमने अभी-अभी प्रथम कोटि अवकल समीकरण का हल ढूंढा है। यह बिलकुल ठीक है सरल समीकरणजिसकी कल्पना की जा सकती है.

उदाहरण 2. अवकल समीकरण का सामान्य समाकलन ज्ञात कीजिए
(x+1)y"=y+3
समाधान: आइए मूल समीकरण को अवकलों में लिखें
(x+1)dy=(y+3)dx.
परिणामी समीकरण को कम कर दिया गया है अलग-अलग चर के साथ डीआर

जो कुछ बचा है वह दोनों पक्षों का अभिन्न अंग लेना है

सारणीबद्ध सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
यदि हम दोनों भागों को उजागर करें, तो हमें मिलता है
y+3=e ln|x+1|+C या y=e ln|x+1|+C -3.
यह अंकन सही है, लेकिन संक्षिप्त नहीं है।
व्यवहार में, एक अन्य तकनीक का उपयोग किया जाता है; अभिन्न की गणना करते समय, स्थिरांक को लघुगणक के तहत दर्ज किया जाता है
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
लघुगणक के गुणों के अनुसार, यह आपको अंतिम दो पदों को संक्षिप्त करने की अनुमति देता है
ln|y+3|=ln(С|x+1|).
अब जब उजागर कर रहे हैं एक विभेदक समीकरण को हल करनासंक्षिप्त और पढ़ने में आसान होगा
y=С|x+1|+3
इस नियम को याद रखें; व्यवहार में इसका उपयोग गणना मानक के रूप में किया जाता है।

उदाहरण 3. अवकल समीकरण हल करें
y"=-y*sin(x).
समाधान: आइए इसे लिख लें अंतर में समीकरण
dy/dx= y*sin(x)
या प्रपत्र में कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद अलग किये गये समीकरण
डाई/ y=-sin(x)dx.
यह समीकरण को एकीकृत करने के लिए बनी हुई है
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
स्थिरांक को लघुगणक के अंतर्गत दर्ज करना सुविधाजनक है, और यहां तक कि ऋणात्मक मान के साथ भी, ताकि इसे स्थानांतरित किया जा सके बाईं तरफपाना
ln|С*y|=cos(x).
निर्भरता के दोनों हिस्सों को उजागर करना
С*y=exp(cos(x)).
यह वही है। आप इसे वैसे ही छोड़ सकते हैं, या आप इसे स्थायी रूप से स्थानांतरित कर सकते हैं दाहिनी ओर

गणनाएँ जटिल नहीं हैं; ज्यादातर मामलों में, सारणीबद्ध एकीकरण सूत्रों का उपयोग करके अभिन्न भी पाया जा सकता है।

उदाहरण 4. कॉची समस्या का समाधान करें
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
समाधान: यहां प्रारंभिक परिवर्तन अब नहीं होंगे। हालाँकि, समीकरण रैखिक और काफी सरल है। ऐसे मामलों में, आपको एक नया वेरिएबल पेश करने की आवश्यकता है
z=y+x.
यह याद रखते हुए कि y=y(x) आइए z का अवकलज ज्ञात करें।
z"= y"+1,
जहाँ से हम पुरानी व्युत्पत्ति को व्यक्त करते हैं
y"= z"-1.
आइए इन सबको मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें
z"-1=z या z"=z+1.
चलो इसे लिख लें अंतर के माध्यम से अंतर समीकरण
dz=(z+1)dx.
समीकरण में चरों को अलग करना

जो कुछ बचा है वह सरल अभिन्नों की गणना करना है जो कोई भी कर सकता है

हम फ़ंक्शन के लघुगणक से छुटकारा पाने के लिए निर्भरता को उजागर करते हैं
z+1=e x+C या z=e x+1 -1
पूर्ण किए गए प्रतिस्थापन पर वापस लौटना न भूलें।
z=x+y= e x+С -1,
इसे यहां से लिखें सामान्य निर्णयअंतर समीकरण
y= e x+C -x-1.
डीआर में कॉची समस्या का समाधान खोजें इस मामले मेंकठिन नहीं। हम कॉची स्थिति लिखते हैं
y(1)=e 3 -2
और उस समाधान में प्रतिस्थापित करें जो हमें अभी मिला है
ई 1 + सी -1-1 = ई 3 -2.
यहां से हमें स्थिरांक की गणना के लिए शर्त प्राप्त होती है
1+सी=3; सी=3-1=2.
अब हम लिख सकते हैं कॉची समस्या का समाधान (डीआर का आंशिक समाधान)
y= e x+2 -x-1.
यदि आप अच्छी तरह से एकीकृत करना जानते हैं, और आप डेरिवेटिव के साथ भी अच्छा कर रहे हैं, तो अंतर समीकरणों का विषय आपकी शिक्षा में बाधा नहीं बनेगा।
आगे के अध्ययन में, आपको कई महत्वपूर्ण आरेखों का अध्ययन करने की आवश्यकता होगी ताकि आप समीकरणों के बीच अंतर कर सकें और जान सकें कि प्रत्येक मामले में कौन सा प्रतिस्थापन या तकनीक काम करती है।
इसके बाद, सजातीय और अमानवीय डीआर, पहले और उच्च क्रम के अंतर समीकरण आपका इंतजार कर रहे हैं। आप पर सिद्धांत का बोझ न डालने के लिए, निम्नलिखित पाठों में हम केवल समीकरणों के प्रकार और उनकी गणना के लिए एक संक्षिप्त योजना देंगे। आप पूरी थ्योरी यहां से पढ़ सकते हैं पद्धति संबंधी सिफ़ारिशेंपाठ्यक्रम का अध्ययन करने के लिए " विभेदक समीकरण" (2014) लेखक बोकालो निकोले मिखाइलोविच, डोमांस्काया एलेना विक्टोरोवना, चिमिर ओक्साना युरेवना। आप अन्य स्रोतों का उपयोग कर सकते हैं जिनमें अंतर समीकरणों के सिद्धांत की व्याख्याएं शामिल हैं जिन्हें आप समझते हैं। अंतर के लिए तैयार उदाहरण. एलएनयू के गणितज्ञों के लिए नामित कार्यक्रम से लिए गए समीकरण। मैं फ्रैंक.
हम जानते हैं कि अवकल समीकरणों को कैसे हल करना है और हम प्रयास करेंगे आसान तरीकाइस ज्ञान को अपने अंदर स्थापित करें।

विभेदक समीकरण (DE) - यह समीकरण है,
स्वतंत्र चर कहां हैं, y फ़ंक्शन है और आंशिक व्युत्पन्न हैं।

साधारण अंतर समीकरण एक अवकल समीकरण है जिसमें केवल एक स्वतंत्र चर होता है।

आंशिक विभेदक समीकरण एक विभेदक समीकरण है जिसमें दो या दो से अधिक स्वतंत्र चर होते हैं।

यदि यह स्पष्ट है कि किस समीकरण पर विचार किया जा रहा है तो "साधारण" और "आंशिक व्युत्पन्न" शब्दों को छोड़ा जा सकता है। निम्नलिखित में सामान्य अंतर समीकरणों पर विचार किया जाता है।

विभेदक समीकरण का क्रम उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम है.

यहां प्रथम कोटि समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

यहां चौथे क्रम के समीकरण का एक उदाहरण दिया गया है:

कभी-कभी प्रथम कोटि अवकल समीकरण को अवकलों के रूप में लिखा जाता है:

इस स्थिति में, चर x और y बराबर हैं। अर्थात्, स्वतंत्र चर या तो x या y हो सकता है। पहले मामले में, y, x का एक फलन है। दूसरे मामले में, x, y का एक फलन है। यदि आवश्यक हो, तो हम इस समीकरण को ऐसे रूप में छोटा कर सकते हैं जिसमें स्पष्ट रूप से व्युत्पन्न y' शामिल हो।
इस समीकरण को dx से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है:
.
चूंकि और, यह उसका अनुसरण करता है
.

विभेदक समीकरणों को हल करना

से व्युत्पन्न प्राथमिक कार्यप्रारंभिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त किये जाते हैं। प्राथमिक कार्यों के समाकलन को अक्सर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है। विभेदक समीकरणों के साथ स्थिति और भी बदतर है। समाधान के परिणामस्वरूप आप प्राप्त कर सकते हैं:

किसी चर पर फ़ंक्शन की स्पष्ट निर्भरता;
एक विभेदक समीकरण को हल करना फलन y = u है (एक्स), जिसे परिभाषित किया गया है, n गुना भिन्न, और।
प्रकार के समीकरण के रूप में अंतर्निहित निर्भरता (एक्स, वाई) = 0या समीकरणों की प्रणाली;
विभेदक समीकरण का समाकलन एक अवकल समीकरण का एक समाधान है जिसका एक अंतर्निहित रूप होता है।
प्राथमिक कार्यों और उनसे अभिन्नताओं के माध्यम से व्यक्त निर्भरता;
चतुर्भुजों में अवकल समीकरण को हल करना - यह प्राथमिक कार्यों और उनके अभिन्न अंग के संयोजन के रूप में एक समाधान ढूंढ रहा है।
समाधान को प्राथमिक कार्यों के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

चूँकि विभेदक समीकरणों को हल करने से अभिन्नों की गणना होती है, समाधान में स्थिरांक C 1, C 2, C 3, ... C n का एक सेट शामिल होता है। स्थिरांकों की संख्या समीकरण के क्रम के बराबर है। विभेदक समीकरण का आंशिक अभिन्न अंग स्थिरांक C 1, C 2, C 3, ..., C n के दिए गए मानों के लिए सामान्य अभिन्न अंग है।

सन्दर्भ:
वी.वी. स्टेपानोव, अंतर समीकरणों का कोर्स, "एलकेआई", 2015।
एन.एम. गुंटर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, "लैन", 2003।

साधारण अंतर समीकरण एक समीकरण है जो एक स्वतंत्र चर, इस चर के एक अज्ञात फ़ंक्शन और इसके विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव (या अंतर) से संबंधित है।

विभेदक समीकरण का क्रम इसमें निहित उच्चतम व्युत्पन्न का क्रम कहा जाता है।

सामान्य समीकरणों के अतिरिक्त आंशिक अवकल समीकरणों का भी अध्ययन किया जाता है। ये स्वतंत्र चरों से संबंधित समीकरण हैं, इन चरों का एक अज्ञात फलन और समान चरों के संबंध में इसके आंशिक व्युत्पन्न हैं। लेकिन हम सिर्फ विचार करेंगे सामान्य अवकल समीकरण और इसलिए, संक्षिप्तता के लिए, हम "साधारण" शब्द को छोड़ देंगे।

विभेदक समीकरणों के उदाहरण:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

समीकरण (1) चौथे क्रम का है, समीकरण (2) तीसरे क्रम का है, समीकरण (3) और (4) दूसरे क्रम का है, समीकरण (5) पहले क्रम का है।

अंतर समीकरण एनवें क्रम में आवश्यक रूप से एक स्पष्ट फ़ंक्शन, पहले से लेकर इसके सभी व्युत्पन्न शामिल होना आवश्यक नहीं है एन-वां क्रम और स्वतंत्र चर। इसमें स्पष्ट रूप से कुछ ऑर्डर, फ़ंक्शन या स्वतंत्र चर के डेरिवेटिव शामिल नहीं हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण (1) में स्पष्ट रूप से कोई तीसरे और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न, साथ ही एक फ़ंक्शन नहीं हैं; समीकरण (2) में - दूसरे क्रम का व्युत्पन्न और फ़ंक्शन; समीकरण (4) में - स्वतंत्र चर; समीकरण (5) में - कार्य। केवल समीकरण (3) में स्पष्ट रूप से सभी व्युत्पन्न, फ़ंक्शन और स्वतंत्र चर शामिल हैं।

एक विभेदक समीकरण को हल करना प्रत्येक फ़ंक्शन को कॉल किया जाता है वाई = एफ(एक्स), जब समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है तो यह एक पहचान में बदल जाता है।

किसी अवकल समीकरण का हल ढूंढने की प्रक्रिया को उसका कहा जाता है एकीकरण.

उदाहरण 1।अवकल समीकरण का हल खोजें.

समाधान। आइए इस समीकरण को इस रूप में लिखें। समाधान यह है कि फ़ंक्शन को उसके व्युत्पन्न से खोजा जाए। मूल फ़ंक्शन, जैसा कि इंटीग्रल कैलकुलस से जाना जाता है, एक एंटीडेरिवेटिव है, यानी।

यह वही है इस विभेदक समीकरण का समाधान . इसमें बदलाव हो रहा है सी, हम अलग-अलग समाधान प्राप्त करेंगे। हमने पाया कि प्रथम कोटि अवकल समीकरण के अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

अवकल समीकरण का सामान्य समाधान एनवां क्रम इसका समाधान है, जो अज्ञात फ़ंक्शन और युक्त के संबंध में स्पष्ट रूप से व्यक्त किया गया है एनस्वतंत्र मनमाना स्थिरांक, अर्थात्

उदाहरण 1 में अवकल समीकरण का समाधान सामान्य है।

अवकल समीकरण का आंशिक समाधान वह समाधान जिसमें मनमाने स्थिरांकों को विशिष्ट संख्यात्मक मान दिया जाता है, कहलाता है।

उदाहरण 2.अवकल समीकरण का सामान्य समाधान और एक विशेष समाधान खोजें .

समाधान। आइए समीकरण के दोनों पक्षों को अंतर समीकरण के क्रम के बराबर कई बार एकीकृत करें।

परिणामस्वरूप, हमें एक सामान्य समाधान प्राप्त हुआ -

किसी दिए गए तीसरे क्रम के अंतर समीकरण का।

आइए अब निर्दिष्ट शर्तों के तहत एक विशेष समाधान खोजें। ऐसा करने के लिए, मनमाने गुणांकों के स्थान पर उनके मानों को प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें

यदि अवकल समीकरण के अतिरिक्त प्रारंभिक स्थिति को रूप में दिया जाए तो ऐसी समस्या कहलाती है कॉची समस्या . समीकरण के सामान्य समाधान में मानों को प्रतिस्थापित करें और एक मनमाना स्थिरांक का मान ज्ञात करें सी, और फिर पाए गए मान के लिए समीकरण का एक विशेष समाधान सी. यह कॉची समस्या का समाधान है.

उदाहरण 3.उदाहरण 1 के अधीन अवकल समीकरण के लिए कॉची समस्या को हल करें।

समाधान। आइए हम प्रारंभिक स्थिति से मूल्यों को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करें य = 3, एक्स= 1. हमें मिलता है

हम इस प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण के लिए कॉची समस्या का समाधान लिखते हैं:

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए, यहां तक कि सबसे सरल समीकरणों को भी, जटिल कार्यों सहित अच्छे एकीकरण और व्युत्पन्न कौशल की आवश्यकता होती है। इसे निम्नलिखित उदाहरण में देखा जा सकता है।

उदाहरण 4.अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें।

समाधान। समीकरण इस प्रकार लिखा गया है कि आप तुरंत दोनों पक्षों को एकीकृत कर सकते हैं।

हम चर के परिवर्तन (प्रतिस्थापन) द्वारा एकीकरण की विधि लागू करते हैं। फिर रहने दो.

लेना आवश्यक है डीएक्सऔर अब - ध्यान - हम इसे एक जटिल फ़ंक्शन के भेदभाव के नियमों के अनुसार करते हैं एक्सऔर वहां है जटिल कार्य("सेब" - निष्कर्षण वर्गमूलया, एक ही बात क्या है - "डेढ़" की शक्ति बढ़ाना, और "कीमा बनाया हुआ मांस" जड़ के नीचे की अभिव्यक्ति है):

हम अभिन्न पाते हैं:

वेरिएबल पर लौटना एक्स, हम पाते हैं:

यह इस प्रथम डिग्री अवकल समीकरण का सामान्य समाधान है।

अंतर समीकरणों को हल करने के लिए न केवल उच्च गणित के पिछले अनुभागों के कौशल की आवश्यकता होगी, बल्कि प्रारंभिक यानी स्कूली गणित के कौशल की भी आवश्यकता होगी। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, किसी भी क्रम के अंतर समीकरण में एक स्वतंत्र चर, यानी एक चर नहीं हो सकता है एक्स. स्कूल से अनुपात के बारे में ज्ञान जिसे भुलाया नहीं गया है (हालांकि, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन है) इस समस्या को हल करने में मदद करेगा। यह अगला उदाहरण है.

प्रथम कोटि अवकल समीकरण. समाधान के उदाहरण.
वियोज्य चरों के साथ विभेदक समीकरण

विभेदक समीकरण (डीई)। ये दो शब्द आमतौर पर औसत व्यक्ति को भयभीत कर देते हैं। कई छात्रों के लिए विभेदक समीकरणों में महारत हासिल करना निषेधात्मक और कठिन प्रतीत होता है। उउउउउउ...विभेदक समीकरण, मैं यह सब कैसे सह सकता हूँ?!

यह राय और यह रवैया मौलिक रूप से गलत है, क्योंकि वास्तव में विभेदक समीकरण - यह सरल और मज़ेदार भी है. अवकल समीकरणों को हल करना सीखने के लिए आपको क्या जानने और करने में सक्षम होने की आवश्यकता है? डिफ्यूज़ का सफलतापूर्वक अध्ययन करने के लिए, आपको एकीकृत और विभेदित करने में अच्छा होना चाहिए। विषयों का अध्ययन जितना बेहतर होगा एक चर के फ़ंक्शन का व्युत्पन्नऔर अनिश्चितकालीन अभिन्न, अंतर समीकरणों को समझना उतना ही आसान होगा। मैं और अधिक कहूंगा, यदि आपके पास कमोबेश अच्छा एकीकरण कौशल है, तो विषय में लगभग महारत हासिल है! जितने अधिक अभिन्न विभिन्न प्रकार केआप निर्णय लेना जानते हैं - उतना ही बेहतर। क्यों? आपको बहुत कुछ एकीकृत करना होगा. और अंतर करें. भी अत्यधिक सिफारिश किया जाता हैखोजना सीखो.

95% मामलों में परीक्षणप्रथम कोटि अवकल समीकरण तीन प्रकार के होते हैं: वियोज्य समीकरणजिसे हम इस पाठ में देखेंगे; सजातीय समीकरणऔर रैखिक अमानवीय समीकरण. डिफ्यूज़र का अध्ययन शुरू करने वालों के लिए, मैं आपको पाठों को ठीक इसी क्रम में पढ़ने की सलाह देता हूं, और पहले दो लेखों का अध्ययन करने के बाद, एक अतिरिक्त कार्यशाला में अपने कौशल को मजबूत करने में कोई दिक्कत नहीं होगी - समीकरण सजातीय में कम हो रहे हैं.

अंतर समीकरणों के और भी दुर्लभ प्रकार हैं: कुल अंतर समीकरण, बर्नौली समीकरण और कुछ अन्य। अंतिम दो प्रकारों में सबसे महत्वपूर्ण कुल अंतर वाले समीकरण हैं, क्योंकि इस अंतर समीकरण के अलावा मैं विचार करता हूं नई सामग्री – आंशिक एकीकरण.

अगर आपके पास सिर्फ एक या दो दिन ही बचे हैं, वह अति तीव्र तैयारी के लिएवहाँ है ब्लिट्ज कोर्सपीडीएफ प्रारूप में.

तो, मील के पत्थर निर्धारित हैं - आइए चलते हैं:

सबसे पहले, आइए सामान्य बीजगणितीय समीकरणों को याद करें। उनमें चर और संख्याएँ होती हैं। सबसे सरल उदाहरण: . एक साधारण समीकरण को हल करने का क्या मतलब है? इसका मतलब है खोजना संख्याओं का सेट, जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है। यह नोटिस करना आसान है कि बच्चों के समीकरण का एक ही मूल है:। केवल मनोरंजन के लिए, आइए जाँच करें और पाए गए मूल को हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि समाधान सही पाया गया।

डिफ्यूज़र लगभग उसी तरह डिज़ाइन किए गए हैं!

अंतर समीकरण पहले के आदेशवी सामान्य मामला रोकना:
1) स्वतंत्र चर;
2) आश्रित चर (फ़ंक्शन);
3) फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न:।

प्रथम क्रम के कुछ समीकरणों में कोई "x" और/या "y" नहीं हो सकता है, लेकिन यह महत्वपूर्ण नहीं है - महत्वपूर्णकंट्रोल रूम में जाने के लिए थाप्रथम व्युत्पन्न, और नहीं थाउच्च आदेशों के व्युत्पन्न - आदि।

मतलब क्या है ?अवकल समीकरण को हल करने का अर्थ है खोजना सभी कार्यों का सेट, जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है। फ़ंक्शंस के ऐसे सेट का रूप अक्सर (- एक मनमाना स्थिरांक) होता है, जिसे कहा जाता है विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान.

उदाहरण 1

अवकल समीकरण हल करें

पूरा गोला बारूद. कहाँ से शुरू करें समाधान?

सबसे पहले, आपको व्युत्पन्न को थोड़े अलग रूप में फिर से लिखना होगा। हम उस बोझिल पदनाम को याद करते हैं, जो शायद आपमें से कई लोगों को हास्यास्पद और अनावश्यक लगा होगा। डिफ्यूज़र में यही नियम है!

दूसरे चरण में, आइए देखें कि क्या यह संभव है अलग चर?चरों को अलग करने का क्या मतलब है? मोटे तौर पर, बायीं तरफ परहमें जाना होगा केवल "यूनानी", ए दाहिने तरफ़आयोजन केवल "एक्स". चरों का विभाजन "स्कूल" जोड़-तोड़ का उपयोग करके किया जाता है: उन्हें कोष्ठक से बाहर रखना, चिह्न के परिवर्तन के साथ शब्दों को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना, अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित करना, आदि।

विभेदक और शत्रुता में पूर्ण गुणक और सक्रिय भागीदार हैं। विचाराधीन उदाहरण में, अनुपात के नियम के अनुसार कारकों को उछालकर चरों को आसानी से अलग किया जा सकता है:

वेरिएबल अलग हो गए हैं. बाईं ओर केवल "Y" है, दाईं ओर - केवल "X" है।

अगला पड़ाव - विभेदक समीकरण का एकीकरण. यह सरल है, हम दोनों तरफ इंटीग्रल डालते हैं:

बेशक, हमें इंटीग्रल लेने की जरूरत है। इस मामले में वे सारणीबद्ध हैं:

जैसा कि हमें याद है, किसी भी प्रतिअवकलन को एक स्थिरांक निर्दिष्ट किया जाता है। यहाँ दो अभिन्न हैं, लेकिन अचर को एक बार लिखना ही पर्याप्त है (चूंकि स्थिरांक + स्थिरांक अभी भी दूसरे स्थिरांक के बराबर है). ज्यादातर मामलों में इसे दाहिनी ओर रखा जाता है।

कड़ाई से बोलते हुए, अभिन्नों को लेने के बाद, अंतर समीकरण को हल माना जाता है। बात केवल इतनी है कि हमारा "y" "x" से व्यक्त नहीं होता अर्थात समाधान प्रस्तुत होता है एक अंतर्निहित मेंरूप। अन्तर्निहित रूप में अवकल समीकरण का हल कहलाता है विभेदक समीकरण का सामान्य अभिन्न अंग. अर्थात् यह एक सामान्य अभिन्न अंग है।

इस रूप में उत्तर काफी स्वीकार्य है, लेकिन क्या कोई बेहतर विकल्प है? आइए पाने का प्रयास करें सामान्य निर्णय.

कृपया, पहली तकनीक याद रखें, यह बहुत आम है और अक्सर इसका उपयोग किया जाता है व्यावहारिक कार्य: यदि एकीकरण के बाद एक लघुगणक दाईं ओर दिखाई देता है, तो कई मामलों में (लेकिन हमेशा नहीं!) लघुगणक के नीचे स्थिरांक लिखने की भी सलाह दी जाती है.

वह है, के बजायप्रविष्टियाँ आमतौर पर लिखी जाती हैं .

यह क्यों आवश्यक है? और "गेम" को व्यक्त करना आसान बनाने के लिए। लघुगणक के गुण का उपयोग करना . इस मामले में:

अब लघुगणक और मॉड्यूल को हटाया जा सकता है:

फ़ंक्शन स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया है. यह सामान्य समाधान है.

उत्तर: सामान्य निर्णय: .

कई विभेदक समीकरणों के उत्तर जांचना काफी आसान है। हमारे मामले में, यह काफी सरलता से किया जाता है, हम पाए गए समाधान को लेते हैं और इसे अलग करते हैं:

फिर हम व्युत्पन्न को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

- सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाधान समीकरण को संतुष्ट करता है, जिसे जांचने की आवश्यकता है।

लगातार अलग-अलग मान देकर, आप अनंत संख्या प्राप्त कर सकते हैं निजी समाधानअंतर समीकरण। यह स्पष्ट है कि कोई भी फ़ंक्शन, इत्यादि। विभेदक समीकरण को संतुष्ट करता है।

कभी-कभी सामान्य समाधान कहा जाता है कार्यों का परिवार. इस उदाहरण में, सामान्य समाधान - यह एक परिवार है रैखिक कार्य, या बल्कि, प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक परिवार।

पहले उदाहरण की गहन समीक्षा के बाद, अंतर समीकरणों के बारे में कई सरल प्रश्नों का उत्तर देना उचित होगा:

1)इस उदाहरण में, हम वेरिएबल्स को अलग करने में सक्षम थे। क्या ऐसा हमेशा किया जा सकता है?नहीं हमेशा नहीं. और इससे भी अधिक बार, चर को अलग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, में सजातीय प्रथम क्रम समीकरण, आपको पहले इसे बदलना होगा। अन्य प्रकार के समीकरणों में, उदाहरण के लिए, पहले क्रम के रैखिक अमानवीय समीकरण में, आपको इसका उपयोग करने की आवश्यकता है विभिन्न तकनीकेंऔर सामान्य समाधान खोजने के तरीके। वियोज्य चर वाले समीकरण, जिन पर हम पहले पाठ में विचार करते हैं - सबसे सरल प्रकारविभेदक समीकरण।

2) क्या विभेदक समीकरण को एकीकृत करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं. एक "फैंसी" समीकरण बनाना बहुत आसान है जिसे एकीकृत नहीं किया जा सकता है; इसके अलावा, ऐसे अभिन्न अंग भी हैं जिन्हें नहीं लिया जा सकता है। लेकिन समान डीई को लगभग उपयोग करके हल किया जा सकता है विशेष विधियाँ. डी'एलेम्बर्ट और कॉची गारंटी देते हैं... ...उह, लर्कमोर। अभी बहुत कुछ पढ़ने के लिए, मैंने लगभग "दूसरी दुनिया से" जोड़ दिया।

3) इस उदाहरण में, हमने एक सामान्य समाकलन के रूप में एक समाधान प्राप्त किया . क्या सामान्य अभिन्न से एक सामान्य समाधान खोजना, यानी "y" को स्पष्ट रूप से व्यक्त करना हमेशा संभव है?नहीं हमेशा नहीं. उदाहरण के लिए: । खैर, आप यहां "ग्रीक" कैसे व्यक्त कर सकते हैं?! ऐसे मामलों में, उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में लिखा जाना चाहिए। इसके अलावा, कभी-कभी सामान्य समाधान ढूंढना संभव होता है, लेकिन यह इतना बोझिल और अनाड़ी ढंग से लिखा जाता है कि उत्तर को सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ना बेहतर होता है

4)...शायद अभी के लिए इतना ही काफी है। पहले उदाहरण में हमारा सामना हुआ दूसरा महत्वपूर्ण बिंदु , लेकिन ताकि हिमस्खलन से "डमीज़" को कवर न किया जा सके नई जानकारी, मैं इसे अगले पाठ तक छोड़ दूँगा।

हम जल्दबाजी नहीं करेंगे. एक अन्य सरल रिमोट कंट्रोल और एक अन्य विशिष्ट समाधान:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो

समाधान: शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा निजी समाधान DE जो दी गई प्रारंभिक शर्त को पूरा करता है। प्रश्न का यह सूत्रीकरण भी कहा जाता है कॉची समस्या.

सबसे पहले हम एक सामान्य समाधान ढूंढते हैं। समीकरण में कोई "x" चर नहीं है, लेकिन इससे भ्रमित नहीं होना चाहिए, मुख्य बात यह है कि इसमें पहला व्युत्पन्न है।

हम व्युत्पन्न को आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं:

जाहिर है, चरों को अलग किया जा सकता है, लड़के बाईं ओर, लड़कियां दाईं ओर:

आइए समीकरण को एकीकृत करें:

सामान्य समाकलन प्राप्त होता है। यहां मैंने तारांकन चिह्न के साथ एक स्थिरांक बनाया है, तथ्य यह है कि जल्द ही यह दूसरे स्थिरांक में बदल जाएगा।

अब हम सामान्य समाकलन को एक सामान्य समाधान ("y" को स्पष्ट रूप से व्यक्त करें) में बदलने का प्रयास करते हैं। आइए स्कूल की अच्छी पुरानी बातें याद करें: . इस मामले में:

सूचक में स्थिरांक किसी न किसी तरह अकोषेर दिखता है, इसलिए इसे आमतौर पर पृथ्वी पर लाया जाता है। विस्तार से, यह इस प्रकार होता है। डिग्री की संपत्ति का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन को निम्नानुसार फिर से लिखते हैं:

यदि एक स्थिरांक है, तो कुछ स्थिरांक भी है, आइए इसे अक्षर से पुन: नामित करें:

याद रखें "ध्वस्त करना" एक स्थिरांक है दूसरी तकनीक, जिसका उपयोग अक्सर अंतर समीकरणों को हल करते समय किया जाता है।

तो, सामान्य समाधान यह है: . यह घातीय कार्यों का एक अच्छा परिवार है।

अंतिम चरण में, आपको एक विशेष समाधान ढूंढना होगा जो दी गई प्रारंभिक स्थिति को पूरा करता हो। यह भी सरल है.

कार्य क्या है? लेने की जरूरत है ऐसास्थिरांक का मान ताकि शर्त संतुष्ट हो।

इसे विभिन्न तरीकों से स्वरूपित किया जा सकता है, लेकिन यह संभवतः सबसे स्पष्ट तरीका होगा। सामान्य समाधान में, "X" के स्थान पर हम एक शून्य प्रतिस्थापित करते हैं, और "Y" के स्थान पर हम दो प्रतिस्थापित करते हैं:

वह है,

मानक डिज़ाइन संस्करण:

अब हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं:
- यह वह विशेष समाधान है जिसकी हमें आवश्यकता है।

उत्तर: निजी समाधान:

की जाँच करें। किसी निजी समाधान की जाँच में दो चरण शामिल हैं:

सबसे पहले आपको यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या पाया गया विशेष समाधान वास्तव में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है? "X" के स्थान पर हम शून्य लगाते हैं और देखते हैं कि क्या होता है:
- हाँ, वास्तव में, एक दो प्राप्त हुआ था, जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक शर्त पूरी हो गई है।

दूसरा चरण पहले से ही परिचित है. हम परिणामी विशेष समाधान लेते हैं और व्युत्पन्न पाते हैं:

हम मूल समीकरण में स्थानापन्न करते हैं:

– सही समानता प्राप्त होती है.

निष्कर्ष: विशेष समाधान सही पाया गया।

आइए अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर आगे बढ़ें।

उदाहरण 3

अवकल समीकरण हल करें

समाधान:हम व्युत्पन्न को उस रूप में फिर से लिखते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है:

हम मूल्यांकन करते हैं कि क्या चरों को अलग करना संभव है? कर सकना। हम चिह्न परिवर्तन के साथ दूसरे पद को दाईं ओर ले जाते हैं:

और हम गुणकों को अनुपात के नियम के अनुसार स्थानांतरित करते हैं:

चर अलग हो गए हैं, आइए दोनों भागों को एकीकृत करें:

मुझे आपको चेतावनी देनी चाहिए, फैसले का दिन करीब आ रहा है। अगर आपने अच्छे से पढ़ाई नहीं की है अनिश्चितकालीन अभिन्न, कुछ उदाहरण हल कर लिए हैं, फिर कहीं नहीं जाना है - अब आपको उनमें महारत हासिल करनी होगी।

बाईं ओर का अभिन्न अंग ढूंढना आसान है; हम मानक तकनीक का उपयोग करके कोटैंजेंट के अभिन्न अंग से निपटते हैं जिसे हमने पाठ में देखा था त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करनापिछले साल:

दाईं ओर हमारे पास एक लघुगणक है, और, मेरी पहली तकनीकी अनुशंसा के अनुसार, लघुगणक के अंतर्गत स्थिरांक भी लिखा जाना चाहिए।

अब हम सामान्य समाकलन को सरल बनाने का प्रयास करते हैं। चूँकि हमारे पास केवल लघुगणक हैं, इसलिए उनसे छुटकारा पाना काफी संभव (और आवश्यक) है। का उपयोग करके ज्ञात गुणहम यथासंभव लघुगणक को "पैक" करते हैं। मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

पैकेजिंग को बर्बरतापूर्वक फाड़ दिया गया है:

क्या "खेल" को व्यक्त करना संभव है? कर सकना। दोनों भागों को वर्गाकार करना आवश्यक है।

लेकिन आपको ऐसा करने की जरूरत नहीं है.

तीसरी तकनीकी युक्ति:यदि एक सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए शक्ति बढ़ाना या जड़ें जमाना आवश्यक है, तो अधिकतर परिस्थितियों मेंआपको इन कार्यों से बचना चाहिए और उत्तर को सामान्य अभिन्न के रूप में छोड़ देना चाहिए। तथ्य यह है कि सामान्य समाधान बहुत ही भयानक लगेगा - बड़ी जड़ों, संकेतों और अन्य कचरे के साथ।

इसलिए, हम उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में लिखते हैं। इसे फॉर्म में प्रस्तुत करना अच्छा अभ्यास माना जाता है, यानी दाईं ओर, यदि संभव हो तो केवल स्थिरांक छोड़ दें। ऐसा करना जरूरी नहीं है, लेकिन प्रोफेसर को खुश करना हमेशा फायदेमंद होता है ;-)

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

! टिप्पणी: किसी भी समीकरण का सामान्य समाकलन एक से अधिक प्रकार से लिखा जा सकता है। इस प्रकार, यदि आपका परिणाम पहले से ज्ञात उत्तर से मेल नहीं खाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपने समीकरण को गलत तरीके से हल किया है।

सामान्य अभिन्न को जांचना भी काफी आसान है, मुख्य बात खोजने में सक्षम होना है अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. आइए उत्तर को अलग करें:

हम दोनों पदों को इससे गुणा करते हैं:

और इससे विभाजित करें:

मूल अवकल समीकरण ठीक-ठीक प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाकलन सही ढंग से प्राप्त हो गया है।

उदाहरण 4

अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें जो प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता हो। जाँच करें.

के लिए यह एक उदाहरण है स्वतंत्र निर्णय.

मैं आपको याद दिला दूं कि एल्गोरिदम में दो चरण होते हैं:
1) एक सामान्य समाधान खोजना;
2) आवश्यक विशेष समाधान ढूँढना।

जाँच भी दो चरणों में की जाती है (उदाहरण संख्या 2 में नमूना देखें), आपको यह करना होगा:
1) सुनिश्चित करें कि पाया गया विशेष समाधान प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है;
2) जांचें कि कोई विशेष समाधान आम तौर पर अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है।

संपूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

उदाहरण 5

अवकल समीकरण का एक विशेष समाधान खोजें , प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करना। जाँच करें.

समाधान:सबसे पहले, आइए एक सामान्य समाधान खोजें। इस समीकरण में पहले से ही तैयार अंतर शामिल हैं और इसलिए, समाधान सरल है। हम चरों को अलग करते हैं:

आइए समीकरण को एकीकृत करें:

बायीं ओर का समाकलन सारणीबद्ध है, दायीं ओर का समाकलन लिया गया है किसी फ़ंक्शन को विभेदक चिन्ह के अंतर्गत समाहित करने की विधि:

सामान्य समाकलन प्राप्त हो गया है; क्या सामान्य समाधान को सफलतापूर्वक व्यक्त करना संभव है? कर सकना। हम दोनों तरफ लघुगणक लटकाते हैं। चूँकि वे सकारात्मक हैं, मापांक चिह्न अनावश्यक हैं:

(मुझे आशा है कि हर कोई परिवर्तन को समझेगा, ऐसी बातें पहले से ही पता होनी चाहिए)

तो, सामान्य समाधान यह है:

आइए दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान खोजें।
सामान्य समाधान में, "X" के स्थान पर हम शून्य प्रतिस्थापित करते हैं, और "Y" के स्थान पर हम दो का लघुगणक प्रतिस्थापित करते हैं:

अधिक परिचित डिज़ाइन:

हम स्थिरांक के पाए गए मान को सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं।

उत्तर:निजी समाधान:

जांचें: सबसे पहले, आइए जांचें कि प्रारंभिक शर्त पूरी हुई है या नहीं:
- सब कुछ अच्छा है।

अब देखते हैं कि पाया गया विशेष समाधान अवकल समीकरण को बिल्कुल भी संतुष्ट करता है या नहीं। व्युत्पन्न ढूँढना:

आइए मूल समीकरण देखें: - इसे विभेदकों में प्रस्तुत किया गया है। जाँच करने के दो तरीके हैं। पाए गए व्युत्पन्न से अंतर व्यक्त करना संभव है:

आइए हम पाए गए विशेष समाधान और परिणामी अंतर को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें :

हम मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करते हैं:

सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि विशेष समाधान सही पाया गया है।

जाँच की दूसरी विधि प्रतिबिंबित और अधिक परिचित है: समीकरण से आइए व्युत्पन्न को व्यक्त करें, ऐसा करने के लिए हम सभी टुकड़ों को इस प्रकार विभाजित करते हैं:

और परिवर्तित DE में हम प्राप्त आंशिक समाधान और पाए गए व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हैं। सरलीकरण के फलस्वरूप सही समानता भी प्राप्त होनी चाहिए।

उदाहरण 6

अवकल समीकरण हल करें. उत्तर को सामान्य समाकलन के रूप में प्रस्तुत करें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने के लिए एक उदाहरण है, संपूर्ण समाधान और पाठ के अंत में उत्तर दें।

वियोज्य चरों वाले अवकल समीकरणों को हल करते समय कौन-सी कठिनाइयाँ आती हैं?

1) यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है (विशेषकर "चायदानी" के लिए) कि चरों को अलग किया जा सकता है। चलो गौर करते हैं सशर्त उदाहरण: . यहां आपको कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा: और जड़ों को अलग करना होगा:। यह स्पष्ट है कि आगे क्या करना है।

2) एकीकरण में ही कठिनाइयाँ। इंटीग्रल अक्सर सबसे सरल नहीं होते हैं, और यदि खोजने के कौशल में खामियां हैं अनिश्चितकालीन अभिन्न, तो कई डिफ्यूज़र के साथ यह मुश्किल होगा। इसके अलावा, तर्क "चूंकि अंतर समीकरण सरल है, तो कम से कम इंटीग्रल्स को अधिक जटिल होने दें" संग्रह और प्रशिक्षण मैनुअल के संकलनकर्ताओं के बीच लोकप्रिय है।

3) स्थिरांक के साथ परिवर्तन। जैसा कि सभी ने देखा है, अंतर समीकरणों में स्थिरांक को काफी स्वतंत्र रूप से नियंत्रित किया जा सकता है, और कुछ परिवर्तन हमेशा एक शुरुआत करने वाले के लिए स्पष्ट नहीं होते हैं। आइए एक और सशर्त उदाहरण देखें: . सभी पदों को 2 से गुणा करना उचित है: . परिणामी स्थिरांक भी एक प्रकार का स्थिरांक है, जिसे निम्न द्वारा दर्शाया जा सकता है: . हां, और चूंकि दाहिनी ओर एक लघुगणक है, तो स्थिरांक को दूसरे स्थिरांक के रूप में फिर से लिखने की सलाह दी जाती है: .

समस्या यह है कि वे अक्सर अनुक्रमणिकाओं की परवाह नहीं करते और एक ही अक्षर का उपयोग करते हैं। परिणामस्वरूप, निर्णय रिकॉर्ड निम्नलिखित रूप लेता है:

कैसा विधर्म? वहीं गलतियाँ हैं! सच कहूँ तो, हाँ। हालाँकि, वास्तविक दृष्टिकोण से, कोई त्रुटि नहीं है, क्योंकि एक चर स्थिरांक को बदलने के परिणामस्वरूप, एक चर स्थिरांक अभी भी प्राप्त होता है।

या दूसरा उदाहरण, मान लीजिए कि समीकरण को हल करने के दौरान एक सामान्य अभिन्न अंग प्राप्त होता है। यह उत्तर बदसूरत दिखता है, इसलिए प्रत्येक पद का चिह्न बदलने की सलाह दी जाती है: . औपचारिक रूप से, यहाँ एक और गलती है - इसे दाईं ओर लिखा जाना चाहिए। लेकिन अनौपचारिक रूप से यह निहित है कि "माइनस सीई" अभी भी एक स्थिरांक है ( जो आसानी से कोई भी अर्थ ले सकता है!), इसलिए "माइनस" लगाने का कोई मतलब नहीं है और आप उसी अक्षर का उपयोग कर सकते हैं।

मैं लापरवाह दृष्टिकोण से बचने की कोशिश करूंगा, और फिर भी उन्हें परिवर्तित करते समय स्थिरांकों को अलग-अलग सूचकांक निर्दिष्ट करूंगा।

उदाहरण 7

अवकल समीकरण हल करें. जाँच करें.

समाधान:यह समीकरण चरों को अलग करने की अनुमति देता है। हम चरों को अलग करते हैं:

आइए एकीकृत करें:

यहां स्थिरांक को लघुगणक के रूप में परिभाषित करना आवश्यक नहीं है, क्योंकि इससे कुछ भी उपयोगी नहीं होगा।

उत्तर:सामान्य अभिन्न:

जांचें: उत्तर को अलग करें (अंतर्निहित फ़ंक्शन):

हम दोनों पदों को इससे गुणा करके भिन्नों से छुटकारा पाते हैं:

मूल अवकल समीकरण प्राप्त हो गया है, जिसका अर्थ है कि सामान्य समाकलन सही पाया गया है।

उदाहरण 8

DE का एक विशेष समाधान खोजें।
,

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। एकमात्र संकेत यह है कि यहां आपको एक सामान्य अभिन्न अंग मिलेगा, और, अधिक सही ढंग से कहें तो, आपको किसी विशेष समाधान को खोजने के लिए प्रयास करने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि आंशिक अभिन्न. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

भौतिकी की कुछ समस्याओं में प्रक्रिया का वर्णन करने वाली मात्राओं के बीच सीधा संबंध स्थापित करना संभव नहीं है। लेकिन अध्ययन के तहत कार्यों के व्युत्पन्न युक्त समानता प्राप्त करना संभव है। इस प्रकार विभेदक समीकरण उत्पन्न होते हैं और किसी अज्ञात फ़ंक्शन को खोजने के लिए उन्हें हल करने की आवश्यकता होती है।

यह आलेख उन लोगों के लिए है जो एक अंतर समीकरण को हल करने की समस्या का सामना कर रहे हैं जिसमें अज्ञात फ़ंक्शन एक चर का एक फ़ंक्शन है। सिद्धांत को इस तरह से संरचित किया गया है कि अंतर समीकरणों के शून्य ज्ञान के साथ, आप अपना कार्य पूरा कर सकते हैं।

प्रत्येक प्रकार के विभेदक समीकरण विशिष्ट उदाहरणों और समस्याओं के विस्तृत स्पष्टीकरण और समाधान के साथ एक समाधान विधि से जुड़े होते हैं। आपको बस अपनी समस्या के विभेदक समीकरण के प्रकार को निर्धारित करना है, एक समान विश्लेषित उदाहरण ढूंढना है और समान कार्य करना है।

अवकल समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको प्रतिअवकलन के सेट खोजने की क्षमता की भी आवश्यकता होगी ( अनिश्चितकालीन अभिन्न) विभिन्न कार्य. यदि आवश्यक हो, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप अनुभाग देखें।

सबसे पहले, हम पहले क्रम के सामान्य अंतर समीकरणों के प्रकारों पर विचार करेंगे जिन्हें व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है, फिर हम दूसरे क्रम के ओडीई पर आगे बढ़ेंगे, फिर हम उच्च-क्रम समीकरणों पर ध्यान केंद्रित करेंगे और सिस्टम के साथ समाप्त करेंगे विभेदक समीकरण।

याद रखें कि यदि y तर्क x का एक फ़ंक्शन है।

प्रथम कोटि अवकल समीकरण.

प्रपत्र का सबसे सरल प्रथम कोटि अवकल समीकरण।

आइए ऐसे रिमोट कंट्रोल के कुछ उदाहरण लिखें .

विभेदक समीकरण समानता के दोनों पक्षों को f(x) से विभाजित करके व्युत्पन्न के संबंध में हल किया जा सकता है। इस मामले में, हम एक समीकरण पर पहुंचते हैं जो f(x) ≠ 0 के लिए मूल समीकरण के बराबर होगा। ऐसे ODE के उदाहरण हैं।

यदि तर्क x के ऐसे मान हैं जिन पर फ़ंक्शन f(x) और g(x) एक साथ गायब हो जाते हैं, तो अतिरिक्त समाधान दिखाई देते हैं। समीकरण के अतिरिक्त समाधान दिए गए x इन तर्क मानों के लिए परिभाषित कोई फ़ंक्शन हैं। ऐसे विभेदक समीकरणों के उदाहरणों में शामिल हैं:

दूसरे क्रम के अंतर समीकरण।

दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरण स्थिर गुणांक.

स्थिर गुणांक वाला एलडीई एक बहुत ही सामान्य प्रकार का अंतर समीकरण है। इनका समाधान विशेष कठिन नहीं है। पहले जड़ें खोजी जाती हैं विशेषता समीकरण . विभिन्न पी और क्यू के लिए, तीन मामले संभव हैं: विशेषता समीकरण की जड़ें वास्तविक और भिन्न, वास्तविक और संयोगी हो सकती हैं या जटिल संयुग्म। अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों के मान के आधार पर अवकल समीकरण का सामान्य हल इस प्रकार लिखा जाता है , या , या क्रमशः।

उदाहरण के लिए, स्थिर गुणांक वाले एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें। इसके अभिलक्षणिक समीकरण के मूल k 1 = -3 और k 2 = 0 हैं। जड़ें वास्तविक और भिन्न हैं, इसलिए, स्थिर गुणांक वाले LODE के सामान्य समाधान का रूप होता है

स्थिर गुणांकों के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण।

स्थिर गुणांक y के साथ दूसरे क्रम के LDDE का सामान्य समाधान संबंधित LDDE के सामान्य समाधान के योग के रूप में मांगा जाता है। और मूल का एक विशेष समाधान अमानवीय समीकरण, वह है, । पिछला पैराग्राफ स्थिर गुणांक वाले सजातीय अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजने के लिए समर्पित है। और कोई विशेष समाधान या तो विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है अनिश्चित गुणांकदाईं ओर फ़ंक्शन f(x) के एक निश्चित रूप के लिए मूल समीकरण, या मनमाना स्थिरांक को अलग करने की विधि द्वारा।

स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के एलडीडीई के उदाहरण के रूप में, हम देते हैं

सिद्धांत को समझने और उदाहरणों के विस्तृत समाधानों से परिचित होने के लिए, हम आपको पृष्ठ पर निरंतर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण प्रदान करते हैं।

रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (LODE) और दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण (LNDE)।

इस प्रकार के विभेदक समीकरणों का एक विशेष मामला स्थिर गुणांक वाले LODE और LDDE हैं।

एक निश्चित खंड पर LODE का सामान्य समाधान इस समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान y 1 और y 2 के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है, अर्थात, .

मुख्य कठिनाई इस प्रकार के विभेदक समीकरण के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान खोजने में निहित है। आमतौर पर, विशेष समाधानों का चयन किया जाता है निम्नलिखित सिस्टमरेखीय स्वतंत्र कार्य:

हालाँकि, विशेष समाधान हमेशा इस रूप में प्रस्तुत नहीं किए जाते हैं।

LOD का एक उदाहरण है .

एलडीडीई का सामान्य समाधान फॉर्म में मांगा गया है, जहां संबंधित एलडीडीई का सामान्य समाधान है, और मूल अंतर समीकरण का विशेष समाधान है। हमने अभी इसे खोजने के बारे में बात की है, लेकिन इसे अलग-अलग मनमाने स्थिरांक की विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है।

एलएनडीयू का उदाहरण दिया जा सकता है .