आव्यूहों का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियाँ। मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें

सामान्य तौर पर समीकरण, रैखिक बीजगणितीय समीकरण और उनकी प्रणालियाँ, साथ ही उन्हें हल करने की विधियाँ, सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों तरह से गणित में एक विशेष स्थान रखती हैं।

यह इस तथ्य के कारण है कि अधिकांश भौतिक, आर्थिक, तकनीकी और यहां तक ​​कि शैक्षणिक समस्याओं का वर्णन और समाधान विभिन्न समीकरणों और उनकी प्रणालियों का उपयोग करके किया जा सकता है। में हाल ही मेंशोधकर्ताओं, वैज्ञानिकों और चिकित्सकों के बीच विशेष लोकप्रियता हासिल की है गणितीय मॉडलिंगलगभग सभी विषय क्षेत्रों में, जिसे विभिन्न प्रकृति की वस्तुओं के अध्ययन के लिए अन्य ज्ञात और सिद्ध तरीकों पर इसके स्पष्ट लाभों द्वारा समझाया गया है, विशेष रूप से, तथाकथित जटिल प्रणालियाँ. वैज्ञानिकों द्वारा दी गई गणितीय मॉडल की विभिन्न परिभाषाओं की एक विशाल विविधता है अलग-अलग समय, लेकिन हमारी राय में, सबसे सफल निम्नलिखित कथन है। गणितीय मॉडल- यह एक विचार है, समीकरण द्वारा व्यक्त किया गया. इस प्रकार, समीकरणों और उनकी प्रणालियों को बनाने और हल करने की क्षमता एक आधुनिक विशेषज्ञ की एक अभिन्न विशेषता है।

रैखिक की प्रणालियों को हल करने के लिए बीजगणितीय समीकरणसबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियाँ क्रैमर, जॉर्डन-गॉस और मैट्रिक्स विधि हैं।

मैट्रिक्स समाधान विधि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की एक विधि है।

यदि हम मैट्रिक्स A में अज्ञात मात्राओं xi के लिए गुणांक लिखते हैं, वेक्टर कॉलम निम्नलिखित मैट्रिक्स समीकरण ए · एक्स = बी, जिसका एक अद्वितीय समाधान केवल तभी होता है जब मैट्रिक्स ए का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं होता है। इस स्थिति में, समीकरणों की प्रणाली का समाधान निम्नलिखित तरीके से पाया जा सकता है एक्स = ए-1· बी, कहाँ ए -1 - उलटा मैट्रिक्स.

मैट्रिक्स समाधान विधि इस प्रकार है.

व्यवस्था दी जाए रेखीय समीकरणसाथ एनअज्ञात:

इसे मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखा जा सकता है: कुल्हाड़ी = बी, कहाँ ए- सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स, बीऔर एक्स- सिस्टम के निःशुल्क नियमों और समाधानों के कॉलम, क्रमशः:

आइए इसे गुणा करें मैट्रिक्स समीकरणछोड़ा दिया ए-1 - मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए: ए -1 (कुल्हाड़ी) = ए -1 बी

क्योंकि ए -1 ए = ई, हम पाते हैं एक्स= ए -1 बी. दाहिनी ओरइस समीकरण से मूल प्रणाली को समाधानों का एक स्तंभ मिलेगा। प्रयोज्यता की शर्त यह विधि(साथ ही सामान्य तौर पर समाधान का अस्तित्व भी सजातीय प्रणालीअज्ञातों की संख्या के बराबर समीकरणों की संख्या के साथ रैखिक समीकरण) मैट्रिक्स की गैर-अपघटन है ए. आवश्यक और पर्याप्त स्थितिइसका मतलब यह है कि मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है ए:det ए≠ 0.

रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली के लिए, अर्थात्, जब वेक्टर बी = 0 , वास्तव में विपरीत नियम: प्रणाली कुल्हाड़ी = 0 का एक गैर-तुच्छ (अर्थात, गैर-शून्य) समाधान केवल तभी होता है जब det ए= 0. रैखिक समीकरणों की सजातीय और अमानवीय प्रणालियों के समाधानों के बीच इस तरह के संबंध को फ्रेडहोम विकल्प कहा जाता है।

उदाहरण रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक अमानवीय प्रणाली का समाधान.

आइए सुनिश्चित करें कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के अज्ञात के गुणांकों से बना मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है।

अगला कदम गणना करना है बीजगणितीय जोड़अज्ञात के गुणांक वाले मैट्रिक्स के तत्वों के लिए। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए उनकी आवश्यकता होगी।

(कभी-कभी इस विधि को भी कहा जाता है मैट्रिक्स विधिया व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि) के लिए SLAE के नोटेशन के मैट्रिक्स रूप जैसी अवधारणा से प्रारंभिक परिचय की आवश्यकता होती है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का उद्देश्य रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की उन प्रणालियों को हल करना है जिसमें सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न होता है। स्वाभाविक रूप से, यह मानता है कि सिस्टम का मैट्रिक्स वर्ग है (निर्धारक की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है)। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का सार तीन बिंदुओं में व्यक्त किया जा सकता है:

1. तीन मैट्रिक्स लिखें: सिस्टम मैट्रिक्स $A$, अज्ञात का मैट्रिक्स $X$, मुक्त शब्दों का मैट्रिक्स $B$।
2. व्युत्क्रम मैट्रिक्स $A^(-1)$ खोजें।
3. समानता $X=A^(-1)\cdot B$ का उपयोग करके, दिए गए SLAE का समाधान प्राप्त करें।

किसी भी SLAE को मैट्रिक्स रूप में $A\cdot X=B$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $A$ सिस्टम का मैट्रिक्स है, $B$ मुक्त शब्दों का मैट्रिक्स है, $X$ अज्ञात का मैट्रिक्स है। मान लीजिए कि मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है। आइए समानता के दोनों पक्षों $A\cdot X=B$ को बाईं ओर के मैट्रिक्स $A^(-1)$ से गुणा करें:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

चूँकि $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ पहचान मैट्रिक्स है), ऊपर लिखी गई समानता बन जाती है:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

चूँकि $E\cdot X=X$, तो:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

उदाहरण क्रमांक 1

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके SLAE $ \left \( \begin(allined) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(allined) \right.$ को हल करें।

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

आइए सिस्टम मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें, अर्थात। आइए $A^(-1)$ की गणना करें। उदाहरण संख्या 2 में

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

आइए अब तीनों आव्यूहों ($X$, $A^(-1)$, $B$) को समानता $X=A^(-1)\cdot B$ में प्रतिस्थापित करें। फिर हम मैट्रिक्स गुणन करते हैं

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 और -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

तो, हमें समानता मिली $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( सरणी )\दाएं)$. इस समानता से हमारे पास है: $x_1=-3$, $x_2=2$.

उत्तर: $x_1=-3$, $x_2=2$.

उदाहरण क्रमांक 2

SLAE $ को हल करें .$ व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का उपयोग करना।

आइए हम सिस्टम के मैट्रिक्स $A$, मुक्त शब्दों के मैट्रिक्स $B$ और अज्ञात के मैट्रिक्स $X$ को लिखें।

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

अब बारी है सिस्टम मैट्रिक्स के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की, यानी। $A^(-1)$ ढूंढें। व्युत्क्रम आव्यूह खोजने के लिए समर्पित पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 3 में, व्युत्क्रम आव्यूह पहले ही पाया जा चुका है। आइए तैयार परिणाम का उपयोग करें और $A^(-1)$ लिखें:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 और 37\end(सरणी)\दाएं)। $$

आइए अब तीनों आव्यूहों ($X$, $A^(-1)$, $B$) को समानता $X=A^(-1)\cdot B$ में प्रतिस्थापित करें, और फिर दाईं ओर मैट्रिक्स गुणन करें इस समानता का.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

तो, हमें समानता मिली $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(सरणी)\दाएं)$. इस समानता से हमारे पास है: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

आइए विचार करें रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली(एसएलएयू) अपेक्षाकृत एनअज्ञात एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन :

इस प्रणाली को "संक्षिप्त" रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एस एन मैं=1 ए आईजे एक्स जे = बी मैं , मैं=1,2, ..., एन.

मैट्रिक्स गुणन नियम के अनुसार, रैखिक समीकरणों की मानी गई प्रणाली को लिखा जा सकता है मैट्रिक्स फॉर्म कुल्हाड़ी=बी, कहाँ

, ,.

मैट्रिक्स ए, जिसके स्तंभ संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक हैं, और पंक्तियाँ संबंधित समीकरण में अज्ञात के लिए गुणांक हैं, कहलाती हैं सिस्टम का मैट्रिक्स. कॉलम मैट्रिक्स बी, जिसके तत्व सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर हैं, उन्हें दाईं ओर का मैट्रिक्स या बस कहा जाता है सिस्टम का दाहिना भाग. कॉलम मैट्रिक्स एक्स , जिसके तत्व अज्ञात अज्ञात हैं, कहलाते हैं सिस्टम समाधान.

प्रपत्र में लिखी गई रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली कुल्हाड़ी=बी, है मैट्रिक्स समीकरण.

यदि सिस्टम मैट्रिक्स गैर पतित, तो इसका एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और फिर सिस्टम का समाधान है कुल्हाड़ी=बीसूत्र द्वारा दिया गया है:

एक्स=ए -1 बी.

उदाहरणसिस्टम को हल करें मैट्रिक्स विधि.

समाधानआइए सिस्टम के गुणांक मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें

आइए पहली पंक्ति के साथ विस्तार करके निर्धारक की गणना करें:

क्योंकि Δ ≠ 0 , वह ए -1 मौजूद है.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स सही पाया गया.

आइए सिस्टम का समाधान खोजें

इस तरह, एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2, एक्स 3 = 3 .

परीक्षा:

7. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता पर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणालीइसका रूप है:

ए 21 x 1 + ए 22 x 2 +... + ए 2एन एक्स एन = बी 2, (5.1)

ए एम1 एक्स 1 + ए एम1 एक्स 2 +... + ए एमएन एक्स एन = बी एम।

यहां a i j और b i (i = ; j = ) दिए गए हैं, और x j अज्ञात वास्तविक संख्याएं हैं। मैट्रिक्स के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके, हम सिस्टम (5.1) को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं:

जहां A = (a i j) एक मैट्रिक्स है जिसमें सिस्टम (5.1) के अज्ञात के लिए गुणांक शामिल हैं, जिसे कहा जाता है सिस्टम का मैट्रिक्स, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T क्रमशः अज्ञात x j और मुक्त पदों b i से बने स्तंभ सदिश हैं।

संग्रह का आदेश दिया एनवास्तविक संख्याएँ (c 1, c 2,..., c n) कहलाती हैं सिस्टम समाधान(5.1), यदि संगत चर x 1, x 2,..., x n के स्थान पर इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के परिणामस्वरूप, सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक अंकगणितीय पहचान में बदल जाता है; दूसरे शब्दों में, यदि कोई सदिश C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T है जिससे AC  B.

सिस्टम (5.1) कहा जाता है संयुक्त,या हल करने योग्य,यदि इसका कम से कम एक समाधान है. सिस्टम कहा जाता है असंगत,या न सुलझा हुआ, यदि इसका कोई समाधान नहीं है।

,

मैट्रिक्स ए के दाईं ओर मुक्त पदों का एक कॉलम निर्दिष्ट करके गठित ए कहा जाता है सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स।

सिस्टम की अनुकूलता (5.1) का प्रश्न निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है।

क्रोनकर-कैपेली प्रमेय . रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत होती है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स ए और ए की रैंक मेल खाती है, यानी। आर(ए) = आर(ए) = आर.

सिस्टम (5.1) के समाधान के सेट एम के लिए तीन संभावनाएँ हैं:

1) एम =  (इस मामले में सिस्टम असंगत है);

2) M में एक तत्व शामिल है, अर्थात। सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (इस मामले में सिस्टम को कहा जाता है)। निश्चित);

3) M में एक से अधिक तत्व होते हैं (तब सिस्टम कहा जाता है ढुलमुल). तीसरे मामले में, सिस्टम (5.1) में अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान केवल तभी होता है जब r(A) = n हो। इस मामले में, समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या (mn) से कम नहीं है; यदि m>n, तो एम-एन समीकरणदूसरों के परिणाम हैं. यदि 0

रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली को हल करने के लिए, आपको उन प्रणालियों को हल करने में सक्षम होने की आवश्यकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है - तथाकथित क्रैमर प्रकार की प्रणालियाँ:

ए 11 एक्स 1 + ए 12 एक्स 2 +... + ए 1 एन एक्स एन = बी 1,

ए 21 x 1 + ए 22 x 2 +... + ए 2एन एक्स एन = बी 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

ए एन1 एक्स 1 + ए एन1 एक्स 2 +... + ए एनएन एक्स एन = बी एन।

सिस्टम (5.3) को निम्नलिखित तरीकों में से एक में हल किया जाता है: 1) गॉस विधि, या अज्ञात को खत्म करने की विधि; 2) क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; 3) मैट्रिक्स विधि.

उदाहरण 2.12. समीकरणों की प्रणाली का अन्वेषण करें और यदि यह सुसंगत है तो इसे हल करें:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

समाधान।हम सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स लिखते हैं:

 .

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक की गणना करें। यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ कोने में दूसरे क्रम का नाबालिग = 7  0; इसमें शामिल तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं:

नतीजतन, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 2 है, यानी। r(A) = 2. विस्तारित मैट्रिक्स A की रैंक की गणना करने के लिए, बॉर्डरिंग माइनर पर विचार करें

इसका मतलब है कि विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक r(A) = 3. चूँकि r(A)  r(A), सिस्टम असंगत है।

विषय 2. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ।

बुनियादी अवधारणाओं।

परिभाषा 1. प्रणाली एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात प्रपत्र की एक प्रणाली है:

संख्याएँ कहाँ और हैं।

परिभाषा 2. सिस्टम (I) का समाधान अज्ञात का एक सेट है जिसमें इस सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक पहचान बन जाता है।

परिभाषा 3. सिस्टम (I) कहा जाता है संयुक्त, यदि इसका कम से कम एक समाधान है और गैर संयुक्त, यदि इसका कोई समाधान नहीं है। संयुक्त प्रणाली कहलाती है निश्चित, यदि इसका कोई अनूठा समाधान है, और ढुलमुलअन्यथा।

परिभाषा 4. रूप का समीकरण

बुलाया शून्य, और समीकरण इस रूप का है

बुलाया असंगत. जाहिर है, असंगत समीकरण वाली समीकरण प्रणाली असंगत है।

परिभाषा 5. रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियाँ कहलाती हैं समकक्ष, यदि एक प्रणाली का प्रत्येक समाधान दूसरे के लिए समाधान के रूप में कार्य करता है और, इसके विपरीत, दूसरी प्रणाली का प्रत्येक समाधान पहले के लिए एक समाधान है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व।

आइए सिस्टम (I) पर विचार करें (§1 देखें)।

आइए निरूपित करें:

अज्ञात के लिए गुणांक मैट्रिक्स

मैट्रिक्स - मुक्त पदों का स्तंभ

मैट्रिक्स – अज्ञात का स्तंभ

.

परिभाषा 1.मैट्रिक्स कहा जाता है सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स(I), और मैट्रिक्स सिस्टम (I) का विस्तारित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स की समानता की परिभाषा के अनुसार, सिस्टम (I) मैट्रिक्स समानता से मेल खाता है:

.

आव्यूहों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार इस समानता का दाहिना पक्ष ( परिभाषा 3 § 5 अध्याय 1 देखें) को गुणनखंडित किया जा सकता है:

, यानी

समानता (2) बुलाया सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन (I).

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना।

सिस्टम में आने दें (I) (§1 देखें) म=एन, यानी समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, अर्थात। . फिर §1 से सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है

कहां Δ = डेट एमुख्य कहा जाता है प्रणाली के निर्धारक(आई), Δ मैंनिर्धारक Δ को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है मैंसिस्टम के मुक्त सदस्यों के कॉलम में वां कॉलम (I)।

उदाहरण: क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

.

सूत्रों द्वारा (3) .

हम सिस्टम के निर्धारकों की गणना करते हैं:

,

,

.

सारणिक प्राप्त करने के लिए, हमने सारणिक में पहले कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदल दिया; सारणिक में दूसरे कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलने पर, हमें मिलता है; इसी तरह, सारणिक में तीसरे कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलने पर, हमें मिलता है। सिस्टम समाधान:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

सिस्टम में आने दें (I) (देखें §1) म=एनऔर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है। आइए सिस्टम (I) को मैट्रिक्स रूप में लिखें ( §2 देखें):

क्योंकि मैट्रिक्स एगैर-एकवचन, तो इसका एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है ( अध्याय 1 का प्रमेय 1 §6 देखें). आइए समानता के दोनों पक्षों को गुणा करें (2) मैट्रिक्स के लिए, फिर

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा के अनुसार. समानता से (3) हमारे पास है

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

.

चलो निरूपित करें

उदाहरण में (§ 3) हमने निर्धारक की गणना की, इसलिए, मैट्रिक्स एएक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है. तब प्रभाव में (4) , यानी

. (5)

आइए मैट्रिक्स ढूंढें ( §6 अध्याय 1 देखें)

, , ,

, , ,

,

.

गॉस विधि.

आइए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए:

. (मैं)

सिस्टम (I) के सभी समाधान ढूंढना या यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि सिस्टम असंगत है।

परिभाषा 1.आइए हम इसे सिस्टम का प्रारंभिक परिवर्तन कहें(I) तीन क्रियाओं में से कोई:

1) शून्य समीकरण को पार करना;

2) समीकरण के दोनों पक्षों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को जोड़कर, संख्या l से गुणा किया जाता है;

3) सिस्टम के समीकरणों में शब्दों की अदला-बदली ताकि सभी समीकरणों में समान संख्याओं वाले अज्ञात एक ही स्थान पर कब्जा कर लें, यानी। यदि, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में हमने दूसरे और तीसरे पद को बदल दिया है, तो सिस्टम के सभी समीकरणों में भी ऐसा ही किया जाना चाहिए।

गॉस विधि में यह तथ्य शामिल है कि प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से सिस्टम (I) को एक समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसका समाधान सीधे पाया जाता है या इसकी अघुलनशीलता स्थापित की जाती है।

जैसा कि §2 में बताया गया है, सिस्टम (I) अपने विस्तारित मैट्रिक्स द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है और सिस्टम (I) का कोई भी प्रारंभिक परिवर्तन विस्तारित मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है:

.

परिवर्तन 1) मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति को हटाने के अनुरूप है, परिवर्तन 2) मैट्रिक्स की संबंधित पंक्ति में एक और पंक्ति जोड़ने के बराबर है, संख्या एल से गुणा किया गया है, परिवर्तन 3) मैट्रिक्स में कॉलम को पुनर्व्यवस्थित करने के बराबर है।

यह देखना आसान है कि, इसके विपरीत, मैट्रिक्स का प्रत्येक प्राथमिक परिवर्तन सिस्टम (I) के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है। उपरोक्त के कारण, सिस्टम (I) के साथ संचालन के बजाय, हम इस सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ काम करेंगे।

मैट्रिक्स में, पहले कॉलम में गुणांक होते हैं एक्स 1, दूसरा कॉलम - के लिए गुणांक से एक्स 2वगैरह। यदि स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस शर्त का उल्लंघन हुआ है। उदाहरण के लिए, यदि हम पहले और दूसरे कॉलम को स्वैप करते हैं, तो अब पहले कॉलम में गुणांक शामिल होंगे एक्स 2, और दूसरे कॉलम में - के लिए गुणांक एक्स 1.

हम गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम (I) को हल करेंगे।

1. मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को काट दें, यदि कोई हो (यानी, सिस्टम (I) में सभी शून्य समीकरणों को काट दें)।

2. आइए जांचें कि क्या मैट्रिक्स की पंक्तियों के बीच एक पंक्ति है जिसमें अंतिम को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं (चलिए ऐसी पंक्ति को असंगत कहते हैं)। जाहिर है, ऐसी रेखा सिस्टम (I) में एक असंगत समीकरण से मेल खाती है, इसलिए, सिस्टम (I) का कोई समाधान नहीं है और यहीं प्रक्रिया समाप्त होती है।

3. मान लीजिए कि मैट्रिक्स में असंगत पंक्तियाँ नहीं हैं (सिस्टम (I) में असंगत समीकरण नहीं हैं)। अगर ए 11 =0, फिर हम पहली पंक्ति में शून्य के अलावा कुछ तत्व (अंतिम को छोड़कर) पाते हैं और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि पहली पंक्ति में पहले स्थान पर कोई शून्य न हो। अब हम यह मानेंगे कि (अर्थात्, हम सिस्टम (I) के समीकरणों में संबंधित पदों की अदला-बदली करेंगे)।

4. पहली पंक्ति को इससे गुणा करें और परिणाम को दूसरी पंक्ति से जोड़ें, फिर पहली पंक्ति को इससे गुणा करें और परिणाम को तीसरी पंक्ति से जोड़ें, आदि। जाहिर है, यह प्रक्रिया अज्ञात को ख़त्म करने के बराबर है एक्स 1पहले को छोड़कर, सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से। नए मैट्रिक्स में हमें तत्व के नीचे पहले कॉलम में शून्य मिलते हैं एक 11:

.

5. आइए मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को काट दें, यदि कोई हो, और जांचें कि क्या कोई असंगत पंक्ति है (यदि कोई है, तो सिस्टम असंगत है और समाधान वहीं समाप्त हो जाता है)। चलो जाँच करें कि क्या वहाँ होगा एक 22 / =0, यदि हाँ, तो हम दूसरी पंक्ति में शून्य के अलावा एक तत्व पाते हैं और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि। इसके बाद, दूसरी पंक्ति के तत्वों को इससे गुणा करें और तीसरी पंक्ति के संगत तत्वों के साथ जोड़ें, फिर - दूसरी पंक्ति के तत्वों को और चौथी पंक्ति के संबंधित तत्वों आदि के साथ जोड़ें, जब तक कि हमें नीचे शून्य न मिल जाए एक 22/

.

उठाए गए कदम अज्ञात को ख़त्म करने के बराबर हैं एक्स 2सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से, पहले और दूसरे को छोड़कर। चूँकि पंक्तियों की संख्या सीमित है, इसलिए चरणों की एक सीमित संख्या के बाद हमें पता चलता है कि या तो सिस्टम असंगत है, या हम एक चरण मैट्रिक्स के साथ समाप्त होते हैं ( परिभाषा 2 §7 अध्याय 1 देखें) :

,

आइए हम मैट्रिक्स के अनुरूप समीकरणों की प्रणाली लिखें। यह सिस्टम सिस्टम (I) के बराबर है

.

अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं; पिछले समीकरण में स्थानापन्न करें, खोजें, आदि, जब तक हमें प्राप्त न हो जाए।

नोट 1.इस प्रकार, गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम (I) को हल करते समय, हम निम्नलिखित मामलों में से एक पर पहुंचते हैं।

1. सिस्टम (I) असंगत है.

2. यदि मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात () की संख्या के बराबर है तो सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है।

3. सिस्टम (I) में अनंत संख्या में समाधान हैं यदि मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात () की संख्या से कम है।

अतः निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।

प्रमेय.रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली या तो असंगत होती है, इसका एक अद्वितीय समाधान होता है, या इसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

उदाहरण. गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें या इसकी असंगतता साबित करें:

बी) ;

a) आइए दिए गए सिस्टम को इस रूप में फिर से लिखें:

.

हमने गणना को सरल बनाने के लिए मूल प्रणाली के पहले और दूसरे समीकरणों को बदल दिया है (अंशों के बजाय, हम इस पुनर्व्यवस्था का उपयोग करके केवल पूर्णांकों के साथ काम करेंगे)।

आइए एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं:

.

कोई शून्य रेखाएँ नहीं हैं; कोई असंगत पंक्तियाँ नहीं हैं, ; आइए पहले को छोड़कर सिस्टम के सभी समीकरणों से पहले अज्ञात को बाहर कर दें। ऐसा करने के लिए, मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को "-2" से गुणा करें और उन्हें दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ें, जो कि पहले समीकरण को "-2" से गुणा करने और इसे दूसरे के साथ जोड़ने के बराबर है। समीकरण. फिर हम पहली पंक्ति के तत्वों को "-3" से गुणा करते हैं और उन्हें तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ते हैं, यानी। आइए दिए गए सिस्टम के दूसरे समीकरण को "-3" से गुणा करें और इसे तीसरे समीकरण के साथ जोड़ें। हम पाते हैं

.

मैट्रिक्स समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाता है)। - (अध्याय 1 की परिभाषा 3§7 देखें)।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि एक विशेष मामला है मैट्रिक्स समीकरण

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

समाधान: हम सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं हम सूत्र का उपयोग करके सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं (अंतिम सूत्र देखें)

हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाते हैं:
, मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरकों का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स कहां है।

सबसे पहले, आइए निर्धारक को देखें:

यहां सारणिक का विस्तार पहली पंक्ति पर किया गया है।

ध्यान! यदि, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम को अज्ञात विधि (गाऊसी विधि) के उन्मूलन द्वारा हल किया जाता है।

अब हमें 9 अवयस्कों की गणना करने और उन्हें अवयस्क मैट्रिक्स में लिखने की आवश्यकता है

संदर्भ:रैखिक बीजगणित में दोहरे उपस्क्रिप्ट का अर्थ जानना उपयोगी है। पहला अंक उस पंक्ति की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है। दूसरा अंक उस कॉलम की संख्या है जिसमें तत्व स्थित है:

यानी, एक डबल सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि तत्व पहली पंक्ति, तीसरे कॉलम में है, और, उदाहरण के लिए, तत्व तीसरी पंक्ति, दूसरे कॉलम में है

समाधान के दौरान, नाबालिगों की गणना का विस्तार से वर्णन करना बेहतर है, हालांकि, कुछ अनुभव के साथ, आप मौखिक रूप से त्रुटियों के साथ उनकी गणना करने के आदी हो सकते हैं।

जिस क्रम में अवयस्कों की गणना की जाती है वह पूरी तरह से महत्वहीन है, यहां मैंने उनकी गणना बाएं से दाएं पंक्ति दर पंक्ति की है। स्तंभों द्वारा अवयस्कों की गणना करना संभव था (यह और भी सुविधाजनक है)।

इस प्रकार:

- मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के नाबालिगों का मैट्रिक्स।

- बीजगणितीय जोड़ का मैट्रिक्स।

- बीजगणितीय योगों का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स।

मैं दोहराता हूं, हमने पाठ में उठाए गए कदमों पर विस्तार से चर्चा की। मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कैसे ज्ञात करें?

अब हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स लिखते हैं:

किसी भी परिस्थिति में हमें इसे मैट्रिक्स में दर्ज नहीं करना चाहिए, इससे आगे की गणना गंभीर रूप से जटिल हो जाएगी. यदि मैट्रिक्स में सभी संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 60 से विभाज्य हों तो विभाजन करना आवश्यक होगा। लेकिन इस मामले में, इसके विपरीत, मैट्रिक्स में एक माइनस जोड़ना बहुत आवश्यक है, इससे आगे की गणना सरल हो जाएगी;

जो कुछ बचा है वह मैट्रिक्स गुणन करना है। आप कक्षा में आव्यूहों को गुणा करना सीख सकते हैं। मैट्रिक्स के साथ क्रियाएँ. वैसे, वहां बिल्कुल उसी उदाहरण का विश्लेषण किया गया है।

ध्यान दें कि 60 से भाग हो गया है सभी का आखिरी.
कभी-कभी यह पूरी तरह से अलग नहीं हो सकता है, अर्थात। इसके परिणामस्वरूप "खराब" अंश हो सकते हैं। जब हमने क्रैमर के नियम की जांच की तो मैंने आपको पहले ही बताया था कि ऐसे मामलों में क्या करना चाहिए।

उत्तर:

उदाहरण 12

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है (अंतिम डिज़ाइन का एक नमूना और पाठ के अंत में उत्तर)।

सिस्टम को हल करने का सबसे सार्वभौमिक तरीका है अज्ञात को ख़त्म करने की विधि (गाऊसी विधि). एल्गोरिदम को स्पष्ट रूप से समझाना इतना आसान नहीं है, लेकिन मैंने कोशिश की!

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

उत्तर:

उदाहरण 3:

उदाहरण 6:

उदाहरण 8: , . आप इस उदाहरण के लिए एक नमूना समाधान देख या डाउनलोड कर सकते हैं (नीचे लिंक)।

उदाहरण 10, 12:

हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करना जारी रखते हैं। यह पाठ इस विषय पर तीसरा है। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि सामान्य रूप से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली क्या है, यदि आप एक चायदानी की तरह महसूस करते हैं, तो मैं अगले पृष्ठ पर मूल बातें शुरू करने की सलाह देता हूं, पाठ का अध्ययन करना उपयोगी है।

गाऊसी विधि आसान है!क्यों? प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस को अपने जीवनकाल के दौरान सर्वकालिक महान गणितज्ञ, प्रतिभाशाली और यहां तक ​​कि "गणित के राजा" उपनाम से मान्यता मिली। और जैसा कि आप जानते हैं, हर सरल चीज़ सरल है!वैसे, न केवल मूर्खों को पैसा मिलता है, बल्कि प्रतिभाओं को भी मिलता है - गॉस का चित्र 10 Deutschmark बैंकनोट (यूरो की शुरुआत से पहले) पर था, और गॉस अभी भी साधारण डाक टिकटों से जर्मनों को देखकर रहस्यमय तरीके से मुस्कुराते हैं।

गॉस विधि इस मायने में सरल है कि इसमें महारत हासिल करने के लिए पांचवीं कक्षा के छात्र का ज्ञान ही पर्याप्त है। आपको जोड़ना और गुणा करना आना चाहिए!यह कोई संयोग नहीं है कि शिक्षक अक्सर स्कूली गणित ऐच्छिक में अज्ञात के क्रमिक बहिष्करण की विधि पर विचार करते हैं। यह एक विरोधाभास है, लेकिन छात्रों को गाऊसी पद्धति सबसे कठिन लगती है। आश्चर्य की कोई बात नहीं - यह सब कार्यप्रणाली के बारे में है, और मैं विधि के एल्गोरिदम के बारे में सुलभ रूप में बात करने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, आइए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के बारे में थोड़ा ज्ञान व्यवस्थित करें। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) एक अनोखा समाधान रखें।
2) अनंत रूप से अनेक समाधान हों।
3) कोई समाधान नहीं है (होना गैर संयुक्त).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और सार्वभौमिक उपकरण है कोईरैखिक समीकरणों की प्रणाली. जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिऐसे मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम में असीमित रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। और अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि फिर भीहमें उत्तर तक ले जाएगा! इस पाठ में, हम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, एक लेख बिंदु नंबर 2-3 की स्थितियों के लिए समर्पित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि का एल्गोरिदम स्वयं तीनों मामलों में समान काम करता है।

आइए पाठ से सबसे सरल प्रणाली पर वापस लौटें रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?
और इसे गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स:
. मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है कि गुणांक किस सिद्धांत से लिखे गए हैं। मैट्रिक्स के अंदर की ऊर्ध्वाधर रेखा का कोई गणितीय अर्थ नहीं है - यह केवल डिज़ाइन की आसानी के लिए एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ: मेरा सुझाव है कि आप याद रखेंशर्तें लीनियर अलजेब्रा।सिस्टम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जो केवल अज्ञात के गुणांकों से बना है, इस उदाहरण में सिस्टम का मैट्रिक्स: . विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स - इस मामले में, यह सिस्टम का वही मैट्रिक्स और मुफ़्त शब्दों का एक कॉलम है: . संक्षिप्तता के लिए, किसी भी मैट्रिक्स को केवल मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

विस्तारित मैट्रिक्स सिस्टम लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन.

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन मौजूद हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स पुनः व्यवस्थित किया जा सकता हैकुछ स्थानों पर. उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को दर्द रहित तरीके से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं (या दिखाई दी हैं), तो आपको यह करना चाहिए मिटानाएक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ मैट्रिक्स से हैं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी होनी चाहिए मिटाना. बेशक, मैं नहीं खींचूंगा, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें सभी शून्य.

4) मैट्रिक्स पंक्ति हो सकती है गुणा करना (विभाजित करना)किसी भी संख्या में शून्येतर. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहां पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करने और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . यह क्रिया बहुत उपयोगी है क्योंकि यह मैट्रिक्स के आगे के परिवर्तनों को सरल बनाती है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति के लिए आप कर सकते हैं किसी संख्या से गुणा करके एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। आइए एक व्यावहारिक उदाहरण से हमारे मैट्रिक्स को देखें:। सबसे पहले मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूँगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , और दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ते हैं: . अब पहली पंक्ति को "वापस" -2: से विभाजित किया जा सकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, जो पंक्ति जोड़ी गई है ली – नहीं बदला है. हमेशाजिस पंक्ति में जोड़ा गया है वह बदल जाती है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, बेशक, वे इसे इतने विस्तार से नहीं लिखते हैं, लेकिन इसे संक्षेप में लिखते हैं:

एक बार फिर: दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ा गया. एक पंक्ति को आमतौर पर मौखिक रूप से या ड्राफ्ट पर गुणा किया जाता है, जिसमें मानसिक गणना प्रक्रिया कुछ इस तरह होती है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं:"

“पहला कॉलम. सबसे नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं शीर्ष पर वाले को -2: से गुणा करता हूं, और पहले वाले को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

“अब दूसरा कॉलम. शीर्ष पर, मैं -1 को -2 से गुणा करता हूँ:। मैं पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: "

“और तीसरा कॉलम। शीर्ष पर मैं -5 को -2 से गुणा करता हूं:। मैं पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण को ध्यान से समझें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गाऊसी विधि व्यावहारिक रूप से आपकी जेब में है। लेकिन, निश्चित रूप से, हम अभी भी इस परिवर्तन पर काम करेंगे।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान:जोड़-तोड़ पर विचार किया गया उपयोग नहीं किया जा सकता, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहां मैट्रिक्स "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "शास्त्रीय" के साथ मैट्रिक्स के साथ संचालनकिसी भी परिस्थिति में आपको मैट्रिक्स के अंदर कुछ भी पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए!

आइए अपने सिस्टम पर वापस लौटें। इसका लगभग समाधान हो गया है.

आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया। वैसे, हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा क्यों करते हैं? नीचे शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य– मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करें: . कार्य के डिज़ाइन में, वे बस एक साधारण पेंसिल से "सीढ़ियों" को चिह्नित करते हैं, और "कदमों" पर स्थित संख्याओं पर भी गोला बनाते हैं। "स्टेप्ड व्यू" शब्द अपने आप में पूरी तरह से सैद्धांतिक नहीं है; वैज्ञानिक और शैक्षिक साहित्य में इसे अक्सर कहा जाता है समलम्बाकार दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया समकक्षसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनवाइंड" करने की आवश्यकता है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है गाऊसी पद्धति का उलटा.

निचले समीकरण में हमारे पास पहले से ही एक तैयार परिणाम है:।

आइए सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और इसमें "y" के पहले से ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करें:

आइए सबसे आम स्थिति पर विचार करें, जब गाऊसी विधि को तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 1

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स लिखें:

अब मैं तुरंत वह परिणाम निकालूंगा जो हम समाधान के दौरान प्राप्त करेंगे:

और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में लाना है। कहां से शुरू करें?

सबसे पहले, शीर्ष बाएँ नंबर को देखें:

लगभग हमेशा यहीं रहना चाहिए इकाई. आम तौर पर कहें तो, -1 (और कभी-कभी अन्य संख्याएं) भी काम करेंगी, लेकिन पारंपरिक रूप से ऐसा होता आया है कि आमतौर पर एक को वहां रखा जाता है। किसी इकाई को कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक तैयार इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. यह पहले से आसान है.

ऊपरी बाएँ कोने में इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन स्थानों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

हमें "कठिन" परिवर्तन का उपयोग करके शून्य मिलते हैं। पहले हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। शून्य को प्रथम स्थान पर लाने के लिए क्या करना होगा? करने की जरूरत है दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: (-2, -4, 2, -18)। और हम लगातार (फिर से मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर) जोड़-तोड़ करते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे पहले से ही -2 से गुणा किया गया है:

हम परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखते हैं:

हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से भी इसी तरह निपटते हैं। प्रथम स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, पहली पंक्ति को -3 से गुणा करें: (-3, -6, 3, -27)। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ते हैं:

हम परिणाम को तीसरी पंक्ति में लिखते हैं:

व्यवहार में, ये क्रियाएं आमतौर पर मौखिक रूप से की जाती हैं और एक चरण में लिखी जाती हैं:

हर चीज़ को एक बार में और एक ही समय में गिनने की ज़रूरत नहीं है. गणनाओं का क्रम और परिणामों को "प्रविष्ट करना"। सुसंगतऔर आमतौर पर यह इस तरह होता है: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और धीरे-धीरे खुद पर कश लगाते हैं - लगातार और ध्यानपूर्वक:

और गणनाओं की मानसिक प्रक्रिया पर मैं पहले ही ऊपर चर्चा कर चुका हूँ।

इस उदाहरण में, यह करना आसान है; हम दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करते हैं (क्योंकि वहां सभी संख्याएं बिना किसी शेषफल के 5 से विभाज्य हैं)। साथ ही, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि संख्याएँ जितनी छोटी होंगी, समाधान उतना ही सरल होगा:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, आपको यहां एक और शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ते हैं:

इस क्रिया को स्वयं समझने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ करें।

अंतिम क्रिया परिणाम का हेयर स्टाइल है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त हुई:

ठंडा।

अब गाऊसी पद्धति का उल्टा चलन में आता है। समीकरण नीचे से ऊपर तक "खुलते" हैं।

तीसरे समीकरण में हमारे पास पहले से ही तैयार परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण पर नजर डालें: . "ज़ेट" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "इग्रेक" और "ज़ेट" ज्ञात हैं, यह केवल छोटी चीज़ों की बात है:

उत्तर:

जैसा कि बार-बार उल्लेख किया गया है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए पाए गए समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह आसान और त्वरित है।

उदाहरण 2

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण, अंतिम डिज़ाइन का एक नमूना और पाठ के अंत में एक उत्तर है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका निर्णय की प्रगतिहो सकता है कि यह मेरी निर्णय प्रक्रिया से मेल न खाए, और यह गॉस पद्धति की एक विशेषता है. लेकिन उत्तर वही होने चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। हमारे पास वहां एक होना चाहिए. समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई इकाइयाँ ही नहीं हैं, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से कुछ भी हल नहीं होगा। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। मैंने यह किया: (1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है. यानी, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर -1 है, जो हमारे लिए बिल्कुल उपयुक्त है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त गतिविधि कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (उसका चिह्न बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और इसे दूसरे स्थान पर ले जाया गया, ताकि दूसरे "चरण" पर हमारे पास आवश्यक इकाई हो।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो गणना में त्रुटि का संकेत देता है (अधिक दुर्लभ रूप से, एक टाइपो) एक "खराब" निचली रेखा है। यानी, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिलता है, और, तदनुसार, , तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्रारंभिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि हुई थी।

हम इसके विपरीत चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिज़ाइन में वे अक्सर सिस्टम को फिर से नहीं लिखते हैं, लेकिन समीकरण "सीधे दिए गए मैट्रिक्स से लिए जाते हैं।" मैं आपको याद दिला दूं कि उल्टी चाल नीचे से ऊपर तक काम करती है:
हाँ, यहाँ एक उपहार है:

उत्तर: .

उदाहरण 4

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है, यह कुछ हद तक अधिक जटिल है। अगर कोई भ्रमित हो जाए तो कोई बात नहीं. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और नमूना डिज़ाइन। आपका समाधान मेरे समाधान से भिन्न हो सकता है.

अंतिम भाग में हम गॉसियन एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं को देखेंगे।
पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी कुछ चर सिस्टम समीकरणों से गायब होते हैं, उदाहरण के लिए:

विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स को सही ढंग से कैसे लिखें? मैंने पहले ही कक्षा में इस बिंदु के बारे में बात की थी। क्रैमर का नियम. मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लुप्त चर के स्थान पर शून्य डालते हैं:

वैसे, यह एक काफी आसान उदाहरण है, क्योंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और प्रदर्शन करने के लिए कम प्राथमिक परिवर्तन हैं।

दूसरी विशेषता यह है. विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने "चरणों" पर या तो -1 या +1 रखा है। क्या वहां अन्य संख्याएं भी हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं. सिस्टम पर विचार करें: .

यहां ऊपर बाईं ओर "चरण" में दो हैं। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 2 से विभाज्य हैं - और दूसरे में दो और छह हैं। और ऊपर बाईं ओर के दो हमारे लिए उपयुक्त होंगे! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने होंगे: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें। इस प्रकार हमें पहले कॉलम में आवश्यक शून्य प्राप्त होंगे।

या कोई अन्य पारंपरिक उदाहरण: . यहां दूसरे "चरण" पर तीन भी हमारे लिए उपयुक्त है, क्योंकि 12 (वह स्थान जहां हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है) बिना किसी शेषफल के 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें आवश्यक शून्य प्राप्त होगा।

गॉस की विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक विशिष्टता भी है। आप आत्मविश्वास से पहली बार अन्य तरीकों (क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि) का उपयोग करके सिस्टम को हल करना सीख सकते हैं - उनके पास एक बहुत ही सख्त एल्गोरिदम है। लेकिन गॉसियन पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपने दाँत लगाने चाहिए" और कम से कम 5-10 दस प्रणालियों को हल करना चाहिए। इसलिए, सबसे पहले गणना में भ्रम और त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम.... इसलिए, उन सभी के लिए जो स्वयं हल करने के लिए अधिक जटिल उदाहरण चाहते हैं:

उदाहरण 5

गॉस विधि का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ 4 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि यहां तक ​​कि एक चायदानी जिसने इस पृष्ठ का पूरी तरह से अध्ययन किया है, वह ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम को सहजता से समझ जाएगा। मूलतः सब कुछ वैसा ही है - बस क्रियाएं अधिक हैं।

ऐसे मामले जब सिस्टम में कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीमित रूप से कई समाधान हैं, तो पाठ में चर्चा की गई है एक समान समाधान के साथ असंगत प्रणालियाँ और प्रणालियाँ. वहां आप गॉसियन विधि के सुविचारित एल्गोरिदम को ठीक कर सकते हैं।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं।

प्राथमिक परिवर्तन किए गए:
(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।ध्यान! यहां आप तीसरी पंक्ति से पहली को घटाने के लिए प्रलोभित हो सकते हैं; मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि इसे न घटाएं - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। बस इसे मोड़ो!
(2) दूसरी पंक्ति का चिह्न बदल दिया गया (-1 से गुणा किया गया)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली कर दी गई है।कृपया ध्यान , कि "कदमों" पर हम न केवल एक से संतुष्ट हैं, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है।
(3) दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।
(4) दूसरी पंक्ति का चिह्न बदल दिया गया (-1 से गुणा किया गया)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

रिवर्स:


उत्तर: .

उदाहरण 4: आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

किए गए रूपांतरण:
(1) पहली पंक्ति में एक दूसरी पंक्ति जोड़ी गई। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "चरण" पर व्यवस्थित होती है।
(2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" से सब कुछ खराब हो जाता है , इसके लिए "उम्मीदवार" संख्या 17 और 23 हैं, और हमें या तो एक या -1 की आवश्यकता है। परिवर्तन (3) और (4) का उद्देश्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा

(3) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।
(4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया।
दूसरे चरण पर आवश्यक वस्तु प्राप्त हो गई है। .
(5) दूसरी पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।
(6) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया गया, तीसरी पंक्ति को -83 से विभाजित किया गया।यह स्पष्ट है कि विमान को तीन अलग-अलग बिंदुओं द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है जो एक ही रेखा पर नहीं हैं। इसलिए, विमानों के तीन-अक्षर पदनाम काफी लोकप्रिय हैं - उनसे संबंधित बिंदुओं द्वारा, उदाहरण के लिए, ; .यदि सदस्य स्वतंत्र हैं