गाऊसी विधि द्वारा सारणिक की गणना। गाऊसी विधि ऑनलाइन

सामग्री

परिचय................................................. ....... ................................................... .............. ........ 2

1. समस्या का विवरण................................................. ....... ....................................... 3

2. समस्या को हल करने के लिए गणितीय और एल्गोरिथम आधार................... 5

2.1 मैट्रिक्स निर्धारक....................................................... ...... ................................... 5

2.2 सिस्टम को हल करने के लिए गाऊसी विधि रेखीय समीकरण........................ 6

2.3 सारणिक की गणना के लिए गाऊसी विधि................................................... .........8

3. समस्या को हल करने के लिए कार्यात्मक मॉडल और ब्लॉक आरेख................................. 9

4. समस्या समाधान का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन................................................... ........ .. 11

5. प्रोग्राम निष्पादन का उदाहरण................................................. ....... ................. 16

निष्कर्ष................................................. .................................................. ...... .18

प्रयुक्त स्रोतों और साहित्य की सूची................................................. ........19

परिचय

आर्थिक अनुसंधान, योजना और प्रबंधन में उत्पन्न होने वाली कई समस्याएं, जब गणितीय रूप से तैयार की जाती हैं, तो उन समस्याओं का प्रतिनिधित्व करती हैं जिनमें एक प्रणाली को हल करना आवश्यक होता है बीजगणितीय समीकरण.

ऐतिहासिक रूप से, रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए पहली, सबसे आम विधि गॉस विधि या विधि है क्रमिक उन्मूलनअज्ञात। इस विधि का सार यह है कि अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करके यह प्रणालीइसके समतुल्य एक चरणबद्ध (विशेष रूप से, त्रिकोणीय) प्रणाली में बदल जाता है।

गाऊसी विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को व्यावहारिक रूप से हल करते समय, समीकरणों की प्रणाली को नहीं, बल्कि इस प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करना अधिक सुविधाजनक होता है, जो इसकी पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तन करता है। परिवर्तन के दौरान प्राप्त अनुक्रमिक आव्यूह आमतौर पर एक तुल्यता चिह्न से जुड़े होते हैं। यह विधि (जिसे अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है) में जाना जाता है विभिन्न विकल्प 2000 से अधिक वर्षों से।

SLAE के विश्लेषणात्मक समाधान के अलावा, गॉसियन विधि का उपयोग दिए गए मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स को खोजने, मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने और निर्धारक को खोजने के लिए भी किया जाता है।

इसका उद्देश्य पाठ्यक्रम कार्यगाऊसी उन्मूलन विधि द्वारा निर्धारक की गणना का कार्यान्वयन है।

1. समस्या का विवरण

मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स पर गॉसियन एल्गोरिदम चलाना शामिल है। एल्गोरिदम को निष्पादित करने के परिणामस्वरूप, हमें एक विकर्ण मैट्रिक्स प्राप्त होता है, इसका निर्धारक विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है।

. ~. . .

गाऊसी उन्मूलन विधि ए का उपयोग करके मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें।

.

आइए गॉसियन विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स को विकर्ण रूप में कम करें।

~.

तब मैट्रिक्स का निर्धारक विकर्ण पर उसके तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है:

.

चिह्न पंक्ति एक्सचेंजों की संख्या से निर्धारित होता है, इसलिए मैट्रिक्स का निर्धारक है

.

2. समस्या को हल करने के लिए गणितीय और एल्गोरिथम आधार

2.1 मैट्रिक्स निर्धारक

आइए हम किसी भी क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक की परिभाषा का परिचय दें। यह परिभाषा आवर्ती होगी, अर्थात, यह स्थापित करने के लिए कि क्रम n के मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है, आपको पहले से ही यह जानना होगा कि क्रम n-1 के मैट्रिक्स का निर्धारक क्या है। यह भी ध्यान दें कि सारणिक केवल वर्ग आव्यूहों के लिए मौजूद है।

वर्ग मैट्रिक्स A के निर्धारक को द्वारा निरूपित किया जाएगा

या पता ए.

परिभाषा। एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक

दूसरे क्रम का नंबर कहा जाता है

.

सिद्ध

क्रम n का वर्ग मैट्रिक्स,

, नंबर पर कॉल किया क्रम n-1 के मैट्रिक्स का निर्धारक है, जो पहली पंक्ति और स्तंभ संख्या k को हटाकर मैट्रिक्स A से प्राप्त किया जाता है।

2.2 रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि

मान लीजिए कि NxN आकार का एक वर्ग मैट्रिक्स A दिया गया है। इसके निर्धारक की गणना करना आवश्यक है।

आइए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि के विचारों का उपयोग करें।

दी गई प्रणाली:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2

an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn = bn

आइए निम्नलिखित एल्गोरिथम निष्पादित करें।

पहले चरण में, हम पहले कॉलम में सबसे बड़े मापांक वाला तत्व पाएंगे, इस तत्व के साथ समीकरण को पहली पंक्ति में रखेंगे (मैट्रिक्स ए की दो संगत पंक्तियों और वेक्टर बी के दो संबंधित तत्वों का आदान-प्रदान करके) , और फिर हम इस समीकरण को अन्य सभी से घटा देंगे, ताकि पहले कॉलम में सभी तत्व (पहले को छोड़कर) शून्य हो जाएं। उदाहरण के लिए, दूसरी पंक्ति में जोड़ते समय, हम पहली पंक्ति को -a21/a11 से गुणा करेंगे, तीसरी पंक्ति में जोड़ते समय - -a31/a11, आदि से गुणा करेंगे।

दूसरे चरण में, हम दूसरे कॉलम में, दूसरे तत्व से शुरू करते हुए, सबसे बड़े निरपेक्ष मान वाला तत्व पाएंगे, इस तत्व के साथ समीकरण को दूसरी पंक्ति में रखेंगे, और इस समीकरण को अन्य सभी (पहले सहित) से घटा देंगे ), ताकि दूसरे कॉलम में सभी तत्व (दूसरे को छोड़कर) शून्य हो जाएं। यह स्पष्ट है कि यह ऑपरेशन किसी भी तरह से पहले कॉलम को नहीं बदलेगा - आखिरकार, प्रत्येक पंक्ति से हम दूसरी पंक्ति को घटा देंगे, एक निश्चित गुणांक से गुणा करेंगे, और दूसरी पंक्ति में पहले कॉलम में एक शून्य होगा।

वे। i-वें चरण में, हम i-वें कॉलम में, i-वें तत्व से शुरू करते हुए, सबसे बड़े निरपेक्ष मान वाला तत्व पाएंगे, इस तत्व के साथ समीकरण को i-वें लाइन पर रखें, और इस समीकरण को घटाएं अन्य सभी से. यह स्पष्ट है कि यह पिछले सभी कॉलमों (पहले से (i-1)वें तक) को प्रभावित नहीं करेगा।

अंत में, हम सिस्टम को तथाकथित विकर्ण रूप में कम कर देंगे:

वे। हमने सिस्टम का समाधान ढूंढ लिया है.

टिप्पणी 1. प्रत्येक पुनरावृत्ति में कम से कम एक गैर-शून्य तत्व होता है, अन्यथा सिस्टम में एक शून्य निर्धारक होता, जो स्थिति का खंडन करता है।

टिप्पणी 2. यह आवश्यकता कि प्रत्येक चरण में हम सबसे बड़े निरपेक्ष मान वाले तत्व को चुनें, विधि की संख्यात्मक स्थिरता के संदर्भ में बहुत महत्वपूर्ण है। यदि आप एक मनमाना गैर-शून्य तत्व चुनते हैं, तो इससे एक बड़ी त्रुटि हो सकती है जब परिणामी समाधान सही से कई गुना भिन्न होता है।

2.3 सारणिक की गणना के लिए गाऊसी विधि

हम वही क्रियाएं करेंगे जो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय करते हैं, केवल वर्तमान रेखा के विभाजन को a[i][i] द्वारा छोड़कर (अधिक सटीक रूप से, विभाजन स्वयं ही किया जा सकता है, लेकिन यह मानते हुए कि संख्या हटा दी गई है) निर्धारक चिन्ह का)। तब मैट्रिक्स के साथ हम जो भी ऑपरेशन करेंगे, वह साइन के संभावित अपवाद के साथ, मैट्रिक्स के निर्धारक के मूल्य को नहीं बदलेगा (हम केवल दो पंक्तियों को स्वैप करते हैं, जो साइन को विपरीत में बदल देता है, या हम एक पंक्ति जोड़ते हैं) दूसरे के लिए, जो मूल्य निर्धारक को नहीं बदलता है)।

लेकिन गॉसियन एल्गोरिथ्म को क्रियान्वित करने के बाद हम जिस मैट्रिक्स पर पहुंचते हैं वह विकर्ण है, और इसका निर्धारक विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर है। चिह्न, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, लाइन एक्सचेंजों की संख्या से निर्धारित किया जाएगा (यदि वे विषम हैं, तो निर्धारक का चिह्न विपरीत में बदला जाना चाहिए)। इस प्रकार, हम O(N3) में मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने के लिए गॉस एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं।

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि यदि किसी बिंदु पर हमें वर्तमान कॉलम में एक गैर-शून्य तत्व नहीं मिलता है, तो एल्गोरिदम को रुकना चाहिए और 0 लौटाना चाहिए।

3. समस्या के समाधान के लिए कार्यात्मक मॉडल और ब्लॉक आरेख

समस्या को हल करने के लिए ब्लॉक आरेख चित्र 1 में प्रस्तुत किया गया है।

चित्र 1 - DETERMINATE फ़ंक्शन के लिए समस्या को हल करने का फ़्लोचार्ट

4 समस्या समाधान का सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन

;फ़ंक्शन जो निर्धारक की गणना करता है

(डिफ़न निर्धारक (मैट्रिक्स आकार)

;वेरिएबल घोषित करना

;निर्धारक

(घोषणा (विशेष विवरण))

;सहायक सारणियाँ और चर

(घोषणा (विशेष बराबर))

(घोषणा (विशेष आर))

(घोषणा करें (विशेष टी_))

(घोषणा (विशेष I))

(घोषणा (विशेष II))

;*********************

(सेटक्यू आर (मेक-एरे आकार: तत्व-प्रकार "फ्लोट: प्रारंभिक-तत्व 0))

((>= जे (- आकार 1)))

;0 से विभाजन को बाहर निकालें

(आईएफ (= (एआरईएफ मैट्रिक्स जे जे) 0)

(सेटक्यू II (+ जे 1))

;ऐसी पंक्ति की तलाश है जिसमें JTH तत्व 0 नहीं है

((या (/= (एआरईएफ मैट्रिक्स II जे) 0) (= II (- आकार 1))))

(सेटक्यू II (+ II 1))

;यदि ऐसी कोई स्ट्रिंग नहीं है, तो निर्धारक 0 है

(आईएफ (और (= (एआरईएफ मैट्रिक्स II जे) 0) (= II (- आकार 1))) (सेटक्यू टी_ 0))

आइए गॉसियन विधि का उपयोग करके निर्धारक की गणना करें।

विधि का सार इस प्रकार है: प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके निर्धारक को त्रिकोणीय रूप में घटाया जाता है, और फिर यह मुख्य विकर्ण पर तत्वों के उत्पाद के बराबर होता है।

विधि का विचार इस प्रकार है: एक तृतीय-क्रम निर्धारक दिया जाए

तत्व बराबर होना चाहिए
, ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति को विभाजित करें .

हमें प्रपत्र का एक निर्धारक प्राप्त होता है
(2)

आइए पहले कॉलम को छोड़कर, पहले कॉलम के तत्वों को रीसेट करें। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति से गुणा करके घटाएँ
, फिर तीसरी पंक्ति से हम पहली पंक्ति को गुणा करके घटाते हैं . हमें प्रपत्र का एक निर्धारक प्राप्त होता है
.

आइए, इसके तत्वों को अक्षर c से निरूपित करें

(3)

अब हमें तत्व को रीसेट करने की आवश्यकता है . तत्व
बराबर होना चाहिए
, ऐसा करने के लिए, दूसरी पंक्ति को विभाजित करें
. हमें प्रपत्र का एक निर्धारक प्राप्त होता है
.

.

आइए हम इसके तत्वों को अक्षर t से निरूपित करें

(4)

अब हमने सारणिक को त्रिकोणीय रूप में घटा दिया है, अब यह बराबर है
.

आइए अब इसे एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके देखें।

उदाहरण 4:निर्धारक की गणना करें गॉस विधि.

समाधान: पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें (दो कॉलम (पंक्तियों) को प्रतिस्थापित करते समय, निर्धारक विपरीत संकेत में बदल जाता है)।

प्राप्त

दूसरी पंक्ति से हम पहली पंक्ति को 2 से गुणा करके घटाते हैं, फिर तीसरी पंक्ति से हम पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके घटाते हैं। हमें प्राप्त होता है

प्राप्त -

§2.मैट्रिक्स मैट्रिक्स के प्रकार

परिभाषा 7:यदि किसी मैट्रिक्स में m पंक्तियाँ और n कॉलम हैं, तो इसे कहा जाता है आयामएम और लिखो
.

परिभाषा 8:अगर
, तो मैट्रिक्स को वर्ग कहा जाता है।

परिभाषा 9:केवल एक पंक्ति (स्तंभ) से युक्त मैट्रिक्स को पंक्ति (स्तंभ) मैट्रिक्स कहा जाता है।

परिभाषा 10:शून्य से युक्त मैट्रिक्स को शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है।

परिभाषा 11:एक विकर्ण मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण से संबंधित सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं।

परिभाषा 12:एक पहचान मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व एक के बराबर होते हैं।

परिभाषा 13:त्रिकोणीय मैट्रिक्स एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें मुख्य विकर्ण के एक तरफ स्थित तत्व शून्य के बराबर होते हैं।

मैट्रिक्स पर संचालन.

परिभाषा 14:दो आव्यूहों को समान माना जाता है यदि उनमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो और संगत तत्व समान हों।

उदाहरण 5:

आव्यूह A और B बराबर हैं, अर्थात्।

परिभाषा 15:आव्यूह A और B का योग (अंतर) एक आव्यूह C है जिसमें प्रत्येक तत्व बराबर है
.

उदाहरण 6:मैट्रिक्स खोजें
, अगर

समाधान:

जोड़ के गुण

ए+बी=बी+ए (क्रमविनिमेय)

2 0 A+O=A, जहां O शून्य मैट्रिक्स है

3 0 A+(B+C)=(A+B)+C (वितरणात्मक)

4 0 A+(-A)=O, जहां – A विपरीत मैट्रिक्स है

(अर्थात तत्वों के विपरीत चिह्न हैं)

परिभाषा 16:संख्या के आधार पर मैट्रिक्स ए का उत्पाद
किसी दिए गए मैट्रिक्स से उसके सभी तत्वों को एक संख्या से गुणा करके प्राप्त किया गया मैट्रिक्स है .

उदाहरण 7:

मैट्रिक्स गुणन

यह क्रिया तथाकथित सुमेलित आव्यूहों पर लागू होती है।

परिभाषा 17:मैट्रिक्स ए को मैट्रिक्स बी के अनुरूप कहा जाता है यदि मैट्रिक्स ए में स्तंभों की संख्या मैट्रिक्स बी में पंक्तियों की संख्या के बराबर है।

उदाहरण 8:
और
- पर सहमत

और
- असंगत

और
असंगत

परिभाषा 18:दो मैट्रिक्स ए और बी का उत्पाद एक मैट्रिक्स सी है, जिसका प्रत्येक तत्व योग के बराबरमैट्रिक्स ए की आई पंक्ति के तत्वों और मैट्रिक्स बी के जेवें कॉलम के संबंधित तत्वों के उत्पाद।

यदि मैट्रिक्स A का आयाम है
, और मैट्रिक्स बी
, वह
.

उदाहरण 9:आव्यूहों को गुणा करें

उच्च गणित में समस्याओं को हल करते समय, आवश्यकता अक्सर उत्पन्न होती है मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें. मैट्रिक्स का निर्धारक रैखिक बीजगणित, विश्लेषणात्मक ज्यामिति, गणितीय विश्लेषणऔर उच्च गणित की अन्य शाखाएँ। इस प्रकार, निर्धारकों को हल करने के कौशल के बिना ऐसा करना असंभव है। इसके अलावा, स्व-परीक्षण के लिए, आप एक निर्धारक कैलकुलेटर मुफ्त में डाउनलोड कर सकते हैं; यह आपको स्वयं निर्धारकों को हल करना नहीं सिखाएगा, लेकिन यह बहुत सुविधाजनक है, क्योंकि पहले से सही उत्तर जानना हमेशा फायदेमंद होता है!

मैं निर्धारक की कोई सख्त गणितीय परिभाषा नहीं दूंगा, और, सामान्य तौर पर, मैं गणितीय शब्दावली को कम करने का प्रयास करूंगा; इससे अधिकांश पाठकों के लिए यह आसान नहीं होगा। इस लेख का उद्देश्य आपको दूसरे, तीसरे और चौथे क्रम के निर्धारकों को हल करना सिखाना है। सभी सामग्री को सरल और सुलभ रूप में प्रस्तुत किया गया है, और यहां तक ​​कि उच्च गणित में एक पूर्ण (खाली) चायदानी भी, सामग्री का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने के बाद, निर्धारकों को सही ढंग से हल करने में सक्षम होगी।

व्यवहार में, आप अक्सर दूसरे क्रम का निर्धारक पा सकते हैं, उदाहरण के लिए: और तीसरे क्रम का निर्धारक, उदाहरण के लिए: .

चतुर्थ क्रम निर्धारक यह कोई प्राचीन वस्तु भी नहीं है, और हम इस तक पाठ के अंत में पहुँचेंगे।

मुझे आशा है कि हर कोई निम्नलिखित को समझेगा:निर्धारक के अंदर संख्याएँ अपने आप रहती हैं, और किसी भी कटौती का कोई सवाल ही नहीं है! नंबरों की अदला-बदली नहीं की जा सकती!

(विशेष रूप से, आप निर्धारक के चिह्न में परिवर्तन के साथ उसकी पंक्तियों या स्तंभों का जोड़ीवार क्रमपरिवर्तन कर सकते हैं, लेकिन अक्सर यह आवश्यक नहीं है - अगला पाठ देखें निर्धारक के गुण और उसके क्रम में कमी)

इस प्रकार, यदि कोई निर्धारक दिया गया है, तो हम इसके अंदर कुछ भी नहीं छूते हैं!

पदनाम: यदि एक मैट्रिक्स दिया गया है , तो इसका निर्धारक निरूपित किया जाता है। इसके अलावा बहुत बार निर्धारक को भी दर्शाया जाता है लैटिन अक्षरया ग्रीक.

1)किसी निर्धारक को हल करने (खोजने, प्रकट करने) का क्या मतलब है?निर्धारक की गणना करने का अर्थ है संख्या ज्ञात करना। उपरोक्त उदाहरणों में प्रश्न चिह्न पूर्णतः सामान्य संख्याएँ हैं।

2) अब यह पता लगाना बाकी है यह नंबर कैसे पता करें?ऐसा करने के लिए, आपको कुछ नियम, सूत्र और एल्गोरिदम लागू करने की आवश्यकता है, जिन पर अब चर्चा की जाएगी।

आइए निर्धारक "दो" से "दो" से शुरू करें:

कम से कम किसी विश्वविद्यालय में उच्च गणित का अध्ययन करते समय इसे याद रखने की आवश्यकता है।

आइए तुरंत एक उदाहरण देखें:

तैयार। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि संकेतों में भ्रमित न हों।

तीन-बाय-तीन मैट्रिक्स का निर्धारकइसे 8 तरीकों से खोला जा सकता है, इनमें से 2 सामान्य और 6 सामान्य हैं।

चलो दो से शुरू करते हैं सरल तरीके

दो-दो-दो निर्धारक के समान, तीन-तीन-तीन निर्धारक को सूत्र का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है:

सूत्र लंबा है और लापरवाही के कारण गलती होना आसान है। कष्टप्रद गलतियों से कैसे बचें? इस प्रयोजन के लिए, निर्धारक की गणना करने की एक दूसरी विधि का आविष्कार किया गया, जो वास्तव में पहले से मेल खाती है। इसे सारस विधि या "समानांतर स्ट्रिप्स" विधि कहा जाता है।
निचली पंक्ति यह है कि निर्धारक के दाईं ओर, पहले और दूसरे कॉलम को निर्दिष्ट करें और एक पेंसिल से सावधानीपूर्वक रेखाएँ खींचें:

"लाल" विकर्णों पर स्थित गुणक को "प्लस" चिह्न के साथ सूत्र में शामिल किया गया है।
"नीले" विकर्णों पर स्थित गुणक को ऋण चिह्न के साथ सूत्र में शामिल किया गया है:

उदाहरण:

दोनों समाधानों की तुलना करें. यह देखना आसान है कि यह वही चीज़ है, बात बस इतनी है कि दूसरे मामले में सूत्र कारकों को थोड़ा पुनर्व्यवस्थित किया गया है, और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि गलती होने की संभावना बहुत कम है।

अब छह पर नजर डालते हैं सामान्य तरीकेनिर्धारक की गणना करने के लिए

सामान्य क्यों? क्योंकि अधिकांश मामलों में, क्वालीफायर को इस तरह से प्रकट करने की आवश्यकता होती है।

जैसा कि आपने देखा, तीन-बटा-तीन निर्धारक में तीन कॉलम और तीन पंक्तियाँ होती हैं।
आप निर्धारक को खोलकर हल कर सकते हैं किसी पंक्ति द्वारा या किसी स्तंभ द्वारा.
इस प्रकार, सभी मामलों में उपयोग करने वाली 6 विधियाँ हैं एक ही प्रकारएल्गोरिदम.

एक मैट्रिक्स का निर्धारक एक पंक्ति (स्तंभ) के तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होता है बीजगणितीय जोड़. डरावना? सब कुछ बहुत सरल है; हम एक गैर-वैज्ञानिक लेकिन समझने योग्य दृष्टिकोण का उपयोग करेंगे, जो गणित से दूर व्यक्ति के लिए भी सुलभ हो।

अगले उदाहरण में हम सारणिक का विस्तार करेंगे पहली पंक्ति पर.
इसके लिए हमें संकेतों के एक मैट्रिक्स की आवश्यकता है:। यह देखना आसान है कि संकेत एक बिसात के पैटर्न में व्यवस्थित हैं।

ध्यान! साइन मैट्रिक्स मेरा अपना आविष्कार है। यह अवधारणावैज्ञानिक नहीं है, इसे असाइनमेंट के अंतिम डिज़ाइन में उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, यह केवल आपको निर्धारक की गणना के लिए एल्गोरिदम को समझने में मदद करता है।

पहले मैं लाऊंगा संपूर्ण समाधान. हम अपना प्रायोगिक निर्धारक फिर से लेते हैं और गणना करते हैं:

और मुख्य प्रश्न: इसे "तीन बटा तीन" निर्धारक से कैसे प्राप्त करें:
?

तो, "तीन बटा तीन" निर्धारक तीन छोटे निर्धारकों को हल करने के लिए आता है, या जैसा कि उन्हें भी कहा जाता है, मिनोरोव. मैं इस शब्द को याद रखने की सलाह देता हूं, खासकर इसलिए क्योंकि यह यादगार है: छोटा - छोटा।

एक बार निर्धारक के अपघटन की विधि चुन ली जाती है पहली पंक्ति पर, यह स्पष्ट है कि सब कुछ उसके चारों ओर घूमता है:

तत्व आमतौर पर बाएँ से दाएँ देखे जाते हैं (या यदि कोई कॉलम चुना गया हो तो ऊपर से नीचे)

आइए, सबसे पहले हम पंक्ति के पहले तत्व से निपटते हैं, यानी एक से:

1) चिह्नों के मैट्रिक्स से हम संगत चिह्न लिखते हैं:

2) फिर हम तत्व को ही लिखते हैं:

3) मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को काट दें जिसमें पहला तत्व दिखाई देता है:

शेष चार संख्याएँ "दो बटा दो" निर्धारक बनाती हैं, जिसे कहा जाता है नाबालिगकिसी दिए गए तत्व (इकाई) का।

आइए पंक्ति के दूसरे तत्व पर चलते हैं।

4) चिह्नों के मैट्रिक्स से हम संबंधित चिह्न लिखते हैं:

5) फिर दूसरा तत्व लिखें:

6) मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को काट दें जिसमें दूसरा तत्व दिखाई देता है:

खैर, पहली पंक्ति का तीसरा तत्व। कोई मौलिकता नहीं:

7) चिह्नों के मैट्रिक्स से हम संबंधित चिह्न लिखते हैं:

8)तीसरा तत्व लिखिए:

9) मानसिक रूप से उस पंक्ति और स्तंभ को काट दें जिसमें तीसरा तत्व है:

हम शेष चार संख्याओं को एक छोटे सारणिक में लिखते हैं।

शेष क्रियाओं में कोई कठिनाई नहीं होती है, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि दो-दो-दो निर्धारकों की गणना कैसे की जाती है। संकेतों में भ्रमित न हों!

इसी प्रकार, निर्धारक को किसी भी पंक्ति में या किसी भी स्तंभ में विस्तारित किया जा सकता है।स्वाभाविक रूप से, सभी छह मामलों में उत्तर एक ही है।

चार-बटा-चार निर्धारक की गणना उसी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जा सकती है।
इस मामले में, हमारे संकेतों का मैट्रिक्स बढ़ जाएगा:

निम्नलिखित उदाहरण में मैंने निर्धारक का विस्तार किया है चौथे कॉलम के अनुसार:

ऐसा कैसे हुआ, आप खुद ही जानने की कोशिश करें. अतिरिक्त जानकारीबाद में आऊंगा. यदि कोई सारणिक को अंत तक हल करना चाहता है, तो सही उत्तर है: 18. अभ्यास के लिए, सारणिक को किसी अन्य कॉलम या अन्य पंक्ति से हल करना बेहतर है।

अभ्यास करना, उजागर करना, गणना करना बहुत अच्छा और उपयोगी है। लेकिन आप बड़े क्वालीफायर पर कितना समय व्यतीत करेंगे? क्या कोई तेज़ और अधिक विश्वसनीय तरीका नहीं है? मेरा सुझाव है कि आप इससे परिचित हो जाएं प्रभावी तरीकेदूसरे पाठ में निर्धारकों की गणना - निर्धारक के गुण. निर्धारक के क्रम को कम करना.

ध्यान से!

यहां आप रैखिक समीकरणों की प्रणाली को निःशुल्क हल कर सकते हैं गॉस विधि ऑनलाइन बड़े आकारबहुत विस्तृत समाधान के साथ सम्मिश्र संख्याओं में। हमारा कैलकुलेटर गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की सामान्य निश्चित और अनिश्चित दोनों प्रणालियों को ऑनलाइन हल कर सकता है, जिसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं। इस मामले में, उत्तर में आपको कुछ चरों की निर्भरता अन्य, मुक्त चरों के माध्यम से प्राप्त होगी। आप गॉसियन समाधान का उपयोग करके स्थिरता के लिए समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन भी जांच सकते हैं।

मैट्रिक्स आकार: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

विधि के बारे में

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय ऑनलाइन विधिगॉस द्वारा निम्नलिखित चरण निष्पादित किये जाते हैं।

1. हम विस्तारित मैट्रिक्स लिखते हैं.
2. वास्तव में, समाधान को गॉसियन विधि के आगे और पीछे के चरणों में विभाजित किया गया है। गॉसियन विधि का सीधा चरण एक मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करना है। रिवर्सगॉसियन विधि को मैट्रिक्स को एक विशेष चरणबद्ध रूप में कम करना कहा जाता है। लेकिन व्यवहार में, प्रश्न में तत्व के ऊपर और नीचे दोनों जगह जो स्थित है उसे तुरंत शून्य करना अधिक सुविधाजनक है। हमारा कैलकुलेटर बिल्कुल इसी दृष्टिकोण का उपयोग करता है।
3. यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करते समय, मैट्रिक्स में शून्य नहीं के साथ कम से कम एक शून्य पंक्ति की उपस्थिति होती है दाहिनी ओर(मुक्त सदस्यों का कॉलम) सिस्टम की असंगति को इंगित करता है। समाधान रैखिक प्रणालीइस मामले में यह अस्तित्व में नहीं है.

यह समझने के लिए कि गाऊसी एल्गोरिदम ऑनलाइन कैसे काम करता है, कोई भी उदाहरण दर्ज करें, "बहुत विस्तृत समाधान" चुनें और इसका समाधान ऑनलाइन देखें।