Maka a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Penjumlahan nol tidak mengubah bilangan, tetapi jumlah bilangan yang berlawanan adalah nol.
Artinya untuk sembarang bilangan rasional kita mempunyai: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Perkalian bilangan rasional juga mempunyai sifat komutatif dan asosiatif. Dengan kata lain, jika a, b, dan c adalah sembarang bilangan rasional, maka ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Perkalian dengan 1 tidak mengubah suatu bilangan rasional, tetapi hasil kali suatu bilangan dengan inversnya sama dengan 1.
Artinya untuk sembarang bilangan rasional a kita mempunyai:
a) x + 8 - x - 22; c) pagi + 7-8+m;
b) -x-a + 12+a -12; d) 6,1 -k + 2,8 + hal - 8,8 + k - hal.
1190. Setelah memilih prosedur penghitungan yang mudah, temukan nilai ekspresi:
1191. Rumuskan dengan kata sifat komutatif perkalian ab = ba dan periksa bila:
1192. Rumuskan dengan kata-kata sifat asosiatif perkalian a(bc)=(ab)c dan periksa bila:
1193. Memilih urutan perhitungan yang nyaman, temukan nilai ekspresi:
1194. Berapakah bilangan yang didapat (positif atau negatif) jika dikalikan:
a) satu bilangan negatif dan dua bilangan positif;
b) dua bilangan negatif dan satu bilangan positif;
c) 7 bilangan negatif dan beberapa bilangan positif;
d) 20 negatif dan beberapa positif? Menarik kesimpulan.
1195. Tentukan tanda hasil kali:
a) - 2 (- 3) (- 9) (-1.3) 14 (- 2.7) (- 2.9);
b) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
a)B Gym Vitya, Kolya, Petya, Seryozha dan Maxim berkumpul (Gbr. 91, a). Ternyata masing-masing anak laki-laki itu hanya mengenal dua orang lainnya. Siapa yang tahu siapa? (Tepi grafik berarti “kita saling mengenal.”)
b) Saudara laki-laki dan perempuan dari satu keluarga sedang berjalan di halaman. Manakah dari anak-anak berikut yang laki-laki dan mana yang perempuan (Gbr. 91, b)? (Tepi grafik yang bertitik berarti “Saya seorang saudara perempuan”, dan garis padat berarti “Saya seorang saudara laki-laki.”)
1205. Hitung:
1206. Bandingkan:
a) 2 3 dan 3 2; b) (-2) 3 dan (-3) 2; c) 1 3 dan 1 2; d) (-1) 3 dan (-1) 2.
1207. Pembulatan 5,2853 sampai seperseribu; sebelum seperseratus; hingga sepersepuluh; hingga satuan.
1208. Memecahkan masalah:
1) Seorang pengendara sepeda motor mengejar seorang pengendara sepeda. Sekarang jarak antara keduanya adalah 23,4 km. Kecepatan pengendara sepeda motor adalah 3,6 kali kecepatan pengendara sepeda. Hitunglah kecepatan pengendara sepeda dan pengendara sepeda motor jika diketahui pengendara sepeda motor akan menyusul pengendara sepeda tersebut dalam waktu satu jam.
2) Sebuah mobil mengejar bus. Sekarang jarak antara keduanya adalah 18 km. Kecepatan bus sama dengan kecepatan mobil penumpang. Hitunglah kecepatan bus dan mobil tersebut jika diketahui mobil tersebut akan menyusul bus dalam waktu satu jam.
1209. Temukan arti ungkapan:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Periksa perhitungan Anda dengan kalkulator mikro.
1210. Setelah memilih urutan perhitungan yang sesuai, temukan nilai ekspresi: 
1211. Sederhanakan ungkapan:
1212. Temukan arti ungkapan:
1213. Ikuti langkah-langkah berikut:
1214. Siswa diberi tugas mengumpulkan 2,5 ton besi tua. Mereka mengumpulkan 3,2 ton besi tua. Berapa persentase siswa menyelesaikan tugas tersebut dan berapa persentase mereka melampaui tugas tersebut?
1215. Mobil menempuh jarak 240 km. Dari jumlah tersebut, 180 km dia berjalan di sepanjang jalan pedesaan, dan sisanya di sepanjang jalan raya. Konsumsi bensin untuk setiap 10 km jalan pedesaan adalah 1,6 liter, dan di jalan raya - 25% lebih sedikit. Berapa liter rata-rata bensin yang dikonsumsi untuk setiap 10 km perjalanan?
1216. Meninggalkan desa, pengendara sepeda melihat seorang pejalan kaki di jembatan berjalan ke arah yang sama dan menyusulnya 12 menit kemudian. Hitunglah kecepatan seorang pejalan kaki jika kecepatan seorang pengendara sepeda 15 km/jam dan jarak desa ke jembatan 1 km 800 m?
1217. Ikuti langkah-langkah berikut:
a) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
b) -14.31:5.3 - 27.81:2.7 + 2.565:3.42+4.1 0.8;
c) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Orang-orang, seperti yang Anda tahu, mengenal bilangan rasional secara bertahap. Pada awalnya, ketika menghitung benda, bilangan asli muncul. Awalnya jumlah mereka sedikit. Jadi, hingga saat ini, penduduk asli pulau-pulau di Selat Torres (yang memisahkan Papua Nugini dari Australia) dalam bahasa mereka hanya memiliki dua nama angka: “urapun” (satu) dan “okaz” (dua). Penduduk pulau menghitung seperti ini: “Okaza-urapun” (tiga), “Okaza-Okaza” (empat), dll. Penduduk asli menyebut semua angka, mulai dari tujuh, dengan kata yang berarti “banyak”.
Para ilmuwan percaya bahwa kata untuk ratusan muncul lebih dari 7.000 tahun yang lalu, untuk ribuan - 6.000 tahun yang lalu, dan 5.000 tahun yang lalu di Mesir Kuno dan masuk Babel Kuno nama-nama muncul dalam jumlah besar - hingga satu juta. Namun untuk waktu yang lama, rangkaian bilangan alami dianggap terbatas: orang mengira ada bilangan terbesar.
Ahli matematika dan fisika Yunani kuno terbesar Archimedes (287-212 SM) menemukan cara untuk menggambarkan bilangan yang sangat besar. Angka terbesar yang dapat disebutkan oleh Archimedes adalah angka yang begitu besar baginya rekaman digital pita yang dua ribu kali lebih panjang dari jarak yang dibutuhkan Bumi ke Matahari.
Namun mereka belum mampu mencatat angka sebesar itu. Hal ini menjadi mungkin hanya setelah ahli matematika India pada abad ke-6. Angka nol ditemukan dan mulai menunjukkan tidak adanya satuan di tempat desimal suatu angka.
Saat membagi hasil rampasan dan kemudian saat mengukur nilai, dan dalam kasus serupa lainnya, orang menghadapi kebutuhan untuk memperkenalkan “angka rusak” - pecahan biasa. Operasi pecahan pada Abad Pertengahan dianggap yang paling banyak daerah yang kompleks matematika. Sampai hari ini, orang Jerman mengatakan tentang seseorang yang berada dalam situasi sulit bahwa dia “terpecah belah”.
Untuk mempermudah bekerja dengan pecahan, desimal diciptakan pecahan. Di Eropa mereka diperkenalkan pada X585 oleh ahli matematika dan insinyur Belanda Simon Stevin.
Angka negatif muncul lebih lambat dari pecahan. Untuk waktu yang lama angka-angka tersebut dianggap “tidak ada”, “salah” terutama karena interpretasi yang diterima untuk positif dan angka negatif“properti - hutang” menimbulkan kebingungan: Anda dapat menambah atau mengurangi “properti” atau “hutang”, tetapi bagaimana memahami produk atau hasil bagi “properti” dan “hutang”?
Namun, meskipun ada keraguan dan kebingungan, aturan untuk mengalikan dan membagi bilangan positif dan negatif diusulkan pada abad ke-3. matematikawan Yunani Diophantus (dalam bentuk: “Apa yang dikurangi, dikalikan dengan apa yang ditambahkan, menghasilkan pengurang; apa yang dikurangi dengan pengurang menghasilkan apa yang ditambahkan,” dll.), dan kemudian ahli matematika India Bhaskar (abad XII) aturan yang sama diungkapkan dalam konsep “properti”, “hutang” (“Properti dari dua properti atau dua utang adalah properti; produk dari properti dan utang adalah utang.” Aturan yang sama berlaku untuk pembagian).
Ditemukan bahwa sifat-sifat operasi bilangan negatif sama dengan sifat-sifat operasi bilangan positif (misalnya penjumlahan dan perkalian mempunyai sifat komutatif). Dan terakhir, sejak awal abad yang lalu, bilangan negatif menjadi sama dengan bilangan positif.
Belakangan, bilangan baru muncul dalam matematika - irasional, kompleks, dan lain-lain. Anda mempelajarinya di sekolah menengah.
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I.Zhokhov, Matematika untuk kelas 6, Buku teks untuk sekolah menengah
Buku dan buku pelajaran sesuai rencana kalender download matematika kelas 6, bantuan untuk anak sekolah online
Konsep bilangan mengacu pada abstraksi yang mencirikan suatu objek dari sudut pandang kuantitatif. Bahkan pada masyarakat primitif, masyarakat memiliki kebutuhan untuk menghitung benda, sehingga muncullah notasi numerik. Kemudian mereka menjadi dasar matematika sebagai ilmu.
Untuk mengoperasikan konsep matematika, pertama-tama perlu membayangkan jenis bilangan apa yang ada. Ada beberapa jenis angka utama. Ini:
1. Alami - yang kita peroleh saat memberi nomor pada suatu benda (penghitungan alaminya). Himpunannya dilambangkan dengan N.
2. Bilangan bulat (himpunannya dilambangkan dengan huruf Z). Ini termasuk bilangan asli, kebalikannya, bilangan bulat negatif, dan nol.
3. Bilangan rasional (huruf Q). Ini adalah pecahan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, yang pembilangnya sama dengan bilangan bulat, dan penyebutnya sama dengan bilangan asli. Semua utuh dan tergolong rasional.
4. Nyata (ditandai dengan huruf R). Diantaranya adalah bilangan rasional dan irasional. Bilangan diperoleh dari bilangan rasional dengan cara berbagai operasi(menghitung logaritma, mengekstraksi akarnya), yang dengan sendirinya tidak rasional.
Jadi, salah satu himpunan yang terdaftar adalah himpunan bagian dari himpunan berikut. Tesis ini diilustrasikan dengan diagram berbentuk apa yang disebut. lingkaran Euler. Desainnya terdiri dari beberapa oval konsentris, yang masing-masing terletak di dalam yang lain. Oval (luas) bagian dalam dan terkecil menunjukkan himpunan bilangan asli. Ini sepenuhnya mencakup dan mencakup wilayah yang melambangkan himpunan bilangan bulat, yang, pada gilirannya, terkandung dalam wilayah bilangan rasional. Oval terluar dan terbesar, yang mencakup semua oval lainnya, menunjukkan sebuah array
Pada artikel ini kita akan melihat himpunan bilangan rasional, sifat dan fiturnya. Seperti yang telah disebutkan, semua bilangan yang ada (positif, negatif, dan nol) adalah milik mereka. Bilangan rasional membentuk deret tak hingga dengan sifat-sifat sebagai berikut:
Himpunan ini diurutkan, yaitu dengan mengambil pasangan bilangan apa pun dari deret ini, kita selalu dapat mengetahui mana yang lebih besar;
Dengan mengambil pasangan bilangan apa pun, kita selalu dapat menempatkan setidaknya satu bilangan lagi di antara bilangan tersebut, dan, akibatnya, seluruh rangkaian bilangan tersebut - dengan demikian, bilangan rasional mewakili rangkaian tak hingga;
Keempat operasi aritmatika pada bilangan tersebut dimungkinkan, hasilnya selalu berupa bilangan tertentu (juga rasional); pengecualiannya adalah pembagian dengan 0 (nol) - tidak mungkin;
Bilangan rasional apa pun dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal. Pecahan-pecahan ini dapat bersifat periodik berhingga atau tak terhingga.
Untuk membandingkan dua bilangan yang termasuk dalam himpunan rasional, Anda perlu mengingat:
Setiap bilangan positif yang lebih besar dari nol;
Setiap bilangan negatif selalu kurang dari nol;
Saat membandingkan dua bilangan rasional negatif, bilangan yang nilai absolutnya (modulusnya) lebih kecil akan lebih besar.
Bagaimana operasi dilakukan dengan bilangan rasional?
Untuk menjumlahkan dua bilangan yang bertanda sama, Anda perlu menjumlahkan nilai absolutnya dan meletakkannya di depan jumlah tanda umum. Untuk menambahkan angka dengan tanda-tanda yang berbeda seseorang harus mengurangi nilai yang lebih kecil dari nilai yang lebih besar dan memberi tanda pada nilai yang nilai absolutnya lebih besar.
Untuk mengurangkan suatu bilangan rasional dari bilangan rasional lainnya, cukup dengan menjumlahkan kebalikan bilangan kedua ke bilangan pertama. Untuk mengalikan dua angka, Anda perlu mengalikan nilainya nilai absolut. Hasil yang diperoleh akan positif jika faktor-faktornya bertanda sama, dan negatif jika faktor-faktornya berbeda.
Pembagian dilakukan dengan cara yang sama, yaitu dicari hasil bagi dari nilai mutlak, dan hasilnya didahului dengan tanda “+” jika tanda pembagi dan pembaginya berhimpitan, dan tanda “-” jika mereka tidak bertepatan.
Pangkat bilangan rasional terlihat seperti hasil kali beberapa faktor yang setara satu sama lain.
Artikel ini memberikan gambaran umum sifat-sifat operasi dengan bilangan rasional. Pertama, properti dasar yang menjadi dasar semua properti lainnya diumumkan. Setelah ini, beberapa sifat operasi bilangan rasional lainnya yang sering digunakan diberikan.
Navigasi halaman.
Mari kita daftar sifat dasar operasi dengan bilangan rasional(a, b dan c adalah bilangan rasional sembarang):
- Sifat komutatif penjumlahan a+b=b+a.
- Sifat kombinasi penjumlahan (a+b)+c=a+(b+c) .
- Keberadaan unsur netral dengan penjumlahan - nol, penjumlahan dengan bilangan berapa pun tidak mengubah bilangan tersebut, yaitu a+0=a.
- Untuk setiap bilangan rasional a terdapat bilangan lawan −a sehingga a+(−a)=0.
- Sifat komutatif perkalian bilangan rasional a·b=b·a.
- Sifat gabungan perkalian (a·b)·c=a·(b·c) .
- Keberadaan unsur netral pada perkalian adalah suatu satuan, perkalian yang bilangan apapun tidak akan mengubah bilangan tersebut, yaitu a·1=a.
- Untuk setiap bilangan rasional bukan nol a terdapat bilangan invers a −1 sehingga a·a −1 =1 .
- Terakhir, penjumlahan dan perkalian bilangan rasional dihubungkan oleh sifat distributif perkalian relatif terhadap penjumlahan: a·(b+c)=a·b+a·c.
Sifat-sifat operasi bilangan rasional yang terdaftar adalah sifat dasar, karena semua sifat lain dapat diperoleh darinya.
Properti penting lainnya
Selain sembilan sifat dasar operasi bilangan rasional yang tercantum, ada sejumlah sifat yang sangat banyak digunakan. Mari kita berikan kepada mereka ulasan singkat.
Mari kita mulai dengan properti yang ditulis menggunakan huruf sebagai a·(−b)=−(a·b) atau berdasarkan sifat komutatif perkalian sebagai (−a) b=−(ab). Aturan mengalikan bilangan rasional dengan tanda berbeda langsung mengikuti sifat ini; buktinya juga diberikan dalam artikel ini. Properti ini menjelaskan aturan “plus dikalikan dengan minus adalah minus, dan minus dikalikan dengan plus adalah minus.”
Berikut adalah properti berikut: (−a)·(−b)=a·b. Ini menyiratkan aturan perkalian bilangan rasional negatif; dalam artikel ini Anda juga akan menemukan bukti persamaan di atas. Properti ini sesuai dengan aturan perkalian “minus kali minus adalah plus.”
Tidak diragukan lagi, ada baiknya berfokus pada mengalikan bilangan rasional sembarang a dengan nol: a·0=0 atau 0 dan=0. Mari kita buktikan sifat ini. Kita tahu bahwa 0=d+(−d) untuk sembarang d rasional, maka a·0=a·(d+(−d)) . Properti distribusi memungkinkan ekspresi yang dihasilkan untuk ditulis ulang sebagai a·d+a·(−d) , dan karena a·(−d)=−(a·d) , maka a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Jadi kita sampai pada jumlah dua bilangan berlawanan, sama dengan a·d dan −(a·d), jumlah keduanya menghasilkan nol, yang membuktikan persamaan a·0=0.
Sangat mudah untuk memperhatikan bahwa di atas kami hanya mencantumkan sifat-sifat penjumlahan dan perkalian, sementara tidak ada sepatah kata pun yang disebutkan tentang sifat-sifat pengurangan dan pembagian. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa pada himpunan bilangan rasional, tindakan pengurangan dan pembagian masing-masing ditetapkan sebagai kebalikan dari penjumlahan dan perkalian. Artinya, selisih a−b adalah jumlah a+(−b), dan hasil bagi a:b adalah hasil kali a·b−1 (b≠0).
Dengan mengetahui definisi pengurangan dan pembagian, serta sifat dasar penjumlahan dan perkalian, Anda dapat membuktikan sifat apa pun dari operasi bilangan rasional.
Sebagai contoh, mari kita buktikan sifat distribusi perkalian terhadap pengurangan: a·(b−c)=a·b−a·c. Rantai persamaan berikut berlaku: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, itu buktinya.
Hak Cipta oleh siswa yang pandai
Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari www.situs, termasuk materi internal dan desain eksternal, tidak boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.
Pelajaran ini membahas penjumlahan dan pengurangan bilangan rasional. Topiknya tergolong kompleks. Di sini perlu untuk menggunakan seluruh gudang pengetahuan yang diperoleh sebelumnya.
Aturan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat juga berlaku untuk bilangan rasional. Ingatlah bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan, dimana A - ini adalah pembilang pecahan, B adalah penyebut pecahan. Di mana, B tidak boleh nol.
Dalam pelajaran ini, kita akan semakin sering menyebut pecahan dan bilangan campuran dengan satu frasa umum - angka rasional.
Navigasi pelajaran:Contoh 1. Temukan arti dari ungkapan:
Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya. Kami memperhitungkan bahwa tanda tambah yang diberikan dalam ekspresi adalah tanda operasi dan tidak berlaku untuk pecahan. Pecahan ini mempunyai tanda tambah tersendiri yang tidak terlihat karena tidak dituliskan. Namun kami akan menuliskannya untuk kejelasan:
Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Untuk menjumlahkan bilangan rasional yang tandanya berbeda, Anda perlu mengurangkan modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan, beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar. Dan untuk memahami modulus mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil, Anda harus bisa membandingkan modulus pecahan berikut sebelum menghitungnya:
Modulus bilangan rasional lebih besar dari modulus bilangan rasional. Oleh karena itu, kami mengurangi dari . Kami menerima jawaban. Kemudian, dengan mengurangi pecahan ini sebanyak 2, kita mendapatkan jawaban akhirnya.
Beberapa tindakan primitif, seperti memasukkan angka ke dalam tanda kurung dan menambahkan modul, dapat dilewati. Contoh ini dapat ditulis secara singkat:
Contoh 2. Temukan arti dari ungkapan:
Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya. Kami memperhitungkan bahwa minus di antara bilangan rasional adalah tanda operasi dan tidak berlaku untuk pecahan. Pecahan ini mempunyai tanda tambah tersendiri yang tidak terlihat karena tidak dituliskan. Namun kami akan menuliskannya untuk kejelasan:
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan. Izinkan kami mengingatkan Anda bahwa untuk melakukan ini, Anda perlu menambahkan bilangan yang berlawanan dengan pengurang ke dalam minuend:
Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Untuk menjumlahkan bilangan rasional negatif, Anda perlu menjumlahkan modulnya dan memberi tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:
Catatan. Setiap bilangan rasional tidak perlu diapit tanda kurung. Hal ini dilakukan untuk memudahkan, agar dapat melihat dengan jelas tanda-tanda yang dimiliki bilangan rasional.
Contoh 3. Temukan arti dari ungkapan:
Dalam persamaan ini, pecahan mempunyai penyebut yang berbeda. Untuk mempermudah tugas kita, mari kita kurangi pecahan-pecahan ini menjadi penyebut yang sama. Kami tidak akan membahas secara rinci bagaimana melakukan ini. Jika Anda mengalami kesulitan, pastikan untuk mengulangi pelajaran tersebut.
Setelah pecahan direduksi menjadi penyebut yang sama, persamaannya akan berbentuk sebagai berikut:
Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:
Mari kita tuliskan solusi contoh ini secara singkat:
Contoh 4. Temukan nilai sebuah ekspresi
Mari kita hitung ekspresi ini sebagai berikut: tambahkan bilangan rasional dan kemudian kurangi bilangan rasional dari hasil yang dihasilkan. 
Tindakan pertama:
Tindakan kedua:
Contoh 5. Temukan arti dari ungkapan:
Mari kita nyatakan bilangan bulat −1 sebagai pecahan, dan ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:
Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:
Kami memperoleh penjumlahan bilangan rasional dengan tanda berbeda. Kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:
Kami menerima jawaban.
Ada solusi kedua. Ini terdiri dari menyatukan seluruh bagian secara terpisah.
Jadi, mari kita kembali ke ekspresi aslinya:
Mari kita lampirkan setiap angka dalam tanda kurung. Untuk melakukan ini, nomor campuran bersifat sementara:
Mari kita hitung bagian bilangan bulatnya:
(−1) + (+2) = 1
Dalam ekspresi utama, alih-alih (−1) + (+2), kita menulis unit yang dihasilkan:
Ekspresi yang dihasilkan adalah . Caranya, tuliskan satuan dan pecahannya bersama-sama:
Mari kita tulis solusinya dengan cara yang lebih singkat:
Contoh 6. Temukan nilai sebuah ekspresi
Mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa. Mari kita tulis ulang sisanya tanpa mengubah:
Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:
Mari kita tuliskan solusi contoh ini secara singkat:
Contoh 7. Temukan nilai sebuah ekspresi
Mari kita nyatakan bilangan bulat −5 sebagai pecahan, dan ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:
Mari kita bawa pecahan-pecahan ini ke penyebut yang sama. Setelah direduksi menjadi penyebut yang sama, maka akan berbentuk sebagai berikut:
Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:
Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modul angka-angka ini dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:
Jadi, nilai ekspresi tersebut adalah .
Mari selesaikan contoh ini dengan cara kedua. Mari kita kembali ke ekspresi awal:
Mari kita tulis bilangan campuran dalam bentuk diperluas. Mari kita tulis ulang sisanya tanpa perubahan:
Kami mengapit setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:
Mari kita hitung bagian bilangan bulatnya:
Dalam ekspresi utama, alih-alih menulis angka yang dihasilkan −7
Ekspresi tersebut merupakan bentuk perluasan penulisan bilangan campuran. Kita tuliskan bilangan −7 dan pecahannya untuk membentuk jawaban akhir:
Mari kita tuliskan solusi ini secara singkat:
Contoh 8. Temukan nilai sebuah ekspresi
Kami mengapit setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:
Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modul angka-angka ini dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:
Jadi nilai dari ekspresi tersebut adalah
Contoh ini dapat diselesaikan dengan cara kedua. Ini terdiri dari penjumlahan bagian utuh dan pecahan secara terpisah. Mari kita kembali ke ekspresi awal:
Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya:
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:
Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modul angka-angka ini dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan. Namun kali ini kita akan menjumlahkan seluruh bagian (−1 dan −2), baik pecahan maupun
Mari kita tuliskan solusi ini secara singkat:
Contoh 9. Temukan ekspresi ekspresi 
Mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:
Mari kita lampirkan bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tandanya. Bilangan rasional tidak perlu dimasukkan ke dalam tanda kurung, karena sudah ada di dalam tanda kurung:
Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modul angka-angka ini dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:
Jadi nilai dari ekspresi tersebut adalah
Sekarang mari kita coba menyelesaikan contoh yang sama dengan cara kedua, yaitu dengan menjumlahkan bilangan bulat dan bagian pecahan terpisah.
Kali ini, untuk mendapatkan solusi singkatnya, mari kita coba lewati beberapa langkah, seperti menulis bilangan campuran dalam bentuk diperluas dan mengganti pengurangan dengan penjumlahan:
Harap dicatat bahwa bagian pecahan telah direduksi menjadi penyebut yang sama.
Contoh 10. Temukan nilai sebuah ekspresi 
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:
Ekspresi yang dihasilkan tidak mengandung angka negatif, yang merupakan penyebab utama kesalahan. Dan karena tidak ada bilangan negatif, kita dapat menghilangkan tanda plus di depan tanda pengurang dan juga menghilangkan tanda kurung:
Hasilnya adalah ekspresi sederhana yang mudah dihitung. Mari kita hitung dengan cara apa pun yang nyaman bagi kita:
Contoh 11. Temukan nilai sebuah ekspresi
Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Mari kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:
Contoh 12. Temukan nilai sebuah ekspresi 
Ekspresi tersebut terdiri dari beberapa bilangan rasional. Menurutnya, pertama-tama Anda perlu melakukan langkah-langkah dalam tanda kurung.
Pertama, kita menghitung ekspresinya, lalu kita menjumlahkan hasil yang diperoleh.
Tindakan pertama:
Tindakan kedua:
Tindakan ketiga:
Menjawab: nilai ekspresi sama
Contoh 13. Temukan nilai sebuah ekspresi 
Mari kita ubah bilangan campuran menjadi pecahan biasa:
Mari kita masukkan bilangan rasional ke dalam tanda kurung beserta tandanya. Bilangan rasional tidak perlu dimasukkan ke dalam tanda kurung, karena sudah ada di dalam tanda kurung:
Mari kita bawa pecahan-pecahan ini ke penyebut yang sama. Setelah direduksi menjadi penyebut yang sama, maka akan berbentuk sebagai berikut:
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:
Kami memperoleh penjumlahan bilangan rasional dengan tanda berbeda. Mari kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:
Demikianlah arti dari ungkapan tersebut sama
Mari kita lihat penjumlahan dan pengurangan desimal, yang juga merupakan bilangan rasional dan dapat bernilai positif atau negatif.
Contoh 14. Temukan nilai ekspresi −3.2 + 4.3
Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya. Kami memperhitungkan bahwa tanda tambah yang diberikan dalam ekspresi adalah tanda operasi dan tidak berlaku untuk pecahan desimal 4.3. Pecahan desimal ini mempunyai tanda plus tersendiri yang tidak terlihat karena tidak dituliskan. Namun kami akan menuliskannya untuk kejelasan:
(−3,2) + (+4,3)
Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Untuk menjumlahkan bilangan rasional dengan tanda berbeda, Anda perlu mengurangkan modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawaban yang dihasilkan, masukkan bilangan rasional yang modulnya lebih besar. Dan untuk memahami modul mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil, Anda harus bisa membandingkan modul pecahan desimal berikut sebelum menghitungnya:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Modulus bilangan 4.3 lebih besar dari modulus bilangan −3.2, jadi kita kurangi 3.2 dari 4.3. Kami menerima jawabannya 1.1. Jawabannya positif, karena jawabannya harus didahului dengan tanda bilangan rasional yang modulusnya lebih besar. Dan modulus bilangan 4.3 lebih besar dari modulus bilangan −3.2
Jadi, nilai ekspresi −3.2 + (+4.3) adalah 1.1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Contoh 15. Temukan nilai ekspresi 3.5 + (−8.3)
Ini adalah penjumlahan bilangan rasional yang tandanya berbeda. Seperti pada contoh sebelumnya, kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar dan sebelum jawabannya kita beri tanda bilangan rasional yang modulnya lebih besar:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Jadi, nilai ekspresi 3.5 + (−8.3) adalah −4.8
Contoh ini dapat ditulis secara singkat:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Contoh 16. Temukan nilai ekspresi −7.2 + (−3.11)
Ini adalah penjumlahan bilangan rasional negatif. Untuk menjumlahkan bilangan rasional negatif, Anda perlu menjumlahkan modulnya dan memberi tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan.
Anda dapat melewati entri dengan modul agar tidak mengacaukan ekspresi:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Jadi, nilai ekspresi −7.2 + (−3.11) adalah −10.31
Contoh ini dapat ditulis secara singkat:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Contoh 17. Temukan nilai ekspresi −0.48 + (−2.7)
Ini adalah penjumlahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modulnya dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan. Anda dapat melewati entri dengan modul agar tidak mengacaukan ekspresi:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Contoh 18. Temukan nilai ekspresi −4.9 − 5.9
Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya. Kami memperhitungkan bahwa minus, yang terletak di antara bilangan rasional −4.9 dan 5.9, merupakan tanda operasi dan bukan milik bilangan 5.9. Bilangan rasional ini mempunyai tanda tambah tersendiri yang tidak terlihat karena tidak dituliskan. Namun kami akan menuliskannya untuk kejelasan:
(−4,9) − (+5,9)
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:
(−4,9) + (−5,9)
Kami memperoleh penambahan bilangan rasional negatif. Mari tambahkan modulnya dan beri tanda minus di depan jawaban yang dihasilkan:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Jadi, nilai ekspresi −4.9 − 5.9 adalah −10.8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Contoh 19. Temukan nilai ekspresi 7 − 9.3
Mari kita masukkan setiap angka ke dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya.
(+7) − (+9,3)
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Jadi, nilai ekspresi 7 − 9.3 adalah −2.3
Mari kita tuliskan solusi contoh ini secara singkat:
7 − 9,3 = −2,3
Contoh 20. Temukan nilai ekspresi −0.25 − (−1.2)
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan:
−0,25 + (+1,2)
Kami memperoleh penjumlahan bilangan rasional dengan tanda berbeda. Mari kita kurangi modul yang lebih kecil dari modul yang lebih besar, dan sebelum jawabannya kita beri tanda bilangan yang modulnya lebih besar:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Mari kita tuliskan solusi contoh ini secara singkat:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Contoh 21. Temukan nilai ekspresi −3.5 + (4.1 − 7.1)
Mari kita lakukan tindakan dalam tanda kurung, lalu tambahkan jawaban yang dihasilkan dengan angka −3.5
Tindakan pertama:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Tindakan kedua:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Menjawab: nilai ekspresi −3.5 + (4.1 − 7.1) adalah −6.5.
Contoh 22. Temukan nilai ekspresi (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1)
Mari lakukan langkah-langkah dalam tanda kurung. Kemudian, dari bilangan yang diperoleh dari pelaksanaan tanda kurung pertama, kurangi dengan bilangan yang diperoleh dari pelaksanaan tanda kurung kedua:
Tindakan pertama:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Tindakan kedua:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Babak ketiga
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Menjawab: nilai ekspresi (3.5 − 2.9) − (3.7 − 9.1) adalah 6.
Contoh 23. Temukan nilai sebuah ekspresi −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Mari kita lampirkan setiap bilangan rasional dalam tanda kurung beserta tanda-tandanya
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Mari kita ganti pengurangan dengan penjumlahan jika memungkinkan:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Ungkapan tersebut terdiri dari beberapa istilah. Menurut hukum penjumlahan kombinasi, jika suatu ekspresi terdiri dari beberapa suku, maka jumlahnya tidak akan bergantung pada urutan tindakan. Artinya, persyaratan dapat ditambahkan dalam urutan apa pun.
Mari kita tidak menemukan kembali rodanya, tetapi tambahkan semua istilah dari kiri ke kanan sesuai urutan kemunculannya:
Tindakan pertama:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Tindakan kedua:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Tindakan ketiga:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Menjawab: nilai ekspresi −3.8 + 17.15 − 6.2 − 6.15 adalah 1.
Contoh 24. Temukan nilai sebuah ekspresi
Mari kita terjemahkan desimal−1,8 dalam bilangan campuran. Mari kita tulis ulang sisanya tanpa mengubah:
