Berdasarkan segmen sebut bagian dari garis lurus yang terdiri dari semua titik pada garis ini yang terletak di antara dua titik ini - disebut ujung segmen.
Mari kita lihat contoh pertama. Misalkan suatu segmen ditentukan oleh dua titik pada bidang koordinat. DI DALAM pada kasus ini kita dapat mencari panjangnya dengan menerapkan teorema Pythagoras.
Jadi, dalam sistem koordinat kita menggambar sebuah segmen dengan koordinat ujung-ujungnya yang diberikan(x1; y1) Dan (x2; y2) . Pada sumbu X Dan Y Gambarlah garis tegak lurus dari ujung ruas tersebut. Mari kita tandai dengan warna merah segmen-segmen yang merupakan proyeksi dari segmen asal pada sumbu koordinat. Setelah ini, kami memindahkan segmen proyeksi sejajar dengan ujung segmen. Kami mendapatkan segitiga (persegi panjang). Sisi miring segitiga ini adalah ruas AB itu sendiri, dan kaki-kakinya adalah proyeksi yang ditransfer.
Mari kita hitung panjang proyeksi ini. Jadi, ke porosnya Y panjang proyeksi adalah y2-y1 , dan pada sumbu X panjang proyeksi adalah x2-x1 . Mari kita terapkan teorema Pythagoras: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . Pada kasus ini |AB| adalah panjang segmen.
Jika Anda menggunakan diagram ini untuk menghitung panjang suatu segmen, Anda bahkan tidak perlu membuat segmen tersebut. Sekarang mari kita hitung panjang ruas dengan koordinat (1;3) Dan (2;5) . Menerapkan teorema Pythagoras, kita mendapatkan: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Artinya panjang ruas kita sama dengan 5:1/2 .
Perhatikan cara berikut untuk mencari panjang suatu ruas. Untuk melakukan ini, kita perlu mengetahui koordinat dua titik dalam suatu sistem. Mari kita pertimbangkan opsi ini menggunakan sistem koordinat Cartesian dua dimensi.
Jadi, dalam sistem koordinat dua dimensi, koordinat titik-titik ekstrem dari segmen tersebut diberikan. Jika kita menggambar garis lurus yang melalui titik-titik tersebut harus tegak lurus terhadap sumbu koordinat, maka kita peroleh segitiga siku-siku. Ruas asal akan menjadi sisi miring dari segitiga yang dihasilkan. Kaki-kaki suatu segitiga membentuk ruas-ruas, panjangnya sama dengan proyeksi sisi miring pada sumbu koordinat. Berdasarkan teorema Pythagoras, kami menyimpulkan: untuk mencari panjang suatu segmen, Anda perlu mencari panjang proyeksi pada dua sumbu koordinat.
Mari kita cari panjang proyeksinya (X dan Y) segmen asli ke sumbu koordinat. Kami menghitungnya dengan mencari perbedaan koordinat titik-titik sepanjang sumbu yang terpisah: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Hitung panjang segmen tersebut A , untuk ini kita menemukan akar kuadrat:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Jika ruas kita terletak di antara titik-titik yang koordinatnya 2;4 Dan 4;1 , maka panjangnya sama dengan √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
Artikel di bawah ini akan membahas masalah pencarian koordinat titik tengah suatu ruas jika koordinat titik ekstrimnya tersedia sebagai data awal. Namun sebelum kita mulai mempelajari masalah ini, mari kita kenalkan beberapa definisi.
Yandex.RTB RA-339285-1 Definisi 1
Segmen garis– garis lurus yang menghubungkan dua titik sembarang, yang disebut ujung suatu segmen. Sebagai contoh, misalkan ini adalah titik A dan B dan, karenanya, segmen A B.
Jika ruas A B dilanjutkan pada kedua arah dari titik A dan B, diperoleh garis lurus A B. Maka ruas A B merupakan bagian dari garis lurus yang dihasilkan, dibatasi oleh titik A dan B. Ruas A B menyatukan titik A dan B yang merupakan ujung-ujungnya, serta himpunan titik-titik yang terletak di antara keduanya. Jika, misalnya, kita mengambil sembarang titik K yang terletak di antara titik A dan B, kita dapat mengatakan bahwa titik K terletak pada ruas A B.
Definisi 2
Panjang bagian– jarak antara ujung-ujung suatu ruas pada skala tertentu (segmen dengan satuan panjang). Mari kita nyatakan panjang segmen A B sebagai berikut: A B .
Definisi 3
Titik tengah segmen– suatu titik yang terletak pada suatu ruas dan berjarak sama dari ujung-ujungnya. Jika titik tengah segmen A B ditentukan oleh titik C, maka persamaannya benar: A C = C B
Data awal: garis koordinat O x dan titik-titik tidak berimpit di atasnya: A dan B. Poin-poin ini sesuai dengan bilangan real x A dan x B . Titik C berada di tengah ruas A B: perlu ditentukan koordinatnya x C .
Karena titik C adalah titik tengah ruas A B, maka persamaannya benar: | AC | = | C B | . Jarak antar titik ditentukan oleh modulus selisih koordinatnya, yaitu.
| AC | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Maka dua persamaan yang mungkin terjadi: x C - x A = x B - x C dan x C - x A = - (x B - x C)
Dari persamaan pertama kita peroleh rumus koordinat titik C: x C = x A + x B 2 (setengah jumlah koordinat ujung-ujung ruas).
Dari persamaan kedua kita peroleh: x A = x B, yang tidak mungkin karena dalam data awal - poin yang tidak bertepatan. Dengan demikian, rumus menentukan koordinat titik tengah ruas A B dengan ujung A (x A) dan B(xB):
Rumus yang dihasilkan akan menjadi dasar untuk menentukan koordinat titik tengah suatu ruas pada suatu bidang atau ruang.
Data awal: sistem koordinat persegi panjang pada bidang O x y, dua titik sembarang yang tidak berimpit dengan koordinat tertentu A x A, y A dan B x B, y B. Titik C berada di tengah ruas A B. Koordinat x C dan y C untuk titik C harus ditentukan.
Mari kita analisis kasus ketika titik A dan B tidak berimpit dan terletak pada garis koordinat yang sama atau garis yang tegak lurus salah satu sumbu. SEBUAH x , SEBUAH kamu ; B x, B y dan C x, C y - proyeksi titik A, B dan C pada sumbu koordinat (garis lurus O x dan O y).
Menurut konstruksinya, garis A A x, B B x, C C x sejajar; garis-garisnya juga sejajar satu sama lain. Bersamaan dengan ini, menurut teorema Thales, dari persamaan AC = C B persamaan berikut: A x C x = C x B x dan A y C y = C y B y, dan keduanya menunjukkan bahwa titik C x adalah titik tengah ruas A x B x, dan C y adalah tengah ruas A y B y. Kemudian, berdasarkan rumus yang diperoleh sebelumnya, kita mendapatkan:
x C = x A + x B 2 dan y C = y A + y B 2
Rumus yang sama dapat digunakan jika titik A dan B terletak pada garis koordinat yang sama atau garis yang tegak lurus salah satu sumbu. Mengadakan analisis terperinci Kami tidak akan mempertimbangkan kasus ini, kami hanya akan mempertimbangkannya secara grafis:
Meringkas semua hal di atas, koordinat titik tengah ruas A B pada bidang dengan koordinat ujung-ujungnya SEBUAH (x SEBUAH , y SEBUAH) Dan B(xB, yB) didefinisikan sebagai:
(x A + x B 2 , kamu A + kamu B 2)
Data awal: sistem koordinat O x y z dan dua titik sembarang dengan koordinat tertentu A (x A, y A, z A) dan B (x B, y B, z B). Kita perlu menentukan koordinat titik C yang merupakan titik tengah ruas A B.
SEBUAH x , SEBUAH y , SEBUAH z ; B x , B y , B z dan C x , C y , C z - proyeksi semuanya poin yang diberikan pada sumbu sistem koordinat.
Menurut teorema Thales, persamaan berikut ini benar: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Oleh karena itu, titik C x , C y , C z masing-masing adalah titik tengah segmen A x B x , A y B y , A z B z . Kemudian, Untuk menentukan koordinat titik tengah suatu ruas ruang, rumus berikut ini benar:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
Rumus yang dihasilkan juga dapat diterapkan jika titik A dan B terletak pada salah satu garis koordinat; pada garis lurus yang tegak lurus salah satu sumbu; dalam satu bidang koordinat atau bidang yang tegak lurus terhadap salah satu bidang koordinat.
Menentukan koordinat titik tengah suatu ruas melalui koordinat vektor jari-jari ujung-ujungnya
Rumus untuk mencari koordinat tengah suatu ruas juga dapat diturunkan berdasarkan interpretasi aljabar vektor.
Data awal: sistem koordinat kartesius persegi panjang O x y, titik-titik dengan koordinat tertentu A (x A, y A) dan B (x B, x B). Titik C berada di tengah ruas A B.
Menurut definisi geometri tindakan pada vektor, persamaan berikut ini berlaku: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Titik C dalam hal ini adalah titik potong diagonal-diagonal jajar genjang yang dibangun berdasarkan vektor O A → dan O B →, yaitu. titik tengah diagonal Koordinat vektor jari-jari titik sama dengan koordinat titik, maka persamaan yang benar adalah: O A → = (x A, y A), O B → = (x B , kamu B). Mari kita lakukan beberapa operasi pada vektor dalam koordinat dan dapatkan:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
Oleh karena itu, titik C mempunyai koordinat:
x A + x B 2 , kamu A + kamu B 2
Dengan analogi, rumus ditentukan untuk mencari koordinat tengah suatu segmen dalam ruang:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Contoh penyelesaian masalah mencari koordinat titik tengah suatu ruas
Di antara soal-soal yang melibatkan penggunaan rumus-rumus yang diperoleh di atas, ada soal-soal yang pertanyaan langsungnya adalah menghitung koordinat titik tengah segmen, dan soal-soal yang melibatkan membawa kondisi yang diberikan ke pertanyaan ini: istilah "median" sering digunakan, tujuannya adalah untuk menemukan koordinat salah satu dari ujung-ujung suatu segmen, dan masalah simetri juga umum terjadi, penyelesaiannya secara umum juga tidak akan menimbulkan kesulitan setelah mempelajari topik ini. Mari kita lihat contoh-contoh tipikal.
Contoh 1
Data awal: pada bidang - titik dengan koordinat tertentu A (- 7, 3) dan B (2, 4). Kita perlu mencari koordinat titik tengah ruas A B.
Larutan
Mari kita nyatakan titik tengah segmen A B dengan titik C. Koordinatnya akan ditentukan sebagai setengah jumlah koordinat ujung-ujung segmen, yaitu. poin A dan B.
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Menjawab: koordinat titik tengah ruas A B - 5 2, 7 2.
Contoh 2
Data awal: diketahui koordinat segitiga A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Kita perlu mencari panjang median A M.
Larutan
- Sesuai dengan kondisi soal, AM adalah median, artinya M adalah titik tengah segmen B C . Pertama-tama, mari kita cari koordinat titik tengah segmen B C, yaitu. M poin:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Karena sekarang kita mengetahui koordinat kedua ujung median (titik A dan M), kita dapat menggunakan rumus untuk menentukan jarak antar titik dan menghitung panjang median AM:
AM = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Menjawab: 58
Contoh 3
Data awal: dalam sistem koordinat persegi panjang ruang tiga dimensi diberikan paralelepiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Diberikan koordinat titik C 1 (1, 1, 0), dan ditentukan pula titik M yang merupakan titik tengah diagonal B D 1 dan mempunyai koordinat M (4, 2, - 4). Kita perlu menghitung koordinat titik A.
Larutan
Diagonal-diagonal suatu paralelepiped berpotongan di satu titik, yang merupakan titik tengah semua diagonal. Berdasarkan pernyataan tersebut, kita dapat mengingat bahwa titik M yang diketahui dari kondisi soal adalah titik tengah ruas A C 1. Berdasarkan rumus mencari koordinat titik tengah suatu ruas ruang, kita mencari koordinat titik A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Menjawab: koordinat titik A (7, 3, - 8).
Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter
Ada tiga sistem koordinat utama yang digunakan dalam geometri, mekanika teoritis, cabang fisika lainnya: Cartesian, kutub dan bola. Dalam sistem koordinat ini, seluruh titik mempunyai tiga koordinat. Dengan mengetahui koordinat 2 titik, Anda dapat menentukan jarak antara kedua titik tersebut.
Anda akan perlu
- Koordinat kartesius, kutub, dan bola dari ujung-ujung suatu segmen
instruksi
1. Pertama, perhatikan sistem koordinat Cartesian persegi panjang. Lokasi suatu titik dalam ruang dalam sistem koordinat ini ditentukan koordinat x,y dan z. Vektor radius ditarik dari titik asal ke titik. Proyeksi vektor jari-jari ini pada sumbu koordinat adalah koordinat titik ini Biarkan Anda sekarang memiliki dua titik dengan koordinat x1,y1,z1 dan x2,y2 dan z2 masing-masing. Dilambangkan dengan r1 dan r2, masing-masing, vektor jari-jari titik pertama dan ke-2. Ternyata jarak kedua titik tersebut sama dengan modulus vektor r = r1-r2, dimana (r1-r2) adalah selisih vektor.Koordinat vektor r ternyata adalah sebagai berikut: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Maka besar vektor r atau jarak antara dua titik sama dengan: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).
2. Sekarang perhatikan sistem koordinat kutub di mana koordinat suatu titik akan diberikan oleh koordinat radial r (vektor radius pada bidang XY), koordinat sudut? (sudut antara vektor r dan sumbu X) dan koordinat z, mirip dengan koordinat z pada sistem kartesius.Koordinat kutub suatu titik dapat diubah menjadi koordinat kartesius dengan cara berikut: x = r*cos? , y = r*dosa?, z = z. Maka jarak antara dua titik dengan koordinat r1, ?1 ,z1 dan r2, ?2, z2 akan sama dengan R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = kuadrat((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))
3. Sekarang lihat sistem koordinat bola. Di dalamnya, lokasi titik ditentukan oleh tiga koordinat R, ? Dan?. r – jarak dari titik asal ke titik, ? Dan? – sudut azimut dan puncak, masing-masing. Sudut? mirip dengan sudut dengan sebutan yang sama pada sistem koordinat kutub ya? – sudut antara vektor jari-jari r dan sumbu Z, dengan 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с koordinat r1, ?1, ?1 dan r2, ?2 dan ?2 akan sama dengan R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *dosa?1*dosa?1-r2*dosa?2*dosa?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*dosa ?1 )^2)+((r2*dosa?2)^2)-2r1*r2*dosa?1*dosa?2*(cos?1*cos?2+dosa?1*dosa?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
Video tentang topik tersebut
Panjang suatu segmen dapat ditentukan dengan berbagai cara. Untuk mengetahui cara mencari panjang suatu ruas, cukup memiliki penggaris atau mengetahui rumus khusus untuk menghitungnya.
Panjang suatu ruas menggunakan penggaris
Untuk melakukan ini, kita menerapkan penggaris dengan pembagian milimeter ke segmen yang dibuat pada bidang, dan titik awalnya harus sejajar dengan nol skala penggaris. Maka Anda harus menandai pada skala ini lokasi titik akhir segmen ini. Jumlah pembagian skala utuh yang dihasilkan akan menjadi panjang segmen, dinyatakan dalam cm dan mm.
Metode koordinat bidang
Jika koordinat ruas (x1;y1) dan (x2;y2) diketahui, maka panjangnya harus dihitung sebagai berikut. Koordinat titik pertama harus dikurangi dengan koordinat pada bidang titik kedua. Hasilnya harus berupa dua angka. Masing-masing bilangan tersebut harus dikuadratkan, lalu dicari jumlah kuadratnya. Dari angka yang dihasilkan, Anda harus mengekstrak akar kuadrat, yang akan menjadi jarak antar titik. Karena titik-titik ini adalah ujung segmen, nilai ini adalah panjangnya.
Mari kita lihat contoh cara mencari panjang suatu segmen menggunakan koordinat. Terdapat koordinat dua titik (-1;2) dan (4;7). Saat mencari selisih koordinat titik-titik, diperoleh nilai sebagai berikut: x = 5, y = 5. Angka-angka yang dihasilkan akan menjadi koordinat segmen tersebut. Kemudian kita kuadratkan setiap bilangan dan mencari jumlah hasilnya, sama dengan 50. Kita ambil akar kuadrat dari bilangan ini. Hasilnya adalah: 5 akar dari 2. Ini adalah panjang ruasnya.
Metode koordinat dalam ruang
Untuk melakukan ini, Anda perlu mempertimbangkan cara mencari panjang suatu vektor. Inilah yang akan menjadi segmen dalam ruang Euclidean. Hal ini ditemukan dengan cara yang hampir sama dengan panjang suatu segmen pada bidang. Vektor dibangun di bidang yang berbeda. Bagaimana cara mencari panjang suatu vektor?
- Temukan koordinat vektor; untuk melakukan ini, kurangi koordinat titik awalnya dari koordinat titik akhirnya.
- Setelah ini, Anda perlu mengkuadratkan setiap koordinat vektor.
- Lalu kita jumlahkan koordinat kuadratnya.
- Untuk mencari panjang suatu vektor, Anda perlu mengambil akar kuadrat dari jumlah kuadrat koordinatnya.
Mari kita lihat algoritma perhitungan menggunakan sebuah contoh. Kita perlu mencari koordinat vektor AB. Titik A dan B mempunyai koordinat sebagai berikut: A (1;6;3) dan B (3;-1;7). Awal vektor terletak di titik A, ujungnya terletak di titik B. Jadi, untuk mencari koordinatnya, perlu dikurangi koordinat titik A dari koordinat titik B: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7:4).
Sekarang kita mengkuadratkan setiap koordinat dan menjumlahkannya: 4+49+16=69. Terakhir, dibutuhkan akar kuadrat dari bilangan yang diberikan. Sulit untuk mengekstraknya, jadi kita tulis hasilnya seperti ini: panjang vektor sama dengan akar 69.
Jika Anda tidak penting untuk menghitung sendiri panjang segmen dan vektor, tetapi hanya membutuhkan hasilnya, maka Anda dapat menggunakan kalkulator online, misalnya yang ini.
Sekarang, setelah mempelajari metode ini dan mempertimbangkan contoh yang disajikan, Anda dapat dengan mudah menemukan panjang suatu segmen dalam soal apa pun.
Pada artikel kali ini kita akan membahas tentang mencari koordinat titik tengah suatu ruas dari koordinat ujung-ujungnya. Pertama, kita akan memberikan konsep-konsep yang diperlukan, kemudian kita akan memperoleh rumus untuk mencari koordinat titik tengah suatu segmen, dan sebagai kesimpulan kita akan mempertimbangkan solusi dari contoh dan masalah yang umum.
Navigasi halaman.
Konsep segmen tengah.
Untuk mengenalkan konsep titik tengah suatu ruas, diperlukan definisi ruas dan panjangnya.
Konsep ruas yang diberikan dalam pelajaran matematika kelas V SMA adalah sebagai berikut: jika kita mengambil dua titik sembarang A dan B yang tidak berhimpitan, tempelkan penggaris padanya dan tarik garis dari A ke B (atau dari B ke A), maka kita dapatkan segmen AB(atau segmen B A). Titik A dan B disebut ujung segmen. Perlu diingat bahwa ruas AB dan ruas BA adalah ruas yang sama.
Jika ruas AB dilanjutkan tanpa batas waktu pada kedua arah dari ujungnya, maka kita peroleh lurus AB(atau VA langsung). Ruas AB adalah bagian dari garis AB yang terletak di antara titik A dan B. Jadi, ruas AB merupakan gabungan titik A, B dan himpunan semua titik garis lurus AB yang terletak di antara titik A dan B. Jika kita mengambil sembarang titik M dari garis lurus AB yang terletak di antara titik A dan B, maka kita sebut titik M berbohong pada segmen AB.
Panjang segmen AB adalah jarak antara titik A dan B pada skala tertentu (segmen satuan panjang). Kami akan menyatakan panjang segmen AB sebagai .
Definisi.
Dot C dipanggil titik tengah segmen AB, jika terletak pada ruas AB dan jaraknya sama dari ujung-ujungnya.
Artinya, jika titik C merupakan titik tengah ruas AB, maka titik tersebut terletak di atasnya dan.
Selanjutnya tugas kita adalah mencari koordinat titik tengah ruas AB, jika koordinat titik A dan B diberikan pada garis koordinat atau sistem koordinat persegi panjang.
Koordinat titik tengah suatu ruas pada garis koordinat.
Mari kita diberi garis koordinat Ox dan dua titik A dan B yang tidak berhimpitan di atasnya, yang sesuai dengan bilangan real dan . Misalkan titik C adalah titik tengah ruas AB. Mari kita cari koordinat titik C.
Karena titik C berada di tengah ruas AB, maka persamaan tersebut benar. Pada bagian jarak titik ke titik pada garis koordinat, kita menunjukkan bahwa jarak antar titik sama dengan modulus selisih koordinatnya, oleh karena itu, . Kemudian 
atau 
. Dari kesetaraan kita cari koordinat titik tengah ruas AB pada garis koordinat: 
- sama dengan setengah jumlah koordinat ujung-ujung ruas. Dari persamaan kedua kita mendapatkan , yang tidak mungkin, karena kita mengambil titik A dan B yang berbeda.
Jadi, rumus mencari koordinat titik tengah ruas AB dengan ujung-ujungnya berbentuk .
Koordinat titik tengah suatu ruas pada suatu bidang.
Mari kita perkenalkan sistem koordinat Cartesian persegi panjang Oxyz pada bidang. Misalkan kita diberi dua titik dan kita mengetahui bahwa titik C adalah titik tengah ruas AB. Mari kita cari koordinat dan titik C.
Secara konstruksi, lurus 
sejajar, dan juga garis sejajar 
, oleh karena itu, oleh teorema Thales dari persamaan ruas AC dan CB maka persamaan ruas dan , serta ruas dan . Oleh karena itu, titik tersebut adalah titik tengah ruas tersebut, dan a adalah titik tengah ruas tersebut. Kemudian, berdasarkan paragraf sebelumnya dari artikel ini Dan 
.
Dengan menggunakan rumus ini, Anda dapat menghitung koordinat titik tengah ruas AB jika titik A dan B terletak pada salah satu sumbu koordinat atau pada garis lurus yang tegak lurus salah satu sumbu koordinat. Mari kita tinggalkan kasus ini tanpa komentar dan berikan ilustrasi grafis.
Dengan demikian, titik tengah ruas AB pada suatu bidang yang ujung-ujungnya di titik-titik dan mempunyai koordinat 
.
Koordinat titik tengah ruas dalam ruang.
Biarkan sistem koordinat persegi panjang Oxyz diperkenalkan dalam ruang tiga dimensi dan dua titik ditentukan 
Dan 
. Mari kita peroleh rumus untuk mencari koordinat titik C yang merupakan titik tengah ruas AB.
Mari kita pertimbangkan kasus umum.
Misalkan dan menjadi proyeksi titik A, B dan C pada sumbu koordinat Ox, Oy dan Oz.
Oleh karena itu, menurut teorema Thales, titik-titik tersebut adalah titik tengah segmen 
masing-masing. Lalu (lihat paragraf pertama artikel ini). Jadi kita dapat rumus menghitung koordinat titik tengah suatu ruas dari koordinat ujung-ujungnya dalam ruang.
Rumus ini juga dapat diterapkan jika titik A dan B terletak pada salah satu sumbu koordinat atau pada garis lurus yang tegak lurus salah satu sumbu koordinat, serta jika titik A dan B terletak pada salah satu bidang koordinat atau di bidang yang sejajar dengan salah satu bidang bidang koordinat.
Koordinat titik tengah suatu ruas melalui koordinat vektor jari-jari ujung-ujungnya.
Rumus mencari koordinat tengah suatu segmen dapat dengan mudah diperoleh dengan beralih ke aljabar vektor.
Misalkan sistem koordinat kartesius persegi panjang Oxy diberikan pada bidang tersebut dan titik C menjadi titik tengah ruas AB, dan .
Menurut definisi geometri operasi vektor, persamaan 
(titik C adalah titik potong diagonal-diagonal jajar genjang yang dibangun di atas vektor-vektor dan , yaitu titik C adalah titik tengah diagonal jajar genjang). Pada artikel koordinat vektor pada sistem koordinat persegi panjang, kita menemukan bahwa koordinat vektor jari-jari suatu titik sama dengan koordinat titik tersebut, oleh karena itu, 
. Kemudian, setelah melakukan operasi yang sesuai pada vektor dalam koordinat, kita mendapatkan . Bagaimana kita dapat menyimpulkan bahwa titik C mempunyai koordinat .
Demikian pula, koordinat titik tengah ruas AB dapat dicari melalui koordinat ujung-ujungnya dalam ruang. Dalam hal ini, jika C adalah titik tengah segmen AB dan , maka kita punya 
.
Mencari koordinat titik tengah suatu ruas, contoh, penyelesaian.
Dalam banyak soal, Anda harus menggunakan rumus untuk mencari koordinat titik tengah suatu segmen. Mari kita lihat solusi dari contoh yang paling umum.
Mari kita mulai dengan contoh yang hanya memerlukan penerapan rumus.
Contoh.
Koordinat dua titik diberikan pada bidang 
. Tentukan koordinat titik tengah ruas AB.
Larutan.
Misalkan titik C adalah titik tengah ruas AB. Koordinatnya sama dengan setengah jumlah koordinat titik A dan B yang bersesuaian: 
Jadi, titik tengah ruas AB mempunyai koordinat.
