Berbagai cara bukti teorema Pythagoras
siswa kelas "A" ke-9
Sekolah menengah lembaga pendidikan kota No.8
Penasihat ilmiah:
guru matematika,
Sekolah menengah lembaga pendidikan kota No.8
Seni. Novorozhdestvenskaya
wilayah Krasnodar.
Seni. Novorozhdestvenskaya
ANOTASI.
Teorema Pythagoras dianggap sebagai yang paling penting dalam perjalanan geometri dan patut mendapat perhatian. Ini adalah dasar untuk memecahkan banyak masalah geometri, dasar untuk mempelajari mata kuliah geometri teoritis dan praktis di masa depan. Teorema ini dikelilingi oleh kekayaan materi sejarah yang berkaitan dengan kemunculan dan metode pembuktiannya. Mempelajari sejarah perkembangan geometri menanamkan kecintaan terhadap mata pelajaran ini, mendorong pengembangan minat kognitif, budaya umum dan kreativitas, serta mengembangkan keterampilan penelitian.
Sebagai hasil dari kegiatan pencarian, tujuan pekerjaan tercapai, yaitu untuk menambah dan menggeneralisasi pengetahuan tentang pembuktian teorema Pythagoras. Dimungkinkan untuk menemukan dan mempertimbangkan berbagai metode pembuktian dan memperdalam pengetahuan tentang topik tersebut, melampaui halaman buku teks sekolah.
Materi yang dikumpulkan semakin meyakinkan kita bahwa teorema Pythagoras adalah teorema geometri yang hebat dan memiliki signifikansi teoritis dan praktis yang sangat besar.
Perkenalan. Referensi sejarah 5 Bagian utama 8
3. Kesimpulan 19
4. Literatur yang digunakan 20
1. PERKENALAN. REFERENSI SEJARAH.
Hakikat kebenarannya adalah bahwa itu untuk kita selamanya,
Ketika setidaknya sekali dalam pencerahannya kita melihat cahaya,
Dan teorema Pythagoras setelah bertahun-tahun
Bagi kami, baginya, hal itu tidak dapat disangkal, tanpa cela.
Untuk bersukacita, Pythagoras bersumpah kepada para dewa:
Untuk menyentuh kebijaksanaan yang tak terbatas,
Dia menyembelih seratus ekor lembu jantan, terima kasih kepada yang kekal;
Dia memanjatkan doa dan pujian setelah korban.
Sejak itu, ketika sapi jantan mencium baunya, mereka mendorong,
Bahwa jejak itu kembali membawa orang pada kebenaran baru,
Mereka mengaum dengan marah, jadi tidak ada gunanya mendengarkan,
Pythagoras seperti itu menanamkan teror pada mereka selamanya.
Bulls, tidak berdaya untuk menolak kebenaran baru,
Apa yang tersisa? - Hanya memejamkan mata, menderu, gemetar.
Tidak diketahui bagaimana Pythagoras membuktikan teoremanya. Yang pasti dia menemukannya di bawah pengaruh kuat ilmu pengetahuan Mesir. Kasus khusus teorema Pythagoras - sifat-sifat segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 - diketahui oleh pembuat piramida jauh sebelum kelahiran Pythagoras, dan dia sendiri belajar dengan pendeta Mesir selama lebih dari 20 tahun. Sebuah legenda telah dilestarikan yang mengatakan bahwa, setelah membuktikan teorema terkenalnya, Pythagoras mengorbankan seekor lembu jantan kepada para dewa, dan menurut sumber lain, bahkan 100 ekor lembu jantan. Namun hal ini bertentangan dengan informasi tentang pandangan moral dan agama Pythagoras. Dalam sumber-sumber sastra Anda dapat membaca bahwa beliau “bahkan melarang membunuh hewan, apalagi memakannya, karena hewan memiliki jiwa, sama seperti kita.” Pythagoras hanya makan madu, roti, sayuran, dan kadang-kadang ikan. Sehubungan dengan semua ini, entri berikut dapat dianggap lebih masuk akal: "... dan bahkan ketika dia menemukan bahwa dalam segitiga siku-siku sisi miringnya sama dengan kaki, dia mengorbankan seekor sapi jantan yang terbuat dari adonan gandum."
Popularitas teorema Pythagoras begitu besar sehingga buktinya ditemukan bahkan dalam fiksi, misalnya, dalam cerita “Young Archimedes” oleh penulis terkenal Inggris Huxley. Bukti yang sama, tetapi untuk kasus khusus segitiga siku-siku sama kaki, diberikan dalam dialog Plato “Meno”.
Dongeng "Rumah".
“Jauh, jauh sekali, bahkan di mana pesawat pun tidak dapat terbang, terdapat negara Geometri. Di negara yang tidak biasa ini ada satu kota yang menakjubkan - kota Teorem. Suatu hari saya datang ke kota ini perempuan cantik bernama Sisi Miring. Dia mencoba untuk menyewa kamar, tetapi di mana pun dia melamar, dia ditolak. Akhirnya dia mendekati rumah reyot itu dan mengetuknya. Seorang pria yang menyebut dirinya Sudut Kanan membukakan pintu untuknya, dan dia mengundang Sisi Miring untuk tinggal bersamanya. Sisi miringnya tetap berada di rumah tempat Sudut Kanan dan kedua putranya yang masih kecil bernama Katetes tinggal. Sejak itu, kehidupan di rumah Sudut Kanan berubah dengan cara baru. Sisi miring menanam bunga di jendela dan menanam mawar merah di taman depan. Rumah itu berbentuk segitiga siku-siku. Kedua kakinya sangat menyukai Si Miring dan memintanya untuk tinggal selamanya di rumah mereka. Di malam hari, keluarga ramah ini berkumpul di meja keluarga. Terkadang Sudut Kanan bermain petak umpet dengan anak-anaknya. Paling sering dia harus mencari, dan Sisi Miring bersembunyi dengan sangat terampil sehingga sangat sulit ditemukan. Suatu hari, saat bermain, Sudut Kanan memperhatikan sebuah properti menarik: jika dia berhasil menemukan kakinya, maka menemukan Sisi Miringnya tidaklah sulit. Jadi Sudut Kanan menggunakan pola ini, harus saya katakan, dengan sangat sukses. Teorema Pythagoras didasarkan pada sifat segitiga siku-siku ini.”
(Dari buku karya A. Okunev “Terima kasih atas pelajarannya, anak-anak”).
Rumusan teorema yang lucu:
Jika kita diberi sebuah segitiga
Dan dengan sudut siku-siku,
Itu adalah kuadrat sisi miringnya
Kami selalu dapat dengan mudah menemukan:
Kami meluruskan kakinya,
Kami menemukan jumlah kekuatan -
Dan dengan cara yang sederhana
Kami akan sampai pada hasilnya.
Saat mempelajari aljabar dan permulaan analisis dan geometri di kelas 10, saya menjadi yakin bahwa selain metode pembuktian teorema Pythagoras yang dibahas di kelas 8, ada metode pembuktian lain. Saya menyajikannya untuk pertimbangan Anda.
2. BAGIAN UTAMA.
Dalil. Pada segitiga siku-siku terdapat persegi
Sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya.
1 METODE.
Dengan menggunakan sifat-sifat luas poligon, kita akan membangun hubungan yang luar biasa antara sisi miring dan kaki-kaki segitiga siku-siku.
Bukti.
a, c dan sisi miring Dengan(Gbr. 1, a).
Mari kita buktikan itu c²=a²+b².
Bukti.
Mari selesaikan segitiga menjadi persegi dengan sisi a + b seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1,b. Luas S persegi ini adalah (a + b)². Sebaliknya, persegi ini terdiri dari empat segitiga siku-siku yang sama besar, yang masing-masing mempunyai luas ½ aduh , dan persegi dengan sisi Dengan, oleh karena itu S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².
Dengan demikian,
(a + b)² = 2 aw + c²,
c²=a²+b².
Teorema tersebut terbukti.
2 METODE.
Setelah mempelajari topik “Segitiga Sebangun”, saya menemukan bahwa persamaan segitiga dapat diterapkan pada pembuktian teorema Pythagoras. Yaitu, saya menggunakan pernyataan bahwa kaki segitiga siku-siku adalah rata-rata yang sebanding dengan sisi miring dan ruas sisi miring yang berada di antara kaki dan ketinggian yang ditarik dari titik sudut. sudut kanan.
Perhatikan segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C, CD – tinggi (Gbr. 2). Mari kita buktikan itu AC²+NE² = AB²
.
Bukti.
Berdasarkan pernyataan tentang kaki segitiga siku-siku:
AC = , SV = .
Mari kita kuadratkan dan tambahkan persamaan yang dihasilkan:
AC² = AB * IKLAN, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), dimana AD+DB=AB, lalu
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Buktinya sudah lengkap.
3 METODE.
Untuk membuktikan teorema Pythagoras, Anda dapat menerapkan definisi kosinus sudut lancip segitiga siku-siku. Mari kita lihat Gambar. 3.
Bukti:
Misalkan ABC suatu segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C. Mari kita tarik tinggi CD dari titik sudut siku-siku C.
Menurut definisi kosinus suatu sudut:
karena A = AD/AC = AC/AB. Jadi AB*AD = AC²
Juga,
karena B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Jadi AB * BD = BC².
Menambahkan persamaan yang dihasilkan suku demi suku dan mencatat bahwa AD + DB = AB, kita memperoleh:
AC² + matahari² = AB (AD + DB) = AB²
Buktinya sudah lengkap.
4 METODE.
Setelah mempelajari topik “Hubungan Sisi dan Sudut Segitiga Siku-siku”, menurut saya teorema Pythagoras dapat dibuktikan dengan cara lain.
Perhatikan segitiga siku-siku yang mempunyai kaki a, c dan sisi miring Dengan. (Gbr. 4).
Mari kita buktikan itu c²=a²+b².
Bukti.
dosa B= kualitas tinggi ; karena B= AC , kemudian, dengan mengkuadratkan persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh:
dosa² B= dalam²/dtk²; cos² DI DALAM= a²/c².
Menambahkannya, kita mendapatkan:
dosa² DI DALAM+cos² B=в²/с²+ а²/с², di mana sin² DI DALAM+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², oleh karena itu,
c²= a² + b².
Buktinya sudah lengkap.
5 METODE.
Pembuktian ini didasarkan pada pemotongan persegi yang dibangun di atas kaki-kaki (Gbr. 5) dan menempatkan bagian-bagian yang dihasilkan pada persegi yang dibangun di sisi miring.
6 METODE.
Sebagai bukti di samping Matahari kami sedang membangun BCD ABC(Gbr. 6). Kita tahu bahwa luas bangun-bangun yang sebangun berhubungan dengan kuadrat dimensi liniernya yang sebangun:
Mengurangi persamaan kedua dari persamaan pertama, kita mendapatkan
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
7 METODE.
Diberikan(Gbr. 7):
ABC,= 90° , matahari= a, AC=b, AB = c.
Membuktikan:c2 = a2 +b2.
Bukti.
Biarkan kaki B A. Mari kita lanjutkan segmennya TIDAK per poin DI DALAM dan buatlah segitiga BMD sehingga poinnya M Dan A berbaring di satu sisi garis lurus CD dan selain itu, BD =B, BDM= 90°, DM= a, maka BMD= ABC pada dua sisi dan sudut di antara keduanya. Poin A dan M terhubung dengan segmen SAYA. Kita punya MD CD Dan AC CD, itu artinya lurus AC sejajar dengan garis MD Karena MD< АС, lalu lurus CD Dan SAYA. tidak paralel. Karena itu, AMDC- trapesium persegi panjang.
Pada segitiga siku-siku ABC dan BMD 1 + 2 = 90° dan 3 + 4 = 90°, tetapi karena = =, maka 3 + 2 = 90°; Kemudian AVM=180° - 90° = 90°. Ternyata itu trapesium AMDC dibagi menjadi tiga segitiga siku-siku yang tidak tumpang tindih, kemudian berdasarkan aksioma luas
(a+b)(a+b)
Membagi semua suku pertidaksamaan dengan , kita peroleh
Ab + c2 + ab = (sebuah +B) , 2 ab+ c2 = a2+ 2aB+ b2,
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
8 METODE.
Metode ini didasarkan pada sisi miring dan kaki-kaki segitiga siku-siku ABC. Dia membuat persegi-persegi yang bersesuaian dan membuktikan bahwa persegi yang dibangun pada sisi miring sama dengan jumlah persegi yang dibangun pada kaki-kakinya (Gbr. 8).
Bukti.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC, Cara, FBC = DBA.
Dengan demikian, FBC=ABD(pada dua sisi dan sudut di antara keduanya).
2) 
,
dimana AL DE, karena BD adalah basis bersama, DL- tinggi keseluruhan.
3) 
, karena FB adalah sebuah yayasan, AB- tinggi keseluruhan.
4) 
5) Demikian pula dapat dibuktikan bahwa 
6) Menjumlahkan suku demi suku, kita memperoleh:
, BC2
= AB2+AC2
.
Buktinya sudah lengkap.
9 METODE.
Bukti.
1) Biarkan ABDE- persegi (Gbr. 9), yang sisinya sama dengan sisi miring segitiga siku-siku ABC= s, BC = a, AC =B).
2) Biarkan DK SM Dan DK = matahari, karena 1 + 2 = 90° (seperti sudut lancip segitiga siku-siku), 3 + 2 = 90° (seperti sudut persegi), AB= BD(sisi persegi).
Cara, ABC= BDK(menurut sisi miring dan sudut lancip).
3) Biarkan EL DK, SAYA. E.L. Dapat dengan mudah dibuktikan bahwa ABC = BDK =DEL = EAM (berkaki A Dan B). Kemudian KS= CM= M.L.= L.K.= A -B.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a - b),Dengan2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah lengkap.
10 METODE.
Pembuktiannya dapat dilakukan pada gambar yang secara bercanda disebut “celana Pythagoras” (Gbr. 10). Idenya adalah untuk mengubah persegi yang dibangun pada sisi-sisinya menjadi segitiga sama besar yang bersama-sama membentuk kuadrat sisi miring.
ABC gerakkan seperti yang ditunjukkan oleh panah, dan ia mengambil posisinya KDN. Sisa gambarnya AKDCB luas persegi yang sama AKDC ini adalah jajaran genjang AKNB.
Model jajaran genjang telah dibuat AKNB. Jajar genjang tersebut kami susun ulang sesuai sketsa pada isi karya. Untuk menunjukkan transformasi jajar genjang menjadi segitiga yang luasnya sama, di depan mata siswa, kami memotong segitiga pada model dan memindahkannya ke bawah. Jadi, luas persegi tersebut AKDC ternyata sama dengan luas persegi panjang. Demikian pula kita mengubah luas persegi menjadi luas persegi panjang.
Mari kita melakukan transformasi pada persegi yang dibangun pada salah satu sisinya A(Gbr. 11, a):
a) persegi diubah menjadi jajar genjang sama kaki (Gbr. 11.6):
b) jajaran genjang berputar seperempat putaran (Gbr. 12):
c) jajar genjang diubah menjadi persegi panjang sama besar (Gbr. 13): 11 METODE.
Bukti:
PCL- lurus (Gbr. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBTO= SVMR =CBNQ= b 2;
AKGB= AKLO +LGBTO= c2;
c2 = a2 + b2.
Buktinya sudah berakhir .
12 METODE.
Beras. Gambar 15 mengilustrasikan bukti asli lain dari teorema Pythagoras.
Disini: segitiga ABC dengan sudut siku-siku C; segmen garis BF tegak lurus TIDAK dan sama dengan itu, segmen MENJADI tegak lurus AB dan sama dengan itu, segmen IKLAN tegak lurus AC dan setara dengan itu; poin F, C,D milik garis yang sama; segi empat ADFB Dan ASVE ukurannya sama, karena ABF = Bank Sentral Eropa; segitiga ADF Dan KARTU AS ukurannya sama; kurangi dari kedua segi empat yang sama segitiga yang mereka bagi ABC, kita mendapatkan
, c2 = a2 +
b2.
Buktinya sudah lengkap.
13 METODE.
Luas segitiga siku-siku tertentu, pada salah satu sisinya, sama dengan ,
dengan yang lain, ,
3. KESIMPULAN.
Sebagai hasil dari kegiatan pencarian, tujuan pekerjaan tercapai, yaitu untuk menambah dan menggeneralisasi pengetahuan tentang pembuktian teorema Pythagoras. Berbagai cara untuk membuktikan dan memperdalam pengetahuan tentang topik tersebut dapat ditemukan dan dipertimbangkan, melampaui halaman-halaman buku teks sekolah.
Materi yang saya kumpulkan semakin meyakinkan saya bahwa teorema Pythagoras adalah teorema geometri yang hebat dan memiliki signifikansi teoritis dan praktis yang sangat besar. Sebagai kesimpulan, saya ingin mengatakan: alasan popularitas teorema tritunggal Pythagoras adalah keindahan, kesederhanaan, dan signifikansinya!
4. SASTRA YANG DIGUNAKAN.
1. Aljabar yang menghibur. . Moskow "Ilmu", 1978.
2. Suplemen pendidikan dan metodologi mingguan untuk surat kabar “First of September”, 24/2001.
3. Geometri 7-9. dan sebagainya.
4. Geometri 7-9. dan sebagainya.
(menurut papirus 6619 dari Museum Berlin). Menurut Cantor, harpedonaptes, atau “penarik tali”, membangun sudut siku-siku menggunakan segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4, dan 5.
Sangat mudah untuk mereproduksi metode konstruksinya. Mari kita ambil tali sepanjang 12 m dan ikatkan strip berwarna pada jarak 3 m dari satu ujung dan 4 meter dari ujung lainnya. Sudut siku-siku berada di antara sisi yang panjangnya 3 dan 4 meter. Harpedonaptes dapat merasa keberatan karena metode konstruksi mereka menjadi berlebihan jika seseorang menggunakan, misalnya, kotak kayu, yang digunakan oleh semua tukang kayu. Memang, gambar Mesir diketahui di mana alat tersebut ditemukan - misalnya, gambar yang menggambarkan bengkel pertukangan.
Sedikit lebih banyak yang diketahui tentang teorema Pythagoras di kalangan orang Babilonia. Dalam salah satu teks berasal dari zaman Hammurabi, yaitu tahun 2000 SM. e. , diberikan perkiraan perhitungan sisi miring segitiga siku-siku. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa di Mesopotamia mereka mampu melakukan perhitungan dengan segitiga siku-siku, setidaknya dalam beberapa kasus. Di satu sisi, berdasarkan tingkat pengetahuan terkini tentang matematika Mesir dan Babilonia, dan di sisi lain, berdasarkan studi kritis terhadap sumber-sumber Yunani, Van der Waerden (seorang matematikawan Belanda) menyimpulkan bahwa ada kemungkinan besar bahwa Teorema kuadrat sisi miring sudah dikenal di India sekitar abad ke-18 SM. e.
Sekitar 400 SM. SM, menurut Proclus, Plato memberikan metode untuk menemukan kembar tiga Pythagoras, dengan menggabungkan aljabar dan geometri. Sekitar 300 SM. e. Bukti aksiomatik tertua dari teorema Pythagoras muncul dalam Elemen Euclid.
Formulasi
Rumusan geometris:
Teorema ini awalnya dirumuskan sebagai berikut:
Rumusan aljabar:
Yaitu menyatakan panjang sisi miring segitiga dengan , dan panjang kaki segitiga dengan dan :
Kedua rumusan teorema tersebut setara, namun rumusan kedua lebih mendasar; tidak memerlukan konsep luas. Artinya, pernyataan kedua dapat dibuktikan tanpa mengetahui apapun tentang luasnya dan hanya dengan mengukur panjang sisi-sisi segitiga siku-siku.
Kebalikan teorema Pythagoras:
Bukti
Pada saat ini 367 bukti teorema ini telah dicatat dalam literatur ilmiah. Mungkin teorema Pythagoras adalah satu-satunya teorema dengan jumlah bukti yang begitu banyak. Keberagaman tersebut hanya dapat dijelaskan oleh signifikansi fundamental teorema geometri.
Tentu saja secara konseptual semuanya dapat dibagi menjadi beberapa kelas kecil. Yang paling terkenal di antaranya: pembuktian dengan metode area, pembuktian aksiomatik dan eksotik (misalnya menggunakan persamaan diferensial).
Melalui segitiga sebangun
Pembuktian rumusan aljabar berikut ini merupakan pembuktian yang paling sederhana, yang dibangun langsung dari aksioma. Secara khusus tidak menggunakan konsep luas suatu bangun.
Membiarkan ABC ada segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C. Mari kita menggambar tingginya dari C dan tunjukkan basisnya dengan H. Segi tiga ACH mirip dengan segitiga ABC di dua sudut. Demikian pula segitiga CBH serupa ABC. Dengan memperkenalkan notasi
kita mendapatkan
Apa yang setara
Menambahkannya, kita mendapatkan
, itulah yang perlu dibuktikanPembuktian menggunakan metode luas
Bukti-bukti di bawah ini, meskipun tampak sederhana, tidaklah sesederhana itu. Semuanya menggunakan sifat-sifat luas yang pembuktiannya lebih kompleks daripada pembuktian teorema Pythagoras itu sendiri.
Bukti melalui kesetaraan yang saling melengkapi
- Mari kita susun empat segitiga siku-siku yang sama besar seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.
- Segi empat dengan sisi C adalah persegi, karena jumlah dua sudut lancip adalah 90° dan sudut lurusnya adalah 180°.
- Luas seluruh bangun sama, di satu sisi, dengan luas persegi dengan sisi (a + b), dan di sisi lain, dengan jumlah luas keempat segitiga dan luas persegi bagian dalam.
Q.E.D.
bukti Euclid
Gagasan pembuktian Euclid adalah sebagai berikut: mari kita coba buktikan bahwa setengah luas persegi yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah setengah luas persegi yang dibangun di atas kaki-kakinya, dan kemudian luas persegi. persegi besar dan dua persegi kecil sama besarnya.
Mari kita lihat gambar di sebelah kiri. Di atasnya kita membuat persegi pada sisi-sisi segitiga siku-siku dan menggambar sinar s dari titik sudut siku-siku C tegak lurus sisi miring AB, memotong persegi ABIK yang dibangun di sisi miring menjadi dua persegi panjang - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas persegi panjang tersebut sama persis dengan luas persegi yang dibangun pada kaki-kaki yang bersesuaian.
Mari kita coba buktikan bahwa luas persegi DECA sama dengan luas persegi panjang AHJK. Untuk melakukannya, kita akan menggunakan pengamatan bantu: Luas segitiga yang tinggi dan alasnya sama dengan persegi panjang yang diberikan sama dengan setengah luas persegi panjang yang diberikan. Ini adalah konsekuensi dari mendefinisikan luas segitiga sebagai setengah hasil kali alas dan tinggi. Dari pengamatan tersebut diperoleh luas segitiga ACK sama dengan luas segitiga AHK (tidak diperlihatkan pada gambar), yang selanjutnya sama dengan setengah luas persegi panjang AHJK.
Sekarang mari kita buktikan bahwa luas segitiga ACK juga sama dengan setengah luas persegi DECA. Yang perlu dilakukan hanyalah membuktikan persamaan segitiga ACK dan BDA (karena luas segitiga BDA sama dengan setengah luas persegi menurut sifat-sifat di atas). Persamaan ini jelas: segitiga-segitiga itu sama besar pada kedua sisi dan sudut di antara keduanya. Yaitu - AB=AK, AD=AC - persamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan cara gerak: kita memutar segitiga CAK 90° berlawanan arah jarum jam, maka terlihat sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga di pertanyaannya akan bertepatan (karena sudut titik puncak persegi adalah 90°).
Alasan persamaan luas persegi BCFG dan persegi panjang BHJI hampir sama.
Jadi, kita telah membuktikan bahwa luas persegi yang dibangun pada sisi miring terdiri dari luas persegi yang dibangun pada kaki-kakinya. Ide di balik pembuktian ini diilustrasikan lebih lanjut oleh animasi di atas.
Bukti Leonardo da Vinci
Unsur pembuktian yang utama adalah simetri dan gerak.
Mari kita perhatikan gambarnya, seperti yang terlihat dari kesimetriannya, segmen tersebut memotong persegi menjadi dua bagian yang identik (karena segitiga-segitiga tersebut memiliki konstruksi yang sama).
Dengan menggunakan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam di sekitar titik, kita melihat persamaan gambar yang diarsir dan.
Sekarang jelas bahwa luas bangun yang kita arsir sama dengan jumlah setengah luas persegi kecil (dibangun di atas kaki) dan luas segitiga aslinya. Sebaliknya, sama dengan setengah luas persegi besar (dibangun di sisi miring) ditambah luas segitiga asal. Jadi, setengah jumlah luas persegi kecil sama dengan setengah luas persegi besar, dan oleh karena itu, jumlah luas persegi yang dibangun di atas kakinya sama dengan luas persegi yang dibangun di atas. sisi miring.
Buktikan dengan metode yang sangat kecil
Pembuktian menggunakan persamaan diferensial berikut ini sering dikaitkan dengan matematikawan Inggris terkenal Hardy, yang hidup pada paruh pertama abad ke-20.
Perhatikan gambar yang ditunjukkan pada gambar dan amati perubahan sisinya A, kita dapat menulis relasi berikut untuk pertambahan sisi yang sangat kecil Dengan Dan A(menggunakan kesamaan segitiga):
Dengan menggunakan metode pemisahan variabel, kami menemukannya
Lagi ekspresi umum untuk mengubah sisi miring jika terjadi penambahan kedua kaki
Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan kondisi awal, kita peroleh
Jadi kita sampai pada jawaban yang diinginkan
Seperti yang mudah dilihat, ketergantungan kuadrat pada rumus akhir muncul karena proporsionalitas linier antara sisi-sisi segitiga dan pertambahannya, sedangkan penjumlahannya dikaitkan dengan kontribusi independen dari pertambahan kaki-kaki yang berbeda.
Bukti yang lebih sederhana dapat diperoleh jika kita berasumsi bahwa salah satu kakinya tidak mengalami pertambahan (in pada kasus ini kaki). Kemudian untuk konstanta integrasi diperoleh
Variasi dan generalisasi
Bentuk geometris serupa di tiga sisi
Generalisasi untuk segitiga sebangun, luas bangun hijau A + B = luas bangun biru C
Teorema Pythagoras menggunakan segitiga siku-siku yang sebangun
Euclid menggeneralisasi teorema Pythagoras dalam karyanya Awal, memperluas luas persegi pada sisi-sisinya menjadi luas bangun-bangun geometris yang serupa:
Jika Anda membangun serupa angka geometris(lihat geometri Euclidean) pada sisi-sisi segitiga siku-siku, maka jumlah dua bangun yang lebih kecil akan sama dengan luas bangun yang lebih besar.
Gagasan utama dari generalisasi ini adalah bahwa luas bangun geometris tersebut sebanding dengan kuadrat dari setiap dimensi liniernya dan, khususnya, dengan kuadrat panjang salah satu sisinya. Oleh karena itu, untuk angka serupa dengan luas A, B Dan C dibangun pada sisi yang panjangnya A, B Dan C, kita punya:
Namun menurut teorema Pythagoras, A 2 + B 2 = C 2 lalu A + B = C.
Sebaliknya jika kita bisa membuktikannya A + B = C untuk tiga bangun datar yang sebangun tanpa menggunakan teorema Pythagoras, maka teorema itu sendiri dapat dibuktikan dengan bergerak berlawanan arah. Misalnya, segitiga pusat awal dapat digunakan kembali sebagai segitiga C pada sisi miring, dan dua segitiga siku-siku yang sebangun ( A Dan B), dibangun di dua sisi lainnya, yang dibentuk dengan membagi segitiga pusat dengan tingginya. Jadi, jumlah luas dua segitiga yang lebih kecil jelas sama dengan luas segitiga ketiga A + B = C dan, memenuhi pembuktian sebelumnya pada urutan terbalik, kita memperoleh teorema Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 .
Teorema kosinus
Teorema Pythagoras adalah kasus spesial teorema kosinus yang lebih umum, yang menghubungkan panjang sisi-sisi dalam segitiga sembarang:
dimana θ adalah sudut antara sisi-sisinya A Dan B.
Jika θ adalah 90 derajat maka cos θ = 0 dan rumusnya disederhanakan menjadi teorema Pythagoras biasa.
Segitiga Bebas
Ke sudut mana pun yang dipilih dari segitiga sembarang yang memiliki sisi a, b, c Mari kita tuliskan segitiga sama kaki sedemikian rupa sehingga sudut-sudut yang sama besar pada alasnya sama dengan sudut yang dipilih. Mari kita asumsikan bahwa sudut yang dipilih θ terletak di seberang sisi yang ditunjuk C. Hasilnya, diperoleh segitiga ABD dengan sudut θ yang letaknya berhadapan dengan sisinya A dan pesta R. Segitiga kedua dibentuk oleh sudut θ yang letaknya berhadapan dengan sisinya B dan pesta Dengan panjang S, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Thabit Ibnu Qurra berpendapat bahwa sisi-sisi pada ketiga segitiga tersebut mempunyai hubungan sebagai berikut:
Ketika sudut θ mendekati π/2, alas segitiga sama kaki menjadi lebih kecil dan kedua sisi r dan s semakin sedikit saling tumpang tindih. Jika θ = π/2, ADB menjadi segitiga siku-siku, R + S = C dan kita mendapatkan teorema Pythagoras awal.
Mari kita pertimbangkan salah satu argumennya. Segitiga ABC mempunyai sudut yang sama besar dengan segitiga ABD, namun urutannya terbalik. (Dua segitiga punya sudut yang sama di titik sudut B, keduanya mempunyai sudut θ dan juga mempunyai sudut ketiga yang sama, berdasarkan jumlah sudut-sudut segitiga tersebut) Oleh karena itu, ABC sebangun dengan pantulan ABD segitiga DBA, seperti terlihat pada gambar di bawah. Mari kita tuliskan hubungan antara sisi-sisi yang berhadapan dan sisi-sisi yang berdekatan dengan sudut θ,
Juga merupakan refleksi dari segitiga lain,
Mari kita mengalikan pecahan dan menjumlahkan dua perbandingan berikut:
Q.E.D.
Generalisasi untuk segitiga sembarang melalui jajaran genjang
Generalisasi untuk segitiga sembarang,
area hijau petak = luas biru
Bukti tesis itu pada gambar di atas
Mari kita membuat generalisasi lebih lanjut untuk segitiga tidak siku-siku dengan menggunakan jajaran genjang pada tiga sisinya, bukan persegi. (kotak adalah kasus khusus.) Gambar di atas menunjukkan bahwa untuk segitiga lancip, luas jajar genjang pada sisi panjangnya sama dengan jumlah jajar genjang pada kedua sisi lainnya, asalkan jajar genjang pada sisi panjangnya sisinya dibangun seperti yang ditunjukkan pada gambar (dimensi yang ditunjukkan oleh panah adalah sama dan menentukan sisi-sisi jajar genjang bawah). Penggantian persegi dengan jajaran genjang ini memiliki kemiripan yang jelas dengan teorema awal Pythagoras, yang diperkirakan telah dirumuskan oleh Pappus dari Alexandria pada tahun 4 Masehi. e.
Gambar di bawah menunjukkan kemajuan pembuktian. Mari kita lihat sisi kiri segitiga. Jajargenjang hijau kiri memiliki luas yang sama dengan sisi kiri jajar genjang biru karena mempunyai alas yang sama B dan tinggi badan H. Selain itu, jajar genjang hijau kiri memiliki luas yang sama dengan jajar genjang hijau kiri pada gambar atas karena keduanya mempunyai alas yang sama (atas sisi kiri segitiga) dan tinggi total yang tegak lurus sisi segitiga tersebut. Dengan menggunakan alasan serupa untuk sisi kanan segitiga, kita akan membuktikan bahwa jajar genjang bawah mempunyai luas yang sama dengan dua jajar genjang hijau.
Bilangan kompleks
Teorema Pythagoras digunakan untuk mencari jarak antara dua titik dalam sistem koordinat Cartesian, dan teorema ini berlaku untuk semua koordinat sebenarnya: jarak S antara dua titik ( a, b) Dan ( CD) sama dengan
Tidak ada masalah dengan rumusnya jika bilangan kompleks diperlakukan sebagai vektor dengan komponen real X + saya kamu = (X, kamu). . Misalnya jarak S antara 0 + 1 Saya dan 1 + 0 Saya dihitung sebagai modulus vektor (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), atau
Namun untuk operasi vektor dengan koordinat kompleks perlu dilakukan beberapa perbaikan pada rumus Pythagoras. Jarak antar titik dengan bilangan kompleks (A, B) Dan ( C, D); A, B, C, Dan D semuanya rumit, mari kita rumuskan menggunakan nilai absolut. Jarak S berdasarkan perbedaan vektor (A − C, B − D) dalam bentuk berikut: biarkan perbedaannya A − C = P+saya Q, Di mana P- bagian nyata dari perbedaannya, Q adalah bagian imajiner, dan i = √(−1). Demikian juga, biarkan B − D = R+saya S. Kemudian:
di mana bilangan konjugasi kompleks untuk . Misalnya jarak antar titik (A, B) = (0, 1) Dan (C, D) = (Saya, 0) , mari kita hitung selisihnya (A − C, B − D) = (−Saya, 1) dan hasilnya akan menjadi 0 jika konjugat kompleks tidak digunakan. Oleh karena itu, dengan menggunakan rumus yang ditingkatkan, kami memperolehnya
Modul ini didefinisikan sebagai berikut:
Stereometri
Generalisasi penting dari teorema Pythagoras untuk ruang tiga dimensi adalah teorema de Goy, dinamai J.-P. de Gois: jika suatu tetrahedron mempunyai sudut siku-siku (seperti kubus), maka kuadrat luas sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku sama dengan jumlah kuadrat luas ketiga sisi lainnya. Kesimpulan ini dapat diringkas sebagai " N-teorema Pythagoras dimensi":
teori Pitagoras ruang tiga dimensi menghubungkan diagonal AD ke tiga sisi.
Generalisasi lainnya: Teorema Pythagoras dapat diterapkan pada stereometri dalam bentuk berikut. Perhatikan sebuah parallelepiped persegi panjang seperti yang ditunjukkan pada gambar. Mari kita cari panjang diagonal BD menggunakan teorema Pythagoras:
dimana ketiga sisinya membentuk segitiga siku-siku. Kita menggunakan diagonal horizontal BD dan tepi vertikal AB untuk mencari panjang diagonal AD, untuk ini kita kembali menggunakan teorema Pythagoras:
atau, jika kita menulis semuanya dalam satu persamaan:
Hasil ini merupakan ekspresi tiga dimensi untuk menentukan besaran vektor ay(diagonal AD), dinyatakan dalam komponen tegak lurusnya ( ay k ) (tiga sisi yang saling tegak lurus):
Persamaan ini dapat dianggap sebagai generalisasi dari teorema Pythagoras untuk ruang multidimensi. Namun, hasilnya sebenarnya tidak lebih dari penerapan teorema Pythagoras secara berulang-ulang pada barisan segitiga siku-siku pada bidang yang tegak lurus secara berurutan.
Ruang vektor
Dalam kasus sistem vektor ortogonal, terdapat persamaan, yang disebut juga teorema Pythagoras:
Jika - ini adalah proyeksi vektor ke sumbu koordinat, maka rumus ini bertepatan dengan jarak Euclidean - dan berarti panjang vektor sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat komponen-komponennya.
Analogi persamaan ini dalam kasus sistem vektor tak hingga disebut persamaan Parseval.
Geometri non-Euclidean
Teorema Pythagoras diturunkan dari aksioma geometri Euclidean dan nyatanya tidak berlaku untuk geometri non-Euclidean seperti yang tertulis di atas. (Artinya, teorema Pythagoras ternyata setara dengan postulat paralelisme Euclid) Dengan kata lain, dalam geometri non-Euclidean, hubungan antara sisi-sisi segitiga tentu akan berbentuk berbeda dengan teorema Pythagoras. Misalnya, dalam geometri bola, ketiga sisi segitiga siku-siku (misalnya A, B Dan C), yang membatasi oktan (bagian kedelapan) dari satuan bola, memiliki panjang π/2, yang bertentangan dengan teorema Pythagoras, karena A 2 + B 2 ≠ C 2 .
Mari kita perhatikan di sini dua kasus geometri non-Euclidean - geometri bola dan hiperbolik; dalam kedua kasus tersebut, seperti untuk ruang Euclidean untuk segitiga siku-siku, hasil yang menggantikan teorema Pythagoras mengikuti teorema kosinus.
Namun teorema Pythagoras tetap berlaku untuk geometri hiperbolik dan elips jika syarat segitiga berbentuk persegi panjang diganti dengan syarat jumlah dua sudut segitiga harus sama dengan sepertiga, katakanlah A+B = C. Maka hubungan antar sisinya terlihat seperti ini: jumlah luas lingkaran dengan diameternya A Dan B sama dengan luas lingkaran dengan diameter C.
Geometri bola
Untuk setiap segitiga siku-siku pada bola yang berjari-jari R(misalnya, jika sudut γ dalam suatu segitiga siku-siku) dengan sisi-sisinya A, B, C Hubungan antara para pihak akan terlihat seperti ini:
Kesetaraan ini dapat diturunkan sebagai kasus khusus teorema kosinus bola yang berlaku untuk semua segitiga bola:
di mana cosh adalah kosinus hiperbolik. Rumus ini merupakan kasus khusus dari teorema kosinus hiperbolik, yang berlaku untuk semua segitiga:
dimana γ adalah sudut yang titik sudutnya berhadapan dengan sisinya C.
Di mana G aku j disebut tensor metrik. Ini mungkin merupakan fungsi dari posisi. Ruang lengkung tersebut merangkumi geometri Riemannian sebagai contoh umum. Formulasi ini juga cocok untuk ruang Euclidean bila menggunakan koordinat lengkung. Misalnya untuk koordinat kutub:
Karya seni vektor
Teorema Pythagoras menghubungkan dua ekspresi besaran perkalian vektor. Salah satu pendekatan untuk mendefinisikan perkalian silang mengharuskannya memenuhi persamaan:
Rumus ini menggunakan perkalian titik. Sisi kanan persamaan tersebut disebut determinan Gram untuk A Dan B, yang sama dengan luas jajar genjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Berdasarkan persyaratan ini, serta persyaratan bahwa produk vektor tegak lurus terhadap komponen-komponennya A Dan B Oleh karena itu, kecuali untuk kasus-kasus sepele dari ruang 0 dan 1 dimensi, perkalian silang hanya didefinisikan dalam tiga dan tujuh dimensi. Kami menggunakan definisi sudut dalam N-ruang dimensi:
Sifat perkalian silang ini memberikan besarannya sebagai berikut:
Melalui identitas trigonometri dasar Pythagoras kita memperoleh bentuk penulisan lain nilainya:
Pendekatan alternatif untuk mendefinisikan perkalian silang adalah dengan menggunakan ekspresi besarannya. Kemudian, dengan alasan dalam urutan terbalik, kita memperoleh hubungan dengan produk skalar:
Lihat juga
Catatan
- Topik sejarah: Teorema Pythagoras dalam matematika Babilonia
- ( , hal.351) hal.351
- ( , Jilid I, hal.144)
- Diskusi fakta sejarah diberikan dalam (, hal. 351) hal
- Kurt Von Fritz (April 1945). "Penemuan Ketidakterbandingan oleh Hippasus dari Metapontum". Sejarah Matematika, Seri Kedua(Sejarah Matematika) 46 (2): 242–264.
- Lewis Carroll, “Kisah dengan Simpul”, M., Mir, 1985, hal. 7
- Asger Aaboe Episode dari sejarah awal matematika. - Asosiasi Matematika Amerika, 1997. - Hal. 51. - ISBN 0883856131
- Proposisi Python oleh Elisha Scott Loomis
- milik Euclid Elemen: Buku VI, Dalil VI 31: “Pada segitiga siku-siku, bangun pada sisi yang menghadap sudut siku-siku sama dengan bangun-bangun yang sebangun dan sebangun pada sisi-sisi yang memuat sudut siku-siku.”
- Lawrence S.Leff pekerjaan yang dikutip. - Seri Pendidikan Barron. - P. 326. - ISBN 0764128922
- Howard Whitley Hawa§4.8:...generalisasi teorema Pythagoras // Momen hebat dalam matematika (sebelum 1650). - Asosiasi Matematika Amerika, 1983. - Hal. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (nama lengkap Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 M) adalah seorang dokter yang tinggal di Bagdad yang banyak menulis tentang Elemen Euclid dan subjek matematika lainnya.
- Aydin Sayili (Maret 1960). "Generalisasi Teorema Pythagoras Thâbit ibn Qurra." Isis 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Judith D.Sally, Paul Sally Latihan 2.10 (ii) // Karya yang dikutip. - Hal.62. - ISBN 0821844032
- Untuk detail konstruksi seperti itu, lihat George Jennings Gambar 1.32: Teorema Pythagoras umum // Geometri modern dengan penerapan: dengan 150 angka. - ke-3. - Springer, 1997. - Hal. 23. - ISBN 038794222X
- Arlen Brown, Carl M. Pearcy Barang C: Norma untuk sewenang-wenang N-tuple ... // Pengantar analisis . - Springer, 1995. - Hal.124. - ISBN 0387943692 Lihat juga halaman 47-50.
- Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamon Geometri diferensial modern dari kurva dan permukaan dengan Mathematica. - ke-3. - CRC Press, 2006. - Hal. 194. - ISBN 1584884487
- Rajendra Bhatia Analisis matriks. - Springer, 1997. - Hal. 21. - ISBN 0387948465
- Stephen W. Hawking pekerjaan yang dikutip. - 2005. - Hal.4. - ISBN 0762419229
- Eric W. Weisstein Ensiklopedia matematika ringkas CRC. - ke-2. - 2003. - Hal. 2147. - ISBN 1584883472
- Alexander R. Pruss
Saat Anda pertama kali belajar tentang akar kuadrat dan cara menyelesaikan persamaan irasional (persamaan yang melibatkan persamaan yang tidak diketahui di bawah tanda akar), Anda mungkin pertama kali merasakan kegunaan praktisnya. Kemampuan untuk mengekstrak Akar pangkat dua dari bilangan juga diperlukan untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan teorema Pythagoras. Teorema ini menghubungkan panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.
Misalkan panjang kaki-kaki suatu segitiga siku-siku (kedua sisi yang bertemu pada sudut siku-siku) dilambangkan dengan huruf dan, dan panjang sisi miring (sisi terpanjang dari segitiga yang terletak berhadapan dengan sudut siku-siku) dilambangkan dengan surat. Kemudian panjang-panjang yang bersesuaian dihubungkan dengan hubungan berikut:
Persamaan ini memungkinkan Anda mencari panjang salah satu sisi segitiga siku-siku jika panjang dua sisi lainnya diketahui. Selain itu, Anda juga dapat menentukan apakah segitiga yang dimaksud merupakan segitiga siku-siku, asalkan panjang ketiga sisinya diketahui terlebih dahulu.
Menyelesaikan masalah menggunakan teorema Pythagoras
Untuk memantapkan materi, kita akan menyelesaikan soal-soal berikut dengan menggunakan teorema Pythagoras.
Jadi, diberikan:
- Panjang salah satu kakinya 48, sisi miringnya 80.
- Panjang kakinya 84, sisi miringnya 91.
Mari kita ke solusinya:
a) Mensubstitusi data ke persamaan di atas memberikan hasil sebagai berikut:
48 2 + B 2 = 80 2
2304 + B 2 = 6400
B 2 = 4096
B= 64 atau B = -64
Karena panjang salah satu sisi suatu segitiga tidak dapat dinyatakan angka negatif, opsi kedua otomatis dibuang.
Jawaban pada gambar pertama: B = 64.
b) Panjang kaki segitiga kedua dicari dengan cara yang sama:
84 2 + B 2 = 91 2
7056 + B 2 = 8281
B 2 = 1225
B= 35 atau B = -35
Seperti pada kasus sebelumnya, keputusan negatif dibuang.
Jawaban pada gambar kedua: B = 35
Kami diberikan:
- Panjang sisi-sisi kecil segitiga masing-masing adalah 45 dan 55, dan panjang sisi-sisi besarnya adalah 75.
- Panjang sisi-sisi kecil segitiga masing-masing adalah 28 dan 45, dan sisi-sisi besarnya adalah 53.
Mari kita selesaikan masalahnya:
a) Kita perlu memeriksa apakah jumlah kuadrat panjang sisi terpendek suatu segitiga sama dengan kuadrat panjang sisi yang lebih besar:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Oleh karena itu, segitiga pertama bukanlah segitiga siku-siku.
b) Operasi yang sama dilakukan:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Oleh karena itu, segitiga kedua adalah segitiga siku-siku.
Pertama, cari panjang ruas terbesar yang dibentuk oleh titik-titik dengan koordinat (-2, -3) dan (5, -2). Untuk ini kami menggunakan rumus terkenal untuk mencari jarak antar titik pada sistem koordinat persegi panjang:
Demikian pula, kita mencari panjang segmen yang terletak di antara titik-titik dengan koordinat (-2, -3) dan (2, 1):
Terakhir, kita tentukan panjang ruas antara titik-titik dengan koordinat (2, 1) dan (5, -2):
Karena persamaan berlaku:
maka segitiga yang bersesuaian adalah siku-siku.
Dengan demikian, kita dapat merumuskan jawaban dari soal: karena jumlah kuadrat sisi-sisi yang panjangnya terpendek sama dengan kuadrat sisi yang terpanjang, maka titik-titik tersebut adalah titik sudut suatu segitiga siku-siku.
Alas (terletak secara horizontal), kusen (terletak secara vertikal) dan kabel (diregangkan secara diagonal) masing-masing membentuk segitiga siku-siku, untuk mencari panjang kabel dapat digunakan teorema Pythagoras:
Jadi, panjang kabelnya kurang lebih 3,6 meter.
Diketahui: jarak titik R ke titik P (kaki segitiga) adalah 24, jarak titik R ke titik Q (sisi miring) adalah 26.
Jadi, mari bantu Vita mengatasi masalahnya. Karena sisi-sisi segitiga yang ditunjukkan pada gambar seharusnya membentuk segitiga siku-siku, Anda dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang sisi ketiga:
Jadi, lebar kolam tersebut adalah 10 meter.
Sergei Valerievich
teori Pitagoras- salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan relasi
antara sisi-sisi segitiga siku-siku.
Hal ini diyakini telah dibuktikan oleh ahli matematika Yunani Pythagoras, yang namanya diambil dari namanya.
Rumusan geometri teorema Pythagoras.
Teorema ini awalnya dirumuskan sebagai berikut:
Pada segitiga siku-siku, luas persegi yang dibangun pada sisi miring sama dengan jumlah luas persegi,
dibangun di atas kaki.
Rumusan aljabar teorema Pythagoras.
Pada segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kaki-kakinya.
Yaitu, menyatakan panjang sisi miring segitiga dengan C, dan panjang kakinya A Dan B:
Kedua formulasi tersebut teori Pitagoras setara, tetapi rumusan kedua lebih mendasar, ternyata tidak
memerlukan konsep luas. Artinya, pernyataan kedua dapat diverifikasi tanpa mengetahui apapun tentang daerah dan
dengan mengukur panjang sisi-sisi segitiga siku-siku saja.
Membalikkan teorema Pythagoras.
Jika kuadrat salah satu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi lainnya, maka
segitiga siku-siku.
Atau dengan kata lain:
Untuk setiap tiga kali lipat bilangan positif A, B Dan C, seperti yang
ada segitiga siku-siku dengan kaki A Dan B dan sisi miring C.
Teorema Pythagoras untuk segitiga sama kaki.
Teorema Pythagoras untuk segitiga sama sisi.
Bukti teorema Pythagoras.
Saat ini, 367 bukti teorema ini telah tercatat dalam literatur ilmiah. Mungkin teoremanya
Pythagoras adalah satu-satunya teorema dengan jumlah bukti yang begitu banyak. Keberagaman seperti itu
hanya dapat dijelaskan dengan signifikansi mendasar teorema geometri.
Tentu saja secara konseptual semuanya dapat dibagi menjadi beberapa kelas kecil. Yang paling terkenal di antaranya:
bukti metode daerah, aksiomatis Dan bukti eksotik(Misalnya,
dengan menggunakan persamaan diferensial).
1. Pembuktian teorema Pythagoras menggunakan segitiga sebangun.
Pembuktian rumusan aljabar berikut ini merupakan pembuktian yang paling sederhana yang dibuat
langsung dari aksioma. Secara khusus tidak menggunakan konsep luas suatu bangun.
Membiarkan ABC ada segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C. Mari kita menggambar tingginya dari C dan menunjukkan
fondasinya melalui H.
Segi tiga ACH mirip dengan segitiga AB C di dua sudut. Demikian pula segitiga CBH serupa ABC.
Dengan memperkenalkan notasi:
kita mendapatkan:
,
yang sesuai dengan -
Dilipat A 2 dan B 2, kita mendapatkan:
atau , yang perlu dibuktikan.
2. Pembuktian teorema Pythagoras menggunakan metode luas.
Bukti-bukti di bawah ini, meskipun tampak sederhana, tidaklah sesederhana itu. Mereka semua
menggunakan sifat-sifat luas yang pembuktiannya lebih kompleks daripada pembuktian teorema Pythagoras itu sendiri.
- Bukti melalui kesetaraan yang saling melengkapi.
Mari kita susun empat persegi panjang yang sama besar
segitiga seperti pada gambar
di sebelah kanan.
Segi empat dengan sisi C- persegi,
karena jumlah dua sudut lancip adalah 90°, dan
sudut terbuka - 180°.
Luas keseluruhan gambar, di satu sisi, adalah
luas persegi dengan sisi ( a+b), dan sebaliknya, jumlah luas empat segitiga dan
Q.E.D.
3. Bukti teorema Pythagoras dengan metode yang sangat kecil.
Melihat gambar yang ditunjukkan pada gambar dan
melihat sisinya berubahA, kita dapat
tuliskan relasi berikut untuk tak terhingga
kecil kenaikan sampingDengan Dan A(menggunakan kesamaan
segitiga):
Dengan menggunakan metode pemisahan variabel, kita menemukan:
Ekspresi yang lebih umum untuk perubahan sisi miring jika terjadi kenaikan di kedua sisi:
Mengintegrasikan persamaan ini dan menggunakan kondisi awal, kita memperoleh:
Jadi kita sampai pada jawaban yang diinginkan:
Seperti yang mudah dilihat, ketergantungan kuadrat pada rumus akhir muncul karena ketergantungan linier
proporsionalitas antara sisi-sisi segitiga dan pertambahannya, sedangkan penjumlahannya berhubungan dengan independen
kontribusi dari kenaikan kaki yang berbeda.
Pembuktian yang lebih sederhana dapat diperoleh jika kita berasumsi bahwa salah satu kakinya tidak mengalami pertambahan
(dalam hal ini kaki B). Kemudian untuk konstanta integrasi diperoleh:
teori Pitagoras
Demikian pula segitiga CBH sebangun dengan ABC. Dengan memperkenalkan notasi 
1. Tempatkan empat segitiga siku-siku yang sama besar seperti yang ditunjukkan pada gambar. 
Gagasan pembuktian Euclid adalah sebagai berikut: mari kita coba buktikan bahwa setengah luas persegi yang dibangun di sisi miring sama dengan jumlah setengah luas persegi yang dibangun di atas kaki-kakinya, dan kemudian luas persegi. persegi besar dan dua persegi kecil sama besarnya. Mari kita lihat gambar di sebelah kiri. Di atasnya kita membuat persegi pada sisi-sisi segitiga siku-siku dan menggambar sinar s dari titik sudut siku-siku C tegak lurus sisi miring AB, memotong persegi ABIK yang dibangun di sisi miring menjadi dua persegi panjang - BHJI dan HAKJ, masing-masing. Ternyata luas persegi panjang tersebut sama persis dengan luas persegi yang dibangun pada kaki-kaki yang bersesuaian. Mari kita coba buktikan bahwa luas persegi DECA sama dengan luas persegi panjang AHJK. Untuk melakukannya, kita akan menggunakan pengamatan bantu: Luas segitiga yang tinggi dan alasnya sama dengan persegi panjang yang diberikan sama dengan setengah luas persegi panjang yang diberikan. Ini adalah konsekuensi dari mendefinisikan luas segitiga sebagai setengah hasil kali alas dan tinggi. Dari pengamatan tersebut diperoleh luas segitiga ACK sama dengan luas segitiga AHK (tidak diperlihatkan pada gambar), yang selanjutnya sama dengan setengah luas persegi panjang AHJK. Sekarang mari kita buktikan bahwa luas segitiga ACK juga sama dengan setengah luas persegi DECA. Yang perlu dilakukan hanyalah membuktikan persamaan segitiga ACK dan BDA (karena luas segitiga BDA sama dengan setengah luas persegi menurut sifat-sifat di atas). Persamaan ini jelas terlihat, segitiga-segitiga itu sama besar pada kedua sisi dan besar sudut di antara keduanya. Yaitu - AB=AK,AD=AC - persamaan sudut CAK dan BAD mudah dibuktikan dengan cara gerak: kita memutar segitiga CAK 90° berlawanan arah jarum jam, maka terlihat sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga di pertanyaannya akan bertepatan (karena sudut titik puncak persegi adalah 90°). Alasan persamaan luas persegi BCFG dan persegi panjang BHJI hampir sama. Jadi, kita telah membuktikan bahwa luas persegi yang dibangun pada sisi miring terdiri dari luas persegi yang dibangun pada kaki-kakinya. 
Perhatikan gambarnya, terlihat dari simetrinya, ruas CI memotong persegi ABHJ menjadi dua bagian yang identik (karena segitiga ABC dan JHI memiliki konstruksi yang sama). Dengan menggunakan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam, kita melihat kesetaraan angka CAJI dan GDAB yang diarsir. Sekarang jelas bahwa luas bangun yang kita arsir sama dengan jumlah setengah luas persegi yang dibangun di atas kaki-kakinya dan luas segitiga aslinya. Sebaliknya, itu sama dengan setengah luas persegi yang dibangun di sisi miring, ditambah luas segitiga aslinya. Langkah terakhir dalam pembuktian diserahkan kepada pembaca.
