Persamaan kanonik suatu garis dalam ruang adalah persamaan yang menentukan garis yang melaluinya titik ini segaris terhadap vektor arah.

Biarkan sebuah titik dan vektor arah diberikan. Suatu titik sembarang terletak pada suatu garis aku hanya jika vektor-vektornya dan adalah kolinear, yaitu, kondisinya terpenuhi:

.

Persamaan di atas merupakan persamaan kanonik garis lurus.

Angka M , N Dan P adalah proyeksi vektor arah ke sumbu koordinat. Karena vektornya bukan nol, maka semua bilangan M , N Dan P tidak bisa sekaligus sama dengan nol. Tapi satu atau dua di antaranya mungkin nol. Dalam geometri analitik, misalnya, entri berikut diperbolehkan:

,

yang artinya proyeksi vektor pada sumbu Oi Dan Ons sama dengan nol. Oleh karena itu, baik vektor maupun garis lurus yang ditentukan oleh persamaan kanonik tegak lurus terhadap sumbunya Oi Dan Ons, yaitu pesawat terbang kamu Oz .

Contoh 1. Tuliskan persamaan garis dalam ruang yang tegak lurus bidang dan melewati titik potong bidang ini dengan sumbunya Ons .

Larutan. Mari kita cari titik potong bidang ini dengan sumbunya Ons. Karena setiap titik terletak pada sumbunya Ons, memiliki koordinat , maka, dengan asumsi persamaan bidang yang diberikan x = kamu = 0, kita mendapatkan 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh karena itu, titik potong bidang ini dengan sumbunya Ons memiliki koordinat (0; 0; 2) . Karena garis yang diinginkan tegak lurus terhadap bidang, maka garis tersebut sejajar dengan vektor normalnya. Oleh karena itu, vektor pengarah garis lurus dapat menjadi vektor normal pesawat yang diberikan.

Sekarang mari kita tuliskan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A= (0; 0; 2) searah vektor:

Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus dapat ditentukan oleh dua titik yang terletak diatasnya Dan Dalam hal ini, vektor pengarah garis lurus dapat berupa vektor . Kemudian persamaan garis kanonik mengambil bentuk

.

Persamaan di atas menentukan garis yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2. Tuliskan persamaan garis dalam ruang yang melalui titik dan .

Larutan. Mari kita tuliskan persamaan garis lurus yang diperlukan dalam bentuk yang diberikan di atas dalam referensi teoritis:

.

Karena , maka garis lurus yang diinginkan tegak lurus terhadap sumbu Oi .

Lurus seperti garis perpotongan bidang

Garis lurus dalam ruang dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang yang tidak sejajar dan, yaitu, sebagai himpunan titik yang memenuhi sistem dua persamaan linier.

Persamaan sistem disebut juga persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Contoh 3. Buatlah persamaan kanonik suatu garis dalam ruang yang diberikan oleh persamaan umum

Larutan. Untuk menulis persamaan kanonik suatu garis atau, persamaan garis yang melalui dua titik tertentu, Anda perlu mencari koordinat dua titik mana pun pada garis tersebut. Misalnya, titik tersebut dapat berupa titik potong garis lurus dengan dua bidang koordinat kamu Oz Dan xOz .

Titik potong garis dan bidang kamu Oz memiliki absis X= 0 . Oleh karena itu, asumsikan dalam sistem persamaan ini X= 0, kita mendapatkan sistem dengan dua variabel:

Keputusannya kamu = 2 , z= 6 bersama dengan X= 0 mendefinisikan suatu titik A(0; 2; 6) garis yang diinginkan. Kemudian asumsikan dalam sistem persamaan yang diberikan kamu= 0, kita mendapatkan sistemnya

Keputusannya X = -2 , z= 0 bersama dengan kamu= 0 mendefinisikan suatu titik B(-2; 0; 0) perpotongan garis dengan bidang xOz .

Sekarang mari kita tuliskan persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut A(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

,

atau setelah membagi penyebutnya dengan -2:

,

Biarkan garis melewati titik M 1 (x 1; y 1) dan M 2 (x 2; y 2). Persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berbentuk y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Di mana k - koefisien masih belum diketahui.

Karena garis lurus melalui titik M 2 (x 2 y 2), maka koordinat titik tersebut harus memenuhi persamaan (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Dari sini kita menemukan Mengganti nilai yang ditemukan k ke persamaan (10.6), kita peroleh persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dan M 2:

Diasumsikan dalam persamaan ini x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jika x 1 = x 2, maka garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1,y I) dan M 2 (x 2,y 2) sejajar dengan sumbu ordinat. Persamaannya adalah x = x 1 .

Jika y 2 = y I, maka persamaan garisnya dapat ditulis y = y 1, garis lurus M 1 M 2 sejajar sumbu absis.

Persamaan garis dalam segmen

Misalkan garis lurus tersebut memotong sumbu Ox di titik M 1 (a;0), dan sumbu Oy di titik M 2 (0;b). Persamaannya akan berbentuk:
itu.
. Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dalam ruas-ruas, karena angka a dan b menunjukkan ruas mana yang terpotong oleh garis pada sumbu koordinat.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu

Mari kita cari persamaan garis yang melaluinya titik tertentu Mo (x O; y o) tegak lurus terhadap vektor bukan nol yang diberikan n = (A; B).

Mari kita ambil titik sembarang M(x; y) pada garis dan perhatikan vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (lihat Gambar 1). Karena vektor n dan M o M tegak lurus, hasil kali skalarnya sama dengan nol: yaitu

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Persamaan (10.8) disebut persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu .

Vektor n= (A; B), tegak lurus garis, disebut normal vektor normal garis ini .

Persamaan (10.8) dapat ditulis ulang menjadi Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

dimana A dan B adalah koordinat vektor normal, C = -Ax o - Vu o adalah suku bebas. Persamaan (10.9) adalah persamaan umum garis(lihat Gambar 2).

Gambar.1 Gambar.2

Persamaan garis kanonik

,

Di mana
- koordinat titik yang dilalui garis, dan
- vektor arah.

Kurva orde kedua Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu, yang disebut pusat.

Persamaan kanonik radius lingkaran R terpusat pada suatu titik
:

Khususnya, jika pusat tiang berimpit dengan titik asal koordinat, maka persamaannya akan terlihat seperti:

Elips

Elips adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang yang jumlah jarak masing-masing titik ke dua titik tertentu Dan , yang disebut fokus, adalah besaran konstan
, lebih besar dari jarak antar fokus
.

Persamaan kanonik elips yang fokusnya terletak pada sumbu Ox, dan titik asal koordinat di tengah-tengah antara fokus tersebut berbentuk
G de A panjang sumbu semi-mayor; B – panjang sumbu semi-minor (Gbr. 2).

Persamaan garis lurus pada bidang datar.
Vektor arahnya lurus. vektor biasa

Garis lurus pada bidang adalah salah satu yang paling sederhana bentuk geometris, akrab bagi Anda sejak itu kelas junior, dan hari ini kita akan belajar bagaimana mengatasinya dengan menggunakan metode geometri analitik. Untuk menguasai materi harus mampu membangun garis lurus; mengetahui persamaan apa yang mendefinisikan garis lurus, khususnya garis lurus yang melalui titik asal koordinat dan garis lurus yang sejajar sumbu koordinat. Informasi ini dapat ditemukan di manual Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar, saya membuatnya untuk matan, tetapi bagian tentang fungsi linear Ternyata sangat sukses dan detail. Oleh karena itu, teko sayang, hangatkan dulu di sana. Selain itu, Anda perlu memiliki pengetahuan dasar tentangnya vektor, jika tidak, pemahaman materi tidak akan lengkap.

Dalam pelajaran ini kita akan melihat cara membuat persamaan garis lurus pada bidang. Saya menyarankan untuk tidak mengabaikan contoh-contoh praktis (meskipun tampaknya sangat sederhana), karena saya akan memberi mereka fakta-fakta dasar dan penting, teknik-teknik yang akan diperlukan di masa depan, termasuk di bagian lain matematika yang lebih tinggi.

• Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus dengan koefisien sudut?
• Bagaimana ?
• Bagaimana cara mencari vektor arah menggunakan persamaan umum garis lurus?
• Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus jika diberi titik dan vektor normal?

dan kita mulai:

Persamaan garis lurus dengan kemiringan

Bentuk persamaan garis lurus “sekolah” yang terkenal disebut persamaan garis lurus dengan kemiringan. Misalnya, jika sebuah garis lurus diberikan oleh persamaan tersebut, maka kemiringannya adalah: . Mari kita perhatikan arti geometris dari koefisien ini dan bagaimana nilainya mempengaruhi lokasi garis:

Dalam mata kuliah geometri terbukti bahwa kemiringan garis lurus sama dengan garis singgung sudut antara arah sumbu positifdan baris ini: , dan sudutnya “terbuka” berlawanan arah jarum jam.

Agar tidak mengacaukan gambar, saya menggambar sudut hanya untuk dua garis lurus. Mari kita perhatikan garis “merah” dan kemiringannya. Berdasarkan penjelasan di atas: (sudut “alfa” ditandai dengan busur hijau). Untuk garis lurus “biru” dengan koefisien sudut, persamaannya benar (sudut “beta” ditandai dengan busur coklat). Dan jika garis singgung sudutnya diketahui, maka bila perlu mudah dicari dan sudut itu sendiri menggunakan fungsi invers - arctangent. Seperti kata pepatah, meja trigonometri atau mikrokalkulator ada di tangan Anda. Dengan demikian, koefisien sudut mencirikan derajat kemiringan garis lurus terhadap sumbu absis.

Dalam hal ini, itu mungkin kasus-kasus berikut:

1) Jika kemiringannya negatif: maka garis tersebut, secara kasar, bergerak dari atas ke bawah. Contohnya adalah garis lurus “biru” dan “raspberry” pada gambar.

2) Jika kemiringannya positif: maka garisnya bergerak dari bawah ke atas. Contohnya adalah garis lurus “hitam” dan “merah” pada gambar.

3) Jika kemiringannya nol: , maka persamaannya berbentuk , dan garis lurus yang bersesuaian sejajar dengan sumbu. Contohnya adalah garis lurus “kuning”.

4) Untuk kelompok garis yang sejajar dengan suatu sumbu (tidak ada contoh pada gambar, kecuali sumbu itu sendiri), koefisien sudut tidak ada (garis singgung 90 derajat tidak ditentukan).

Semakin besar koefisien kemiringan nilai absolutnya, semakin curam grafik garis lurusnya..

Misalnya, perhatikan dua garis lurus. Oleh karena itu, di sini garis lurus memiliki kemiringan yang lebih curam. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa modul ini memungkinkan Anda mengabaikan tanda, kami hanya tertarik pada nilai absolut koefisien sudut.

Sebaliknya, garis lurus lebih curam daripada garis lurus .

Sebaliknya: semakin kecil koefisien kemiringan nilai absolutnya, maka garis lurus tersebut semakin datar.

Untuk garis lurus pertidaksamaannya benar, sehingga garis lurusnya lebih datar. Perosotan anak-anak, agar tidak membuat diri Anda memar dan bentol.

Mengapa hal ini perlu?

Perpanjang siksaan Anda Pengetahuan tentang fakta di atas memungkinkan Anda untuk segera melihat kesalahan Anda, khususnya kesalahan saat membuat grafik - jika gambarnya ternyata "jelas ada yang salah". Dianjurkan agar Anda langsung terlihat jelas, misalnya garis lurus sangat curam dan memanjang dari bawah ke atas, dan garis lurus sangat datar, menempel dekat sumbu dan memanjang dari atas ke bawah.

Dalam soal geometri, beberapa garis lurus sering muncul, sehingga lebih mudah untuk menentukannya.

Sebutan: garis lurus dinyatakan kecil dengan huruf latin: . Pilihan yang populer adalah menunjuknya menggunakan huruf yang sama dengan subskrip alami. Misalnya, lima garis yang baru saja kita lihat dapat dilambangkan dengan .

Karena setiap garis lurus ditentukan secara unik oleh dua titik, maka garis tersebut dapat dilambangkan dengan titik-titik berikut: dll. Penunjukan tersebut dengan jelas menyiratkan bahwa titik-titik tersebut termasuk dalam garis.

Saatnya melakukan sedikit pemanasan:

Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus dengan koefisien sudut?

Jika suatu titik yang termasuk dalam suatu garis tertentu dan koefisien sudut garis tersebut diketahui, maka persamaan garis tersebut dinyatakan dengan rumus:

Contoh 1

Tuliskan persamaan garis lurus dengan koefisien sudut jika diketahui titik tersebut termasuk dalam garis lurus tersebut.

Larutan: Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan rumus . DI DALAM pada kasus ini:

Menjawab:

Penyelidikan dilakukan secara sederhana. Pertama, kita lihat persamaan yang dihasilkan dan pastikan kemiringan kita sudah tepat. Kedua, koordinat titik harus memenuhi persamaan ini. Mari kita masukkan ke dalam persamaan:

Persamaan yang benar diperoleh, yang berarti titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan.

Kesimpulan: Persamaan ditemukan dengan benar.

Contoh yang lebih rumit untuk keputusan independen:

Contoh 2

Tuliskan persamaan garis lurus jika diketahui sudut kemiringannya terhadap arah sumbu positif adalah , dan titik tersebut termasuk dalam garis lurus tersebut.

Jika Anda mengalami kesulitan, baca kembali materi teorinya. Lebih tepatnya, lebih praktis, saya melewatkan banyak bukti.

Telepon itu berdering panggilan terakhir, pesta kelulusan telah berlalu, dan di luar gerbang sekolah asal kita, geometri analitik sendiri menunggu kita. Lelucon sudah berakhir... Atau mungkin mereka baru saja memulai =)

Kami bernostalgia melambaikan pena kami ke familiar dan berkenalan dengan persamaan umum garis lurus. Karena dalam geometri analitik inilah yang digunakan:

Persamaan umum garis lurus mempunyai bentuk: , di mana beberapa nomornya. Pada saat yang sama, koefisiennya serentak tidak sama dengan nol, karena persamaan tersebut kehilangan maknanya.

Mari kita mengenakan setelan jas dan mengikat persamaan tersebut dengan koefisien kemiringan. Pertama, mari kita pindahkan semua persyaratan ke sisi kiri:

Istilah dengan “X” harus didahulukan:

Pada prinsipnya persamaan tersebut sudah berbentuk , namun menurut kaidah etika matematika, koefisien suku pertama (dalam hal ini) harus positif. Mengubah tanda:

Ingat fitur teknis ini! Koefisien pertama (paling sering) kita jadikan positif!

Dalam geometri analitik, persamaan garis lurus hampir selalu diberikan bentuk umum. Nah, jika perlu, dapat dengan mudah direduksi menjadi bentuk “sekolah” dengan koefisien sudut (kecuali garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat).

Mari kita bertanya pada diri sendiri apa cukup tahu cara membuat garis lurus? Dua poin. Tapi lebih banyak tentang kejadian masa kecil ini, sekarang aturannya dipatahkan dengan panah. Setiap garis lurus memiliki kemiringan yang sangat spesifik, sehingga mudah untuk “beradaptasi”. vektor.

Vektor yang sejajar dengan suatu garis disebut vektor arah garis tersebut. Jelas sekali bahwa setiap garis lurus memiliki jumlah vektor arah yang tak terhingga, dan semuanya akan segaris (searah atau tidak - tidak masalah).

Saya akan menyatakan vektor arah sebagai berikut: .

Tetapi satu vektor saja tidak cukup untuk membuat sebuah garis lurus; vektor tersebut bebas dan tidak terikat pada titik mana pun pada bidang tersebut. Oleh karena itu, perlu juga diketahui beberapa titik yang termasuk dalam garis tersebut.

Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah?

Jika suatu titik tertentu yang termasuk dalam suatu garis dan vektor arah garis tersebut diketahui, maka persamaan garis tersebut dapat disusun dengan menggunakan rumus:

Kadang-kadang disebut persamaan garis kanonik .

Apa yang harus dilakukan kapan salah satu koordinatnya sama dengan nol, kita akan memahaminya dalam contoh praktis di bawah ini. Ngomong-ngomong, harap diperhatikan - keduanya sekaligus koordinat tidak boleh sama dengan nol, karena vektor nol tidak menentukan arah tertentu.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis lurus dengan menggunakan titik dan vektor arah

Larutan: Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan rumus. Pada kasus ini:

Dengan menggunakan sifat proporsi kita menghilangkan pecahan:

Dan kami membawa persamaannya ke penampilan umum:

Menjawab:

Sebagai aturan, tidak perlu membuat gambar menggunakan contoh seperti itu, tetapi demi pemahaman:

Dalam gambar kita melihat titik awal, vektor arah asli (dapat diplot dari titik mana pun pada bidang) dan garis lurus yang dibangun. Omong-omong, dalam banyak kasus, paling mudah membuat garis lurus menggunakan persamaan dengan koefisien sudut. Sangat mudah untuk mengubah persamaan kita ke dalam bentuk dan dengan mudah memilih titik lain untuk membuat garis lurus.

Seperti disebutkan di awal paragraf, sebuah garis lurus memiliki banyak vektor arah yang tak terhingga, dan semuanya segaris. Misalnya, saya menggambar tiga vektor berikut: . Apapun vektor arah yang kita pilih, persamaan garis lurus yang dihasilkan akan selalu sama.

Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Menyelesaikan proporsi:

Bagilah kedua ruas dengan –2 dan dapatkan persamaan yang sudah dikenal:

Mereka yang berminat dapat menguji vektor dengan cara yang sama atau vektor kolinear lainnya.

Sekarang mari kita selesaikan masalah kebalikannya:

Bagaimana cara mencari vektor arah menggunakan persamaan umum garis lurus?

Sangat sederhana:

Jika suatu garis diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat persegi panjang, maka vektornya adalah vektor arah garis tersebut.

Contoh mencari vektor arah garis lurus:

Pernyataan ini memungkinkan kita untuk menemukan hanya satu vektor arah dari bilangan tak terhingga, namun kita tidak memerlukan lebih banyak lagi. Meskipun dalam beberapa kasus disarankan untuk mengurangi koordinat vektor arah:

Jadi, persamaan tersebut menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu dan koordinat vektor arah yang dihasilkan dapat dengan mudah dibagi dengan –2, sehingga memperoleh vektor basis yang tepat sebagai vektor arah. Logis.

Demikian pula, persamaan tersebut menentukan garis lurus yang sejajar dengan sumbu, dan dengan membagi koordinat vektor dengan 5, kita memperoleh vektor satuan sebagai vektor arah.

Sekarang mari kita lakukan memeriksa Contoh 3. Contohnya sudah naik, jadi saya ingatkan Anda bahwa di dalamnya kita menyusun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah

Pertama, dengan menggunakan persamaan garis lurus kita merekonstruksi vektor arahnya: – semuanya baik-baik saja, kami telah menerima vektor asli (dalam beberapa kasus hasilnya mungkin berupa vektor yang segaris dengan vektor aslinya, dan ini biasanya mudah dilihat dari proporsionalitas koordinat yang bersesuaian).

Kedua, koordinat titik harus memenuhi persamaan. Kami menggantinya ke dalam persamaan:

Kesetaraan yang benar telah diperoleh, dan kami sangat gembira.

Kesimpulan: Tugas diselesaikan dengan benar.

Contoh 4

Tuliskan persamaan garis lurus dengan menggunakan titik dan vektor arah

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran. Sangat disarankan untuk memeriksa menggunakan algoritma yang baru saja dibahas. Usahakan untuk selalu (jika memungkinkan) memeriksa draf. Adalah bodoh untuk membuat kesalahan yang 100% bisa dihindari.

Jika salah satu koordinat vektor arah adalah nol, lakukan dengan sangat sederhana:

Contoh 5

Larutan: Rumusnya tidak cocok karena penyebut di ruas kanan adalah nol. Ada jalan keluar! Dengan menggunakan sifat-sifat proporsi, kami menulis ulang rumus dalam bentuk, dan sisanya mengikuti alur yang dalam:

Menjawab:

Penyelidikan:

1) Kembalikan vektor pengarah garis lurus:
– vektor yang dihasilkan segaris terhadap vektor arah asal.

2) Substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan:

Persamaan yang benar diperoleh

Kesimpulan: tugas diselesaikan dengan benar

Timbul pertanyaan, mengapa repot-repot menggunakan rumus tersebut jika ada versi universal yang dapat digunakan dalam hal apa pun? Ada dua alasan. Pertama, rumusnya berbentuk pecahan jauh lebih baik diingat. Dan yang kedua, kerugiannya rumus universal Apakah itu risiko kebingungan meningkat secara signifikan saat mengganti koordinat.

Contoh 6

Tuliskan persamaan garis lurus dengan menggunakan titik dan vektor arah.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Mari kita kembali ke dua poin yang ada di mana-mana:

Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus menggunakan dua titik?

Jika diketahui dua titik, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik tersebut dapat disusun dengan menggunakan rumus:

Faktanya, ini adalah sejenis rumus dan inilah alasannya: jika dua titik diketahui, maka vektornya akan menjadi vektor arah dari garis tersebut. Di pelajaran Vektor untuk boneka kami mempertimbangkan tugas paling sederhana– cara mencari koordinat vektor dari dua titik. Berdasarkan soal ini, koordinat vektor arah adalah:

Catatan : poinnya bisa “ditukar” dan rumusnya bisa digunakan . Solusi seperti itu akan setara.

Contoh 7

Tuliskan persamaan garis lurus menggunakan dua titik .

Larutan: Kami menggunakan rumus:

Menyisir penyebutnya:

Dan kocok dek:

Sekaranglah waktunya untuk menyingkirkannya bilangan pecahan. Dalam hal ini, Anda perlu mengalikan kedua ruas dengan 6:

Buka tanda kurung dan ingat persamaannya:

Menjawab:

Penyelidikan jelas - koordinat titik awal harus memenuhi persamaan yang dihasilkan:

1) Substitusikan koordinat titiknya:

Kesetaraan yang sebenarnya.

2) Substitusikan koordinat titiknya:

Kesetaraan yang sebenarnya.

Kesimpulan: Persamaan garis ditulis dengan benar.

Jika setidaknya satu poin tidak memenuhi persamaan, cari kesalahan.

Perlu dicatat bahwa verifikasi grafis dalam kasus ini sulit, karena buatlah garis lurus dan lihat apakah titik-titik tersebut termasuk di dalamnya , tidak sesederhana itu.

Saya akan mencatat beberapa aspek teknis dari solusi ini. Mungkin dalam soal ini lebih menguntungkan menggunakan rumus cermin dan, pada titik yang sama buatlah persamaan:

Lebih sedikit pecahan. Jika mau, Anda bisa menjalankan penyelesaiannya sampai akhir, hasilnya harus persamaan yang sama.

Poin kedua adalah melihat jawaban akhir dan mencari tahu apakah bisa disederhanakan lebih lanjut? Misalnya, jika Anda mendapatkan persamaan , maka disarankan untuk menguranginya menjadi dua: – persamaan tersebut akan mendefinisikan garis lurus yang sama. Namun, hal ini sudah menjadi topik perbincangan posisi relatif garis.

Setelah menerima jawabannya dalam Contoh 7, untuk berjaga-jaga, saya memeriksa apakah SEMUA koefisien persamaan habis dibagi 2, 3 atau 7. Meskipun demikian, pengurangan seperti itu paling sering dilakukan selama penyelesaian.

Contoh 8

Tuliskan persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut .

Ini adalah contoh solusi mandiri yang memungkinkan Anda lebih memahami dan mempraktikkan teknik perhitungan.

Mirip dengan paragraf sebelumnya: jika dalam rumus salah satu penyebutnya (koordinat vektor arah) menjadi nol, kemudian kita tulis ulang dalam bentuk . Sekali lagi, perhatikan betapa canggung dan bingungnya dia. Saya tidak melihat ada gunanya membawa contoh praktis, karena kita sebenarnya telah memecahkan masalah seperti itu (lihat No. 5, 6).

Vektor normal langsung (vektor normal)

Apa yang normal? Dengan kata sederhana, normal adalah tegak lurus. Artinya, vektor normal suatu garis tegak lurus terhadap suatu garis tertentu. Jelasnya, setiap garis lurus memiliki jumlah vektor yang tak terhingga (begitu juga dengan vektor arah), dan semua vektor normal dari garis lurus tersebut akan kolinear (berarah atau tidak, tidak ada bedanya).

Berurusan dengan mereka akan lebih mudah dibandingkan dengan vektor panduan:

Jika suatu garis diberikan oleh persamaan umum dalam sistem koordinat persegi panjang, maka vektornya adalah vektor normal garis tersebut.

Jika koordinat vektor arah harus “ditarik” dengan hati-hati dari persamaan, maka koordinat vektor normal dapat dengan mudah “dihilangkan”.

Vektor normal selalu ortogonal terhadap vektor arah garis. Mari kita verifikasi ortogonalitas vektor-vektor ini menggunakan produk titik:

Saya akan memberikan contoh dengan persamaan yang sama seperti vektor arah:

Apakah mungkin membuat persamaan garis lurus jika diberi satu titik dan vektor normal? Saya merasakannya di dalam hati, itu mungkin. Jika vektor normal diketahui, maka arah garis lurus itu sendiri ditentukan dengan jelas - ini adalah “struktur kaku” dengan sudut 90 derajat.

Bagaimana cara menulis persamaan garis lurus jika diberi titik dan vektor normal?

Jika suatu titik tertentu yang termasuk dalam suatu garis dan vektor normal garis tersebut diketahui, maka persamaan garis tersebut dinyatakan dengan rumus:

Di sini semuanya berjalan lancar tanpa pecahan dan kejutan lainnya. Ini adalah vektor normal kita. Cintai dia. Dan hormat =)

Contoh 9

Tuliskan persamaan garis lurus yang diberi titik dan vektor normal. Temukan vektor arah garis.

Larutan: Kami menggunakan rumus:

Persamaan umum garis lurus sudah didapat, mari kita periksa:

1) “Hapus” koordinat vektor normal dari persamaan: – ya, memang, vektor asli diperoleh dari kondisi (atau harus diperoleh vektor kolinear).

2) Mari kita periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan:

Kesetaraan yang sebenarnya.

Setelah kami yakin bahwa persamaan tersebut disusun dengan benar, kami akan menyelesaikan tugas bagian kedua yang lebih mudah. Kita ambil vektor pengarah garis lurus:

Menjawab:

Dalam gambar, situasinya terlihat seperti ini:

Untuk tujuan pelatihan, tugas serupa untuk diselesaikan secara mandiri:

Contoh 10

Tuliskan persamaan garis lurus yang diberi titik dan vektor normal. Temukan vektor arah garis.

Bagian terakhir dari pelajaran ini akan dikhususkan untuk jenis-jenis persamaan garis pada bidang yang kurang umum, tetapi juga penting

Persamaan garis lurus dalam segmen.
Persamaan garis dalam bentuk parametrik

Persamaan garis lurus dalam ruas-ruas berbentuk , dimana merupakan konstanta bukan nol. Beberapa jenis persamaan tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk ini, misalnya proporsionalitas langsung (karena suku bebasnya sama dengan nol dan tidak ada cara untuk mendapatkannya di ruas kanan).

Secara kiasan, ini adalah jenis persamaan “teknis”. Tugas umum adalah merepresentasikan persamaan umum suatu garis sebagai persamaan garis dalam segmen. Bagaimana cara yang nyaman? Persamaan garis dalam segmen memungkinkan Anda dengan cepat menemukan titik potong garis dengan sumbu koordinat, yang bisa menjadi sangat penting dalam beberapa masalah matematika tingkat tinggi.

Mari kita cari titik potong garis dengan sumbunya. Kita menyetel ulang “y” ke nol, dan persamaannya berbentuk . Poin yang diinginkan diperoleh secara otomatis: .

Sama dengan sumbu – titik potong garis lurus terhadap sumbu ordinat.

Definisi. Setiap garis lurus pada bidang dapat ditentukan dengan persamaan orde pertama

Kapak + Wu + C = 0,

Selain itu, konstanta A dan B tidak sama dengan nol pada waktu yang bersamaan. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus. Tergantung pada nilainya konstanta A, B dan C kasus khusus berikut mungkin terjadi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – garis lurus melalui titik asal

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - garis lurus sejajar sumbu Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – garis lurus sejajar sumbu Oy

B = C = 0, A ≠0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Oy

A = C = 0, B ≠0 – garis lurus berimpit dengan sumbu Ox

Persamaan garis lurus dapat direpresentasikan dalam dalam berbagai bentuk tergantung pada kondisi awal tertentu.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor normal

Definisi. Dalam sistem koordinat persegi panjang kartesius, sebuah vektor dengan komponen (A, B) tegak lurus terhadap garis lurus yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) tegak lurus (3, -1).

Larutan. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita buat persamaan garis lurus: 3x – y + C = 0. Untuk mencari koefisien C, kita substitusikan koordinat titik A ke dalam persamaan yang dihasilkan, kita peroleh: 3 – 2 + C = 0, maka C = -1 . Total : persamaan yang dibutuhkan: 3x – y – 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik

Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut adalah:

Jika salah satu penyebutnya sama dengan nol, maka pembilangnya harus sama dengan nol.Pada bidang datar, persamaan garis yang tertulis di atas disederhanakan:

jika x 1 ≠ x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan = k disebut lereng lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Larutan. Menerapkan rumus yang tertulis di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan kemiringan

Jika total Ax + Bu + C = 0, maka diperoleh bentuk:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut persamaan garis lurus dengan kemiringank.

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan vektor arah

Dengan analogi titik dengan memperhatikan persamaan garis lurus yang melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan definisi garis lurus yang melalui suatu titik dan vektor pengarah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1, α 2) yang komponen-komponennya memenuhi syarat A α 1 + B α 2 = 0 disebut vektor pengarah garis

Kapak + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Larutan. Kita akan mencari persamaan garis yang diinginkan berupa: Ax + By + C = 0. Sesuai dengan definisinya, koefisien harus memenuhi syarat:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. SEBUAH = B.

Maka persamaan garis lurus berbentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0. untuk x = 1, y = 2 kita peroleh C/ A = -3, yaitu persamaan yang diperlukan:

Persamaan garis dalam segmen

Jika pada persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka dibagi dengan –С diperoleh: atau

Arti geometris koefisien adalah koefisien itu A adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu Sapi, dan B– koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu Oy.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis x – y + 1 = 0. Tentukan persamaan garis ini dalam ruas-ruas.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan garis normal

Jika kedua ruas persamaan Ax + By + C = 0 dikalikan dengan bilangan tersebut yang disebut faktor normalisasi, lalu kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

persamaan garis normal. Tanda ± faktor normalisasi harus dipilih sehingga μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Contoh. Diketahui persamaan umum garis lurus 12x – 5y – 65 = 0. Anda perlu menulis Berbagai jenis persamaan garis ini.

persamaan garis ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan kemiringannya: (bagi 5)

; karena φ = 12/13; dosa φ= -5/13; hal = 5.

Perlu diperhatikan bahwa tidak setiap garis lurus dapat direpresentasikan dengan persamaan dalam segmen-segmen, misalnya garis lurus yang sejajar sumbu atau melalui titik asal koordinat.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama besar pada sumbu koordinat. Tuliskan persamaan garis lurus jika luas segitiga yang dibentuk oleh ruas-ruas tersebut adalah 8 cm 2.

Larutan. Persamaan garis lurus berbentuk: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. sebuah = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik A(-2, -3) dan titik asal.

Larutan. Persamaan garis lurusnya adalah: , dimana x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; kamu 2 = -3.

Sudut antar garis lurus pada suatu bidang

Definisi. Jika diberikan dua garis y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garis-garis tersebut didefinisikan sebagai

.

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2. Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/ k 2.

Dalil. Garis Ax + Bу + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sejajar jika koefisien A 1 = λA, B 1 = λB sebanding. Jika juga C 1 = λC, maka garis-garisnya berimpit. Koordinat titik potong dua garis dicari sebagai penyelesaian sistem persamaan garis tersebut.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu tegak lurus terhadap suatu garis tertentu

Definisi. Garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis lurus y = kx + b dinyatakan dengan persamaan:

Jarak dari titik ke garis

Dalil. Jika diberikan titik M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ax + Bу + C = 0 ditentukan sebagai

.

Bukti. Misalkan titik M 1 (x 1, y 1) adalah alas garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke suatu garis lurus tertentu. Maka jarak antara titik M dan M 1 :

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 dapat dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ini adalah persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu M 0 tegak lurus terhadap suatu garis tertentu. Jika kita mengubah persamaan pertama sistem menjadi bentuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Kapak 0 + Oleh 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikannya, kita mendapatkan:

Mengganti ekspresi ini ke persamaan (1), kita menemukan:

Teorema tersebut telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antar garis: y = -3 x + 7; kamu = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x – 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y – 3 = 0 tegak lurus.

Larutan. Diketahui: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, jadi garis-garisnya tegak lurus.

Contoh. Diketahui titik sudut segitiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Tentukan persamaan tinggi yang ditarik dari titik sudut C.

Larutan. Kita cari persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 tahun – 6;

2 x – 3 tahun + 3 = 0;

Persamaan tinggi badan yang dibutuhkan berbentuk: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Maka kamu = . Karena tingginya melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan berikut: dari mana b = 17. Jumlah : .

Jawab: 3 x + 2 tahun – 34 = 0.

Artikel ini melanjutkan topik persamaan garis pada bidang: kita akan menganggap persamaan jenis ini sebagai persamaan umum suatu garis. Mari kita definisikan teorema tersebut dan berikan buktinya; Mari kita cari tahu apa itu persamaan umum garis tidak lengkap dan bagaimana melakukan transisi dari persamaan umum ke persamaan garis jenis lainnya. Kami akan memperkuat keseluruhan teori dengan ilustrasi dan solusi terhadap masalah praktis.

Yandex.RTB RA-339285-1

Biarkan sistem koordinat persegi panjang O x y ditentukan pada bidang.

Teorema 1

Setiap persamaan derajat pertama, yang berbentuk A x + B y + C = 0, di mana A, B, C adalah beberapa bilangan real (A dan B tidak sama dengan nol pada saat yang sama), mendefinisikan garis lurus di sistem koordinat persegi panjang pada bidang. Pada gilirannya, setiap garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang ditentukan oleh persamaan yang berbentuk A x + B y + C = 0 untuk himpunan nilai tertentu A, B, C.

Bukti

Teorema ini terdiri dari dua poin; kami akan membuktikan masing-masing poin.

1. Mari kita buktikan bahwa persamaan A x + B y + C = 0 mendefinisikan garis lurus pada bidang.

Misalkan ada titik M 0 (x 0 , y 0) yang koordinatnya sesuai dengan persamaan A x + B y + C = 0. Jadi: A x 0 + B y 0 + C = 0. Kurangi ruas kiri dan kanan persamaan A x + B y + C = 0 ruas kiri dan kanan persamaan A x 0 + B y 0 + C = 0, kita peroleh persamaan baru seperti A (x - x 0) + B (kamu - kamu 0) = 0 . Ini setara dengan A x + B y + C = 0.

Persamaan yang dihasilkan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 diperlukan dan kondisi cukup tegak lurus vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Jadi, himpunan titik M (x, y) mendefinisikan garis lurus pada sistem koordinat persegi panjang yang tegak lurus arah vektor n → = (A, B). Kita dapat berasumsi bahwa hal ini tidak terjadi, tetapi vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) tidak akan tegak lurus, dan persamaan A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 tidak benar.

Akibatnya, persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 mendefinisikan suatu garis tertentu dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang tersebut, dan oleh karena itu persamaan ekuivalen A x + B y + C = 0 mendefinisikan baris yang sama. Beginilah cara kami membuktikan bagian pertama teorema.

1. Mari kita buktikan bahwa setiap garis lurus pada sistem koordinat persegi panjang pada suatu bidang dapat ditentukan dengan persamaan derajat pertama A x + B y + C = 0.

Mari kita definisikan garis lurus a dalam sistem koordinat persegi panjang pada bidang; titik M 0 (x 0 , y 0) yang dilalui garis ini, serta vektor normal garis ini n → = (A, B) .

Misalkan ada juga suatu titik M (x, y) - titik mengambang pada suatu garis. Dalam hal ini, vektor n → = (A, B) dan M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) saling tegak lurus, dan hasil kali skalarnya adalah nol:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

Mari kita tulis ulang persamaan A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definisikan C: C = - A x 0 - B y 0 dan sebagai hasil akhirnya kita mendapatkan persamaan A x + B y + C = 0.

Jadi, kita telah membuktikan teorema bagian kedua, dan kita telah membuktikan seluruh teorema secara keseluruhan.

Definisi 1

Persamaan bentuk A x + B y + C = 0 - Ini persamaan umum suatu garis pada bidang dalam sistem koordinat persegi panjangOks.

Berdasarkan teorema yang telah dibuktikan, kita dapat menyimpulkan bahwa garis lurus dan persamaan umumnya yang didefinisikan pada suatu bidang dalam sistem koordinat persegi panjang tetap mempunyai hubungan yang tidak dapat dipisahkan. Dengan kata lain, garis asal sesuai dengan persamaan umumnya; persamaan umum suatu garis bersesuaian dengan garis tertentu.

Dari pembuktian teorema tersebut juga dapat disimpulkan bahwa koefisien A dan B untuk variabel x dan y adalah koordinat vektor normal garis tersebut, yang diberikan oleh persamaan umum garis A x + B y + C = 0.

Mari kita perhatikan contoh spesifik persamaan umum garis lurus.

Misalkan diberikan persamaan 2 x + 3 y - 2 = 0, yang bersesuaian dengan garis lurus dalam sistem koordinat persegi panjang tertentu. Vektor normal garis ini adalah vektor n → = (2 , 3) ​​​​. Mari kita menggambar garis lurus yang diberikan pada gambar.

Kita juga dapat menyatakan hal berikut: garis lurus yang kita lihat pada gambar ditentukan oleh persamaan umum 2 x + 3 y - 2 = 0, karena koordinat semua titik pada garis lurus tertentu sesuai dengan persamaan ini.

Persamaan λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 dapat kita peroleh dengan mengalikan kedua ruas persamaan umum garis dengan bilangan λ yang tidak sama dengan nol. Persamaan yang dihasilkan ekuivalen dengan persamaan umum awal, sehingga akan menggambarkan garis lurus yang sama pada bidang tersebut.

Definisi 2

Menyelesaikan persamaan umum suatu garis– persamaan umum garis lurus A x + B y + C = 0, yang bilangan A, B, C berbeda dengan nol. Kalau tidak, persamaannya adalah tidak lengkap.

Mari kita analisis semua variasi persamaan umum garis yang tidak lengkap.

1. Jika A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, persamaan umumnya berbentuk B y + C = 0. Persamaan umum yang tidak lengkap tersebut mendefinisikan dalam sistem koordinat persegi panjang O x y suatu garis lurus yang sejajar dengan sumbu O x, karena untuk setiap nilai riil x variabel y akan mengambil nilai tersebut - C B . Dengan kata lain, persamaan umum garis lurus A x + B y + C = 0, jika A = 0, B ≠ 0, menentukan tempat kedudukan titik (x, y), yang koordinatnya sama dengan bilangan yang sama - C B .
2. Jika A = 0, B ≠ 0, C = 0, persamaan umum berbentuk y = 0. Ini persamaan yang tidak lengkap mendefinisikan sumbu absis O x .
3. Ketika A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, kita memperoleh persamaan umum yang tidak lengkap A x + C = 0, yang mendefinisikan garis lurus yang sejajar dengan ordinat.
4. Misalkan A ≠ 0, B = 0, C = 0, maka persamaan umum yang tidak lengkap akan berbentuk x = 0, dan ini adalah persamaan garis koordinat O y.
5. Terakhir, untuk A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, persamaan umum yang tidak lengkap berbentuk A x + B y = 0. Dan persamaan ini menggambarkan garis lurus yang melalui titik asal. Faktanya, pasangan bilangan (0, 0) berhubungan dengan persamaan A x + B y = 0, karena A · 0 + B · 0 = 0.

Mari kita ilustrasikan secara grafis semua jenis persamaan umum garis lurus yang tidak lengkap di atas.

Contoh 1

Diketahui garis lurus tertentu sejajar sumbu ordinat dan melalui titik 2 7, - 11. Persamaan umum dari garis yang diberikan perlu dituliskan.

Larutan

Garis lurus yang sejajar sumbu ordinat diberikan oleh persamaan berbentuk A x + C = 0, dimana A ≠ 0. Kondisi tersebut juga menentukan koordinat titik yang dilalui garis tersebut, dan koordinat titik tersebut memenuhi syarat persamaan umum tidak lengkap A x + C = 0, yaitu. persamaannya benar:

SEBUAH 2 7 + C = 0

Dari situ kita dapat menentukan C jika kita memberi A suatu nilai bukan nol, misalnya A = 7. Dalam hal ini, kita mendapatkan: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Kita mengetahui koefisien A dan C, substitusikan keduanya ke dalam persamaan A x + C = 0 dan dapatkan persamaan garis lurus yang diperlukan: 7 x - 2 = 0

Menjawab: 7 x - 2 = 0

Contoh 2

Gambar menunjukkan garis lurus, Anda perlu menuliskan persamaannya.

Larutan

Gambar yang diberikan memungkinkan kita dengan mudah mengambil data awal untuk menyelesaikan masalah. Kita melihat pada gambar bahwa garis lurus tertentu sejajar dengan sumbu O x dan melalui titik (0, 3).

Garis lurus yang sejajar sumbu absis ditentukan oleh persamaan umum tidak lengkap B y + C = 0. Mari kita cari nilai B dan C. Koordinat titik (0, 3) karena garis yang melaluinya memenuhi persamaan garis B y + C = 0, maka berlaku persamaan: B · 3 + C = 0. Mari kita atur B ke nilai selain nol. Misalkan B = 1, maka dari persamaan B · 3 + C = 0 kita dapat mencari C: C = - 3. Kita gunakan nilai-nilai yang diketahui B dan C, kita memperoleh persamaan garis lurus yang diperlukan: y - 3 = 0.

Menjawab: kamu - 3 = 0 .

Persamaan umum garis yang melalui suatu titik tertentu pada suatu bidang

Misalkan garis tertentu melalui titik M 0 (x 0 , y 0), maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis tersebut, yaitu. persamaannya benar: A x 0 + B y 0 + C = 0. Mari kita kurangi ruas kiri dan kanan persamaan ini dari ruas kiri dan kanan persamaan umum persamaan lengkap lurus. Kita peroleh: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, persamaan ini ekuivalen dengan persamaan umum awal, melewati titik M 0 (x 0, y 0) dan mempunyai normal vektor n → = (A, B) .

Hasil yang kami peroleh memungkinkan untuk menulis persamaan umum garis lurus dengan koordinat yang diketahui vektor normal suatu garis dan koordinat titik tertentu pada garis tersebut.

Contoh 3

Diberikan sebuah titik M 0 (- 3, 4) yang melaluinya sebuah garis, dan vektor normal garis tersebut n → = (1 , - 2) . Persamaan garis yang diberikan perlu dituliskan.

Larutan

Kondisi awal memungkinkan kita memperoleh data yang diperlukan untuk menyusun persamaan: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Kemudian:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

Masalahnya bisa saja diselesaikan dengan cara berbeda. Persamaan umum garis lurus adalah A x + B y + C = 0. Vektor normal yang diberikan memungkinkan kita memperoleh nilai koefisien A dan B, maka:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

Sekarang mari kita cari nilai C menggunakan titik M 0 (- 3, 4) yang ditentukan oleh kondisi soal yang dilalui garis lurus. Koordinat titik ini sesuai dengan persamaan x - 2 · y + C = 0, yaitu. - 3 - 2 4 + C = 0. Oleh karena itu C = 11. Persamaan garis lurus yang diperlukan berbentuk: x - 2 · y + 11 = 0.

Menjawab: x - 2 tahun + 11 = 0 .

Contoh 4

Diberikan sebuah garis 2 3 x - y - 1 2 = 0 dan sebuah titik M 0 yang terletak pada garis tersebut. Hanya absis titik ini yang diketahui, dan sama dengan -3. Penting untuk menentukan ordinat suatu titik tertentu.

Larutan

Mari kita tentukan koordinat titik M 0 sebagai x 0 dan y 0 . Sumber data menunjukkan bahwa x 0 = - 3. Karena suatu titik termasuk dalam suatu garis tertentu, maka koordinatnya sesuai dengan persamaan umum garis tersebut. Maka persamaannya akan menjadi benar:

2 3 x 0 - kamu 0 - 1 2 = 0

Definisikan y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

Menjawab: - 5 2

Peralihan dari persamaan umum suatu garis ke jenis persamaan garis lainnya dan sebaliknya

Seperti yang kita ketahui, ada beberapa jenis persamaan garis lurus yang sama pada suatu bidang. Pemilihan jenis persamaan bergantung pada kondisi permasalahan; dimungkinkan untuk memilih salah satu yang lebih nyaman untuk menyelesaikannya. Keterampilan mengubah persamaan suatu jenis menjadi persamaan jenis lain sangat berguna di sini.

Pertama, mari kita perhatikan transisi dari persamaan umum bentuk A x + B y + C = 0 ke persamaan kanonik x - x 1 a x = y - y 1 a y.

Jika A ≠ 0, maka suku B y kita pindahkan ke sisi kanan persamaan umum. Di sisi kiri kita keluarkan A dari tanda kurung. Hasilnya kita mendapatkan: A x + C A = - B y.

Persamaan ini dapat dituliskan sebagai suatu proporsi: x + C A - B = y A.

Jika B ≠ 0, kita hanya menyisakan suku A x di ruas kiri persamaan umum, pindahkan suku lainnya ke ruas kanan, kita peroleh: A x = - B y - C. Kita keluarkan – B dari tanda kurung, maka: A x = - B y + C B .

Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk proporsi: x - B = y + C B A.

Tentu saja tidak perlu menghafal rumus yang dihasilkan. Cukup mengetahui algoritme tindakan saat berpindah dari persamaan umum ke persamaan kanonik.

Contoh 5

Persamaan umum garis 3 y - 4 = 0 diberikan. Hal ini diperlukan untuk mengubahnya menjadi persamaan kanonik.

Larutan

Mari kita tuliskan persamaan asli misalnya 3 tahun - 4 = 0 . Selanjutnya, kita lanjutkan sesuai dengan algoritma: suku 0 x tetap di sisi kiri; dan di sisi kanan kami menempatkan - 3 dari tanda kurung; kita peroleh: 0 x = - 3 y - 4 3 .

Mari kita tuliskan persamaan yang dihasilkan sebagai proporsi: x - 3 = y - 4 3 0 . Jadi, kita memperoleh persamaan bentuk kanonik.

Jawaban: x - 3 = y - 4 3 0.

Untuk mengubah persamaan umum suatu garis menjadi persamaan parametrik, pertama-tama lakukan transisi ke bentuk kanonik, lalu transisi dari persamaan kanonik garis lurus ke persamaan parametrik.

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan 2 x - 5 y - 1 = 0. Tuliskan persamaan parametrik untuk garis ini.

Larutan

Mari kita melakukan transisi dari persamaan umum ke persamaan kanonik:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

Sekarang kita ambil kedua ruas persamaan kanonik yang dihasilkan sama dengan λ, lalu:

x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Menjawab:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R

Persamaan umum dapat diubah menjadi persamaan garis lurus dengan kemiringan y = k · x + b, tetapi hanya jika B ≠ 0. Untuk transisi, kita tinggalkan suku B y di sisi kiri, sisanya dipindahkan ke kanan. Kita peroleh: B y = - A x - C . Mari kita bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan B, selain nol: y = - A B x - C B.

Contoh 7

Persamaan umum garis diberikan: 2 x + 7 y = 0. Anda perlu mengubah persamaan itu menjadi persamaan kemiringan.

Larutan

Mari lakukan tindakan yang diperlukan sesuai dengan algoritma:

2 x + 7 tahun = 0 ⇔ 7 tahun - 2 x ⇔ tahun = - 2 7 x

Menjawab: kamu = - 2 7 x .

Dari persamaan umum suatu garis, cukup dengan memperoleh persamaan ruas-ruas yang berbentuk x a + y b = 1. Untuk melakukan transisi seperti itu, kita pindahkan bilangan C ke ruas kanan persamaan, bagi kedua ruas persamaan yang dihasilkan dengan – C dan, terakhir, pindahkan koefisien variabel x dan y ke penyebutnya:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

Contoh 8

Persamaan umum garis x - 7 y + 1 2 = 0 perlu diubah menjadi persamaan garis dalam ruas-ruas.

Larutan

Mari kita pindahkan 1 2 ke ruas kanan: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .

Menjawab: x - 1 2 + kamu 1 14 = 1 .

Secara umum, transisi sebaliknya juga mudah: dari persamaan jenis lain ke persamaan umum.

Persamaan garis dalam segmen dan persamaan dengan koefisien sudut dapat dengan mudah diubah menjadi persamaan umum hanya dengan mengumpulkan semua suku di ruas kiri persamaan:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Persamaan kanonik diubah menjadi persamaan umum menurut skema berikut:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

Untuk berpindah dari parameter parametrik, pertama-tama pindah ke yang kanonik, lalu ke yang umum:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

Contoh 9

Persamaan parametrik garis x = - 1 + 2 · λ y = 4 diberikan. Persamaan umum garis ini perlu dituliskan.

Larutan

Mari kita melakukan transisi dari persamaan parametrik ke persamaan kanonik:

x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

Mari beralih dari kanonik ke umum:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

Menjawab: kamu - 4 = 0

Contoh 10

Persamaan garis lurus pada ruas x 3 + y 1 2 = 1 diberikan. Perlu untuk beralih ke bentuk umum persamaan.

Larutan:

Kami cukup menulis ulang persamaan dalam bentuk yang diperlukan:

x 3 + kamu 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 kamu - 1 = 0

Menjawab: 1 3 x + 2 kamu - 1 = 0 .

Menyusun persamaan umum suatu garis

Telah dikatakan di atas bahwa persamaan umum dapat ditulis dengan koordinat vektor normal yang diketahui dan koordinat titik yang dilalui garis tersebut. Garis lurus tersebut ditentukan oleh persamaan A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Di sana kami juga menganalisis contoh terkait.

Sekarang mari kita lihat contoh yang lebih kompleks, yang pertama-tama kita perlu menentukan koordinat vektor normal.

Contoh 11

Diberikan sebuah garis yang sejajar dengan garis 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Titik M 0 (4, 1) yang dilalui garis tertentu juga diketahui. Persamaan garis yang diberikan perlu dituliskan.

Larutan

Kondisi awal menyatakan bahwa garis-garis tersebut sejajar, maka sebagai vektor normal garis yang persamaannya perlu dituliskan, kita ambil vektor arah garis n → = (2, - 3): 2 x - 3 tahun + 3 3 = 0. Sekarang kita mengetahui semua data yang diperlukan untuk membuat persamaan garis umum:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

Menjawab: 2 x - 3 tahun - 5 = 0 .

Contoh 12

Garis tertentu melalui titik asal yang tegak lurus garis x - 2 3 = y + 4 5. Penting untuk membuat persamaan umum untuk garis tertentu.

Larutan

Vektor normal suatu garis adalah vektor arah garis x - 2 3 = y + 4 5.

Maka n → = (3, 5) . Garis lurus melewati titik asal, yaitu. melalui titik O (0, 0). Mari kita buat persamaan umum untuk garis tertentu:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

Menjawab: 3 x + 5 tahun = 0 .

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter