Secara umum, persamaan apa pun adalah model matematika timbangan cangkir (tuas, lengan sama, rocker - ada banyak nama), ditemukan di Babel kuno 7000 tahun yang lalu atau bahkan lebih awal. Selain itu, saya bahkan berpikir bahwa timbangan cangkir yang digunakan di pasar paling kunolah yang menjadi prototipe persamaan. Dan jika Anda melihat persamaan apa pun bukan sebagai kumpulan angka dan huruf yang tidak dapat dipahami yang dihubungkan oleh dua batang paralel, tetapi seperti skala, maka tidak akan ada masalah dengan yang lainnya:
Persamaan apa pun seperti timbangan seimbang
Kebetulan saja semakin banyak persamaan dalam hidup kita setiap hari, namun pemahaman tentang apa itu persamaan dan maknanya semakin berkurang. Bagaimanapun, kesan ini saya dapatkan ketika mencoba menjelaskan kepada putri sulung saya arti persamaan matematika sederhana seperti:
x + 2 = 8 (500.1)
Itu. di sekolah, tentu saja, mereka menjelaskan bahwa dalam kasus seperti itu, untuk menemukannya X, Anda perlu mengurangi 2 dari sisi kanan:
x = 8 - 2 (500.3)
Ini tentu saja mutlak tindakan yang benar, tapi kenapa perlu dikurangi dan tidak, misalnya ditambah atau dibagi, tidak ada penjelasannya di buku pelajaran sekolah. Hanya ada aturan yang perlu Anda pelajari:
Ketika suatu anggota persamaan dipindahkan dari satu bagian ke bagian lain, tandanya berubah menjadi kebalikannya.
Adapun bagaimana aturan ini harus dipahami oleh anak sekolah berusia 10 tahun dan apa artinya, terserah Anda untuk berpikir dan memutuskan. Apalagi ternyata kerabat dekat saya juga tidak pernah memahami maksud persamaan tersebut, melainkan hanya hapal saja apa yang diwajibkan (khususnya aturan di atas), dan baru kemudian menerapkannya sesuai kehendak Tuhan. Saya tidak menyukai keadaan ini, jadi saya memutuskan untuk menulis artikel ini (anak bungsu saya sedang tumbuh dewasa, dalam beberapa tahun dia harus menjelaskannya lagi, dan ini mungkin juga berguna bagi beberapa pembaca situs saya) .
Saya ingin segera mengatakan bahwa meskipun saya belajar di sekolah selama 10 tahun, saya tidak pernah mempelajari aturan atau definisi apa pun yang berkaitan dengan disiplin ilmu teknis. Itu. kalau ada yang jelas, maka akan diingat, tetapi jika ada yang tidak jelas, lalu apa gunanya menjejalkannya tanpa memahami maknanya, jika akan dilupakan pula? Lagi pula, jika saya tidak memahami sesuatu, berarti saya tidak membutuhkannya (saya baru menyadari bahwa jika saya tidak memahami sesuatu di sekolah, itu bukan salah saya, tetapi kesalahan guru, buku pelajaran dan sistem pendidikan pada umumnya).
Pendekatan ini memberi saya banyak waktu luang, yang di masa kanak-kanak sangat kurang untuk segala jenis permainan dan hiburan. Pada saat yang sama, saya mengikuti berbagai olimpiade fisika dan kimia, bahkan memenangkan satu kompetisi regional di bidang matematika. Namun seiring berjalannya waktu, jumlah disiplin ilmu yang menggunakan konsep abstrak semakin bertambah dan, karenanya, nilai saya menurun. Pada tahun pertama institut, jumlah disiplin ilmu yang mempelajari konsep-konsep abstrak adalah mayoritas mutlak dan, tentu saja, saya adalah siswa yang menyelesaikan C. Tapi kemudian, ketika karena beberapa alasan saya harus berurusan dengan kekuatan materi tanpa bantuan ceramah dan catatan dan saya agak memahaminya, segalanya berjalan lancar dan berakhir dengan ijazah kehormatan. Namun, ini bukan tentang ini sekarang, tetapi tentang fakta bahwa karena kekhususan ini, konsep dan definisi saya mungkin berbeda secara signifikan dari yang diajarkan di sekolah.
Sekarang mari kita lanjutkan
Persamaan paling sederhana, analogi dengan skala
Padahal, anak sejak dini diajarkan untuk membandingkan benda-benda yang berbeda usia prasekolah ketika mereka masih belum bisa berbicara. Mereka biasanya memulai dengan perbandingan geometris. Misalnya, seorang anak diperlihatkan dua buah kubus dan anak tersebut harus menentukan kubus mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil. Dan jika keduanya sama, maka ini adalah persamaan ukurannya. Kemudian tugasnya menjadi lebih rumit, anak diperlihatkan benda-benda berbagai bentuk, warna yang berbeda dan memilih barang yang sama menjadi semakin sulit bagi seorang anak. Namun, kami tidak akan terlalu memperumit tugas ini, tetapi hanya akan fokus pada satu jenis kesetaraan - bobot moneter.
Ketika timbangan berada pada tingkat horizontal yang sama (panah timbangan ditunjukkan pada gambar 500.1 berwarna oranye dan biru, bertepatan, tingkat horizontal ditunjukkan dengan garis hitam tebal), artinya di sisi kanan timbangan terdapat jumlah beban yang sama dengan di sisi kiri. Dalam kasus paling sederhana, ini bisa berupa beban seberat 1 kg:
Gambar 500.1.
Dan kemudian kita mendapatkan persamaan paling sederhana 1 = 1. Namun persamaan ini hanya untuk saya; dalam matematika, ekspresi seperti itu disebut persamaan, tetapi esensinya tidak berubah. Jika kita menghilangkan beban dari sisi kiri timbangan dan meletakkan apa pun di atasnya, bahkan apel, bahkan paku, bahkan kaviar merah, dan pada saat yang sama timbangan berada pada tingkat horizontal yang sama, maka ini tetap berarti 1 kg dari salah satu produk yang ditunjukkan sama dengan 1 kg berat yang tersisa di sisi kanan timbangan. Tinggal membayar kilogram ini sesuai harga yang ditetapkan penjual. Hal lainnya adalah Anda mungkin tidak menyukai harganya, atau meragukan keakuratan timbangan - tetapi ini adalah masalah hubungan ekonomi dan hukum yang tidak memiliki hubungan langsung dengan matematika.
Tentu saja, di masa yang jauh itu, ketika timbangan cangkir muncul, segalanya jauh lebih sederhana. Pertama, tidak ada ukuran berat seperti kilogram, tetapi ada satuan moneter yang sesuai dengan ukuran berat, misalnya talenta, syikal, pound, hryvnia, dll. (Ngomong-ngomong, saya sudah lama terkejut bahwa ada satu pon - satuan moneter dan satu pon - satuan berat, ada hryvnia - satuan moneter, dan dulu hryvnia adalah satuan berat, dan baru belakangan ini, ketika saya mengetahui bahwa bakat bukan hanya satuan moneter orang-orang Yahudi kuno, disebutkan dalam Perjanjian Lama, tetapi juga ukuran berat yang diadopsi di Babel kuno, semuanya jatuh pada tempatnya).
Lebih tepatnya, pada awalnya ada ukuran bobot, biasanya biji-bijian tanaman sereal, dan baru kemudian muncul uang yang sesuai dengan ukuran skala ini. Misalnya, 60 butir sama dengan satu syikal, 60 syikal sama dengan satu mina, dan 60 mina sama dengan satu talenta. Oleh karena itu, pada mulanya timbangan digunakan untuk memeriksa apakah uang yang ditawarkan itu palsu, baru kemudian muncul timbangan yang padanannya dengan uang, timbangan dan perhitungan, timbangan elektronik dan kartu plastik, namun hal ini tidak mengubah hakikatnya.
Pada masa-masa yang jauh itu, penjual tidak perlu menjelaskan secara panjang lebar dan detail berapa harga suatu produk tertentu. Cukup dengan meletakkan produk yang dijual di satu timbangan, dan pembeli menaruh uang di timbangan kedua - ini sangat sederhana dan jelas, dan bahkan pengetahuan tentang dialek lokal tidak diperlukan, Anda dapat berdagang di mana pun di dunia. Tapi mari kita kembali ke persamaan.
Jika kita perhatikan persamaan (500.1) dari posisi timbangan, berarti di sisi kiri timbangan ada jumlah kilogram yang tidak diketahui dan 2 kilogram lagi, dan di sisi kanan ada 8 kilogram:
x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)
Catatan: DI DALAM pada kasus ini Garis bawah melambangkan bagian bawah skala; jika dihitung di atas kertas, garis ini mungkin lebih mirip bagian bawah skala. Selain itu, ahli matematika telah lama menemukan simbol khusus - tanda kurung, sehingga tanda kurung apa pun dapat dianggap sebagai sisi skala, setidaknya pada tahap pertama dalam memahami arti persamaan. Namun demikian, saya akan meninggalkan garis bawah agar lebih jelas.
Lantas, apa yang perlu kita lakukan untuk mengetahui jumlah kilogram yang belum diketahui? Benar! Hilangkan 2 kilogram dari sisi kiri dan kanan timbangan, maka timbangan akan tetap berada pada ketinggian horizontal yang sama, yaitu kita tetap memiliki persamaan:
x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)
Masing-masing
x, = 8kg - 2kg, (500.3.2)
x, = 6kg, (500.4.2)
Gambar 500.2.
Seringkali matematika beroperasi bukan dengan kilogram, tetapi dengan beberapa satuan abstrak tak berdimensi, dan kemudian menuliskan solusi persamaan (500.1), misalnya dalam draft, akan terlihat seperti ini:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x, = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Yang tercermin pada Gambar 500.2.
Catatan: Secara formal, untuk pemahaman yang lebih baik, persamaan (500.2) harus diikuti dengan persamaan lain yang berbentuk: x + 2 - 2, = 8 - 2, artinya aksi telah berakhir dan kita kembali berhadapan dengan keseimbangan berat mangkuk. Namun, menurut saya, pencatatan keputusan tersebut tidak perlu dilakukan secara lengkap.
Dalam buku bersih, notasi yang disingkat untuk penyelesaian suatu persamaan biasanya digunakan, dan tidak hanya simbol skala, yang menurut saya sangat diperlukan pada tahap awal mempelajari persamaan, yang disingkat, tetapi bahkan seluruh persamaan. Jadi, versi singkat dari solusi persamaan (500.1) dalam versi bersih, sesuai dengan contoh yang diberikan di buku teks, akan terlihat seperti ini:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Hasilnya, dengan menggunakan analogi skala, kami menyusun persamaan tambahan (500.2) dibandingkan dengan persamaan yang diusulkan di buku teks, baik menurut metode penyelesaiannya, maupun menurut bentuk penulisan penyelesaiannya. Menurut saya, ini adalah persamaan, apalagi ditulis kira-kira dalam bentuk ini, yaitu. dengan sebutan simbolis dari skala - ini adalah mata rantai yang hilang, penting untuk memahami arti persamaan.
Itu. Saat menyelesaikan persamaan, kita tidak memindahkan apapun yang bertanda berlawanan ke mana pun, tetapi melakukan operasi matematika yang sama dengan ruas kiri dan kanan persamaan.
Sekarang sudah lazim untuk menuliskan solusi persamaan dalam bentuk singkatan yang diberikan di atas. Persamaan (500.1.1) segera diikuti oleh persamaan (500.3.1), oleh karena itu berlaku aturan tanda terbalik, yang, bagaimanapun, lebih mudah diingat oleh banyak orang daripada mempelajari arti persamaan tersebut.
Catatan: Lagipula, saya tidak menentang bentuk rekaman yang disingkat. pengguna tingkat lanjut dapat mempersingkat formulir ini lebih jauh lagi, namun hal ini sebaiknya dilakukan hanya setelah arti umum dari persamaan tersebut telah dipahami dengan jelas.
Dan notasi yang diperluas memungkinkan Anda memahami aturan utama untuk menyelesaikan persamaan:
1. Jika kita melakukan operasi matematika yang sama dengan kiri dan sisi kanan persamaan, maka persamaannya tetap.
2. Tidak peduli bagian persamaan mana yang kiri dan mana yang kanan, kita dapat dengan bebas menukarnya.
Operasi matematika ini bisa berupa apa saja. Kita dapat mengurangkan bilangan yang sama dari ruas kiri dan ruas kanan seperti gambar di atas. Kita dapat menjumlahkan bilangan yang sama pada ruas kiri dan kanan persamaan, misalnya:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x, = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Kita bisa membagi atau mengalikan kedua ruas dengan angka yang sama, misalnya:
3x, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x, = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, = 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3х, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Kita dapat mengintegrasikan atau membedakan kedua bagian tersebut. Kita dapat melakukan apapun yang kita inginkan dengan bagian kiri dan kanan, tetapi jika tindakan ini sama untuk bagian kiri dan kanan, maka kesetaraan akan tetap ada (skala akan tetap pada tingkat horizontal yang sama).
Tentu saja, Anda perlu memilih tindakan yang memungkinkan Anda menentukan besaran yang tidak diketahui secepat dan sesederhana mungkin.
Dari sudut pandang ini, metode klasik tindakan terbalik tampaknya lebih sederhana, tetapi bagaimana jika anak tersebut belum mempelajari bilangan negatif? Sedangkan persamaan yang disusun mempunyai bentuk sebagai berikut:
5 - x = 3 (500.8)
Itu. Saat menyelesaikan persamaan ini menggunakan metode klasik, salah satu solusi yang mungkin, yang memberikan notasi terpendek, adalah sebagai berikut:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
Dan yang terpenting, bagaimana Anda bisa menjelaskan kepada anak mengapa persamaan (500.8.3) identik dengan persamaan (500.8.4)?
Artinya dalam hal ini, bahkan saat menggunakan metode klasik tidak ada gunanya menghemat penulisan dan pertama-tama Anda harus menghilangkan nilai yang tidak diketahui di sisi kiri, yang memiliki tanda negatif.
5 - x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5 - 3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Entri lengkapnya akan terlihat seperti ini:
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Saya akan menambahkannya lagi. Catatan lengkap tentang solusi diperlukan bukan untuk guru, tetapi untuk pemahaman yang lebih baik tentang metode penyelesaian persamaan. Dan ketika kita menukar sisi kiri dan kanan persamaan, itu seperti kita mengubah pandangan skala dari sudut pandang pembeli ke sudut pandang penjual, namun kesetaraannya tetap sama.
Sayangnya, saya tidak pernah bisa membuat putri saya menuliskan solusinya secara lengkap, bahkan dalam bentuk draf. Dia memiliki argumen yang kuat: “kami tidak diajari seperti itu.” Sementara itu, kompleksitas persamaan yang disusun meningkat, persentase menebak tindakan apa yang perlu dilakukan untuk menentukan besaran yang tidak diketahui berkurang, dan nilai menurun. Saya tidak tahu apa yang harus saya lakukan dengan ini...
Catatan: dalam matematika modern merupakan kebiasaan untuk membedakan antara persamaan dan persamaan, yaitu. 1 = 1 hanyalah persamaan numerik, dan jika pada salah satu bagian persamaan tersebut ada yang tidak diketahui yang perlu dicari, maka ini sudah merupakan persamaan. Bagi saya, pembedaan makna seperti itu tidak banyak masuk akal, melainkan hanya memperumit persepsi materi. Saya percaya bahwa persamaan apa pun bisa disebut persamaan, dan persamaan apa pun didasarkan pada kesetaraan. Selain itu timbul pertanyaan: x = 6, apakah ini sudah merupakan persamaan atau masih merupakan persamaan?
Persamaan paling sederhana, analogi dengan waktu
Tentu saja, analogi dengan skala ketika menyelesaikan persamaan bukanlah satu-satunya. Misalnya, penyelesaian persamaan juga dapat dipertimbangkan dari perspektif waktu. Maka kondisi yang dijelaskan oleh persamaan (500.1) akan berbunyi seperti ini:
Setelah kami menambahkan ke jumlah yang tidak diketahui X 2 unit lagi, sekarang ada 8 unit (sekarang). Namun, karena satu dan lain hal, kami tidak tertarik pada berapa banyak yang ada, melainkan berapa banyak yang ada dalam bentuk lampau. Oleh karena itu, untuk mengetahui berapa banyak unit yang kita miliki, kita perlu melakukan tindakan sebaliknya, yaitu. kurangi 2 dari 8 (Persamaan 500.3). Pendekatan ini sama persis dengan apa yang disajikan di buku teks, namun menurut saya tidak sejelas analogi dengan skala. Namun, pendapat mengenai hal ini mungkin berbeda.
Contoh penyelesaian persamaan dengan tanda kurung
Saya menulis artikel ini pada musim panas, ketika putri saya lulus kelas 4 SD, tetapi kurang dari enam bulan kemudian, mereka diminta di sekolah untuk menyelesaikan persamaan dengan bentuk berikut:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Tidak ada seorang pun di kelas yang mampu menyelesaikan persamaan ini, namun tidak ada yang rumit dalam menyelesaikannya jika menggunakan metode yang saya usulkan, tetapi bentuk notasi lengkap akan memakan terlalu banyak ruang:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), = 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
(500.10.10)
75 : 3, = 50 - 5x, (500.10.11)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Namun, pada tahap ini wujud sempurna tidak perlu merekam. Karena kita sampai pada tanda kurung ganda, tidak perlu membuat persamaan terpisah untuk operasi matematika di ruas kiri dan kanan, jadi menuliskan solusinya dalam draf mungkin terlihat seperti ini:
97 + 75: (50 - 5x) , : 3 = 300 , : 3, (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), = 100, (500.10.4)
97 + 75 : (50 - 5x), - 97 = 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x) , (50 - 5x) = 3 , (50 - 5x) (500.10.8)
75 , = 3 (50 - 5x) , (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, = 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Secara total, pada tahap ini perlu ditulis 14 persamaan untuk menyelesaikan persamaan awal.
Dalam hal ini, menulis solusi persamaan dalam salinan bersih mungkin terlihat seperti ini:
97+75:(50 - 5x) = 300:3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75 : 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x = 25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Itu. dengan bentuk notasi yang disingkat, kita masih harus membuat 12 persamaan. Penghematan dalam pencatatan sangat minim, namun siswa kelas lima sebenarnya mungkin mengalami kesulitan dalam memahami tindakan yang diperlukan.
P.S. Hanya ketika sampai pada tanda kurung ganda, putri saya menjadi tertarik dengan metode yang saya usulkan untuk menyelesaikan persamaan, tetapi pada saat yang sama, dalam bentuk tulisannya, bahkan dalam draf, persamaannya masih 2 kali lebih sedikit, karena dia melewatkan yang terakhir. persamaan seperti (500.10.4), (500.10.7) dan sejenisnya, dan saat mencatat, segera menyisakan ruang untuk persamaan berikutnya operasi matematika. Hasilnya, entri dalam drafnya terlihat seperti ini:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3, : 3 = 300, : 3 (500.10.2)
97 + 75 : (50 - 5x), - 97 = 100, - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x) , (50 - 5x) = 3 , (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Hasilnya, kami hanya mendapat 8 persamaan, bahkan lebih kecil dari yang dibutuhkan untuk solusi yang disingkat. Pada prinsipnya saya tidak keberatan, tapi semoga bermanfaat.
Sebenarnya itu saja yang ingin saya katakan tentang menyelesaikan persamaan paling sederhana yang mengandung satu besaran yang tidak diketahui. Untuk menyelesaikan persamaan yang mengandung dua besaran yang tidak diketahui, Anda memerlukannya
Setelah menerima gambaran umum tentang persamaan, dan mengenal salah satu jenisnya - persamaan numerik, Anda dapat mulai berbicara tentang jenis persamaan lain yang sangat penting dari sudut pandang praktis - persamaan. Pada artikel ini kita akan melihat apa itu persamaan, dan apa yang disebut akar persamaan. Di sini kami akan memberikan definisi terkait, serta memberikan berbagai contoh persamaan dan akar-akarnya.
Navigasi halaman.
Apa itu persamaan?
Pengenalan persamaan yang ditargetkan biasanya dimulai pada pelajaran matematika di kelas 2 SD. Kali ini diberikan yang berikut ini definisi persamaan:
Definisi.
Persamaannya adalah persamaan yang mengandung bilangan tak dikenal yang perlu dicari.
Bilangan yang tidak diketahui dalam persamaan biasanya dilambangkan dengan bilangan kecil. huruf latin, misalnya p, t, u, dst, tetapi huruf yang paling umum digunakan adalah x, y, dan z.
Dengan demikian, persamaan ditentukan dari sudut pandang bentuk tulisannya. Dengan kata lain, persamaan adalah suatu persamaan yang mematuhi aturan penulisan yang ditentukan - persamaan tersebut berisi huruf yang perlu dicari nilainya.
Mari kita beri contoh yang pertama dan terpenting persamaan sederhana. Mari kita mulai dengan persamaan seperti x=8, y=3, dst. Persamaan yang mengandung tanda beserta angka dan huruf terlihat sedikit lebih rumit operasi aritmatika, misalnya, x+2=3 , z−2=5 , 3 t=9 , 8:x=2 .
Variasi persamaan bertambah setelah terbiasa - persamaan dengan tanda kurung mulai bermunculan, misalnya 2·(x−1)=18 dan x+3·(x+2·(x−2))=3. Huruf yang tidak diketahui dalam suatu persamaan dapat muncul beberapa kali, misalnya x+3+3·x−2−x=9, dan huruf juga dapat berada di sisi kiri persamaan, di sisi kanan persamaan, atau di kedua sisi persamaan. persamaannya, misalnya x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 atau 3·x−4=2·(x+12) .
Selanjutnya setelah belajar bilangan asli pengenalan dengan bilangan bulat, rasional, bilangan real terjadi, objek matematika baru dipelajari: pangkat, akar, logaritma, dll., sementara semakin banyak jenis persamaan baru yang berisi hal-hal ini muncul. Contohnya bisa dilihat di artikel tipe dasar persamaan belajar di sekolah.
Di kelas 7, bersama dengan huruf, yang berarti beberapa angka tertentu, mereka mulai mempertimbangkan huruf yang dapat memiliki arti berbeda, mereka disebut variabel (lihat artikel). Pada saat yang sama, kata “variabel” dimasukkan ke dalam definisi persamaan, dan menjadi seperti ini:
Definisi.
Persamaan disebut persamaan yang mengandung variabel yang nilainya perlu dicari.
Misalnya persamaan x+3=6·x+7 adalah persamaan dengan variabel x, dan 3·z−1+z=0 adalah persamaan dengan variabel z.
Selama pelajaran aljabar di kelas 7 yang sama, kita menemukan persamaan yang mengandung bukan hanya satu, tetapi dua variabel berbeda yang tidak diketahui. Itu disebut persamaan dua variabel. Di masa depan, kehadiran tiga variabel atau lebih dalam persamaan diperbolehkan.
Definisi.
Persamaan dengan satu, dua, tiga, dst. variabel– ini adalah persamaan yang masing-masing mengandung satu, dua, tiga, ... variabel yang tidak diketahui.
Misalnya persamaan 3.2 x+0.5=1 adalah persamaan dengan satu variabel x, sedangkan persamaan berbentuk x−y=3 adalah persamaan dengan dua variabel x dan y. Dan satu contoh lagi: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. Jelas bahwa persamaan tersebut adalah persamaan dengan tiga variabel yang tidak diketahui x, y dan z.
Apa akar persamaan?
Definisi suatu persamaan berhubungan langsung dengan definisi akar persamaan tersebut. Mari kita lakukan beberapa alasan yang akan membantu kita memahami apa akar persamaannya.
Misalkan kita mempunyai persamaan dengan satu huruf (variabel). Jika alih-alih sebuah huruf yang termasuk dalam entri persamaan ini, suatu angka tertentu diganti, maka persamaan tersebut berubah menjadi persamaan numerik. Selain itu, persamaan yang dihasilkan bisa benar atau salah. Misalnya, jika Anda mengganti angka 2 dan bukan huruf a dalam persamaan a+1=5, Anda akan mendapatkan persamaan numerik 2+1=5 yang salah. Jika kita mengganti angka 4 dan bukan a dalam persamaan ini, kita mendapatkan persamaan yang benar 4+1=5.
Dalam praktiknya, dalam sebagian besar kasus, yang menjadi perhatian adalah nilai-nilai variabel yang substitusinya ke dalam persamaan menghasilkan persamaan yang benar;
Definisi.
Akar persamaan- ini adalah nilai huruf (variabel), yang jika disubstitusikan persamaannya berubah menjadi persamaan numerik yang benar.
Perhatikan bahwa akar persamaan dalam satu variabel disebut juga penyelesaian persamaan. Dengan kata lain, penyelesaian suatu persamaan dan akar persamaan adalah hal yang sama.
Mari kita jelaskan definisi ini dengan sebuah contoh. Untuk melakukannya, mari kita kembali ke persamaan yang ditulis di atas a+1=5. Menurut definisi akar persamaan yang disebutkan, angka 4 adalah akar persamaan ini, karena ketika mengganti angka ini dengan huruf a kita mendapatkan persamaan yang benar 4+1=5, dan angka 2 bukan miliknya. root, karena sesuai dengan persamaan bentuk yang salah 2+1= 5 .
Pada titik ini, sejumlah pertanyaan wajar muncul: “Apakah suatu persamaan mempunyai akar, dan berapa banyak akar yang dimiliki suatu persamaan?” Kami akan menjawabnya.
Ada persamaan yang mempunyai akar dan persamaan yang tidak mempunyai akar. Misalnya, persamaan x+1=5 mempunyai akar 4, tetapi persamaan 0 x=5 tidak mempunyai akar, karena berapa pun bilangan yang kita substitusikan ke dalam persamaan ini dan bukan variabel x, kita akan mendapatkan persamaan yang salah 0=5 .
Mengenai jumlah akar suatu persamaan, ada persamaan yang mempunyai jumlah akar tertentu yang berhingga (satu, dua, tiga, dst.) dan persamaan yang mempunyai jumlah akar yang tidak terhingga. Misalnya persamaan x−2=4 mempunyai akar tunggal 6, akar-akar persamaan x 2 =9 adalah dua bilangan −3 dan 3, persamaan x·(x−1)·(x−2)=0 memiliki tiga akar 0, 1 dan 2, dan penyelesaian persamaan x=x adalah bilangan apa pun, yaitu bilangan yang memiliki jumlah akar tak terhingga.
Beberapa kata harus dikatakan tentang notasi yang diterima untuk akar-akar persamaan. Jika suatu persamaan tidak memiliki akar, biasanya ditulis “persamaan tersebut tidak memiliki akar”, atau menggunakan tanda himpunan kosong ∅. Jika persamaan mempunyai akar-akar, maka persamaan tersebut ditulis dipisahkan dengan koma, atau ditulis sebagai elemen himpunan dalam tanda kurung kurawal. Misalnya, jika akar-akar persamaannya adalah bilangan −1, 2 dan 4, tulislah −1, 2, 4 atau (−1, 2, 4). Akar-akar persamaan juga boleh dituliskan dalam bentuk persamaan sederhana. Misalnya, jika persamaannya mengandung huruf x, dan akar persamaannya adalah angka 3 dan 5, maka Anda dapat menulis x=3, x=5, dan subskrip x 1 =3, x 2 =5 sering ditambahkan ke variabel, seolah-olah menunjukkan bilangan akar persamaan. Himpunan akar-akar persamaan yang tak terhingga biasanya ditulis dalam bentuk; jika memungkinkan, notasi untuk himpunan bilangan asli N, bilangan bulat Z, dan bilangan real R juga digunakan. Misalnya, jika akar persamaan dengan variabel x adalah bilangan bulat apa pun, maka tulislah , dan jika akar-akar persamaan dengan variabel y adalah bilangan real apa pun dari 1 sampai 9 inklusif, maka tulislah .
Untuk persamaan dengan dua, tiga atau lebih variabel, biasanya istilah "akar persamaan" tidak digunakan; dalam kasus ini disebut "solusi persamaan". Apa yang disebut menyelesaikan persamaan dengan beberapa variabel? Mari kita berikan definisi yang sesuai.
Definisi.
Menyelesaikan persamaan dengan dua, tiga, dst. variabel disebut sepasang, tiga, dan seterusnya. nilai variabel, mengubah persamaan ini menjadi persamaan numerik yang benar.
Mari kita tunjukkan contoh penjelasan. Pertimbangkan persamaan dengan dua variabel x+y=7. Mari kita substitusikan angka 1 sebagai ganti x, dan angka 2 sebagai ganti y, dan kita mendapatkan persamaan 1+2=7. Jelas sekali salah, oleh karena itu pasangan nilai x=1, y=2 bukan merupakan penyelesaian persamaan tertulis. Jika kita mengambil sepasang nilai x=4, y=3, maka setelah disubstitusikan ke dalam persamaan kita akan sampai pada persamaan yang benar 4+3=7, oleh karena itu, pasangan nilai variabel ini, menurut definisi, adalah solusi ke persamaan x+y=7.
Persamaan dengan beberapa variabel, seperti persamaan dengan satu variabel, mungkin tidak memiliki akar, mungkin memiliki jumlah akar yang terbatas, atau mungkin memiliki jumlah akar yang tidak terbatas.
Berpasangan, kembar tiga, empat kali lipat, dll. Nilai variabel sering kali ditulis secara singkat, mencantumkan nilainya, dipisahkan dengan koma dalam tanda kurung. Dalam hal ini, angka-angka yang ditulis dalam tanda kurung sesuai dengan variabel dalam urutan abjad. Mari kita perjelas poin ini dengan kembali ke persamaan sebelumnya x+y=7. Penyelesaian persamaan x=4, y=3 dapat ditulis secara singkat sebagai (4, 3).
Perhatian terbesar dalam pelajaran matematika, aljabar, dan permulaan analisis sekolah diberikan pada pencarian akar persamaan dengan satu variabel. Kami akan membahas aturan proses ini dengan sangat rinci di artikel. menyelesaikan persamaan.
Bibliografi.
- Matematika. 2 kelas Buku pelajaran untuk pendidikan umum institusi dengan adj. per elektron pembawa. Pada jam 2 siang Bagian 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, dan lainnya] - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2012. - 96 hal.: sakit. - (Sekolah Rusia). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 7 pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Aljabar: kelas 9: mendidik. untuk pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; diedit oleh S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2009. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Dalam pelajaran matematika sekolah, seorang anak mendengar istilah “persamaan” untuk pertama kalinya. Apa ini, mari kita coba mencari tahu bersama. Pada artikel ini kita akan melihat jenis dan metode solusinya.
Matematika. Persamaan
Untuk memulainya, kami sarankan Anda memahami konsep itu sendiri, apa itu? Seperti yang dikatakan banyak buku pelajaran matematika, persamaan adalah beberapa ekspresi yang di antaranya harus ada tanda sama dengan. Ekspresi ini mengandung huruf, yang disebut variabel, yang nilainya harus dicari.
Ini adalah atribut sistem yang mengubah nilainya. Contoh variabel yang bagus adalah:
- suhu udara;
- tinggi badan anak;
- berat badan dan sebagainya.
Dalam matematika, mereka dilambangkan dengan huruf, misalnya x, a, b, c... Biasanya tugas matematikanya seperti ini: temukan nilai persamaannya. Artinya perlu dicari nilai variabel-variabel tersebut.
Varietas
Persamaannya (kita telah membahasnya di paragraf sebelumnya) dapat berbentuk sebagai berikut:
- linier;
- persegi;
- kubik;
- aljabar;
- teramat.
Untuk pengenalan lebih rinci dengan semua jenis, kami akan mempertimbangkan masing-masing secara terpisah.
Persamaan linier
Ini adalah spesies pertama yang diperkenalkan kepada anak-anak sekolah. Mereka diselesaikan dengan cukup cepat dan sederhana. Jadi, apa itu persamaan linier? Ini adalah ekspresi bentuk: ah=c. Ini tidak terlalu jelas, jadi mari kita berikan beberapa contoh: 2x=26; 5x=40; 1,2x=6.
Mari kita lihat contoh persamaan. Untuk melakukan ini, kita perlu mengumpulkan semua data yang diketahui di satu sisi, dan data yang tidak diketahui di sisi lain: x=26/2; x=40/5; x=6/1.2. Di sini aturan dasar matematika digunakan: a*c=e, dari ini c=e/a; a=e/c. Untuk menyelesaikan penyelesaian persamaan, kita melakukan satu tindakan (dalam kasus kita, pembagian) x = 13; x=8; x=5. Ini tadi contoh perkalian, sekarang mari kita lihat pengurangan dan penjumlahan: x+3=9; 10x-5=15. Kami mentransfer data yang diketahui dalam satu arah: x=9-3; x=20/10. Lakukan tindakan terakhir: x=6; x=2.
Opsi juga dimungkinkan persamaan linear, yang menggunakan lebih dari satu variabel: 2x-2y=4. Untuk menyelesaikannya, kita perlu menambahkan 2y ke setiap bagian, kita mendapatkan 2x-2y + 2y = 4-2y, seperti yang kita perhatikan, dengan sisi kiri tanda sama dengan -2y dan +2y dibatalkan, sehingga diperoleh: 2x=4-2y. Langkah terakhir membagi setiap bagian menjadi dua, kita mendapatkan jawabannya: x sama dengan dua dikurangi y.
Masalah persamaan bahkan ditemukan pada papirus Ahmes. Inilah salah satu soalnya: suatu bilangan dan bagian keempatnya dijumlahkan menjadi 15. Untuk menyelesaikannya, kita tuliskan persamaan berikut: x ditambah seperempat x sama dengan lima belas. Kita lihat contoh lain berdasarkan hasil penyelesaiannya, kita mendapatkan jawabannya: x=12. Namun permasalahan ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yaitu dengan metode Mesir atau disebut juga dengan metode asumsi. Papirus menggunakan solusi berikut: ambil empat dan seperempatnya, yaitu satu. Totalnya mereka memberi lima, sekarang lima belas harus dibagi jumlah, kita dapat tiga, langkah terakhir adalah mengalikan tiga dengan empat. Kita mendapat jawabannya: 12. Mengapa kita membagi lima belas dengan lima dalam penyelesaiannya? Jadi kita cari tahu berapa kali lima belas, artinya hasil yang kita perlukan kurang dari lima. Permasalahan diselesaikan dengan cara ini pada Abad Pertengahan; metode ini dikenal sebagai metode posisi palsu.
Persamaan kuadrat
Selain contoh-contoh yang telah dibahas sebelumnya, masih ada contoh lain. Yang mana tepatnya? Persamaan kuadrat, apa itu? Bentuknya seperti ax 2 +bx+c=0. Untuk mengatasinya, Anda perlu membiasakan diri dengan beberapa konsep dan aturan.
Pertama, Anda perlu mencari diskriminannya menggunakan rumus: b 2 -4ac. Ada tiga kemungkinan hasil dari keputusan tersebut:
- diskriminan lebih besar dari nol;
- kurang dari nol;
- sama dengan nol.
Pada pilihan pertama, kita bisa mendapatkan jawaban dari dua akar yang dicari dengan rumus: -b+-akar diskriminan dibagi dua kali koefisien pertama, yaitu 2a.
Dalam kasus kedua, persamaan tersebut tidak memiliki akar. Dalam kasus ketiga, akarnya ditemukan menggunakan rumus: -b/2a.
Mari kita lihat contoh persamaan kuadrat untuk pengenalan lebih detail: tiga x kuadrat dikurangi empat belas x dikurangi lima sama dengan nol. Pertama-tama, seperti yang telah ditulis sebelumnya, kita mencari diskriminan, dalam kasus kita sama dengan 256. Perhatikan bahwa angka yang dihasilkan lebih besar dari nol, oleh karena itu, kita harus mendapatkan jawaban yang terdiri dari dua akar. Kami mengganti diskriminan yang dihasilkan ke dalam rumus untuk mencari akar. Hasilnya, kita mendapatkan: x sama dengan lima dan dikurangi sepertiga.
Kasus khusus dalam persamaan kuadrat
Ini adalah contoh di mana beberapa nilai adalah nol (a, b atau c), dan mungkin lebih dari satu.
Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan berikut yang merupakan persamaan kuadrat: dua x kuadrat sama dengan nol, di sini kita melihat bahwa b dan c sama dengan nol. Mari kita coba menyelesaikannya, untuk melakukannya kita membagi kedua ruas persamaan dengan dua, kita mendapatkan: x 2 =0. Hasilnya, kita mendapatkan x=0.
Kasus lainnya adalah 16x 2 -9=0. Di sini hanya b=0. Mari kita selesaikan persamaannya, pindahkan koefisien bebasnya ke ruas kanan: 16x 2 = 9, sekarang kita bagi tiap bagian dengan enam belas: x 2 = sembilan per enam belas. Karena kita punya x kuadrat, akar dari 9/16 bisa negatif atau positif. Jawabannya kita tuliskan sebagai berikut: x sama dengan plus/minus tiga perempat.
Jawaban lain yang mungkin adalah persamaan tersebut tidak memiliki akar sama sekali. Mari kita lihat contoh ini: 5x 2 +80=0, di sini b=0. Untuk mengatasinya, masukkan anggota gratis ke dalam sisi kanan, setelah tindakan ini kita mendapatkan: 5x 2 = -80, sekarang kita bagi setiap bagian dengan lima: x 2 = dikurangi enam belas. Jika kita mengkuadratkan bilangan apa pun, kita tidak akan mendapatkan nilai negatif. Oleh karena itu, jawaban kita adalah: persamaan tersebut tidak memiliki akar.
Ekspansi trinomial
Tugas persamaan kuadrat juga bisa berbunyi seperti ini: memperluas trinomial kuadrat oleh pengganda. Hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan rumus berikut: a(x-x 1)(x-x 2). Untuk melakukan ini, seperti pada versi tugas lainnya, perlu untuk menemukan diskriminan.
Perhatikan contoh berikut: 3x 2 -14x-5, faktorkan trinomialnya. Kita mencari diskriminannya menggunakan rumus yang sudah kita ketahui, ternyata sama dengan 256. Kita langsung perhatikan bahwa 256 lebih besar dari nol, oleh karena itu persamaannya akan memiliki dua akar. Kami menemukannya, seperti pada paragraf sebelumnya, kami memiliki: x = lima dan dikurangi sepertiga. Mari kita gunakan rumus memfaktorkan trinomial: 3(x-5)(x+1/3). Pada kurung kedua kita mendapat tanda sama dengan, karena rumusnya mengandung tanda minus, dan akarnya juga negatif, menggunakan pengetahuan dasar matematika, pada penjumlahannya kita mendapat tanda tambah. Untuk menyederhanakannya, mari kalikan suku pertama dan ketiga persamaan tersebut untuk menghilangkan pecahan: (x-5)(x+1).
Persamaan direduksi menjadi kuadrat
Pada bagian ini kita akan mempelajari cara menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks. Mari kita mulai dengan sebuah contoh:
(x 2 - 2x) 2 - 2(x 2 - 2x) - 3 = 0. Kita dapat melihat elemen berulang: (x 2 - 2x), untuk menyelesaikannya akan lebih mudah bagi kita untuk menggantinya dengan variabel lain, dan kemudian segera selesaikan persamaan kuadrat biasa. Kami perhatikan bahwa dalam tugas seperti itu kita akan mendapatkan empat akar, ini seharusnya tidak membuat Anda takut. Kami menyatakan pengulangan variabel a. Kita peroleh: a 2 -2a-3=0. Kita langkah berikutnya sedang menemukan diskriminan dari persamaan baru. Kami mendapatkan 16, temukan dua akar: minus satu dan tiga. Kita ingat bahwa kita melakukan penggantian, substitusikan nilai-nilai ini, sebagai hasilnya kita memiliki persamaan: x 2 - 2x=-1; x 2 - 2x=3. Kita menyelesaikannya di jawaban pertama: x sama dengan satu, di jawaban kedua: x sama dengan minus satu dan tiga. Jawabannya kita tulis sebagai berikut: plus/minus satu dan tiga. Biasanya, jawabannya ditulis dalam urutan menaik.
Persamaan kubik
Mari kita lihat satu lagi varian yang mungkin. Ini tentang tentang persamaan kubik. Bentuknya seperti: ax 3 + bx 2 + cx + d =0. Kita akan melihat contoh persamaan di bawah ini, tapi pertama-tama, sedikit teori. Mereka dapat memiliki tiga akar, dan ada juga rumus untuk mencari diskriminan persamaan kubik.
Mari kita lihat contohnya: 3x 3 +4x 2 +2x=0. Bagaimana cara mengatasinya? Untuk melakukannya, kita cukup mengeluarkan x dari tanda kurung: x(3x 2 +4x+2)=0. Yang harus kita lakukan hanyalah menghitung akar-akar persamaan dalam tanda kurung. Diskriminan persamaan kuadrat dalam tanda kurung kurang dari nol, berdasarkan hal ini, persamaan tersebut mempunyai akar: x=0.
Aljabar. Persamaan
Mari kita beralih ke tampilan berikutnya. Sekarang kita akan melihat secara singkat persamaan aljabar. Salah satu tugasnya adalah sebagai berikut: faktor 3x 4 +2x 3 +8x 2 +2x+5. Cara yang paling mudah adalah dengan mengelompokkan berikut: (3x 4 +3x 2)+(2x 3 +2x)+(5x 2 +5). Perhatikan bahwa kita mewakili 8x 2 dari ekspresi pertama sebagai jumlah dari 3x 2 dan 5x 2. Sekarang kita keluarkan dari setiap kurung faktor persekutuan 3x 2 (x2 + 1) + 2x (x 2 +1) + 5 (x 2 +1). Kita melihat bahwa kita mempunyai faktor persekutuan: x kuadrat ditambah satu, kita keluarkan dari tanda kurung: (x 2 +1)(3x 2 +2x+5). Perluasan lebih lanjut tidak mungkin dilakukan karena kedua persamaan mempunyai diskriminan negatif.
Persamaan transendental
Kami menyarankan Anda berurusan dengan tipe berikut. Ini adalah persamaan yang mengandung fungsi transendental, yaitu logaritma, trigonometri, atau eksponensial. Contoh: 6sin 2 x+tgx-1=0, x+5lgx=3 dan seterusnya. Anda akan mempelajari cara penyelesaiannya dalam kursus trigonometri.
Fungsi
Langkah terakhir adalah mempertimbangkan konsep persamaan fungsi. Berbeda dengan opsi sebelumnya, tipe ini tidak diselesaikan, tetapi grafik dibuat berdasarkan opsi tersebut. Untuk melakukan ini, ada baiknya menganalisis persamaan dengan baik, menemukan semua titik yang diperlukan untuk konstruksi, dan menghitung titik minimum dan maksimum.
