Persamaan kuadrat - mudah dipecahkan! *Selanjutnya disebut “KU”. Teman-teman, tampaknya tidak ada yang lebih sederhana dalam matematika selain menyelesaikan persamaan seperti itu. Tapi sesuatu memberitahuku bahwa banyak orang mempunyai masalah dengannya. Saya memutuskan untuk melihat berapa banyak tayangan berdasarkan permintaan yang diberikan Yandex per bulan. Inilah yang terjadi, lihat:
Apa artinya? Artinya ada sekitar 70.000 orang per bulan yang melakukan penelusuran informasi ini, apa hubungannya musim panas ini dengan itu, dan apa yang akan terjadi di antaranya tahun ajaran— akan ada permintaan dua kali lebih banyak. Hal ini tidak mengherankan, karena para lelaki dan perempuan yang sudah lama lulus sekolah dan sedang mempersiapkan diri untuk Ujian Negara Bersatu mencari informasi ini, dan anak-anak sekolah juga berusaha untuk menyegarkan ingatan mereka.
Terlepas dari kenyataan bahwa ada banyak situs yang memberi tahu Anda cara menyelesaikan persamaan ini, saya memutuskan untuk juga berkontribusi dan menerbitkan materinya. Pertama, saya ingin pengunjung datang ke situs saya berdasarkan permintaan ini; kedua, pada artikel lain, ketika topik “KU” muncul, saya akan memberikan link ke artikel ini; ketiga, saya akan memberi tahu Anda lebih banyak tentang solusinya daripada yang biasanya disebutkan di situs lain. Mari kita mulai! Isi artikel:
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang bentuknya:
dimana koefisien a,Bdan c adalah bilangan sembarang, dengan a≠0.
Dalam kursus sekolah, materi diberikan dalam bentuk berikut - persamaan dibagi menjadi tiga kelas:
1. Mereka mempunyai dua akar.
2. *Hanya memiliki satu akar.
3. Mereka tidak mempunyai akar. Perlu dicatat secara khusus di sini bahwa mereka tidak memiliki akar yang nyata
Bagaimana cara menghitung akar? Hanya!
Kami menghitung diskriminannya. Di bawah kata “mengerikan” ini terdapat rumus yang sangat sederhana:
Rumus akarnya adalah sebagai berikut:
*Anda perlu hafal rumus ini.
Anda dapat langsung menuliskan dan menyelesaikannya:
Contoh:
1. Jika D > 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar.
2. Jika D = 0, maka persamaan tersebut mempunyai satu akar.
3. Jika D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Mari kita lihat persamaannya:
Oleh pada kesempatan ini, bila diskriminannya nol, di sekolah dikatakan hasilnya satu akar, ini sama dengan sembilan. Semuanya benar, memang benar, tapi...
Gagasan ini agak salah. Faktanya, ada dua akar. Ya, ya, jangan kaget, Anda mendapatkan dua akar yang sama, dan agar tepat secara matematis, maka jawabannya harus menulis dua akar:
x 1 = 3 x 2 = 3
Tapi memang begitu - sebuah penyimpangan kecil. Di sekolah Anda dapat menuliskannya dan mengatakan bahwa akarnya hanya satu.
Sekarang contoh selanjutnya:
Seperti yang kita ketahui, akar dari angka negatif tidak diekstraksi, jadi solusinya masuk pada kasus ini TIDAK.
Itulah keseluruhan proses pengambilan keputusan.
Fungsi kuadrat.
Ini menunjukkan seperti apa solusinya secara geometris. Hal ini sangat penting untuk dipahami (di masa depan, di salah satu artikel kami akan menganalisis secara rinci solusi pertidaksamaan kuadrat).
Ini adalah fungsi dari formulir:
dimana x dan y adalah variabel
a, b, c – bilangan tertentu, dengan a ≠ 0
Grafiknya adalah parabola:
Artinya, dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan “y” sama dengan nol, kita mencari titik potong parabola dengan sumbu x. Terdapat dua titik (diskriminan positif), satu (diskriminan nol) dan tidak ada (diskriminan negatif). Detail tentang fungsi kuadrat Anda dapat melihat artikel oleh Inna Feldman.
Mari kita lihat contohnya:
Contoh 1: Selesaikan 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Jawaban: x 1 = 8 x 2 = –12
*Dimungkinkan untuk segera pergi dan sisi kanan membagi persamaan dengan 2, yaitu menyederhanakannya. Perhitungannya akan lebih mudah.
Contoh 2: Memutuskan x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Kami menemukan bahwa x 1 = 11 dan x 2 = 11
Boleh menuliskan x = 11 pada jawaban.
Jawaban: x = 11
Contoh 3: Memutuskan x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Diskriminannya negatif, tidak ada solusi dalam bilangan real.
Jawaban: tidak ada solusi
Diskriminannya negatif. Ada solusinya!
Di sini kita akan membahas penyelesaian persamaan jika diperoleh diskriminan negatif. Apakah kamu mengetahui sesuatu tentang bilangan kompleks? Saya tidak akan menjelaskan secara rinci di sini tentang mengapa dan di mana mereka muncul dan apa peran spesifik dan kebutuhan mereka dalam matematika; ini adalah topik untuk artikel terpisah yang besar.
Konsep bilangan kompleks.
Sedikit teori.
Bilangan kompleks z adalah bilangan yang bentuknya
z = a + dua
dimana a dan b adalah bilangan real, i disebut satuan imajiner.
a+bi – ini adalah NOMOR TUNGGAL, bukan tambahan.
Satuan imajiner sama dengan akar dari minus satu:
Sekarang perhatikan persamaannya:
Kami mendapatkan dua akar konjugasi.
Persamaan kuadrat tidak lengkap.
Mari kita pertimbangkan kasus khusus, yaitu ketika koefisien “b” atau “c” sama dengan nol (atau keduanya sama dengan nol). Masalah-masalah tersebut dapat diselesaikan dengan mudah tanpa adanya diskriminatif.
Kasus 1. Koefisien b = 0.
Persamaannya menjadi:
Mari kita bertransformasi:
Contoh:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Kasus 2. Koefisien c = 0.
Persamaannya menjadi:
Mari kita transformasikan dan faktorkan:
*Perkaliannya sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol.
Contoh:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 atau x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Kasus 3. Koefisien b = 0 dan c = 0.
Di sini jelas bahwa solusi persamaan tersebut akan selalu x = 0.
Sifat dan pola koefisien yang berguna.
Ada properti yang memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan dengan koefisien besar.
AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku
A + B+ c = 0, Itu
- jika untuk koefisien persamaan AX 2 + bx+ C=0 kesetaraan berlaku
A+ c =B, Itu
Properti ini membantu menyelesaikan jenis persamaan tertentu.
Contoh 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
Jumlah peluangnya adalah 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 yang artinya
Contoh 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Kesetaraan berlaku A+ c =B, Cara
Keteraturan koefisien.
1. Jika dalam persamaan ax 2 + bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama
kapak 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Contoh. Perhatikan persamaan 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Jika pada persamaan ax 2 – bx + c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 +1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama
kapak 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Contoh. Perhatikan persamaan 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Jika dalam Persamaan. kapak 2 + bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien “c” secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama
kapak 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – ax 2 = 1/a.
Contoh. Perhatikan persamaan 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Jika pada persamaan ax 2 – bx – c = 0 koefisien “b” sama dengan (a 2 – 1), dan koefisien c secara numerik sama dengan koefisien “a”, maka akar-akarnya sama
kapak 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = ax 2 = – 1/a.
Contoh. Perhatikan persamaan 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
teorema Vieta.
Teorema Vieta dinamai ahli matematika Perancis terkenal Francois Vieta. Dengan menggunakan teorema Vieta, kita dapat menyatakan jumlah dan hasil kali akar-akar KU sembarang dalam bentuk koefisiennya.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Secara total, angka 14 hanya menghasilkan 5 dan 9. Ini adalah akar-akarnya. Dengan keterampilan tertentu, dengan menggunakan teorema yang disajikan, Anda dapat menyelesaikan banyak persamaan kuadrat secara lisan dengan segera.
Teorema Vieta, sebagai tambahan. nyaman karena setelah diselesaikan persamaan kuadrat akar yang dihasilkan dapat diperiksa dengan cara biasa (melalui diskriminan). Saya sarankan melakukan ini selalu.
METODE TRANSPORTASI
Dengan metode ini, koefisien “a” dikalikan dengan suku bebas, seolah-olah “dilemparkan” ke sana, oleh karena itu disebut metode "transfer". Metode ini digunakan jika Anda dapat dengan mudah mencari akar persamaan menggunakan teorema Vieta dan, yang terpenting, jika diskriminannya adalah kuadrat eksak.
Jika A± b+c≠ 0, maka digunakan teknik transfer, misalnya:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Dengan menggunakan teorema Vieta pada persamaan (2), mudah untuk menentukan bahwa x 1 = 10 x 2 = 1
Akar persamaan yang dihasilkan harus dibagi 2 (karena keduanya “dilempar” dari x 2), kita peroleh
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Apa alasannya? Lihat apa yang terjadi.
Diskriminan persamaan (1) dan (2) adalah sama:
Jika Anda melihat akar-akar persamaan, Anda hanya mendapatkan penyebut yang berbeda, dan hasilnya sangat bergantung pada koefisien x 2:
Yang kedua (dimodifikasi) memiliki akar yang 2 kali lebih besar.
Oleh karena itu, kami membagi hasilnya dengan 2.
*Jika kita memutar ulang ketiganya, kita akan membagi hasilnya dengan 3, dst.
Jawaban: x 1 = 5 x 2 = 0,5
persegi. ur-ie dan Ujian Negara Bersatu.
Saya akan ceritakan secara singkat tentang pentingnya - ANDA HARUS DAPAT MEMUTUSKAN dengan cepat dan tanpa berpikir panjang, Anda perlu hafal rumus akar dan diskriminan. Banyak masalah yang termasuk dalam tugas-tugas Ujian Negara Bersatu bermuara pada penyelesaian persamaan kuadrat (termasuk persamaan geometris).
Sesuatu yang perlu diperhatikan!
1. Bentuk penulisan persamaan dapat bersifat “implisit”. Misalnya, entri berikut ini dimungkinkan:
15+ 9x 2 - 45x = 0 atau 15x+42+9x 2 - 45x=0 atau 15 -5x+10x 2 = 0.
Anda harus membawanya ke tampilan standar(agar tidak bingung saat mengambil keputusan).
2. Ingatlah bahwa x adalah besaran yang tidak diketahui dan dapat dilambangkan dengan huruf lain - t, q, p, h dan lain-lain.
Pada artikel ini kita akan melihat penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap.
Tapi pertama-tama, mari kita ulangi persamaan yang disebut persamaan kuadrat. Persamaan yang berbentuk ax 2 + bx + c = 0, dimana x adalah variabel, dan koefisien a, b, dan c adalah suatu bilangan, dan a ≠ 0 disebut persegi. Seperti yang bisa kita lihat, koefisien untuk x 2 tidak sama dengan nol, oleh karena itu koefisien untuk x atau suku bebas bisa sama dengan nol, dalam hal ini kita mendapatkan persamaan kuadrat tidak lengkap.
Ada tiga jenis persamaan kuadrat tidak lengkap:
1) Jika b = 0, c ≠ 0, maka ax 2 + c = 0;
2) Jika b ≠ 0, c = 0, maka ax 2 + bx = 0;
3) Jika b = 0, c = 0, maka kapak 2 = 0.
- Mari kita cari tahu cara menyelesaikannya persamaan bentuk ax 2 + c = 0.
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kita pindahkan suku bebas c ke ruas kanan persamaan, kita peroleh
kapak 2 = ‒s. Karena a ≠ 0, kedua ruas persamaan tersebut kita bagi dengan a, maka x 2 = ‒c/a.
Jika ‒с/а > 0, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar
x = ±√(–c/a) .
Jika ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Mari kita coba memahami dengan contoh bagaimana menyelesaikan persamaan tersebut.
Contoh 1. Selesaikan persamaan 2x 2 ‒ 32 = 0.
Jawaban: x 1 = - 4, x 2 = 4.
Contoh 2. Selesaikan persamaan 2x 2 + 8 = 0.
Jawaban: persamaan tersebut tidak memiliki solusi.
- Mari kita cari tahu cara mengatasinya persamaan bentuk ax 2 + bx = 0.
Untuk menyelesaikan persamaan ax 2 + bx = 0, mari kita faktorkan, yaitu keluarkan x dari tanda kurung, kita peroleh x(ax + b) = 0. Hasil kali sama dengan nol jika paling sedikit salah satu faktornya sama ke nol. Maka x = 0, atau ax + b = 0. Menyelesaikan persamaan ax + b = 0, kita mendapatkan ax = - b, sehingga x = - b/a. Persamaan berbentuk ax 2 + bx = 0 selalu mempunyai dua akar x 1 = 0 dan x 2 = ‒ b/a. Lihat seperti apa solusi persamaan jenis ini pada diagram. 
Mari kita konsolidasikan pengetahuan kita dengan contoh spesifik.
Contoh 3. Selesaikan persamaan 3x 2 ‒ 12x = 0.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 atau 3x – 12 = 0
Jawaban: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Persamaan tipe ketiga kapak 2 = 0 diselesaikan dengan sangat sederhana.
Jika ax 2 = 0, maka x 2 = 0. Persamaan tersebut mempunyai dua akar yang sama besar x 1 = 0, x 2 = 0.
Agar lebih jelas, mari kita lihat diagramnya. 
Mari kita pastikan saat menyelesaikan Contoh 4 bahwa persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan sangat sederhana.
Contoh 4. Selesaikan persamaan 7x 2 = 0.
Jawaban: x 1, 2 = 0.
Tidak selalu jelas jenis persamaan kuadrat tidak lengkap apa yang harus kita selesaikan. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 5. Selesaikan persamaannya
Mari kita kalikan kedua ruas persamaan dengan penyebut yang sama, yaitu dengan 30
Ayo kita kurangi
5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.
Mari kita buka tanda kurungnya
25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.
Mari kita berikan yang serupa
Mari kita pindahkan 99 dari ruas kiri persamaan ke kanan, ubah tandanya menjadi kebalikannya
Jawaban: tidak ada akar.
Kami melihat bagaimana persamaan kuadrat tidak lengkap diselesaikan. Saya harap sekarang Anda tidak akan mengalami kesulitan dengan tugas-tugas seperti itu. Berhati-hatilah saat menentukan jenis persamaan kuadrat tidak lengkap, maka Anda akan berhasil.
Jika Anda memiliki pertanyaan tentang topik ini, daftarlah untuk pelajaran saya, kita akan menyelesaikan masalah yang muncul bersama.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Misalnya, untuk trinomial \(3x^2+2x-7\), diskriminannya akan sama dengan \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Dan untuk trinomial \(x^2-5x+11\), akan sama dengan \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Diskriminan dilambangkan dengan \(D\) dan sering digunakan dalam penyelesaian. Selain itu, berdasarkan nilai diskriminannya, Anda dapat memahami kira-kira seperti apa grafiknya (lihat di bawah).
Diskriminan dan akar persamaan kuadrat
Nilai diskriminan menunjukkan banyaknya persamaan kuadrat:
- jika \(D\) positif, persamaannya mempunyai dua akar;
- jika \(D\) sama dengan nol – hanya ada satu akar;
- jika \(D\) negatif, tidak ada akar.
Hal ini tidak perlu diajarkan, tidak sulit untuk sampai pada kesimpulan seperti itu, cukup dengan mengetahui bahwa dari diskriminan (yaitu \(\sqrt(D)\) termasuk dalam rumus menghitung akar-akar kuadrat persamaan: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Mari kita lihat setiap kasus lebih detail.
Jika diskriminannya positif
Dalam hal ini, akarnya adalah suatu bilangan positif, artinya \(x_(1)\) dan \(x_(2)\) akan mempunyai arti yang berbeda, karena pada rumus pertama \(\sqrt(D)\ ) ditambahkan, dan yang kedua dikurangi. Dan kami memiliki dua akar yang berbeda.
Contoh
: Mencari akar-akar persamaan \(x^2+2x-3=0\)
Larutan
:
Menjawab : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Jika diskriminannya nol
Berapa banyak akar yang ada jika diskriminannya nol? Mari kita beralasan.
Rumus akarnya terlihat seperti ini: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) dan \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Dan jika diskriminannya nol, maka akarnya juga nol. Maka ternyata:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
Artinya, nilai akar-akar persamaannya akan sama, karena penjumlahan atau pengurangan nol tidak mengubah apapun.
Contoh
: Mencari akar-akar persamaan \(x^2-4x+4=0\)
Larutan
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Kami menuliskan koefisiennya: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Kita menghitung diskriminan menggunakan rumus \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Menemukan akar persamaan |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
Kami mendapat dua akar yang identik, jadi tidak ada gunanya menulisnya secara terpisah - kami menulisnya sebagai satu kesatuan. |
Menjawab : \(x=2\)
Masalah persamaan kuadrat juga dipelajari kurikulum sekolah dan di universitas. Maksudnya persamaan berbentuk a*x^2 + b*x + c = 0, dimana X- variabel, a, b, c – konstanta; A<>0 . Tugasnya adalah menemukan akar-akar persamaan tersebut.
Arti geometris persamaan kuadrat
Grafik suatu fungsi yang diwakili oleh persamaan kuadrat adalah parabola. Penyelesaian (akar-akar) persamaan kuadrat adalah titik potong parabola dengan sumbu absis (x). Oleh karena itu, ada tiga kemungkinan kasus:
1) parabola tidak mempunyai titik potong dengan sumbu absis. Artinya berada di bidang atas dengan cabang di atas atau di bawah dengan cabang di bawah. Dalam kasus seperti ini, persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (memiliki dua akar kompleks).
2) parabola mempunyai satu titik potong dengan sumbu Ox. Titik seperti itu disebut titik puncak parabola, dan persamaan kuadrat pada titik tersebut memperoleh nilai minimum atau maksimum. Dalam hal ini, persamaan kuadrat mempunyai satu akar real (atau dua akar identik).
3) Kasus terakhir lebih menarik dalam praktiknya - ada dua titik perpotongan parabola dengan sumbu absis. Artinya ada dua akar real dari persamaan tersebut.
Berdasarkan analisis koefisien pangkat variabel, dapat ditarik kesimpulan menarik tentang penempatan parabola.
1) Jika koefisien a lebih besar dari nol, maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas; jika negatif, cabang-cabang parabola mengarah ke bawah.
2) Jika koefisien b lebih besar dari nol, maka titik puncak parabola terletak pada setengah bidang kiri, jika bernilai negatif maka di kanan.
Penurunan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
Mari kita pindahkan konstanta dari persamaan kuadrat 
untuk tanda sama dengan, kita mendapatkan ekspresi
Kalikan kedua ruas dengan 4a 
Untuk belok kiri persegi sempurna tambahkan b^2 ke kedua sisi dan lakukan transformasi
Dari sini kita temukan
Rumus diskriminan dan akar persamaan kuadrat
Diskriminan adalah nilai ekspresi radikal, jika positif maka persamaan mempunyai dua akar real yang dihitung dengan rumus 
Jika diskriminannya nol, persamaan kuadrat mempunyai satu solusi (dua akar yang berimpit), yang dapat dengan mudah diperoleh dari rumus di atas untuk D = 0. diskriminan negatif tidak ada persamaan akar real. Namun, solusi persamaan kuadrat ditemukan pada bidang kompleks, dan nilainya dihitung menggunakan rumus 
teorema Vieta
Mari kita pertimbangkan dua akar persamaan kuadrat dan buatlah persamaan kuadrat berdasarkan keduanya.Teorema Vieta sendiri dengan mudah mengikuti notasi: jika kita memiliki persamaan kuadrat dalam bentuk 
maka jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien p yang diambil tanda yang berlawanan, dan hasil kali akar-akar persamaan sama dengan suku bebas q. Representasi rumus di atas akan terlihat seperti Jika dalam persamaan klasik konstanta a bukan nol, maka Anda perlu membagi seluruh persamaan dengan konstanta tersebut, lalu menerapkan teorema Vieta.
Memfaktorkan jadwal persamaan kuadrat
Biarkan tugasnya ditetapkan: faktorkan persamaan kuadrat. Untuk melakukan ini, pertama-tama kita selesaikan persamaannya (temukan akar-akarnya). Selanjutnya, kita substitusikan akar-akar yang ditemukan ke dalam rumus pemuaian persamaan kuadrat tersebut, sehingga permasalahannya akan terpecahkan.
Masalah persamaan kuadrat
Tugas 1. Temukan akar persamaan kuadrat
x^2-26x+120=0 .
Penyelesaian: Tuliskan koefisiennya dan substitusikan ke dalam rumus diskriminan
Akar dari nilai ini adalah 14, mudah ditemukan dengan kalkulator, atau diingat dengan sering digunakan, namun untuk kenyamanan, di akhir artikel saya akan memberikan daftar kuadrat angka yang sering ditemui di masalah seperti itu.
Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus akar 
dan kita mendapatkan 
Tugas 2. Selesaikan persamaannya
2x 2 +x-3=0.
Penyelesaian: Kita mempunyai persamaan kuadrat lengkap, tuliskan koefisiennya dan cari diskriminannya 
Oleh rumus yang diketahui mencari akar-akar persamaan kuadrat 
Tugas 3. Selesaikan persamaannya
9x 2 -12x+4=0.
Penyelesaian: Kita mempunyai persamaan kuadrat lengkap. Menentukan diskriminan
Kami mendapat kasus di mana akarnya bertepatan. Temukan nilai akar menggunakan rumus 
Tugas 4. Selesaikan persamaannya
x^2+x-6=0 .
Solusi: Jika koefisien x kecil, disarankan untuk menerapkan teorema Vieta. Berdasarkan kondisinya kita memperoleh dua persamaan
Dari kondisi kedua kita menemukan bahwa hasil kali harus sama dengan -6. Artinya salah satu akarnya negatif. Kami memiliki kemungkinan pasangan solusi berikut (-3;2), (3;-2) . Dengan mempertimbangkan kondisi pertama, kami menolak pasangan solusi kedua.
Akar-akar persamaannya sama
Soal 5. Hitunglah panjang sisi suatu persegi panjang jika kelilingnya 18 cm dan luasnya 77 cm 2.
Penyelesaian: Setengah keliling suatu persegi panjang sama dengan jumlah sisi-sisi yang berdekatan. Mari kita nyatakan x sebagai sisi yang lebih besar, maka 18-x adalah sisi yang lebih kecil. Luas persegi panjang sama dengan hasil kali panjang berikut:
x(18-x)=77;
atau
x 2 -18x+77=0.
Mari kita cari diskriminan dari persamaan tersebut
Menghitung akar persamaan 
Jika x=11, Itu 18=7 , hal sebaliknya juga berlaku (jika x=7, maka 21=9).
Soal 6. Faktorkan persamaan kuadrat 10x 2 -11x+3=0.
Solusi: Mari kita hitung akar-akar persamaannya, untuk melakukan ini kita mencari diskriminannya 
Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus akar dan menghitung 
Kami menerapkan rumus untuk menguraikan persamaan kuadrat berdasarkan akar 
Membuka tanda kurung kita memperoleh identitas.
Persamaan kuadrat dengan parameter
Contoh 1. Pada nilai parameter berapa A , apakah persamaan (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 mempunyai satu akar?
Penyelesaian: Dengan substitusi langsung terhadap nilai a=3 kita melihat bahwa nilai tersebut tidak mempunyai solusi. Selanjutnya, kita akan menggunakan fakta bahwa dengan diskriminan nol, persamaan tersebut memiliki satu akar multiplisitas 2. Mari kita tuliskan diskriminannya 
Mari kita sederhanakan dan samakan dengan nol
Kami telah memperoleh persamaan kuadrat terhadap parameter a, solusinya dapat dengan mudah diperoleh menggunakan teorema Vieta. Jumlah akar-akarnya adalah 7 dan hasil kali akar-akarnya adalah 12. Dengan pencarian sederhana kami menetapkan bahwa angka 3,4 akan menjadi akar persamaan. Karena kita sudah menolak solusi a=3 di awal perhitungan, satu-satunya solusi yang benar adalah - sebuah = 4. Jadi, untuk a=4 persamaan tersebut mempunyai satu akar.
Contoh 2. Pada nilai parameter berapa A , persamaannya a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 memiliki lebih dari satu akar?
Solusi: Pertama-tama mari kita perhatikan titik tunggalnya, yaitu nilai a=0 dan a=-3. Jika a=0, persamaannya akan disederhanakan menjadi 6x-9=0; x=3/2 dan akan ada satu akar. Untuk a= -3 kita memperoleh identitas 0=0.
Mari kita hitung diskriminannya 
dan carilah nilai a yang positif 
Dari kondisi pertama kita mendapatkan a>3. Untuk yang kedua, kita mencari diskriminan dan akar persamaannya 
Mari kita tentukan interval di mana fungsi tersebut bernilai positif. Dengan mensubstitusikan titik a=0 kita peroleh 3>0
.
Jadi, di luar interval (-3;1/3) fungsinya negatif. Jangan lupa intinya sebuah=0, yang harus dikecualikan karena itu persamaan asli memiliki satu akar.
Hasilnya, kita memperoleh dua interval yang memenuhi kondisi masalah 
Akan ada banyak tugas serupa dalam praktiknya, cobalah untuk mencari tahu sendiri tugas-tugas tersebut dan jangan lupa untuk memperhitungkan kondisi yang saling eksklusif. Pelajarilah dengan baik rumus-rumus penyelesaian persamaan kuadrat, seringkali dibutuhkan dalam perhitungan berbagai masalah dan ilmu pengetahuan.
Diskriminan, seperti halnya persamaan kuadrat, mulai dipelajari pada mata kuliah aljabar di kelas 8 SD. Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan dan menggunakan teorema Vieta. Metode mempelajari persamaan kuadrat, serta rumus-rumus diskriminan, kurang berhasil diajarkan kepada anak-anak sekolah, seperti banyak hal dalam pendidikan nyata. Oleh karena itu mereka lulus tahun sekolah, pendidikan di kelas 9-11 menggantikan” pendidikan yang lebih tinggi"dan semua orang melihat lagi - “Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat?”, “Bagaimana mencari akar-akar persamaan?”, “Bagaimana mencari diskriminan?” Dan...
Rumus diskriminan
Diskriminan D persamaan kuadrat a*x^2+bx+c=0 sama dengan D=b^2–4*a*c.
Akar-akar (solusi) persamaan kuadrat bergantung pada tanda diskriminan (D):
D>0 – persamaan memiliki 2 akar real yang berbeda;
D=0 - persamaan memiliki 1 akar (2 akar yang cocok):
D<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Rumus untuk menghitung diskriminan cukup sederhana, sehingga banyak situs web yang menawarkan kalkulator diskriminan online. Kami belum menemukan skrip semacam ini, jadi jika ada yang tahu cara menerapkannya, silakan kirim email kepada kami melalui email Alamat email ini dilindungi dari robot spam. Anda harus mengaktifkan JavaScript untuk melihatnya. .
Rumus umum mencari akar-akar persamaan kuadrat:
Kami menemukan akar persamaan menggunakan rumus 
Jika koefisien suatu variabel kuadrat berpasangan, maka disarankan untuk menghitung bukan diskriminannya, tetapi bagian keempatnya
Dalam kasus seperti itu, akar persamaan ditemukan menggunakan rumus 
Cara kedua untuk mencari akar adalah Teorema Vieta.
Teorema ini dirumuskan tidak hanya untuk persamaan kuadrat, tetapi juga untuk polinomial. Anda dapat membacanya di Wikipedia atau sumber elektronik lainnya. Namun untuk mempermudahnya, mari kita perhatikan bagian yang membahas persamaan kuadrat di atas, yaitu persamaan bentuk (a=1)
Inti dari rumus Vieta adalah jumlah akar persamaan sama dengan koefisien variabel yang diambil dengan tanda berlawanan. Hasil kali akar-akar persamaan sama dengan suku bebasnya. Teorema Vieta dapat ditulis dalam rumus.
Penurunan rumus Vieta cukup sederhana. Mari kita tulis persamaan kuadrat melalui faktor sederhana 
Seperti yang Anda lihat, segala sesuatu yang cerdik itu sederhana pada saat yang bersamaan. Rumus Vieta efektif digunakan jika selisih modulus akar atau selisih modulus akar adalah 1, 2. Misalnya persamaan berikut, menurut teorema Vieta, mempunyai akar
Sampai persamaan 4, analisisnya akan terlihat seperti ini. Hasil kali akar-akar persamaan adalah 6, sehingga akar-akarnya dapat berupa nilai (1, 6) dan (2, 3) atau berpasangan dengan tanda yang berlawanan. Jumlah akar-akarnya adalah 7 (koefisien variabel yang berlawanan tanda). Dari sini kita menyimpulkan bahwa penyelesaian persamaan kuadrat adalah x=2; x=3.
Lebih mudah untuk memilih akar-akar persamaan di antara pembagi suku bebas, menyesuaikan tandanya untuk memenuhi rumus Vieta. Pada awalnya hal ini terlihat sulit untuk dilakukan, namun dengan latihan pada sejumlah persamaan kuadrat, teknik ini akan menjadi lebih efektif dibandingkan menghitung diskriminan dan mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan cara klasik.
Seperti yang Anda lihat, teori sekolah mempelajari diskriminan dan metode menemukan solusi persamaan tidak memiliki makna praktis - “Mengapa anak sekolah membutuhkan persamaan kuadrat?”, “Apa arti fisis dari diskriminan?”
Mari kita coba mencari tahu Apa yang digambarkan oleh orang yang diskriminan?
Pada mata kuliah aljabar mereka mempelajari fungsi, skema mempelajari fungsi dan membuat grafik fungsi. Dari semua fungsi tersebut, parabola menempati tempat yang penting, yang persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk 
Jadi arti fisis persamaan kuadrat adalah angka nol parabola yaitu titik potong grafik fungsi dengan sumbu absis Sapi.
Saya meminta Anda untuk mengingat sifat-sifat parabola yang dijelaskan di bawah ini. Akan tiba waktunya untuk mengikuti ujian, ulangan, atau ujian masuk dan Anda akan berterima kasih atas bahan referensinya. Tanda variabel kuadrat menunjukkan apakah cabang-cabang parabola pada grafik akan naik (a>0),
atau parabola yang cabangnya mengarah ke bawah (a<0)
.
Titik puncak parabola terletak di tengah-tengah antara akar-akarnya
Arti fisik dari diskriminan:
Jika diskriminan lebih besar dari nol (D>0) parabola mempunyai dua titik potong dengan sumbu Ox. 
Jika diskriminannya nol (D=0) maka parabola di titik puncak menyentuh sumbu x. 
Dan kasus terakhir, ketika diskriminan kurang dari nol (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
