BADAN FEDERAL UNTUK PENDIDIKAN
LEMBAGA PENDIDIKAN NEGARA
PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI
"UNVERSITAS PEDAGOGIS NEGARA VORONEZH"
DEPARTEMEN AGLEBRA DAN GEOMETRI
Bilangan kompleks
(tugas yang dipilih)
PEKERJAAN KUALIFIKASI LULUSAN
spesialisasi 050201.65 matematika
(dengan tambahan keahlian 050202.65 ilmu komputer)
Diselesaikan oleh: siswa tahun ke-5
fisik dan matematika
fakultas
Penasihat ilmiah:
VORONEZH – 2008
1. Perkenalan……………………………………………………...…………..…
2. Bilangan kompleks (masalah terpilih)
2.1. Bilangan kompleks di bentuk aljabar….……...……….….
2.2. Interpretasi geometris bilangan kompleks………..…
2.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks
2.4. Penerapan teori bilangan kompleks pada penyelesaian persamaan derajat 3 dan 4………..…………………………………………………………………
2.5. Bilangan kompleks dan parameternya……………………………...….
3. Kesimpulan………………………………………………………………………………….
4. Daftar referensi………………………….………………………......
1. Perkenalan
Dalam program matematika kursus sekolah teori bilangan diperkenalkan dengan menggunakan contoh himpunan bilangan asli, bilangan bulat, rasional, irasional, mis. pada himpunan bilangan real yang gambarannya memenuhi seluruh garis bilangan. Namun sudah di kelas 8 persediaan bilangan real tidak mencukupi, menyelesaikan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif. Oleh karena itu, penting untuk mengisi kembali stok bilangan real dengan bantuan bilangan kompleks, yang akar kuadratnya adalah angka negatif memiliki arti.
Memilih topik “Bilangan Kompleks” sebagai topik wisuda saya pekerjaan yang memenuhi syarat, adalah bahwa konsep bilangan kompleks memperluas pengetahuan siswa tentang sistem bilangan, tentang pemecahan berbagai masalah baik yang bersifat aljabar maupun geometri, tentang penyelesaian persamaan aljabar derajat apa pun dan tentang memecahkan masalah dengan parameter.
Tesis ini mengkaji solusi dari 82 permasalahan.
Bagian pertama dari bagian utama “Bilangan kompleks” berisi solusi untuk masalah bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, operasi konjugasi bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, pangkat satuan imajiner, modulus bilangan kompleks didefinisikan, dan aturan ekstraksi juga dinyatakan akar pangkat dua dari bilangan kompleks.
Pada bagian kedua, permasalahan interpretasi geometri bilangan kompleks berupa titik atau vektor pada bidang kompleks diselesaikan.
Bagian ketiga membahas tentang operasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri. Rumus yang digunakan adalah: Moivre dan mengekstraksi akar bilangan kompleks.
Bagian keempat dikhususkan untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-3 dan ke-4.
Saat menyelesaikan masalah di bagian terakhir, “Bilangan dan parameter kompleks”, informasi yang diberikan di bagian sebelumnya digunakan dan digabungkan. Serangkaian masalah dalam bab ini dikhususkan untuk menentukan kelompok garis pada bidang kompleks yang ditentukan oleh persamaan (pertidaksamaan) dengan suatu parameter. Di bagian latihan, Anda perlu menyelesaikan persamaan dengan parameter (di bidang C). Ada tugas di mana variabel kompleks secara bersamaan memenuhi sejumlah kondisi. Ciri khusus penyelesaian masalah pada bagian ini adalah reduksi banyak masalah menjadi penyelesaian persamaan (pertidaksamaan, sistem) derajat kedua, irasional, trigonometri dengan parameter.
Ciri penyajian materi pada setiap bagian adalah masukan awal landasan teori, dan selanjutnya penerapan praktisnya dalam memecahkan masalah.
Pada akhirnya tesis daftar literatur bekas disajikan. Kebanyakan dari mereka menyajikan materi teoritis dengan cukup rinci dan mudah diakses, mempertimbangkan solusi untuk beberapa masalah, dan memberikan tugas-tugas praktis Untuk keputusan independen. Perhatian khusus Saya ingin merujuk ke sumber-sumber seperti:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Bilangan kompleks dan penerapannya: Buku Ajar. . Bahan alat bantu mengajar disajikan dalam bentuk ceramah dan latihan praktek.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Masalah dan teorema matematika dasar yang dipilih. Aritmatika dan aljabar. Buku ini berisi 320 soal yang berkaitan dengan aljabar, aritmatika, dan teori bilangan. Tugas-tugas ini berbeda secara signifikan dari tugas-tugas sekolah standar.
2. Bilangan kompleks (masalah terpilih)
2.1. Bilangan kompleks dalam bentuk aljabar
Pemecahan banyak masalah dalam matematika dan fisika direduksi menjadi penyelesaian persamaan aljabar, yaitu. persamaan bentuk
,dimana a0, a1,…, an adalah bilangan real. Oleh karena itu, kajian persamaan aljabar merupakan salah satu kajiannya isu-isu kritis dalam matematika. Misalnya persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif. Persamaan yang paling sederhana adalah persamaan
.Agar persamaan ini mempunyai penyelesaian, himpunan bilangan real perlu diperluas dengan menambahkan akar persamaan ke dalamnya.
.Mari kita nyatakan akar ini dengan
. Jadi, menurut definisi, atau,karena itu,
. disebut satuan imajiner. Dengan bantuannya dan dengan bantuan sepasang bilangan real, ekspresi bentuk dikompilasi.Ekspresi yang dihasilkan disebut bilangan kompleks karena mengandung bagian nyata dan bagian imajiner.
Jadi, bilangan kompleks adalah ekspresi bentuk
, dan merupakan bilangan real, dan merupakan simbol tertentu yang memenuhi kondisi . Bilangan tersebut disebut bagian real suatu bilangan kompleks, dan bilangan tersebut disebut bagian imajinernya. Simbol , digunakan untuk menunjukkannya.Bentuk bilangan kompleks
adalah bilangan real dan oleh karena itu, himpunan bilangan kompleks memuat himpunan bilangan real. Bentuk bilangan kompleks
disebut murni imajiner. Dua bilangan kompleks berbentuk dan dikatakan sama jika bagian riil dan bagian imajinernya sama, yaitu. jika persamaan , .Notasi aljabar bilangan kompleks memungkinkan pengoperasian bilangan kompleks sesuai dengan aturan aljabar biasa.
Untuk menyelesaikan soal bilangan kompleks, Anda perlu memahami definisi dasarnya. Tujuan utama dari artikel review ini adalah untuk menjelaskan apa itu bilangan kompleks dan menyajikan metode penyelesaian masalah dasar bilangan kompleks. Jadi, bilangan kompleks disebut bilangan yang bentuknya z = a + dua, Di mana a, b- bilangan real, yang masing-masing disebut bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks, dan dilambangkan a = Kembali(z), b=Im(z).
Saya disebut satuan imajiner. saya 2 = -1. Secara khusus, bilangan real apa pun dapat dianggap kompleks: a = a + 0i, dimana a nyata. Jika sebuah = 0 Dan b ≠ 0, maka bilangan tersebut biasa disebut murni imajiner.
Sekarang mari kita perkenalkan operasi pada bilangan kompleks.
Pertimbangkan dua bilangan kompleks z 1 = a 1 + b 1 saya Dan z 2 = a 2 + b 2 saya.
Mari kita pertimbangkan z = a + dua.
Himpunan bilangan kompleks memperluas himpunan bilangan real, yang pada gilirannya memperluas himpunan tersebut angka rasional dll. Rantai investasi ini dapat dilihat pada gambar: N – bilangan bulat, Z - bilangan bulat, Q - rasional, R - nyata, C - kompleks. 
Representasi bilangan kompleks
Notasi aljabar.
Pertimbangkan bilangan kompleks z = a + dua, bentuk penulisan bilangan kompleks ini disebut aljabar. Bentuk pencatatan ini telah kita bahas secara detail pada bagian sebelumnya. Gambar visual berikut ini cukup sering digunakan 
Bentuk trigonometri.
Dari gambar tersebut terlihat bahwa jumlahnya z = a + dua dapat ditulis berbeda. Jelas sekali a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, karena itu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
disebut argumen bilangan kompleks. Representasi bilangan kompleks ini disebut bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri terkadang sangat mudah digunakan. Misalnya, lebih mudah menggunakannya untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi bilangan bulat, yaitu jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Itu z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, rumus ini disebut rumus Moivre.
Bentuk demonstratif.
Mari kita pertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i- bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, tuliskan dalam bentuk lain z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, persamaan terakhir mengikuti rumus Euler, jadi kita peroleh seragam baru notasi bilangan kompleks: z = kembali iφ, yang disebut indikatif. Bentuk notasi ini juga sangat mudah untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat: z n = r n e diφ, Di Sini N tidak harus berupa bilangan bulat, tetapi dapat berupa bilangan real sembarang. Bentuk notasi ini cukup sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan.
Teorema dasar aljabar yang lebih tinggi
Bayangkan kita mempunyai persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0. Tentu saja diskriminan persamaan ini negatif dan tidak mempunyai akar real, namun ternyata persamaan tersebut mempunyai dua akar kompleks yang berbeda. Jadi, teorema dasar aljabar yang lebih tinggi menyatakan bahwa setiap polinomial berderajat n memiliki setidaknya satu akar kompleks. Oleh karena itu, setiap polinomial berderajat n mempunyai tepat n akar kompleks, dengan mempertimbangkan multiplisitasnya. Teorema ini merupakan hasil yang sangat penting dalam matematika dan digunakan secara luas. Akibat sederhana dari teorema ini adalah terdapat tepat n akar yang berbeda derajat n kesatuan.
Jenis tugas utama
Bagian ini akan membahas tipe utama tugas-tugas sederhana ke bilangan kompleks. Secara konvensional, masalah yang melibatkan bilangan kompleks dapat dibagi ke dalam kategori berikut.
- Melakukan operasi aritmatika sederhana pada bilangan kompleks.
- Menemukan akar-akar polinomial dalam bilangan kompleks.
- Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.
- Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks.
- Menggunakan bilangan kompleks untuk menyelesaikan masalah lain.
Sekarang mari kita pertimbangkan teknik umum solusi terhadap permasalahan-permasalahan tersebut.
Operasi aritmatika paling sederhana dengan bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan yang dijelaskan di bagian pertama, tetapi jika bilangan kompleks disajikan dalam bentuk trigonometri atau eksponensial, maka dalam hal ini Anda dapat mengubahnya menjadi bentuk aljabar dan melakukan operasi sesuai aturan yang diketahui.
Menemukan akar-akar polinomial biasanya dilakukan dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat. Misalkan kita mempunyai persamaan kuadrat, jika diskriminannya non-negatif, maka akar-akarnya real dan dapat dicari dengan rumus yang sudah diketahui. Jika diskriminannya negatif, yaitu, D = -1∙a 2, Di mana A adalah bilangan tertentu, maka diskriminannya dapat direpresentasikan sebagai D = (ia) 2, karena itu √D = saya|a|, dan kemudian Anda dapat menggunakannya rumus terkenal untuk akar-akar persamaan kuadrat.
Contoh. Mari kita kembali ke apa yang disebutkan di atas. persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminan - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan akarnya: 
Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat dapat dilakukan dengan beberapa cara. Jika Anda perlu menaikkan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar ke pangkat kecil (2 atau 3), maka Anda dapat melakukannya dengan perkalian langsung, tetapi jika pangkatnya lebih besar (dalam soal seringkali jauh lebih besar), maka Anda perlu melakukannya tuliskan bilangan ini dalam bentuk trigonometri atau eksponensial dan gunakan metode yang sudah diketahui.
Contoh. Perhatikan z = 1 + i dan naikkan ke pangkat sepuluh.
Mari kita tuliskan z dalam bentuk eksponensial: z = √2 e iπ/4.
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kita kembali ke bentuk aljabar: z 10 = -32i.
Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks adalah operasi kebalikan dari eksponensial dan oleh karena itu dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akar sering digunakan bentuk penulisan bilangan eksponensial.
Contoh. Mari kita temukan semua akar kesatuan derajat 3. Untuk melakukannya, kita akan mencari semua akar persamaan z 3 = 1, kita akan mencari akar-akarnya dalam bentuk eksponensial.
Mari kita substitusikan ke dalam persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Jadi: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, maka φ = 2πk/3.
Akar yang berbeda diperoleh pada φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh karena itu 1, e i2π/3, e i4π/3 adalah akar-akarnya.
Atau dalam bentuk aljabar: 
Jenis masalah yang terakhir mencakup berbagai macam masalah dan tidak ada metode umum untuk menyelesaikannya. Mari kita berikan contoh sederhana dari tugas tersebut:
Temukan jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Meskipun rumusan soal ini tidak melibatkan bilangan kompleks, namun dapat diselesaikan dengan mudah dengan bantuannya. Untuk mengatasinya, representasi berikut digunakan: 
Jika sekarang kita mensubstitusi representasi ini ke dalam penjumlahan, maka masalahnya direduksi menjadi menjumlahkan barisan geometri biasa.
Kesimpulan
Bilangan kompleks banyak digunakan dalam matematika, artikel ulasan ini membahas tentang operasi dasar bilangan kompleks, menjelaskan beberapa jenis soal standar, dan menjelaskan secara singkat metode umum solusinya, untuk studi lebih rinci tentang kemampuan bilangan kompleks, disarankan untuk menggunakan literatur khusus.
literatur
Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Agar lebih jelas, mari kita selesaikan permasalahan berikut:
Hitung \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jika \
Pertama-tama, mari kita perhatikan fakta bahwa satu bilangan disajikan dalam bentuk aljabar, yang lainnya dalam bentuk trigonometri. Perlu disederhanakan dan dibawa ke bentuk berikut
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Ekspresi \ mengatakan bahwa pertama-tama kita melakukan perkalian dan menaikkan pangkat 10 menggunakan rumus Moivre. Rumus ini dirumuskan untuk bentuk trigonometri bilangan kompleks. Kita mendapatkan:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Mengikuti aturan mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, kita melakukan hal berikut:
Dalam kasus kami:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Dengan membuat pecahan \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] benar, kita sampai pada kesimpulan bahwa kita dapat “memutar” 4 putaran \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Jawaban: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yaitu dengan mengubah bilangan ke-2 menjadi bentuk aljabar, kemudian melakukan perkalian dalam bentuk aljabar, mengubah hasilnya menjadi bentuk trigonometri dan menerapkan rumus Moivre:
Di mana saya bisa menyelesaikan sistem persamaan bilangan kompleks secara online?
Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda masih memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.
