Dalam pelajaran ini kita akan melihat berbagai pertidaksamaan eksponensial dan mempelajari cara menyelesaikannya berdasarkan teknik penyelesaian pertidaksamaan eksponensial yang paling sederhana.
1. Pengertian dan sifat-sifat fungsi eksponensial
Mari kita mengingat kembali definisi dan sifat dasar fungsi eksponensial. Penyelesaian semua persamaan dan pertidaksamaan eksponensial didasarkan pada sifat-sifat ini.
Fungsi eksponensial adalah fungsi dari bentuk , dengan basis adalah derajat dan Di sini x adalah variabel bebas, argumen; y adalah variabel terikat, fungsi.
Beras. 1. Grafik fungsi eksponensial
Grafik menunjukkan eksponen naik dan turun, yang menggambarkan fungsi eksponensial dengan basis lebih besar dari satu dan kurang dari satu tetapi lebih besar dari nol.
Kedua kurva melewati titik (0;1)
Sifat-sifat Fungsi Eksponensial:
Domain: ;
Jarak nilai: ;
Fungsinya monotonik, bertambah seiring, berkurang seiring.
Fungsi monotonik mengambil setiap nilainya dengan nilai argumen tunggal.
Kapan , ketika argumen meningkat dari minus ke plus tak terhingga, fungsinya meningkat dari nol inklusif menjadi plus tak terhingga, yaitu, untuk nilai argumen tertentu kita memiliki fungsi yang meningkat secara monoton (). Sebaliknya, ketika argumen bertambah dari minus ke plus tak terhingga, fungsinya berkurang dari tak terhingga menjadi nol inklusif, yaitu, untuk nilai argumen tertentu kita memiliki fungsi menurun secara monoton ().
2. Pertidaksamaan eksponensial paling sederhana, metode penyelesaian, contoh
Berdasarkan uraian di atas, kami menyajikan metode penyelesaian pertidaksamaan eksponensial sederhana:
Teknik untuk mengatasi ketidaksetaraan:
Menyamakan dasar derajat;
Bandingkan metrik dengan menyimpan atau mengubahnya tanda yang berlawanan kesenjangan.
Penyelesaian pertidaksamaan eksponensial yang kompleks biasanya dilakukan dengan mereduksinya menjadi pertidaksamaan eksponensial yang paling sederhana.
Basis derajatnya lebih besar dari satu, yang berarti tanda pertidaksamaan tetap:
Mari bertransformasi sisi kanan menurut sifat-sifat derajatnya:
Basis derajatnya kurang dari satu, tanda pertidaksamaannya harus dibalik:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita selesaikan persamaan kuadrat yang sesuai:
Dengan menggunakan teorema Vieta kita menemukan akarnya:
Cabang-cabang parabola mengarah ke atas.
Jadi, kita mempunyai solusi untuk pertidaksamaan tersebut:
Sangat mudah untuk menebak bahwa ruas kanan dapat direpresentasikan sebagai pangkat dengan eksponen nol:
Basis derajatnya lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaannya tidak berubah, kita peroleh:
Mari kita mengingat kembali teknik untuk menyelesaikan ketidaksetaraan tersebut.
Perhatikan fungsi pecahan-rasional:
Kami menemukan domain definisi:
Menemukan akar fungsi:
Fungsi tersebut mempunyai akar tunggal, 
Kami memilih interval tanda konstan dan menentukan tanda fungsi pada setiap interval:
Beras. 2. Interval keteguhan tanda
Jadi, kami menerima jawabannya.
Menjawab: 
3. Menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial standar
Mari kita pertimbangkan ketimpangan dengan indikator yang sama, tetapi basisnya berbeda.
Salah satu sifat dari fungsi eksponensial adalah bahwa untuk setiap nilai argumen, dibutuhkan nilai yang sangat positif, yang berarti bahwa fungsi tersebut dapat dibagi menjadi fungsi eksponensial. Mari kita bagi pertidaksamaan tersebut dengan ruas kanannya:
Basis derajatnya lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan dipertahankan.
Mari kita ilustrasikan solusinya:
Gambar 6.3 menunjukkan grafik fungsi dan . Jelasnya, ketika argumennya lebih besar dari nol, grafik fungsinya semakin tinggi, fungsi ini semakin besar. Ketika nilai argumennya negatif, fungsinya menjadi lebih rendah, lebih kecil. Jika argumennya sama, maka fungsinya sama, artinya titik tertentu juga merupakan solusi untuk ketidaksetaraan yang diberikan.
Beras. 3. Ilustrasi misalnya 4
Mari kita ubah pertidaksamaan yang diberikan menurut sifat-sifat derajatnya:
Berikut beberapa istilah serupa:
Mari kita bagi kedua bagian menjadi:
Sekarang kita lanjutkan menyelesaikannya dengan cara yang sama seperti contoh 4, bagi kedua bagian dengan:
Basis derajatnya lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaannya tetap:
4. Solusi grafis dari pertidaksamaan eksponensial
Contoh 6 - Selesaikan pertidaksamaan secara grafis:
Mari kita lihat fungsi di sisi kiri dan kanan dan buat grafik untuk masing-masing fungsi tersebut.
Fungsinya eksponensial dan meningkat di seluruh domain definisinya, yaitu untuk semua nilai riil argumen.
Fungsinya linier dan menurun di seluruh domain definisinya, yaitu untuk semua nilai riil argumen.
Jika fungsi-fungsi ini berpotongan, artinya sistem mempunyai solusi, maka solusi tersebut unik dan mudah ditebak. Untuk melakukan ini, kami mengulangi bilangan bulat ()
Sangat mudah untuk melihat bahwa akar dari sistem ini adalah:
Jadi, grafik fungsi tersebut berpotongan di suatu titik yang argumennya sama dengan satu.
Sekarang kita perlu mendapatkan jawabannya. Arti dari pertidaksamaan yang diberikan adalah eksponennya harus lebih besar atau sama dengan fungsi linear, yaitu lebih tinggi atau bertepatan dengannya. Jawabannya jelas: (Gambar 6.4)
Beras. 4. Ilustrasi misalnya 6
Jadi, kami melihat penyelesaian berbagai pertidaksamaan eksponensial standar. Selanjutnya kita beralih ke pembahasan pertidaksamaan eksponensial yang lebih kompleks.
Bibliografi
Mordkovich A. G. Aljabar dan prinsip analisis matematis. - M.: Mnemosin. Muravin G.K., Muravin O.V. Aljabar dan awal mula analisis matematika. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. dkk. Aljabar dan permulaan analisis matematika. - M.: Pencerahan.
Matematika. md. Pengulangan matematika. com. Berbeda. kemsu. ru.
Pekerjaan rumah
1. Aljabar dan permulaan analisis, kelas 10-11 (A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn) 1990, No. 472, 473;
2. Selesaikan pertidaksamaan:
3. Mengatasi kesenjangan.
Mari kita lihat cara menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial yang melibatkan pangkat dengan basis berbeda. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut serupa dengan penyelesaian pertidaksamaan yang bersangkutan.
(5^((x^2) - x - 1)) - (2^((x^2) - x))\]" title="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Kami mengelompokkan derajat dengan basis yang sama. Akan lebih mudah untuk memisahkannya pada sisi pertidaksamaan yang berlawanan:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Dari setiap pasangan pangkat kita keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung - pangkat dengan eksponen yang lebih kecil. Mengeluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung berarti membagi setiap suku dengan faktor tersebut. Saat membagi derajat dengan basis yang sama, kita membiarkan basisnya sama dan mengurangi eksponennya:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Anda dapat langsung membaginya dengan 20 (20=4∙5), tetapi latihan menunjukkan bahwa membagi dalam dua tahap memungkinkan Anda menghindari kemungkinan kesalahan:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Karena basisnya adalah 2/5<1, показательная функция
berkurang, maka tanda pertidaksamaan antar eksponen berubah menjadi sebaliknya:
Mari selesaikan pertidaksamaan kuadrat menggunakan metode interval. Angka nol dari fungsi di sisi kiri pertidaksamaan adalah x1=-1; x2=2. Kami menandainya di garis bilangan.
Untuk memeriksa tandanya, ambil angka nol: 0²-0-2=-2, pada interval dimana angka nol tersebut berada, beri tanda “-“. Kami mengatur sisa tanda dalam pola kotak-kotak. Karena kita menyelesaikan pertidaksamaan yang ruas kirinya kurang dari nol, kita memilih interval dengan tanda “-”.
Jawaban: x ∈ (-1; 2).
Varian dari pertidaksamaan jenis ini adalah semua pangkat mempunyai basis yang sama, tetapi berbeda dalam koefisien x dalam eksponennya.
Di sebelah kiri kita keluarkan dalam tanda kurung derajat dengan eksponen terendah
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Kita sampai pada ketimpangan eksponensial. Karena basis 7>1, fungsinya
meningkat, tanda ketimpangan antar indikator tidak berubah:
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan metode interval, kita pindahkan semua suku ke sisi kiri dan kurangi pecahannya menjadi
Memecahkan sebagian besar masalah matematika dengan satu atau lain cara melibatkan transformasi ekspresi numerik, aljabar, atau fungsional. Hal di atas berlaku khususnya pada keputusan. Dalam versi Ujian Negara Terpadu matematika, jenis soal ini mencakup, khususnya, tugas C3. Belajar menyelesaikan tugas C3 penting tidak hanya agar berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, tetapi juga karena keterampilan ini akan berguna ketika mempelajari mata pelajaran matematika di sekolah menengah.
Saat menyelesaikan tugas C3, Anda harus memutuskan jenis yang berbeda persamaan dan pertidaksamaan. Diantaranya adalah rasional, irasional, eksponensial, logaritma, trigonometri, mengandung modul ( nilai absolut), serta gabungan. Artikel ini membahas jenis utama persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, serta berbagai metode keputusan mereka. Baca tentang penyelesaian jenis persamaan dan pertidaksamaan lainnya di bagian “” dalam artikel yang membahas tentang metode penyelesaian masalah C3 dari Opsi Ujian Negara Bersatu matematika.
Sebelum kita mulai menganalisis secara spesifik persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, sebagai tutor matematika, saya menyarankan Anda memoles beberapa materi teori yang kami perlukan.
Fungsi eksponensial
Apa itu fungsi eksponensial?
Fungsi formulir kamu = sebuah x, Di mana A> 0 dan A≠ 1 dipanggil Fungsi eksponensial.
Dasar sifat-sifat fungsi eksponensial kamu = sebuah x:
Grafik Fungsi Eksponensial
Grafik fungsi eksponensialnya adalah eksponen:
Grafik fungsi eksponensial (eksponen)
Memecahkan persamaan eksponensial
Indikatif disebut persamaan di mana variabel yang tidak diketahui hanya ditemukan dalam eksponen pangkat tertentu.
Untuk solusi persamaan eksponensial Anda perlu mengetahui dan dapat menggunakan teorema sederhana berikut:
Teorema 1. Persamaan eksponensial A F(X) = A G(X) (Di mana A > 0, A≠ 1) setara dengan persamaan F(X) = G(X).
Selain itu, penting untuk mengingat rumus dasar dan operasi dengan derajat:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Contoh 1. Selesaikan persamaan:
Larutan: Kami menggunakan rumus dan substitusi di atas:
Persamaannya kemudian menjadi:
Diskriminan persamaan kuadrat yang dihasilkan adalah positif:
Judul="Diberikan oleh QuickLaTeX.com">!}
Artinya persamaan ini mempunyai dua akar. Kami menemukannya:
Pindah ke substitusi terbalik, kita mendapatkan:
Persamaan kedua tidak memiliki akar, karena fungsi eksponensial benar-benar positif di seluruh domain definisi. Mari kita selesaikan yang kedua:
Dengan mempertimbangkan apa yang dikatakan dalam Teorema 1, kita beralih ke persamaan ekuivalen: X= 3. Ini akan menjadi jawaban tugas tersebut.
Menjawab: X = 3.
Contoh 2. Selesaikan persamaan:
Larutan: Persamaan tersebut tidak memiliki batasan pada rentang nilai yang diizinkan, karena ekspresi radikal masuk akal untuk nilai apa pun X(Fungsi eksponensial kamu = 9 4 -X positif dan tidak sama dengan nol).
Kami memecahkan persamaan dengan transformasi yang setara menggunakan aturan perkalian dan pembagian pangkat:
Transisi terakhir dilakukan sesuai dengan Teorema 1.
Menjawab:X= 6.
Contoh 3. Selesaikan persamaan:
Larutan: kedua bagian persamaan asli dapat dibagi 0,2 X. Transisi ini akan setara, karena ekspresi ini lebih besar dari nol untuk nilai berapa pun X(fungsi eksponensial benar-benar positif dalam domain definisinya). Maka persamaannya berbentuk:
Menjawab: X = 0.
Contoh 4. Selesaikan persamaan:
Larutan: kami menyederhanakan persamaan menjadi persamaan dasar melalui transformasi ekuivalen menggunakan aturan pembagian dan perkalian pangkat yang diberikan di awal artikel:
Membagi kedua ruas persamaan dengan 4 X, seperti pada contoh sebelumnya, merupakan transformasi ekuivalen, karena ekspresi ini tidak sama dengan nol untuk nilai apa pun X.
Menjawab: X = 0.
Contoh 5. Selesaikan persamaan:
Larutan: fungsi kamu = 3X, yang berada di sisi kiri persamaan, semakin meningkat. Fungsi kamu = —X-2/3 di sisi kanan persamaan berkurang. Artinya jika grafik fungsi-fungsi tersebut berpotongan, maka paling banyak satu titik. DI DALAM pada kasus ini tidak sulit untuk menebak bahwa grafik-grafik tersebut berpotongan di suatu titik X= -1. Tidak akan ada akar lainnya.
Menjawab: X = -1.
Contoh 6. Selesaikan persamaan:
Larutan: kami menyederhanakan persamaan melalui transformasi ekuivalen, dengan mengingat bahwa fungsi eksponensial lebih besar dari nol untuk nilai berapa pun X dan menggunakan aturan untuk menghitung hasil kali dan hasil bagi pangkat yang diberikan di awal artikel:
Menjawab: X = 2.
Memecahkan pertidaksamaan eksponensial
Indikatif disebut pertidaksamaan yang variabelnya tidak diketahui hanya terdapat pada eksponen pangkat tertentu.
Untuk solusi ketidaksetaraan eksponensial pengetahuan tentang teorema berikut diperlukan:
Teorema 2. Jika A> 1, maka pertidaksamaannya A F(X) > A G(X) setara dengan pertidaksamaan dengan arti yang sama: F(X) > G(X). Jika 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) setara dengan pertidaksamaan dengan arti sebaliknya: F(X) < G(X).
Contoh 7. Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan: Mari kita nyatakan pertidaksamaan awal dalam bentuk:
Mari kita bagi kedua ruas pertidaksamaan ini dengan 3 2 X, dalam hal ini (karena kepositifan fungsinya kamu= 3 2X) tanda pertidaksamaan tidak akan berubah:
Mari kita gunakan substitusi:
Maka pertidaksamaan tersebut akan berbentuk:
Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah intervalnya:
beralih ke substitusi terbalik, kita mendapatkan:
Karena kepositifan fungsi eksponensial, pertidaksamaan kiri terpenuhi secara otomatis. Dengan menggunakan sifat logaritma yang terkenal, kita beralih ke pertidaksamaan ekuivalen:
Karena basis derajatnya adalah angka yang lebih besar dari satu, ekuivalennya (menurut Teorema 2) adalah transisi ke pertidaksamaan berikut:
Jadi, kami akhirnya mendapatkannya menjawab:
Contoh 8. Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan: Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian pangkat, kita tulis ulang pertidaksamaan tersebut dalam bentuk:
Mari perkenalkan variabel baru:
Dengan mempertimbangkan substitusi ini, pertidaksamaan tersebut berbentuk:
Mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan 7, kita memperoleh pertidaksamaan ekuivalen berikut:
Jadi, nilai variabel berikut memenuhi pertidaksamaan T:
Kemudian, beralih ke substitusi terbalik, kita mendapatkan:
Karena basis derajat di sini lebih besar dari satu, transisi ke pertidaksamaan akan setara (menurut Teorema 2):
Akhirnya kita dapatkan menjawab:
Contoh 9. Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan:
Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan ekspresi:
Itu selalu lebih besar dari nol (karena kepositifan fungsi eksponensial), jadi tidak perlu mengubah tanda pertidaksamaan. Kita mendapatkan:
t terletak pada interval:
Pindah ke substitusi terbalik, kita menemukan bahwa pertidaksamaan awal terbagi menjadi dua kasus:
Pertidaksamaan pertama tidak memiliki solusi karena fungsi eksponensialnya positif. Mari kita selesaikan yang kedua:
Contoh 10. Selesaikan pertidaksamaan:
Larutan:
Cabang parabola kamu = 2X+2-X 2 diarahkan ke bawah, oleh karena itu dibatasi dari atas oleh nilai yang dicapai pada titik puncaknya:
Cabang parabola kamu = X 2 -2X Tanda +2 pada indikator mengarah ke atas, artinya dibatasi dari bawah oleh nilai yang dicapai pada titik puncaknya:
Pada saat yang sama, fungsinya juga dibatasi dari bawah kamu = 3 X 2 -2X+2, yang ada di sisi kanan persamaan. Dia mencapai tujuannya nilai terendah pada titik yang sama dengan parabola pada eksponen, dan nilai ini sama dengan 3 1 = 3. Jadi, pertidaksamaan awal hanya bisa benar jika fungsi di kiri dan fungsi di kanan bernilai 3 pada titik yang sama (dengan perpotongan Kisaran nilai fungsi-fungsi ini hanya angka ini). Kondisi ini terpenuhi pada satu titik X = 1.
Menjawab: X= 1.
Untuk belajar memutuskan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, perlu untuk terus berlatih dalam menyelesaikannya. Berbagai hal dapat membantu Anda dalam tugas sulit ini. manual metodologi, buku soal matematika dasar, kumpulan soal kompetitif, kelas matematika di sekolah, serta sesi individu dengan tutor profesional. Saya dengan tulus berharap Anda sukses dalam persiapan Anda dan hasil ujian yang luar biasa.
Sergei Valerievich
P.S. Para tamu yang terhormat! Tolong jangan menulis permintaan untuk menyelesaikan persamaan Anda di komentar. Sayangnya, saya tidak punya waktu untuk itu. Pesan-pesan seperti itu akan dihapus. Silakan baca artikelnya. Mungkin di dalamnya Anda akan menemukan jawaban atas pertanyaan-pertanyaan yang tidak memungkinkan Anda menyelesaikan tugas Anda sendiri.
Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial adalah persamaan yang bilangan eksponennya memuat hal yang tidak diketahui.
Penyelesaian persamaan eksponensial sering kali dilakukan dengan menyelesaikan persamaan a x = a b, dengan a > 0, a ≠ 1, x tidak diketahui. Persamaan ini mempunyai akar tunggal x = b, karena teorema berikut ini benar:
Dalil. Jika a > 0, a ≠ 1 dan a x 1 = a x 2, maka x 1 = x 2.
Mari kita buktikan pernyataan yang dipertimbangkan.
Mari kita asumsikan bahwa persamaan x 1 = x 2 tidak berlaku, yaitu. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, maka fungsi eksponensial y = a x bertambah dan oleh karena itu pertidaksamaan a x 1 harus dipenuhi< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >sebuah x 2. Dalam kedua kasus tersebut kami menerima kontradiksi dengan kondisi a x 1 = a x 2.
Mari kita pertimbangkan beberapa masalah.
Selesaikan persamaan 4 ∙ 2 x = 1.
Larutan.
Mari kita tulis persamaannya dalam bentuk 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, sehingga diperoleh x + 2 = 0, yaitu x = -2.
Menjawab. x = -2.
Selesaikan persamaan 2 3x ∙ 3 x = 576.
Larutan.
Karena 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, persamaannya dapat ditulis sebagai 8 x ∙ 3 x = 24 2 atau 24 x = 24 2.
Dari sini kita mendapatkan x = 2.
Menjawab. x = 2.
Selesaikan persamaan 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.
Larutan.
Dengan mengambil faktor persekutuan 3 x - 2 dari tanda kurung di sisi kiri, kita mendapatkan 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,
dimana 3 x - 2 = 1, mis. x – 2 = 0, x = 2.
Menjawab. x = 2.
Selesaikan persamaan 3 x = 7 x.
Larutan.
Karena 7 x ≠ 0, persamaannya dapat ditulis sebagai 3 x /7 x = 1, sehingga (3/7) x = 1, x = 0.
Menjawab. x = 0.
Selesaikan persamaan 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.
Larutan.
Dengan mengganti 3 x = a persamaan ini direduksi menjadi persamaan kuadrat sebuah 2 – 4a – 45 = 0.
Memecahkan persamaan ini, kita menemukan akar-akarnya: a 1 = 9, dan 2 = -5, maka 3 x = 9, 3 x = -5.
Persamaan 3 x = 9 mempunyai akar 2, dan persamaan 3 x = -5 tidak mempunyai akar, karena fungsi eksponensial tidak dapat bernilai negatif.
Menjawab. x = 2.
Menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial sering kali dilakukan dengan menyelesaikan pertidaksamaan a x > a b atau a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Mari kita lihat beberapa masalah.
Selesaikan pertidaksamaan 3 x< 81.
Larutan.
Mari kita tuliskan pertidaksamaan dalam bentuk 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, maka fungsi y = 3 x meningkat.
Oleh karena itu, untuk x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Jadi, pada x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
Menjawab. X< 4.
Selesaikan pertidaksamaan 16 x +4 x – 2 > 0.
Larutan.
Misalkan 4 x = t, maka diperoleh pertidaksamaan kuadrat t2 + t – 2 > 0.
Ketimpangan ini berlaku untuk t< -2 и при t > 1.
Karena t = 4 x, kita mendapatkan dua pertidaksamaan 4 x< -2, 4 х > 1.
Pertidaksamaan pertama tidak mempunyai penyelesaian, karena 4 x > 0 untuk semua x € R.
Pertidaksamaan kedua kita tuliskan dalam bentuk 4 x > 4 0, maka x > 0.
Menjawab. x > 0.
Selesaikan persamaan (1/3) x = x – 2/3 secara grafis.
Larutan.
1) Mari kita buat grafik fungsi y = (1/3) x dan y = x – 2/3.
2) Berdasarkan gambar kita, kita dapat menyimpulkan bahwa grafik fungsi-fungsi yang dipertimbangkan berpotongan di titik dengan absis x ≈ 1. Pengecekan membuktikan bahwa
x = 1 adalah akar persamaan ini:
(1/3) 1 = 1/3 dan 1 – 2/3 = 1/3.
Dengan kata lain, kita telah menemukan salah satu akar persamaannya. 
3) Mari kita cari akar yang lain atau buktikan bahwa tidak ada akar yang lain. Fungsi (1/3) x menurun, dan fungsi y = x – 2/3 meningkat. Oleh karena itu, untuk x > 1, nilai fungsi pertama kurang dari 1/3, dan fungsi kedua – lebih dari 1/3; di x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 dan x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
Menjawab. x = 1.
Perhatikan bahwa dari penyelesaian soal ini, khususnya, pertidaksamaan (1/3) x > x – 2/3 terpenuhi untuk x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.
Banyak orang beranggapan bahwa kesenjangan eksponensial adalah sesuatu yang rumit dan tidak dapat dipahami. Dan belajar memecahkannya hampir merupakan seni yang hebat, yang hanya dapat dipahami oleh Yang Terpilih...
Benar-benar omong kosong! Ketimpangan eksponensial itu mudah. Dan masalah tersebut selalu diselesaikan dengan sederhana. Yah, hampir selalu. :)
Hari ini kita akan melihat topik ini luar dan dalam. Pelajaran ini akan sangat berguna bagi mereka yang baru mulai memahami bagian matematika sekolah ini. Mari kita mulai dengan tugas-tugas sederhana dan kita akan beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tidak akan ada kerja keras apa pun hari ini, tetapi apa yang akan Anda baca akan cukup untuk menyelesaikan sebagian besar kesenjangan dalam semua jenis ujian dan ujian. pekerjaan mandiri. Dan pada ujianmu ini juga.
Seperti biasa, mari kita mulai dengan definisinya. Pertidaksamaan eksponensial adalah setiap pertidaksamaan yang mengandung fungsi eksponensial. Dengan kata lain, hal ini selalu dapat direduksi menjadi ketidaksetaraan bentuk
\[((a)^(x)) \gt b\]
Dimana peran $b$ bisa berupa angka biasa, atau mungkin yang lebih keras. Contohnya? Ya silahkan:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ segi empat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(sejajarkan)\]
Menurut saya maknanya jelas: ada fungsi eksponensial $((a)^(x))$, dibandingkan dengan sesuatu, lalu diminta mencari $x$. Secara khusus kasus klinis alih-alih variabel $x$ mereka dapat menempatkan beberapa fungsi $f\left(x \right)$ dan dengan demikian sedikit memperumit ketidaksetaraan. :)
Tentu saja, dalam beberapa kasus, kesenjangan tersebut mungkin terlihat lebih parah. Misalnya:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Atau bahkan ini:
Secara umum, kompleksitas dari ketidaksetaraan tersebut bisa sangat berbeda, namun pada akhirnya tetap direduksi menjadi konstruksi sederhana $((a)^(x)) \gt b$. Dan entah bagaimana kita akan memahami konstruksi seperti itu (terutama dalam kasus klinis, ketika tidak ada yang terlintas dalam pikiran, logaritma akan membantu kita). Oleh karena itu, sekarang kami akan mengajari Anda cara menyelesaikan konstruksi sederhana tersebut.
Memecahkan pertidaksamaan eksponensial sederhana
Mari kita pertimbangkan sesuatu yang sangat sederhana. Misalnya, ini:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Jelasnya, angka di sebelah kanan dapat ditulis ulang sebagai pangkat dua: $4=((2)^(2))$. Jadi, pertidaksamaan asli dapat ditulis ulang dalam bentuk yang sangat mudah:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Dan sekarang tanganku gatal untuk “mencoret” keduanya di dasar kekuasaan untuk mendapatkan jawabannya $x \gt 2$. Namun sebelum mencoret apa pun, mari kita ingat kekuatan dua hal:
\[((2)^(1))=2;\kuad ((2)^(2))=4;\kuad ((2)^(3))=8;\kuad ((2)^( 4))=16;...\]
Seperti yang bisa kita lihat, apa jumlah yang lebih besar berada dalam eksponen, semakin besar angka keluarannya. "Terima kasih, Kapten!" - salah satu siswa akan berseru. Apakah ada bedanya? Sayangnya, hal itu terjadi. Misalnya:
\[((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \ kanan))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\kiri(\frac(1)(2) \kanan))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Di sini juga, semuanya logis: semakin besar derajatnya, semakin sering angka 0,5 dikalikan dengan dirinya sendiri (yaitu dibagi dua). Dengan demikian barisan bilangan yang dihasilkan semakin mengecil, dan selisih barisan pertama dan kedua hanya pada basisnya:
- Jika alas derajat $a \gt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ juga akan bertambah;
- Dan sebaliknya, jika $0 \lt a \lt 1$, maka seiring bertambahnya eksponen $n$, bilangan $((a)^(n))$ akan berkurang.
Meringkas fakta-fakta ini, kita memperoleh pernyataan paling penting yang menjadi dasar seluruh solusi pertidaksamaan eksponensial:
Jika $a \gt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \gt n$. Jika $0 \lt a \lt 1$, maka pertidaksamaan $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $x \lt n$.
Dengan kata lain, jika basisnya lebih besar dari satu, Anda cukup menghilangkannya - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Dan jika alasnya kurang dari satu, maka alasnya juga bisa dihilangkan, tetapi pada saat yang sama Anda harus mengubah tanda pertidaksamaan.
Harap dicatat bahwa kami belum mempertimbangkan opsi $a=1$ dan $a\le 0$. Karena dalam kasus ini timbul ketidakpastian. Katakanlah bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan berbentuk $((1)^(x)) \gt 3$? Seseorang akan memberikan satu lagi kepada kekuatan mana pun - kita tidak akan pernah mendapatkan tiga atau lebih. Itu. tidak ada solusi.
Dengan alasan negatif, segalanya menjadi lebih menarik. Misalnya, pertimbangkan ketidaksetaraan ini:
\[((\kiri(-2 \kanan))^(x)) \gt 4\]
Sekilas, semuanya sederhana:
Benar? Tapi tidak! Cukup dengan mengganti $x$ beberapa bilangan genap dan beberapa bilangan ganjil untuk memastikan bahwa penyelesaiannya salah. Lihatlah:
\[\begin(align) & x=4\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Panah Kanan ((\kiri(-2 \kanan))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, tanda-tandanya bergantian. Tapi ada juga kekuatan pecahan dan omong kosong lainnya. Misalnya, bagaimana cara Anda menghitung $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (dikurang dua pangkat tujuh)? Mustahil!
Oleh karena itu, agar lebih pasti, kita berasumsi bahwa dalam semua pertidaksamaan eksponensial (dan juga persamaannya) $1\ne a \gt 0$. Dan kemudian semuanya diselesaikan dengan sangat sederhana:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Panah Kanan \kiri[ \begin(align) & x \gt n\quad \kiri(a \gt 1 \kanan), \\ & x \lt n\quad \kiri(0 \lt a \lt 1 \kanan). \\\end(sejajarkan) \kanan.\]
Secara umum, ingat aturan utama sekali lagi: jika basis dalam persamaan eksponensial lebih besar dari satu, Anda cukup menghilangkannya; dan jika basisnya kurang dari satu, dapat juga dihilangkan, tetapi tanda pertidaksamaannya berubah.
Contoh solusi
Jadi, mari kita lihat beberapa pertidaksamaan eksponensial sederhana:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(sejajarkan)\]
Tugas utama dalam semua kasus adalah sama: mengurangi pertidaksamaan ke bentuk paling sederhana $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Inilah yang sekarang akan kita lakukan dengan setiap pertidaksamaan, dan pada saat yang sama kita akan mengulangi sifat-sifat derajat dan fungsi eksponensial. Jadi ayo pergi!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Apa yang bisa kamu lakukan di sini? Nah, di sebelah kiri kita sudah memiliki ekspresi indikatif - tidak ada yang perlu diubah. Tapi di sebelah kanan ada semacam omong kosong: pecahan, dan bahkan akar penyebutnya!
Namun, mari kita ingat aturan untuk menangani pecahan dan pangkat:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(sejajarkan)\]
Apa artinya? Pertama, kita dapat dengan mudah menghilangkan pecahan dengan mengubahnya menjadi pangkat indikator negatif. Dan kedua, karena penyebutnya memiliki akar, alangkah baiknya jika dipangkatkan - kali ini dengan eksponen pecahan.
Mari kita terapkan tindakan ini secara berurutan ke sisi kanan pertidaksamaan dan lihat apa yang terjadi:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\kiri(\sqrt(2) \kanan))^(-1))=((\kiri(((2)^(\frac( 1)(3))) \kanan))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \kiri(-1 \kanan)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Jangan lupa bahwa saat menaikkan suatu derajat, eksponen derajat tersebut dijumlahkan. Dan secara umum, ketika bekerja dengan persamaan dan pertidaksamaan eksponensial, sangatlah penting untuk mengetahui setidaknya aturan paling sederhana untuk bekerja dengan pangkat:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\kiri(((a)^(x)) \kanan))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(sejajarkan)\]
Sebenarnya, aturan terakhir kami baru saja menerapkannya. Oleh karena itu, pertidaksamaan awal kita akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Panah Kanan ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frak(1)(3)))\]
Sekarang kita singkirkan keduanya di pangkalan. Karena 2 > 1, tanda pertidaksamaan akan tetap sama:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Panah Kanan x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \kiri(-\infty ;\frac(2)(3) \kanan]. \\\end(align)\]
Itulah solusinya! Kesulitan utama sama sekali bukan pada fungsi eksponensial, tetapi pada transformasi kompeten dari ekspresi aslinya: Anda perlu dengan hati-hati dan cepat membawanya ke bentuk yang paling sederhana.
Perhatikan pertidaksamaan kedua:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
Biasa saja. Pecahan desimal menunggu kita di sini. Seperti yang telah saya katakan berkali-kali, dalam ekspresi apa pun dengan pangkat Anda harus menghilangkan desimal - ini sering kali merupakan satu-satunya cara untuk melihat solusi yang cepat dan sederhana. Di sini kita akan menyingkirkan:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ kanan))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Panah Kanan ((\left(\frac(1)(10) \kanan))^(1-x)) \lt ( (\kiri(\frac(1)(10) \kanan))^(2)). \\\end(sejajarkan)\]
Di sini sekali lagi kita mempunyai pertidaksamaan yang paling sederhana, dan bahkan dengan basis 1/10, yaitu. kurang dari satu. Nah, kita hapus basisnya, sekaligus mengubah tanda dari "lebih sedikit" menjadi "lebih banyak", dan kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]
Kami menerima jawaban akhir: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Harap dicatat: jawabannya adalah himpunan, dan bukan merupakan konstruksi bentuk $x \lt -1$. Karena secara formal, konstruksi seperti itu bukanlah himpunan sama sekali, melainkan pertidaksamaan terhadap variabel $x$. Ya, ini sangat sederhana, tapi itu bukanlah jawabannya!
Catatan penting. Ketimpangan ini dapat diselesaikan dengan cara lain - dengan mereduksi kedua belah pihak menjadi kekuatan yang basisnya lebih besar dari satu. Lihatlah:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(1-x)) \ lt ((\kiri(((10)^(-1)) \kanan))^(2))\Panah Kanan ((10)^(-1\cdot \kiri(1-x \kanan))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Setelah transformasi seperti itu, kita akan kembali memperoleh pertidaksamaan eksponensial, tetapi dengan basis 10 > 1. Artinya, kita cukup mencoret sepuluh - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & -1\cdot \kiri(1-x \kanan) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, jawabannya persis sama. Pada saat yang sama, kami menyelamatkan diri dari keharusan mengubah tanda dan secara umum mengingat aturan apa pun. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Namun, jangan biarkan hal ini membuat Anda takut. Apapun indikatornya, teknologi untuk mengatasi kesenjangan tetap sama. Oleh karena itu, mari kita perhatikan terlebih dahulu bahwa 16 = 2 4. Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan fakta ini:
\[\begin(sejajarkan) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Hore! Kami mendapatkan pertidaksamaan kuadrat seperti biasa! Tandanya tidak berubah dimanapun, karena alasnya adalah dua - angka yang lebih besar dari satu.
Nol suatu fungsi pada garis bilangan
Kita susun tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - jelas grafiknya akan berbentuk parabola dengan cabang ke atas, sehingga akan ada “plus” ” di samping. Kami tertarik pada wilayah yang fungsinya kurang dari nol, yaitu. $x\in \left(2;5 \right)$ adalah jawaban untuk masalah awal.
Terakhir, pertimbangkan ketimpangan lainnya:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Sekali lagi kita melihat fungsi eksponensial dengan pecahan desimal di dasarnya. Mari kita ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Panah Kanan \\ & \Panah Kanan ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\kiri(((5)^(-1)) \kanan))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \kiri(1+((x)^(2)) \kanan)))\end(sejajarkan)\]
Dalam hal ini, kami menggunakan pernyataan yang diberikan sebelumnya - kami mengurangi basis menjadi angka 5 > 1 untuk menyederhanakan solusi selanjutnya. Mari kita lakukan hal yang sama dengan sisi kanan:
\[\frac(1)(25)=((\kiri(\frac(1)(5) \kanan))^(2))=((\kiri(((5)^(-1)) \ kanan))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Mari kita tulis ulang pertidaksamaan awal dengan mempertimbangkan kedua transformasi:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Panah Kanan ((5)^(-1\cdot \kiri(1+ ((x)^(2)) \kanan)))\ge ((5)^(-2))\]
Basis di kedua sisinya sama dan melebihi satu. Tidak ada suku lain di kanan dan kiri, jadi kita cukup “mencoret” angka limanya dan mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(sejajarkan)\]
Di sinilah Anda perlu lebih berhati-hati. Banyak siswa yang suka mengekstraksi saja Akar pangkat dua dari kedua sisi pertidaksamaan dan tulis sesuatu seperti $x\le 1\Panah Kanan x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]$. Anda tidak boleh melakukan ini, karena akar kuadrat eksak adalah modul, dan bukan variabel aslinya:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\kiri| x\kanan|\]
Namun, bekerja dengan modul bukanlah pengalaman yang paling menyenangkan, bukan? Jadi kami tidak akan bekerja. Sebagai gantinya, kita cukup memindahkan semua suku ke kiri dan menyelesaikan pertidaksamaan biasa menggunakan metode interval:
$\begin(sejajarkan) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \kiri(x-1 \kanan)\kiri(x+1 \kanan)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(sejajarkan)$
Kita tandai kembali titik-titik yang diperoleh pada garis bilangan dan lihat tanda-tandanya:
Harap dicatat: titik-titiknya diarsir Karena kita sedang menyelesaikan pertidaksamaan tidak tegas, semua titik pada grafik diarsir. Oleh karena itu, jawabannya adalah: $x\in \left[ -1;1 \right]$ bukanlah sebuah interval, melainkan sebuah segmen.
Secara umum, saya ingin mencatat bahwa tidak ada yang rumit dalam ketidaksetaraan eksponensial. Arti dari semua transformasi yang kami lakukan hari ini direduksi menjadi algoritma sederhana:
- Temukan dasar di mana kita akan mengurangi semua derajat;
- Lakukan transformasi dengan hati-hati untuk mendapatkan pertidaksamaan berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Tentu saja, selain variabel $x$ dan $n$, masih banyak lagi variabel lainnya fungsi yang kompleks, tapi artinya tidak akan berubah;
- Coretlah dasar derajatnya. Dalam hal ini, tanda pertidaksamaan dapat berubah jika basis $a \lt 1$.
Faktanya, ini adalah algoritma universal untuk menyelesaikan semua ketidaksetaraan tersebut. Dan semua hal lain yang akan mereka sampaikan kepada Anda tentang topik ini hanyalah teknik dan trik khusus yang akan menyederhanakan dan mempercepat transformasi. Kita akan membicarakan salah satu teknik ini sekarang. :)
Metode rasionalisasi
Mari kita pertimbangkan serangkaian ketidaksetaraan lainnya:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \kanan))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Jadi apa istimewanya mereka? Itu ringan. Meskipun begitu, berhentilah! Apakah bilangan π dipangkatkan? Omong kosong apa?
Bagaimana cara menaikkan angka $2\sqrt(3)-3$ menjadi pangkat? Atau $3-2\sqrt(2)$? Penulis masalah jelas meminum terlalu banyak Hawthorn sebelum mulai bekerja. :)
Sebenarnya, tidak ada yang salah dengan tugas-tugas ini. Izinkan saya mengingatkan Anda: fungsi eksponensial adalah ekspresi bentuk $((a)^(x))$, dengan basis $a$ adalah bilangan positif apa pun kecuali satu. Angka π positif - kita sudah mengetahuinya. Angka $2\sqrt(3)-3$ dan $3-2\sqrt(2)$ juga positif - ini mudah dilihat jika Anda membandingkannya dengan nol.
Ternyata semua kesenjangan yang “menakutkan” ini diselesaikan dengan cara yang sederhana seperti yang dibahas di atas? Dan apakah permasalahan tersebut diselesaikan dengan cara yang sama? Ya, itu benar sekali. Namun, dengan menggunakan contoh mereka, saya ingin mempertimbangkan salah satu teknik yang sangat menghemat waktu dalam pekerjaan mandiri dan ujian. Kita akan berbicara tentang metode rasionalisasi. Jadi, perhatian:
Setiap pertidaksamaan eksponensial berbentuk $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ ekuivalen dengan pertidaksamaan $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ kanan) \gt 0 $.
Itulah keseluruhan metodenya. :) Apakah menurut Anda akan ada permainan lain? Tidak ada yang seperti ini! Namun fakta sederhana ini, yang ditulis secara harfiah dalam satu baris, akan sangat menyederhanakan pekerjaan kita. Lihatlah:
\[\begin(matriks) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\teks( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Panah Bawah \\ \kiri(x+7-\kiri(((x)^(2)) -3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )-1 \kanan) \gt 0 \\\end(matriks)\]
Jadi tidak ada lagi fungsi eksponensial! Dan Anda tidak perlu mengingat apakah tandanya berubah atau tidak. Tapi itu muncul masalah baru: apa yang harus dilakukan dengan pengali \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Kami tidak tahu apa maksud semua ini nilai yang tepat angka π. Namun, sang kapten sepertinya mengisyaratkan hal yang sudah jelas:
\[\teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )\kira-kira 3,14... \gt 3\Panah Kanan \teks( )\!\!\pi\!\!\teks( )- 1\gt 3-1=2\]
Secara umum, nilai pasti dari π tidak terlalu menjadi perhatian kita - yang penting bagi kita untuk memahami bahwa bagaimanapun juga $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ini adalah konstanta positif, dan kita dapat membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan konstanta tersebut:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \kanan)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \kanan) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \kanan) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \kiri(x-5 \kanan)\kiri(x+1 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, pada titik tertentu kita harus membaginya dengan minus satu - dan tanda pertidaksamaan berubah. Pada akhirnya, saya memperluas trinomial kuadrat menggunakan teorema Vieta - jelas bahwa akar-akarnya sama dengan $((x)_(1))=5$ dan $((x)_(2))=-1$ . Kemudian semuanya diputuskan metode klasik interval:
Menyelesaikan pertidaksamaan dengan metode interval Semua poin dihilangkan karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Kita tertarik pada wilayah dengan nilai negatif, jadi jawabannya adalah $x\in \left(-1;5 \right)$. Itu solusinya. :)
Mari beralih ke tugas berikutnya:
\[((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Semuanya disini umumnya sederhana, karena ada unit di sebelah kanan. Dan kita ingat bahwa satu adalah bilangan apa pun yang dipangkatkan nol. Sekalipun bilangan ini merupakan ekspresi irasional di dasar sebelah kiri:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\kiri(2\sqrt(3)-3 \kanan))^(0)); \\\end(sejajarkan)\]
Baiklah, mari kita rasionalkan:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot \kiri(2\sqrt(3)-4 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\kiri(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\ ]
Yang tersisa hanyalah mencari tahu tanda-tandanya. Faktor $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ tidak mengandung variabel $x$ - ini hanya sebuah konstanta, dan kita perlu mencari tandanya. Untuk melakukannya, perhatikan hal berikut:
\[\begin(matriks) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \kanan)=0 \\\end(matriks)\]
Ternyata faktor kedua bukan sekadar konstanta, melainkan konstanta negatif! Dan bila dibagi, tanda pertidaksamaan awal berubah menjadi kebalikannya:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \kanan)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \kanan) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\kiri(x-2 \kanan) \gt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Sekarang semuanya menjadi jelas. Akar trinomial kuadrat, berdiri di sebelah kanan: $((x)_(1))=0$ dan $((x)_(2))=2$. Kita menandainya pada garis bilangan dan melihat tanda-tanda fungsi $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Kasus ketika kita tertarik pada interval sisi Kami tertarik pada interval yang ditandai dengan tanda tambah. Yang tersisa hanyalah menuliskan jawabannya:
Mari kita beralih ke contoh berikutnya:
\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\kiri(\frac(1)(9) \ kanan))^(16-x))\]
Nah, semuanya sudah jelas di sini: basisnya berisi pangkat dengan nomor yang sama. Oleh karena itu, saya akan menulis semuanya secara singkat:
\[\begin(matriks) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Panah Bawah \\ ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\kiri(((3)^(-2)) \kanan))^(16-x)) \\\end(matriks)\]
\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(-1\cdot \kiri(((x)^(2))+2x \kanan))) \gt ((3)^(-2\cdot \ kiri(16-x \kanan))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \kiri(-((x)^(2))-2x-\kiri(-32+2x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \kiri(x+8 \kanan)\kiri(x-4 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Seperti yang Anda lihat, selama proses transformasi kami harus mengalikannya angka negatif, jadi tanda pertidaksamaan telah berubah. Pada bagian akhir, saya kembali menerapkan teorema Vieta untuk memfaktorkan trinomial kuadrat. Hasilnya, jawabannya adalah sebagai berikut: $x\in \left(-8;4 \right)$ - siapa pun dapat memverifikasi ini dengan menggambar garis bilangan, menandai titik-titik dan menghitung tanda-tandanya. Sementara itu, kita akan beralih ke ketimpangan terakhir dari “kumpulan” kita:
\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Seperti yang Anda lihat, di pangkalan ada lagi bilangan irasional, dan di sebelah kanan ada lagi satuan. Oleh karena itu, kami menulis ulang pertidaksamaan eksponensial kami sebagai berikut:
\[((\kiri(3-2\sqrt(2) \kanan))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\kiri(3-2\sqrt(2) \ kanan))^(0))\]
Kami menerapkan rasionalisasi:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot \kiri(2-2\sqrt(2) \kanan) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Namun, cukup jelas bahwa $1-\sqrt(2) \lt 0$, karena $\sqrt(2)\kira-kira 1,4... \gt 1$. Oleh karena itu, faktor kedua juga merupakan konstanta negatif yang dapat membagi kedua ruas pertidaksamaan:
\[\begin(matriks) \kiri(3x-((x)^(2))-0 \kanan)\cdot 2\kiri(1-\sqrt(2) \kanan) \lt 0 \\ \Panah Bawah \ \\akhir(matriks)\]
\[\begin(sejajarkan) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \kiri| \cdot \kiri(-1 \kanan) \kanan. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\kiri(x-3 \kanan) \lt 0. \\\end(sejajarkan)\]
Pindah ke markas lain
Masalah tersendiri dalam menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial adalah pencarian basis yang “benar”. Sayangnya, pada pandangan pertama, tidak selalu jelas apa yang harus dijadikan dasar, dan apa yang harus dilakukan sesuai dengan tingkat dasar tersebut.
Namun jangan khawatir: tidak ada keajaiban atau teknologi “rahasia” di sini. Dalam matematika, keterampilan apa pun yang tidak dapat dialgoritmakan dapat dengan mudah dikembangkan melalui latihan. Tetapi untuk ini Anda harus menyelesaikan masalah tingkat yang berbeda kesulitan. Misalnya seperti ini:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ akhir(sejajarkan)\]
Sulit? Menakutkan? Ini lebih mudah daripada menabrak ayam di aspal! Mari mencoba. Ketimpangan pertama:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Menurut saya, semuanya sudah jelas di sini:
Kami menulis ulang pertidaksamaan awal, mereduksi semuanya menjadi basis dua:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Panah Kanan \kiri(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \kanan)\cdot \kiri(2-1 \kanan) \lt 0\]
Ya, ya, Anda tidak salah dengar: Saya baru saja menerapkan metode rasionalisasi yang dijelaskan di atas. Sekarang kita perlu bekerja dengan hati-hati: kita memiliki pertidaksamaan pecahan-rasional (ini adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel dalam penyebutnya), jadi sebelum menyamakan apa pun dengan nol, kita perlu membawa semuanya ke penyebut yang sama dan menghilangkan faktor konstanta .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \kiri(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \kanan)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Sekarang kami menggunakan metode standar interval. Pembilang nol: $x=\pm 4$. Penyebutnya menjadi nol hanya jika $x=0$. Total ada tiga titik yang perlu ditandai pada garis bilangan (semua titik diberi pin karena tanda pertidaksamaannya tegas). Kita mendapatkan:
Lagi kasus yang sulit: tiga akar Seperti yang Anda duga, arsiran menandai interval di mana ekspresi di sebelah kiri bernilai negatif. Oleh karena itu, jawaban akhir akan mencakup dua interval sekaligus:
Ujung-ujung interval tidak disertakan dalam jawaban karena pertidaksamaan aslinya sangat ketat. Tidak diperlukan verifikasi lebih lanjut atas jawaban ini. Dalam hal ini, pertidaksamaan eksponensial jauh lebih sederhana daripada pertidaksamaan logaritmik: tidak ada ODZ, tidak ada batasan, dll.
Mari beralih ke tugas berikutnya:
\[((\kiri(\frac(1)(3) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Tidak ada masalah di sini juga, karena kita sudah mengetahui bahwa $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, sehingga seluruh pertidaksamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(((3)^(-1)) \kanan))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Panah Kanan ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-\kiri(2+x \kanan) \kanan)\cdot \kiri(3-1 \kanan)\ge 0; \\ & \kiri(-\frac(3)(x)-2-x \kanan)\cdot 2\ge 0;\quad \kiri| :\kiri(-2 \kanan) \kanan. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Harap diperhatikan: di baris ketiga saya memutuskan untuk tidak membuang waktu untuk hal-hal sepele dan segera membagi semuanya dengan (−2). Minul masuk ke braket pertama (sekarang ada plus di mana-mana), dan dua dikurangi dengan faktor konstan. Inilah yang harus Anda lakukan saat menyiapkan tampilan nyata di independen dan tes— tidak perlu menjelaskan setiap tindakan dan transformasi.
Selanjutnya, metode interval yang familiar mulai berlaku. Pembilangnya nol: tapi tidak ada. Karena diskriminannya akan negatif. Pada gilirannya, penyebutnya direset hanya ketika $x=0$ - sama seperti terakhir kali. Jelas bahwa di sebelah kanan $x=0$ pecahan akan bernilai positif, dan di sebelah kiri - negatif. Karena kita tertarik pada nilai negatif, jawaban akhirnya adalah: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(6,25 \kanan))^(x))\ge 1\]
Apa yang harus Anda lakukan dengan pecahan desimal dalam pertidaksamaan eksponensial? Benar: singkirkan, ubah menjadi biasa. Di sini kami akan menerjemahkan:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Panah Kanan ((\kiri(0,16 \kanan))^(1+2x)) =((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Panah Kanan ((\kiri(6.25 \kanan))^(x))=((\kiri(\ frac(25) (4)\kanan))^(x)). \\\end(sejajarkan)\]
Jadi, apa yang kita dapatkan dari dasar-dasar fungsi eksponensial? Dan kami mendapat dua angka yang saling terbalik:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \kanan))^(-1))\Panah Kanan ((\left(\frac(25)(4) \ kanan))^(x))=((\kiri(((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-1)) \kanan))^(x))=((\ kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(-x))\]
Jadi, pertidaksamaan aslinya dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x))\cdot ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(1+2x+\kiri(-x \kanan)))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)); \\ & ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0) ). \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, ketika mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dijumlahkan, seperti yang terjadi pada baris kedua. Selain itu, kami mewakili unit di sebelah kanan, juga sebagai kekuatan di basis 4/25. Yang tersisa hanyalah merasionalisasi:
\[((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(x+1))\ge ((\kiri(\frac(4)(25) \kanan))^(0)) \Panah kanan \kiri(x+1-0 \kanan)\cdot \kiri(\frac(4)(25)-1 \kanan)\ge 0\]
Perhatikan bahwa $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, yaitu faktor kedua adalah konstanta negatif, dan bila dibagi dengan faktor tersebut, tanda pertidaksamaan akan berubah:
\[\begin(sejajarkan) & x+1-0\le 0\Panah Kanan x\le -1; \\ & x\in \kiri(-\infty ;-1 \kanan]. \\\end(align)\]
Terakhir, pertidaksamaan terakhir dari “himpunan” saat ini:
\[((\kiri(\frac(27)(\sqrt(3)) \kanan))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Pada prinsipnya, gagasan penyelesaian di sini juga jelas: semua fungsi eksponensial yang termasuk dalam pertidaksamaan harus direduksi menjadi basis “3”. Tetapi untuk ini Anda harus sedikit mengotak-atik akar dan kekuatannya:
\[\begin(sejajarkan) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\kuad 81=((3)^(4)). \\\end(sejajarkan)\]
Dengan mempertimbangkan fakta-fakta ini, pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\kanan))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(sejajarkan)\]
Perhatikan baris perhitungan ke-2 dan ke-3: sebelum melakukan apa pun dengan pertidaksamaan, pastikan untuk membawanya ke bentuk yang telah kita bicarakan sejak awal pelajaran: $((a)^(x)) \ itu ((a)^(n))$. Selama Anda memiliki beberapa faktor kidal, konstanta tambahan, dll. di kiri atau kanan, tidak ada rasionalisasi atau “pencoretan” alasan yang dapat dilakukan! Banyak sekali tugas yang diselesaikan secara tidak benar karena kegagalan memahami fakta sederhana ini. Saya sendiri terus-menerus mengamati masalah ini pada siswa saya ketika kami baru mulai menganalisis pertidaksamaan eksponensial dan logaritma.
Tapi mari kita kembali ke tugas kita. Mari kita coba melakukannya tanpa rasionalisasi kali ini. Mari kita ingat: alas derajatnya lebih besar dari satu, sehingga tiga kali lipatnya cukup dicoret - tanda pertidaksamaan tidak akan berubah. Kita mendapatkan:
\[\begin(sejajarkan) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(sejajarkan)\]
Itu saja. Jawaban akhir: $x\in \kiri(-\infty ;3 \kanan)$.
Mengisolasi ekspresi stabil dan mengganti variabel
Sebagai kesimpulan, saya mengusulkan untuk menyelesaikan empat pertidaksamaan eksponensial lagi, yang sudah cukup sulit bagi siswa yang tidak siap. Untuk mengatasinya, Anda perlu mengingat aturan untuk bekerja dengan derajat. Khususnya, menghilangkan faktor persekutuan.
Namun yang terpenting adalah belajar memahami apa sebenarnya yang bisa dikeluarkan dari tanda kurung. Ekspresi seperti itu disebut stabil - ekspresi ini dapat dilambangkan dengan variabel baru dan dengan demikian menghilangkan fungsi eksponensial. Jadi, mari kita lihat tugasnya:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]
Mari kita mulai dari baris pertama. Mari kita tuliskan pertidaksamaan ini secara terpisah:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Perhatikan bahwa $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, jadi sebelah kanan sisi dapat ditulis ulang:
Perhatikan bahwa tidak ada fungsi eksponensial lain kecuali $((5)^(x+1))$ dalam pertidaksamaan. Dan secara umum, variabel $x$ tidak muncul di tempat lain, jadi mari kita perkenalkan variabel baru: $((5)^(x+1))=t$. Kami mendapatkan konstruksi berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]
Kita kembali ke variabel asli ($t=((5)^(x+1))$), dan pada saat yang sama mengingat bahwa 1=5 0 . Kita punya:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(sejajarkan)\]
Itulah solusinya! Jawaban: $x\in \kiri[ -1;+\infty \kanan)$. Mari kita beralih ke pertidaksamaan kedua:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Semuanya sama di sini. Perhatikan bahwa $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Kemudian ruas kiri dapat ditulis ulang:
\[\begin(sejajarkan) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \kiri| ((3)^(x))=t \benar. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge 9\Panah Kanan ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Panah kanan x\in \kiri[ 2;+\infty \kanan). \\\end(sejajarkan)\]
Kira-kira beginilah cara Anda perlu menyusun solusi untuk pengujian nyata dan kerja mandiri.
Baiklah, mari kita coba sesuatu yang lebih rumit. Misalnya, berikut ketimpangannya:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Apa masalahnya disini? Pertama-tama, basis fungsi eksponensial di sebelah kiri berbeda: 5 dan 25. Namun, 25 = 5 2, sehingga suku pertama dapat diubah:
\[\begin(sejajarkan) & ((25)^(x+1.5))=((\kiri(((5)^(2)) \kanan))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(sejajarkan )\]
Seperti yang Anda lihat, pertama-tama kami membawa semuanya ke basis yang sama, dan kemudian kami memperhatikan bahwa suku pertama dapat dengan mudah direduksi menjadi suku kedua - Anda hanya perlu memperluas eksponennya. Sekarang Anda dapat dengan aman memasukkan variabel baru: $((5)^(2x+2))=t$, dan seluruh pertidaksamaan akan ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(sejajarkan)\]
Dan sekali lagi, tidak ada kesulitan! Jawaban akhir: $x\in \kiri[ 1;+\infty \kanan)$. Mari beralih ke pertidaksamaan terakhir dalam pelajaran hari ini:
\[((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Hal pertama yang harus Anda perhatikan tentu saja adalah desimal di dasar derajat pertama. Penting untuk menghilangkannya, dan pada saat yang sama membawa semua fungsi eksponensial ke basis yang sama - angka "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Panah Kanan ((\kiri(0,5 \kanan))^(-4x- 8))= ((\kiri(((2)^(-1)) \kanan))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Panah Kanan ((16)^(x+1,5))=((\kiri(((2)^(4)) \kanan))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(sejajarkan)\]
Hebat, kita telah mengambil langkah pertama—semuanya mengarah pada landasan yang sama. Sekarang Anda perlu memilih ekspresi stabil. Perhatikan bahwa $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jika kita memasukkan variabel baru $((2)^(4x+6))=t$, maka pertidaksamaan awal dapat ditulis ulang sebagai berikut:
\[\begin(sejajarkan) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, pertanyaan yang mungkin timbul: bagaimana kita mengetahui bahwa 256 = 2 8? Sayangnya, di sini Anda hanya perlu mengetahui pangkat dua (dan sekaligus pangkat tiga dan lima). Nah, atau bagi 256 dengan 2 (bisa dibagi, karena 256 bilangan genap) sampai kita mendapatkan hasilnya. Ini akan terlihat seperti ini:
\[\begin(sejajarkan) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(sejajarkan )\]
Hal yang sama berlaku untuk tiga (angka 9, 27, 81 dan 243 adalah derajatnya), dan dengan tujuh (angka 49 dan 343 juga bagus untuk diingat). Nah, kelimanya juga punya derajat “indah” yang perlu Anda ketahui:
\[\begin(sejajarkan) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(sejajarkan)\]
Tentu saja, jika Anda mau, semua angka ini dapat diingat kembali hanya dengan mengalikannya secara berurutan. Namun, jika Anda harus menyelesaikan beberapa pertidaksamaan eksponensial, dan pertidaksamaan berikutnya lebih sulit daripada pertidaksamaan sebelumnya, hal terakhir yang ingin Anda pikirkan adalah pangkat beberapa bilangan. Dan dalam hal ini, permasalahan ini lebih kompleks daripada kesenjangan “klasik” yang diselesaikan dengan metode interval.
Saya harap pelajaran ini membantu Anda dalam menguasai topik ini. Jika ada yang kurang jelas, tanyakan di komentar. Dan sampai jumpa di pelajaran selanjutnya. :)
