Ekstrem fungsi beberapa variabel. Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem. Kondisi yang cukup untuk ekstrem. Ekstrem bersyarat. Metode pengali Lagrange. Mencari nilai terbesar dan terkecil.

Kuliah 5.

Definisi 5.1. Dot M 0 (x 0, kamu 0) ditelepon titik maksimum fungsi z = f (x, y), Jika f (x o , kamu o) > f(x,y) untuk semua poin (x, kamu) M 0.

Definisi 5.2. Dot M 0 (x 0, kamu 0) ditelepon poin minimum fungsi z = f (x, y), Jika f (x o , kamu o) < f(x,y) untuk semua poin (x, kamu) dari beberapa lingkungan suatu titik M 0.

Catatan 1. Titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrem fungsi beberapa variabel.

Catatan 2. Titik ekstrem suatu fungsi dari sejumlah variabel ditentukan dengan cara yang sama.

Teorema 5.1 (kondisi yang diperlukan ekstrim). Jika M 0 (x 0, kamu 0)– titik ekstrem dari fungsi tersebut z = f (x, y), maka pada titik ini turunan parsial orde pertama dari fungsi ini sama dengan nol atau tidak ada.

Bukti.

Mari kita perbaiki nilai variabelnya pada, menghitung kamu = kamu 0. Lalu fungsinya f (x, kamu 0) akan menjadi fungsi dari satu variabel X, untuk itu x = x 0 adalah titik ekstremnya. Oleh karena itu, menurut teorema Fermat, atau tidak ada. Pernyataan yang sama juga dibuktikan untuk .

Definisi 5.3. Titik-titik yang termasuk dalam domain suatu fungsi beberapa variabel yang turunan parsial dari fungsi tersebut sama dengan nol atau tidak ada disebut titik stasioner fungsi ini.

Komentar. Jadi, titik ekstrem hanya dapat dicapai pada titik-titik stasioner, tetapi tidak harus diamati pada masing-masing titik tersebut.

Teorema 5.2 (kondisi yang cukup ekstrem). Biarkan di beberapa lingkungan intinya M 0 (x 0, kamu 0), yang merupakan titik stasioner dari fungsi tersebut z = f (x, y), fungsi ini memiliki turunan parsial kontinu hingga inklusif orde ke-3. Mari kita nyatakan Kemudian:

1) f(x,y) ada pada intinya M 0 maksimal jika AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ada pada intinya M 0 minimal jika AC–B² > 0, A > 0;

3) tidak ada titik ekstrim pada titik kritis jika AC–B² < 0;

4) jika AC–B² = 0, diperlukan penelitian lebih lanjut.

Bukti.

Mari kita tuliskan rumus Taylor orde kedua untuk fungsi tersebut f(x,y), mengingat bahwa pada titik stasioner turunan parsial orde pertama sama dengan nol:

Di mana Jika sudut antar ruas M 0 M, Di mana M (x 0 +Δ x, kamu 0 +Δ pada), dan sumbu O X melambangkan φ, lalu Δ x =Δ ρ karena φ, Δ kamu =Δρsinφ. Dalam hal ini rumus Taylor akan berbentuk: . Misalkan Maka kita dapat membagi dan mengalikan ekspresi dalam tanda kurung dengan A. Kita mendapatkan:

Sekarang mari kita pertimbangkan empat hal kasus yang mungkin terjadi:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и pada Δρ yang cukup kecil. Oleh karena itu, di beberapa lingkungan M 0 f (x 0 + Δ x, kamu 0 +Δ kamu)< f (x 0 , kamu 0), itu adalah M 0– titik maksimum.

2) Biarkan AC–B² > 0, SEBUAH > 0. Kemudian , Dan M 0– poin minimum.

3) Biarkan AC-B² < 0, A> 0. Perhatikan pertambahan argumen sepanjang sinar φ = 0. Maka dari (5.1) berikut ini , yaitu ketika bergerak sepanjang sinar ini, fungsinya meningkat. Jika kita bergerak sepanjang sinar sedemikian rupa sehingga tg φ 0 = -A/B, Itu , oleh karena itu, ketika bergerak sepanjang sinar ini, fungsinya berkurang. Jadi, titik M 0 bukanlah suatu titik ekstrem.

3`) Kapan AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

mirip dengan yang sebelumnya.

3``) Jika AC–B² < 0, A= 0, maka . Di mana . Kemudian untuk φ yang cukup kecil, ekspresi 2 B cosφ + C sinφ mendekati 2 DI DALAM, artinya, ia mempertahankan tanda konstan, tetapi sinφ berubah tanda di sekitar titik tersebut M 0. Artinya pertambahan fungsi berubah tanda di sekitar titik stasioner, sehingga bukan merupakan titik ekstrem.

4) Jika AC–B² = 0, dan , , yaitu tanda kenaikan ditentukan oleh tanda 2α 0. Pada saat yang sama, penelitian lebih lanjut diperlukan untuk memperjelas pertanyaan tentang keberadaan ekstrem.

Contoh. Mari kita cari titik ekstrem dari fungsi tersebut z = x² - 2 xy+ 2kamu² + 2 X. Untuk mencari titik stasioner, kita menyelesaikan sistemnya . Jadi titik stasionernya adalah (-2,-1). Di mana SEBUAH = 2, DI DALAM = -2, DENGAN= 4. Lalu AC–B² = 4 > 0, maka pada titik stasioner tercapai titik ekstrim yaitu minimum (karena A > 0).

Definisi 5.4. Jika argumen fungsi f (x 1 , x 2 ,…, xn) terhubung kondisi tambahan sebagai M persamaan ( M< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, xn) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, xn) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, xn) = 0, (5.2)

dimana fungsi φ i mempunyai turunan parsial kontinu, maka persamaan (5.2) disebut persamaan koneksi.

Definisi 5.5. Fungsi ekstrem f (x 1 , x 2 ,…, xn) ketika kondisi (5.2) terpenuhi, itu disebut ekstrem bersyarat.

Komentar. Kami dapat menawarkan interpretasi geometris berikut dari ekstrem bersyarat suatu fungsi dua variabel: biarkan argumen fungsi tersebut f(x,y) dihubungkan dengan persamaan φ (x,y)= 0, mendefinisikan beberapa kurva pada bidang O xy. Merekonstruksi garis tegak lurus bidang O dari setiap titik kurva ini xy hingga bersinggungan dengan permukaan z = f (x,y), kita memperoleh kurva spasial yang terletak pada permukaan di atas kurva φ (x,y)= 0. Tugasnya adalah menemukan titik ekstrem dari kurva yang dihasilkan, yang tentu saja kasus umum tidak bertepatan dengan titik ekstrem tak bersyarat dari fungsi tersebut f(x,kamu).

Mari kita tentukan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem bersyarat untuk fungsi dua variabel dengan terlebih dahulu memperkenalkan definisi berikut:

Definisi 5.6. Fungsi L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Di mana aku – ada pula yang konstan, disebut Fungsi lagrange, dan angkanya aku– pengganda Lagrange tak terbatas.

Teorema 5.3(kondisi yang diperlukan untuk ekstrem bersyarat). Ekstrem bersyarat suatu fungsi z = f (x, kamu) dengan adanya persamaan kopling φ ( x, kamu)= 0 hanya dapat dicapai pada titik stasioner fungsi Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Bukti. Persamaan kopling menentukan hubungan implisit pada dari X, oleh karena itu kami akan berasumsi demikian pada ada fungsi dari X: kamu = kamu(x). Kemudian z ada fungsi kompleks dari X, dan titik kritisnya ditentukan oleh kondisi: . (5.4) Dari persamaan kopling berikut ini . (5.5)

Mari kita kalikan persamaan (5.5) dengan suatu bilangan λ dan tambahkan ke (5.4). Kita mendapatkan:

, atau .

Persamaan terakhir harus dipenuhi pada titik-titik stasioner, yang sebagai berikut:

(5.6)

Sebuah sistem tiga persamaan untuk tiga hal yang tidak diketahui diperoleh: x, kamu dan λ, dan dua persamaan pertama merupakan syarat titik stasioner fungsi Lagrange. Dengan mengecualikan λ bantu yang tidak diketahui dari sistem (5.6), kita menemukan koordinat titik-titik di mana fungsi asli dapat memiliki ekstrem bersyarat.

Catatan 1. Keberadaan ekstrem bersyarat pada titik ditemukan dapat diperiksa dengan mempelajari turunan parsial orde kedua fungsi Lagrange dengan analogi Teorema 5.2.

Catatan 2. Titik di mana kondisi ekstrem dari fungsi tersebut dapat dicapai f (x 1 , x 2 ,…, xn) ketika kondisi (5.2) terpenuhi, dapat didefinisikan sebagai solusi sistem (5.7)

Contoh. Mari kita cari ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut z = xy mengingat bahwa x + kamu= 1. Mari kita buat fungsi Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) terlihat seperti ini:

Dimana -2λ=1, λ=-0,5, x = kamu = -λ = 0,5. Di mana P(x,y) dapat direpresentasikan dalam bentuk L(x, kamu) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, maka pada titik stasioner ditemukan P(x,y) memiliki maksimum, dan z = xy – maksimum bersyarat.

Ekstrem bersyarat.

Ekstrem suatu fungsi beberapa variabel

Metode kuadrat terkecil.

Ekstrem lokal FNP

Biarkan fungsinya diberikan Dan= F(P), РÎDÌR N dan biarkan titik P 0 ( A 1 , A 2 , ..., sebuah hal) –intern titik himpunan D.

Definisi 9.4.

1) Titik P 0 disebut titik maksimum fungsi Dan= F(P), jika terdapat lingkungan di titik ini U(P 0) М D sedemikian rupa sehingga untuk sembarang titik P( X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , kondisi terpenuhi F(P)£ F(P 0) . Arti F(P 0) fungsi pada titik maksimum disebut maksimal dari fungsinya dan ditunjuk F(P0) = maks F(P) .

2) Titik P 0 disebut poin minimum fungsi Dan= F(P), jika terdapat lingkungan di titik ini U(P 0)Ì D sehingga untuk sembarang titik P( X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , kondisi terpenuhi F(P)³ F(P 0) . Arti F(P 0) fungsi pada titik minimum disebut fungsi minimal dan ditunjuk F(P 0) = menit F(P).

Titik minimum dan maksimum suatu fungsi disebut titik ekstrem, nilai fungsi pada titik ekstrem disebut ekstrem dari fungsi tersebut.

Berikut definisinya, yaitu ketidaksetaraan F(P)£ F(P 0) , F(P)³ F(P 0) harus dipenuhi hanya di lingkungan tertentu dari titik P 0, dan tidak di seluruh domain definisi fungsi, yang berarti bahwa fungsi tersebut dapat memiliki beberapa ekstrem yang bertipe sama (beberapa minimum, beberapa maksimum) . Oleh karena itu, ekstrem yang didefinisikan di atas disebut lokal(lokal) ekstrem.

Teorema 9.1 (kondisi yang diperlukan untuk ekstrem FNP)

Jika fungsinya Dan= F(X 1 , X 2 , ..., xn) mempunyai titik ekstrem di titik P 0 , maka turunan parsial orde pertamanya di titik ini sama dengan nol atau tidak ada.

Bukti. Misalkan pada titik P 0 ( A 1 , A 2 , ..., sebuah hal) fungsi Dan= F(P) mempunyai titik ekstrim, misalnya maksimum. Mari kita perbaiki argumennya X 2 , ..., xn, menempatkan X 2 =A 2 ,..., xn = sebuah hal. Kemudian Dan= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., sebuah hal) adalah fungsi dari satu variabel X 1 . Karena fungsi ini memiliki X 1 = A 1 ekstrem (maksimum), lalu F 1 ¢=0atau tidak ada kapan X 1 =A 1 (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan fungsi ekstrem dari satu variabel). Tapi, itu berarti ada atau tidaknya titik P 0 – titik ekstrim. Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan turunan parsial terhadap variabel lain. CTD.

Titik-titik dalam domain suatu fungsi yang turunan parsial orde pertama sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis fungsi ini.

Sebagai berikut dari Teorema 9.1, titik ekstrem FNP harus dicari di antara titik kritis fungsi tersebut. Namun, untuk fungsi satu variabel, tidak semua titik kritis merupakan titik ekstrem.

Teorema 9.2 (kondisi cukup untuk ekstrem FNP)

Misalkan P 0 menjadi titik kritis fungsi tersebut Dan= F(P) dan adalah diferensial orde kedua dari fungsi ini. Kemudian

dan jika D 2 kamu(P 0) > 0 pada , maka P 0 adalah suatu titik minimum fungsi Dan= F(P);

b) jika D 2 kamu(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum fungsi Dan= F(P);

c) jika D 2 kamu(P 0) tidak ditentukan tandanya, maka P 0 bukan merupakan titik ekstrem;

Kami akan mempertimbangkan teorema ini tanpa bukti.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak mempertimbangkan kasus kapan D 2 kamu(P 0) = 0 atau tidak ada. Ini berarti bahwa pertanyaan tentang keberadaan ekstrem di titik P 0 dalam kondisi seperti itu tetap terbuka - kita membutuhkannya penelitian tambahan, misalnya, mempelajari kenaikan suatu fungsi pada titik ini.

Pada mata kuliah matematika lebih detail terbukti, khususnya untuk fungsi z = f(X,kamu) dari dua variabel, diferensial orde kedua adalah jumlah dari bentuk

studi tentang keberadaan ekstrem pada titik kritis P 0 dapat disederhanakan.

Mari kita nyatakan , , . Mari kita buat determinannya

.

Ternyata:

D 2 z> 0 di titik P 0, mis. P 0 – titik minimum, jika A(P 0) > 0 dan D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

jika D(P 0)< 0, то D 2 z di sekitar titik P 0 berubah tanda dan tidak ada titik ekstrem di titik P 0;

jika D(Р 0) = 0, maka diperlukan studi tambahan tentang fungsi di sekitar titik kritis Р 0.

Jadi, untuk fungsinya z = f(X,kamu) dari dua variabel kita memiliki algoritma berikut (sebut saja “algoritma D”) untuk mencari ekstrem:

1) Temukan domain definisi D( F) fungsi.

2) Temukan titik kritis, mis. poin dari D( F), yang dan sama dengan nol atau tidak ada.

3) Pada setiap titik kritis P 0, periksa kondisi ekstrem yang cukup. Untuk melakukan ini, temukan , dimana , , dan hitung D(P 0) dan A(P 0).Kemudian:

jika D(P 0) >0, maka di titik P 0 terdapat titik ekstrem, dan jika A(P 0) > 0 – maka ini adalah minimum, dan jika A(P 0)< 0 – максимум;

jika D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Jika D(P 0) = 0, maka diperlukan penelitian tambahan.

4) Pada titik ekstrem yang ditemukan, hitung nilai fungsinya.

Contoh 1.

Temukan ekstrem dari fungsinya z = X 3 + 8kamu 3 – 3xy .

Larutan. Daerah definisi fungsi ini adalah seluruh bidang koordinat. Mari kita temukan titik kritisnya.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Mari kita periksa apakah kondisi ekstrem terpenuhi. Kami akan menemukannya

6X, = -3, = 48pada Dan = 288xy – 9.

Maka D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – pada titik Р 1 terdapat titik ekstrem, dan karena A(P 1) = 3 >0, maka titik ekstrem ini adalah minimum. Jadi min z=z(P 1) = .

Contoh 2.

Temukan ekstrem dari fungsinya .

Solusi: D( F) =R 2 . Poin penting: ; tidak ada kapan pada= 0, artinya P 0 (0,0) merupakan titik kritis fungsi ini.

2, = 0, = , = , tetapi D(P 0) tidak terdefinisi, sehingga mempelajari tandanya tidak mungkin.

Untuk alasan yang sama, tidak mungkin menerapkan Teorema 9.2 secara langsung - D 2 z tidak ada pada saat ini.

Mari kita pertimbangkan kenaikan fungsinya F(X, kamu) di titik P 0. Jika D F =F(P) - F(P 0)>0" P, maka P 0 adalah titik minimum, tetapi jika D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

Dalam kasus kami, kami punya

D F = F(X, kamu) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D kamu) – F(0, 0) = .

Di D X= 0,1 dan D kamu= -0,008 kita mendapat D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 dan D kamu= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, mis. di sekitar titik P 0 kondisi D tidak terpenuhi F <0 (т.е. F(X, kamu) < F(0, 0) dan oleh karena itu P 0 bukan titik maksimum), begitu pula kondisi D F>0 (yaitu F(X, kamu) > F(0, 0) dan kemudian P 0 bukan titik minimum). Artinya, menurut definisi ekstrem, fungsi ini tidak memiliki ekstrem.

Ekstrem bersyarat.

Fungsi ekstrem yang dianggap disebut tak bersyarat, karena tidak ada batasan (kondisi) yang dikenakan pada argumen fungsi.

Definisi 9.2. Fungsi ekstrem Dan = F(X 1 , X 2 , ... , xn), ditemukan dengan syarat argumennya X 1 , X 2 , ... , xn memenuhi persamaan j 1 ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …,j T(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, dimana P ( X 1 , X 2 , ... , xn) О D( F), ditelepon ekstrem bersyarat .

Persamaan j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., M, disebut persamaan koneksi.

Mari kita lihat fungsinya z = f(X,kamu) dua variabel. Jika persamaan koneksinya satu, mis. , maka mencari ekstrem bersyarat berarti ekstrem tersebut dicari bukan di seluruh domain definisi fungsi, tetapi pada beberapa kurva yang terletak di D( F) (artinya, bukan titik tertinggi atau terendah dari permukaan yang dicari z = f(X,kamu), dan titik tertinggi atau terendah di antara titik potong permukaan ini dengan silinder, Gambar 5).

Ekstrem bersyarat suatu fungsi z = f(X,kamu) dari dua variabel dapat dicari dengan cara berikut( metode eliminasi). Dari persamaan tersebut, nyatakan salah satu variabel sebagai fungsi dari variabel lain (misalnya, tulis ) dan, substitusikan nilai variabel ini ke dalam fungsi, tuliskan variabel terakhir sebagai fungsi dari satu variabel (dalam kasus yang dipertimbangkan ). Temukan ekstrem dari fungsi yang dihasilkan dari satu variabel.

Definisi1: Suatu fungsi dikatakan mempunyai maksimum lokal di suatu titik jika terdapat lingkungan dari titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk titik mana pun M dengan koordinat (x, kamu) ketimpangan berlaku: . Dalam hal ini, yaitu kenaikan fungsi< 0.

Definisi2: Suatu fungsi dikatakan mempunyai minimum lokal di suatu titik jika terdapat lingkungan dari titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk titik mana pun M dengan koordinat (x, kamu) ketimpangan berlaku: . Dalam hal ini, yaitu kenaikan fungsi > 0.

Definisi 3: Titik minimum dan maksimum lokal disebut titik ekstrem.

Ekstrem Bersyarat

Saat mencari ekstrem dari suatu fungsi banyak variabel, sering kali muncul masalah yang berkaitan dengan apa yang disebut ekstrem bersyarat. Konsep ini dapat dijelaskan dengan menggunakan contoh fungsi dua variabel.

Biarkan suatu fungsi dan garis diberikan L di permukaan 0xy. Tugasnya adalah untuk ikut serta L menemukan titik seperti itu P(x, y), dimana nilai suatu fungsi paling besar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi tersebut di titik-titik pada garis L, terletak di dekat titik tersebut P. Poin-poin tersebut P disebut titik ekstrem bersyarat fungsi secara online L. Berbeda dengan titik ekstrem biasa, nilai fungsi pada titik ekstrem bersyarat dibandingkan dengan nilai fungsi tidak di semua titik lingkungannya, tetapi hanya di titik yang terletak pada garis. L.

Sangat jelas bahwa intinya adalah ekstrem biasa (mereka juga mengatakan ekstrem tanpa syarat) juga merupakan titik ekstrem bersyarat untuk setiap garis yang melalui titik ini. Tentu saja kebalikannya tidak benar: titik ekstrem bersyarat mungkin bukan titik ekstrem biasa. Izinkan saya menjelaskan apa yang saya katakan dengan contoh sederhana. Grafik fungsinya adalah belahan bumi atas (Lampiran 3 (Gbr. 3)).

Fungsi ini mempunyai nilai maksimum pada titik asal; titik puncaknya sesuai dengan itu M belahan bumi. Jika garis L ada garis yang melalui titik-titik tersebut A Dan DI DALAM(persamaannya x+y-1=0), maka secara geometris jelas bahwa untuk titik-titik pada garis ini nilai tertinggi fungsi dicapai pada suatu titik yang terletak di tengah-tengah antara titik-titik tersebut A Dan DI DALAM. Ini adalah titik ekstrem bersyarat (maksimum) dari fungsi pada garis ini; itu sesuai dengan titik M 1 di belahan bumi, dan dari gambar tersebut jelas bahwa tidak ada pembicaraan tentang ekstrem biasa di sini.

Perhatikan bahwa pada bagian akhir soal mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi in daerah tertutup kita harus mencari nilai ekstrim dari fungsi tersebut pada batas daerah ini, yaitu. pada beberapa baris, dan dengan demikian memecahkan masalah ekstrem bersyarat.

Sekarang mari kita lanjutkan ke pencarian praktis untuk titik ekstrem bersyarat dari fungsi Z= f(x, y) dengan syarat variabel x dan y dihubungkan dengan persamaan (x, y) = 0. Kita akan menyebut relasi ini sebagai persamaan koneksi. Jika dari persamaan kopling y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam x: y=(x), kita memperoleh fungsi dari satu variabel Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Setelah menemukan nilai x di mana fungsi ini mencapai titik ekstrem, dan kemudian menentukan nilai y yang sesuai dari persamaan koneksi, kita memperoleh titik ekstrem bersyarat yang diinginkan.

Jadi, pada contoh di atas, dari persamaan relasi x+y-1=0 kita mendapatkan y=1-x. Dari sini

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa z mencapai maksimum pada x = 0,5; tapi kemudian dari persamaan koneksi y = 0,5, dan kita mendapatkan titik P yang tepat, ditemukan dari pertimbangan geometris.

Masalah ekstrem bersyarat sangat mudah diselesaikan meskipun persamaan koneksi dapat direpresentasikan persamaan parametrik x=x(t), y=y(t). Mengganti ekspresi x dan y ke dalam fungsi ini, kita kembali dihadapkan pada masalah mencari ekstrem dari suatu fungsi suatu variabel.

Jika persamaan kopling memiliki lebih dari tampilan yang rumit dan kita tidak dapat secara eksplisit menyatakan satu variabel ke dalam variabel lain, atau menggantinya dengan persamaan parametrik, maka tugas menemukan ekstrem bersyarat menjadi lebih sulit. Kita akan terus berasumsi bahwa dalam ekspresi fungsi z= f(x, y) variabel (x, y) = 0. Turunan total dari fungsi z= f(x, y) sama dengan:

Dimana turunan y` ditemukan menggunakan aturan diferensiasi fungsi implisit. Pada titik-titik ekstrem bersyarat, turunan total yang ditemukan harus sama dengan nol; ini memberikan satu persamaan yang menghubungkan x dan y. Karena keduanya juga harus memenuhi persamaan kopling, kita memperoleh sistem dua persamaan dengan dua persamaan yang tidak diketahui

Mari kita ubah sistem ini menjadi sistem yang lebih mudah dengan menuliskan persamaan pertama dalam bentuk proporsi dan memperkenalkan bantu baru yang tidak diketahui:

(tanda minus di depan untuk kenyamanan). Dari persamaan ini mudah untuk berpindah ke sistem berikut:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

yang bersama-sama dengan persamaan koneksi (x, y) = 0, membentuk sistem tiga persamaan yang tidak diketahui x, y dan.

Persamaan (*) ini paling mudah diingat dengan menggunakan aturan berikut: untuk mencari titik yang dapat menjadi titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut

Z= f(x, y) dengan persamaan koneksi (x, y) = 0, Anda perlu membentuk fungsi bantu

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Dimana suatu konstanta, dan buat persamaan untuk mencari titik ekstrem dari fungsi ini.

Sistem persamaan yang ditunjukkan, sebagai suatu peraturan, hanya menyediakan kondisi yang diperlukan, yaitu. tidak setiap pasangan nilai x dan y yang memenuhi sistem ini harus merupakan titik ekstrem bersyarat. Saya tidak akan memberikan kondisi yang cukup untuk titik-titik ekstrem bersyarat; seringkali isi spesifik dari masalah itu sendiri menunjukkan apa inti permasalahannya. Teknik yang dijelaskan untuk memecahkan masalah pada ekstrem bersyarat disebut metode pengali Lagrange.

Misalkan fungsi z - /(x, y) terdefinisi pada suatu domain D dan misalkan Mo(xo, Vo) menjadi titik interior domain tersebut. Definisi. Jika terdapat suatu bilangan yang memenuhi semua kondisi pertidaksamaan tersebut benar, maka titik Mo(xo, yo) disebut titik maksimum lokal dari fungsi /(x, y); kalau untuk semua Dx, Du, memenuhi syarat | maka titik Mo(xo,yo) disebut minimum lokal tipis. Dengan kata lain, titik M0(x0, y0) adalah titik maksimum atau minimum dari fungsi f(x, y0) jika terdapat 6 lingkungan dari titik A/o(x0, y0) sehingga sama sekali poin M(x, y) dari titik ini di lingkungan tersebut, kenaikan fungsi mempertahankan tandanya. Contoh. 1. Untuk titik fungsi - titik minimum (Gbr. 17). 2. Untuk fungsi tersebut, titik 0(0,0) adalah titik maksimum (Gbr. 18). 3. Untuk suatu fungsi, titik 0(0,0) adalah titik maksimum lokal. 4 Memang ada lingkungan titik 0(0, 0), misalnya lingkaran berjari-jari j (lihat Gambar 19), di titik mana pun, selain titik 0(0,0), nilai fungsi /(x,y) kurang dari 1 = Kita hanya akan mempertimbangkan titik-titik fungsi maksimum dan minimum yang ketat ketika pertidaksamaan tegas atau pertidaksamaan tegas dipenuhi untuk semua titik M(x) y) dari beberapa lingkungan 6 yang tertusuk dari intinya Mq. Nilai suatu fungsi pada titik maksimum disebut maksimum, dan nilai fungsi pada titik minimum disebut minimum fungsi tersebut. Titik maksimum dan minimum suatu fungsi disebut titik ekstrem fungsi tersebut, sedangkan titik maksimum dan minimum fungsi itu sendiri disebut titik ekstremnya. Teorema 11 (kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem). Jika suatu fungsi merupakan ekstrem dari suatu fungsi beberapa variabel Konsep ekstrem dari suatu fungsi beberapa variabel. Kondisi perlu dan cukup untuk suatu ekstrem Ekstrem bersyarat Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu mempunyai ekstrem pada suatu titik, maka pada titik ini setiap turunan parsial u hilang atau tidak ada. Misalkan pada titik M0(x0, yо) Fungsi z = f(x) y) mempunyai titik ekstrem. Mari kita beri variabel y nilai oo. Maka fungsi z = /(x, y) akan menjadi fungsi dari satu variabel x\ Karena pada x = xo mempunyai ekstrem (maksimum atau minimum, Gambar 20), maka turunannya terhadap x = “o, | (*o,l>)" Sama dengan nol atau tidak ada. Demikian pula, kita yakin bahwa) sama dengan nol atau tidak ada. Titik di mana = 0 dan χ = 0 atau tidak ada disebut titik kritis titik-titik fungsi z = Dx, y).Titik-titik di mana $£ = φ = 0 disebut juga titik-titik stasioner dari fungsi tersebut. Teorema 11 hanya menyatakan kondisi-kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, yang tidak mencukupi. Contoh: Fungsi Gambar. 18 Gambar 20 turunan immt yang berubah menjadi nol di. Namun fungsi ini tipis pada imvat petiknya. Memang, fungsinya sama dengan nol di titik 0(0,0) dan mengambil nilai positif dan negatif di titik M(x,y), mendekati titik 0(0,0). Untuk itu, maka pada titik-titik di titik (0, y) untuk titik kecil sembarang 0(0,0) dari tipe yang ditunjukkan disebut titik mini-maks (Gbr. 21). Kondisi cukup untuk suatu ekstrem suatu fungsi dua variabel dinyatakan dengan teorema berikut. Teorema 12 (kondisi cukup untuk ekstrem dalam dua variabel). Misalkan titik Mo(xo»Yo) adalah titik stasioner dari fungsi f(x, y), dan di lingkungan sekitar titik /, termasuk titik Mo itu sendiri, fungsi f(z, y) mempunyai turunan parsial kontinu hingga urutan kedua inklusif. Kemudian". pada titik Mo(xo, V0) fungsi /(xo, y) tidak mempunyai ekstrem jika D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Ekstremum fungsi f(x, y) mungkin ada atau tidak ada. Dalam hal ini, diperlukan penelitian lebih lanjut. m Mari kita batasi diri kita pada pembuktian pernyataan 1) dan 2) dari teorema. Mari kita tuliskan rumus Taylor orde kedua untuk fungsi /(i, y): di mana. Berdasarkan kondisi tersebut jelas bahwa tanda kenaikan D/ ditentukan oleh tanda trinomial di sebelah kanan (1), yaitu tanda diferensial kedua d2f. Mari kita nyatakan agar singkatnya. Maka persamaan (l) dapat ditulis sebagai berikut: Misalkan di titik MQ(jadi, V0) kita mempunyai... Karena, dengan syarat, turunan parsial orde kedua dari fungsi f(s, y) kontinu, maka pertidaksamaan (3) juga akan berlaku di suatu lingkungan titik M0(s0,yo). Jika kondisi terpenuhi (di titik А/0, dan berdasarkan kontinuitas turunan /,z(s,y) akan mempertahankan tandanya di beberapa lingkungan titik Af0. Di wilayah di mana А Ф 0, kita punya Dari sini jelas bahwa jika ЛС - В2 > 0 di suatu lingkungan titik M0(x0) y0), maka tanda trinomial AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 berimpit dengan tanda A di titik tersebut (jadi , V0) (begitu juga dengan tanda C, karena untuk AC - B2 > 0 A dan C tidak boleh berbeda tanda). Karena tanda penjumlahan AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 di titik (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) menentukan tanda selisih, maka kita sampai pada kesimpulan sebagai berikut: jika untuk fungsi /(s,y) di kondisi titik stasioner (s0, V0), maka untuk || cukup kecil ketimpangan akan terpenuhi. Jadi, pada titik (sq, V0) fungsi /(s, y) mencapai maksimum. Jika kondisi terpenuhi pada titik stasioner (s0, y0), maka |Dr| kecil cukup untuk semua dan |Du| pertidaksamaan tersebut benar, artinya pada titik (jadi,yo) fungsi /(s,y) mempunyai nilai minimum. Contoh. 1. Selidiki fungsi suatu ekstrem. 4 Dengan menggunakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, kita mencari titik stasioner dari fungsi tersebut. Untuk melakukan ini, kita mencari turunan parsial u dan menyamakannya dengan nol. Kami memperoleh sistem persamaan dari mana - titik stasioner. Sekarang mari kita gunakan Teorema 12. Kita mempunyai Artinya, terdapat titik ekstrem di titik Ml. Karena ini minimal. Jika kita mengubah fungsi r menjadi bentuk, mudah untuk melihatnya bagian kanan(“) akan menjadi minimal jika merupakan nilai minimum absolut dari fungsi ini. 2. Periksa suatu fungsi ekstrem. Kita temukan titik-titik stasioner dari fungsi tersebut, yang kemudian kita buat sistem persamaannya. Oleh karena itu, agar titik tersebut stasioner. Karena berdasarkan Teorema 12, tidak ada titik ekstrem di titik M. * 3. Selidiki titik ekstrim suatu fungsi Temukan titik stasioner dari fungsi tersebut. Dari sistem persamaan diperoleh hal tersebut, jadi titiknya stasioner. Selanjutnya kita mengetahui bahwa Teorema 12 tidak menjawab pertanyaan tentang ada atau tidaknya suatu ekstrem. Ayo lakukan dengan cara ini. Untuk suatu fungsi di semua titik yang berbeda dari titik so, menurut definisi, dan titik A/o(0,0) fungsi r mempunyai minimum absolut. Dengan perhitungan serupa kita menetapkan bahwa fungsi tersebut memiliki titik maksimum, tetapi fungsi tersebut tidak memiliki titik ekstrem di titik tersebut. Misalkan suatu fungsi dari n variabel bebas terdiferensiasi di suatu titik Titik Mo disebut titik stasioner dari fungsi tersebut jika Teorema 13 (sampai kondisi cukup untuk suatu ekstrem). Misalkan fungsi tersebut terdefinisi dan mempunyai turunan parsial kontinu orde kedua pada lingkungan halus Mt(xi..., yang merupakan fungsi halus stasioner jika bentuk kuadratnya (diferensial kedua fungsi f dalam halus adalah positif pasti (pasti negatif), titik minimum (masing-masing, maksimum halus) dari fungsi f baik-baik saja Jika bentuk kuadrat (4) bertanda bolak-balik, maka tidak ada ekstrem dalam halus LG0. Untuk menentukan apakah kuadrat tersebut bentuk (4) akan menjadi pasti positif atau negatif, Anda dapat menggunakan, misalnya, kriteria Sylvester untuk kepastian positif (negatif ) bentuk kuadrat 15.2 Ekstrem bersyarat Hingga saat ini, kami telah mencari ekstrem lokal suatu fungsi di seluruh domain definisinya, ketika argumen fungsi tersebut tidak terikat oleh kondisi tambahan apa pun. Ekstrem seperti itu disebut tanpa syarat. Namun, sering kali terdapat masalah dalam menemukan apa yang disebut ekstrem bersyarat. Misalkan fungsi z = /(x, y) terdefinisi dalam domain D. Mari kita asumsikan bahwa kurva L diberikan dalam domain ini, dan kita perlu mencari titik ekstrem dari fungsi f(x> y) hanya di antara kurva tersebut dari nilainya yang sesuai dengan titik-titik pada kurva L. Ekstrem yang sama disebut ekstrem bersyarat dari fungsi z = f(x) y) pada kurva L. Definisi Dikatakan bahwa pada suatu titik yang terletak pada kurva L , fungsi f(x, y) mempunyai kondisi maksimum (minimum) jika pertidaksamaan dipenuhi di semua titik M (s, y) y) kurva L, termasuk dalam lingkungan titik M0(x0, V0) dan berbeda dari titik M0 (Jika kurva L diberikan persamaan, maka masalah mencari ekstrem bersyarat fungsi r - f(x,y) pada kurva! dapat dirumuskan sebagai berikut: tentukan ekstrem fungsi x = /(z, y) di wilayah D, asalkan Jadi, ketika mencari ekstrem kondisional dari fungsi z = y), argumen rusa kutub tidak lagi dapat dianggap sebagai variabel independen: argumen-argumen tersebut dihubungkan satu sama lain melalui relasi y) = 0, yang disebut persamaan koneksi. Untuk memperjelas perbedaan antara ekstrem tak bersyarat dan ekstrem bersyarat, mari kita lihat contoh di mana fungsi maksimum tak bersyarat (Gbr. 23) sama dengan satu dan dicapai pada titik (0,0). Ini sesuai dengan titik M - titik puncak pvvboloid Mari kita tambahkan persamaan koneksi y = j. Maka maksimum bersyarat jelas akan sama dengan itu, dicapai di titik (o,|), dan sesuai dengan titik puncak Afj bola, yaitu garis perpotongan bola dengan bidang y = j. Dalam kasus mvximum tanpa syarat, kita mempunyai penerapan mvximum di antara semua vpplicvt permukaan * = 1 - l;2 ~ y1; summvv bersyarat - hanya di antara titik-titik vllikvt pvraboidv, yang bersesuaian dengan titik* garis lurus y = j bukan bidang xOy. Salah satu cara mencari ekstrem bersyarat suatu fungsi dengan kehadiran dan koneksi adalah sebagai berikut. Misalkan persamaan koneksi y) - O mendefinisikan y sebagai fungsi terdiferensiasi unik dari argumen x: Dengan mensubstitusikan suatu fungsi ke dalam fungsi tersebut, bukan y, kita memperoleh fungsi dari satu argumen yang kondisi koneksinya sudah diperhitungkan. Fungsi ekstrem (tanpa syarat) adalah ekstrem bersyarat yang diinginkan. Contoh. Menemukan ekstrem suatu fungsi pada kondisi Ekstrem suatu fungsi beberapa variabel Konsep ekstrem suatu fungsi beberapa variabel. Kondisi perlu dan cukup untuk suatu ekstrem Ekstrem bersyarat Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu A Dari persamaan koneksi (2") kita temukan y = 1-x. Mengganti nilai y ini ke (V), kita memperoleh fungsi dari satu argumen x: Mari kita periksa titik ekstremnya: di mana x = 1 adalah titik kritis; , sehingga memberikan minimum bersyarat dari fungsi r (Gbr. 24). Mari kita tunjukkan cara lain untuk menyelesaikan masalah ekstrem bersyarat, yang disebut metode pengali Lagrange. Misalkan ada titik ekstrem bersyarat dari suatu fungsi dengan adanya koneksi Mari kita asumsikan bahwa persamaan koneksi mendefinisikan fungsi unik yang terdiferensiasi kontinu di lingkungan tertentu dari titik xx. Mengingat kita memperoleh bahwa turunan terhadap x dari fungsi /(r, ip(x)) di titik xq harus sama dengan nol atau, yang ekuivalen dengan ini, diferensial f(x, y) di intinya Mo" O harus sama dengan nol ) Dari persamaan koneksi kita mendapatkan (5) Mengalikan persamaan terakhir dengan faktor numerik A yang belum ditentukan dan menjumlahkan suku demi suku dengan persamaan (4), kita akan mendapatkan (kita asumsikan bahwa ).Kemudian, karena kesewenang-wenangan dx, kita memperoleh Persamaan (6) dan (7) menyatakan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem tak bersyarat pada titik fungsi yang disebut fungsi Lagrange. fungsi /(x, y), jika, merupakan titik stasioner dari fungsi Lagrange dimana A adalah koefisien numerik tertentu.Dari sini kita memperoleh aturan untuk mencari ekstrem bersyarat: mencari titik-titik yang dapat menjadi titik-titik ekstrem ekstrem suatu fungsi dengan adanya koneksi: 1) kita membuat fungsi Lagrange, 2) dengan menyamakan turunan dan U dari fungsi ini dengan nol dan menambahkan persamaan koneksi ke persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh sistem tiga persamaan yang darinya kita temukan nilai A dan koordinat x, y kemungkinan titik ekstrem. Pertanyaan tentang keberadaan dan sifat ekstrem bersyarat diselesaikan berdasarkan mempelajari tanda diferensial kedua fungsi Lagrange untuk sistem nilai x0, V0, A yang dipertimbangkan, diperoleh dari (8) dengan ketentuan bahwa Jika , maka pada titik (x0, V0) fungsi /(x, y ) mempunyai maksimum bersyarat; jika d2F > 0 - maka minimum bersyarat. Khususnya, jika pada titik stasioner (xo, J/o) determinan D untuk fungsi F(x, y) adalah positif, maka pada titik (®o, V0) terdapat maksimum bersyarat dari fungsi f( x, y), jika dan minimum bersyarat dari fungsi /(x, y), jika Contoh. Mari kita kembali ke kondisi contoh sebelumnya: carilah titik ekstrem dari fungsi tersebut dengan syarat x + y = 1. Kita akan menyelesaikan soal tersebut dengan menggunakan metode pengali Lagrange. Fungsi Lagrange di pada kasus ini mempunyai bentuk Untuk mencari titik stasioner kita buat suatu sistem Dari dua persamaan pertama sistem tersebut kita peroleh bahwa x = y. Kemudian dari persamaan ketiga sistem (persamaan koneksi) kita peroleh bahwa x - y = j adalah koordinat titik ekstrem yang mungkin. Dalam hal ini (ditunjukkan bahwa A = -1. Jadi, fungsi Lagrange. adalah titik minimum bersyarat dari fungsi * = x2 + y2 dengan syarat Tidak ada ekstrem tanpa syarat untuk fungsi Lagrange. P(x, y ) belum berarti tidak adanya ekstrem bersyarat untuk fungsi /(x, y) dengan adanya koneksi Contoh: Temukan ekstrem suatu fungsi pada kondisi y 4 Kita buat fungsi Lagrange dan tuliskan sistem untuk menentukan A dan koordinat titik-titik ekstrem yang mungkin: Dari dua persamaan pertama kita memperoleh x + y = 0 dan kita sampai pada sistem dimana x = y = A = 0. Jadi, fungsi Lagrange yang bersesuaian memiliki bentuk Pada titik (0,0) fungsi F(x, y; 0) tidak memiliki ekstrem tak bersyarat, namun ekstrem bersyarat dari fungsi r = xy. Jika y = x, terdapat ". Memang, dalam kasus ini r = x2. Dari sini jelas bahwa pada titik (0,0) terdapat minimum bersyarat. "Metode pengali Lagrange ditransfer ke kasus fungsi dengan sejumlah argumen berapa pun/ Mari kita cari ekstrem dari fungsi tersebut dengan adanya persamaan koneksi Buatlah fungsi Lagrange dimana A|, Az,..., A„, adalah faktor konstanta tak tentu. Menyamakan semua turunan parsial orde pertama dari fungsi F dengan nol dan menambahkan persamaan koneksi (9) ke persamaan yang dihasilkan, kita memperoleh sistem persamaan n + m, dari mana kita menentukan Ab A3|..., At dan koordinat x \)x2). » xn kemungkinan titik ekstrem bersyarat. Pertanyaan apakah titik-titik yang ditemukan dengan menggunakan metode Lagrange sebenarnya merupakan titik-titik ekstrem bersyarat seringkali dapat diselesaikan berdasarkan pertimbangan yang bersifat fisik atau geometris. 15.3. Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu Misalkan perlu mencari nilai terbesar (terkecil) dari fungsi z = /(x, y), kontinu pada suatu domain terbatas tertutup D. Berdasarkan Teorema 3, pada domain ini terdapat adalah titik (xo, V0) di mana fungsi tersebut mengambil nilai terbesar (terkecil). Jika titik (xo, y0) terletak di dalam domain D, maka fungsi / mempunyai maksimum (minimum) di dalamnya, sehingga dalam hal ini titik yang kita minati terdapat di antara titik-titik kritis fungsi /(x, kamu). Namun fungsi /(x, y) dapat mencapai nilai terbesar (terkecil) pada batas wilayah. Oleh karena itu, untuk mencari nilai terbesar (terkecil) yang diambil oleh fungsi z = /(x, y) di area tertutup terbatas 2), Anda perlu mencari semua maksimum (minimum) dari fungsi yang dicapai di dalam area ini, serta nilai fungsi terbesar (terkecil) pada batas kawasan tersebut. Angka terbesar (terkecil) dari semua bilangan ini akan menjadi nilai terbesar (terkecil) yang diinginkan dari fungsi z = /(x,y) di wilayah 27. Mari kita tunjukkan bagaimana hal ini dilakukan dalam kasus fungsi terdiferensiasi. Pmmr. Tentukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi daerah 4. Kita cari titik kritis fungsi tersebut di dalam daerah D. Untuk itu kita buat sistem persamaannya, dari sini kita peroleh x = y « 0, sehingga titik 0 (0,0) merupakan titik kritis fungsi x. Karena Sekarang mari kita cari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi tersebut pada batas daerah D. Pada bagian batas tersebut kita mengetahui bahwa y = 0 adalah titik kritis, dan karena = maka pada titik ini fungsi z = 1 + y2 mempunyai minimum sama dengan satu. Di ujung segmen Г", di titik (, ​​kita punya. Dengan menggunakan pertimbangan simetri, kita memperoleh hasil yang sama untuk bagian lain dari batas tersebut. Akhirnya kita memperoleh: nilai terkecil dari fungsi z = x2+y2 di wilayah tersebut “B sama dengan nol dan dicapai pada titik dalam daerah 0( 0, 0), dan nilai maksimum fungsi ini, sama dengan dua, dicapai pada empat titik batas (Gbr. 25) Gambar 25 Latihan Mencari daerah definisi fungsi: Membangun garis level fungsi: 9 Menemukan permukaan datar fungsi tiga variabel bebas: Hitung limit fungsi: Temukan turunan parsial fungsi dan turunannya perbedaan penuh : Mencari turunan fungsi kompleks: 3 Cari J. Ekstremum suatu fungsi beberapa variabel Konsep ekstrem suatu fungsi beberapa variabel. Kondisi perlu dan cukup untuk suatu ekstrem Ekstrem bersyarat Nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu 34. Menggunakan rumus turunan fungsi kompleks dua variabel, cari dan fungsi: 35. Menggunakan rumus turunan fungsi kompleks fungsi dua variabel, cari |J dan fungsinya: Carilah fungsi jj yang diberikan secara implisit: 40. Tentukan koefisien sudut kurva singgung pada titik potongnya dengan garis lurus x = 3. 41. Tentukan titik-titik di mana garis singgung tersebut kurva x sejajar dengan sumbu Ox. . Pada soal berikut, cari dan T: Tuliskan persamaan bidang singgung dan normal permukaan: 49. Tuliskan persamaan bidang singgung permukaan x2 + 2y2 + 3z2 = 21, sejajar bidang x + 4y + 6z = 0. Carilah tiga atau empat suku pertama pemuaian menggunakan rumus Taylor : 50.y di sekitar titik (0, 0). Dengan menggunakan definisi ekstrem suatu fungsi, periksalah fungsi ekstrem berikut ini :). Dengan menggunakan kondisi cukup untuk ekstrem suatu fungsi dua variabel, periksa ekstrem dari fungsi tersebut: 84. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi z = x2 - y2 dalam lingkaran tertutup 85. Temukan nilai terbesar dan terkecil ​​dari fungsi * = x2y(4-x-y) pada segitiga yang dibatasi oleh garis lurus x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Tentukan ukuran kolam terbuka berbentuk persegi panjang yang mempunyai permukaan terkecil, asalkan volumenya sama dengan V. 87. Tentukan ukuran persegi panjang sejajar yang mempunyai volume maksimum jika diketahui luas permukaannya 5. Jawaban 1. dan | Persegi yang dibentuk oleh ruas garis x termasuk sisi-sisinya. 3. Keluarga cincin konsentris 2= 0,1,2,... .4. Seluruh bidang kecuali titik-titik pada garis lurus. Bagian bidang yang terletak di atas parabola y = -x?. 8. Titik lingkaran x. Seluruh bidang kecuali garis lurus x Ekspresi radikal non-negatif dalam dua kasus j * ^ atau j x ^ ^ yang masing-masing ekuivalen dengan deret pertidaksamaan tak hingga Domain definisinya adalah kotak yang diarsir (Gbr. 26); l yang ekuivalen dengan deret tak hingga Fungsinya didefinisikan dalam titik. a) Garis lurus sejajar garis lurus x b) lingkaran konsentris yang berpusat di titik asal. 10. a) parabola y) parabola y a) parabola b) hiperbola | .Pesawat xc. 13.Prime - hiperboloid rongga tunggal yang berputar di sekitar sumbu Oz; ketika dan merupakan hiperboloid dua lembar yang berputar di sekitar sumbu Oz, kedua kelompok permukaan dipisahkan oleh sebuah kerucut; Tidak ada batasan, b) 0. 18. Misalkan y = kxt maka z lim z = -2, maka fungsi yang diberikan di titik (0,0) tidak mempunyai limit. 19. a) Poin (0,0); b) titik (0,0). 20. a) Putusnya garis – lingkaran x2 + y2 = 1; b) garis putus-putusnya adalah garis lurus y = x. 21. a) Putuskan garis - sumbu koordinat Sapi dan Oy; b) 0 (set kosong). 22. Semua titik (m, n), dimana dan n adalah bilangan bulat

Kondisi perlu dan cukup untuk fungsi ekstrem dua variabel. Suatu titik disebut titik minimum (maksimum) suatu fungsi jika di lingkungan tertentu dari titik tersebut fungsi tersebut terdefinisi dan memenuhi pertidaksamaan (masing-masing, titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrem fungsi tersebut.

Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem. Jika pada titik ekstrem suatu fungsi mempunyai turunan parsial pertama, maka turunan tersebut hilang pada titik tersebut. Oleh karena itu, untuk mencari titik ekstrem suatu fungsi, seseorang harus menyelesaikan sistem persamaan.Titik yang koordinatnya memenuhi sistem ini disebut titik kritis fungsi tersebut. Diantaranya mungkin ada titik maksimum, titik minimum, dan juga titik yang bukan titik ekstrem.

Kondisi ekstrem yang cukup digunakan untuk mengidentifikasi titik ekstrem dari serangkaian titik kritis dan tercantum di bawah ini.

Misalkan fungsi tersebut mempunyai turunan parsial kedua kontinu pada titik kritisnya. Jika saat ini memang benar adanya

kondisi maka titik tersebut merupakan titik minimum di dan titik maksimum di. Jika pada titik kritis maka titik tersebut bukan merupakan titik ekstrem. Dalam hal ini, diperlukan studi yang lebih halus tentang sifat titik kritis, yang dalam hal ini mungkin merupakan titik ekstrem atau bukan.

Ekstrem fungsi tiga variabel. Dalam kasus fungsi tiga variabel, definisi titik ekstrem mengulangi definisi yang sesuai untuk fungsi dua variabel. Kami membatasi diri pada menyajikan prosedur untuk mempelajari suatu fungsi ekstrem. Saat menyelesaikan sistem persamaan, seseorang harus mencari titik kritis dari fungsi tersebut, dan kemudian menghitung nilainya pada setiap titik kritis tersebut.

Jika ketiga besaran tersebut positif, maka titik kritis yang dimaksud adalah titik minimum; jika maka titik kritis ini merupakan titik maksimum.

Ekstrem bersyarat dari fungsi dua variabel. Suatu titik disebut titik minimum (maksimum) bersyarat dari suatu fungsi, asalkan terdapat lingkungan titik di mana fungsi tersebut terdefinisi dan di mana (masing-masing) untuk semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan.

Untuk mencari titik ekstrem bersyarat, gunakan fungsi Lagrange

dimana bilangan tersebut disebut pengali Lagrange. Memecahkan sistem tiga persamaan

temukan titik kritis fungsi Lagrange (serta nilai faktor bantu A). Pada titik-titik kritis ini mungkin terdapat ekstrem bersyarat. Sistem di atas hanya menyediakan kondisi yang diperlukan untuk suatu ekstrem, tetapi tidak cukup: sistem ini dapat dipenuhi dengan koordinat titik-titik yang bukan merupakan titik ekstrem bersyarat. Namun, berdasarkan esensi permasalahan, sifat titik kritis sering kali dapat ditentukan.

Ekstrem bersyarat dari suatu fungsi beberapa variabel. Mari kita perhatikan fungsi variabel asalkan variabel tersebut dihubungkan dengan persamaan