Pertama, mari kita perhatikan kasus fungsi dua variabel. Ekstrem bersyarat dari suatu fungsi $z=f(x,y)$ di titik $M_0(x_0;y_0)$ adalah ekstrem dari fungsi ini, dicapai dengan syarat bahwa variabel $x$ dan $y$ di sekitar titik ini memenuhi persamaan koneksi $\ varphi (x,y)=0$.

Nama ekstrem “bersyarat” disebabkan oleh fakta bahwa kondisi tambahan $\varphi(x,y)=0$ dikenakan pada variabel. Jika suatu variabel dapat dinyatakan dari persamaan hubungan melalui persamaan lain, maka masalah menentukan ekstrem bersyarat direduksi menjadi masalah menentukan ekstrem biasa suatu fungsi suatu variabel. Misalnya, jika persamaan koneksi menyiratkan $y=\psi(x)$, lalu mensubstitusi $y=\psi(x)$ menjadi $z=f(x,y)$, kita memperoleh fungsi dari satu variabel $z =f\kiri (x,\psi(x)\kanan)$. DI DALAM kasus umum Namun, metode ini tidak banyak berguna, sehingga diperlukan pengenalan algoritma baru.

Metode pengali Lagrange untuk fungsi dua variabel.

Metode pengali Lagrange terdiri dari pembuatan fungsi Lagrange untuk mencari ekstrem bersyarat: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parameter $\lambda$ disebut pengali Lagrange). Kondisi yang diperlukan untuk titik ekstrem ditentukan oleh sistem persamaan yang menentukan titik stasioner:

$$ \kiri \( \begin(sejajar) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(rata) \kanan.$$

Kondisi cukup yang dapat digunakan untuk menentukan sifat ekstrem adalah tanda $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Jika pada titik stasioner $d^2F > 0$, maka fungsi $z=f(x,y)$ mempunyai minimum bersyarat pada titik ini, tetapi jika $d^2F< 0$, то условный максимум.

Ada cara lain untuk menentukan sifat ekstrem. Dari persamaan kopling kita memperoleh: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, oleh karena itu pada titik stasioner mana pun kita mempunyai:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\kiri(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\kanan)+ F_(yy)^("")\kiri(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\kanan)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \kanan)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \kanan)$$

Faktor kedua (terletak di dalam tanda kurung) dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Elemen determinan $\left| disorot dengan warna merah. \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array)\right|$, yang merupakan Hessian dari fungsi Lagrange. Jika $H > 0$, maka $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, yaitu kita memiliki minimum bersyarat dari fungsi $z=f(x,y)$.

Catatan tentang notasi determinan $H$. tunjukan Sembunyikan

$$ H=-\kiri|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ akhir(array) \kanan| $$

Dalam situasi ini, aturan yang dirumuskan di atas akan berubah sebagai berikut: jika $H > 0$, maka fungsi tersebut mempunyai minimum bersyarat, dan jika $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritma untuk mempelajari fungsi dua variabel untuk ekstrem bersyarat

1. Buatlah fungsi Lagrange $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Selesaikan sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0.\end(sejajar) \kanan.$
3. Tentukan sifat ekstrem pada setiap titik stasioner yang terdapat pada paragraf sebelumnya. Untuk melakukannya, gunakan salah satu metode berikut:
   • Tuliskan determinan $H$ dan cari tahu tandanya
   • Dengan memperhatikan persamaan kopling, hitung tanda $d^2F$

Metode pengali Lagrange untuk fungsi n variabel

Katakanlah kita memiliki fungsi variabel $n$ $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dan persamaan kopling $m$ ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ltitik,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Dengan menyatakan pengali Lagrange sebagai $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, kita membuat fungsi Lagrange:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem bersyarat diberikan oleh sistem persamaan dari mana koordinat titik stasioner dan nilai pengali Lagrange ditemukan:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(sejajar) \kanan.$$

Anda dapat mengetahui apakah suatu fungsi mempunyai minimum bersyarat atau maksimum bersyarat pada titik yang ditemukan, seperti sebelumnya, dengan menggunakan tanda $d^2F$. Jika pada titik ditemukan $d^2F > 0$, maka fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, tetapi jika $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Penentu matriks $\kiri| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ltitik & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ltitik & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, disorot dengan warna merah dalam matriks $L$, adalah fungsi Hessian dari Lagrange. Kami menggunakan aturan berikut:

• Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matriks $L$ berimpit dengan tanda $(-1)^m$, maka titik stasioner yang diteliti adalah titik minimum bersyarat dari fungsi $ z=f(x_1,x_2 ,x_3,\ltitik,x_n)$.
• Jika tanda-tanda minor sudut $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ bergantian, dan tanda minor $H_(2m+1)$ berimpit dengan tanda bilangan $(-1)^(m+1 )$, maka titik stasionernya adalah titik maksimum bersyarat dari fungsi $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Contoh No.1

Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi $z(x,y)=x+3y$ dengan kondisi $x^2+y^2=10$.

Interpretasi geometri dari soal ini adalah sebagai berikut: dicari nilai terbesar dan terkecil dari penerapan bidang $z=x+3y$ untuk titik potongnya dengan silinder $x^2+y ^2=10$.

Agak sulit untuk menyatakan satu variabel melalui variabel lain dari persamaan kopling dan mensubstitusikannya ke dalam fungsi $z(x,y)=x+3y$, jadi kita akan menggunakan metode Lagrange.

Menyatakan $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, kita membuat fungsi Lagrange:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Mari kita tuliskan sistem persamaan untuk menentukan titik stasioner dari fungsi Lagrange:

$$ \kiri \( \begin(rata) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (sejajar)\kanan.$$

Jika kita berasumsi $\lambda=0$, maka persamaan pertama menjadi: $1=0$. Kontradiksi yang dihasilkan menunjukkan bahwa $\lambda\neq 0$. Dengan kondisi $\lambda\neq 0$, dari persamaan pertama dan kedua kita mendapatkan: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Mengganti nilai yang diperoleh ke dalam persamaan ketiga, kita mendapatkan:

$$ \kiri(-\frac(1)(2\lambda) \kanan)^2+\kiri(-\frac(3)(2\lambda) \kanan)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \kiri[ \begin(rata) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(sejajar) \kanan.\\ \begin(sejajar) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(sejajar) $$

Jadi, sistem memiliki dua solusi: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ dan $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Mari kita cari tahu sifat ekstrem pada setiap titik stasioner: $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$. Untuk melakukan ini, kami menghitung determinan $H$ di setiap titik.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \kanan|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \kan| $$

Pada titik $M_1(1;3)$ kita mendapatkan: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, jadi pada titik Fungsi $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Demikian pula, pada titik $M_2(-1,-3)$ kita menemukan: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \kanan|=-40$. Sejak $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Saya perhatikan bahwa daripada menghitung nilai determinan $H$ pada setiap titik, akan lebih mudah untuk memperluasnya dalam pandangan umum. Agar tidak mengacaukan teks dengan detail, saya akan menyembunyikan metode ini di bawah catatan.

Menuliskan determinan $H$ dalam bentuk umum. tunjukan Sembunyikan

$$ H=8\cdot\kiri|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\kanan| =8\cdot\kiri(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\kanan) =-8\lambda\cdot\kiri(y^2+x^2\kanan). $$

Pada prinsipnya sudah jelas tanda apa yang dimiliki $H$. Karena tidak ada titik $M_1$ atau $M_2$ yang berimpit dengan titik asal, maka $y^2+x^2>0$. Oleh karena itu, tanda $H$ berlawanan dengan tanda $\lambda$. Anda dapat menyelesaikan perhitungannya:

$$ \begin(rata) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\kiri((-3)^2+(-1)^2\kanan)=-40. \end(sejajar) $$

Pertanyaan tentang sifat ekstrem pada titik stasioner $M_1(1;3)$ dan $M_2(-1;-3)$ dapat diselesaikan tanpa menggunakan determinan $H$. Mari kita cari tanda $d^2F$ pada setiap titik stasioner:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \kiri( dx^2+dy^2\kanan) $$

Izinkan saya mencatat bahwa notasi $dx^2$ berarti $dx$ yang dipangkatkan kedua, yaitu. $\kiri(dx \kanan)^2$. Oleh karena itu kita memiliki: $dx^2+dy^2>0$, oleh karena itu, dengan $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ kita mendapatkan $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Menjawab: pada titik $(-1;-3)$ fungsi memiliki minimum bersyarat, $z_(\min)=-10$. Pada titik $(1;3)$ fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=10$

Contoh No.2

Temukan ekstrem bersyarat dari fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ dengan kondisi $x+y=0$.

Metode pertama (metode pengali Lagrange)

Menyatakan $\varphi(x,y)=x+y$, kita membuat fungsi Lagrange: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \kiri \( \begin(sejajar) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0.\end(sejajar) \kanan.$$

Setelah menyelesaikan sistem, kita mendapatkan: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ dan $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Kita mempunyai dua titik stasioner: $M_1(0;0)$ dan $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Mari kita cari tahu sifat ekstrem pada setiap titik stasioner menggunakan determinan $H$.

$$H=\kiri| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \kanan|= \kiri| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Pada titik $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, oleh karena itu pada titik ini fungsinya memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Kami menyelidiki sifat ekstrem di setiap titik menggunakan metode berbeda, berdasarkan tanda $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Dari persamaan koneksi $x+y=0$ kita mendapatkan: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Karena $d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, maka $M_1(0;0)$ adalah titik minimum bersyarat dari fungsi $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Demikian pula, $d^2F \Lebih Besar|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Cara kedua

Dari persamaan koneksi $x+y=0$ kita mendapatkan: $y=-x$. Mengganti $y=-x$ ke dalam fungsi $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, kita memperoleh beberapa fungsi dari variabel $x$. Mari kita nyatakan fungsi ini sebagai $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Jadi, kami mereduksi masalah mencari ekstrem bersyarat dari suatu fungsi dua variabel menjadi masalah menentukan ekstrem dari suatu fungsi dari satu variabel.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ; y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Kami memperoleh poin $M_1(0;0)$ dan $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Penelitian selanjutnya diketahui dari mata kuliah kalkulus diferensial fungsi satu variabel. Dengan memeriksa tanda $u_(xx)^("")$ pada setiap titik stasioner atau memeriksa perubahan tanda $u_(x)^(")$ pada titik-titik yang ditemukan, kita memperoleh kesimpulan yang sama seperti ketika menyelesaikannya dengan cara pertama. Misalnya, kita akan memeriksa tanda $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Karena $u_(xx)^("")(M_1)>0$, maka $M_1$ adalah titik minimum dari fungsi $u(x)$, dan $u_(\min)=u(0)=0 $. Sejak $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Nilai fungsi $u(x)$ untuk kondisi koneksi tertentu bertepatan dengan nilai fungsi $z(x,y)$, yaitu. ekstrem yang ditemukan dari fungsi $u(x)$ adalah ekstrema kondisional yang dicari dari fungsi $z(x,y)$.

Menjawab: pada titik $(0;0)$ fungsi tersebut memiliki minimum bersyarat, $z_(\min)=0$. Pada titik $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ fungsi tersebut memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Mari kita perhatikan contoh lain di mana kita akan memperjelas sifat ekstrem dengan menentukan tanda $d^2F$.

Contoh No.3

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=5xy-4$ jika variabel $x$ dan $y$ positif dan memenuhi persamaan kopling $\frac(x^2)(8)+\frac( kamu^2)(2) -1=0$.

Mari kita buat fungsi Lagrange: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Mari kita cari titik stasioner dari fungsi Lagrange:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kiri \( \begin(rata) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(rata) \kanan.$$

Semua transformasi lebih lanjut dilakukan dengan memperhitungkan $x > 0; \; y > 0$ (ini ditentukan dalam pernyataan masalah). Dari persamaan kedua kita nyatakan $\lambda=-\frac(5x)(y)$ dan substitusikan nilai yang ditemukan ke dalam persamaan pertama: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Mengganti $x=2y$ ke persamaan ketiga, kita mendapatkan: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Karena $y=1$, maka $x=2$, $\lambda=-10$. Kita menentukan sifat ekstrem di titik $(2;1)$ berdasarkan tanda $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Karena $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, maka:

$$ d\kiri(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\kanan)=0; \; d\kiri(\frac(x^2)(8) \kanan)+d\kiri(\frac(y^2)(2) \kanan)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

Pada prinsipnya, di sini Anda dapat langsung mengganti koordinat titik stasioner $x=2$, $y=1$ dan parameter $\lambda=-10$, sehingga diperoleh:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \kiri(-\frac(dx)(2) \kanan)-10\cdot \kiri(-\frac(dx) (2) \kanan)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Namun, dalam soal lain pada ekstrem bersyarat mungkin terdapat beberapa titik stasioner. Dalam kasus seperti itu, lebih baik untuk mewakili $d^2F$ dalam bentuk umum, dan kemudian mengganti koordinat masing-masing titik stasioner yang ditemukan ke dalam ekspresi yang dihasilkan:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \kiri(-\frac(xdx)(4y) \kanan)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \kanan)\cdot dx^2 $$

Mengganti $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, kita mendapatkan:

$$ d^2 F=\kiri(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \kanan)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Karena $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Menjawab: pada titik $(2;1)$ fungsi memiliki maksimum bersyarat, $z_(\max)=6$.

Pada bagian selanjutnya kita akan membahas penerapan metode Lagrange untuk fungsi dengan jumlah variabel yang lebih besar.

Ekstrem fungsi beberapa variabel. Kondisi yang diperlukan untuk ekstrem. Kondisi yang cukup untuk ekstrem. Ekstrem bersyarat. Metode pengali Lagrange. Mencari nilai terbesar dan terkecil.

Kuliah 5.

Definisi 5.1. Dot M 0 (x 0, kamu 0) ditelepon titik maksimum fungsi z = f (x, y), Jika f (x o , kamu o) > f(x,y) untuk semua poin (x, kamu) M 0.

Definisi 5.2. Dot M 0 (x 0, kamu 0) ditelepon poin minimum fungsi z = f (x, y), Jika f (x o , kamu o) < f(x,y) untuk semua poin (x, kamu) dari beberapa lingkungan suatu titik M 0.

Catatan 1. Titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrem fungsi beberapa variabel.

Catatan 2. Titik ekstrem suatu fungsi dari sejumlah variabel ditentukan dengan cara yang sama.

Teorema 5.1(kondisi yang diperlukan untuk ekstrem). Jika M 0 (x 0, kamu 0)– titik ekstrem dari fungsi tersebut z = f (x, y), maka pada titik ini turunan parsial orde pertama dari fungsi ini sama dengan nol atau tidak ada.

Bukti.

Mari kita perbaiki nilai variabelnya pada, menghitung kamu = kamu 0. Lalu fungsinya f (x, kamu 0) akan menjadi fungsi dari satu variabel X, untuk itu x = x 0 adalah titik ekstremnya. Oleh karena itu, menurut teorema Fermat, atau tidak ada. Pernyataan yang sama juga dibuktikan untuk .

Definisi 5.3. Titik-titik yang termasuk dalam domain suatu fungsi dari beberapa variabel yang turunan parsial dari fungsi tersebut sama dengan nol atau tidak ada disebut titik stasioner fungsi ini.

Komentar. Jadi, titik ekstrem hanya dapat dicapai pada titik-titik stasioner, tetapi tidak harus diamati pada masing-masing titik tersebut.

Teorema 5.2(kondisi yang cukup untuk ekstrem). Biarkan di beberapa lingkungan intinya M 0 (x 0, kamu 0), yang merupakan titik stasioner dari fungsi tersebut z = f (x, y), fungsi ini memiliki turunan parsial kontinu hingga inklusif orde ke-3. Mari kita nyatakan Kemudian:

1) f(x,y) ada pada intinya M 0 maksimal jika AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ada pada intinya M 0 minimal jika AC–B² > 0, A > 0;

3) tidak ada titik ekstrim pada titik kritis jika AC–B² < 0;

4) jika AC–B² = 0, diperlukan penelitian lebih lanjut.

Bukti.

Mari kita tuliskan rumus Taylor orde kedua untuk fungsi tersebut f(x,y), mengingat bahwa pada titik stasioner turunan parsial orde pertama sama dengan nol:

Di mana Jika sudut antar ruas M 0 M, Di mana M (x 0 +Δ x, kamu 0 +Δ pada), dan sumbu O X melambangkan φ, lalu Δ x =Δ ρ karena φ, Δ kamu=Δρsinφ. Dalam hal ini rumus Taylor akan berbentuk: . Misalkan Maka kita dapat membagi dan mengalikan ekspresi dalam tanda kurung dengan A. Kita mendapatkan:

Sekarang mari kita pertimbangkan empat hal kasus yang mungkin terjadi:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и pada Δρ yang cukup kecil. Oleh karena itu, di beberapa lingkungan M 0 f (x 0 + Δ x, kamu 0 +Δ kamu)< f (x 0 , kamu 0), itu adalah M 0– titik maksimum.

2) Biarkan AC–B² > 0, SEBUAH > 0. Kemudian , Dan M 0– poin minimum.

3) Biarkan AC-B² < 0, A> 0. Perhatikan pertambahan argumen sepanjang sinar φ = 0. Maka dari (5.1) berikut ini , yaitu ketika bergerak sepanjang sinar ini, fungsinya meningkat. Jika kita bergerak sepanjang sinar sedemikian rupa sehingga tg φ 0 = -A/B, Itu , oleh karena itu, ketika bergerak sepanjang sinar ini, fungsinya berkurang. Jadi, titik M 0 bukanlah suatu titik ekstrem.

3`) Kapan AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

mirip dengan yang sebelumnya.

3``) Jika AC–B² < 0, A= 0, maka . Di mana . Kemudian untuk φ yang cukup kecil, ekspresi 2 B cosφ + C sinφ mendekati 2 DI DALAM, artinya, ia mempertahankan tanda konstan, tetapi sinφ berubah tanda di sekitar titik tersebut M 0. Artinya pertambahan fungsi berubah tanda di sekitar titik stasioner, sehingga bukan merupakan titik ekstrem.

4) Jika AC–B² = 0, dan , , yaitu tanda kenaikan ditentukan oleh tanda 2α 0. Pada saat yang sama, penelitian lebih lanjut diperlukan untuk memperjelas pertanyaan tentang keberadaan ekstrem.

Contoh. Mari kita cari titik ekstrem dari fungsi tersebut z = x² - 2 xy+ 2kamu² + 2 X. Untuk mencari titik stasioner, kita menyelesaikan sistemnya . Jadi titik stasionernya adalah (-2,-1). Di mana SEBUAH = 2, DI DALAM = -2, DENGAN= 4. Lalu AC–B² = 4 > 0, maka pada titik stasioner tercapai titik ekstrim yaitu minimum (karena A > 0).

Definisi 5.4. Jika argumen fungsi f (x 1 , x 2 ,…, xn) terhubung kondisi tambahan sebagai M persamaan ( M< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, xn) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, xn) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, xn) = 0, (5.2)

dimana fungsi φ i mempunyai turunan parsial kontinu, maka persamaan (5.2) disebut persamaan koneksi.

Definisi 5.5. Fungsi ekstrem f (x 1 , x 2 ,…, xn) ketika kondisi (5.2) terpenuhi, itu disebut ekstrem bersyarat.

Komentar. Kami dapat menawarkan interpretasi geometris berikut dari ekstrem bersyarat suatu fungsi dua variabel: biarkan argumen fungsi tersebut f(x,y) dihubungkan dengan persamaan φ (x,y)= 0, mendefinisikan beberapa kurva pada bidang O xy. Merekonstruksi garis tegak lurus bidang O dari setiap titik kurva ini xy hingga bersinggungan dengan permukaan z = f (x,y), kita memperoleh kurva spasial yang terletak pada permukaan di atas kurva φ (x,y)= 0. Tugasnya adalah menemukan titik ekstrem dari kurva yang dihasilkan, yang, tentu saja, secara umum tidak bertepatan dengan titik ekstrem tanpa syarat dari fungsi tersebut f(x,kamu).

Mari kita tentukan kondisi yang diperlukan untuk ekstrem bersyarat untuk fungsi dua variabel dengan terlebih dahulu memperkenalkan definisi berikut:

Definisi 5.6. Fungsi L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Di mana aku – ada pula yang konstan, disebut Fungsi lagrange, dan angkanya aku– pengganda Lagrange tak terbatas.

Teorema 5.3(kondisi yang diperlukan untuk ekstrem bersyarat). Ekstrem bersyarat suatu fungsi z = f (x, kamu) dengan adanya persamaan kopling φ ( x, kamu)= 0 hanya dapat dicapai pada titik stasioner fungsi Lagrange L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Bukti. Persamaan kopling menentukan hubungan implisit pada dari X, oleh karena itu kami akan berasumsi demikian pada ada fungsi dari X: kamu = kamu(x). Kemudian z Ada fungsi yang kompleks dari X, dan titik kritisnya ditentukan oleh kondisi: . (5.4) Dari persamaan kopling berikut ini . (5.5)

Mari kita kalikan persamaan (5.5) dengan suatu bilangan λ dan tambahkan ke (5.4). Kita mendapatkan:

, atau .

Persamaan terakhir harus dipenuhi pada titik-titik stasioner, yang sebagai berikut:

(5.6)

Sebuah sistem tiga persamaan untuk tiga hal yang tidak diketahui diperoleh: x, kamu dan λ, dan dua persamaan pertama merupakan syarat titik stasioner fungsi Lagrange. Dengan mengecualikan λ bantu yang tidak diketahui dari sistem (5.6), kita menemukan koordinat titik-titik di mana fungsi asli dapat memiliki ekstrem bersyarat.

Catatan 1. Keberadaan ekstrem bersyarat pada titik ditemukan dapat diperiksa dengan mempelajari turunan parsial orde kedua fungsi Lagrange dengan analogi Teorema 5.2.

Catatan 2. Titik di mana kondisi ekstrem dari fungsi tersebut dapat dicapai f (x 1 , x 2 ,…, xn) ketika kondisi (5.2) terpenuhi, dapat didefinisikan sebagai solusi sistem (5.7)

Contoh. Mari kita cari ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut z = xy mengingat bahwa x + kamu= 1. Mari kita buat fungsi Lagrange L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) terlihat seperti ini:

Dimana -2λ=1, λ=-0,5, x = kamu = -λ = 0,5. Di mana P(x,y) dapat direpresentasikan dalam bentuk L(x, kamu) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, maka pada titik stasioner ditemukan P(x,y) memiliki maksimum, dan z = xy – maksimum bersyarat.

Definisi1: Suatu fungsi dikatakan mempunyai maksimum lokal di suatu titik jika terdapat lingkungan dari titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk titik mana pun M dengan koordinat (x, kamu) ketimpangan berlaku: . Dalam hal ini, yaitu kenaikan fungsi< 0.

Definisi2: Suatu fungsi dikatakan mempunyai minimum lokal di suatu titik jika terdapat lingkungan dari titik tersebut sedemikian rupa sehingga untuk titik mana pun M dengan koordinat (x, kamu) ketimpangan berlaku: . Dalam hal ini, yaitu kenaikan fungsi > 0.

Definisi 3: Titik minimum dan maksimum lokal disebut titik ekstrem.

Ekstrem Bersyarat

Saat mencari ekstrem dari suatu fungsi banyak variabel, sering kali muncul masalah yang berkaitan dengan apa yang disebut ekstrem bersyarat. Konsep ini dapat dijelaskan dengan menggunakan contoh fungsi dua variabel.

Biarkan suatu fungsi dan garis diberikan L di permukaan 0xy. Tugasnya adalah untuk ikut serta L menemukan titik seperti itu P(x, y), dimana nilai suatu fungsi paling besar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi tersebut di titik-titik pada garis L, terletak di dekat titik tersebut P. Poin-poin tersebut P disebut titik ekstrem bersyarat fungsi secara online L. Berbeda dengan titik ekstrem biasa, nilai fungsi pada titik ekstrem bersyarat dibandingkan dengan nilai fungsi tidak di semua titik lingkungannya, tetapi hanya di titik yang terletak pada garis. L.

Sangat jelas bahwa intinya adalah ekstrem biasa (mereka juga mengatakan ekstrem tanpa syarat) juga merupakan titik ekstrem bersyarat untuk setiap garis yang melalui titik ini. Tentu saja kebalikannya tidak benar: titik ekstrem bersyarat mungkin bukan titik ekstrem biasa. Izinkan saya menjelaskan apa yang saya katakan dengan contoh sederhana. Grafik fungsinya adalah belahan bumi atas (Lampiran 3 (Gbr. 3)).

Fungsi ini mempunyai nilai maksimum pada titik asal; titik puncaknya sesuai dengan itu M belahan bumi. Jika garis L ada garis yang melalui titik-titik tersebut A Dan DI DALAM(persamaannya x+y-1=0), maka secara geometris jelas bahwa untuk titik-titik pada garis ini nilai tertinggi fungsi dicapai pada suatu titik yang terletak di tengah-tengah antara titik-titik tersebut A Dan DI DALAM. Ini adalah titik ekstrem bersyarat (maksimum) dari fungsi pada garis ini; itu sesuai dengan titik M 1 di belahan bumi, dan dari gambar tersebut jelas bahwa tidak ada pembicaraan tentang ekstrem biasa di sini.

Perhatikan bahwa pada bagian akhir soal mencari nilai terbesar dan terkecil dari fungsi in daerah tertutup kita harus mencari nilai ekstrim dari fungsi tersebut pada batas daerah ini, yaitu. pada beberapa baris, dan dengan demikian memecahkan masalah ekstrem bersyarat.

Sekarang mari kita lanjutkan ke pencarian praktis untuk titik ekstrem bersyarat dari fungsi Z= f(x, y) dengan syarat variabel x dan y dihubungkan dengan persamaan (x, y) = 0. Kita akan menyebut relasi ini sebagai persamaan koneksi. Jika dari persamaan kopling y dapat dinyatakan secara eksplisit dalam x: y=(x), kita memperoleh fungsi dari satu variabel Z= f(x, (x)) = Ф(x).

Setelah menemukan nilai x di mana fungsi ini mencapai titik ekstrem, dan kemudian menentukan nilai y yang sesuai dari persamaan koneksi, kita memperoleh titik ekstrem bersyarat yang diinginkan.

Jadi, pada contoh di atas, dari persamaan relasi x+y-1=0 kita mendapatkan y=1-x. Dari sini

Sangat mudah untuk memeriksa bahwa z mencapai maksimum pada x = 0,5; tapi kemudian dari persamaan koneksi y = 0,5, dan kita mendapatkan titik P yang tepat, ditemukan dari pertimbangan geometris.

Masalah ekstrem bersyarat sangat mudah diselesaikan meskipun persamaan koneksi dapat direpresentasikan persamaan parametrik x=x(t), y=y(t). Mengganti ekspresi x dan y ke dalam fungsi ini, kita kembali dihadapkan pada masalah mencari ekstrem dari suatu fungsi dari satu variabel.

Jika persamaan kopling memiliki lebih dari tampilan yang rumit dan kita tidak dapat secara eksplisit menyatakan satu variabel ke dalam variabel lain, atau menggantinya dengan persamaan parametrik, maka tugas menemukan ekstrem bersyarat menjadi lebih sulit. Kita akan terus berasumsi bahwa dalam ekspresi fungsi z= f(x, y) variabel (x, y) = 0. Turunan total dari fungsi z= f(x, y) sama dengan:

Dimana turunan y` ditemukan menggunakan aturan diferensiasi fungsi implisit. Pada titik-titik ekstrem bersyarat, turunan total yang ditemukan harus sama dengan nol; ini memberikan satu persamaan yang menghubungkan x dan y. Karena keduanya juga harus memenuhi persamaan kopling, kita memperoleh sistem dua persamaan dengan dua persamaan yang tidak diketahui

Mari kita ubah sistem ini menjadi sistem yang lebih mudah dengan menuliskan persamaan pertama dalam bentuk proporsi dan memperkenalkan bantu baru yang tidak diketahui:

(tanda minus di depan untuk kenyamanan). Dari persamaan ini mudah untuk berpindah ke sistem berikut:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

yang bersama-sama dengan persamaan koneksi (x, y) = 0, membentuk sistem tiga persamaan yang tidak diketahui x, y dan.

Persamaan (*) ini paling mudah diingat dengan menggunakan aturan berikut: untuk mencari titik yang dapat menjadi titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut

Z= f(x, y) dengan persamaan koneksi (x, y) = 0, Anda perlu membentuk fungsi bantu

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Dimana suatu konstanta, dan buat persamaan untuk mencari titik ekstrem dari fungsi ini.

Sistem persamaan yang ditunjukkan, sebagai suatu peraturan, hanya menyediakan kondisi yang diperlukan, yaitu. tidak setiap pasangan nilai x dan y yang memenuhi sistem ini harus merupakan titik ekstrem bersyarat. Saya tidak akan memberikan kondisi yang cukup untuk titik-titik ekstrem bersyarat; seringkali isi spesifik dari masalah itu sendiri menunjukkan apa inti permasalahannya. Teknik yang dijelaskan untuk memecahkan masalah pada ekstrem bersyarat disebut metode pengali Lagrange.

Contoh

Temukan ekstrem dari fungsi yang disediakan X Dan pada dihubungkan oleh relasi: . Secara geometris, masalahnya berarti sebagai berikut: pada elips
pesawat
.

Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara berikut: dari persamaan
kami menemukan
X:

dengan ketentuan
, direduksi menjadi masalah mencari titik ekstrem suatu fungsi dari satu variabel pada interval
.

Secara geometris, masalahnya berarti sebagai berikut: pada elips , diperoleh dengan melintasi silinder
pesawat
, Anda perlu mencari nilai maksimum atau minimum dari aplikasi tersebut (Gbr.9). Masalah ini dapat diselesaikan dengan cara berikut: dari persamaan
kami menemukan
. Mengganti nilai y yang ditemukan ke dalam persamaan bidang, kita memperoleh fungsi satu variabel X:

Jadi, masalah mencari ekstrem dari fungsi tersebut
dengan ketentuan
, direduksi menjadi masalah mencari ekstrem dari suatu fungsi dari satu variabel pada suatu interval.

Jadi, masalah menemukan ekstrem bersyarat– ini adalah masalah menemukan titik ekstrem dari fungsi tujuan
, asalkan variabelnya X Dan pada tunduk pada pembatasan
, ditelepon persamaan koneksi.

Katakanlah itu dot
, memenuhi persamaan kopling, adalah titik maksimum bersyarat lokal (minimum), jika ada lingkungan
sedemikian rupa sehingga untuk poin apa pun
, yang koordinatnya memenuhi persamaan koneksi, maka pertidaksamaan terpenuhi.

Jika dari persamaan kopling dapat dicari ekspresi untuknya pada, kemudian dengan mensubstitusi ekspresi ini ke dalam fungsi aslinya, kita mengubah fungsi aslinya menjadi fungsi kompleks dari satu variabel X.

Metode umum untuk menyelesaikan masalah ekstrem bersyarat adalah Metode pengali Lagrange. Mari kita buat fungsi bantu, dimana ─ beberapa nomor. Fungsi ini disebut Fungsi lagrange, A ─ Pengganda Lagrange. Dengan demikian, tugas menemukan ekstrem bersyarat telah direduksi menjadi menemukan titik ekstrem lokal untuk fungsi Lagrange. Untuk menemukan kemungkinan titik ekstrem, Anda perlu menyelesaikan sistem 3 persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui x, kamu Dan.

Maka Anda harus menggunakan kondisi cukup berikut ini secara ekstrem.

DALIL. Biarkan titik tersebut menjadi titik ekstrem yang mungkin untuk fungsi Lagrange. Mari kita asumsikan bahwa di sekitar titik tersebut
ada turunan parsial kontinu dari fungsi orde kedua Dan . Mari kita tunjukkan

Lalu jika
, Itu
─ titik ekstrem bersyarat dari fungsi tersebut
dengan persamaan kopling
dalam hal ini, jika
, Itu
─ titik minimum bersyarat, jika
, Itu
─ titik maksimum bersyarat.

§8. Turunan gradien dan terarah

Biarkan fungsinya
didefinisikan di beberapa wilayah (terbuka). Pertimbangkan hal apa pun
luas ini dan setiap garis lurus berarah (sumbu) , melewati titik ini (Gbr. 1). Membiarkan
- beberapa titik lain pada sumbu ini,
– panjang ruas antara
Dan
, diambil dengan tanda plus, jika arahnya
bertepatan dengan arah sumbu , dan dengan tanda minus jika arahnya berlawanan.

Membiarkan
mendekat tanpa batas waktu
. Membatasi

ditelepon turunan suatu fungsi
terhadap (atau sepanjang sumbu ) dan dilambangkan sebagai berikut:

.

Turunan ini mencirikan “laju perubahan” fungsi pada suatu titik
terhadap . Khususnya, turunan parsial biasa ,juga dapat dianggap sebagai turunan "sehubungan dengan arah".

Sekarang mari kita asumsikan fungsinya
memiliki turunan parsial kontinu di wilayah yang dipertimbangkan. Biarkan porosnya membentuk sudut dengan sumbu koordinat
Dan . Berdasarkan asumsi yang dibuat, turunan terarah ada dan dinyatakan dengan rumus

.

Jika vektor
diberikan oleh koordinatnya
, maka turunan dari fungsi tersebut
dalam arah vektor
dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

.

Vektor dengan koordinat
ditelepon vektor gradien fungsi
pada intinya
. Vektor gradien menunjukkan arah kenaikan fungsi tercepat pada suatu titik tertentu.

Contoh

Diberikan suatu fungsi, titik A(1, 1) dan vektor
. Temukan: 1)grad z di titik A; 2) turunan di titik A searah vektor .

Turunan parsial suatu fungsi tertentu di suatu titik
:

;
.

Maka vektor gradien dari fungsi pada titik ini adalah:
. Vektor gradien juga dapat ditulis menggunakan dekomposisi vektor Dan :

. Turunan dari suatu fungsi dalam arah vektor :

Jadi,
,
.◄

Ekstrem bersyarat.

Ekstrem suatu fungsi beberapa variabel

Metode kuadrat terkecil.

Ekstrem lokal FNP

Biarkan fungsinya diberikan Dan= F(P), РÎDÌR N dan biarkan titik P 0 ( A 1 , A 2 , ..., sebuah hal) –intern titik himpunan D.

Definisi 9.4.

1) Titik P 0 disebut titik maksimum fungsi Dan= F(P), jika terdapat lingkungan di titik ini U(P 0) М D sedemikian rupa sehingga untuk sembarang titik P( X 1 , X 2 , ..., xn)О U(P 0) , Р¹Р 0 , kondisi terpenuhi F(P)£ F(P 0) . Arti F(P 0) fungsi pada titik maksimum disebut maksimal dari fungsinya dan ditunjuk F(P0) = maks F(P) .

2) Titik P 0 disebut poin minimum fungsi Dan= F(P), jika terdapat lingkungan di titik ini U(P 0)Ì D sehingga untuk sembarang titik P( X 1 , X 2 , ..., xn)ОU(P 0), Р¹Р 0 , kondisi terpenuhi F(P)³ F(P 0) . Arti F(P 0) fungsi pada titik minimum disebut fungsi minimal dan ditunjuk F(P 0) = menit F(P).

Titik minimum dan maksimum suatu fungsi disebut titik ekstrim, nilai fungsi pada titik ekstrem disebut ekstrem dari fungsi tersebut.

Berikut definisinya, yaitu ketidaksetaraan F(P)£ F(P 0) , F(P)³ F(P 0) harus dipenuhi hanya di lingkungan tertentu dari titik P 0, dan tidak di seluruh domain definisi fungsi, yang berarti bahwa fungsi tersebut dapat memiliki beberapa ekstrem yang bertipe sama (beberapa minimum, beberapa maksimum) . Oleh karena itu, ekstrem yang didefinisikan di atas disebut lokal(lokal) ekstrem.

Teorema 9.1.( kondisi yang diperlukan ekstrem dari FNP)

Jika fungsinya Dan= F(X 1 , X 2 , ..., xn) mempunyai titik ekstrem di titik P 0 , maka turunan parsial orde pertamanya di titik ini sama dengan nol atau tidak ada.

Bukti. Misalkan pada titik P 0 ( A 1 , A 2 , ..., sebuah hal) fungsi Dan= F(P) mempunyai titik ekstrim, misalnya maksimum. Mari kita perbaiki argumennya X 2 , ..., xn, menempatkan X 2 =A 2 ,..., xn = sebuah hal. Kemudian Dan= F(P) = F 1 ((X 1 , A 2 , ..., sebuah hal) adalah fungsi dari satu variabel X 1 . Karena fungsi ini memiliki X 1 = A 1 ekstrem (maksimum), lalu F 1 ¢=0atau tidak ada kapan X 1 =A 1 (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan fungsi ekstrem dari satu variabel). Tapi, itu berarti ada atau tidaknya titik P 0 – titik ekstrim. Demikian pula, kita dapat mempertimbangkan turunan parsial terhadap variabel lain. CTD.

Titik-titik dalam domain suatu fungsi yang turunan parsial orde pertama sama dengan nol atau tidak ada disebut poin kritis fungsi ini.

Sebagai berikut dari Teorema 9.1, titik ekstrem FNP harus dicari di antara titik kritis fungsi tersebut. Namun, untuk fungsi satu variabel, tidak semua titik kritis merupakan titik ekstrem.

Teorema 9.2 (kondisi cukup untuk ekstrem FNP)

Misalkan P 0 menjadi titik kritis fungsi tersebut Dan= F(P) dan adalah diferensial orde kedua dari fungsi ini. Kemudian

dan jika D 2 kamu(P 0) > 0 pada , maka P 0 adalah suatu titik minimum fungsi Dan= F(P);

b) jika D 2 kamu(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum fungsi Dan= F(P);

c) jika D 2 kamu(P 0) tidak ditentukan tandanya, maka P 0 bukan merupakan titik ekstrem;

Kami akan mempertimbangkan teorema ini tanpa bukti.

Perhatikan bahwa teorema ini tidak mempertimbangkan kasus kapan D 2 kamu(P 0) = 0 atau tidak ada. Ini berarti bahwa pertanyaan tentang keberadaan ekstrem di titik P 0 dalam kondisi seperti itu tetap terbuka - kita membutuhkannya penelitian tambahan, misalnya, mempelajari kenaikan suatu fungsi pada titik ini.

Pada mata kuliah matematika lebih detail terbukti, khususnya untuk fungsi z = f(X,kamu) dari dua variabel, diferensial orde kedua adalah jumlah dari bentuk

studi tentang keberadaan ekstrem pada titik kritis P 0 dapat disederhanakan.

Mari kita nyatakan , , . Mari kita buat determinannya

.

Ternyata:

D 2 z> 0 di titik P 0, mis. P 0 – titik minimum, jika A(P 0) > 0 dan D(P 0) > 0;

D 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

jika D(P 0)< 0, то D 2 z di sekitar titik P 0 berubah tanda dan tidak ada titik ekstrem di titik P 0;

jika D(Р 0) = 0, maka diperlukan studi tambahan tentang fungsi di sekitar titik kritis Р 0.

Jadi, untuk fungsinya z = f(X,kamu) dari dua variabel kita memiliki algoritma berikut (sebut saja “algoritma D”) untuk mencari ekstrem:

1) Temukan domain definisi D( F) fungsi.

2) Temukan titik kritis, mis. poin dari D( F), yang dan sama dengan nol atau tidak ada.

3) Pada setiap titik kritis P 0, periksa kondisi ekstrem yang cukup. Untuk melakukan ini, temukan , dimana , , dan hitung D(P 0) dan A(P 0).Kemudian:

jika D(P 0) >0, maka di titik P 0 terdapat titik ekstrem, dan jika A(P 0) > 0 – maka ini adalah minimum, dan jika A(P 0)< 0 – максимум;

jika D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Jika D(P 0) = 0, maka diperlukan penelitian tambahan.

4) Pada titik ekstrem yang ditemukan, hitung nilai fungsinya.

Contoh 1.

Temukan ekstrem dari fungsinya z = X 3 + 8kamu 3 – 3xy .

Larutan. Daerah definisi fungsi ini adalah seluruh bidang koordinat. Mari kita temukan titik kritisnya.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Mari kita periksa apakah kondisi ekstrem terpenuhi. Kami akan menemukannya

6X, = -3, = 48pada Dan = 288xy – 9.

Maka D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – pada titik Р 1 terdapat titik ekstrem, dan karena A(P 1) = 3 >0, maka titik ekstrem ini adalah minimum. Jadi min z=z(P 1) = .

Contoh 2.

Temukan ekstrem dari fungsinya .

Solusi: D( F) =R 2 . Poin penting: ; tidak ada kapan pada= 0, artinya P 0 (0,0) merupakan titik kritis fungsi ini.

2, = 0, = , = , tetapi D(P 0) tidak terdefinisi, sehingga mempelajari tandanya tidak mungkin.

Untuk alasan yang sama, tidak mungkin menerapkan Teorema 9.2 secara langsung - D 2 z tidak ada pada saat ini.

Mari kita pertimbangkan kenaikan fungsinya F(X, kamu) di titik P 0. Jika D F =F(P) - F(P 0)>0" P, maka P 0 adalah titik minimum, tetapi jika D F < 0, то Р 0 – точка максимума.

Dalam kasus kami, kami punya

D F = F(X, kamu) – F(0, 0) = F(0+D X,0+D kamu) – F(0, 0) = .

Di D X= 0,1 dan D kamu= -0,008 kita mendapat D F = 0,01 – 0,2 < 0, а при DX= 0,1 dan D kamu= 0,001D F= 0,01 + 0,1 > 0, mis. di sekitar titik P 0 kondisi D tidak terpenuhi F <0 (т.е. F(X, kamu) < F(0, 0) dan oleh karena itu P 0 bukan titik maksimum), begitu pula kondisi D F>0 (yaitu F(X, kamu) > F(0, 0) dan kemudian P 0 bukan titik minimum). Jadi, menurut definisi ekstrem, fungsi ini tidak memiliki ekstrem.

Ekstrem bersyarat.

Fungsi ekstrem yang dianggap disebut tak bersyarat, karena tidak ada batasan (kondisi) yang dikenakan pada argumen fungsi.

Definisi 9.2. Fungsi ekstrem Dan = F(X 1 , X 2 , ... , xn), ditemukan dengan syarat argumennya X 1 , X 2 , ... , xn memenuhi persamaan j 1 ( X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, …,j T(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0, dimana P ( X 1 , X 2 , ... , xn) О D( F), ditelepon ekstrem bersyarat .

Persamaan j k(X 1 , X 2 , ... , xn) = 0 , k = 1, 2,..., M, disebut persamaan koneksi.

Mari kita lihat fungsinya z = f(X,kamu) dua variabel. Jika persamaan koneksinya satu, mis. , maka mencari ekstrem bersyarat berarti ekstrem tersebut dicari bukan di seluruh domain definisi fungsi, tetapi pada beberapa kurva yang terletak di D( F) (artinya, bukan titik tertinggi atau terendah dari permukaan yang dicari z = f(X,kamu), dan titik tertinggi atau terendah di antara titik potong permukaan ini dengan silinder, Gambar 5).

Ekstrem bersyarat suatu fungsi z = f(X,kamu) dari dua variabel dapat dicari dengan cara berikut( metode eliminasi). Dari persamaan tersebut, nyatakan salah satu variabel sebagai fungsi variabel lain (misalnya, tulis ) dan, substitusikan nilai variabel ini ke dalam fungsi, tuliskan variabel terakhir sebagai fungsi dari satu variabel (dalam kasus yang dipertimbangkan ). Temukan ekstrem dari fungsi yang dihasilkan dari satu variabel.