Fungsi kamu = f (X) adalah hukum (aturan) yang menyatakan bahwa setiap elemen x dari himpunan X dikaitkan dengan satu dan hanya satu elemen y dari himpunan Y.
Elemen x ∈ X ditelepon argumen fungsi atau variabel bebas.
Elemen y ∈ kamu ditelepon nilai fungsi atau variabel tak bebas.
Himpunan X disebut domain fungsi.
Kumpulan elemen y ∈ kamu, yang memiliki gambar awal di himpunan X, disebut area atau kumpulan nilai fungsi.
Fungsi sebenarnya dipanggil dibatasi dari atas (dari bawah), jika terdapat bilangan M sehingga pertidaksamaan berlaku untuk semua:
.
Fungsi bilangan disebut terbatas, jika ada bilangan M sehingga untuk semua:
.
Tepi atas atau tepat batas atas
Fungsi real disebut bilangan terkecil yang membatasi rentang nilainya dari atas. Artinya, ini adalah bilangan s yang, untuk semua orang dan siapa pun, terdapat argumen yang nilai fungsinya melebihi s′: .
Batas atas suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.
Masing-masing tepi bawah atau batas bawah yang tepat Fungsi real disebut bilangan terbesar yang membatasi rentang nilainya dari bawah. Artinya, ini adalah bilangan i yang, untuk semua orang dan siapa pun, terdapat argumen yang nilai fungsinya lebih kecil dari i′: .
Nilai terkecil suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.
Menentukan limit suatu fungsi
Penentuan limit suatu fungsi menurut Cauchy
Batas terbatas suatu fungsi di titik akhir
Biarkan fungsi tersebut terdefinisi di lingkungan tertentu dari titik akhir, dengan kemungkinan pengecualian pada titik itu sendiri. pada suatu titik jika ada hal seperti itu yang bergantung pada hal tersebut untuk semua x yang memiliki pertidaksamaan
.
Limit suatu fungsi dinotasikan sebagai berikut:
.
Atau di .
Dengan menggunakan simbol logika eksistensi dan universalitas, definisi limit suatu fungsi dapat dituliskan sebagai berikut:
.
Batasan sepihak.
Batas kiri suatu titik (batas sisi kiri):
.
Batas kanan pada suatu titik (batas kanan):
.
Batas kiri dan kanan sering dilambangkan sebagai berikut:
;
.
Batas terbatas suatu fungsi pada titik tak terhingga
Batas pada titik tak terhingga ditentukan dengan cara yang sama.
.
.
.
Mereka sering disebut sebagai:
;
;
.
Menggunakan konsep lingkungan suatu titik
Jika kita memperkenalkan konsep lingkungan tertusuk suatu titik, maka kita dapat memberikan definisi terpadu tentang limit berhingga suatu fungsi pada titik berhingga dan jarak tak terhingga:
.
Di sini untuk titik akhir
;
;
.
Setiap lingkungan titik di tak terhingga tertusuk:
;
;
.
Batas Fungsi Tak Terbatas
Definisi
Biarkan fungsi tersebut didefinisikan di lingkungan titik yang tertusuk (berhingga atau tak terhingga). Batas fungsi f (X) sebagai x → x 0
sama dengan tak terhingga, jika untuk sembarang bilangan M yang besar > 0
, ada bilangan δ M > 0
, bergantung pada M, bahwa untuk semua x yang termasuk dalam δ M yang tertusuk - lingkungan titik: , pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Batas tak hingga dilambangkan sebagai berikut:
.
Atau di .
Dengan menggunakan simbol logika eksistensi dan universalitas, definisi limit tak terhingga suatu fungsi dapat dituliskan sebagai berikut:
.
Anda juga dapat memperkenalkan definisi batas tak terhingga dari tanda-tanda tertentu yang sama dengan dan :
.
.
Definisi universal dari limit suatu fungsi
Dengan menggunakan konsep lingkungan suatu titik, kita dapat memberikan definisi universal tentang limit suatu fungsi yang berhingga dan tak terhingga, yang dapat diterapkan baik untuk titik-titik berhingga (dua sisi dan satu sisi) maupun yang jauhnya tak terhingga:
.
Penentuan limit suatu fungsi menurut Heine
Biarkan fungsi tersebut didefinisikan pada himpunan X:.
Bilangan a disebut limit fungsi pada titik:
,
jika suatu barisan konvergen ke x 0
:
,
yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan X: ,
.
Mari kita tulis definisi ini dengan menggunakan simbol logis keberadaan dan universalitas:
.
Jika kita mengambil lingkungan sisi kiri titik x sebagai himpunan X 0 , maka kita memperoleh definisi limit kiri. Jika bertangan kanan, maka diperoleh definisi limit siku-siku. Jika kita mengambil lingkungan suatu titik di tak terhingga sebagai himpunan X, kita memperoleh definisi limit suatu fungsi di tak terhingga.
Dalil
Definisi Cauchy dan Heine tentang limit suatu fungsi adalah ekuivalen.
Bukti
Sifat dan teorema limit suatu fungsi
Selanjutnya, kita asumsikan bahwa fungsi-fungsi yang dipertimbangkan didefinisikan di lingkungan titik yang bersesuaian, yang merupakan bilangan berhingga atau salah satu simbol: . Bisa juga berupa titik batas satu sisi, yaitu berbentuk atau . Lingkungan tersebut bersifat dua sisi untuk batas dua sisi dan satu sisi untuk batas satu sisi.
Properti dasar
Jika nilai fungsi f (X) mengubah (atau membuat tidak terdefinisi) sejumlah titik x yang terbatas 1, x 2, x 3, ... xn, maka perubahan ini tidak akan mempengaruhi keberadaan dan nilai limit fungsi pada titik sembarang x 0 .
Jika terdapat limit berhingga, maka terdapat lingkungan tertusuk dari titik x 0
, di mana fungsinya f (X) terbatas:
.
Biarkan fungsinya berada di titik x 0
batas terbatas bukan nol:
.
Kemudian, untuk sembarang bilangan c dari interval , terdapat lingkungan titik x yang tertusuk 0
untuk apa,
, Jika ;
, Jika .
Jika, pada lingkungan titik yang tertusuk, , adalah sebuah konstanta, maka .
Jika terdapat batas berhingga dan dan pada suatu lingkungan tertusuk dari titik x 0
,
Itu .
Jika , dan di beberapa lingkungan titik tersebut
,
Itu .
Khususnya, jika berada di lingkungan suatu titik
,
lalu jika , maka dan ;
jika , maka dan .
Jika pada suatu lingkungan tertusuk suatu titik x 0
:
,
dan ada batas-batas yang sama yang terbatas (atau tidak terbatas dari tanda tertentu):
, Itu
.
Bukti properti utama diberikan di halaman
"Sifat dasar limit suatu fungsi."
Sifat aritmatika dari limit suatu fungsi
Biarkan fungsi dan didefinisikan di beberapa lingkungan titik yang tertusuk . Dan biarlah ada batasan yang terbatas:
Dan .
Dan misalkan C adalah suatu konstanta, yaitu suatu bilangan tertentu. Kemudian
;
;
;
, Jika .
Jika kemudian.
Bukti sifat aritmatika diberikan di halaman
"Sifat aritmatika dari batas suatu fungsi".
Kriteria Cauchy untuk keberadaan limit suatu fungsi
Dalil
Agar suatu fungsi terdefinisi pada suatu lingkungan tertusuk pada titik x yang berhingga atau tak terhingga 0
, memiliki batas yang terbatas pada saat ini, maka perlu dan cukup untuk sembarang ε > 0
ada lingkungan yang tertusuk di titik x 0
, bahwa untuk setiap titik dan dari lingkungan ini, pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Batas fungsi kompleks
Batasi teorema fungsi yang kompleks
Biarkan fungsi tersebut mempunyai batas dan petakan lingkungan titik yang tertusuk ke lingkungan titik yang tertusuk. Biarkan fungsi tersebut didefinisikan pada lingkungan ini dan mempunyai batasnya.
Berikut adalah titik akhir atau jarak yang tak terhingga: . Lingkungan dan batas-batasnya dapat bersifat dua sisi atau satu sisi.
Maka ada limit suatu fungsi kompleks dan sama dengan:
.
Teorema limit suatu fungsi kompleks diterapkan ketika fungsi tersebut tidak terdefinisi pada suatu titik atau mempunyai nilai yang berbeda dari limitnya. Untuk menerapkan teorema ini, harus ada lingkungan titik yang tertusuk di mana himpunan nilai fungsi tidak mengandung titik tersebut:
.
Jika fungsinya kontinu di titik tersebut , maka tanda limit dapat diterapkan pada argumennya fungsi berkelanjutan:
.
Berikut teorema yang berkaitan dengan kasus tersebut.
Teorema limit fungsi kontinu suatu fungsi
Misalkan ada limit dari fungsi g (T) sebagai t → t 0
, dan itu sama dengan x 0
:
.
Ini poin t 0
bisa terbatas atau jauh tak terhingga: .
Dan biarkan fungsinya f (X) kontinu di titik x 0
.
Maka terdapat limit dari fungsi kompleks f (g(t)), dan itu sama dengan f (x0):
.
Bukti teorema diberikan di halaman
“Batas dan kesinambungan suatu fungsi yang kompleks”.
Fungsi yang sangat kecil dan sangat besar
Fungsi yang sangat kecil
Definisi
Suatu fungsi dikatakan sangat kecil jika
.
Jumlah, selisih dan hasil kali dari sejumlah fungsi yang sangat kecil di adalah fungsi yang sangat kecil di .
Hasil kali suatu fungsi dibatasi pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, hingga suatu fungsi yang sangat kecil di adalah fungsi yang sangat kecil di .
Agar suatu fungsi mempunyai limit yang berhingga, maka hal itu perlu dan cukup
,
dimana - tanpa batas fungsi kecil pada .
"Properti fungsi yang sangat kecil".
Fungsi yang sangat besar
Definisi
Suatu fungsi dikatakan sangat besar jika
.
Jumlah atau selisih suatu fungsi yang dibatasi, pada suatu lingkungan titik yang tertusuk, dan suatu fungsi yang besarnya tak terhingga di tak terhingga fungsi yang bagus pada .
Jika fungsi tersebut sangat besar untuk , dan fungsi tersebut dibatasi pada suatu lingkungan titik yang tertusuk , maka
.
Jika fungsinya , pada suatu lingkungan titik yang tertusuk , memenuhi pertidaksamaan:
,
dan fungsinya sangat kecil di:
, dan (pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk), lalu
.
Bukti properti disajikan di bagian
"Properti fungsi yang sangat besar".
Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil
Dari dua sifat sebelumnya berikut hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil.
Jika suatu fungsi sangat besar di , maka fungsi tersebut sangat kecil di .
Jika suatu fungsi sangat kecil untuk , dan , maka fungsi tersebut sangat besar untuk .
Hubungan antara fungsi yang sangat kecil dan fungsi yang sangat besar dapat dinyatakan secara simbolis:
,
.
Jika suatu fungsi yang sangat kecil mempunyai tanda tertentu di , yaitu positif (atau negatif) di suatu lingkungan titik yang tertusuk , maka fakta ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
.
Dengan cara yang sama, jika suatu fungsi yang besarnya tak terhingga mempunyai tanda tertentu di , maka dituliskan:
.
Kemudian hubungan simbolis antara fungsi yang sangat kecil dan fungsi yang sangat besar dapat dilengkapi dengan hubungan berikut:
,
,
,
.
Rumus tambahan terkait simbol tak terhingga dapat ditemukan di halaman
"Titik tak terhingga dan sifat-sifatnya."
Batasan fungsi monotonik
Definisi
Suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan real X disebut meningkat secara ketat, jika untuk semua pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Oleh karena itu, untuk sangat menurun fungsi yang dimiliki pertidaksamaan berikut:
.
Untuk tidak menurun:
.
Untuk tidak meningkat:
.
Oleh karena itu, fungsi yang meningkat secara ketat juga tidak menurun. Fungsi yang sangat menurun juga tidak meningkat.
Fungsinya disebut membosankan, apakah tidak berkurang atau tidak bertambah.
Dalil
Biarkan fungsi tersebut tidak berkurang pada interval dimana .
Jika di atas dibatasi oleh bilangan M: maka ada limit yang berhingga. Jika tidak dibatasi dari atas, maka .
Jika dibatasi dari bawah oleh bilangan m: maka ada limit yang berhingga. Jika tidak dibatasi dari bawah, maka .
Jika titik a dan b berada pada jarak tak terhingga, maka dalam persamaan tanda batas berarti .
Teorema ini dapat dirumuskan dengan lebih kompak.
Biarkan fungsi tersebut tidak berkurang pada interval dimana . Maka terdapat limit sepihak di titik a dan b:
;
.
Teorema serupa untuk fungsi tak bertambah.
Biarkan fungsinya tidak bertambah pada interval di mana . Lalu ada batasan sepihak:
;
.
Bukti teorema disajikan pada halaman
"Batas fungsi monotonik".
Referensi:
L.D. Kudryavtsev. Dengan baik analisis matematis. Jilid 1. Moskow, 2003.
CM. Nikolsky. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.
Larutan batas fungsi online. Temukan nilai batas suatu fungsi atau barisan fungsional pada suatu titik, hitung terakhir nilai fungsi di tak terhingga. menentukan konvergensi suatu deret bilangan dan masih banyak lagi yang dapat dilakukan berkat kami layanan daring- . Kami memungkinkan Anda menemukan batasan fungsi secara online dengan cepat dan akurat. Anda memasukkannya sendiri variabel fungsi dan batas yang diusahakan, layanan kami melakukan semua perhitungan untuk Anda, memberikan jawaban yang akurat dan sederhana. Dan untuk menemukan batasnya secara online Anda dapat memasukkan deret numerik dan fungsi analitik yang berisi konstanta dalam ekspresi literal. Dalam hal ini, limit fungsi yang ditemukan akan berisi konstanta-konstanta ini sebagai argumen konstanta dalam ekspresi. Layanan kami memecahkan masalah pencarian yang rumit batasan daring, cukup dengan menunjukkan fungsi dan titik yang perlu dihitung membatasi nilai fungsi. Menghitung batasan daring, Anda dapat gunakan berbagai metode dan aturan penyelesaiannya, sambil memeriksa hasil yang diperoleh dengan memecahkan batas secara online di www.site, yang akan mengarah pada keberhasilan penyelesaian tugas - Anda akan menghindari kesalahan dan kesalahan administrasi Anda sendiri. Atau Anda dapat sepenuhnya mempercayai kami dan menggunakan hasil kami dalam pekerjaan Anda, tanpa menghabiskan tenaga dan waktu ekstra untuk menghitung batas fungsi secara mandiri. Kami mengizinkan masukan nilai batas seperti tak terhingga. Penting untuk memasukkan anggota umum dari barisan bilangan dan www.situs akan menghitung nilainya batasi secara daring hingga plus atau minus tak terhingga.
Salah satu konsep dasar analisis matematis adalah batas fungsi Dan batas urutan pada suatu titik dan tak terhingga, penting untuk dapat menyelesaikannya dengan benar batas. Dengan layanan kami ini tidak akan sulit. Keputusan telah dibuat batasan daring dalam beberapa detik, jawabannya akurat dan lengkap. Kajian analisis matematis dimulai dengan transisi ke batas, batas digunakan di hampir semua bidang matematika tingkat tinggi, jadi akan berguna jika memiliki server solusi batas online, yang merupakan situsnya.
Limit suatu fungsi di suatu titik dan di
Limit suatu fungsi merupakan alat utama analisis matematis. Dengan bantuannya, kontinuitas suatu fungsi, turunan, integral, dan jumlah suatu deret selanjutnya ditentukan.
Biarkan fungsinya y=F(X)didefinisikan di beberapa lingkungan titik tersebut 
, kecuali mungkin maksudnya sendiri 
.
Mari kita merumuskan dua definisi ekuivalen dari limit suatu fungsi di suatu titik.
Definisi 1 (dalam “bahasa urutan”, atau menurut Heine). Nomor B ditelepon batas fungsinya
kamu=F(X)
pada intinya
(atau kapan 
), jika untuk rangkaian nilai argumen yang valid 
menyatu ke
(itu. 
), urutan nilai fungsi yang sesuai 
menyatu menjadi suatu bilangan B(itu. 
).
Dalam hal ini mereka menulis 
atau 
pada 
. Arti geometris dari limit suatu fungsi: 
berarti untuk semua poin X, cukup dekat dengan intinya
, nilai fungsi yang bersesuaian berbeda sesedikit yang diinginkan dari angka tersebut B.
Definisi 2 (dalam "bahasa", atau menurut Cauchy). Nomor B ditelepon batas fungsinya
kamu=F(X)
pada intinya
(atau kapan 
), jika untuk sembarang bilangan positif terdapat bilangan positif sehingga untuk semua 
memenuhi ketimpangan 
, ketimpangan tetap ada 
.
Tuliskan 
.
Definisi tersebut dapat ditulis secara singkat sebagai berikut:
perhatikan itu 
dapat ditulis seperti ini 
.
G 
arti geometris dari limit suatu fungsi: 
, jika untuk sembarang lingkungan titik B ada lingkungan dari titik tersebut
itu untuk semua orang 
dari lingkungan ini nilai fungsi yang sesuai F
(X) terletak di lingkungan titik B. Dengan kata lain, titik-titik pada grafik fungsi kamu
=
F
(X) terletak di dalam strip dengan lebar 2 yang dibatasi oleh garis lurus pada
= B + ,
pada = B (Gambar 17). Tentunya nilai bergantung pada pilihan , sehingga dituliskan = ().
Contoh Buktikan itu 
Larutan
. Mari kita ambil 0 dan carilah = () 0 sehingga untuk semua X 
, ketimpangan tetap ada 
. Sejak dari 
itu. 
, lalu mengambil 
, kami melihatnya untuk semua orang X, memuaskan ketimpangan 
, ketimpangan tetap ada 
. Karena itu, 
Contoh Buktikan jika F
(X) =
Dengan, Itu 
.
Larutan
. Untuk 
kamu bisa mengambilnya 
. Lalu di 
kita punya . Karena itu, 
.
Dalam menentukan limit suatu fungsi 
Hal ini diyakini bahwa X berjuang untuk
dengan cara apa pun: tersisa kurang dari
(di sebelah kiri
), lebih besar dari
(di sebelah kanan dari
), atau berfluktuasi di sekitar suatu titik
.
Ada kasus ketika metode memperkirakan suatu argumen X Ke
secara signifikan mempengaruhi nilai batas fungsi. Oleh karena itu, konsep limit satu sisi diperkenalkan.
Definisi. Nomor 
ditelepon batas fungsinya
kamu=F(X)
kiri
pada intinya
, jika untuk suatu bilangan 0 terdapat bilangan = () 0 sehingga untuk 
, ketimpangan tetap ada 
.
Batas di sebelah kiri ditulis sebagai berikut 
atau sebentar 
(Notasi Dirichlet) (Gambar 18).
Didefinisikan dengan cara yang sama batas fungsi di sebelah kanan , mari kita tulis menggunakan simbol:
Secara singkat, limit di sebelah kanan dilambangkan 
.
P 
Batas suatu fungsi di kiri dan kanan disebut batas satu arah
. Yang jelas, jika ada 
, maka kedua limit satu sisi tersebut ada, dan 
.
Kebalikannya juga benar: jika kedua limit tersebut ada 
Dan 
dan keduanya sama, maka ada batasnya 
Dan .
Jika 
, Itu 
tidak ada.
Definisi. Biarkan fungsinya kamu=F(X) didefinisikan dalam interval 
. Nomor B ditelepon batas fungsinya
kamu=F(X)
pada
X , jika untuk sembarang bilangan 0 terdapat bilangan tersebut M
= M() 0, yang untuk semua X, memuaskan ketimpangan 
ketimpangan tetap terjadi 
. Secara singkat definisi ini dapat dituliskan sebagai berikut:
E 
jika X +, lalu mereka menulis 
, Jika X , lalu mereka menulis 
, Jika 
=
, maka arti umumnya biasanya dilambangkan 
.
Arti geometris dari definisi ini adalah sebagai berikut: untuk 
, itu di 
Dan 
nilai fungsi yang sesuai kamu=F(X) berada di lingkungan titik B, yaitu titik-titik grafik terletak pada suatu garis selebar 2 yang dibatasi oleh garis lurus 
Dan 
(Gambar 19).
Batas fungsi- nomor A akan menjadi limit suatu besaran variabel jika, dalam proses perubahannya, besaran variabel tersebut mendekati tak terhingga A.
Atau dengan kata lain, nomornya A adalah limit fungsinya kamu = f(x) pada intinya x 0, jika untuk sembarang barisan titik dari domain definisi fungsi , tidak sama x 0, dan yang konvergen ke intinya x 0 (lim x n = x0), barisan nilai fungsi yang bersesuaian menyatu dengan bilangan tersebut A.
Grafik suatu fungsi yang limitnya, jika diberi argumen yang cenderung tak terhingga, adalah sama dengan L:
Arti A adalah limit (nilai batas) dari fungsi tersebut f(x) pada intinya x 0 dalam kasus untuk setiap urutan poin 
, yang menyatu ke x 0, tapi yang tidak mengandung x 0 sebagai salah satu elemennya (yaitu di sekitar yang tertusuk x 0), urutan nilai fungsi 
menyatu ke A.
Limit suatu fungsi menurut Cauchy.
Arti A akan batas fungsinya f(x) pada intinya x 0 jika untuk bilangan non-negatif yang diambil terlebih dahulu ε nomor non-negatif yang sesuai akan ditemukan δ = δ(ε) sedemikian rupa untuk setiap argumen X, memenuhi kondisi 0 < | x - x0 | < δ , ketimpangan akan terpenuhi | f(x)A |< ε .
Akan sangat sederhana jika Anda memahami esensi dari limit dan aturan dasar untuk menemukannya. Berapakah limit fungsinya F (X) pada X berjuang untuk A sama A, ditulis seperti ini:
Apalagi nilai ke mana variabel tersebut cenderung X, tidak hanya berupa angka, tetapi juga tak terhingga (∞), terkadang +∞ atau -∞, atau mungkin tidak ada batasan sama sekali.
Untuk memahami caranya mencari limit suatu fungsi, yang terbaik adalah melihat contoh solusi.
Kita perlu mencari limit fungsinya F (x) = 1/X pada:
X→ 2, X→ 0, X→ ∞.
Mari kita cari solusi untuk limit pertama. Untuk melakukan ini, Anda cukup menggantinya X angka yang cenderung, yaitu. 2, kita mendapatkan:
Mari kita cari limit kedua dari fungsi tersebut. Gantikan di sini bentuk murni 0 sebagai gantinya X itu tidak mungkin, karena Anda tidak dapat membaginya dengan 0. Tapi kita bisa mengambil nilai mendekati nol, misalnya 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 dan seterusnya, serta nilai fungsinya F (X) akan meningkat: 100; 1000; 10.000; 100.000 dan seterusnya. Dengan demikian, dapat dipahami bahwa kapan X→ 0 nilai fungsi yang berada di bawah tanda limit akan bertambah tanpa batas, yaitu berjuang menuju ketidakterbatasan. Yang berarti:
Mengenai batasan ketiga. Situasi yang sama seperti pada kasus sebelumnya tidak dapat digantikan ∞ dalam bentuknya yang paling murni. Kita perlu mempertimbangkan kasus peningkatan yang tidak terbatas X. Kami mengganti 1000 satu per satu; 10.000; 100000 dan seterusnya, kita mendapatkan nilai fungsinya F (x) = 1/X akan berkurang: 0,001; 0,0001; 0,00001; dan seterusnya, cenderung nol. Itu sebabnya:
Penting untuk menghitung limit fungsi 
Mulai menyelesaikan contoh kedua, kita melihat ketidakpastian. Dari sini kita menemukan derajat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya - ini adalah x 3, kita keluarkan dari tanda kurung pada pembilang dan penyebutnya lalu dikurangi dengan:
Menjawab 
Langkah pertama masuk menemukan batas ini, gantikan nilai 1 sebagai gantinya X, sehingga menimbulkan ketidakpastian. Untuk menyelesaikannya, mari kita faktorkan pembilangnya dan lakukan ini menggunakan metode mencari akar persamaan kuadrat x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Jadi pembilangnya adalah:
Menjawab 
Ini adalah definisi dari nilai spesifiknya atau area tertentu di mana fungsi tersebut berada, yang dibatasi oleh limit.
Untuk mengatasi batasan, ikuti aturan:
Setelah memahami hakikat dan pokoknya aturan untuk menyelesaikan limit, Anda akan mendapatkan pemahaman dasar tentang cara menyelesaikannya.
Angka konstan A ditelepon membatasi urutan(x n ), jika untuk bilangan positif kecil sembarangε > 0 ada angka N yang memiliki semua nilai xn, yang n>N, memenuhi pertidaksamaan
|xn - sebuah|< ε. (6.1)
Tuliskan sebagai berikut: atau x n → A.
Ketimpangan (6.1) setara dengan ketimpangan ganda
sebuah- ε< x n < a + ε, (6.2)
yang berarti poinnya xn, dimulai dari suatu bilangan n>N, terletak di dalam interval (a-ε, a+ ε ), yaitu jatuh ke dalam hal kecil apa punε -lingkungan suatu titik A.
Barisan yang mempunyai limit disebut konvergen, jika tidak - berbeda.
Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit suatu fungsi x n = f(n) dari argumen bilangan bulat N.
Biarkan fungsi f(x) diberikan dan biarkan A - titik batas domain definisi fungsi ini D(f), yaitu titik tersebut, setiap lingkungannya memuat titik-titik himpunan D(f) selain A. Dot A mungkin termasuk dalam himpunan D(f) atau tidak.
Definisi 1.Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a, jika untuk sembarang barisan (x n ) nilai argumen cenderung A, barisan-barisan yang bersesuaian (f(x n)) mempunyai limit A yang sama.
Definisi ini disebut dengan mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.
Definisi 2. Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f(x) pada x→a, jika, dengan menentukan bilangan positif kecil ε yang sembarang, seseorang dapat menemukan δ seperti itu>0 (tergantung pada ε), yang diperuntukkan bagi semua orang X, berbaringε-lingkungan dari nomor tersebut A, yaitu Untuk X, memuaskan ketimpangan
0 <
xa< ε
, nilai fungsi f(x) akan terletak diε-lingkungan dari bilangan A, mis.|f(x)-A|<
ε.
Definisi ini disebut dengan mendefinisikan limit suatu fungsi menurut Cauchy, atau “dalam bahasa ε - δ “.
Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsinya f(x) sebagai x →a memiliki membatasi, sama dengan A, ditulis dalam bentuk
. (6.3)
Jika barisan (f(x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode pendekatan apa pun X sampai batasmu A, maka kita akan mengatakan bahwa fungsi tersebut f(x) miliki batas tak terbatas, dan tuliskan dalam bentuk:
Variabel (yaitu barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut sangat kecil.
Variabel yang limitnya tak terhingga disebut sangat besar.
Untuk mencari limit dalam prakteknya digunakan teorema berikut.
Teorema 1 . Jika setiap batasan ada
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Komentar. Ekspresi seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak pasti, misalnya perbandingan dua besaran yang sangat kecil atau besar yang tidak terhingga, dan menemukan limit jenis ini disebut “mengungkap ketidakpastian”.
Teorema 2. (6.7)
itu. seseorang dapat mencapai batas berdasarkan pangkat dengan eksponen konstan, khususnya, 
;
(6.8)
(6.9)
Teorema 3.
(6.10)
(6.11)
Di mana e » 2.7 - basis logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut yang pertama batas yang luar biasa dan batas luar biasa kedua.
Konsekuensi dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
khususnya batasnya,
Jika x → a dan sekaligus x > a, lalu tulis x→a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka alih-alih menggunakan simbol 0+0, tulislah +0. Demikian pula jika x→a dan sekaligus x 
dan dipanggil sesuai dengan itu batas yang tepat Dan batas kiri fungsi f(x) pada intinya A. Agar ada limit dari fungsi f(x) sebagai x→a diperlukan dan cukup untuk itu 
. Fungsi f(x) dipanggil kontinu pada intinya x 0 jika batas
. (6.15)
Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang menjadi:
,
yaitu, perjalanan menuju limit di bawah tanda suatu fungsi dimungkinkan jika fungsi tersebut kontinu pada suatu titik tertentu.
Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka kami katakan demikian pada x = xo fungsi f(x) Memiliki celah Perhatikan fungsi y = 1/x. Daerah definisi fungsi ini adalah himpunan R, kecuali x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit himpunan D(f), karena di lingkungan mana pun, mis. dalam setiap interval terbuka yang memuat titik 0 terdapat titik-titik dari D(f), tetapi titik itu sendiri tidak termasuk dalam himpunan ini. Nilai f(xo)= f(0) tidak terdefinisi, sehingga pada titik x o = 0 fungsinya mempunyai diskontinuitas.
Fungsi f(x) dipanggil kontinu di sebelah kanan pada titik tersebut x o jika batasnya
,
Dan kontinu di sebelah kiri pada titik tersebut x o, jika batasnya
.
Kontinuitas suatu fungsi pada suatu titik xo setara dengan kontinuitasnya pada titik ini baik ke kanan maupun ke kiri.
Agar fungsinya kontinu di suatu titik xo, misalnya, di sebelah kanan, pertama, harus ada limit yang berhingga, dan kedua, limit tersebut harus sama dengan f(xo). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari kedua kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan mengalami diskontinuitas.
1. Jika limitnya ada dan tidak sama dengan f(xo), maka dikatakan demikian fungsi f(x) pada intinya x o punya pecahnya jenis pertama, atau melompat.
2. Jika batasnya adalah+∞ atau -∞ atau tidak ada, lalu dikatakan demikian titik xo fungsi tersebut mempunyai diskontinuitas jenis kedua.
Misalnya fungsi y = cot x di x→ +0 memiliki limit yang sama dengan +∞, artinya pada titik x=0 terdapat diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E(x) (bagian bilangan bulat dari X) pada titik-titik yang absisnya utuh mempunyai diskontinuitas jenis pertama, atau lompatan.
Suatu fungsi yang kontinu pada setiap titik dalam interval disebut kontinu V . Fungsi kontinu diwakili oleh kurva padat.
Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan kuantitas tertentu yang terus-menerus mengarah pada batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan simpanan menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi suatu negara, peluruhan zat radioaktif, perkembangbiakan bakteri, dll.
Mari kita pertimbangkan contoh Ya.I.Perelman, memberikan interpretasi nomor tersebut e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya 
. Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahunnya. Jika aksesi dilakukan lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena jumlah yang lebih besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan 100 penyangkal disetorkan ke bank. unit berdasarkan 100% per tahun. Jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada periode ini 100 den. unit akan berubah menjadi 200 unit moneter. Sekarang mari kita lihat apa jadinya 100 penolakan. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah enam bulan, 100 sarang. unit akan bertambah menjadi 100×
1,5 = 150, dan setelah enam bulan berikutnya - pada 150×
1,5 = 225 (satuan ruang). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 sarang. unit akan berubah menjadi 100× (1 +1/3) 3 " 237 (ruang kerja satuan). Kami akan menambah ketentuan penambahan uang bunga menjadi 0,1 tahun, 0,01 tahun, 0,001 tahun, dst. Kemudian dari 100 ruang kerja. unit setelah satu tahun akan menjadi:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (satuan ruang),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (satuan ruang),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (satuan ruang).
Dengan pengurangan yang tidak terbatas dalam syarat penambahan bunga, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang setara dengan sekitar 271. Modal yang disetorkan sebesar 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali lipat, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke modal setiap detik karena batasnya
Contoh 3.1.Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n =(n-1)/n mempunyai limit sama dengan 1.
Larutan.Kita perlu membuktikannya, apa pun yang terjadiε > 0 apa pun yang kita ambil, selalu ada sesuatu untuknya bilangan asli N, sehingga untuk semua n N pertidaksamaan berlaku|x n -1|< ε.
Mari kita ambil e > 0. Karena ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, maka untuk mencari N cukup menyelesaikan pertidaksamaan 1/n< e. Oleh karena itu n>1/ e dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1/ e , N = E(1/ e ). Dengan demikian kami telah membuktikan bahwa batasnya.
Contoh 3.2
. Temukan limit suatu barisan yang diberikan oleh suku yang sama 
.
Larutan.Mari kita terapkan limit teorema penjumlahan dan temukan limit setiap suku. Ketika n→ ∞ pembilang dan penyebut setiap suku cenderung tak terhingga, dan teorema limit hasil bagi tidak dapat diterapkan secara langsung. Oleh karena itu, pertama-tama kita bertransformasi xn, membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua aktif N. Kemudian, dengan menerapkan limit hasil bagi dan limit teorema penjumlahan, kita peroleh:
.
Contoh 3.3. 
. Menemukan .
Larutan. 
.
Di sini kita menggunakan teorema limit derajat: limit suatu derajat sama dengan derajat limit alasnya.
Contoh 3.4
. Menemukan ( 
).
Larutan.Tidak mungkin menerapkan teorema limit selisih, karena kita mempunyai ketidakpastian bentuk ∞-∞ . Mari kita ubah rumus suku umum:
.
Contoh 3.5 . Fungsi f(x)=2 1/x diberikan. Buktikan bahwa tidak ada batasan.
Larutan.Mari kita gunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi melalui suatu barisan. Mari kita ambil barisan ( x n ) yang konvergen ke 0, yaitu. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f(x n)= berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1/n. Jelas, itulah batasnya 
Sekarang mari kita pilih sebagai xn barisan yang sukunya sama x n = -1/n, juga cenderung nol. 
Oleh karena itu tidak ada batasan.
Contoh 3.6 . Buktikan bahwa tidak ada batasan.
Larutan.Misalkan x 1 , x 2 ,..., x n ,... adalah barisan yang
. Bagaimana perilaku barisan (f(x n)) = (sin x n) untuk x n → ∞ yang berbeda
Jika x n = p n, maka sin x n = sin p n = 0 untuk semua N dan batas Jika
xn =2 p n+ p /2, maka sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 untuk semua N dan karena itu batasnya. Jadi itu tidak ada.
Widget untuk menghitung batas secara online
Di jendela atas, alih-alih sin(x)/x, masukkan fungsi yang ingin Anda cari limitnya. Di jendela bawah, masukkan angka kecenderungan x dan klik tombol Kalkuler, dapatkan batas yang diinginkan. Dan jika di jendela hasil Anda mengklik Tampilkan langkah di pojok kanan atas, Anda akan mendapatkan solusi detail.
Aturan untuk memasukkan fungsi: sqrt(x)- Akar pangkat dua, cbrt(x) - akar pangkat tiga, exp(x) - eksponen, ln(x) - logaritma natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan(x) - tangen, cot(x) - kotangen, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Tanda: *perkalian, /pembagian,^pangkat, sebagai gantinya ketakterbatasan Ketakterbatasan. Contoh: fungsi dimasukkan sebagai sqrt(tan(x/2)).
