Rumah Ortopedi Suatu titik yang simetris dengan titik a relatif terhadap garis lurus l. Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang

Ortopedi

Suatu titik yang simetris dengan titik a relatif terhadap garis lurus l. Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang

Biarkan beberapa garis lurus diberikan persamaan linier, dan suatu titik yang ditentukan oleh koordinatnya (x0, y0) dan tidak terletak pada garis ini. Diperlukan untuk menemukan suatu titik yang simetris dengan suatu titik tertentu di sekitar suatu garis lurus tertentu, yaitu, yang akan berimpit dengannya jika bidang tersebut secara mental ditekuk menjadi dua di sepanjang garis lurus tersebut.

instruksi

1. Jelas bahwa kedua titik - yang diberikan dan yang diinginkan - harus terletak pada garis yang sama, dan garis ini harus tegak lurus dengan titik yang diberikan. Jadi, bagian pertama dari soal ini adalah menemukan persamaan garis yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu dan pada saat yang sama melalui suatu titik tertentu.

2. Garis lurus dapat ditentukan dengan dua cara. Persamaan kanonik suatu garis terlihat seperti ini: Ax + By + C = 0, dengan A, B, dan C adalah konstanta. Anda juga dapat menentukan garis lurus menggunakan fungsi linear: y = kx + b, dengan k adalah eksponen sudut, b adalah perpindahan Kedua metode ini dapat dipertukarkan, dan dimungkinkan untuk berpindah dari satu metode ke metode lainnya. Jika Kapak + Oleh + C = 0, maka y = – (Kapak + C)/B. Dengan kata lain, pada fungsi linier y = kx + b, eksponen sudut k = -A/B, dan perpindahan b = -C/B. Untuk tugas yang ada, lebih mudah untuk bernalar berdasarkan persamaan kanonik lurus.

3. Jika dua garis saling tegak lurus, dan persamaan garis pertama adalah Ax + By + C = 0, maka persamaan garis ke-2 akan terlihat seperti Bx – Ay + D = 0, dengan D adalah konstanta. Untuk mendeteksi nilai D tertentu, perlu diketahui juga titik mana yang dilalui garis tegak lurus. DI DALAM pada kasus ini ini titiknya (x0, y0), maka D harus memenuhi persamaan: Bx0 – Ay0 + D = 0, yaitu D = Ay0 – Bx0.

4. Setelah garis tegak lurus ditemukan, perlu dihitung koordinat titik potongnya dengan garis yang diberikan. Untuk melakukannya, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Penyelesaiannya akan menghasilkan bilangan (x1, y1), yang menjadi koordinat dari titik potong garis-garis tersebut.

5. Titik yang diinginkan harus terletak pada garis yang terdeteksi, dan jaraknya ke titik potong harus sama dengan jarak titik potong ke titik (x0, y0). Koordinat titik titik simetris(x0, y0), dapat dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0)^2 = ?((x – x1)^2 + (kamu – kamu1)^2).

6. Tapi Anda bisa melakukannya dengan lebih mudah. Jika titik (x0, y0) dan (x, y) berada pada jarak yang sama dari titik (x1, y1), dan ketiga titik tersebut terletak pada satu garis lurus yang sama, maka: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0, jadi x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Dengan mensubstitusi nilai-nilai ini ke dalam persamaan kedua dari sistem pertama dan menyederhanakan ekspresinya, mudah untuk memastikan bahwa ruas kanannya sama dengan ruas kiri. Selain itu, tidak ada gunanya mempertimbangkan persamaan pertama lebih jauh, karena diketahui bahwa titik (x0, y0) dan (x1, y1) memenuhinya, dan titik (x, y) jelas terletak pada garis yang sama. .

Tugasnya adalah mencari koordinat suatu titik yang simetris terhadap titik tersebut terhadap garis lurus . Saya sarankan melakukan langkah-langkahnya sendiri, tetapi saya akan menguraikan algoritma solusi dengan hasil antara:

1) Carilah garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut.

2) Temukan titik potong garis: .

Kedua tindakan tersebut dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

3) Titik adalah titik tengah ruas tersebut. Kita mengetahui koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus koordinat titik tengah suatu ruas kami menemukan.

Sebaiknya periksa apakah jaraknya juga 2,2 satuan.

Kesulitan mungkin timbul dalam perhitungan di sini, tetapi mikrokalkulator sangat membantu menara, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Saya telah menasihati Anda berkali-kali dan akan merekomendasikan Anda lagi.

Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?

Contoh 9

Temukan jarak antara dua garis sejajar

Ini adalah contoh lain untuk keputusan independen. Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikan masalah ini. Pembekalan di akhir pelajaran, tapi lebih baik coba tebak sendiri, menurut saya kecerdikan Anda sudah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Setiap sudut adalah kusen:

Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus dianggap sudut yang LEBIH KECIL, sehingga otomatis tidak mungkin tumpul. Pada gambar, sudut yang ditunjukkan oleh busur merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis yang berpotongan. Dan tetangganya yang “hijau” atau berorientasi berlawanan sudut "raspberry".

Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut tersebut dapat diambil sebagai sudut di antara keduanya.

Bagaimana perbedaan sudutnya? Orientasi. Pertama, arah “gulir” sudut adalah hal yang sangat penting. Kedua, sudut yang berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya .

Mengapa aku memberitahumu hal ini? Tampaknya kita dapat bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah rumus yang digunakan untuk mencari sudut dapat dengan mudah memberikan hasil negatif, dan ini tidak akan mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus juga tidak lebih buruk, dan sangat spesifik makna geometris. Pada gambar, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan panah (searah jarum jam).

Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis lurus? Ada dua rumus kerja:

Contoh 10

Temukan sudut antar garis

Larutan Dan Metode satu

Perhatikan dua garis lurus yang diberikan oleh persamaan di pandangan umum:

Jika lurus tidak tegak lurus, Itu berorientasi Sudut antara keduanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya - inilah tepatnya produk skalar mengarahkan vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut rumusnya menjadi nol, vektor-vektornya ortogonal dan garis-garisnya tegak lurus. Oleh karena itu dibuat reservasi tentang garis lurus yang tidak tegak lurus dalam formulasinya.

Berdasarkan penjelasan di atas, akan lebih mudah untuk memformalkan solusi dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar dari vektor-vektor arah garis:

2) Carilah sudut antar garis lurus dengan rumus:

Dengan menggunakan fungsi invers, mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan garis singgung busur (lihat. Grafik dan properti fungsi dasar ):

Menjawab:

Dalam jawabannya kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai perkiraan (sebaiknya dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.

Ya, minus, minus, bukan masalah besar. Berikut adalah ilustrasi geometris:

Tidak mengherankan jika sudutnya ternyata berorientasi negatif, karena dalam rumusan masalah bilangan pertama adalah garis lurus dan “pelepasan” sudut dimulai tepat dari situ.

Jika memang ingin mendapatkan sudut positif, Anda perlu menukar garisnya, yaitu mengambil koefisien dari persamaan kedua , dan ambil koefisien dari persamaan pertama. Singkatnya, Anda harus memulai dengan langsung .

Saya tidak akan menyembunyikannya, saya sendiri yang memilih garis lurusnya secara berurutan sehingga sudutnya menjadi positif. Itu lebih indah, tapi tidak lebih.

Untuk memeriksa solusi Anda, Anda dapat mengambil busur derajat dan mengukur sudutnya.

Metode dua

Jika garis lurus diberikan oleh persamaan dengan kemiringan dan tidak tegak lurus, Itu berorientasi Sudut antara keduanya dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Kondisi tegak lurus garis dinyatakan dengan persamaan, yang kemudian diikuti oleh hubungan yang sangat berguna antara koefisien sudut garis tegak lurus: , yang digunakan dalam beberapa soal.

Algoritma solusinya mirip dengan paragraf sebelumnya. Tapi pertama-tama, mari kita tulis ulang garis lurus kita ke dalam bentuk yang diperlukan:

Jadi, lerengnya adalah:

1) Mari kita periksa apakah garis-garisnya tegak lurus:
, yang berarti garis-garisnya tidak tegak lurus.

2) Gunakan rumus:

Menjawab:

Metode kedua cocok digunakan ketika persamaan garis lurus awalnya ditentukan dengan koefisien sudut. Perlu dicatat bahwa jika setidaknya satu garis lurus sejajar dengan sumbu ordinat, maka rumus tersebut tidak berlaku sama sekali, karena kemiringan garis lurus tersebut tidak ditentukan (lihat artikel Persamaan garis lurus pada bidang datar).

Ada solusi ketiga. Idenya adalah menghitung sudut antara vektor arah garis menggunakan rumus yang dibahas dalam pelajaran Produk titik dari vektor:

Di sini kita tidak lagi berbicara tentang sudut yang berorientasi, tetapi “hanya tentang sudut”, artinya hasilnya pasti positif. Masalahnya adalah Anda mungkin mendapatkan sudut tumpul (bukan sudut yang Anda perlukan). Dalam hal ini, Anda harus membuat reservasi bahwa sudut antara garis lurus adalah sudut yang lebih kecil, dan mengurangi kosinus busur yang dihasilkan dari radian “pi” (180 derajat).

Mereka yang berkeinginan bisa menyelesaikan masalah dengan cara ketiga. Namun saya tetap menyarankan untuk tetap menggunakan pendekatan pertama dengan sudut yang berorientasi, karena pendekatan ini tersebar luas.

Contoh 11

Temukan sudut antar garis.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Cobalah untuk menyelesaikannya dengan dua cara.

Entah bagaimana dongeng itu punah di tengah perjalanan... Karena tidak ada Kashchei yang Abadi. Ini aku, dan aku tidak terlalu bersemangat. Sejujurnya, saya pikir artikelnya akan lebih panjang. Namun saya akan tetap membawa topi dan kacamata yang baru saya beli dan pergi berenang di air danau bulan September. Menghilangkan rasa lelah dan energi negatif dengan sempurna.

Sebelum sampai berjumpa lagi!

Dan ingat, Baba Yaga belum dibatalkan =)

Solusi dan jawaban:

Contoh 3:Larutan : Mari kita cari vektor arah garisnya :

Mari kita buat persamaan garis yang diinginkan menggunakan titik dan vektor arah . Karena salah satu koordinat vektor arah adalah nol, Persamaan. mari kita tulis ulang dalam bentuk:

Menjawab :

Contoh 5:Larutan :
1) Persamaan garis mari kita buat dua poin :

2) Persamaan garis mari kita buat dua poin :

3) Koefisien yang sesuai untuk variabel tidak proporsional: , yang berarti garis-garis tersebut berpotongan.
4) Temukan titiknya :

Catatan : disini persamaan pertama sistem dikalikan 5, kemudian persamaan ke-2 dikurangi suku demi suku dari persamaan ke-1.
Menjawab :

Rumusan masalah. Temukan koordinat suatu titik yang simetris dengan suatu titik relatif terhadap pesawat.

Rencana solusi.

1. Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus suatu bidang tertentu dan melalui suatu titik . Karena suatu garis lurus tegak lurus terhadap suatu bidang tertentu, maka vektor normal bidang tersebut dapat diambil sebagai vektor arahnya, yaitu.

Maka persamaan garis lurusnya adalah

2. Temukan intinya perpotongan suatu garis lurus dan pesawat terbang (lihat soal 13).

3. Poin adalah titik tengah ruas tempat titik tersebut adalah suatu titik yang simetris dengan titik tersebut , Itu sebabnya

Masalah 14. Temukan titik yang simetris dengan titik relatif terhadap bidang.

Persamaan garis lurus yang melalui suatu titik yang tegak lurus suatu bidang adalah:

Mari kita cari titik potong garis dan bidang.

Di mana – titik potong garis dan bidang, oleh karena itu, adalah titik tengah segmen

Itu. .

Koordinat bidang homogen. Affine transformasi di pesawat.

Membiarkan M X Dan pada

M(X, padaBu (X, pada, 1) di luar angkasa (Gbr. 8).

Bu (X, pada

Bu (X, pada huh.

(hx, hy, h), h  0,

Komentar

H(Misalnya, H

Faktanya, mempertimbangkan H

Komentar

Contoh 1.

B) ke suatu sudut (Gbr. 9).

langkah pertama.

langkah ke-2. Putar berdasarkan sudut 

matriks transformasi yang sesuai.

langkah ke-3. Transfer ke vektor A(a, B)

matriks transformasi yang sesuai.

Contoh 3

 sepanjang sumbu x dan

langkah pertama.

matriks transformasi yang sesuai.

langkah ke-2.

langkah ke-3.

akhirnya kita akan mendapatkannya

Komentar

[R],[D],[M],[T],

Membiarkan M- titik sembarang bidang dengan koordinat X Dan pada, dihitung relatif terhadap sistem koordinat bujursangkar tertentu. Koordinat homogen titik ini adalah sembarang rangkap tiga bilangan bukan nol x 1, x 2, x 3 secara simultan, yang berhubungan dengan bilangan tertentu x dan y dengan hubungan berikut:

Saat memecahkan masalah grafik komputer, koordinat homogen biasanya dimasukkan sebagai berikut: ke titik sembarang M(X, pada) pesawat diberi suatu titik Bu (X, pada, 1) di luar angkasa (Gbr. 8).

Perhatikan bahwa suatu titik sembarang pada garis yang menghubungkan titik asal, titik 0(0, 0, 0), dengan titik tersebut Bu (X, pada, 1), dapat diberikan oleh tiga kali lipat bilangan berbentuk (hx, hy, h).

Vektor dengan koordinat hx, hy, merupakan vektor arah garis lurus yang menghubungkan titik 0 (0, 0, 0) dan Bu (X, pada, 1). Garis ini memotong bidang z = 1 di titik (x, y, 1), yang secara unik mendefinisikan titik (x, y) pada bidang koordinat huh.

Jadi, antara suatu titik sembarang dengan koordinat (x, y) dan himpunan tiga kali lipat bilangan berbentuk

(hx, hy, h), h  0,

Sebuah korespondensi (satu-ke-satu) dibuat yang memungkinkan kita untuk mempertimbangkan bilangan hx, hy, h sebagai koordinat baru dari titik ini.

Komentar

Banyak digunakan dalam geometri proyektif, koordinat homogen memungkinkan untuk mendeskripsikan secara efektif apa yang disebut elemen tak wajar (pada dasarnya elemen yang bidang proyektifnya berbeda dari bidang Euclidean yang sudah dikenal). Rincian lebih lanjut tentang kemungkinan-kemungkinan baru yang diberikan oleh koordinat homogen yang diperkenalkan dibahas di bagian keempat bab ini.

Dalam geometri proyektif untuk koordinat homogen, notasi berikut diterima:

x:y:1, atau, lebih umum, x1:x2:x3

(ingat bahwa di sini mutlak bilangan x 1, x 2, x 3 tidak berubah menjadi nol secara bersamaan).

Penggunaan koordinat homogen ternyata berguna bahkan ketika memecahkan masalah yang paling sederhana.

Misalnya saja isu-isu yang berkaitan dengan perubahan skala. Jika perangkat tampilan hanya berfungsi dengan bilangan bulat (atau jika Anda hanya perlu bekerja dengan bilangan bulat), maka untuk nilai arbitrer H(Misalnya, H= 1) suatu titik dengan koordinat homogen

mustahil untuk dibayangkan. Namun, dengan pilihan h yang masuk akal, dimungkinkan untuk memastikan bahwa koordinat titik ini adalah bilangan bulat. Khususnya, untuk h = 10 untuk contoh yang kita miliki

Mari kita pertimbangkan kasus lain. Agar hasil transformasi tidak mengarah ke luapan aritmatika, maka untuk titik dengan koordinat (80000 40000 1000) dapat diambil misalnya h=0,001. Hasilnya kita mendapatkan (80 40 1).

Contoh yang diberikan menunjukkan kegunaan penggunaan koordinat homogen saat melakukan perhitungan. Namun, tujuan utama memperkenalkan koordinat homogen dalam grafik komputer tidak diragukan lagi adalah kemudahan penerapannya pada transformasi geometri.

Dengan menggunakan tiga kali lipat koordinat homogen dan matriks orde ketiga, setiap transformasi affine pada suatu bidang dapat dijelaskan.

Faktanya, mempertimbangkan H= 1, bandingkan dua entri: ditandai dengan simbol * dan matriks berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa setelah mengalikan ekspresi di sisi kanan relasi terakhir, kita memperoleh rumus (*) dan persamaan numerik yang benar 1=1.

Komentar

Terkadang dalam literatur notasi lain digunakan - notasi kolom:

Notasi ini setara dengan notasi baris demi baris di atas (dan diperoleh dari notasi tersebut dengan melakukan transposisi).

Elemen matriks transformasi affine sembarang tidak memiliki makna geometris yang eksplisit. Oleh karena itu, untuk melaksanakan pemetaan ini atau itu, yaitu mencari elemen-elemen matriks yang bersesuaian menurut uraian geometri tertentu, diperlukan teknik khusus. Biasanya, pembangunan matriks ini, sesuai dengan kompleksitas masalah yang sedang dipertimbangkan dan kasus-kasus khusus yang dijelaskan di atas, dibagi menjadi beberapa tahap.

Pada setiap tahap, dicari matriks yang sesuai dengan salah satu kasus A, B, C atau D di atas, yang memiliki sifat geometris terdefinisi dengan baik.

Mari kita tuliskan matriks orde ketiga yang bersesuaian.

A. Matriks rotasi

B. Matriks dilatasi

B.Matriks refleksi

D. Matriks transfer (terjemahan)

Mari kita perhatikan contoh transformasi affine pada bidang tersebut.

Contoh 1.

Buatlah matriks rotasi di sekitar titik A (a,B) ke suatu sudut (Gbr. 9).

langkah pertama. Transfer ke vektor – A (-a, -b) untuk menyelaraskan pusat rotasi dengan titik asal koordinat;

matriks transformasi yang sesuai.

langkah ke-2. Putar berdasarkan sudut 

matriks transformasi yang sesuai.

langkah ke-3. Transfer ke vektor A(a, B) untuk mengembalikan pusat putaran ke posisi semula;

matriks transformasi yang sesuai.

Mari kita kalikan matriks-matriks tersebut dengan urutan yang sama seperti penulisannya:

Hasilnya, kami menemukan bahwa transformasi yang diinginkan (dalam notasi matriks) akan terlihat seperti ini:

Elemen-elemen matriks yang dihasilkan (terutama pada baris terakhir) tidak begitu mudah untuk diingat. Pada saat yang sama, masing-masing dari tiga matriks yang dikalikan dapat dengan mudah dibuat dari deskripsi geometri pemetaan yang sesuai.

Contoh 3

Buatlah matriks regangan dengan koefisien regangan sepanjang sumbu x dan sepanjang sumbu ordinat dan berpusat di titik A(a, b).

langkah pertama. Pindahkan ke vektor -A(-a, -b) untuk menyelaraskan pusat regangan dengan titik asal;

matriks transformasi yang sesuai.

langkah ke-2. Peregangan sepanjang sumbu koordinat dengan koefisien masing-masing  dan ; matriks transformasi memiliki bentuk

langkah ke-3. Pindahkan ke vektor A(a, b) untuk mengembalikan pusat tegangan ke posisi semula; matriks transformasi yang sesuai –

Mengalikan matriks-matriks dengan ordo yang sama

akhirnya kita akan mendapatkannya

Komentar

Penalaran serupa, yaitu memecah usulan transformasi menjadi tahapan-tahapan yang didukung oleh matriks[R],[D],[M],[T], seseorang dapat membuat matriks transformasi affine apa pun dari deskripsi geometrisnya.

Pergeseran dilakukan dengan penjumlahan, dan penskalaan serta rotasi dilakukan dengan perkalian.

Transformasi Penskalaan (dilatasi) relatif terhadap asal berbentuk:

atau dalam bentuk matriks:

Di mana DX,Dkamu adalah faktor skala di sepanjang sumbu, dan

- matriks penskalaan.

Ketika D > 1, terjadi pemuaian, ketika 0<=D<1- сжатие

Transformasi rotasi relatif terhadap asal memiliki bentuk:

atau dalam bentuk matriks:

di mana φ adalah sudut rotasi, dan

- matriks rotasi.

Komentar: Kolom dan baris matriks rotasi merupakan vektor satuan yang saling ortogonal. Faktanya, kuadrat panjang vektor baris sama dengan satu:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 dan (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

dan hasil kali skalar vektor baris adalah

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Karena hasil kali skalar vektor A · B = |A| ·| B| ·cosψ, dimana | A| - panjang vektor A, |B| - panjang vektor B, dan adalah sudut positif terkecil di antara keduanya, maka dari persamaan 0 hasil kali skalar dua vektor baris yang panjangnya 1 maka sudut antara keduanya adalah 90°.

Oh-oh-oh-oh-oh... yah, sulit, seolah-olah dia sedang membacakan kalimat untuk dirinya sendiri =) Namun, relaksasi akan membantu nanti, apalagi hari ini saya membeli aksesoris yang sesuai. Oleh karena itu mari kita lanjutkan ke bagian pertama, semoga di akhir artikel suasana hati saya tetap ceria.

Posisi relatif dua garis lurus

Hal ini terjadi ketika penonton ikut bernyanyi dalam paduan suara. Dua garis lurus bisa:

1) pertandingan;

2) sejajar: ;

3) atau berpotongan di satu titik: .

Bantuan untuk boneka : Harap diingat tanda persimpangan matematika, itu akan sangat sering muncul. Notasi tersebut berarti garis tersebut berpotongan dengan garis di titik .

Bagaimana cara menentukan posisi relatif dua garis?

Mari kita mulai dengan kasus pertama:

Dua garis berhimpitan jika dan hanya jika koefisien-koefisien yang bersesuaian sebanding, yaitu ada bilangan “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut

Mari kita perhatikan garis lurus dan buat tiga persamaan dari koefisien yang sesuai: . Oleh karena itu, dari setiap persamaan dapat disimpulkan bahwa garis-garis ini bertepatan.

Memang, jika semua koefisien persamaan kalikan dengan –1 (ubah tanda), dan semua koefisien persamaan dipotong 2, Anda mendapatkan persamaan yang sama: .

Kasus kedua, ketika garis-garisnya sejajar:

Dua garis sejajar jika dan hanya jika koefisien variabelnya sebanding: , Tetapi.

Sebagai contoh, perhatikan dua garis lurus. Kami memeriksa proporsionalitas koefisien yang sesuai untuk variabel:

Namun, hal itu cukup jelas.

Dan kasus ketiga, ketika garis-garis tersebut berpotongan:

Dua garis berpotongan jika dan hanya jika koefisien variabelnya TIDAK proporsional, artinya, TIDAK ada nilai “lambda” yang memenuhi persamaan tersebut

Jadi, untuk garis lurus kita akan membuat sistem:

Dari persamaan pertama maka , dan dari persamaan kedua: , yang artinya sistemnya tidak konsisten(tidak ada solusi). Dengan demikian, koefisien variabelnya tidak proporsional.

Kesimpulan: garis berpotongan

Dalam permasalahan praktis, Anda dapat menggunakan skema solusi yang baru saja dibahas. Omong-omong, ini sangat mengingatkan pada algoritma untuk memeriksa kolinearitas vektor, yang kita lihat di kelas Konsep ketergantungan linier (dalam) vektor. Dasar vektor. Namun ada kemasan yang lebih beradab:

Contoh 1

Cari tahu posisi relatif garis:

Larutan berdasarkan kajian vektor pengarah garis lurus:

a) Dari persamaan kita mencari vektor arah garis: .

, artinya vektor-vektornya tidak segaris dan garis-garisnya berpotongan.

Untuk jaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:

Sisanya melompati batu dan mengikuti lebih jauh, langsung ke Kashchei the Immortal =)

b) Temukan vektor arah garis:

Garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama, artinya garis-garis tersebut sejajar atau berhimpitan. Tidak perlu menghitung determinannya di sini.

Jelaslah bahwa koefisien dari hal-hal yang tidak diketahui adalah proporsional, dan .

Mari kita cari tahu apakah persamaan tersebut benar:

Dengan demikian,

c) Temukan vektor arah garis:

Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor berikut:
, oleh karena itu, vektor arahnya adalah segaris. Garis-garisnya sejajar atau berhimpitan.

Koefisien proporsionalitas “lambda” mudah dilihat langsung dari perbandingan vektor-vektor arah collinear. Namun, hal ini juga dapat ditemukan melalui koefisien persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita cari tahu apakah persamaan itu benar. Kedua suku bebasnya adalah nol, jadi:

Nilai yang dihasilkan memenuhi persamaan ini (bilangan apa pun secara umum memenuhinya).

Jadi, garis-garisnya bertepatan.

Menjawab:

Segera Anda akan belajar (atau bahkan sudah belajar) untuk memecahkan masalah yang dibahas secara lisan hanya dalam hitungan detik. Dalam hal ini, saya tidak melihat ada gunanya menawarkan solusi independen apa pun, lebih baik meletakkan batu bata penting lainnya di fondasi geometris:

Bagaimana cara membuat garis yang sejajar dengan garis tertentu?

Karena ketidaktahuan akan tugas paling sederhana ini, Nightingale the Robber akan menghukum dengan berat.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan garis sejajar yang melalui suatu titik.

Larutan: Mari kita nyatakan garis yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan kondisi tersebut tentang dirinya? Garis lurus melewati suatu titik. Dan jika garis-garisnya sejajar, maka jelas vektor arah garis lurus “tse” juga cocok untuk membuat garis lurus “de”.

Kita keluarkan vektor arah dari persamaan:

Menjawab:

Contoh geometri terlihat sederhana:

Pengujian analitik terdiri dari langkah-langkah berikut:

1) Kita periksa apakah garis-garis tersebut mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak disederhanakan dengan baik, maka vektor-vektornya akan segaris).

2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan.

Dalam kebanyakan kasus, pengujian analitis dapat dengan mudah dilakukan secara lisan. Lihatlah kedua persamaan tersebut, dan banyak dari Anda akan dengan cepat menentukan paralelisme garis tanpa menggambar apa pun.

Contoh solusi independen saat ini akan menjadi kreatif. Karena kamu masih harus bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, lho, pecinta segala macam teka-teki.

Contoh 3

Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik yang sejajar dengan garis tersebut jika

Ada cara yang rasional dan tidak begitu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek adalah di akhir pelajaran.

Kami bekerja sedikit dengan garis paralel dan akan kembali lagi nanti. Kasus garis yang bersesuaian kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang sangat Anda kenal dari kurikulum sekolah:

Bagaimana cara mencari titik potong dua garis?

Jika lurus berpotongan di titik , maka koordinatnya adalah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana cara mencari titik potong garis? Selesaikan sistem.

Ini dia arti geometris dari sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis yang berpotongan (paling sering) pada sebuah bidang.

Contoh 4

Temukan titik potong garis

Larutan: Ada dua cara untuk menyelesaikannya - grafis dan analitis.

Metode grafisnya adalah dengan menggambar garis-garis tertentu dan mencari titik potong langsung dari gambar:

Inilah poin kami: . Untuk memeriksanya, Anda harus mengganti koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis, keduanya harus sesuai di sana dan di sana. Dengan kata lain, koordinat suatu titik merupakan solusi sistem. Pada dasarnya, kami melihat solusi grafis sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Metode grafis, tentu saja, tidak buruk, tetapi ada kelemahan yang nyata. Bukan, intinya bukan siswa kelas tujuh yang memutuskan seperti itu, intinya butuh waktu untuk membuat gambar yang benar dan AKURAT. Selain itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibuat, dan titik perpotongannya mungkin terletak di suatu tempat di kerajaan ketiga puluh di luar lembar buku catatan.

Oleh karena itu, pencarian titik potong lebih tepat dilakukan dengan menggunakan metode analitik. Mari kita selesaikan sistemnya:

Untuk menyelesaikan sistem tersebut digunakan metode penjumlahan persamaan suku demi suku. Untuk mengembangkan keterampilan yang relevan, ambillah pelajaran Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan?

Menjawab:

Pemeriksaannya sepele - koordinat titik potong harus memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Temukan titik potong garis-garis tersebut jika garis-garis tersebut berpotongan.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Akan lebih mudah untuk membagi tugas menjadi beberapa tahap. Analisis kondisi menunjukkan perlunya:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Tuliskan persamaan garis lurus.
3) Cari tahu posisi relatif garis-garis tersebut.
4) Jika garis-garis tersebut berpotongan, tentukan titik potongnya.

Pengembangan algoritma tindakan adalah tipikal untuk banyak masalah geometri, dan saya akan berulang kali fokus pada hal ini.

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran:

Bahkan sepasang sepatu pun tidak rusak sebelum kita sampai pada bagian kedua dari pelajaran ini:

Garis tegak lurus. Jarak suatu titik ke suatu garis.
Sudut antar garis lurus

Mari kita mulai dengan tugas yang khas dan sangat penting. Pada bagian pertama, kita belajar cara membuat garis lurus sejajar dengan garis ini, dan sekarang gubuk di atas kaki ayam akan berubah 90 derajat:

Bagaimana cara membuat garis yang tegak lurus terhadap garis tertentu?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tuliskan persamaan tegak lurus garis yang melalui titik tersebut.

Larutan: Dengan syarat diketahui bahwa . Akan menyenangkan untuk menemukan vektor pengarah garis. Karena garisnya tegak lurus, triknya sederhana:

Dari persamaan tersebut kita “menghilangkan” vektor normal: , yang akan menjadi vektor pengarah garis lurus.

Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Menjawab:

Mari kita perluas sketsa geometrisnya:

Hmm... Langit jingga, laut jingga, unta jingga.

Verifikasi analitis dari solusi:

1) Kami mengambil vektor arah dari persamaan dan dengan bantuan produk skalar vektor kita sampai pada kesimpulan bahwa garis-garis tersebut memang tegak lurus: .

Omong-omong, Anda bisa menggunakan vektor normal, bahkan lebih mudah.

2) Periksa apakah titik tersebut memenuhi persamaan yang dihasilkan .

Tes ini, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Temukan titik potong garis tegak lurus jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Ada beberapa tindakan dalam masalah ini, sehingga akan lebih mudah untuk merumuskan solusi poin demi poin.

Perjalanan menarik kami berlanjut:

Jarak dari titik ke garis

Kami memiliki aliran sungai yang lurus di depan kami dan tugas kami adalah mencapainya melalui jalur terpendek. Tidak ada hambatan, dan rute yang paling optimal adalah bergerak secara tegak lurus. Artinya, jarak suatu titik ke suatu garis adalah panjang ruas tegak lurus tersebut.

Jarak dalam geometri secara tradisional dilambangkan dengan huruf Yunani “rho”, misalnya: – jarak dari titik “em” ke garis lurus “de”.

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan rumus

Contoh 8

Temukan jarak dari suatu titik ke garis

Larutan: yang perlu Anda lakukan hanyalah mengganti angka-angka tersebut dengan hati-hati ke dalam rumus dan melakukan perhitungan:

Menjawab:

Mari kita membuat gambarnya:

Jarak yang didapat dari titik ke garis sama persis dengan panjang ruas merah. Jika Anda membuat gambar di atas kertas kotak-kotak dengan skala 1 satuan. = 1 cm (2 sel), maka jaraknya dapat diukur dengan penggaris biasa.

Mari pertimbangkan tugas lain berdasarkan gambar yang sama:

1) Carilah garis yang tegak lurus terhadap garis tersebut.

2) Temukan titik potong garis: .

Kedua tindakan tersebut dibahas secara rinci dalam pelajaran ini.

3) Titik adalah titik tengah ruas tersebut. Kita mengetahui koordinat tengah dan salah satu ujungnya. Oleh rumus koordinat titik tengah suatu ruas kami menemukan.

Sebaiknya periksa apakah jaraknya juga 2,2 satuan.

Kesulitan mungkin timbul dalam perhitungan di sini, tetapi mikrokalkulator sangat membantu dalam menara ini, memungkinkan Anda menghitung pecahan biasa. Saya telah menasihati Anda berkali-kali dan akan merekomendasikan Anda lagi.

Bagaimana cara mencari jarak antara dua garis sejajar?

Contoh 9

Temukan jarak antara dua garis sejajar

Ini adalah contoh lain untuk Anda putuskan sendiri. Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk: ada banyak cara untuk menyelesaikan masalah ini. Pembekalan di akhir pelajaran, tapi lebih baik coba tebak sendiri, menurut saya kecerdikan Anda sudah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Jika garis-garisnya tegak lurus, maka salah satu dari 4 sudut tersebut dapat diambil sebagai sudut di antara keduanya.

Bagaimana perbedaan sudutnya? Orientasi. Pertama, arah “gulir” sudut adalah hal yang sangat penting. Kedua, sudut yang berorientasi negatif ditulis dengan tanda minus, misalnya .

Mengapa aku memberitahumu hal ini? Tampaknya kita dapat bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Faktanya adalah rumus yang digunakan untuk mencari sudut dapat dengan mudah memberikan hasil negatif, dan ini tidak akan mengejutkan Anda. Sudut dengan tanda minus juga tidak lebih buruk, dan memiliki arti geometris yang sangat spesifik. Pada gambar, untuk sudut negatif, pastikan untuk menunjukkan orientasinya dengan panah (searah jarum jam).

Bagaimana cara mencari sudut antara dua garis lurus? Ada dua rumus kerja:

Contoh 10

Temukan sudut antar garis

Larutan Dan Metode satu

Mari kita perhatikan dua garis lurus yang ditentukan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak tegak lurus, Itu berorientasi Sudut antara keduanya dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

Mari kita perhatikan baik-baik penyebutnya - inilah tepatnya produk skalar mengarahkan vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut rumusnya menjadi nol, vektor-vektornya ortogonal dan garis-garisnya tegak lurus. Oleh karena itu dibuat reservasi tentang garis lurus yang tidak tegak lurus dalam formulasinya.

Berdasarkan penjelasan di atas, akan lebih mudah untuk memformalkan solusi dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar dari vektor-vektor arah garis:
, yang berarti garis-garisnya tidak tegak lurus.

2) Carilah sudut antar garis lurus dengan rumus:

Dengan menggunakan fungsi invers, mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam hal ini, kami menggunakan keanehan garis singgung busur (lihat. Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar):

Menjawab:

Dalam jawaban Anda, kami menunjukkan nilai pastinya, serta nilai perkiraan (sebaiknya dalam derajat dan radian), dihitung menggunakan kalkulator.

Garis lurus dalam ruang selalu dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang yang tidak sejajar. Jika persamaan suatu bidang merupakan persamaan bidang kedua, maka persamaan garisnya diberikan sebagai

Di Sini non-kolinear
. Persamaan ini disebut persamaan umum lurus di luar angkasa.

Persamaan garis kanonik

Setiap vektor bukan nol yang terletak pada suatu garis atau sejajar dengannya disebut vektor arah garis tersebut.

Jika intinya diketahui
garis lurus dan vektor arahnya
, maka persamaan garis kanonik berbentuk:

. (9)

Persamaan parametrik suatu garis

Biarkan persamaan garis kanonik diberikan

Dari sini kita memperoleh persamaan parametrik garis:

(10)

Persamaan ini berguna untuk mencari titik potong garis dan bidang.

Persamaan garis yang melalui dua titik
Dan
memiliki bentuk:

Sudut antar garis lurus

Sudut antar garis lurus

Dan

sama dengan sudut antara vektor arahnya. Oleh karena itu dapat dihitung dengan menggunakan rumus (4):

Syarat garis sejajar:

Syarat agar bidang tegak lurus:

Jarak suatu titik dari suatu garis

P katakanlah intinya diberikan
dan lurus

Dari persamaan garis kanonik kita mengetahui intinya
, milik suatu garis, dan vektor arahnya
. Lalu jarak titiknya
dari garis lurus sama dengan tinggi jajar genjang yang dibangun di atas vektor Dan
. Karena itu,

Kondisi perpotongan garis

Dua garis yang tidak sejajar

berpotongan jika dan hanya jika

Posisi relatif garis lurus dan bidang.

Biarkan garis lurus diberikan
dan pesawat. Sudut di antara mereka dapat ditemukan dengan rumus

Soal 73. Tulis persamaan kanonik garis tersebut

(11)

Larutan. Untuk menuliskan persamaan kanonik garis (9), perlu diketahui titik mana saja yang termasuk dalam garis dan vektor arah garis tersebut.

Mari kita cari vektornya , sejajar dengan garis ini. Karena harus tegak lurus terhadap vektor-vektor normal bidang-bidang ini, mis.

,
, Itu

Dari persamaan umum garis lurus kita mendapatkan persamaan tersebut
,
. Kemudian

Sejak saat itu
suatu titik pada suatu garis, maka koordinatnya harus memenuhi persamaan garis tersebut dan salah satunya dapat ditentukan, misalnya,
, kita cari dua koordinat lainnya dari sistem (11):

Dari sini,
.

Jadi, persamaan kanonik garis yang diinginkan berbentuk:

atau
.

Soal 74.

Dan
.

Larutan. Dari persamaan kanonik baris pertama diketahui koordinat titiknya
milik garis, dan koordinat vektor arah
. Dari persamaan kanonik garis kedua diketahui juga koordinat titiknya
dan koordinat vektor arah
.

Jarak antar garis sejajar sama dengan jarak titik
dari garis lurus kedua. Jarak ini dihitung dengan rumus

Mari kita cari koordinat vektornya
.

Mari kita hitung hasil kali vektornya
:

Soal 75. Temukan satu poin titik simetris
relatif lurus

Larutan. Mari kita tuliskan persamaan bidang yang tegak lurus terhadap garis tertentu dan melalui suatu titik . Sebagai vektor normalnya Anda dapat mengambil vektor pengarah garis lurus. Kemudian
. Karena itu,

Mari kita cari tahu maksudnya
titik potong garis ini dan bidang P. Caranya, kita tuliskan persamaan parametrik garis tersebut menggunakan persamaan (10), kita peroleh

Karena itu,
.

Membiarkan
titik simetris ke titik
relatif terhadap garis ini. Lalu tunjuk
titik tengah
. Untuk mencari koordinat suatu titik Kami menggunakan rumus koordinat titik tengah segmen:

,
,
.

Jadi,
.

Soal 76. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu garis
Dan

a) melalui suatu titik
;

b) tegak lurus terhadap bidang.

Larutan. Mari kita tuliskan persamaan umum garis ini. Untuk melakukan ini, pertimbangkan dua persamaan:

Artinya bidang yang diinginkan termasuk dalam kumpulan bidang yang mempunyai generator dan persamaannya dapat ditulis dalam bentuk (8):

a) Mari kita temukan
Dan dari syarat pesawat melewati titik tersebut
, oleh karena itu, koordinatnya harus memenuhi persamaan bidang. Mari kita substitusikan koordinat titiknya
ke dalam persamaan sekumpulan bidang:

Nilai yang ditemukan
Mari kita substitusikan ke persamaan (12). kita memperoleh persamaan bidang yang diinginkan:

b) Mari kita temukan
Dan dari kondisi bidang yang diinginkan tegak lurus terhadap bidang tersebut. Vektor normal suatu bidang tertentu
, vektor normal bidang yang diinginkan (lihat persamaan sekumpulan bidang (12).