- — [] fungsi kuadrat Fungsi bentuk y= ax2 + bx + c (a ? 0). Grafik K.f. - parabola yang titik puncaknya mempunyai koordinat [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], dengan a>0 cabang parabola ... ...
FUNGSI KUADRAT, FUNGSI matematis yang nilainya bergantung pada kuadrat variabel bebas x, dan masing-masing dinyatakan dalam POLINOMI kuadrat, contoh: f(x) = 4x2 + 17 atau f(x) = x2 + 3x + 2. lihat juga PERSAMAAN KOTAK … Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis
Fungsi kuadrat- Fungsi kuadrat - fungsi berbentuk y= ax2 + bx + c (a ≠ 0). Grafik K.f. - parabola yang titik puncaknya mempunyai koordinat [ b/ 2a, (b2 4ac) / 4a], untuk a > 0 cabang parabola mengarah ke atas, untuk a< 0 –вниз… …
- (kuadrat) Fungsi yang mempunyai bentuk sebagai berikut: y=ax2+bx+c, dimana a≠0 dan derajat tertinggi x adalah persegi. Persamaan kuadrat y=ax2 +bx+c=0 juga dapat diselesaikan dengan rumus berikut: x= –b+ √ (b2–4ac) /2a. Akar ini nyata... Kamus ekonomi
Fungsi kuadrat affine pada ruang affine S adalah fungsi apa pun Q: S→K, yang dalam bentuk vektor memiliki bentuk Q(x)=q(x)+l(x)+c, dengan q adalah fungsi kuadrat, l adalah fungsi linier, c adalah konstanta. Daftar Isi 1 Menggeser titik acuan 2 ... ... Wikipedia
Fungsi kuadrat affine pada ruang affine adalah fungsi apa pun yang berbentuk vektor, dengan matriks simetris, fungsi linier, konstanta. Isi... Wikipedia
Suatu fungsi pada ruang vektor yang ditentukan oleh polinomial homogen derajat kedua dalam koordinat vektor. Isi 1 Definisi 2 Definisi terkait... Wikipedia
- adalah fungsi yang secara teori solusi statistik mencirikan kerugian akibat pengambilan keputusan yang salah berdasarkan data yang diamati. Jika masalah memperkirakan parameter sinyal dengan latar belakang noise diselesaikan, maka fungsi kerugian adalah ukuran perbedaannya... ... Wikipedia
fungsi objektif- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Kamus Teknik Elektro dan Tenaga Listrik Inggris-Rusia, Moskow, 1999] fungsi objektif Dalam permasalahan ekstrim, suatu fungsi yang minimum atau maksimumnya perlu dicari. Ini… … Panduan Penerjemah Teknis
Fungsi objektif- dalam masalah ekstrim, suatu fungsi yang minimum atau maksimumnya perlu dicari. Ini konsep kunci pemrograman yang optimal. Setelah menemukan titik ekstrem C.f. dan, oleh karena itu, setelah menentukan nilai variabel terkontrol yang masuk ke dalamnya... ... Kamus ekonomi dan matematika
Buku
- Seperangkat tabel. Matematika. Grafik fungsi (10 tabel), . Album pendidikan 10 lembar. Fungsi linear. Penugasan fungsi secara grafis dan analitis. Fungsi kuadrat. Transformasi Grafik fungsi kuadrat. Fungsi y=sinx. Fungsi y=cosx.…
- Fungsi matematika sekolah yang paling penting adalah kuadrat - dalam masalah dan solusi, Petrov N.N.. Fungsi kuadrat merupakan fungsi utama mata kuliah matematika sekolah. Tidak heran. Di satu sisi, kesederhanaan fungsi ini, dan di sisi lain, makna yang mendalam. Banyak tugas sekolah...
Dalam pelajaran matematika di sekolah, Anda telah mengenal sifat-sifat paling sederhana dan grafik suatu fungsi kamu = x2. Mari kita perluas pengetahuan kita tentang fungsi kuadrat.
Latihan 1.
Buat grafik fungsinya kamu = x2. Skala: 1 = 2 cm Tandai sebuah titik pada sumbu Oy F(0; 1/4). Dengan menggunakan kompas atau selembar kertas, ukur jarak dari titik tersebut F ke beberapa titik M parabola. Kemudian tempelkan strip pada titik M dan putar mengelilingi titik tersebut hingga vertikal. Ujung strip akan jatuh sedikit di bawah sumbu x (Gbr. 1). Tandai pada strip seberapa jauh garis tersebut melampaui sumbu x. Sekarang ambil titik lain pada parabola dan ulangi pengukurannya lagi. Berapa jauh tepi strip berada di bawah sumbu x?
Hasil: berapapun titik pada parabola y = x 2 yang diambil, jarak titik tersebut ke titik F(0; 1/4) adalah jarak yang lebih jauh dari titik yang sama ke sumbu x selalu dengan angka yang sama - sebesar 1/4.
Kita dapat mengatakannya secara berbeda: jarak dari titik mana pun pada parabola ke titik (0; 1/4) sama dengan jarak dari titik yang sama pada parabola ke garis lurus y = -1/4. Titik indah F(0; 1/4) ini disebut fokus parabola y = x 2, dan garis lurus y = -1/4 – kepala sekolah parabola ini. Setiap parabola mempunyai direktriks dan fokus.
Sifat-sifat menarik dari parabola:
1. Setiap titik pada parabola berjarak sama dari suatu titik, yang disebut fokus parabola, dan suatu garis lurus, yang disebut direktriksnya.
2. Jika Anda memutar parabola mengelilingi sumbu simetri (misalnya parabola y = x 2 mengelilingi sumbu Oy), Anda akan mendapatkan permukaan yang sangat menarik yang disebut paraboloid revolusi.
Permukaan zat cair dalam bejana yang berputar berbentuk paraboloid revolusi. Anda dapat melihat permukaan ini jika Anda mengaduk kuat-kuat dengan sendok di dalam gelas teh yang tidak lengkap, lalu mengeluarkan sendoknya.
3. Jika sebuah batu dilempar ke dalam kehampaan dengan sudut tertentu terhadap cakrawala, batu tersebut akan terbang membentuk parabola (Gbr. 2).
4. Jika permukaan kerucut dipotong dengan bidang yang sejajar dengan salah satu generatriknya, maka penampang tersebut akan menghasilkan parabola (Gbr. 3).
5. Taman hiburan terkadang memiliki wahana menyenangkan yang disebut Paraboloid of Wonders. Bagi semua orang yang berdiri di dalam paraboloid yang berputar, tampaknya dia berdiri di lantai, sementara orang lain entah bagaimana secara ajaib berpegangan pada dinding.
6. Dalam teleskop pemantul, cermin parabola juga digunakan: cahaya bintang jauh, yang datang dalam berkas paralel, jatuh pada cermin teleskop, dikumpulkan menjadi fokus.
7. Lampu sorot biasanya memiliki cermin berbentuk paraboloid. Jika sumber cahaya ditempatkan pada titik fokus paraboloid, maka sinar yang dipantulkan dari cermin parabola akan membentuk berkas sejajar.
Membuat Grafik Fungsi Kuadrat
Pada pelajaran matematika, Anda telah mempelajari cara memperoleh grafik fungsi dari grafik fungsi y = x 2:
1) y = kapak 2– merentangkan grafik y = x 2 sepanjang sumbu Oy di |a| kali (dengan |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, beras. 4).
2) kamu = x 2 + n– pergeseran grafik sebesar n satuan sepanjang sumbu Oy, dan jika n > 0, maka pergeserannya ke atas, dan jika n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) kamu = (x + m) 2– pergeseran grafik sebanyak m satuan sepanjang sumbu Ox: jika m< 0, то вправо, а если m >0, lalu kiri, (Gbr. 5).
4) kamu = -x 2– tampilan simetris relatif terhadap sumbu Ox pada grafik y = x 2 .
Mari kita lihat lebih dekat cara memplot fungsinya kamu = a(x – m) 2 + n.
Fungsi kuadrat berbentuk y = ax 2 + bx + c selalu dapat direduksi menjadi bentuk tersebut
y = a(x – m) 2 + n, dimana m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Mari kita buktikan.
Benar-benar,
y = kapak 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Mari kita perkenalkan notasi baru.
Membiarkan m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
maka kita peroleh y = a(x – m) 2 + n atau y – n = a(x – m) 2.
Mari kita lakukan substitusi lagi: misalkan y – n = Y, x – m = X (*).
Kemudian kita peroleh fungsi Y = aX 2 yang grafiknya berbentuk parabola.
Titik puncak parabola berada pada titik asal. X = 0; kamu = 0.
Substitusikan koordinat titik tersebut ke dalam (*), kita peroleh koordinat titik sudut grafik y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Jadi, untuk memplot fungsi kuadrat direpresentasikan sebagai
kamu = a(x – m) 2 + n
melalui transformasi, Anda dapat melanjutkan sebagai berikut:
A) plot fungsinya y = x 2 ;
B) dengan translasi paralel sepanjang sumbu Ox sebanyak m satuan dan sepanjang sumbu Oy sebanyak n satuan - pindahkan titik puncak parabola dari titik asal ke titik dengan koordinat (m; n) (Gbr. 6).
Merekam transformasi:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Contoh.
Dengan menggunakan transformasi, buatlah grafik fungsi y = 2(x – 3) 2 dalam sistem koordinat Cartesian – 2.
Larutan.
Rantai transformasi:
kamu = x2 (1) → kamu = (x – 3) 2 (2) → kamu = 2(x – 3) 2 (3) → kamu = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Plotnya ditunjukkan pada beras. 7.
Anda dapat berlatih sendiri membuat grafik fungsi kuadrat. Misalnya membuat grafik fungsi y = 2(x + 3) 2 + 2 dalam satu sistem koordinat dengan menggunakan transformasi pelajaran 25 menit gratis dengan tutor online setelah . Untuk pekerjaan lebih lanjut dengan seorang guru, Anda dapat memilih salah satu yang cocok untuk Anda
Masih ada pertanyaan? Tidak tahu cara membuat grafik fungsi kuadrat?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!
blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.
Seperti yang diperlihatkan oleh praktik, tugas-tugas tentang sifat-sifat dan grafik fungsi kuadrat menyebabkan kesulitan yang serius. Hal ini cukup aneh, karena mereka mempelajari fungsi kuadrat di kelas 8, dan kemudian sepanjang kuartal pertama kelas 9 mereka “menyiksa” sifat-sifat parabola dan membuat grafiknya untuk berbagai parameter.
Hal ini disebabkan karena ketika memaksa siswa membuat parabola, mereka praktis tidak meluangkan waktu untuk “membaca” grafik, yaitu tidak berlatih memahami informasi yang diterima dari gambar. Rupanya, diasumsikan bahwa, setelah membuat selusin grafik, seorang siswa yang cerdas akan menemukan dan merumuskan hubungan antara koefisien dalam rumus dan penampilan seni grafis. Dalam praktiknya hal ini tidak berhasil. Generalisasi seperti itu memerlukan pengalaman serius dalam penelitian mini matematika, yang tentu saja tidak dimiliki oleh sebagian besar siswa kelas sembilan. Sementara itu, Inspektorat Negara mengusulkan untuk menentukan tanda-tanda koefisien dengan menggunakan grafik.
Kami tidak akan menuntut hal yang mustahil dari anak sekolah dan hanya akan menawarkan salah satu algoritma untuk memecahkan masalah tersebut.
Jadi, fungsi dari formulir y = kapak 2 + bx + c disebut kuadrat, grafiknya parabola. Sesuai dengan namanya, istilah utamanya adalah kapak 2. Itu adalah A tidak boleh sama dengan nol, koefisien yang tersisa ( B Dan Dengan) bisa sama dengan nol.
Mari kita lihat bagaimana tanda-tanda koefisiennya mempengaruhi penampakan parabola.
Ketergantungan paling sederhana pada koefisien A. Kebanyakan anak sekolah dengan percaya diri menjawab: “jika A> 0, maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas, dan jika A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.
kamu = 0,5x 2 - 3x + 1
DI DALAM pada kasus ini A = 0,5
Dan sekarang untuk A < 0:
kamu = - 0,5x2 - 3x + 1
Pada kasus ini A = - 0,5
Dampak koefisien Dengan Cara mengikutinya juga cukup mudah. Bayangkan kita ingin mencari nilai suatu fungsi di suatu titik X= 0. Substitusikan nol ke dalam rumus:
kamu = A 0 2 + B 0 + C = C. Ternyata itu kamu = c. Itu adalah Dengan adalah ordinat titik potong parabola dengan sumbu y. Biasanya titik ini mudah ditemukan pada grafik. Dan tentukan apakah letaknya di atas nol atau di bawahnya. Itu adalah Dengan> 0 atau Dengan < 0.
Dengan > 0:
kamu = x 2 + 4x + 3
Dengan < 0
kamu = x 2 + 4x - 3
Oleh karena itu, jika Dengan= 0, maka parabola tentu melewati titik asal:
kamu = x 2 + 4x
Lebih sulit dengan parameternya B. Titik di mana kita akan menemukannya tidak hanya bergantung pada B tetapi juga dari A. Ini adalah bagian atas parabola. Absisnya (koordinat sumbu X) ditemukan dengan rumus x dalam = - b/(2a). Dengan demikian, b = - 2ax masuk. Artinya, kita melanjutkan sebagai berikut: kita menemukan titik puncak parabola pada grafik, menentukan tanda absisnya, yaitu kita melihat ke kanan nol ( x masuk> 0) atau ke kiri ( x masuk < 0) она лежит.
Namun, bukan itu saja. Kita juga perlu memperhatikan tanda koefisiennya A. Artinya, lihat ke mana arah cabang-cabang parabola tersebut. Dan baru setelah itu, sesuai rumus b = - 2ax masuk menentukan tandanya B.
Mari kita lihat sebuah contoh:
Cabang-cabangnya mengarah ke atas yang artinya A> 0, parabola memotong sumbunya pada berarti di bawah nol Dengan < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x masuk> 0. Jadi b = - 2ax masuk = -++ = -. B < 0. Окончательно имеем: A > 0, B < 0, Dengan < 0.
Fungsi dari bentuk dimana dipanggil fungsi kuadrat.
Grafik fungsi kuadrat – parabola.
Mari kita pertimbangkan kasusnya:
KASUS SAYA, PARABOLA KLASIK
Itu adalah , ,
Untuk menyusunnya, isi tabel dengan mensubstitusikan nilai x ke dalam rumus:
Tandai poinnya (0;0); (1;1); (-1;1), dst. pada bidang koordinat (semakin kecil langkah kita mengambil nilai x (dalam hal ini langkah 1), dan semakin banyak nilai x yang kita ambil, maka kurvanya akan semakin mulus), kita mendapatkan parabola:
Sangat mudah untuk melihat bahwa jika kita mengambil kasus , , , maka kita mendapatkan parabola yang simetris terhadap sumbu (oh). Sangat mudah untuk memverifikasi ini dengan mengisi tabel serupa:
II KASUS, “a” BERBEDA DARI UNIT
Apa yang akan terjadi jika kita mengambil , , ? Bagaimana perilaku parabola akan berubah? Dengan title="Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Pada gambar pertama (lihat di atas) terlihat jelas bahwa titik-titik dari tabel parabola (1;1), (-1;1) diubah menjadi titik (1;4), (1;-4), yaitu, dengan nilai yang sama, ordinat setiap titik dikalikan dengan 4. Hal ini akan terjadi pada semua titik kunci pada tabel asli. Kami beralasan serupa dalam kasus gambar 2 dan 3.
Dan ketika parabola “menjadi lebih lebar” dari parabola:
Mari kita rangkum:
1)Tanda koefisien menentukan arah cabang. Dengan judul="Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Nilai mutlak koefisien (modulus) bertanggung jawab atas “ekspansi” dan “kompresi” parabola. Semakin besar , semakin sempit parabolanya, semakin kecil |a|, semakin lebar parabolanya.
III KASUS, “C” MUNCUL
Sekarang mari kita perkenalkan ke dalam permainan (yaitu, pertimbangkan kasus kapan), kita akan mempertimbangkan bentuk parabola . Tidak sulit untuk menebak (Anda selalu dapat merujuk ke tabel) bahwa parabola akan bergeser ke atas atau ke bawah sepanjang sumbu tergantung pada tandanya:
IV KASUS, “b” MUNCUL
Kapan parabola akan “melepaskan diri” dari sumbunya dan akhirnya “berjalan” sepanjang seluruh bidang koordinat? Kapan hal itu tidak lagi setara?
Di sini untuk membuat parabola kita perlu rumus menghitung titik puncak: , .
Jadi pada titik ini (seperti pada titik (0;0) sistem baru koordinat) kita akan membuat parabola, yang sudah bisa kita lakukan. Jika kita berhadapan dengan kasus tersebut, maka dari titik puncak kita letakkan satu satuan ruas ke kanan, satu ke atas, - titik yang dihasilkan adalah milik kita (demikian pula, satu langkah ke kiri, satu langkah ke atas adalah titik kita); jika kita berhadapan dengan, misalnya, maka dari titik sudut kita letakkan satu ruas satuan ke kanan, dua ke atas, dst.
Misalnya titik puncak parabola:
Sekarang hal utama yang harus dipahami adalah pada titik ini kita akan membuat parabola sesuai dengan pola parabola, karena dalam kasus kita.
Saat membuat parabola setelah menemukan koordinat titik puncaknyaAkan lebih mudah untuk mempertimbangkan poin-poin berikut:
1) parabola pasti akan melewati titik tersebut . Memang, dengan memasukkan x=0 ke dalam rumus, kita memperoleh bahwa . Artinya, ordinat titik potong parabola dengan sumbu (oy) adalah . Dalam contoh kita (di atas), parabola memotong ordinatnya di titik , karena .
2) sumbu simetri parabola adalah garis lurus, maka semua titik pada parabola tersebut akan simetris terhadap garis tersebut. Dalam contoh kita, kita segera mengambil titik (0; -2) dan membangunnya simetris terhadap sumbu simetri parabola, kita mendapatkan titik (4; -2) yang akan dilalui parabola.
3) Sama dengan , kita mencari titik potong parabola dengan sumbu (oh). Untuk melakukan ini, kita selesaikan persamaannya. Bergantung pada diskriminannya, kita akan mendapatkan satu (, ), dua ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Pada contoh sebelumnya, akar diskriminan kita bukanlah bilangan bulat; ketika membangun, tidak masuk akal bagi kita untuk mencari akarnya, tetapi kita melihat dengan jelas bahwa kita akan memiliki dua titik perpotongan dengan sumbu (oh) (sejak title="Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Jadi mari kita selesaikan
Algoritma untuk membuat parabola jika diberikan dalam bentuk
1) tentukan arah cabang (a>0 – ke atas, a<0 – вниз)
2) kita mencari koordinat titik puncak parabola menggunakan rumus , .
3) kita mencari titik potong parabola dengan sumbu (oy) menggunakan suku bebas, buatlah sebuah titik yang simetris dengan titik ini terhadap sumbu simetri parabola (perlu dicatat bahwa tidak menguntungkan untuk menandai poin ini, misal karena nilainya besar... kita lewati poin ini...)
4) Pada titik yang ditemukan - titik puncak parabola (seperti pada titik (0;0) dari sistem koordinat baru) kita membuat parabola. Jika title="Dirender oleh QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Kita mencari titik potong parabola dengan sumbu (oy) (jika belum “muncul”) dengan menyelesaikan persamaan
Contoh 1
Contoh 2
Catatan 1. Jika parabola awalnya diberikan kepada kita dalam bentuk , dimana ada beberapa bilangan (misalnya ), maka akan lebih mudah untuk membangunnya, karena kita telah diberikan koordinat titik puncaknya . Mengapa?
Mari kita ambil trinomial kuadrat dan pilih kotak lengkap di dalamnya: Lihat, kita dapat itu, . Anda dan saya sebelumnya menyebut titik puncak parabola, yaitu sekarang.
Misalnya, . Kita menandai titik puncak parabola pada bidang, kita memahami bahwa cabang-cabangnya mengarah ke bawah, parabola melebar (relatif terhadap ). Artinya, kita melaksanakan poin 1; 3; 4; 5 dari algoritma pembuatan parabola (lihat di atas).
Catatan 2. Jika parabola diberikan dalam bentuk yang mirip dengan ini (yaitu disajikan sebagai hasil kali dua faktor linier), maka kita langsung melihat titik potong parabola dengan sumbu (sapi). Dalam hal ini – (0;0) dan (4;0). Selebihnya, kami bertindak sesuai algoritma, membuka tanda kurung.
