Fungsi objektif- fungsi nyata atau bilangan bulat dari beberapa variabel yang dioptimasi (minimalkan atau maksimalkan) untuk menyelesaikan beberapa masalah optimasi. Istilah yang digunakan dalam pemrograman matematika, riset operasi, pemrograman linier, teori solusi statistik dan bidang matematika lainnya, terutama yang bersifat terapan, meskipun tujuan optimasi juga dapat menjadi solusi dari masalah matematika itu sendiri. Di samping itu fungsi objektif Dalam masalah optimasi, batasan untuk variabel dapat ditentukan dalam bentuk sistem persamaan atau pertidaksamaan. DI DALAM kasus umum argumen fungsi target dapat ditentukan pada himpunan arbitrer.
Contoh
Fungsi halus dan sistem persamaan
Masalah penyelesaian sistem persamaan apa pun
( F 1 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 F 2 (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 … F N (x 1 , x 2 , … , x M) = 0 ( \displaystyle \kiri\((\begin(matriks)F_(1)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\\F_(2)(x_(1),x_ (2),\ldots ,x_(M))=0\\\ldots \\F_(N)(x_(1),x_(2),\ldots ,x_(M))=0\end(matriks) )\Kanan.)
dapat dirumuskan sebagai masalah minimalisasi fungsi tujuan
S = ∑ j = 1 N F j 2 (x 1 , x 2 , … , x M) (1) (\displaystyle S=\sum _(j=1)^(N)F_(j)^(2)( x_(1),x_(2),\ltitik ,x_(M))\qquad (1))
Jika fungsinya mulus, maka masalah minimalisasi dapat diselesaikan dengan menggunakan metode gradien.
Untuk fungsi tujuan mulus apa pun, turunan parsial terhadap semua variabel dapat disamakan dengan 0 (\displaystyle 0). Fungsi tujuan optimum akan menjadi salah satu solusi dari sistem persamaan tersebut. Dalam kasus fungsi (1) (\displaystyle (1)) ini akan menjadi sistem persamaan metode kuadrat terkecil(MNC). Setiap penyelesaian sistem asal merupakan penyelesaian sistem kuadrat terkecil. Jika sistem aslinya tidak konsisten, maka sistem kuadrat terkecil, yang selalu memiliki solusi, memungkinkan kita memperoleh solusi perkiraan dari sistem aslinya. Jumlah persamaan dalam sistem kuadrat terkecil bertepatan dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui, yang terkadang memudahkan penyelesaian sistem awal gabungan.
Pemrograman linier
Untuk yang lainnya contoh terkenal Fungsi tujuan merupakan fungsi linier yang muncul dalam permasalahan program linier. Berbeda dengan fungsi tujuan kuadrat, optimasi fungsi linier hanya mungkin dilakukan jika terdapat batasan berupa sistem persamaan atau pertidaksamaan linier.
Optimasi kombinatorial
Contoh umum dari fungsi tujuan kombinatorial adalah fungsi tujuan dari masalah travelling salesman. Fungsi ini sama dengan panjang siklus Hamilton pada grafik. Ia didefinisikan pada himpunan permutasi n − 1 (\displaystyle n-1) simpul pada suatu graf dan ditentukan oleh matriks panjang tepi graf. Solusi yang tepat untuk permasalahan seperti ini sering kali bergantung pada penghitungan pilihan.
Bab 1. Pernyataan masalah utama program linier
Pemrograman linier
Pemrograman linier adalah salah satu cabang pemrograman matematika yang mempelajari metode penyelesaian masalah ekstrem yang bercirikan ketergantungan linier antar variabel dan uji linier. Masalah-masalah seperti ini banyak diterapkan dalam berbagai bidang aktivitas manusia. Studi sistematis terhadap masalah jenis ini dimulai pada tahun 1939–1940. dalam karya L.V. Kantorovich.
Masalah matematika pemrograman linier mencakup studi tentang situasi produksi dan ekonomi tertentu, yang dalam satu atau lain bentuk ditafsirkan sebagai masalah tentang penggunaan sumber daya yang terbatas secara optimal.
Cakupan permasalahan yang diselesaikan dengan metode program linier cukup luas, misalnya:
masalah pemanfaatan sumber daya secara optimal dalam perencanaan produksi;
masalah campuran (perencanaan komposisi produk);
masalah menemukan kombinasi optimal berbagai jenis produk untuk penyimpanan di gudang (manajemen inventaris atau);
tugas transportasi (analisis lokasi perusahaan, pergerakan barang).
Pemrograman linier adalah bagian pemrograman matematika yang paling berkembang dan banyak digunakan (selain itu, ini termasuk: pemrograman bilangan bulat, dinamis, nonlinier, parametrik). Hal ini dijelaskan sebagai berikut:
model matematika dari sejumlah besar masalah ekonomi bersifat linier terhadap variabel yang diperlukan;
Jenis masalah ini adalah yang paling banyak dipelajari saat ini. Dirancang untuknya metode khusus, dengan bantuan yang memecahkan masalah ini, dan program komputer yang sesuai;
banyak masalah pemrograman linier, setelah dipecahkan, telah diterapkan secara luas;
Beberapa permasalahan yang pada rumusan aslinya tidak linier, setelah dilakukan sejumlah pembatasan dan asumsi tambahan, dapat menjadi linier atau dapat direduksi sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan dengan metode pemrograman linier.
Model ekonomi dan matematika dari setiap masalah program linier meliputi: fungsi tujuan, nilai optimal mana (maksimum atau minimum) yang perlu dicari; pembatasan dalam bentuk suatu sistem persamaan linear atau kesenjangan; persyaratan non-negatif variabel.
DI DALAM pandangan umum modelnya ditulis sebagai berikut:
fungsi objektif
(1.1) dengan pembatasan
(1.2) persyaratan non-negatif
(1.3) dimana X J– variabel (tidak diketahui);
- Koefisien masalah program linier.
Masalahnya adalah menemukan nilai optimal fungsi (1.1) dengan batasan (1.2) dan (1.3).
Sistem batasan (1.2) disebut batasan fungsional dari masalah, dan batasan (1.3) disebut langsung.
Vektor yang memenuhi batasan (1.2) dan (1.3) disebut solusi yang dapat diterima (rencana) dari masalah program linier. Rencana di mana fungsi (1.1) mencapai nilai maksimum (minimum) disebut optimal.
1.2. Metode simpleks untuk menyelesaikan masalah program linier
Metode simpleks dikembangkan dan pertama kali digunakan untuk menyelesaikan masalah pada tahun 1947 oleh ahli matematika Amerika J. Danzig.
Masalah pemrograman linier dua dimensi diselesaikan secara grafis. Untuk kasus N=3 kita dapat mempertimbangkan ruang tiga dimensi dan fungsi tujuan akan mencapai nilai optimalnya di salah satu simpul polihedron.
Solusi yang dapat diterima (rencana yang dapat diterima) dari suatu masalah LP yang diberikan dalam bentuk standar adalah himpunan bilangan terurut (x1, x2, ..., xn) yang memenuhi batasan; itu adalah titik dalam ruang berdimensi-n.
Himpunan solusi yang dapat diterima membentuk wilayah solusi yang dapat diterima (ADS) dari permasalahan LP. ODR adalah polihedron cembung (poligon).
Secara umum, jika permasalahan melibatkan N yang tidak diketahui, kita dapat mengatakan bahwa wilayah solusi layak yang didefinisikan oleh sistem kondisi pembatas diwakili oleh polihedron cembung dalam ruang berdimensi n dan nilai optimal dari fungsi tujuan dicapai pada satu titik. atau lebih simpul.
Solusi dasar adalah solusi yang semua variabel bebasnya sama dengan nol.
Solusi dukungan adalah solusi dasar non-negatif. Solusi dukungan dapat bersifat non-degenerasi dan degenerasi. Suatu solusi referensi disebut non-degenerate jika jumlah koordinat bukan nolnya sama dengan rank sistem, jika tidak, maka solusi tersebut mengalami degenerasi.
Solusi yang dapat diterima dimana fungsi tujuan mencapai nilai ekstrimnya disebut optimal dan dinotasikan dengan 
.
Sangat sulit untuk menyelesaikan permasalahan ini secara grafis jika jumlah variabelnya lebih dari 3. Ada cara universal untuk menyelesaikan masalah program linier, yang disebut metode simpleks.
Metode simpleks merupakan metode universal untuk menyelesaikan permasalahan LP, yaitu proses berulang yang dimulai dengan satu solusi dan, dalam mencari pilihan terbaik, bergerak sepanjang titik sudut wilayah solusi yang layak hingga mencapai nilai optimal.
Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier apa pun.
Metode simpleks didasarkan pada gagasan perbaikan berurutan dari solusi yang dihasilkan.
Arti geometris dari metode simpleks adalah transisi berurutan dari satu titik polihedron kendala ke titik tetangganya, di mana fungsi tujuan mengambil nilai terbaik (atau setidaknya bukan yang terburuk) hingga ditemukan solusi optimal - titik di mana nilai optimal tercapai fungsi tujuan (jika permasalahan mempunyai optimal akhir).
Jadi, dengan mereduksi sistem batasan menjadi bentuk kanonik (semua batasan fungsional memiliki bentuk persamaan), mereka menemukan solusi dasar apa pun untuk sistem ini, hanya peduli untuk menemukannya sesederhana mungkin. Jika solusi dasar pertama yang ditemukan ternyata layak, maka solusi tersebut diperiksa optimalitasnya. Jika tidak optimal, maka dilakukan transisi ke solusi dasar lain yang dapat diterima. Metode simpleks menjamin bahwa dengan solusi baru ini fungsi tujuan, jika tidak mencapai optimal, akan mendekatinya (atau setidaknya tidak akan menjauh darinya). Hal yang sama dilakukan terhadap solusi basa layak baru hingga ditemukan solusi optimal.
Proses penerapan metode simpleks melibatkan penerapan tiga elemen utamanya:
suatu metode untuk menentukan solusi dasar awal yang layak terhadap suatu masalah;
aturan transisi ke solusi terbaik (lebih tepatnya, bukan lebih buruk);
kriteria untuk memeriksa optimalitas solusi yang ditemukan.
Metode simpleks meliputi beberapa tahapan dan dapat dirumuskan dalam bentuk algoritma yang jelas (instruksi yang jelas untuk melakukan operasi berurutan). Hal ini memungkinkan Anda untuk berhasil memprogram dan mengimplementasikannya di komputer. Permasalahan dengan jumlah variabel dan batasan yang sedikit dapat diselesaikan secara manual dengan menggunakan metode simpleks.
6.1.Pendahuluan
Optimasi. Bagian 1
Metode pengoptimalan memungkinkan Anda memilih pilihan terbaik desain dari semua pilihan yang memungkinkan. DI DALAM tahun terakhir metode-metode ini telah diberikan perhatian besar, dan sebagai hasilnya, sejumlah algoritma yang sangat efisien dikembangkan yang memungkinkan untuk menemukan opsi desain optimal menggunakan komputer. Bab ini menguraikan dasar-dasar teori optimasi, mengkaji prinsip-prinsip yang mendasari konstruksi algoritma untuk solusi optimal, menjelaskan algoritma yang paling terkenal, dan menganalisis kelebihan dan kekurangannya.
6.2.Dasar-dasar teori optimasi
Istilah "optimasi" dalam literatur mengacu pada proses atau rangkaian operasi yang memungkinkan seseorang memperoleh solusi yang lebih baik. Meskipun tujuan akhir dari optimasi adalah untuk menemukan solusi terbaik, atau “optimal”, kita biasanya harus puas dengan memperbaiki solusi yang sudah diketahui daripada menyempurnakannya. Oleh karena itu, optimasi dipahami sebagai keinginan untuk kesempurnaan, yang mungkin tidak dapat dicapai.
Mengingat beberapa sistem sewenang-wenang yang dijelaskan oleh m persamaan dengan n yang tidak diketahui, kita dapat membedakan tiga jenis masalah utama. Jika m=n, maka soal tersebut disebut aljabar. Masalah ini biasanya mempunyai satu solusi. Jika m>n, maka masalahnya terlalu ditentukan dan, sebagai suatu peraturan, tidak memiliki solusi. Akhirnya, untuk m
Sebelum kita mulai membahas masalah optimasi, kami memperkenalkan sejumlah definisi.
Parameter desain
Istilah ini menunjukkan parameter variabel independen yang secara lengkap dan jelas menentukan masalah desain yang sedang dipecahkan. Parameter desain adalah besaran yang tidak diketahui yang nilainya dihitung selama proses optimasi. Besaran dasar atau turunan apa pun yang berfungsi untuk mendeskripsikan sistem secara kuantitatif dapat berfungsi sebagai parameter desain. Ya, bisa jadi nilai yang tidak diketahui panjang, massa, waktu, suhu. Jumlah parameter desain mencirikan tingkat kompleksitas masalah desain tertentu. Biasanya jumlah parameter desain dilambangkan dengan n, dan parameter desain itu sendiri dilambangkan dengan x dengan indeks yang sesuai. Jadi, n parameter desain dari masalah ini akan dilambangkan dengan
X1, x2, x3,...,xn.
Fungsi objektif
Ini adalah ekspresi yang nilainya ingin dicapai oleh insinyur secara maksimal atau minimum. Fungsi tujuan memungkinkan Anda membandingkan dua solusi alternatif secara kuantitatif. Dari sudut pandang matematika, fungsi tujuan menggambarkan beberapa permukaan berdimensi (n+1). Nilainya ditentukan oleh parameter desain
M=M(x 1, x 2,...,xn).
Contoh fungsi tujuan yang sering dijumpai dalam praktek keinsinyuran adalah biaya, berat, kekuatan, dimensi, efisiensi. Jika hanya ada satu parameter desain, maka fungsi tujuan dapat direpresentasikan dengan kurva pada bidang (Gbr. 6.1). Jika terdapat dua parameter desain, maka fungsi tujuan akan digambarkan sebagai permukaan dalam ruang tiga dimensi (Gbr. 6.2). Dengan tiga atau lebih parameter desain, permukaan yang ditentukan oleh fungsi tujuan disebut permukaan hiper dan tidak dapat digambarkan.
pernikahan dengan cara biasa. Sifat topologi permukaan fungsi tujuan memainkan peran besar dalam proses optimasi, karena pilihan algoritma yang paling efisien bergantung pada sifat tersebut.
Fungsi tujuan dalam beberapa kasus dapat mengambil bentuk yang paling tidak terduga. Misalnya, tidak selalu mungkin untuk mengungkapkannya
Gambar 1. Fungsi tujuan satu dimensi.
Gambar 6.2 Fungsi tujuan dua dimensi.
bentuk matematika tertutup, dalam kasus lain bisa
mewakili fungsi halus sedikit demi sedikit. Menentukan fungsi tujuan terkadang memerlukan tabel data teknis (misalnya, tabel keadaan uap air) atau mungkin memerlukan eksperimen. Dalam beberapa kasus, parameter desain hanya mengambil nilai integer. Contohnya adalah jumlah gigi transmisi gigi atau jumlah baut pada flensa. Terkadang parameter desain hanya memiliki dua arti - ya atau tidak. Parameter kualitatif, seperti kepuasan yang dialami pembeli yang membeli produk, keandalan, estetika, sulit diperhitungkan dalam proses optimasi, karena hampir tidak mungkin untuk dikarakterisasi secara kuantitatif. Namun, bagaimana pun fungsi tujuan disajikan, fungsi tersebut harus merupakan fungsi parameter desain yang tidak ambigu.
Sejumlah masalah optimasi memerlukan pengenalan lebih dari satu fungsi tujuan. Terkadang salah satu dari mereka mungkin tidak cocok dengan yang lain. Contohnya adalah desain pesawat terbang, yang memerlukan kekuatan maksimum, berat minimum, dan biaya minimum secara bersamaan. Dalam kasus seperti ini, perancang harus memperkenalkan sistem prioritas dan menetapkan pengali tak berdimensi tertentu untuk setiap fungsi tujuan. Hasilnya, muncul “fungsi kompromi”, yang memungkinkan penggunaan satu fungsi tujuan gabungan selama proses optimasi.
Menemukan minimum dan maksimum
Beberapa algoritma optimasi dirancang untuk menemukan nilai maksimum, yang lain - untuk menemukan nilai minimum. Namun, apa pun jenis masalah ekstrem yang dipecahkan, Anda dapat menggunakan algoritma yang sama, karena masalah minimalisasi dapat dengan mudah diubah menjadi masalah pencarian maksimum dengan membalik tanda fungsi tujuan. Teknik ini diilustrasikan pada Gambar 6.3.
Ruang desain
Ini adalah nama area yang ditentukan oleh n parameter desain. Ruang desainnya tidak sebesar kelihatannya, karena biasanya dibatasi oleh beberapa orang
kondisi yang berkaitan dengan esensi fisik masalah. Kendalanya mungkin begitu kuat sehingga tidak ada masalah
Gambar 6.3.Mengubah tanda fungsi tujuan menjadi kebalikannya
tugas maksimum berubah menjadi tugas minimum.
solusi yang memuaskan. Kendala dibagi menjadi dua kelompok: kendala – kesetaraan dan kendala – ketimpangan.
Kendala - Kesetaraan
Batasan - persamaan - adalah ketergantungan antara parameter desain yang harus diperhitungkan ketika mencari solusi. Mereka mencerminkan hukum alam, ekonomi, hukum, selera dan ketersediaan yang berlaku bahan yang diperlukan. Jumlah kendala – persamaan bisa berapa saja. Mereka terlihat seperti
C 1 (x 1 , x 2 ,...,x n)=0,
C 2 (x 1, x 2,...,x n)=0,
..................
C j (x 1 , x 2 ,...,x n)=0.
Jika salah satu dari hubungan ini dapat diselesaikan sehubungan dengan salah satu parameter desain, maka hal ini memungkinkan parameter tersebut dikecualikan dari proses optimasi. Hal ini mengurangi jumlah dimensi ruang desain dan menyederhanakan solusi masalah.
Kendala – ketidaksetaraan
Ini adalah jenis kendala khusus yang dinyatakan dengan ketidaksetaraan. Secara umum, jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka, dan semuanya memiliki bentuk
z 1 r 1 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 1
z 2 r 2 (x 1 , x 2 ,...,x n) Z 2
.......................
z k r k (x 1 , x 2 ,...,x n) Z k
Perlu dicatat bahwa sering kali, karena keterbatasan, nilai optimal fungsi tujuan tidak dicapai jika permukaannya memiliki gradien nol. Seringkali solusi terbaik berhubungan dengan salah satu batasan ruang desain.
Optimal lokal
Ini adalah nama titik dalam ruang desain yang mempunyai fungsi tujuan nilai tertinggi dibandingkan dengan nilainya di semua titik lain di sekitarnya.
Gambar 6.4.Fungsi tujuan sembarang dapat mempunyai beberapa
optimal lokal.
Pada Gambar. Gambar 6.4 menunjukkan fungsi tujuan satu dimensi yang memiliki dua lokal optima. Seringkali desain ruang mengandung banyak local optima dan kehati-hatian harus diberikan agar tidak salah mengira yang pertama sebagai solusi optimal untuk masalah tersebut.
Optimal global
Optimum global adalah solusi optimal untuk keseluruhan desain ruang. Ini lebih baik daripada semua solusi lain yang sesuai dengan local optima, dan itulah yang dicari oleh perancang. Ada kemungkinan bahwa terdapat beberapa global optima yang setara bagian yang berbeda ruang desain. Bagaimana masalah optimasi diajukan paling baik diilustrasikan dengan sebuah contoh.
Contoh 6.1
Misalkan Anda perlu merancang wadah persegi panjang dengan volume 1 m yang dimaksudkan untuk mengangkut serat yang belum dikemas. Diinginkan bahwa bahan yang digunakan sesedikit mungkin untuk pembuatan wadah tersebut (dengan asumsi ketebalan dinding konstan, ini berarti luas permukaan harus minimal), karena akan lebih murah. Agar kontainer dapat dengan mudah diangkat dengan forklift, lebarnya minimal harus 1,5 m.
Mari kita rumuskan masalah ini dalam bentuk yang sesuai untuk menerapkan algoritma optimasi.
Parameter desain: x 1, x 2, x 3.
Fungsi tujuan (yang perlu diminimalkan) adalah luas permukaan lateral wadah:
SEBUAH=2(x 1 x 2 +x 2 x 3 +x 1 x 3), m2.
Kendala - kesetaraan:
Volume = x 1 x 2 x 3 = 1m3.
Kendala - ketimpangan:
Masalah pemrograman linier
Pemrograman linier (LP) adalah salah satu cabang pemrograman matematika - suatu disiplin ilmu yang mempelajari masalah ekstrim (optimasi) dan mengembangkan metode untuk menyelesaikannya.
Masalah pengoptimalan adalah masalah matematika yang terdiri dari mencari nilai optimal (maksimum atau minimum) dari fungsi tujuan, dan nilai variabel harus berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima (APV) tertentu.
Secara umum rumusan masalah ekstrim pemrograman matematika terdiri dari penentuan terbesar atau nilai terendah fungsi dipanggil fungsi sasaran, dalam kondisi (kendala), dimana dan diberikan fungsi, dan diberi nilai konstan. Dalam hal ini, pembatasan berupa persamaan dan pertidaksamaan menentukan himpunan (luas) penyelesaian yang dapat diterima (ADS), dan disebut parameter desain.
Tergantung pada jenis fungsinya, masalah pemrograman matematika dibagi menjadi beberapa kelas (linier, nonlinier, cembung, bilangan bulat, stokastik, pemrograman dinamis, dll.).
DI DALAM pandangan umum masalah LP memiliki bentuk sebagai berikut:
, (5.1)
, , (5.2)
, 
, (5.3)
dimana , , diberi nilai konstan.
Fungsi (5.1) disebut fungsi tujuan; sistem (5.2), (5.3) – sistem pembatasan; kondisi (5.4) – kondisi parameter desain tidak negatif.
Himpunan parameter desain yang memenuhi batasan (5.2), (5.3) dan (5.4) disebut solusi yang dapat diterima atau rencana.
Solusi optimal atau rencana optimal Masalah LP disebut solusi yang dapat diterima dimana fungsi tujuan (5.1) mengambil nilai optimal (maksimum atau minimum).
Tugas standar LP adalah soal mencari nilai maksimum (minimum) dari fungsi tujuan (5.1) pada kondisi (5.2) dan (5.4), dimana , , yaitu. itu. pembatasan hanya berupa pertidaksamaan (5.2) dan seluruh parameter desain memenuhi syarat non-negatif, dan tidak ada syarat berupa persamaan:
,
, , (5.5)
.
Tugas kanonik (utama). LP adalah soal mencari nilai maksimum (minimum) dari fungsi tujuan (5.1) pada kondisi (5.3) dan (5.4), dimana , , yaitu. itu. pembatasan hanya berupa persamaan (5.3) dan seluruh parameter desain memenuhi syarat non-negatif, dan tidak ada syarat berupa pertidaksamaan:
,
.
Permasalahan LP kanonik juga dapat ditulis dalam bentuk matriks dan vektor.
Bentuk matriks permasalahan LP kanonik mempunyai bentuk sebagai berikut:
Bentuk vektor dari masalah LP kanonik.
Mari kita membangun di atas bidang satu set solusi layak untuk sistem pertidaksamaan linier dan secara geometris mencari nilai minimum fungsi tujuan.
Kita membangun garis lurus pada sistem koordinat x 1 x 2
Kami menemukan setengah bidang yang ditentukan oleh sistem. Karena pertidaksamaan sistem dipenuhi untuk setiap titik pada setengah bidang yang bersesuaian, maka cukup memeriksanya untuk satu titik mana pun. Kita menggunakan titik (0;0). Mari kita substitusikan koordinatnya ke dalam pertidaksamaan pertama sistem. Karena , maka pertidaksamaan tersebut mendefinisikan setengah bidang yang tidak memuat titik (0;0). Kami juga mendefinisikan setengah bidang yang tersisa. Kami menemukan himpunan solusi yang layak sebagai bagian umum dari setengah bidang yang dihasilkan - ini adalah area yang diarsir.
Kami membangun sebuah vektor dan garis level nol yang tegak lurus terhadapnya.
Memindahkan garis lurus (5) searah vektor dan kita melihat bahwa titik maksimum daerah tersebut berada di titik A perpotongan garis lurus (3) dan garis lurus (2). Kami menemukan solusi untuk sistem persamaan:
Ini berarti kita mengerti maksudnya (13;11) dan.
Memindahkan garis lurus (5) searah vektor dan kita melihat bahwa titik minimum daerah tersebut berada di titik B perpotongan garis lurus (1) dan garis lurus (4). Kami menemukan solusi untuk sistem persamaan:
Artinya kita mendapat maksudnya (6;6) dan.
2. Sebuah perusahaan furnitur memproduksi gabungan lemari dan meja komputer. Produksinya dibatasi oleh ketersediaan bahan baku (papan berkualitas tinggi, fitting) dan waktu pengoperasian mesin yang memprosesnya. Setiap kabinet membutuhkan papan 5 m2, untuk meja - 2 m2. Perlengkapan berharga $10 untuk satu lemari, dan $8 untuk satu meja. Perusahaan dapat menerima dari pemasoknya hingga 600 m2 papan per bulan dan aksesori senilai $2.000. Setiap kabinet membutuhkan 7 jam pengoperasian mesin, dan meja membutuhkan 3 jam. Sebanyak 840 jam operasional mesin dapat digunakan per bulan.
Berapa banyak lemari kombinasi dan meja komputer yang harus diproduksi perusahaan per bulan untuk memaksimalkan keuntungan jika satu lemari menghasilkan laba $100 dan setiap meja menghasilkan $50?
- 1. Menulis model matematika masalah dan menyelesaikannya dengan menggunakan metode simpleks.
- 2. Buatlah model matematika dari permasalahan ganda, tuliskan penyelesaiannya berdasarkan penyelesaian aslinya.
- 3. Menetapkan tingkat kelangkaan sumber daya yang digunakan dan membenarkan profitabilitas rencana yang optimal.
- 4. Menjajaki kemungkinan peningkatan lebih lanjut hasil produksi tergantung pada penggunaan setiap jenis sumber daya.
- 5. Menilai kelayakan memperkenalkan jenis produk baru - rak buku, jika pembuatan satu rak menghabiskan biaya 1 m 2 papan dan aksesori senilai $5, dan perlu menghabiskan 0,25 jam pengoperasian mesin dan keuntungan dari penjualan satu rak harganya $20.
- 1. Mari kita buat model matematika untuk masalah ini:
Mari kita nyatakan dengan x 1 volume produksi lemari, dan x 2 volume produksi meja. Mari buat sistem batasan dan fungsi tujuan:
Kita menyelesaikan permasalahan tersebut dengan menggunakan metode simpleks. Mari kita tuliskan dalam bentuk kanonik:
Mari kita tuliskan data tugas dalam bentuk tabel:
Tabel 1
Karena Sekarang semua delta lebih besar dari nol, maka peningkatan lebih lanjut pada nilai fungsi tujuan f tidak mungkin dilakukan dan kita telah memperoleh rencana optimal.
Perkenalan
Tahap perkembangan manusia saat ini dibedakan oleh fakta bahwa zaman energi digantikan oleh zaman ilmu komputer. Ada pengenalan teknologi baru secara intensif ke semua bidang aktivitas manusia. Terdapat permasalahan nyata dalam transisi menuju masyarakat informasi, dimana pengembangan pendidikan harus menjadi prioritas. Struktur pengetahuan dalam masyarakat juga mengalami perubahan. Semakin penting untuk kehidupan praktis memperoleh pengetahuan dasar yang berkontribusi pada pengembangan kreatif individu. Konstruktivitas pengetahuan yang diperoleh dan kemampuan menyusunnya sesuai dengan tujuan juga penting. Berdasarkan pengetahuan, terbentuklah pengetahuan baru sumber daya informasi masyarakat. Pembentukan dan perolehan pengetahuan baru harus didasarkan pada metodologi pendekatan sistem yang ketat, di mana pendekatan model menempati tempat khusus. Kemungkinan pendekatan model sangat beragam, baik dari segi model formal yang digunakan maupun dalam metode penerapan metode pemodelan. Pemodelan fisik memungkinkan seseorang memperoleh hasil yang dapat diandalkan untuk sistem yang cukup sederhana.
Saat ini, tidak mungkin untuk menyebutkan bidang aktivitas manusia di mana metode pemodelan tidak akan digunakan sampai tingkat tertentu. Hal ini terutama berlaku di bidang manajemen berbagai sistem, dimana proses utamanya adalah pengambilan keputusan berdasarkan informasi yang diterima.
1. Pernyataan masalah
fungsi tujuan minimum
Selesaikan masalah pencarian fungsi tujuan minimum untuk sistem batasan yang ditentukan oleh poligon solusi sesuai dengan opsi No. 16 tugas. Poligon solusi ditunjukkan pada Gambar 1:
Gambar 1 - Poligon solusi masalah
Sistem kendala dan fungsi tujuan permasalahan disajikan di bawah ini:
Masalah tersebut perlu diselesaikan dengan menggunakan metode berikut:
Metode grafis untuk memecahkan masalah LP;
Metode aljabar untuk menyelesaikan masalah LP;
Metode simpleks untuk menyelesaikan masalah LP;
Metode untuk menemukan solusi yang dapat diterima untuk masalah LP;
Solusi dari masalah LP ganda;
Metode cabang dan terikat untuk menyelesaikan masalah LP bilangan bulat;
Metode Gomori untuk menyelesaikan masalah LP bilangan bulat;
Metode Balazs untuk menyelesaikan masalah Boolean LP.
Bandingkan hasil solusi metode yang berbeda menarik kesimpulan yang tepat dari pekerjaan tersebut.
2. Solusi grafis dari masalah program linier
Metode grafis untuk memecahkan masalah program linier digunakan dalam kasus di mana jumlah yang tidak diketahui tidak melebihi tiga. Nyaman untuk penelitian kualitatif tentang sifat-sifat larutan dan digunakan bersama dengan metode lain (aljabar, cabang dan terikat, dll.). Ide metode ini didasarkan pada solusi grafis dari sistem pertidaksamaan linier.
Beras. 2 Solusi grafis dari masalah LP
Poin minimal
Persamaan garis yang melalui dua titik A1 dan A2:
AB: (0;1); (3;3)
VS: (3;3); (4;1)
CD: (4;1); (3;0)
EA: (1;0); (0;1)
CF: (0;1); (5;2)
dengan batasan:
Menyelesaikan masalah program linier dengan menggunakan metode aljabar simpleks
Penerapan metode aljabar untuk menyelesaikan suatu masalah memerlukan generalisasi representasi masalah LP. Sistem pembatasan yang semula, yang dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan, diubah menjadi notasi standar bila pembatasan tersebut ditetapkan dalam bentuk persamaan. Transformasi sistem kendala menjadi tampilan standar mencakup langkah-langkah berikut:
Transformasikan pertidaksamaan tersebut sehingga terdapat variabel dan suku bebas di sebelah kiri, dan 0 di sebelah kanan, yaitu. ke sisi kiri lebih besar atau sama dengan nol;
Memperkenalkan variabel tambahan yang jumlahnya sama dengan jumlah pertidaksamaan dalam sistem kendala;
Dengan memperkenalkan pembatasan tambahan pada non-negatif dari variabel yang ditambahkan, ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda persamaan yang tegas.
Saat menyelesaikan masalah LP dengan metode aljabar, ditambahkan syarat: fungsi tujuan harus cenderung minimum. Jika keadaan ini tidak terpenuhi, maka perlu dilakukan transformasi fungsi tujuan (kalikan dengan -1) dan selesaikan masalah minimalisasi. Setelah solusi ditemukan, substitusikan nilai variabel ke dalam fungsi aslinya dan hitung nilainya.
Penyelesaian suatu masalah dengan metode aljabar dianggap optimal bila nilai semua variabel dasar tidak negatif, dan koefisien variabel bebas pada persamaan fungsi tujuan juga tidak negatif. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka perlu dilakukan transformasi sistem pertidaksamaan dengan menyatakan beberapa variabel ke dalam variabel lain (mengubah variabel bebas dan variabel dasar) untuk mencapai terpenuhinya batasan di atas. Nilai semua variabel bebas dianggap sama dengan nol.
Metode aljabar untuk menyelesaikan masalah program linier adalah salah satu yang paling banyak digunakan metode yang efektif ketika menyelesaikan masalah skala kecil secara manual karena tidak memerlukan banyak perhitungan aritmatika. Implementasi mesin dari metode ini lebih rumit dibandingkan, misalnya, metode simpleks, karena Algoritme solusi yang menggunakan metode aljabar sampai batas tertentu bersifat heuristik dan efektivitas solusi sangat bergantung pada pengalaman pribadi.
Variabel bebas
jalur St - tambahan perlengkapan
Kondisi non-negatif terpenuhi, sehingga solusi optimal telah ditemukan.
3. Menyelesaikan masalah program linier dengan menggunakan tabel simpleks
Solusi: Mari kita bawa masalah ke bentuk standar penyelesaian menggunakan tabel simpleks.
Mari kita kurangi semua persamaan sistem menjadi bentuk:
Kami membuat tabel simpleks:
Di sudut atas setiap sel tabel kita memasukkan koefisien dari sistem persamaan;
Kami memilih elemen positif maksimum di baris F, kecuali ini akan menjadi kolom umum;
Untuk menemukan unsur umum, kita membangun hubungan untuk semua yang positif. 3/3; 9/1;- rasio minimum pada baris x3. Oleh karena itu - string umum dan =3 - elemen umum.
Kami menemukan =1/=1/3. Kami membawanya ke sudut bawah sel tempat elemen umum berada;
Di semua sudut bawah yang kosong dari garis umum kita memasukkan produk dari nilai di sudut atas sel dengan;
Pilih sudut atas dari garis umum;
Di semua sudut bawah kolom umum, masukkan produk nilai di sudut atas dengan - dan pilih nilai yang dihasilkan;
Sel-sel tabel yang tersisa diisi sebagai produk dari elemen-elemen yang dipilih;
Kemudian kita membuat tabel baru di mana penunjukan sel elemen kolom dan baris umum ditukar (x2 dan x3);
Nilai-nilai yang sebelumnya berada di pojok bawah dituliskan ke pojok atas baris dan kolom umum sebelumnya;
Jumlah nilai sudut atas dan bawah sel-sel ini pada tabel sebelumnya ditulis di sudut atas sel yang tersisa
4. Memecahkan masalah program linier dengan mencari solusi yang dapat diterima
Biarkan sistem persamaan aljabar linier diberikan:
Kita dapat berasumsi bahwa semuanya benar, jika tidak, kita kalikan persamaan yang bersangkutan dengan -1.
Kami memperkenalkan variabel tambahan:
Kami juga memperkenalkan fungsi tambahan
Kami akan meminimalkan sistem berdasarkan batasan (2) dan kondisi.
ATURAN UNTUK MENEMUKAN SOLUSI YANG DIIZINKAN: Untuk mencari solusi yang dapat diterima pada sistem (1), kita meminimalkan bentuk (3) pada batasan (2), dengan mengambil xj sebagai bilangan tak diketahui bebas, dan menjadikan xj sebagai bilangan basis.
Saat menyelesaikan masalah dengan menggunakan metode simpleks, dua kasus mungkin muncul:
min f=0, maka semua i harus sama dengan nol. Dan nilai xj yang dihasilkan akan merupakan solusi yang dapat diterima untuk sistem (1).
min f>0, yaitu sistem asli tidak memiliki solusi yang layak.
Sistem sumber:
Kondisi permasalahan dari topik sebelumnya digunakan.
Mari perkenalkan variabel tambahan:
Solusi yang dapat diterima untuk soal awal telah ditemukan: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Berdasarkan solusi layak yang diperoleh, kita akan mencari solusi optimal dari masalah awal dengan menggunakan metode simpleks. Untuk melakukan ini, kita akan membuat tabel simpleks baru dari tabel yang diperoleh di atas, menghilangkan baris dan baris dengan fungsi target dari masalah tambahan:
Menganalisis tabel simpleks yang dibangun, kita melihat bahwa solusi optimal untuk masalah awal telah ditemukan (elemen pada baris yang sesuai dengan fungsi tujuan adalah negatif). Jadi, solusi layak yang ditemukan ketika menyelesaikan masalah tambahan bertepatan dengan solusi optimal dari masalah awal:
6. Masalah pemrograman linier ganda
Sistem kendala asli dan fungsi tujuan permasalahan ditunjukkan pada gambar di bawah.
dengan batasan:
Solusi: Mari kita bawa sistem pembatasan ke bentuk standar:
Masalah rangkap dari masalah ini akan berbentuk:
Penyelesaian masalah ganda akan dilakukan dengan menggunakan metode simpleks sederhana.
Mari kita transformasikan fungsi tujuan sehingga masalah minimalisasi terpecahkan, dan tuliskan sistem batasan dalam bentuk standar untuk penyelesaian menggunakan metode simpleks.
y6 = 1 - (-2 y1 + 2y2 +y3 + y4+ y5)
y7 = 5 - (-3y1 - y2 + y3 + y4)
Ф = 0 - (3y1 + 9y2 + 3y3 + y4) ??menit
Mari kita buat tabel simpleks awal untuk menyelesaikan masalah LP ganda.
Langkah kedua dari metode simpleks
Jadi, pada langkah ketiga metode simpleks ditemukan solusi optimal dari masalah minimisasi dengan hasil sebagai berikut: y2 = -7 /8, y1 = -11/8, Ф = 12. Untuk mencari nilai fungsi tujuan dari soal ganda, kita substitusikan nilai yang ditemukan dari variabel dasar dan variabel bebas ke dalam fungsi maksimalisasi:
Фmaks = - Фmin = 3*(-11/8) + 9(-7/8) + 3*0 + 0 = -12
Karena nilai fungsi tujuan permasalahan langsung dan ganda bertepatan, maka penyelesaian permasalahan langsung ditemukan dan sama dengan 12.
Fmin = Maks = -12
7. Menyelesaikan masalah pemrograman linier bilangan bulat dengan menggunakan metode cabang-dan-terikat
Mari kita ubah masalah awal sedemikian rupa sehingga kondisi bilangan bulat tidak terpenuhi ketika diselesaikan dengan metode konvensional.
Poligon awal solusi untuk masalah pemrograman bilangan bulat.
Untuk poligon solusi yang ditransformasikan, kami membuat sistem baru pembatasan.
Mari kita tuliskan sistem pembatasan dalam bentuk persamaan yang akan diselesaikan dengan metode aljabar.
Sebagai hasil penyelesaian, diperoleh rencana optimal untuk soal tersebut: x1 = 9/4, x2 = 5/2, F = -41/4. Solusi ini tidak memenuhi kondisi bilangan bulat yang ditetapkan dalam soal. Mari kita bagi poligon solusi awal menjadi dua area, tidak termasuk area 3 darinya Poligon solusi masalah yang dimodifikasi Mari kita buat sistem pembatasan baru untuk area poligon solusi yang dihasilkan. Daerah sebelah kiri berbentuk segi empat (trapesium). Sistem pembatasan wilayah kiri poligon solusi disajikan di bawah ini. Sistem pembatasan untuk area kiri Daerah sebelah kanan mewakili titik C. Sistem pembatasan pengambilan keputusan yang tepat disajikan di bawah ini. Sistem kendala baru mewakili dua masalah tambahan yang perlu diselesaikan secara independen satu sama lain. Mari kita selesaikan masalah pemrograman bilangan bulat untuk wilayah kiri poligon solusi. Sebagai hasil penyelesaian, diperoleh rencana optimal untuk masalah tersebut: x1 = 3, x2 = 3, F = -12. Rencana ini memenuhi syarat bahwa variabel-variabel dalam soal adalah bilangan bulat dan dapat diterima sebagai rencana referensi optimal untuk masalah pemrograman linier bilangan bulat asli. Tidak ada gunanya menyelesaikan wilayah solusi yang tepat. Gambar di bawah menunjukkan kemajuan penyelesaian masalah pemrograman linier bilangan bulat dalam bentuk pohon. Kemajuan penyelesaian masalah program linier bilangan bulat menggunakan metode Gomori. Dalam banyak aplikasi praktis, masalah pemrograman bilangan bulat yang memberikan sistem pertidaksamaan linier dan bentuk linier adalah hal yang sangat menarik. Diperlukan untuk menemukan solusi bilangan bulat untuk sistem (1), yang meminimalkan fungsi tujuan F, dan semua koefisien adalah bilangan bulat. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman bilangan bulat diusulkan oleh Gomori. Ide dari metode ini adalah dengan menggunakan metode pemrograman linier kontinu, khususnya metode simpleks. 1) Dengan menggunakan metode simpleks, solusi masalah (1), (2) ditentukan, yang persyaratan solusi bilangan bulatnya dihilangkan; jika solusinya ternyata bilangan bulat, maka solusi yang diinginkan untuk masalah bilangan bulat juga akan ditemukan; 2) Sebaliknya, jika suatu koordinat bukan bilangan bulat, solusi yang dihasilkan dari masalah tersebut diperiksa kemungkinan adanya solusi bilangan bulat (keberadaan titik bilangan bulat dalam polihedron yang dapat diterima): jika pada baris mana pun dengan suku bebas pecahan, semua koefisien lainnya adalah bilangan bulat, maka tidak ada bilangan bulat atau titik dalam polihedron yang dapat diterima dan masalah pemrograman bilangan bulat tidak memiliki solusi; Jika tidak, batasan linier tambahan akan diperkenalkan, yang memotong bagian dari polihedron yang dapat diterima yang tidak menjanjikan untuk menemukan solusi terhadap masalah pemrograman bilangan bulat; 3) Untuk membuat batasan linier tambahan, pilih baris ke-l dengan suku bebas pecahan dan tuliskan batasan tambahannya di mana dan masing-masing merupakan bagian pecahan dari koefisien dan bebas anggota. Mari kita masukkan variabel bantu ke dalam batasan (3): Mari kita tentukan koefisiennya dan termasuk dalam batasan (4): dimana dan adalah bilangan bulat terdekat dari bawah untuk dan berturut-turut. Gomori membuktikan bahwa sejumlah langkah serupa menghasilkan masalah pemrograman linier yang solusinya berupa bilangan bulat dan, oleh karena itu, sesuai dengan yang diinginkan. Solusi: Mari kita bawa sistem batasan linier dan fungsi tujuan ke bentuk kanonik: Mari kita tentukan solusi optimal untuk sistem kendala linier, dengan membuang sementara kondisi bilangan bulat. Kami menggunakan metode simpleks untuk ini. Di bawah ini, secara berurutan dalam tabel, solusi asli dari masalah disajikan, dan transformasi dari tabel asli diberikan untuk mendapatkan solusi optimal untuk masalah tersebut: Menyelesaikan masalah Boolean LP menggunakan metode Balazs. Buat versi Anda sendiri untuk masalah pemrograman linier bilangan bulat dengan variabel Boolean, dengan memperhatikan aturan berikut: masalah menggunakan setidaknya 5 variabel, setidaknya 4 batasan, koefisien batasan dan fungsi tujuan dipilih secara sewenang-wenang, tetapi sedemikian rupa cara agar sistem batasannya kompatibel. Tugasnya adalah menyelesaikan LCLP dengan variabel Boolean menggunakan algoritma Balazs dan menentukan pengurangan kompleksitas perhitungan sehubungan dengan penyelesaian masalah menggunakan metode pencarian lengkap. Eksekusi pembatasan nilai F Batasan penyaringan: Penentuan pengurangan upaya komputasi Penyelesaian masalah menggunakan metode pencarian lengkap adalah 6*25=192 ekspresi terhitung. Penyelesaian masalah menggunakan metode Balazs adalah 3*6+(25-3)=47 ekspresi terhitung. Pengurangan total kompleksitas perhitungan sehubungan dengan penyelesaian masalah dengan menggunakan metode pencarian mendalam adalah: Kesimpulan Proses perancangan sistem informasi yang menerapkan teknologi informasi baru terus ditingkatkan. Fokus insinyur sistem semakin pada sistem yang kompleks, sehingga sulit untuk menggunakan model fisik dan meningkatkan pentingnya model matematika dan simulasi mesin pada sistem. Simulasi mesin telah menjadi alat yang efektif untuk mempelajari dan merancang sistem yang kompleks. Relevansi model matematika terus meningkat karena fleksibilitasnya, kecukupannya terhadap proses nyata, dan rendahnya biaya implementasi berdasarkan PC modern. Semakin banyak peluang yang diberikan kepada pengguna, yaitu spesialis dalam pemodelan sistem menggunakan teknologi komputer. Penggunaan pemodelan sangat efektif pada tahap awal perancangan sistem otomatis, ketika kerugian akibat keputusan yang salah sangat signifikan. Alat komputasi modern telah memungkinkan untuk secara signifikan meningkatkan kompleksitas model yang digunakan dalam studi sistem; menjadi mungkin untuk membangun model gabungan, analitis dan simulasi yang memperhitungkan seluruh variasi faktor yang terjadi dalam sistem nyata, yaitu. , penggunaan model yang lebih memadai untuk fenomena yang diteliti. Literatur: 1. Lyashchenko I.N. Pemrograman linier dan nonlinier / I.N. Lyashchenko, E.A. Karagodova, N.V. Chernikova, N.Z. Shor. - K.: “Sekolah Tinggi”, 1975, 372 hal. 2. Pedoman untuk menyelesaikan proyek kursus dalam disiplin "Matematika Terapan" untuk siswa dari spesialisasi "Sistem dan Jaringan Komputer" bentuk studi penuh waktu dan paruh waktu / Disusun oleh: IA Balakireva, A.V. Skatkov - Sevastopol: SevNTU Penerbitan , 2003. - 15 hal. 3. Pedoman mempelajari disiplin ilmu “Matematika Terapan”, bagian “Metode pencarian global dan minimalisasi satu dimensi” / Comp. A.V. Skatkov, I.A. Balakirev, L.A. Litvinova - Sevastopol: SevGTU Publishing House, 2000. - 31 hal. 4. Pedoman mempelajari disiplin "Matematika Terapan" untuk siswa dari spesialisasi "Sistem dan Jaringan Komputer" Bagian "Memecahkan masalah pemrograman linier bilangan bulat" untuk pendidikan penuh waktu dan paruh waktu / Disusun oleh: I.A.Balakirev, A.V.Skatkov - Sevastopol : Penerbitan SevNTU, 2000. - 13 hal. 5. Akulich I.L. Pemrograman matematika dalam contoh dan soal: 6. Buku teks tunjangan untuk mahasiswa ekonomi. spesialis. universitas.-M.: Lebih tinggi. sekolah, 1986.- 319 hal., sakit. 7. Andronov S.A. Metode perancangan yang optimal: Teks perkuliahan / SPbSUAP. SPb., 2001. 169 hal.: sakit. Algoritma penyelesaian masalah program linier menggunakan metode simpleks. Konstruksi model matematika dari masalah program linier. Memecahkan masalah pemrograman linier di Excel. Mencari keuntungan dan rencana produksi yang optimal. tugas kursus, ditambahkan 21/03/2012 Pemecahan masalah grafis. Menyusun model matematika. Menentukan nilai maksimum fungsi tujuan. Penyelesaian dengan metode simpleks dengan basis buatan dari masalah pemrograman linier kanonik. Memeriksa optimalitas solusi. tes, ditambahkan 04/05/2016 Landasan teori pemrograman linier. Masalah pemrograman linier, metode penyelesaian. Analisis solusi optimal. Solusi dari masalah pemrograman linier indeks tunggal. Pernyataan masalah dan entri data. Tahapan konstruksi model dan solusi. tugas kursus, ditambahkan 09.12.2008 Konstruksi model matematika. Pemilihan, justifikasi dan uraian metode penyelesaian masalah program linier langsung dengan metode simpleks, menggunakan tabel simpleks. Perumusan dan pemecahan masalah ganda. Analisis sensitivitas model. tugas kursus, ditambahkan 31/10/2014 Konstruksi model matematika untuk memperoleh keuntungan maksimal bagi perusahaan, solusi grafis dari masalah tersebut. Memecahkan masalah menggunakan add-on SOLVER. Analisis perubahan cadangan sumber daya. Menentukan batas perubahan koefisien fungsi tujuan. tugas kursus, ditambahkan 17/12/2014 Pemrograman matematika. Pemrograman linier. Masalah pemrograman linier. Metode grafis untuk memecahkan masalah pemrograman linier. Rumusan ekonomi dari masalah program linier. Konstruksi model matematika. tugas kursus, ditambahkan 13/10/2008 Menyelesaikan masalah program linier dengan metode grafis, memeriksanya di MS Excel. Analisis struktur internal penyelesaian suatu masalah dalam suatu program. Optimalisasi rencana produksi. Penyelesaian masalah tersebut menggunakan metode simpleks. Sistem antrian multisaluran. tes, ditambahkan 05/02/2012 Penyelesaian masalah program linier dengan metode simpleks: rumusan masalah, konstruksi model ekonomi dan matematika. Penyelesaian masalah transportasi dengan menggunakan metode potensial: menyusun rencana acuan awal, menentukan nilai optimalnya. tes, ditambahkan 04/11/2012 Pernyataan masalah pemrograman nonlinier. Penentuan titik stasioner dan jenisnya. Konstruksi garis level, grafik tiga dimensi dari fungsi tujuan dan batasannya. Solusi grafis dan analitis dari masalah tersebut. Panduan pengguna dan diagram algoritma. tugas kursus, ditambahkan 17/12/2012 Analisis solusi masalah program linier. Metode simpleks menggunakan tabel simpleks. Memodelkan dan memecahkan masalah LP di komputer. Interpretasi ekonomi dari solusi optimal untuk masalah tersebut. Rumusan matematis masalah transportasi. Bagilah baris ketiga dengan elemen kunci sama dengan 5, kita mendapatkan baris ketiga dari tabel baru. Kolom dasar sesuai dengan kolom satuan. Perhitungan nilai tabel lainnya: “BP – Paket Dasar”: ; "x1": "x5": Nilai string indeks adalah non-negatif, oleh karena itu diperoleh solusi optimal: , ; Menjawab: keuntungan maksimum dari penjualan produk manufaktur, sebesar 160/3 unit, dijamin dengan produksi produk jenis kedua saja sebanyak 80/9 unit. Masalah pemrograman nonlinier diberikan. Temukan maksimum dan minimum fungsi tujuan menggunakan metode grafis-analitis. Tuliskan fungsi Lagrange dan tunjukkan bahwa pada titik ekstrem, kondisi minimum (maksimum) terpenuhi. Karena digit terakhir sandinya adalah 8, maka A=2; B=5. Karena digit kedua dari belakang sandi adalah 1, maka Anda harus memilih tugas No.1. Larutan: 1) Mari kita menggambar luas yang ditentukan oleh sistem pertidaksamaan. Luasnya adalah segitiga ABC dengan koordinat titik: A(0; 2); B(4; 6) dan C(16/3; 14/3). Tingkatan fungsi tujuan berbentuk lingkaran yang berpusat di titik (2; 5). Kuadrat jari-jarinya akan menjadi nilai fungsi tujuan. Kemudian gambar tersebut menunjukkan bahwa nilai minimum fungsi tujuan tercapai di titik H, nilai maksimum dicapai di titik A atau di titik C. Nilai fungsi tujuan di titik A: ; Nilai fungsi tujuan di titik C: ; Artinya nilai fungsi tertinggi dicapai di titik A(0; 2) dan sama dengan 13. Mari kita cari koordinat titik H. Untuk melakukan ini, pertimbangkan sistemnya: Suatu garis bersinggungan dengan lingkaran jika persamaan tersebut mempunyai penyelesaian tunggal. Persamaan kuadrat mempunyai solusi unik jika diskriminannya adalah 0. 2) Mari kita buat fungsi Lagrange untuk mencari solusi minimum: Pada X 1
=2.5;
X 2
=4.5
kita mendapatkan: Sistem memiliki solusi di , yaitu. kondisi yang cukup untuk ekstrem terpenuhi. Mari kita buat fungsi Lagrange untuk mencari solusi maksimal: Kondisi yang cukup untuk ekstrem: Pada X 1
=0;
X 2
=2
kita mendapatkan: Sistem juga memiliki solusi, yaitu. kondisi yang cukup untuk ekstrem terpenuhi. Menjawab: minimum fungsi tujuan tercapai ketika Dua perusahaan dialokasikan dana dalam jumlah tersebut D unit. Saat mengalokasikan perusahaan pertama untuk satu tahun X unit dana yang memberikan pendapatan k 1
X unit, dan ketika dialokasikan ke perusahaan kedua kamu unit dana, itu memberikan pendapatan k 1
kamu unit. Saldo dana pada akhir tahun untuk perusahaan pertama adalah sama dengan nx, dan untuk yang kedua -ku. Bagaimana cara menyalurkan seluruh dana selama 4 tahun agar total pendapatannya paling besar? Selesaikan permasalahan tersebut dengan menggunakan metode pemrograman dinamis. saya=8, k=1. SEBUAH=2200; k 1 =6; k 2 =1; n=0,2; m=0,5. Larutan: Kami membagi seluruh periode 4 tahun menjadi 4 tahap, yang masing-masing tahap sama dengan satu tahun. Mari kita beri nomor tahapannya mulai dari tahun pertama. Misalkan Xk dan Yk masing-masing adalah dana yang dialokasikan untuk perusahaan A dan B pada tahap ke-k. Maka jumlah X k + Y k = a k adalah jumlah dana yang terpakai pada k – tahap tersebut dan sisa dari tahap sebelumnya k – 1. pada tahap pertama, seluruh dana yang dialokasikan telah terpakai dan a 1 = 2200 unit . pendapatan yang akan diterima pada k – tahap tersebut, dengan alokasi unit X k dan Y k adalah 6X k + 1Y k. misalkan pendapatan maksimum yang diterima pada tahap terakhir yang dimulai dari k – tahap tersebut adalah f k (ak) satuan. Mari kita tuliskan persamaan fungsional Bellman yang menyatakan prinsip optimalitas: apapun keadaan awal dan solusi awalnya, solusi selanjutnya harus optimal terhadap keadaan yang diperoleh sebagai hasil dari keadaan awal: Untuk setiap tahap Anda perlu memilih nilai X k, dan nilainya kamu k=ak- Xk. Dengan mempertimbangkan hal ini, kita akan mencari pendapatan pada tahap ke-k: Persamaan fungsional Bellman menjadi: Mari kita pertimbangkan semua tahapan, dimulai dari yang terakhir. (karena fungsi linier maksimum dicapai pada ujung segmen di x 4 = a 4);
Dokumen serupa
;
; 
;
; 
.
.
Tugas No.2
ó
ó 
Kemudian 
; ; 
- nilai minimum fungsi.
ó 
ó 
ó 
; ; maksimum fungsi tujuan dicapai pada 
; .
Tugas No.3
