Tugas 1. Cari tahu apakah sistem vektor bebas linier. Sistem vektor akan ditentukan oleh matriks sistem, kolom-kolomnya terdiri dari koordinat vektor-vektor tersebut.

.

Larutan. Biarkan kombinasi linier sama dengan nol. Menuliskan persamaan ini dalam koordinat, kita peroleh sistem berikut persamaan:

.

Sistem persamaan seperti ini disebut segitiga. Dia hanya punya satu solusi . Oleh karena itu, vektor independen linier.

Tugas 2. Cari tahu apakah sistem vektor bebas linier.

.

Larutan. vektor bebas linier (lihat soal 1). Mari kita buktikan bahwa vektor merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor . Koefisien ekspansi vektor ditentukan dari sistem persamaan

.

Sistem ini, seperti sistem segitiga, memiliki solusi unik.

Oleh karena itu, sistem vektor bergantung secara linear.

Komentar. Matriks yang bertipe sama seperti pada Soal 1 disebut segitiga , dan dalam soal 2 – melangkah segitiga . Pertanyaan tentang ketergantungan linier suatu sistem vektor mudah diselesaikan jika matriks yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut berbentuk segitiga langkah. Jika matriks tidak mempunyai bentuk khusus, maka digunakan konversi string dasar , menjaga hubungan linier antar kolom, dapat direduksi menjadi bentuk segitiga langkah.

Konversi string dasar matriks (EPS), operasi berikut pada matriks disebut:

1) penataan ulang senar;

2) mengalikan string dengan angka bukan nol;

3) menambahkan string lain ke string, dikalikan dengan angka arbitrer.

Tugas 3. Temukan subsistem bebas linier maksimum dan hitung pangkat sistem vektornya

.

Larutan. Mari kita reduksi matriks sistem menggunakan EPS menjadi bentuk segitiga langkah. Untuk menjelaskan prosedurnya, kami menyatakan garis dengan bilangan matriks yang akan diubah dengan simbol . Kolom setelah panah menunjukkan tindakan pada baris matriks yang dikonversi yang harus dilakukan untuk memperoleh baris matriks baru.

.

Jelasnya, dua kolom pertama dari matriks yang dihasilkan adalah bebas linier, kolom ketiga adalah kombinasi liniernya, dan kolom keempat tidak bergantung pada dua kolom pertama. vektor disebut dasar. Mereka membentuk subsistem sistem yang independen linier maksimal , dan peringkat sistemnya adalah tiga.

Dasar, koordinat

Tugas 4. Temukan basis dan koordinat vektor-vektor dalam basis ini pada himpunan vektor-vektor geometri yang koordinatnya memenuhi syarat .

Larutan. Himpunan adalah bidang yang melalui titik asal. Basis sembarang pada suatu bidang terdiri dari dua vektor yang tidak segaris. Koordinat vektor-vektor dalam basis yang dipilih ditentukan oleh solusi sistem yang bersangkutan persamaan linear.

Ada cara lain untuk menyelesaikan soal ini, ketika Anda dapat mencari basisnya menggunakan koordinat.

Koordinat ruang-ruang bukanlah koordinat pada bidang, karena ruang-ruang tersebut dihubungkan oleh relasi , artinya, mereka tidak independen. Variabel bebas dan (disebut bebas) secara unik mendefinisikan suatu vektor pada bidang dan, oleh karena itu, dapat dipilih sebagai koordinat dalam . Lalu dasarnya terdiri dari vektor-vektor yang terletak dan bersesuaian dengan himpunan variabel bebas Dan , itu adalah .

Tugas 5. Temukan basis dan koordinat vektor-vektor dalam basis ini pada himpunan semua vektor dalam ruang yang koordinat ganjilnya sama satu sama lain.

Larutan. Mari kita pilih, seperti pada soal sebelumnya, koordinat dalam ruang.

Karena , lalu variabel bebas secara unik menentukan vektor dari dan oleh karena itu merupakan koordinat. Basis yang bersesuaian terdiri dari vektor.

Tugas 6. Temukan basis dan koordinat vektor-vektor dalam basis ini pada himpunan semua matriks berbentuk , Di mana – angka sewenang-wenang.

Larutan. Setiap matriks dapat direpresentasikan secara unik dalam bentuk:

Hubungan ini merupakan perluasan vektor dari terhadap basis
dengan koordinat .

Tugas 7. Temukan dimensi dan basis lambung linier suatu sistem vektor

.

Larutan. Dengan menggunakan EPS, kita mengubah matriks dari koordinat vektor sistem ke bentuk segitiga langkah.

.

Kolom matriks terakhir bebas linier, dan kolom dinyatakan secara linear melalui mereka. Oleh karena itu, vektor membentuk suatu dasar , Dan .

Komentar. Dasar di dipilih secara ambigu. Misalnya vektor juga menjadi dasar .

Ketergantungan linier dan kemandirian linier vektor.
Dasar vektor. Sistem koordinat Affine

Ada gerobak berisi coklat di auditorium, dan setiap pengunjung hari ini akan mendapatkan pasangan yang manis - geometri analitik dengan aljabar linier. Artikel ini akan membahas dua bagian matematika tingkat tinggi sekaligus, dan kita akan melihat bagaimana keduanya hidup berdampingan dalam satu bungkus. Istirahatlah, makan Twix! ...sialan, sungguh omong kosong. Meskipun oke, saya tidak akan mencetak gol, pada akhirnya Anda harus memiliki sikap positif terhadap belajar.

Ketergantungan linier vektor, kemandirian vektor linier, dasar vektor dan istilah-istilah lain tidak hanya memiliki interpretasi geometris, tetapi, yang terpenting, arti aljabar. Konsep “vektor” dari sudut pandang aljabar linier tidak selalu merupakan vektor “biasa” yang dapat kita gambarkan pada bidang atau ruang. Tak perlu jauh-jauh mencari bukti, cobalah menggambar vektor ruang lima dimensi . Atau vektor cuaca, yang baru saja saya buka di Gismeteo untuk: – suhu dan Tekanan atmosfer masing-masing. Contoh tersebut tentu saja salah dari sudut pandang sifat-sifat ruang vektor, namun demikian, tidak ada yang melarang memformalkan parameter-parameter tersebut sebagai vektor. Nafas musim gugur...

Tidak, saya tidak akan membuat Anda bosan dengan teori, ruang vektor linier, tugasnya adalah memahami definisi dan teorema. Istilah-istilah baru (ketergantungan linier, independensi, kombinasi linier, basis, dll.) berlaku untuk semua istilah vektor dari sudut pandang aljabar, tetapi contoh geometris akan diberikan. Jadi, semuanya sederhana, mudah diakses, dan jelas. Selain soal geometri analitik, kami juga akan mempertimbangkan beberapa tugas umum aljabar. Untuk menguasai materi, disarankan untuk membiasakan diri dengan pelajaran Vektor untuk boneka Dan Bagaimana cara menghitung determinannya?

Ketergantungan linier dan independensi vektor bidang.
Basis bidang dan sistem koordinat affine

Mari kita perhatikan bidang meja komputer Anda (hanya meja, meja samping tempat tidur, lantai, langit-langit, apapun yang Anda suka). Tugasnya adalah langkah selanjutnya:

1) Pilih dasar bidang. Secara kasar, bagian atas meja memiliki panjang dan lebar, sehingga dapat dimengerti bahwa diperlukan dua vektor untuk membuat alasnya. Satu vektor saja tidak cukup, tiga vektor saja terlalu banyak.

2) Berdasarkan dasar yang dipilih mengatur sistem koordinat(koordinat grid) untuk menetapkan koordinat ke semua objek di tabel.

Jangan kaget, awalnya penjelasannya ada di ujung jari. Apalagi milikmu. Silakan tempatkan jari telunjuk tangan kiri di tepi meja sehingga dia melihat ke monitor. Ini akan menjadi vektor. Sekarang tempat jari kecil tangan kanan di tepi meja dengan cara yang sama - sehingga diarahkan ke layar monitor. Ini akan menjadi vektor. Tersenyumlah, kamu tampak hebat! Apa yang dapat kita katakan tentang vektor? Vektor data segaris, yang berarti linier diungkapkan melalui satu sama lain:
, baik, atau sebaliknya: , dimana ada bilangan yang berbeda dari nol.

Anda dapat melihat gambar tindakan ini di kelas. Vektor untuk boneka , dimana saya menjelaskan aturan mengalikan vektor dengan angka.

Akankah jari-jari Anda meletakkan dasar pada bidang meja komputer? Tentu saja tidak. Vektor-vektor kolinear bergerak bolak-balik sendiri arah, dan sebuah bidang mempunyai panjang dan lebar.

Vektor yang demikian disebut bergantung secara linier.

Referensi: Kata “linier”, “linier” menunjukkan fakta bahwa dalam persamaan dan ekspresi matematika tidak ada kuadrat, kubus, pangkat lain, logaritma, sinus, dll. Hanya ada ekspresi dan ketergantungan linier (derajat 1).

Dua vektor bidang bergantung secara linier saat itu dan hanya saat itu ketika mereka segaris.

Silangkan jari Anda di atas meja sehingga ada sudut di antara keduanya selain 0 atau 180 derajat. Dua vektor bidanglinier Bukan bergantung jika dan hanya jika keduanya tidak segaris. Jadi, dasar diperoleh. Tidak perlu malu karena alasnya ternyata “miring” dengan vektor-vektor tidak tegak lurus yang panjangnya berbeda. Segera kita akan melihat bahwa tidak hanya sudut 90 derajat yang cocok untuk konstruksinya, dan tidak hanya vektor satuan yang panjangnya sama.

Setiap vektor bidang satu-satunya jalan diperluas berdasarkan:
, Di mana - bilangan real. Nomor-nomor itu dipanggil koordinat vektor dalam dasar ini.

Dikatakan juga demikian vektordisajikan sebagai kombinasi linear vektor dasar. Artinya, ungkapan itu disebut dekomposisi vektorberdasarkan dasar atau kombinasi linear vektor dasar.

Misalnya, kita dapat mengatakan bahwa vektor didekomposisi sepanjang bidang ortonormal, atau kita dapat mengatakan bahwa vektor direpresentasikan sebagai kombinasi vektor linier.

Mari kita rumuskan definisi dasar secara formal: Dasar dari pesawat disebut sepasang vektor bebas linier (tidak segaris), , di mana setiap vektor bidang adalah kombinasi linier dari vektor basis.

Poin penting dari definisi ini adalah kenyataan bahwa vektor-vektor diambil dalam urutan tertentu. Pangkalan – ini adalah dua basis yang sangat berbeda! Seperti kata pepatah, Anda tidak bisa mengganti jari kelingking tangan kiri dengan jari kelingking tangan kanan.

Kami telah mengetahui dasarnya, tetapi tidak cukup hanya dengan menetapkan kisi koordinat dan menetapkan koordinat ke setiap item di meja komputer Anda. Mengapa itu tidak cukup? Vektor-vektornya bebas dan berkeliaran di seluruh bidang. Jadi bagaimana Anda menetapkan koordinat ke titik-titik kotor kecil di atas meja yang tersisa dari akhir pekan yang liar? Diperlukan sebuah titik awal. Dan titik acuan seperti itu adalah titik yang akrab bagi semua orang - asal mula koordinat. Mari kita pahami sistem koordinat:

Saya akan mulai dengan sistem "sekolah". Sudah di pelajaran pengantar Vektor untuk boneka Saya menyoroti beberapa perbedaan antara sistem koordinat persegi panjang dan basis ortonormal. Berikut gambar standarnya:

Saat mereka membicarakan sistem koordinat persegi panjang, maka paling sering yang dimaksud adalah titik asal, sumbu koordinat, dan skala sepanjang sumbu. Coba ketikkan “sistem koordinat persegi panjang” ke dalam mesin pencari, dan Anda akan melihat bahwa banyak sumber akan memberi tahu Anda tentang sumbu koordinat yang sudah dikenal sejak kelas 5-6 dan cara memplot titik pada bidang.

Di sisi lain, tampaknya sistem koordinat persegi panjang dapat didefinisikan sepenuhnya dalam basis ortonormal. Dan itu hampir benar. Kata-katanya adalah sebagai berikut:

asal, Dan ortonormal dasar telah ditetapkan Sistem koordinat bidang persegi panjang kartesius . Artinya, sistem koordinat persegi panjang tentu saja didefinisikan oleh satu titik dan dua satuan vektor ortogonal. Itulah sebabnya Anda melihat gambar yang saya berikan di atas - dalam soal geometri, vektor dan sumbu koordinat sering kali (tetapi tidak selalu) digambar.

Saya rasa semua orang memahami itu menggunakan titik (asal) dan dasar ortonormal TITIK APAPUN di pesawat dan VEKTOR APAPUN di pesawat koordinat dapat ditetapkan. Secara kiasan, “segala sesuatu di pesawat dapat diberi nomor”.

Apakah vektor koordinat harus berupa satuan? Tidak, panjangnya bisa berubah-ubah bukan nol. Pertimbangkan sebuah titik dan dua vektor ortogonal dengan panjang sembarang bukan nol:

Dasar seperti ini disebut ortogonal. Asal usul koordinat dengan vektor ditentukan oleh kisi koordinat, dan setiap titik pada bidang, vektor apa pun memiliki koordinatnya sendiri dalam basis tertentu. Misalnya, atau. Ketidaknyamanan yang jelas adalah vektor koordinat V kasus umum mempunyai panjang yang berbeda-beda selain kesatuan. Jika panjangnya sama dengan satu, maka diperoleh basis ortonormal biasa.

! Catatan : pada basis ortogonal, serta pada basis affine bidang dan ruang, satuan sepanjang sumbu dipertimbangkan BERSYARAT. Misalnya, satu satuan sepanjang sumbu x berisi 4 cm, satu satuan sepanjang sumbu ordinat berisi 2 cm, informasi ini cukup untuk, jika perlu, mengubah koordinat “non-standar” menjadi “sentimeter biasa”.

Dan pertanyaan kedua yang sebenarnya sudah terjawab adalah apakah sudut antar vektor basis harus sama dengan 90 derajat? TIDAK! Seperti yang dinyatakan dalam definisi, vektor basisnya haruslah hanya non-kolinear. Oleh karena itu, sudutnya bisa berupa apa saja kecuali 0 dan 180 derajat.

Suatu titik di pesawat menelepon asal, Dan non-kolinear vektor, , mengatur sistem koordinat bidang affine :

Terkadang sistem koordinat seperti itu disebut miring sistem. Sebagai contoh, gambar menunjukkan titik dan vektor:

Seperti yang Anda pahami, sistem koordinat affine bahkan kurang mudah digunakan; rumus panjang vektor dan segmen, yang telah kita bahas di bagian kedua pelajaran, tidak berlaku di dalamnya; Vektor untuk boneka , banyak formula lezat yang berhubungan dengan produk skalar vektor . Namun aturan penjumlahan vektor dan mengalikan vektor dengan suatu bilangan adalah sah, rumus untuk membagi segmen dalam hal ini, serta beberapa jenis masalah lainnya yang akan segera kita bahas.

Dan kesimpulannya adalah kasus khusus yang paling sesuai dari sistem koordinat affine adalah sistem persegi panjang Cartesian. Itu sebabnya kamu paling sering harus menemuinya, sayangku. ...Namun, segala sesuatu dalam hidup ini adalah relatif - ada banyak situasi di mana sudut miring (atau yang lain, misalnya, kutub) sistem koordinasi. Dan humanoid mungkin menyukai sistem seperti itu =)

Mari kita beralih ke bagian praktisnya. Semua soal dalam pelajaran ini valid baik untuk sistem koordinat persegi panjang maupun untuk kasus affine umum. Tidak ada yang rumit di sini; semua materi dapat diakses bahkan oleh anak sekolah.

Bagaimana cara menentukan kolinearitas vektor bidang?

Hal yang khas. Agar dua vektor bidang adalah kolinear, maka koordinat-koordinatnya yang bersesuaian harus proporsional dan cukup Pada dasarnya, ini adalah perincian koordinat demi koordinat dari hubungan yang nyata.

Contoh 1

a) Periksa apakah vektor-vektornya segaris .
b) Apakah vektor-vektor tersebut membentuk basis? ?

Larutan:
a) Mari kita cari tahu apakah ada vektor koefisien proporsionalitas, sehingga persamaan terpenuhi:

Saya pasti akan memberi tahu Anda tentang jenis aplikasi yang “foppish”. aturan ini, yang bekerja cukup baik dalam praktiknya. Idenya adalah segera membuat proporsinya dan melihat apakah itu benar:

Mari kita membuat proporsi dari rasio koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:

Mari kita persingkat:
, sehingga koordinat yang bersesuaian adalah proporsional, oleh karena itu,

Hubungannya bisa dibuat sebaliknya; ini adalah pilihan yang setara:

Untuk pengujian mandiri, Anda dapat menggunakan fakta bahwa vektor-vektor collinear dinyatakan secara linear melalui satu sama lain. DI DALAM pada kasus ini ada persamaan . Validitasnya dapat dengan mudah diverifikasi melalui operasi dasar dengan vektor:

b) Dua vektor bidang membentuk basis jika keduanya tidak segaris (tidak bebas linier). Kami memeriksa vektor untuk kolinearitas . Mari kita buat sistem:

Dari persamaan pertama maka , dari persamaan kedua maka , yang artinya sistemnya tidak konsisten (tidak ada solusi). Jadi, koordinat vektor-vektor yang bersesuaian tidak proporsional.

Kesimpulan: vektor-vektornya bebas linier dan membentuk basis.

Versi sederhana dari solusinya terlihat seperti ini:

Mari kita membuat proporsi dari koordinat vektor-vektor yang bersesuaian :
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis.

Biasanya opsi ini tidak ditolak oleh pengulas, namun masalah muncul jika beberapa koordinat sama dengan nol. Seperti ini: . Atau seperti ini: . Atau seperti ini: . Bagaimana cara bekerja melalui proporsi di sini? (memang, Anda tidak bisa membaginya dengan nol). Karena alasan inilah saya menyebut solusi yang disederhanakan sebagai “foppish”.

Menjawab: a) , b) bentuk.

Sedikit contoh kreatif untuk keputusan independen:

Contoh 2

Berapa nilai parameter vektornya apakah keduanya akan segaris?

Dalam larutan sampel, parameternya ditemukan melalui proporsi.

Ada cara aljabar yang elegan untuk memeriksa kolinearitas vektor. Mari kita mensistematisasikan pengetahuan kita dan menambahkannya sebagai poin kelima:

Untuk dua vektor bidang, pernyataan berikut ini ekuivalen:

2) vektor-vektor membentuk basis;
3) vektor-vektornya tidak segaris;

+ 5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut adalah bukan nol.

Masing-masing, pernyataan berlawanan berikut ini ekuivalen:
1) vektor bergantung linier;
2) vektor tidak membentuk basis;
3) vektor-vektornya segaris;
4) vektor dapat dinyatakan secara linier satu sama lain;
+ 5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut sama dengan nol.

Saya sangat, sangat berharap itu saat ini Anda sudah memahami semua syarat dan pernyataan yang Anda temui.

Mari kita lihat lebih dekat poin kelima yang baru: dua vektor bidang adalah segaris jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat-koordinat vektor-vektor tertentu sama dengan nol:. Untuk digunakan dari karakteristik ini Tentu saja, Anda harus mampu menemukan determinan .

Mari kita putuskan Contoh 1 dengan cara kedua:

a) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor-vektor :
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris.

b) Dua vektor bidang membentuk basis jika keduanya tidak segaris (tidak bebas linier). Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor :
, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis.

Menjawab: a) , b) bentuk.

Ini terlihat jauh lebih kompak dan cantik dibandingkan solusi dengan proporsi.

Dengan bantuan materi yang dibahas, dimungkinkan untuk menetapkan tidak hanya kolinearitas vektor, tetapi juga membuktikan paralelisme segmen dan garis lurus. Mari kita pertimbangkan beberapa soal dengan bentuk geometris tertentu.

Contoh 3

Titik sudut segi empat diberikan. Buktikan bahwa segi empat adalah jajar genjang.

Bukti: Tidak perlu membuat gambar dalam soal, karena penyelesaiannya murni analitis. Mari kita ingat kembali definisi jajar genjang:
Genjang Segi empat yang sisi-sisinya yang berhadapan sejajar berpasangan disebut.

Oleh karena itu, perlu dibuktikan:
1) paralelisme sisi-sisi yang berhadapan dan;
2) paralelisme sisi-sisi yang berhadapan dan.

Kami membuktikan:

1) Temukan vektornya:

2) Temukan vektornya:

Hasilnya adalah vektor yang sama (“menurut sekolah” – vektor yang sama). Kolinearitas cukup jelas, namun lebih baik memformalkan keputusan dengan jelas, dengan pengaturan. Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:
, yang berarti vektor-vektor tersebut segaris, dan .

Kesimpulan: Sisi-sisi yang berhadapan pada suatu segiempat sejajar berpasangan, yang berarti menurut definisinya merupakan jajar genjang. Q.E.D.

Figur yang lebih bagus dan berbeda:

Contoh 4

Titik sudut segiempat diberikan. Buktikan bahwa segi empat adalah trapesium.

Untuk rumusan pembuktian yang lebih teliti, tentu saja lebih baik mendapatkan definisi trapesium, tetapi cukup mengingat seperti apa bentuknya.

Ini adalah tugas yang harus Anda selesaikan sendiri. Solusi lengkap di akhir pelajaran.

Dan sekarang saatnya berpindah secara perlahan dari pesawat ke luar angkasa:

Bagaimana cara menentukan kolinearitas vektor ruang?

Aturannya sangat mirip. Agar dua vektor ruang menjadi segaris, perlu dan cukup, sehingga koordinatnya proporsional.

Contoh 5

Cari tahu apakah vektor-vektor ruang berikut ini segaris:

A) ;
B)
V)

Larutan:
a) Mari kita periksa apakah terdapat koefisien proporsionalitas untuk koordinat vektor-vektor yang bersesuaian:

Sistem tidak mempunyai solusi, artinya vektor-vektornya tidak segaris.

“Sederhana” diformalkan dengan memeriksa proporsinya. Pada kasus ini:
– koordinat yang bersesuaian tidak proporsional, artinya vektor-vektornya tidak segaris.

Menjawab: vektor-vektornya tidak segaris.

b-c) Ini adalah poin untuk pengambilan keputusan independen. Cobalah dengan dua cara.

Ada metode untuk memeriksa kolinearitas vektor spasial melalui determinan orde ketiga, metode ini tercakup dalam artikel tersebut Produk vektor dari vektor .

Mirip dengan kasus bidang, alat yang dipertimbangkan dapat digunakan untuk mempelajari paralelisme segmen spasial dan garis lurus.

Selamat datang di bagian kedua:

Ketergantungan linier dan independensi vektor dalam ruang tiga dimensi.
Basis spasial dan sistem koordinat affine

Banyak pola yang kami periksa di pesawat akan berlaku untuk ruang angkasa. Saya mencoba meminimalkan catatan teori karena bagian terbesar informasi sudah dikunyah. Namun, saya menyarankan Anda membaca bagian pendahuluan dengan cermat, karena istilah dan konsep baru akan muncul.

Sekarang, alih-alih bidang meja komputer, kita menjelajahi ruang tiga dimensi. Pertama, mari kita buat dasarnya. Seseorang sekarang berada di dalam ruangan, seseorang berada di luar ruangan, tetapi bagaimanapun juga, kita tidak dapat lepas dari tiga dimensi: lebar, panjang dan tinggi. Oleh karena itu, untuk membangun suatu basis, diperlukan tiga vektor spasial. Satu atau dua vektor saja tidak cukup, vektor keempat tidak berguna.

Dan sekali lagi kita melakukan pemanasan dengan jari kita. Silakan angkat tangan Anda dan rentangkan ke berbagai arah ibu jari, telunjuk dan jari tengah . Ini akan menjadi vektor, mereka melihat ke arah yang berbeda, memiliki panjang yang berbeda dan memiliki sudut yang berbeda satu sama lain. Selamat, dasar ruang tiga dimensi sudah siap! Ngomong-ngomong, tidak perlu mendemonstrasikan hal ini kepada guru, tidak peduli seberapa keras Anda memutar jari, tetapi tidak ada jalan keluar dari definisi =)

Selanjutnya, mari kita bertanya masalah penting, apakah ketiga vektor tersebut dapat membentuk basis ruang tiga dimensi ? Silakan tekan tiga jari dengan kuat ke bagian atas meja komputer. Apa yang telah terjadi? Tiga vektor terletak pada bidang yang sama, dan, secara kasar, kita telah kehilangan salah satu dimensi - tinggi. Vektor-vektor tersebut adalah sebidang dan, cukup jelas bahwa dasar dari ruang tiga dimensi tidak tercipta.

Perlu dicatat bahwa vektor koplanar tidak harus terletak pada bidang yang sama, mereka dapat berada pada bidang paralel (jangan lakukan ini dengan jari Anda, hanya Salvador Dali yang melakukan ini =)).

Definisi: vektor disebut sebidang, jika ada bidang yang sejajar. Masuk akal untuk menambahkan di sini bahwa jika bidang seperti itu tidak ada, maka vektor-vektornya tidak akan koplanar.

Tiga vektor koplanar selalu bergantung linier, yaitu, keduanya dinyatakan secara linier melalui satu sama lain. Untuk mempermudah, mari kita bayangkan lagi bahwa mereka terletak pada bidang yang sama. Pertama, vektor tidak hanya koplanar, tetapi juga bisa kolinear, maka vektor apa pun dapat dinyatakan melalui vektor apa pun. Dalam kasus kedua, jika, misalnya, vektor-vektornya tidak segaris, maka vektor ketiga dinyatakan melalui vektor-vektor tersebut dengan cara yang unik: (dan alasannya mudah ditebak dari materi di bagian sebelumnya).

Kebalikannya juga benar: tiga vektor non-coplanar selalu bebas linier, artinya, keduanya sama sekali tidak diungkapkan melalui satu sama lain. Dan, tentu saja, hanya vektor-vektor seperti itu yang dapat menjadi dasar ruang tiga dimensi.

Definisi: Dasar dari ruang tiga dimensi disebut tripel vektor-vektor bebas linier (non-koplanar), diambil dalam urutan tertentu, dan vektor ruang apa pun satu-satunya jalan didekomposisi berdasarkan basis tertentu, di mana koordinat vektor dalam basis ini

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa kita juga dapat mengatakan bahwa vektor direpresentasikan dalam bentuk kombinasi linear vektor dasar.

Konsep sistem koordinat diperkenalkan dengan cara yang persis sama seperti pada kasus bidang; satu titik dan tiga vektor bebas linier sudah cukup:

asal, Dan non-koplanar vektor, diambil dalam urutan tertentu, mengatur sistem koordinat affine ruang tiga dimensi :

Tentu saja, kisi koordinatnya “miring” dan tidak nyaman, namun, sistem koordinat yang dibangun memungkinkan kita tentu saja tentukan koordinat suatu vektor dan koordinat titik mana pun dalam ruang. Mirip dengan bidang, beberapa rumus yang telah saya sebutkan tidak akan berfungsi dalam sistem koordinat ruang affine.

Kasus khusus yang paling familiar dan nyaman dari sistem koordinat affine, seperti yang ditebak semua orang, adalah sistem koordinat ruang persegi panjang:

Suatu titik dalam ruang disebut asal, Dan ortonormal dasar telah ditetapkan Sistem koordinat ruang persegi panjang kartesius . Gambar yang familier:

Sebelum beralih ke tugas praktik, mari kita sistematiskan kembali informasinya:

Untuk tiga vektor ruang, pernyataan berikut ini ekuivalen:
1) vektor-vektornya bebas linier;
2) vektor-vektor membentuk basis;
3) vektor-vektornya tidak sebidang;
4) vektor tidak dapat dinyatakan secara linier satu sama lain;
5) determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tersebut berbeda dari nol.

Saya pikir pernyataan sebaliknya dapat dimengerti.

Ketergantungan/independensi linier vektor ruang secara tradisional diperiksa menggunakan determinan (poin 5). Tersisa tugas-tugas praktis akan memiliki karakter aljabar yang jelas. Saatnya untuk menggantungkan tongkat geometri dan menggunakan tongkat baseball aljabar linier:

Tiga vektor ruang bersifat koplanar jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat vektor-vektor tertentu sama dengan nol: .

Saya menarik perhatian Anda ke yang kecil nuansa teknis: koordinat vektor dapat ditulis tidak hanya dalam kolom, tetapi juga dalam baris (nilai determinan tidak akan berubah dari ini - lihat. sifat determinan). Tapi ini jauh lebih baik dalam kolom, karena lebih bermanfaat untuk memecahkan beberapa masalah praktis.

Bagi para pembaca yang sedikit lupa tentang metode penghitungan determinan, atau mungkin kurang memahaminya sama sekali, saya merekomendasikan salah satu pelajaran tertua saya: Bagaimana cara menghitung determinannya?

Contoh 6

Periksa apakah vektor-vektor berikut membentuk basis ruang tiga dimensi:

Larutan: Faktanya, seluruh solusi bermuara pada menghitung determinan.

a) Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor (determinannya terungkap pada baris pertama):

, artinya vektor-vektor tersebut bebas linier (bukan koplanar) dan membentuk basis ruang tiga dimensi.

Menjawab: vektor-vektor ini membentuk basis

b) Ini adalah titik untuk pengambilan keputusan independen. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Ada juga tugas kreatif:

Contoh 7

Pada nilai parameter berapakah vektor-vektor tersebut akan menjadi koplanar?

Larutan: Vektor-vektor dikatakan koplanar jika dan hanya jika determinan yang tersusun dari koordinat-koordinat vektor-vektor tersebut sama dengan nol:

Pada dasarnya, Anda perlu menyelesaikan persamaan dengan determinan. Kami menukik angka nol seperti layang-layang di jerboa - yang terbaik adalah membuka determinan di baris kedua dan segera menghilangkan minusnya:

Kami melakukan penyederhanaan lebih lanjut dan mereduksi masalahnya menjadi persamaan linier paling sederhana:

Menjawab: pada

Sangat mudah untuk memeriksanya di sini; untuk melakukan ini, Anda perlu mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam determinan asli dan memastikannya , membukanya lagi.

Kesimpulannya, mari kita lihat satu lagi tugas khas, yang lebih bersifat aljabar dan secara tradisional dimasukkan dalam mata kuliah aljabar linier. Hal ini sangat umum sehingga layak mendapatkan topik tersendiri:

Buktikan bahwa 3 vektor membentuk basis ruang tiga dimensi
dan temukan koordinat vektor ke-4 dalam basis ini

Contoh 8

Vektor diberikan. Tunjukkan bahwa vektor membentuk basis dalam ruang tiga dimensi dan temukan koordinat vektor dalam basis tersebut.

Larutan: Pertama, mari kita atasi kondisinya. Dengan syarat, empat vektor diberikan, dan, seperti yang Anda lihat, vektor-vektor tersebut sudah memiliki koordinat pada basis tertentu. Apa dasar ini tidak menarik bagi kami. Dan hal berikut ini menarik: tiga vektor mungkin saja terbentuk dasar baru. Dan tahap pertama sepenuhnya bertepatan dengan solusi Contoh 6; perlu untuk memeriksa apakah vektor-vektor tersebut benar-benar bebas linier:

Mari kita hitung determinan yang terdiri dari koordinat vektor:

, yang berarti vektor-vektor tersebut bebas linier dan membentuk basis ruang tiga dimensi.

! Penting : koordinat vektor Perlu tuliskan menjadi kolom penentu, bukan dalam string. Jika tidak, akan terjadi kebingungan dalam algoritma solusi selanjutnya.

Definisi. Kombinasi vektor linier a 1 , ..., a n dengan koefisien x 1 , ..., x n disebut vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

remeh, jika semua koefisien x 1 , ..., x n sama dengan nol.

Definisi. Kombinasi linier x 1 a 1 + ... + x n a n disebut tidak sepele, jika paling sedikit salah satu koefisien x 1, ..., x n tidak sama dengan nol.

independen linier, jika tidak ada kombinasi non-trivial dari vektor-vektor tersebut yang sama dengan vektor nol.

Artinya, vektor-vektor a 1, ..., a n bebas linier jika x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 jika dan hanya jika x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definisi. Vektor a 1, ..., a n disebut bergantung secara linier, jika terdapat kombinasi nontrivial dari vektor-vektor tersebut yang sama dengan vektor nol.

Sifat-sifat vektor bergantung linier:

Untuk vektor 2 dan 3 dimensi.

Dua vektor bergantung linier adalah kolinear. (Vektor collinear bergantung linear.)

Untuk vektor 3 dimensi.

Tiga vektor bergantung linier bersifat koplanar. (Tiga vektor koplanar bergantung linier.)

• Untuk vektor berdimensi n.

  n + 1 vektor selalu bergantung linier.

Contoh soal ketergantungan linier dan kemandirian linier vektor:

Contoh 1. Periksa apakah vektor a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) bebas linier .

Larutan:

Vektor-vektor akan bergantung linier, karena dimensi vektor lebih kecil dari jumlah vektor.

Contoh 2. Periksa apakah vektor a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) bebas linier.

Larutan:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

kurangi baris kedua dari baris pertama; tambahkan baris kedua ke baris ketiga:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Penyelesaian ini menunjukkan bahwa sistem mempunyai banyak penyelesaian yaitu terdapat kombinasi nilai bilangan x 1, x 2, x 3 yang bukan nol sedemikian rupa sehingga kombinasi linier vektor a, b, c sama dengan vektor nol, misalnya:

SEBUAH + b + c = 0

dan ini berarti vektor a, b, c bergantung linier.

Menjawab: vektor a, b, c bergantung linier.

Contoh 3. Periksa apakah vektor a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) bebas linier.

Larutan: Mari kita cari nilai koefisien di mana kombinasi linier dari vektor-vektor ini akan sama dengan vektor nol.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Persamaan vektor ini dapat ditulis sebagai sistem persamaan linier

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Mari selesaikan sistem ini menggunakan metode Gauss

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

kurangi baris pertama dari baris kedua; kurangi baris pertama dari baris ketiga:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

kurangi baris kedua dari baris pertama; tambahkan baris kedua ke baris ketiga.

Membiarkan L adalah ruang linier sembarang, a Saya Î aku,- elemennya (vektor).

Definisi 3.3.1. Ekspresi , Di mana , - bilangan real sembarang, disebut kombinasi linier vektor sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N.

Jika vektor R = , lalu mereka mengatakan itu R didekomposisi menjadi vektor sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N.

Definisi 3.3.2. Kombinasi linear vektor disebut tidak sepele, jika di antara bilangan-bilangan tersebut paling sedikit ada satu yang bukan nol. Jika tidak, kombinasi linier disebut remeh.

Definisi 3.3.3 . Vektor a 1 , a 2 ,…, a N disebut bergantung linier jika terdapat kombinasi linier nontrivial sedemikian rupa sehingga

= 0 .

Definisi 3.3.4. Vektor a 1 ,a 2 ,…, a N disebut bebas linier jika persamaannya = 0 hanya mungkin jika semua angkanya aku 1, aku 2,…, aku n secara bersamaan sama dengan nol.

Perhatikan bahwa setiap elemen bukan nol a 1 dapat dianggap sebagai sistem bebas linier, karena persamaannya aku sebuah 1 = 0 hanya mungkin jika aku= 0.

Teorema 3.3.1. Diperlukan dan kondisi cukup ketergantungan linier a 1, a 2,…, a N adalah kemungkinan untuk menguraikan setidaknya satu dari elemen-elemen ini menjadi elemen lainnya.

Bukti. Kebutuhan. Misalkan unsur a 1 , a 2 ,…, a N bergantung secara linear. Artinya = 0 , dan setidaknya salah satu angkanya aku 1, aku 2,…, aku n berbeda dari nol. Biarkan untuk kepastian aku 1 ¹ 0. Lalu

yaitu unsur a 1 didekomposisi menjadi unsur a 2 , a 3 , …, a N.

Kecukupan. Misalkan unsur a 1 diuraikan menjadi unsur a 2 , a 3 , …, a N, yaitu a 1 = . Kemudian = 0 , oleh karena itu, terdapat kombinasi vektor linier non-trivial a 1 , a 2 ,…, a N, sama dengan 0 , jadi keduanya bergantung linier .

Teorema 3.3.2. Jika paling sedikit salah satu unsur a 1 , a 2 ,…, a N nol, maka vektor-vektor tersebut bergantung linier.

Bukti . Membiarkan A N= 0 , maka = 0 , yang berarti ketergantungan linier dari unsur-unsur tersebut.

Teorema 3.3.3. Jika di antara n vektor ada p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Bukti. Misalkan, agar lebih pasti, unsur-unsur a 1 , a 2 ,…, a P bergantung secara linear. Artinya terdapat kombinasi linier non-trivial sedemikian sehingga = 0 . Kesetaraan yang ditentukan akan dipertahankan jika kita menambahkan elemen ke kedua bagiannya. Kemudian + = 0 , dan setidaknya salah satu angkanya aku 1, aku 2,…, lp berbeda dari nol. Oleh karena itu, vektor a 1 , a 2 ,…, a N bergantung secara linear.

Akibat wajar 3.3.1. Jika n unsur bebas linier, maka ada k unsur bebas linier (k< n).

Teorema 3.3.4. Jika vektor sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N- 1 bebas linier, dan unsur-unsurnya sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N- 1,a n bergantung linier, maka vektornya A n dapat diperluas menjadi vektor sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N- 1 .

Bukti. Karena dengan kondisi a 1 , a 2 ,…, A N- 1,a N bergantung linier, maka terdapat kombinasi linier nontrivial dari keduanya = 0 , dan (jika tidak, hasilnya akan linier vektor bergantung sebuah 1 , sebuah 2 ,…, sebuah N- 1). Tapi kemudian vektornya

,

Q.E.D.