Di bagian ini kita akan mempertimbangkan tugas-tugas yang terkait dengan berbagai sistem koordinat dengan membagi suatu segmen dengan perbandingan tertentu.
Koordinat titik-titik tersebut diberikan: A(4; 3), DI DALAM(7; 6), DENGAN(2; 11). Mari kita buktikan bahwa segitiga tersebut ABC persegi panjang.
Temukan panjang sisi-sisi segitiga ABC. Untuk tujuan ini, kami menggunakan rumus yang memungkinkan kami mencari jarak antara dua titik pada bidang:
Panjang sisi-sisinya akan sama:
Mengingat teorema Pythagoras berlaku untuk sisi-sisi segitiga ini
lalu segitiga ABC– persegi panjang.
Poin yang diberikan A(2; 1) dan DI DALAM(8; 4). Temukan koordinat titik tersebut M(X; pada), yang membagi segmen dengan perbandingan 2:1.
Ingat itu intinya M(X; pada) membagi segmen AB, Di mana A(X A , kamu A), B(X B , kamu B), sehubungan dengan λ: μ, jika koordinatnya memenuhi kondisi:
,
.
Mari kita cari tahu maksudnya M untuk segmen tertentu
,
.
Jadi intinya M(6; 3) membagi segmen AB dengan perbandingan 2:1.
Temukan koordinat persegi panjang dari titik tersebut A(
3π/4), jika kutub berimpit dengan titik asal koordinat, dan sumbu kutub searah sumbu absis.
Memperhatikan rumus peralihan dari sistem koordinat kutub ke sistem koordinat persegi panjang
X = R cosφ, kamu = R dosaφ,
kita mendapatkan
,
.
Pada sistem koordinat kartesius persegi panjang, koordinat suatu titik adalah A(–2; 2).
Mari kita cari koordinat kutub dari titik-titik yang memiliki koordinat persegi panjang berikut:
A(
;
2),DI DALAM(–4;
4), DENGAN(–7;
0).
Kami menggunakan rumus transisi dari koordinat persegi panjang ke koordinat kutub:
,
.
Mari kita cari koordinat titiknya A:
,
.
Dengan demikian A(4; π/6) – koordinat kutub (Gbr. 15).
Untuk satu hal DI DALAM(Gbr. 16) kita punya
,
.
Oleh karena itu, koordinat kutub titik tersebut DI DALAM(
, 3π/4).
Pertimbangkan maksudnya DENGAN(–7; 0) (Gbr. 17). Pada kasus ini
,
,
.
Anda dapat menulis koordinat kutub suatu titik DENGAN(7; π).
Mari kita cari panjang vektornya A = 20Saya + 30J – 60k dan arahnya cosinus.
Ingatlah bahwa cosinus arah adalah cosinus sudut-sudut yang bersifat vektor A (A 1 , A 2 , A 3) bentuk dengan sumbu koordinat:
,
,
,
Di mana 
.
Menerapkan rumus ini ke vektor ini, kita mendapatkan
,
.
Kami menormalkan vektor A = 3Saya + 4J – 12k .
Menormalkan suatu vektor berarti mencari vektor yang mempunyai satuan panjang A
0, diarahkan dengan cara yang sama seperti vektor ini. Untuk vektor sembarang A
(A 1 ,
A 2 ,
A 3) vektor satuan panjang yang bersesuaian dapat dicari dengan mengalikannya A
menjadi pecahan 
.
.
Dalam kasus kami, vektor satuan panjang:
.
Mari kita cari hasil kali skalar vektor
A = 4Saya + 5J + 6k Dan B = 3Saya – 4J + k .
Untuk mencari hasil kali skalar vektor, Anda perlu mengalikan koordinat yang sesuai dan menjumlahkan hasil kali hasilnya. Jadi, untuk vektor A = A 1 Saya + A 2 J + A 3 k Dan B = B 1 Saya + B 2 J + B 3 k produk skalar memiliki bentuk:
(A , B ) = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 .
Untuk vektor-vektor ini kita peroleh
(A , B ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
Mari kita tunjukkan bahwa vektor A = 2Saya – 3J + 5k Dan B = Saya + 4J + 2k tegak lurus.
Dua vektor tegak lurus jika hasil kali titiknya nol.
Mari kita cari hasil kali skalarnya:
(A , B ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Jadi, vektornya A Dan B tegak lurus.
Mari kita cari tahu berapa nilai parameternya M vektor A = 2Saya + 3J + Mk Dan B = 3Saya + MJ – 2k tegak lurus.
Mari kita cari hasil kali skalar vektor A Dan B :
(A , B ) = 2∙3 + 3∙M – 2∙M = 6 + M.
Vektor tegak lurus jika hasil kali skalarnya nol. Kami menyamakan dengan nol produk ( A , B ):
6 + M = 0.
Pada M= – 6 vektor A Dan B tegak lurus.
Contoh 10.
Mari kita cari hasil kali skalar (3 A + 4B , 2A – 3B ), jika | A | = 2, |B | = 1 dan sudut φ antara A Dan B sama dengan π/3.
Mari kita gunakan properti produk skalar:
(α A , β B ) = αβ( A , B ),
(A + B , C ) = (A , C ) + (B , C ),
(A , B ) = (B , A )
(A , A ) = |A | 2 ,
serta definisi produk skalar ( A , B ) = |A |∙|B |∙cosφ. Mari kita tulis ulang hasil kali skalar dalam bentuk
(3A + 4B , 2A – 3B ) = 6(A , A ) – 9(A , B ) + 8(B , A ) – 12(B , B ) =
6|A | 2 – (A , B ) – 12|B | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Contoh 11.
Mari kita tentukan sudut antar vektor
A = Saya + 2J + 3k Dan B = 6Saya + 4J – 2k .
Untuk mencari sudut, kita menggunakan definisi perkalian skalar dua vektor
(A , B ) = |A |∙|B |∙cosφ,
di mana φ adalah sudut antar vektor A Dan B . Mari kita nyatakan cosφ dari rumus ini
.
Mengingat bahwa ( A
,
B
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,, kita mendapatkan:
.
Karena itu, 
.
Contoh 12.
A = 5Saya – 2J + 3k Dan B = Saya + 2J – 4k .
Diketahui hasil kali vektor dari vektor A = A 1 Saya + A 2 J + A 3 k Dan B = B 1 Saya + B 2 J + B 3 k ditemukan oleh rumus
.
Oleh karena itu, untuk vektor-vektor tersebut
2Saya + 23J + 12k .
Mari kita perhatikan contoh di mana, untuk mencari modulus suatu perkalian vektor, akan digunakan definisi perkalian vektor, dan tidak menyatakannya melalui koordinat faktor, seperti yang terjadi pada contoh sebelumnya.
Contoh 13.
Mari kita cari modulus perkalian vektor dari vektor A + 2B dan 2 A – 3B , jika | A | = 1, |B | = 2 dan sudut antar vektor A Dan B sama dengan 30°.
Dari definisi perkalian vektor jelas bahwa untuk vektor sembarang A Dan B modulusnya adalah
|[A , B ] | = |A | ∙ |B | ∙ dosa φ.
Memperhatikan sifat-sifat hasil kali vektor
[A , B ] = – [B , A ],
[A , A ] = 0,
[α A + β B , C ] = α[ A , C ] + β[ B , C ],
kita mendapatkan
[A + 2B , 2A – 3B ] = 2[A , A ] – 3[A , B ] + 4[B , A ] – 6[B , B ] = –7[A , B ].
Artinya modulus hasil kali vektornya sama dengan
|[A + 2B , 2A – 3B ]| = |–7[A , B ]| = 7 ∙ |A | ∙ |B | ∙ sin 30° = 7∙1∙2∙0,5 = 7.
Contoh 14.
Mari kita hitung luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor
A = 6Saya + 3J – 2k Dan B = 3Saya – 2J + 6k .
Diketahui modulus perkalian vektor dua vektor sama dengan luas jajaran genjang dibangun di atas vektor-vektor ini. Mari kita cari hasil kali vektor menggunakan rumus:
,
Di mana A = A 1 Saya + A 2 J + A 3 k Dan B = B 1 Saya + B 2 J + B 3 k . Kemudian kita hitung modulusnya.
Untuk vektor-vektor ini kita peroleh
14Saya – 42J – 21k .
Jadi, luas jajar genjang adalah
S = |[A , B ]| = (satuan persegi).
Contoh 15.
Hitung luas segitiga dengan titik sudut A(1;2;1), DI DALAM(3;3;4), DENGAN(2;1;3).
Jelas sekali luas segitiga tersebut ABC sama dengan setengah luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor 
Dan 
.
Pada gilirannya, luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor 
Dan 
, sama dengan modulus perkalian vektor [ 
]. Dengan demikian
|[
]|.
Mari kita cari koordinat vektornya 
Dan 
, mengurangkan koordinat awal yang sesuai dari koordinat akhir vektor, kita memperoleh
= (3 –
1)Saya
+ (3 – 2)J
+ (4 – 1)k
= 2Saya
+ J
+ 3k
,
= (2 –
1)Saya
+ (1 – 2)J
+ (3 – 1)k
= Saya
– J
+ 2k
.
Mari kita cari hasil kali vektornya:
[
,
]
=
5Saya
– J
– 3k
.
Mari kita cari modul perkalian vektor:
|[
]|
=
.
Oleh karena itu, kita dapat memperoleh luas segitiga:
(satuan persegi).
Contoh 16.
Mari kita hitung luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor A + 3B dan 3 A – B , jika | A | = 2, |B | = 1 dan sudut antara A Dan B sama dengan 30°.
Mari kita cari modulus perkalian vektor menggunakan definisi dan propertinya yang ditentukan dalam contoh 13, kita peroleh
[A + 3B , 3A – B ] = 3[A , A ] – [A , B ] + 9[B , A ] – 3[B , B ] = –10[A , B ].
Artinya luas yang dibutuhkan sama dengan
S = |[A + 3B , 3A – B ]| = |–10[A , B ]| = 10 ∙ |A | ∙ |B | ∙ dosa 30° =
10∙2∙1∙0,5 = 10 (satuan persegi).
Contoh berikut akan melibatkan penggunaan produk campuran vektor.
Contoh 17.
Tunjukkan vektor itu A = Saya + 2J – k , B = 3Saya + k Dan Dengan = 5Saya + 4J – k sebidang.
Vektor dikatakan koplanar jika hasil kali campurannya nol. Untuk vektor sembarang
A = A 1 Saya + A 2 J + A 3 k , B = B 1 Saya + B 2 J + B 3 k , C = C 1 Saya + C 2 J + C 3 k
kami menemukan produk campuran menggunakan rumus:
.
Untuk vektor-vektor ini kita peroleh
.
Jadi, vektor-vektor ini bersifat koplanar.
Temukan volume limas segitiga yang memiliki titik sudut A(1;1;1), DI DALAM(3;2;1), DENGAN(2;4;3), D(5;2;4).
Mari kita cari koordinat vektornya 
,
Dan 
, bertepatan dengan tepi piramida. Mengurangi koordinat awal yang sesuai dari koordinat akhir vektor, kita memperoleh
= 2Saya
+ 3J
,
= Saya
+ 3J
+ 2k
,
= 4Saya
+ J
+ 3k
.
Diketahui bahwa volume piramida sama dengan 1/6 volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor 
,
Dan 
. Dengan demikian,
.
Pada gilirannya, volume parallelepiped sama dengan modulus produk campuran
V paral
= |(
,
,
)|.
Mari kita cari produk campuran
(
,
,
)
=
.
Jadi, volume piramida tersebut adalah
(satuan kubik).
Dalam contoh berikut kami akan menunjukkan kemungkinan penerapan aljabar vektor.
Contoh 19.
Mari kita periksa apakah vektor 2 segaris A + B Dan A – 3B , Di mana A = 2Saya + J – 3k Dan B = Saya + 2J + 4k .
Temukan koordinat vektor 2 A + B Dan A – 3B :
2A + B = 2(2Saya + J – 3k ) + Saya + 2J + 4k = 5Saya + 4J – 2k ,
A – 3B = 2Saya + J – 3k – 3(Saya + 2J + 4k ) = –Saya – 5J – 15k .
Diketahui bahwa vektor-vektor yang segaris mempunyai koordinat yang proporsional. Mengingat bahwa
,
kita temukan ada 2 vektor A + B Dan A – 3B non-kolinear.
Masalah ini sebenarnya bisa diselesaikan dengan cara lain. Kriteria kolinearitas vektor adalah persamaan hasil kali vektor dengan nol:
2[A , A ] – 6[A , B ] + [B , A ] – 3[B , B ] = –7[A , B ].
Mari kita cari hasil kali vektor dari vektor A Dan B :
10Saya – 11J + 3k ≠ 0.
Karena itu,
= –7[A , B ] ≠ 0
dan vektor 2 A + B Dan A – 3B non-kolinear.
Contoh 20.
Mari kita temukan kerja paksa F (3; 2; 1), kapan pokok penerapannya A(2; 4;–6), bergerak lurus, bergerak ke titik DI DALAM(5; 2; 3).
Diketahui bahwa kerja gaya merupakan hasil kali skalar gaya F
ke vektor perpindahan 
.
Mari kita cari koordinat vektornya 
:
= 3Saya
– 2J
+ 9k
.
Oleh karena itu, kerja paksa F dengan memindahkan suatu titik A tepat DI DALAM akan sama dengan produk skalar
(F
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Contoh 21.
Semoga kekuatannya F (2;3;–1) diterapkan pada titik tersebut A(4;2;3). Di bawah paksaan F dot A bergerak ke suatu titik DI DALAM(3;1;2). Mari kita cari modulus momen gaya F relatif terhadap intinya DI DALAM.
Diketahui bahwa momen gaya sama dengan hasil kali vektor gaya dan perpindahan. Mari kita cari vektor perpindahannya 
:
= (3 –
4)Saya
+
(1 – 2)J
+ (2 – 3)k
= – Saya
–
J
– k
.
Mari kita cari momen gaya sebagai hasil kali vektor:
= – 4Saya + 3J + k .
Oleh karena itu, modulus momen gaya sama dengan modulus hasil kali vektor:
|[F
,
]|
=
.
60) Diberikan sistem vektor sebuah =(1, 2, 5), b =(4, 0, -1), c =(0, 0, 0). Jelajahi di ketergantungan linier.
a) Sistem vektor bergantung linier;
b) Sistem vektor bebas linier;
c) tidak ada jawaban yang benar.
61) Jelajahi sistem vektor
sebuah =(1, -1, 2, 0), b =(1, 5, -2, ), c =(3, -3, 6, 0) menuju hubungan linier.
a) sistem vektor bebas linier;
b) sistem vektor bergantung linier;
c) tidak ada jawaban yang benar.
62) Apakah sistem vektor sebuah =(1, 2), b =(7, ), c =(0, ), d =( , 1) bergantung linier?
a) tidak, bukan;
b) ya, benar.
63) Apakah vektor dinyatakan b =(2, -1, 3) melalui sistem vektor = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
a) tidak, tidak diungkapkan;
b) ya, itu diungkapkan.
64) Selidiki sistem vektor untuk ketergantungan linier
sebuah = , b = , c = .
a) bebas linier;
b) bergantung linier;
c) tidak ada jawaban yang benar.
65) Selidiki sistem vektor untuk ketergantungan linier
sebuah = , b = , c =
a) bebas linier;
b) bergantung linier;
c) tidak ada jawaban yang benar.
66) Apakah sistem vektor bergantung linier?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
a) bergantung linier;
b) bebas linier;
c) tidak ada jawaban yang benar.
67) Misalkan banyak baris matriks yang bebas linier sama dengan m, dan banyak kolom matriks bebas linier sama dengan n. Pilihlah pernyataan yang benar.
d) jawabannya tergantung pada matriks.
68) Vektor basis ruang linier adalah
a) bergantung linier;
b) bebas linier;
c) jawabannya tergantung pada dasar spesifiknya.
69) apa itu vektor?
a) ini adalah sinar yang menunjukkan arah gerak
b) merupakan ruas berarah yang berawal di titik A dan berakhir di titik B, yang dapat dipindahkan sejajar dengan dirinya sendiri
c) ini adalah bangun datar yang terdiri dari banyak titik yang berjarak sama satu sama lain.
d) ini adalah segmen yang berawal di titik A dan berakhir di titik B, yang tidak dapat dipindahkan sejajar dengan dirinya sendiri
70) Jika kombinasi linier 1 + 2 +….+ƛ r dapat mewakili vektor nol jika berada di antara angka-angka tersebut ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛr paling sedikit ada satu yang bukan nol, maka sistem vektor a 1, a 2,…., hal ditelepon:
a) bebas linier;
b) bergantung linier;
c) sepele;
d) tidak sepele.
71) Jika kombinasi linier 1 + 2 +….+ƛ r mewakili vektor nol hanya jika semua bilangan ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛr sama dengan nol, maka sistem vektor a 1, a 2,…., hal ditelepon:
a) bebas linier;
b) bergantung linier;
c) sepele;
d) tidak sepele.
72) Basis ruang vektor adalah sistem vektor yang ditentukan dalam urutan tertentu dan memenuhi syarat:
a) Sistem ini bebas linier;
b) Setiap vektor ruang merupakan kombinasi linier dari suatu sistem tertentu;
c) Keduanya benar;
d) Keduanya salah.
73) Subhimpunan ruang R n yang mempunyai sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan disebut:
a) Ruang awal linier dari ruang Rn;
b) Proyeksi ruang R n ;
c) Subruang linier dari ruang Rn;
d) tidak ada jawaban yang benar.
74) Jika suatu sistem vektor berhingga mempunyai subsistem yang bergantung linier, maka:
a) Bergantung linier;
b) Bebas linier;
75) Jika sistemnya linier vektor bergantung menambahkan satu atau lebih vektor, sistem yang dihasilkan adalah:
a) Bergantung linier;
b) Bebas linier;
c) Tidak bergantung linier dan tidak bebas linier.
76) Tiga buah vektor disebut koplanar jika:
a) Letaknya pada garis sejajar;
b) Mereka terletak pada satu garis lurus;
c) Bebas linier;
d) Mereka terletak pada bidang paralel;
77) Dua buah vektor disebut segaris jika:
a) Mereka terletak pada bidang yang sama;
b) Mereka terletak pada bidang paralel;
c) Bebas linier;
d) Letaknya pada garis sejajar;
78) Agar dua vektor bergantung linier, keduanya harus:
a) Agunan;
b) Sebidang;
c) Bebas linier;
d) Tidak ada pilihan yang benar.
79) hasil kali suatu vektor sebuah=(A 1 ,A 2 ,A 3) suatu bilangan disebut vektor B, setara
A) ( A 1 , A 2 , A 3)
b) ( + A 1 , +a 2 , +a 3)
V) ( /A 1 , /A 2 , /A 3)
80) jika dua vektor terletak pada garis yang sama, maka vektor-vektor tersebut adalah
a) setara
b) diarahkan bersama
c) segaris
d) berlawanan arah
81) hasil kali skalar vektor sama dengan
a) hasil kali panjangnya;
b) hasil kali panjangnya dengan kosinus sudut di antara keduanya;
c) hasil kali panjangnya dengan sinus sudut di antara keduanya;
d) hasil kali panjangnya dengan garis singgung sudut di antara keduanya;
82) hasil kali suatu vektor A memanggil dirinya sendiri
a) panjang vektor A
b) skalar kuadrat dari vektor A
c) arah vektor A
d) tidak ada jawaban yang benar
83) jika hasil kali vektor sama dengan 0, maka vektor tersebut disebut
a) segaris
b) diarahkan bersama
c) ortogonal
d) paralel
84) panjang vektornya adalah
a) kuadrat skalarnya
b) akar kuadrat skalarnya
c) jumlah koordinatnya
d) selisih koordinat ujung dan awal vektor
85) apa aturan mencari jumlah vektor (jawaban ganda)
a) aturan segitiga
b) aturan lingkaran
c) aturan jajaran genjang
d) aturan Gauss
e) aturan poligon
f) aturan persegi panjang
86) jika titik A bertepatan dengan intinya DI DALAM, maka vektornya disebut
a) vektor satuan
c) vektor nol
d) vektor sepele
87) agar dua vektor segaris, diperlukan hal tersebut
a) koordinatnya sama
b) koordinatnya proporsional
c) koordinatnya berlawanan
d) koordinatnya sama dengan 0
88) diberikan dua vektor a=2m+4n dan b=m-n, dengan m dan n adalah vektor satuan yang membentuk sudut 120 0. Tentukan sudut antara vektor a dan b.
89) Dua vektor satuan m dan n diberikan pada bidang. Diketahui sudut antara keduanya adalah 60 derajat. Carilah panjang vektor a=m+2n (bulatkan jawabannya menjadi 0,1)
90) Tentukan sudut antara diagonal-diagonal jajar genjang yang dibangun di atas vektor a=-4k dan b=2i+j
91) panjang vektor |a|=2, |b|=3, |a-b|=1 diberikan. Definisikan |a+b|
92) Diberikan tiga vektor: a=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). Tentukan koordinat vektor p=2a-b+c.
93) Tentukan panjang vektor a=2i+3j-6k.
94) pada nilai λ berapakah vektor a=λi-3j+2k dan b=i+2j-λk tegak lurus?
95) Diketahui vektor a=6i-4j+k dan b=2i-4j+k. Temukan sudut yang dibentuk oleh vektor a-b dengan sumbu Oz.
96) Diketahui vektor = (4; –2; –6) dan = (–3; 4; –12). Temukan proyeksi vektor A ke sumbu vektor B.
97) Temukan sudutnya A segitiga dengan simpul A (–1; 3; 2), DI DALAM(3; 5; –2) dan
DENGAN(3; 3; –1). Masukkan jawaban Anda sebagai 15cos A.
98) Temukan modulus kuadrat dari vektor 
, dimana dan adalah vektor satuan yang membentuk sudut 60 o.
99) Temukan produk titiknya 
Dan 
100) Diberikan poin A (3; –1; 2), B (1; 2; –1), C (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). Tentukan jenis segi empat ABCD.
a) Paralelepiped;
b) Persegi Panjang;
c) Trapesium;
101) Vektor = (3; 4) diuraikan menjadi vektor = (3; –1) dan = (1; –2). Pilih dekomposisi yang benar.
