Dengan matriks A, jika terdapat bilangan l sehingga AX = lX.

Dalam hal ini, nomor l dipanggil nilai eigen operator (matriks A) yang bersesuaian dengan vektor X.

Dengan kata lain, vektor eigen adalah vektor yang, di bawah aksi operator linier, berubah menjadi vektor kolinear, yaitu. kalikan saja dengan angka tertentu. Sebaliknya, vektor tak wajar lebih rumit untuk diubah.

Mari kita tuliskan definisi vektor eigen dalam bentuk sistem persamaan:

Mari kita pindahkan semua suku ke sisi kiri:

Sistem yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut:

(A - lE)X = O

Sistem yang dihasilkan selalu mempunyai solusi nol X = O. Sistem yang semua suku bebasnya sama dengan nol disebut homogen. Jika matriks sistem tersebut berbentuk persegi dan determinannya tidak sama dengan nol, maka dengan menggunakan rumus Cramer kita akan selalu mendapatkan solusi unik - nol. Dapat dibuktikan bahwa suatu sistem mempunyai solusi bukan nol jika dan hanya jika determinan matriks tersebut sama dengan nol, yaitu.

|A - le| = = 0

Persamaan dengan l yang tidak diketahui ini disebut persamaan karakteristik (polinomial karakteristik) matriks A (operator linier).

Dapat dibuktikan bahwa polinomial karakteristik suatu operator linier tidak bergantung pada pilihan basis.

Misalnya, cari nilai eigen dan vektor eigen dari operator linier yang ditentukan oleh matriks A = .

Untuk melakukan ini, mari menulis persamaan karakteristik|A - le| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; nilai eigen l 1 = (2 - 12)/2 = -5; aku 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Untuk mencari vektor eigen, kita menyelesaikan dua sistem persamaan

(A + 5E)X = O

(A - 7E)X = O

Untuk yang pertama, matriks yang diperluas mengambil bentuk

,

maka x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, mis. X (1) = (-(2/3)s; s).

Untuk yang kedua, matriks yang diperluas mengambil bentuk

,

dari mana x 2 = c 1, x 1 - (2/3)c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, yaitu X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Jadi, vektor eigen dari operator linier ini adalah semua vektor berbentuk (-(2/3)с; с) dengan nilai eigen (-5) dan semua vektor berbentuk ((2/3)с 1 ; с 1) dengan nilai eigen 7 .

Dapat dibuktikan bahwa matriks operator A pada basis yang terdiri dari vektor-vektor eigennya berbentuk diagonal dan berbentuk:

,

dimana aku adalah nilai eigen dari matriks ini.

Kebalikannya juga benar: jika matriks A pada suatu basis berbentuk diagonal, maka semua vektor pada basis tersebut akan menjadi vektor eigen dari matriks tersebut.

Dapat juga dibuktikan bahwa jika suatu operator linier mempunyai n nilai eigen berbeda berpasangan, maka vektor eigen yang bersesuaian adalah bebas linier, dan matriks operator ini pada basis yang bersesuaian berbentuk diagonal.

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh sebelumnya. Mari kita ambil nilai sembarang bukan nol c dan c 1, tetapi sedemikian rupa sehingga vektor X (1) dan X (2) bebas linier, mis. akan membentuk suatu dasar. Misal c = c 1 = 3, maka X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Mari kita pastikan kemandirian linier vektor-vektor ini:

12 ≠ 0. Pada basis baru ini, matriks A akan berbentuk A * = .

Untuk memverifikasinya, mari kita gunakan rumus A* = C -1 AC. Pertama, cari C -1.

C -1 = ;

Bentuk kuadrat

Bentuk kuadrat f(x 1, x 2, xn) dari n variabel disebut penjumlahan, yang setiap sukunya merupakan kuadrat salah satu variabel, atau hasil kali dua variabel berbeda, diambil dengan koefisien tertentu: f(x 1 , x 2, xn) = (a ij = aji).

Matriks A yang tersusun dari koefisien-koefisien ini disebut matriks bentuk kuadrat. Itu selalu simetris matriks (yaitu matriks yang simetris terhadap diagonal utama, a ij = a ji).

Dalam notasi matriks, bentuk kuadratnya adalah f(X) = X T AX, dimana

Memang

Misalnya kita menulis bentuk kuadrat dalam bentuk matriks.

Untuk melakukan ini, kita menemukan matriks berbentuk kuadrat. Elemen diagonalnya sama dengan koefisien variabel kuadrat, dan elemen sisanya sama dengan setengah koefisien bentuk kuadrat yang bersesuaian. Itu sebabnya

Misalkan kolom-matriks variabel X diperoleh dengan transformasi linier tak-degenerasi dari kolom-matriks Y, yaitu. X = CY, dimana C adalah matriks nonsingular orde ke-n. Maka bentuk kuadratnya f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Jadi, dengan transformasi linier tak berdegenerasi C, matriks berbentuk kuadrat berbentuk: A* = C T AC.

Misalnya, cari bentuk kuadrat f(y 1, y 2), yang diperoleh dari bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 melalui transformasi linier.

Bentuk kuadrat disebut resmi(memiliki pandangan kanonik), jika semua koefisiennya a ij = 0 untuk i ≠ j, yaitu
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Matriksnya berbentuk diagonal.

Dalil(bukti tidak diberikan di sini). Bentuk kuadrat apa pun dapat direduksi menjadi bentuk kanonik menggunakan transformasi linier tak merosot.

Misalnya, mari kita reduksi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3.

Untuk melakukan ini, pertama-tama kita pilih persegi sempurna dengan variabel x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 - x 2 x 3.

Sekarang kita pilih persegi lengkap dengan variabel x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 2 + 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) + (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 - 5(x 2 - (1/10)x 3) 2 + (1/20)x 3 2.

Kemudian transformasi linier tak berdegenerasi y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 dan y 3 = x 3 menjadikan bentuk kuadrat ini menjadi bentuk kanonik f(y 1, y 2 , kamu 3) = 2kamu 1 2 - 5kamu 2 2 + (1/20)kamu 3 2 .

Perhatikan bahwa bentuk kanonik dari bentuk kuadrat ditentukan secara ambigu (bentuk kuadrat yang sama dapat direduksi menjadi bentuk kanonik dengan cara yang berbeda). Namun, yang diterima dalam berbagai cara bentuk kanonik memiliki sejumlah sifat umum. Secara khusus, jumlah suku dengan koefisien positif (negatif) dari bentuk kuadrat tidak bergantung pada metode pengurangan bentuk menjadi bentuk ini (misalnya, dalam contoh yang dipertimbangkan akan selalu ada dua koefisien negatif dan satu positif). Sifat ini disebut hukum inersia bentuk kuadrat.

Mari kita verifikasi ini dengan membawa bentuk kuadrat yang sama ke bentuk kanonik dengan cara yang berbeda. Mari kita mulai transformasi dengan variabel x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = -3x 2 2 - x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2) + 3((1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 + (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 + 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (kamu 1 , kamu 2 , kamu 3) = -3kamu 1 2 -
+3y 2 2 + 2y 3 2, dimana y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 dan kamu 3 = x 1 . Di sini terdapat koefisien negatif -3 pada y 1 dan dua koefisien positif 3 dan 2 pada y 2 dan y 3 (dan dengan menggunakan metode lain kita mendapatkan koefisien negatif (-5) pada y 2 dan dua koefisien positif: 2 pada y 1 dan 1/20 pada y 3).

Perlu juga diperhatikan bahwa pangkat suatu matriks berbentuk kuadrat disebut peringkat bentuk kuadrat, sama dengan jumlah koefisien bukan nol dalam bentuk kanonik dan tidak berubah pada transformasi linier.

Bentuk kuadrat f(X) disebut secara positif (negatif) yakin, jika untuk semua nilai variabel yang tidak simultan sama dengan nol, bernilai positif, yaitu f(X) > 0 (negatif, mis.
f(x)< 0).

Misalnya bentuk kuadrat f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 adalah pasti positif, karena adalah jumlah kuadrat, dan bentuk kuadrat f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 adalah pasti negatif, karena menyatakannya dapat direpresentasikan sebagai f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Dalam sebagian besar situasi praktis, agak lebih sulit untuk menetapkan tanda pasti suatu bentuk kuadrat, jadi untuk ini kami menggunakan salah satu teorema berikut (kami akan merumuskannya tanpa bukti).

Dalil. Suatu bentuk kuadrat pasti positif (negatif) jika dan hanya jika semua nilai eigen matriksnya positif (negatif).

Dalil(Kriteria Sylvester). Suatu bentuk kuadrat adalah pasti positif jika dan hanya jika semua minor utama dari matriks bentuk ini adalah positif.

Utama (sudut) minor Matriks A orde ke-k dari orde ke-n disebut determinan matriks, terdiri dari k baris dan kolom pertama matriks A().

Perhatikan bahwa untuk bentuk kuadrat pasti negatif, tanda minor utama bergantian, dan minor orde pertama harus negatif.

Sebagai contoh, mari kita periksa bentuk kuadrat f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 untuk mengetahui kepastian tanda.

= (2 - aku)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Cara 2. Minor utama matriks orde pertama A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama matriks orde kedua D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadratnya adalah pasti positif.

Mari kita periksa bentuk kuadrat lainnya untuk mengetahui kepastian tanda, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (-2 - aku)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Oleh karena itu, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif.

Metode 2. Minor utama matriks orde pertama A D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Oleh karena itu, menurut kriteria Sylvester, bentuk kuadratnya adalah pasti negatif (tanda-tanda minor utama bergantian, dimulai dengan minus).

Dan sebagai contoh lain, kita periksa bentuk kuadrat bertanda f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metode 1. Mari kita buat matriks berbentuk kuadrat A = . Persamaan karakteristiknya akan berbentuk = (2 - aku)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Salah satu dari angka-angka ini negatif dan yang lainnya positif. Tanda nilai eigennya berbeda-beda. Oleh karena itu, bentuk kuadrat tidak dapat bersifat pasti negatif atau positif, yaitu. bentuk kuadrat ini tidak pasti tanda (dapat mengambil nilai tanda apa pun).

Cara 2. Minor utama matriks orde pertama A D 1 = a 11 = 2 > 0. Minor utama matriks orde kedua D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

SISTEM PERSAMAAN LINEAR HOMOGEN

Sistem homogen persamaan linear disebut sistem bentuk

Jelas sekali dalam kasus ini , Karena semua elemen salah satu kolom pada determinan ini sama dengan nol.

Karena yang tidak diketahui ditemukan menurut rumus , maka jika Δ ≠ 0, sistem mempunyai solusi nol yang unik X = kamu = z= 0. Namun, dalam banyak soal pertanyaan yang menarik adalah apakah sistem homogen solusi selain nol.

Dalil. Agar sistemnya linier persamaan homogen memiliki solusi bukan nol, maka perlu dan cukup bahwa Δ ≠ 0.

Jadi, jika determinannya Δ ≠ 0, maka sistem tersebut mempunyai solusi unik. Jika Δ ≠ 0, maka sistem persamaan linier homogen mempunyai jumlah penyelesaian yang tak terhingga.

Contoh.

Vektor eigen dan nilai eigen matriks

Biarkan matriks persegi diberikan , X– beberapa kolom matriks yang tingginya bertepatan dengan orde matriks A. .

Dalam banyak soal kita harus mempertimbangkan persamaannya X

dimana λ adalah bilangan tertentu. Jelas bahwa untuk setiap λ persamaan ini mempunyai solusi nol.

Bilangan λ yang persamaannya mempunyai penyelesaian bukan nol disebut nilai eigen matriks A, A X karena λ seperti itu disebut vektor eigen matriks A.

Mari kita cari vektor eigen matriks tersebut A. Karena E∙X = X, maka persamaan matriksnya dapat ditulis ulang menjadi atau . Dalam bentuk yang diperluas, persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai sistem persamaan linier. Benar-benar .

Dan karena itu

Jadi, kita telah memperoleh sistem persamaan linier homogen untuk menentukan koordinat x 1, x 2, x 3 vektor X. Agar suatu sistem mempunyai solusi bukan nol, maka determinan sistem tersebut harus sama dengan nol, yaitu.

Ini adalah persamaan derajat ke-3 untuk λ. Itu disebut persamaan karakteristik matriks A dan berfungsi untuk menentukan nilai eigen dari λ.

Setiap nilai eigen λ berhubungan dengan vektor eigen X, yang koordinatnya ditentukan dari sistem pada nilai λ yang sesuai.

Contoh.

ALJABAR VEKTOR. KONSEP VEKTOR

Dalam mempelajari berbagai cabang ilmu fisika, ada besaran yang ditentukan sepenuhnya dengan menentukan nilai numeriknya, misalnya panjang, luas, massa, suhu, dll. Besaran seperti ini disebut skalar. Namun selain besaran juga ada besaran yang untuk menentukannya selain nilai numerik juga perlu diketahui arahnya dalam ruang, misalnya gaya yang bekerja pada benda, kecepatan dan percepatan benda. tubuh ketika bergerak di ruang angkasa, ketegangan medan magnet pada titik tertentu dalam ruang, dll. Besaran seperti ini disebut besaran vektor.

Mari kita perkenalkan definisi yang ketat.

Segmen yang diarahkan Sebut saja suatu ruas yang ujung-ujungnya diketahui mana yang pertama dan mana yang kedua.

Vektor disebut segmen berarah yang mempunyai panjang tertentu, yaitu Ini adalah segmen dengan panjang tertentu, di mana salah satu titik yang membatasinya diambil sebagai awal, dan titik kedua sebagai akhir. Jika A– awal vektor, B adalah ujungnya, maka vektor dilambangkan dengan simbol; selain itu, vektor sering dilambangkan dengan satu huruf. Pada gambar, vektor ditunjukkan dengan segmen, dan arahnya ditunjukkan dengan panah.

Modul atau panjang Vektor disebut panjang segmen berarah yang mendefinisikannya. Dilambangkan dengan || atau ||.

Kami juga akan memasukkan apa yang disebut vektor nol, yang awal dan akhirnya bertepatan, sebagai vektor. Itu ditunjuk. Vektor nol tidak memiliki arah tertentu dan modulusnya nol ||=0.

Vektor disebut segaris, jika letaknya pada garis yang sama atau pada garis sejajar. Apalagi jika vektor-vektornya dan searah, kita tuliskan , berlawanan.

Vektor yang terletak pada garis lurus yang sejajar pada bidang yang sama disebut sebidang.

Kedua vektor tersebut disebut setara, jika keduanya segaris, mempunyai arah yang sama, dan panjangnya sama. Dalam hal ini mereka menulis.

Dari definisi persamaan vektor dapat disimpulkan bahwa suatu vektor dapat dipindahkan sejajar dengan dirinya sendiri, menempatkan titik asal pada titik mana pun dalam ruang.

Misalnya.

OPERASI LINEAR PADA VEKTOR

1. Mengalikan vektor dengan angka.

   Hasil kali suatu vektor dan bilangan λ merupakan suatu vektor baru sehingga:

   Hasil kali vektor dan bilangan λ dilambangkan dengan .

   

   Misalnya, ada sebuah vektor yang arahnya sama dengan vektor tersebut dan panjangnya setengah dari vektor tersebut.

   Operasi yang diperkenalkan memiliki yang berikut ini properti:

2. Penambahan vektor.

   Misalkan dan menjadi dua vektor sembarang. Mari kita ambil sudut pandang yang sewenang-wenang HAI dan membuat vektor. Setelah itu dari intinya A mari kita kesampingkan vektornya. Vektor yang menghubungkan awal vektor pertama dengan akhir vektor kedua disebut jumlah dari vektor-vektor ini dan dilambangkan .

   

   Definisi penjumlahan vektor yang dirumuskan disebut aturan jajaran genjang, karena jumlah vektor yang sama dapat diperoleh sebagai berikut. Mari kita tunda dari intinya HAI vektor dan . Mari kita membuat jajar genjang pada vektor-vektor ini OABC. Karena vektor, maka vektor, yaitu diagonal jajar genjang yang ditarik dari titik sudutnya HAI, jelas merupakan jumlah dari vektor.

   

   Caranya mudah untuk memeriksa hal berikut ini sifat penjumlahan vektor.

3. Perbedaan vektor.

   Suatu vektor yang segaris terhadap suatu vektor tertentu, sama panjang dan berlawanan arah, disebut di depan vektor untuk suatu vektor dan dilambangkan dengan . Vektor yang berlawanan dapat dianggap sebagai hasil perkalian vektor dengan bilangan λ = –1: .

Nilai eigen(angka) dan vektor eigen.
Contoh solusi

Jadilah diri sendiri

Dari kedua persamaan berikut ini.

Mari kita jelaskan: .

Sebagai akibat: – vektor eigen kedua.

Mari kita ulangi poin penting solusi:

– sistem yang dihasilkan pasti memilikinya solusi umum(persamaannya bergantung linier);

– kita memilih “y” sedemikian rupa sehingga bilangan bulat dan koordinat “x” pertama adalah bilangan bulat, positif dan sekecil mungkin.

– kita memeriksa bahwa solusi tertentu memenuhi setiap persamaan sistem.

Menjawab .

Intermediat " titik kontrol" sudah cukup, jadi pada prinsipnya tidak perlu memeriksa kesetaraan.

Dalam berbagai sumber informasi, koordinat vektor eigen seringkali ditulis bukan dalam kolom, melainkan dalam baris, misalnya: (dan sejujurnya saya sendiri sudah terbiasa menuliskannya dalam baris-baris). Opsi ini dapat diterima, namun sesuai dengan topiknya transformasi linier secara teknis lebih nyaman digunakan vektor kolom.

Mungkin solusinya terasa sangat panjang bagi Anda, tetapi ini hanya karena saya mengomentari contoh pertama dengan sangat rinci.

Contoh 2

Matriks

Ayo berlatih sendiri! Contoh perkiraan tugas akhir di akhir pembelajaran.

Terkadang Anda perlu melakukannya tugas tambahan, yaitu:

tulis dekomposisi matriks kanonik

Apa itu?

Jika vektor eigen dari matriks terbentuk dasar, maka dapat direpresentasikan sebagai:

Dimana matriks terdiri dari koordinat vektor eigen, – diagonal matriks dengan nilai eigen yang sesuai.

Dekomposisi matriks ini disebut resmi atau diagonal.

Mari kita lihat matriks pada contoh pertama. Vektor eigennya independen linier(non-collinear) dan membentuk basis. Mari kita buat matriks koordinatnya:

Pada diagonal utama matriks dalam urutan yang sesuai nilai eigen berada, dan elemen lainnya sama dengan nol:
– Saya sekali lagi menekankan pentingnya keteraturan: “dua” berhubungan dengan vektor pertama dan oleh karena itu terletak di kolom pertama, “tiga” – dengan vektor ke-2.

Oleh ke algoritma biasa temuan matriks terbalik atau Metode Gauss-Jordan kami menemukan . Tidak, itu bukan salah ketik! - di hadapan Anda ada peristiwa langka, seperti gerhana matahari, yang kebalikannya bertepatan dengan matriks aslinya.

Tetap menuliskan dekomposisi kanonik matriks:

Sistem ini dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi dasar dan kita akan menggunakan contoh berikut metode ini. Namun di sini metode “sekolah” bekerja lebih cepat. Dari persamaan ke-3 kita nyatakan: – substitusikan ke persamaan kedua:

Karena koordinat pertama adalah nol, kita memperoleh suatu sistem, dari setiap persamaan berikut ini.

Dan lagi perhatikan adanya wajib hubungan linier. Jika hanya solusi sepele yang diperoleh , maka nilai eigen yang ditemukan salah, atau sistem dikompilasi/diselesaikan dengan kesalahan.

Koordinat kompak memberi nilai

vektor eigen:

Dan sekali lagi, kami memeriksa apakah solusinya ditemukan memenuhi setiap persamaan sistem. Dalam paragraf berikutnya dan tugas selanjutnya, saya merekomendasikan untuk menganggap keinginan ini sebagai aturan wajib.

2) Untuk nilai eigen, dengan menggunakan prinsip yang sama, kita peroleh sistem berikut:

Dari persamaan ke-2 sistem kita nyatakan: – substitusikan ke persamaan ketiga:

Karena koordinat “zeta” sama dengan nol, kita memperoleh sistem dari setiap persamaan yang diikutinya ketergantungan linier.

Membiarkan

Memeriksa itu solusinya memenuhi setiap persamaan sistem.

Jadi, vektor eigennya adalah: .

3) Dan terakhir, sistem sesuai dengan nilai eigen:

Persamaan kedua terlihat paling sederhana, jadi mari kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ke-1 dan ke-3:

Semuanya baik-baik saja - hubungan linier telah muncul, yang kami substitusikan ke dalam ekspresi:

Hasilnya, “x” dan “y” dinyatakan melalui “z”: . Dalam praktiknya, tidak perlu mencapai hubungan seperti itu secara tepat; dalam beberapa kasus, lebih mudah untuk mengekspresikan keduanya melalui atau dan melalui . Atau bahkan "melatih" - misalnya, "X" hingga "I", dan "I" hingga "Z"

Mari kita jelaskan:

Kami memeriksa apakah solusinya ditemukan memenuhi setiap persamaan sistem dan menulis vektor eigen ketiga

Menjawab: vektor eigen:

Secara geometris, vektor-vektor ini menentukan tiga arah spasial yang berbeda ("bolak-balik"), yg mana transformasi linier mengubah vektor bukan nol (vektor eigen) menjadi vektor kolinear.

Jika kondisi tersebut memerlukan penemuan dekomposisi kanonik, maka hal ini dimungkinkan di sini, karena nilai eigen yang berbeda sesuai dengan vektor eigen independen linier yang berbeda. Membuat matriks dari koordinatnya, matriks diagonal dari relevan nilai eigen dan temukan matriks terbalik .

Jika, dengan syarat, Anda perlu menulis matriks transformasi linier berdasarkan vektor eigen, lalu kita berikan jawabannya dalam bentuk . Ada perbedaan, dan perbedaannya signifikan! Karena matriks ini merupakan matriks “de”.

Masalah dengan lebih banyak perhitungan sederhana Untuk keputusan independen:

Contoh 5

Temukan vektor eigen dari transformasi linier yang diberikan oleh matriks

Saat mencari bilangan Anda sendiri, usahakan untuk tidak sampai ke polinomial derajat 3. Selain itu, solusi sistem Anda mungkin berbeda dengan solusi saya - tidak ada kepastian di sini; dan vektor yang Anda temukan mungkin berbeda dari vektor sampel hingga proporsionalitas koordinatnya masing-masing. Misalnya, dan. Memang lebih estetis menyajikan jawaban dalam bentuk, tapi tidak apa-apa jika Anda berhenti pada pilihan kedua. Namun, ada batasan wajar untuk semuanya; versinya tidak lagi terlihat bagus.

Perkiraan contoh tugas akhir di akhir pelajaran.

Bagaimana cara mengatasi masalah jika ada banyak nilai eigen?

Algoritma umum tetap sama, tetapi memiliki karakteristiknya sendiri, dan disarankan untuk mempertahankan beberapa bagian solusi dalam gaya akademis yang lebih ketat:

Contoh 6

Temukan nilai eigen dan vektor eigen

Larutan

Tentu saja, mari kita gunakan huruf besar pada kolom pertama yang menakjubkan:

Dan, setelah memfaktorkan trinomial kuadrat:

Hasilnya, diperoleh nilai eigen yang dua di antaranya merupakan kelipatan.

Mari kita cari vektor eigennya:

1) Mari kita berurusan dengan seorang prajurit menurut skema yang “disederhanakan”:

Dari dua persamaan terakhir terlihat jelas persamaan yang tentunya harus disubstitusikan ke persamaan pertama sistem:

Anda tidak akan menemukan kombinasi yang lebih baik:
vektor eigen:

2-3) Sekarang kita singkirkan beberapa penjaga. DI DALAM dalam hal ini itu mungkin berhasil baik dua atau satu vektor eigen. Terlepas dari banyaknya akar, kita substitusikan nilainya ke dalam determinan yang membawa kita selanjutnya sistem persamaan linear yang homogen:

Vektor eigen sebenarnya adalah vektor
sistem dasar solusi

Sebenarnya, sepanjang pelajaran kita tidak melakukan apa pun selain menemukan vektor-vektor sistem fundamental. Hanya saja untuk saat ini istilah tersebut tidak terlalu dibutuhkan. Ngomong-ngomong, para siswa pintar yang melewatkan topik dalam pakaian kamuflase persamaan homogen, akan terpaksa merokok sekarang.

Satu-satunya tindakan adalah menghapus garis tambahan. Hasilnya adalah matriks satu per tiga dengan “langkah” formal di tengahnya.
– variabel dasar, – variabel bebas. Oleh karena itu, ada dua variabel bebas, ada juga dua vektor sistem fundamental.

Mari kita nyatakan variabel dasar dalam bentuk variabel bebas: . Pengganda nol di depan “X” memungkinkannya mengambil nilai apa pun (yang terlihat jelas dari sistem persamaan).

Dalam konteks masalah ini, akan lebih mudah untuk menulis solusi umum bukan dalam satu baris, tetapi dalam kolom:

Pasangan ini sesuai dengan vektor eigen:
Pasangan ini sesuai dengan vektor eigen:

Catatan : pembaca yang mahir dapat memilih vektor-vektor ini secara lisan - cukup dengan menganalisis sistem , tetapi diperlukan beberapa pengetahuan di sini: ada tiga variabel, peringkat matriks sistem- satu, yang artinya sistem keputusan mendasar terdiri dari 3 – 1 = 2 vektor. Namun, vektor yang ditemukan terlihat jelas bahkan tanpa sepengetahuan ini, murni pada tingkat intuitif. Dalam hal ini, vektor ketiga akan ditulis lebih “indah”: . Namun, saya memperingatkan Anda bahwa dalam contoh lain, pemilihan sederhana mungkin tidak dapat dilakukan, itulah sebabnya klausa tersebut ditujukan untuk orang yang berpengalaman. Selain itu, mengapa tidak mengambil, katakanlah, sebagai vektor ketiga? Bagaimanapun, koordinatnya juga memenuhi setiap persamaan sistem, dan vektor-vektornya independen linier. Opsi ini, pada prinsipnya, cocok, tetapi “bengkok”, karena vektor “lainnya” adalah kombinasi linier dari vektor-vektor sistem fundamental.

Menjawab: nilai eigen: , vektor eigen:

Contoh serupa untuk solusi independen:

Contoh 7

Temukan nilai eigen dan vektor eigen

Contoh perkiraan desain akhir di akhir pelajaran.

Perlu dicatat bahwa dalam contoh ke-6 dan ke-7 diperoleh rangkap tiga vektor eigen bebas linier, dan oleh karena itu matriks asli dapat direpresentasikan dalam dekomposisi kanonik. Tetapi raspberry seperti itu tidak terjadi di semua kasus:

Contoh 8

Larutan: Mari kita buat dan selesaikan persamaan karakteristiknya:

Mari kita perluas determinan di kolom pertama:

Kami melakukan penyederhanaan lebih lanjut sesuai dengan metodologi yang dipertimbangkan, menghindari polinomial derajat ke-3:

– nilai eigen.

Mari kita cari vektor eigennya:

1) Tidak ada kesulitan dengan root:

Jangan kaget, selain kit, ada juga variabel yang digunakan - tidak ada perbedaan di sini.

Dari persamaan ke-3 kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ke-1 dan ke-2:

Dari kedua persamaan berikut:

Biarkan kemudian:

2-3) Untuk beberapa nilai kita mendapatkan sistemnya .

Mari kita tuliskan matriks sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:

Vektor eigen suatu matriks persegi adalah vektor yang jika dikalikan dengan matriks tertentu akan menghasilkan vektor yang kolinear. Dengan kata sederhana, ketika mengalikan matriks dengan vektor eigen, vektor eigen tetap sama, tetapi dikalikan dengan bilangan tertentu.

Definisi

Vektor eigen adalah vektor bukan nol V, yang bila dikalikan dengan matriks persegi M, akan bertambah sejumlah λ. Dalam notasi aljabar terlihat seperti:

M × V = λ × V,

dimana λ adalah nilai eigen dari matriks M.

Mari kita pertimbangkan contoh numerik. Untuk memudahkan pencatatan, bilangan-bilangan pada matriks akan dipisahkan dengan titik koma. Mari kita punya matriks:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Mari kalikan dengan vektor kolom:

• V = -2;

Saat kita mengalikan matriks dengan vektor kolom, kita juga mendapatkan vektor kolom. Ketat bahasa matematika rumus mengalikan matriks 2×2 dengan vektor kolom akan terlihat seperti ini:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 berarti elemen matriks M yang terletak pada baris pertama dan kolom pertama, dan M22 berarti elemen yang terletak pada baris kedua dan kolom kedua. Untuk matriks kita, elemen-elemen tersebut sama dengan M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Untuk vektor kolom, nilainya sama dengan V11 = –2, V21 = 1. Menurut rumus ini, kita memperoleh hasil perkalian matriks persegi dengan vektor sebagai berikut:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Untuk memudahkan, mari kita tulis vektor kolom menjadi satu baris. Jadi, kita mengalikan matriks persegi dengan vektor (-2; 1), menghasilkan vektor (4; -2). Jelasnya, ini adalah vektor yang sama dikalikan dengan λ = -2. Lambda dalam hal ini menunjukkan nilai eigen dari matriks.

Vektor eigen suatu matriks adalah vektor kolinear, yaitu suatu benda yang tidak berubah posisinya dalam ruang jika dikalikan dengan suatu matriks. Konsep kolinearitas dalam aljabar vektor mirip dengan istilah paralelisme dalam geometri. Dalam interpretasi geometris, vektor-vektor collinear adalah segmen-segmen berarah paralel dengan panjang berbeda. Sejak zaman Euclid, kita mengetahui bahwa satu garis memiliki jumlah garis sejajar yang tak terhingga, sehingga masuk akal untuk mengasumsikan bahwa setiap matriks memiliki jumlah vektor eigen yang tak terhingga.

Dari contoh sebelumnya terlihat jelas bahwa vektor eigen dapat berupa (-8; 4), dan (16; -8), dan (32, -16). Ini semua adalah vektor kolinear yang sesuai dengan nilai eigen λ = -2. Saat mengalikan matriks asli dengan vektor-vektor ini, kita akan tetap mendapatkan vektor yang berbeda dari aslinya sebanyak 2 kali. Oleh karena itu, ketika menyelesaikan masalah pencarian vektor eigen, yang perlu dicari hanyalah objek vektor bebas linier. Seringkali, untuk matriks berukuran n × n, terdapat sejumlah n vektor eigen. Kalkulator kami dirancang untuk analisis matriks persegi orde kedua, sehingga hampir selalu hasilnya akan menemukan dua vektor eigen, kecuali jika keduanya bertepatan.

Pada contoh di atas, kita mengetahui terlebih dahulu vektor eigen dari matriks asli dan menentukan bilangan lambda dengan jelas. Namun, dalam praktiknya, yang terjadi sebaliknya: nilai eigen ditemukan terlebih dahulu, baru kemudian vektor eigen.

Algoritma solusi

Mari kita lihat kembali matriks asli M dan coba cari kedua vektor eigennya. Jadi matriksnya terlihat seperti:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Pertama kita perlu menentukan nilai eigen λ, yang memerlukan penghitungan determinan matriks berikut:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 −λ).

Matriks ini diperoleh dengan mengurangkan λ yang tidak diketahui dari elemen-elemen pada diagonal utama. Penentunya ditentukan dengan menggunakan rumus standar:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Karena vektor kita harus bukan nol, kita menerima persamaan yang dihasilkan sebagai persamaan bergantung linier dan menyamakan determinan detA kita dengan nol.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Mari kita buka tanda kurung dan dapatkan persamaan karakteristik matriksnya:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ini standar persamaan kuadrat, yang perlu diselesaikan melalui diskriminan.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Akar diskriminannya adalah akar kuadrat(D) = 14, maka λ1 = -2, λ2 = 12. Sekarang untuk setiap nilai lambda kita perlu mencari vektor eigennya. Mari kita nyatakan koefisien sistem untuk λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Dalam rumus ini, E adalah matriks identitas. Berdasarkan matriks yang dihasilkan, kami membuat sistem persamaan linier:

2x + 4y = 6x + 12y,

dimana x dan y adalah elemen vektor eigen.

Mari kita kumpulkan semua tanda X di sebelah kiri dan semua tanda Y di sebelah kanan. Jelasnya - 4x = 8y. Bagilah ekspresi tersebut dengan - 4 dan dapatkan x = –2y. Sekarang kita dapat menentukan vektor eigen pertama dari matriks tersebut, dengan mengambil nilai apa pun yang tidak diketahui (ingat tak terhingga dari vektor eigen yang bergantung linier). Misalkan y = 1, maka x = –2. Oleh karena itu, vektor eigen pertama terlihat seperti V1 = (–2; 1). Kembali ke awal artikel. Objek vektor inilah yang kami kalikan matriksnya untuk mendemonstrasikan konsep vektor eigen.

Sekarang mari kita cari vektor eigen untuk λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Mari kita buat sistem persamaan linear yang sama;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6 tahun
• 3x = kamu.

Sekarang kita ambil x = 1, maka y = 3. Jadi, vektor eigen kedua terlihat seperti V2 = (1; 3). Saat mengalikan matriks asli dengan vektor tertentu, hasilnya akan selalu berupa vektor yang sama dikalikan 12. Di sinilah algoritma penyelesaian berakhir. Sekarang Anda tahu cara menentukan vektor eigen suatu matriks secara manual.

• penentu;
• jejak, yaitu jumlah elemen-elemen pada diagonal utama;
• rangking, yaitu jumlah maksimum baris/kolom yang bebas linier.

Program ini beroperasi sesuai dengan algoritma di atas, mempersingkat proses solusi sebanyak mungkin. Penting untuk diperhatikan bahwa dalam program lambda ditandai dengan huruf “c”. Mari kita lihat contoh numerik.

Contoh cara kerja program

Mari kita coba menentukan vektor eigen untuk matriks berikut:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Mari masukkan nilai-nilai ini ke dalam sel kalkulator dan dapatkan jawabannya dalam bentuk berikut:

• Peringkat matriks: 2;
• Penentu matriks: 18;
• Jejak matriks: 19;
• Perhitungan vektor eigen: c 2 − 19.00c + 18.00 (persamaan karakteristik);
• Perhitungan vektor eigen: 18 (nilai lambda pertama);
• Perhitungan vektor eigen: 1 (nilai lambda kedua);
• Sistem persamaan vektor 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistem persamaan vektor 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vektor eigen 1: (1; 1);
• Vektor eigen 2 : (-3.25; 1).

Jadi, kami memperoleh dua vektor eigen yang bebas linier.

Kesimpulan

Aljabar linier dan geometri analitik adalah mata pelajaran standar untuk setiap mahasiswa teknik baru. Banyaknya jumlah vektor dan matriks sangat menakutkan, dan sangat mudah untuk membuat kesalahan dalam perhitungan yang rumit tersebut. Program kami akan memungkinkan siswa untuk memeriksa perhitungan mereka atau secara otomatis memecahkan masalah pencarian vektor eigen. Ada kalkulator aljabar linier lainnya di katalog kami; gunakanlah dalam studi atau pekerjaan Anda.

Definisi 9.3. Vektor X ditelepon vektor eigen matriks A, jika ada nomor seperti itu λ, bahwa kesetaraan berlaku: A X= λ X, yaitu hasil melamar X transformasi linier yang ditentukan oleh matriks A, adalah perkalian vektor ini dengan bilangan λ . Nomor itu sendiri λ ditelepon nilai eigen matriks A.

Mengganti ke dalam rumus (9.3) x` j = λx j , kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan koordinat vektor eigen:

. (9.5)

Sistem homogen linier ini akan mempunyai solusi nontrivial hanya jika determinan utamanya adalah 0 (aturan Cramer). Dengan menuliskan kondisi ini dalam bentuk:

kita memperoleh persamaan untuk menentukan nilai eigen λ , ditelepon persamaan karakteristik. Secara singkat dapat direpresentasikan sebagai berikut:

| SEBUAH - λE | = 0, (9.6)

karena ruas kirinya memuat determinan matriks A-λE. Relatif polinomial | SEBUAH - λE| ditelepon polinomial karakteristik matriks A.

Sifat-sifat polinomial karakteristik:

1) Polinomial karakteristik suatu transformasi linier tidak bergantung pada pilihan basis. Bukti. (lihat (9.4)), tapi karena itu, . Jadi, tidak bergantung pada pilihan basis. Artinya | A-λE| tidak berubah ketika pindah ke basis baru.

2) Jika matriks A transformasi linier adalah simetris(itu. dan ij =aji), maka semua akar persamaan karakteristik (9.6) adalah bilangan real.

Sifat nilai eigen dan vektor eigen:

1) Jika Anda memilih basis dari vektor eigen x 1, x 2, x 3 , sesuai dengan nilai eigen λ 1, λ 2, λ 3 matriks A, maka dalam basis ini transformasi linier A mempunyai matriks berbentuk diagonal:

(9.7) Pembuktian sifat ini mengikuti definisi vektor eigen.

2) Jika nilai eigen transformasi A berbeda, maka vektor eigen yang bersesuaian adalah bebas linier.

3) Jika polinomial karakteristik matriks A memiliki tiga berbagai akar, lalu dalam beberapa basis matriks A memiliki tampilan diagonal.

Mari kita cari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut. Mari kita buat persamaan karakteristik: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Mari kita cari koordinat vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai yang ditemukan λ. Dari (9.5) berikut ini jika X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – vektor eigen yang sesuai λ 1 =-2, lalu

- sistem yang kooperatif tetapi tidak pasti. Solusinya dapat ditulis dalam bentuk X (1) ={A,0,-A), di mana a adalah bilangan apa pun. Khususnya, jika kita memerlukan | X (1) |=1, X (1) =

Mengganti ke dalam sistem (9.5) λ 2 =3, kita memperoleh sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen kedua - X (2) ={kamu 1 ,kamu 2 ,kamu 3}:

, Di mana X (2) ={b,-b,b) atau, asalkan | X (2) |=1, X (2) =

Untuk λ 3 = 6 carilah vektor eigennya X (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, X (3) ={C,2c,c) atau dalam versi yang dinormalisasi

x (3) = Hal ini dapat diperhatikan X (1) X (2) = ab–ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = SM- 2SM + SM= 0. Jadi, vektor eigen matriks ini ortogonal berpasangan.

Kuliah 10.

Bentuk kuadrat dan hubungannya dengan matriks simetris. Sifat-sifat vektor eigen dan nilai eigen matriks simetris. Mengurangi bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik.

Definisi 10.1.Bentuk kuadrat variabel nyata x 1, x 2,…, xn disebut polinomial derajat kedua pada variabel-variabel tersebut yang tidak mengandung suku bebas dan suku derajat pertama.

Contoh bentuk kuadrat:

(N = 2),

(N = 3). (10.1)

Mari kita mengingat kembali definisi matriks simetris yang diberikan pada kuliah terakhir:

Definisi 10.2. Matriks persegi disebut simetris, jika , yaitu jika elemen-elemen matriks yang simetris terhadap diagonal utama adalah sama.

Sifat-sifat nilai eigen dan vektor eigen matriks simetris:

1) Semua nilai eigen matriks simetris adalah nyata.

Bukti (untuk N = 2).

Biarkan matriks A memiliki bentuk: . Mari kita buat persamaan karakteristik:

(10.2) Mari kita cari pembedanya:

Oleh karena itu, persamaan tersebut hanya memiliki akar real.

2) vektor eigen matriks simetris bersifat ortogonal.

Bukti (untuk N= 2).

Koordinat vektor eigen dan harus memenuhi persamaan.