Tujuan layanan. Kalkulator online dirancang untuk menemukan solusi non-sepele dan mendasar terhadap SLAE. Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word (lihat contoh solusi).
instruksi. Pilih dimensi matriks:
Sifat-sifat sistem persamaan linier homogen
Agar sistem memiliki solusi yang tidak sepele, pangkat matriksnya perlu dan cukup lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui.Dalil. Suatu sistem dalam kasus m=n mempunyai solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan sistem ini sama dengan nol.
Dalil. Kombinasi linier apa pun dari solusi suatu sistem juga merupakan solusi sistem tersebut.
Definisi. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linier homogen disebut sistem dasar solusi, jika himpunan ini terdiri dari solusi bebas linier dan setiap solusi sistem merupakan kombinasi linier dari solusi tersebut.
Dalil. Jika pangkat r matriks sistem lebih kecil dari bilangan n yang tidak diketahui, maka terdapat sistem solusi fundamental yang terdiri dari (n-r) solusi.
Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan linier homogen
- Mencari rank matriks.
- Kami memilih minor dasar. Kami membedakan antara yang tidak diketahui yang bergantung (dasar) dan yang bebas.
- Kami mencoret persamaan-persamaan sistem yang koefisiennya tidak termasuk dalam basis minor, karena merupakan konsekuensi dari persamaan lain (menurut teorema basis minor).
- Kami mentransfer suku-suku persamaan yang mengandung hal-hal yang tidak diketahui bebas ke sisi kanan. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan r dengan r persamaan yang tidak diketahui, setara dengan persamaan tertentu, yang determinannya bukan nol.
- Kami memecahkan sistem yang dihasilkan dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui. Kami menemukan hubungan yang mengekspresikan variabel terikat melalui variabel bebas.
- Jika pangkat matriks tidak sama dengan jumlah variabel, maka kita mencari solusi fundamental sistem tersebut.
- Dalam kasus rang = n kita mempunyai solusi sepele.
Contoh. Tentukan basis dari sistem vektor (a 1, a 2,...,am), rangking dan nyatakan vektor-vektor tersebut berdasarkan basisnya. Jika a 1 =(0,0,1,-1), dan 2 =(1,1,2,0), dan 3 =(1,1,1,1), dan 4 =(3,2,1 ,4), dan 5 =(2,1,0,3).
Mari kita tuliskan matriks utama sistem:
Kalikan baris ke-3 dengan (-3). Mari tambahkan baris ke-4 ke baris ke-3:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Kalikan baris ke-4 dengan (-2). Mari kalikan baris ke-5 dengan (3). Mari tambahkan baris ke-5 ke baris ke-4:
Mari tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1:
Mari kita cari pangkat matriksnya.
Sistem dengan koefisien matriks ini ekuivalen dengan sistem aslinya dan berbentuk:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Dengan menggunakan metode menghilangkan hal yang tidak diketahui, kami menemukan solusi nontrivial:
Kami memperoleh hubungan yang menyatakan variabel terikat x 1 , x 2 , x 3 melalui variabel bebas x 4 , yaitu, kami menemukan keputusan bersama:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Metode Gaussian mempunyai sejumlah kelemahan: tidak mungkin mengetahui apakah suatu sistem konsisten atau tidak sampai semua transformasi yang diperlukan dalam metode Gaussian telah dilakukan; Metode Gauss tidak cocok untuk sistem dengan koefisien huruf.
Mari kita pertimbangkan metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini menggunakan konsep peringkat matriks dan mereduksi solusi sistem konsisten menjadi solusi sistem yang menerapkan aturan Cramer.
Contoh 1. Temukan solusi umum sistem selanjutnya persamaan linier menggunakan sistem dasar penyelesaian sistem homogen tereduksi dan penyelesaian khusus sistem tak homogen.
1. Membuat matriks A dan matriks sistem yang diperluas (1)
2. Jelajahi sistem (1) untuk kebersamaan. Untuk melakukan ini, kita mencari pangkat matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Jika ternyata demikian, maka sistem (1) tidak kompatibel. Jika kita mendapatkannya , maka sistem ini konsisten dan kami akan menyelesaikannya. (Studi kompatibilitas didasarkan pada teorema Kronecker-Capelli).
A. Kami menemukan ra.
Mencari ra, kita akan mempertimbangkan secara berurutan anak di bawah umur bukan nol dari orde pertama, kedua, dst A dan anak di bawah umur di sekitar mereka.
M1=1≠0 (kita ambil 1 dari sudut kiri atas matriks A).
Kami berbatasan M1 baris kedua dan kolom kedua matriks ini. 
. Kami terus berbatasan M1 baris kedua dan kolom ketiga..gif" width="37" height="20 src=">. Sekarang kita membatasi minor bukan nol M2′ pesanan kedua.
Kita punya: 
(karena dua kolom pertama sama)
(karena garis kedua dan ketiga proporsional).
Kami melihatnya rA=2, a adalah basis minor matriks A.
B. Kami menemukan.
Minor yang cukup mendasar M2′ matriks A berbatasan dengan kolom suku bebas dan semua baris (kami hanya memiliki baris terakhir).
. Oleh karena itu M3′′ tetap menjadi minor dasar matriks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Karena M2′- basis minor dari matriks A sistem (2) , maka sistem ini ekuivalen dengan sistem (3) , terdiri dari dua persamaan pertama sistem (2) (untuk M2′ berada pada dua baris pertama matriks A).
(3)
Sejak minor dasar https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
Dalam sistem ini ada dua hal yang tidak diketahui ( x2 Dan x4 ). Itu sebabnya FSR sistem (4) terdiri dari dua solusi. Untuk menemukannya, kami menetapkan hal-hal yang tidak diketahui secara gratis (4) nilai terlebih dahulu x2=1 , x4=0 , kemudian - x2=0 , x4=1 .
Pada x2=1 , x4=0 kita mendapatkan:
.
Sistem ini sudah memilikinya satu-satunya solusi (dapat ditemukan menggunakan aturan Cramer atau metode lainnya). Mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, kita mendapatkan:
Solusinya adalah x1= -1 , x3=0 . Mengingat nilai-nilainya x2 Dan x4 , yang kami tambahkan, kami memperoleh solusi fundamental pertama dari sistem tersebut (2) : .
Sekarang kami percaya (4) x2=0 , x4=1 . Kita mendapatkan:
.
Kami memecahkan sistem ini menggunakan teorema Cramer:
.
Kami memperoleh solusi fundamental kedua dari sistem (2) : .
Solusi β1 , β2 dan berdandan FSR sistem (2) . Maka solusi umumnya adalah
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
Di Sini C1 , C2 – konstanta sewenang-wenang.
4. Ayo temukan satu pribadi larutan sistem heterogen(1) . Seperti pada paragraf 3 , bukan sistem (1) Mari kita pertimbangkan sistem yang setara (5) , terdiri dari dua persamaan pertama sistem (1) .
(5)
Mari kita pindahkan hal-hal yang tidak diketahui ke sisi kanan x2 Dan x4.
(6)
Mari kita berikan hal yang tidak diketahui secara gratis x2 Dan x4 nilai sewenang-wenang, misalnya, x2=2 , x4=1 dan memasukkannya ke dalam (6) . Mari kita ambil sistemnya
Sistem ini mempunyai solusi yang unik (karena determinannya M2′0). Menyelesaikannya (menggunakan teorema Cramer atau metode Gauss), kita peroleh x1=3 , x3=3 . Mengingat nilai-nilai yang tidak diketahui secara bebas x2 Dan x4 , kita mendapatkan solusi tertentu dari sistem tak homogen(1)α1=(3,2,3,1).
5. Sekarang tinggal menuliskannya saja solusi umum α dari sistem tidak homogen(1) : itu sama dengan jumlah solusi pribadi sistem ini dan solusi umum dari sistem homogen tereduksinya (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).
Ini berarti: 
(7)
6. Penyelidikan. Untuk memeriksa apakah Anda menyelesaikan sistem dengan benar (1) , kita memerlukan solusi umum (7) penggantinya (1) . Jika setiap persamaan berubah menjadi identitas ( C1 Dan C2 harus dimusnahkan), maka solusinya ditemukan dengan benar.
Kami akan menggantinya (7) misalnya, hanya persamaan terakhir dari sistem (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .
Kita peroleh: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
Dimana –1=–1. Kami mendapat identitas. Kami melakukan ini dengan semua persamaan sistem lainnya (1) .
Komentar. Pengecekannya biasanya cukup rumit. “Pemeriksaan sebagian” berikut dapat direkomendasikan: dalam solusi umum sistem (1) tetapkan beberapa nilai ke konstanta sembarang dan substitusikan solusi parsial yang dihasilkan hanya ke dalam persamaan yang dibuang (yaitu, ke dalam persamaan dari (1) , yang tidak termasuk dalam (5) ). Jika Anda mendapatkan identitas, maka lebih mungkin, solusi sistem (1) ditemukan dengan benar (tetapi pemeriksaan semacam itu tidak memberikan jaminan kebenaran yang lengkap!). Misalnya, jika di (7) meletakkan C2=- 1 , C1=1, maka kita mendapatkan: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substitusikan ke persamaan terakhir sistem (1), kita peroleh: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yaitu –1=–1. Kami mendapat identitas.
Contoh 2. Temukan solusi umum untuk sistem persamaan linear (1) , mengungkapkan hal-hal dasar yang tidak diketahui dalam bentuk hal-hal yang bebas.
Larutan. Seperti dalam Contoh 1, buat matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dari matriks ini. Sekarang kita hanya menyisakan persamaan sistem tersebut (1) , yang koefisiennya termasuk dalam minor dasar ini (yaitu, kita memiliki dua persamaan pertama) dan mempertimbangkan sistem yang terdiri dari keduanya, setara dengan sistem (1).
Mari kita pindahkan bilangan bebas yang tidak diketahui ke ruas kanan persamaan ini.
sistem (9) Kita menyelesaikannya dengan metode Gaussian, dengan menganggap ruas kanan sebagai suku bebas.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Pilihan 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Pilihan 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Pilihan 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opsi 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Sistem persamaan linear homogen pada suatu bidang
DEFINISI. Sistem dasar penyelesaian sistem persamaan (1) adalah sistem penyelesaiannya yang bebas linier tak kosong, yang rentang liniernya bertepatan dengan himpunan semua solusi sistem (1).
Perhatikan bahwa sistem persamaan linier homogen yang hanya memiliki solusi nol tidak memiliki sistem solusi fundamental.
USULAN 3.11. Dua sistem dasar penyelesaian sistem persamaan linier homogen terdiri dari jumlah penyelesaian yang sama.
Bukti. Faktanya, dua sistem dasar penyelesaian sistem persamaan homogen (1) adalah ekuivalen dan bebas linier. Oleh karena itu, berdasarkan Proposisi 1.12, peringkat mereka setara. Akibatnya, jumlah solusi yang termasuk dalam satu sistem fundamental sama dengan jumlah solusi yang termasuk dalam sistem solusi fundamental lainnya.
Jika matriks utama A dari sistem persamaan homogen (1) adalah nol, maka sembarang vektor dari merupakan solusi sistem (1); dalam hal ini, koleksi apa pun bersifat linier vektor independen of adalah sistem solusi mendasar. Jika pangkat kolom matriks A sama dengan , maka sistem (1) hanya mempunyai satu solusi - nol; oleh karena itu, dalam hal ini sistem persamaan (1) tidak mempunyai sistem penyelesaian fundamental.
TEOREMA 3.12. Jika pangkat matriks utama suatu sistem persamaan linier homogen (1) lebih kecil dari jumlah variabelnya , maka sistem (1) mempunyai sistem penyelesaian fundamental yang terdiri dari penyelesaian-penyelesaian.
Bukti. Jika pangkat matriks utama A sistem homogen (1) sama dengan nol atau , maka di atas ditunjukkan bahwa teorema tersebut benar. Oleh karena itu, di bawah ini diasumsikan bahwa Dengan asumsi , kita asumsikan bahwa kolom pertama matriks A bebas linier. Dalam hal ini, matriks A ekuivalen secara baris dengan matriks bertahap tereduksi, dan sistem (1) ekuivalen dengan sistem persamaan bertahap tereduksi berikut:
Sangat mudah untuk memeriksa apakah ada sistem nilai bebas variabel sistem(2) berhubungan dengan satu dan hanya satu solusi pada sistem (2) dan, oleh karena itu, pada sistem (1). Secara khusus, hanya solusi nol dari sistem (2) dan sistem (1) yang bersesuaian dengan sistem nilai nol.
Dalam sistem (2) kami akan menetapkan salah satu yang gratis nilai variabel, sama dengan 1, dan variabel lainnya bernilai nol. Hasilnya, kita memperoleh solusi sistem persamaan (2), yang kita tulis dalam bentuk baris-baris matriks C berikut:
Sistem baris matriks ini bebas linier. Memang untuk skalar apa pun dari persamaan
kesetaraan mengikuti
dan, oleh karena itu, kesetaraan
Mari kita buktikan bahwa rentang linier sistem baris-baris matriks C berimpit dengan himpunan semua solusi sistem (1).
Solusi sewenang-wenang dari sistem (1). Kemudian vektornya
juga merupakan solusi untuk sistem (1), dan
Membiarkan M 0 – himpunan solusi sistem persamaan linear homogen (4).
Definisi 6.12. vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal, yang merupakan solusi dari sistem persamaan linear homogen disebut serangkaian solusi mendasar(disingkat FNR), jika
1) vektor Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal independen linier (yaitu, tidak ada satupun yang dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain);
2) solusi lain apa pun terhadap sistem persamaan linear homogen dapat dinyatakan dalam bentuk solusi Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal.
Perhatikan bahwa jika Dengan 1 ,Dengan 2 , …, dengan hal– f.n.r. mana saja, lalu ekspresi k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + … + k hal× dengan hal Anda dapat menggambarkan keseluruhan rangkaian M 0 solusi untuk sistem (4), demikian disebut pandangan umum dari solusi sistem (4).
Teorema 6.6. Setiap sistem persamaan linier homogen tak tentu mempunyai serangkaian solusi mendasar.
Cara mencari himpunan solusi mendasar adalah sebagai berikut:
Temukan solusi umum sistem persamaan linear homogen;
Membangun ( N – R) solusi parsial dari sistem ini, sedangkan nilai-nilai yang tidak diketahui bebas harus membentuk matriks identitas;
Menulis bentuk umum solusi yang termasuk dalam M 0 .
Contoh 6.5. Temukan serangkaian solusi mendasar untuk sistem berikut:
Larutan. Mari kita cari solusi umum untuk sistem ini.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
Ada lima hal yang tidak diketahui dalam sistem ini ( N= 5), yang mana ada dua hal utama yang tidak diketahui ( R= 2), ada tiga hal yang tidak diketahui ( N – R), yaitu himpunan solusi fundamental berisi tiga vektor solusi. Mari kita membangunnya. Kita punya X 1 dan X 3 – hal utama yang tidak diketahui, X 2 , X 4 , X 5 – hal yang tidak diketahui secara gratis
Nilai-nilai yang tidak diketahui secara gratis X 2 , X 4 , X 5 membentuk matriks identitas E urutan ketiga. Dapatkan vektor itu Dengan 1 ,Dengan 2 , Dengan 3 formulir f.n.r. dari sistem ini. Maka himpunan solusi dari sistem homogen tersebut adalah M 0 = {k 1× Dengan 1 + k 2× Dengan 2 + k 3× Dengan 3 , k 1 , k 2 , k 3 tentang R).
Sekarang mari kita cari tahu syarat-syarat adanya solusi tak nol dari sistem persamaan linear homogen, dengan kata lain, syarat-syarat adanya himpunan solusi fundamental.
Sistem persamaan linier homogen mempunyai penyelesaian yang tidak nol, yaitu tidak pasti
1) pangkat matriks utama sistem lebih kecil dari jumlah yang tidak diketahui;
2) dalam sistem persamaan linier homogen, jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah persamaan yang tidak diketahui;
3) jika dalam sistem persamaan linier homogen jumlah persamaan sama dengan banyaknya persamaan yang tidak diketahui, dan determinan matriks utama sama dengan nol (yaitu | A| = 0).
Contoh 6.6. Pada nilai parameter berapa A sistem persamaan linear yang homogen 
mempunyai solusi bukan nol?
Larutan. Mari kita buat matriks utama sistem ini dan cari determinannya: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Penentu matriks ini sama dengan nol di A = –4.
Menjawab: –4.
7. Aritmatika N ruang vektor -dimensi
Konsep dasar
Pada bagian sebelumnya kita telah menjumpai konsep himpunan bilangan real yang disusun menurut urutan tertentu. Ini adalah matriks baris (atau matriks kolom) dan solusi sistem persamaan linier dengan N tidak dikenal. Informasi ini dapat diringkas.
Definisi 7.1. N-vektor aritmatika dimensi disebut himpunan terurut N bilangan real.
Cara A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N), dimana Saya tentang R, Saya = 1, 2, …, N– pandangan umum vektor. Nomor N ditelepon dimensi vektor, dan bilangan a Saya disebut miliknya koordinat.
Misalnya: A= (1, –8, 7, 4, ) – vektor lima dimensi.
Siap N vektor -dimensi biasanya dilambangkan sebagai Rn.
Definisi 7.2. Dua vektor A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) Dan B= (b 1 , b 2 , …, b N) dengan dimensi yang sama setara jika dan hanya jika koordinat-koordinat yang bersesuaian sama, yaitu a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a N= b N.
Definisi 7.3.Jumlah dua N vektor -dimensi A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) Dan B= (b 1 , b 2 , …, b N) disebut vektor A + B= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a N+ b N).
Definisi 7.4. Pekerjaan bilangan real k ke vektor A= (sebuah 1 , sebuah 2 , …, sebuah N) disebut vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a N)
Definisi 7.5. Vektor HAI= (0, 0, …, 0) dipanggil nol(atau vektor nol).
Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa tindakan (operasi) penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real memiliki sifat-sifat berikut: " A, B, C Î Rn, " k, aku tentang R:
1) A + B = B + A;
2) A + (B+ C) = (A + B) + C;
3) A + HAI = A;
4) A+ (–A) = HAI;
5) 1× A = A, 1 tentang R;
6) k×( aku× A) = aku×( k× A) = (aku× k)× A;
7) (k + aku)× A = k× A + aku× A;
8) k×( A + B) = k× A + k× B.
Definisi 7.6. Sekelompok Rn operasi penjumlahan vektor dan mengalikannya dengan bilangan real yang diberikan padanya disebut ruang vektor berdimensi n aritmatika.
