Tujuan akhir dari analisis ACS adalah untuk memecahkan (jika memungkinkan) atau mempelajari persamaan diferensial sistem secara keseluruhan. Biasanya persamaan masing-masing tautan yang membentuk ACS diketahui, dan tugas perantara muncul untuk memperoleh persamaan diferensial sistem dari DE yang diketahui dari tautannya. Dalam bentuk klasik representasi DE, tugas ini penuh dengan kesulitan yang signifikan. Menggunakan konsep fungsi transfer sangat menyederhanakannya.
Biarkan beberapa sistem dijelaskan dengan bentuk persamaan diferensial.
Dengan memperkenalkan notasi = p, di mana p disebut operator, atau simbol, diferensiasi, dan sekarang memperlakukan simbol ini sebagai bilangan aljabar biasa, setelah mengeluarkan x dan x di luar tanda kurung, kita peroleh persamaan diferensial sistem ini dalam bentuk operator:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x keluar = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x masuk. (3.38)
Polinomial dalam p pada nilai keluaran adalah
D(p)=an p n +an -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)
disebut operator eigen, dan polinomial pada nilai masukan disebut operator pengaruh
K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)
Fungsi transfer adalah rasio pengaruh operator terhadap operator sendiri:
W(p) = K(p)/D(p) = x keluar / x masuk. (3.41)
Berikut ini, kita hampir di mana-mana akan menggunakan bentuk operator untuk menulis persamaan diferensial.
Jenis koneksi link dan aljabar fungsi transfer.
Memperoleh fungsi alih suatu sistem kendali otomatis memerlukan pengetahuan tentang aturan-aturan untuk mencari fungsi alih dari kelompok-kelompok tautan yang di dalamnya tautan-tautan tersebut dihubungkan satu sama lain dengan cara tertentu. Ada tiga jenis koneksi.
1. Berurutan, di mana keluaran dari tautan sebelumnya adalah masukan untuk tautan berikutnya (Gbr. 3.12):
| x keluar |
Beras. 3.14. Kembali ke belakang - koneksi paralel.
Tergantung pada apakah sinyal umpan balik x ditambahkan ke sinyal masukan xin atau dikurangi, umpan balik positif dan negatif dibedakan.
Masih berdasarkan sifat fungsi transfer, kita dapat menulis
W 1 (p) =x keluar /(x masuk ±x); W 2 (p) = x/x keluar; W c =x keluar /x masuk. (3.44)
Menghilangkan koordinat internal x dari dua persamaan pertama, kita memperoleh fungsi transfer untuk koneksi seperti itu:
W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)
Perlu diingat bahwa dalam ekspresi terakhir, tanda plus berhubungan dengan negatif masukan.
Dalam kasus ketika suatu tautan memiliki beberapa masukan (seperti, misalnya, objek kontrol), beberapa fungsi transfer dari tautan ini dipertimbangkan, sesuai dengan masing-masing masukan, misalnya, jika persamaan tautan berbentuk
D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3,46)
dimana K x (p) dan K z (p) masing-masing merupakan operator pengaruh pada input x dan z, maka link ini memiliki fungsi transfer pada input x dan z:
L x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)
Di masa depan, untuk mengurangi entri dalam ekspresi fungsi transfer dan operator terkait, kami akan menghilangkan argumen “p”.
Dari pertimbangan bersama ekspresi (3.46) dan (3.47) berikut ini
kamu = L x x+W z z, (3,48)
yaitu, di kasus umum nilai keluaran dari setiap tautan dengan beberapa masukan sama dengan jumlah produk dari nilai masukan dan fungsi transfer untuk masukan yang bersangkutan.
Fungsi transmisi SAR karena marah.
Bentuk umum struktur ACS, yang beroperasi pada deviasi variabel terkontrol, adalah sebagai berikut:
| W o z =K z /D objek W o x =K x /D |
| W p y |
| z |
| kamu |
| -X |
Gambar.3.15. ATS tertutup.
Mari kita perhatikan fakta bahwa pengaruh regulasi diterapkan pada objek dengan tanda yang diubah. Hubungan antara keluaran suatu benda dengan masukannya melalui pengatur disebut hubungan utama masukan(sebagai lawan dari kemungkinan umpan balik tambahan pada regulator itu sendiri). Sesuai dengan makna regulasi yang sangat filosofis, maka tindakan regulator ditujukan pengurangan penyimpangan variabel yang dikendalikan, dan karena itu umpan balik utama selalu negatif. Pada Gambar. 3.15:
W o z - fungsi alih objek karena gangguan;
W o x - fungsi alih objek sesuai dengan pengaruh regulasi;
W p y - fungsi transfer pengontrol sesuai dengan deviasi y.
Persamaan diferensial dari plant dan pengontrol terlihat seperti ini:
y=W o x x +W o z z
x = - W p y y. (3.49)
Mengganti x dari persamaan kedua ke persamaan pertama dan melakukan pengelompokan, kita memperoleh persamaan ATS:
(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)
Oleh karena itu fungsi alih ACS untuk gangguan
W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)
Dengan cara serupa, Anda bisa mendapatkan fungsi transfer ACS untuk tindakan kontrol:
W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)
dimana W p u adalah fungsi transfer pengontrol sesuai dengan aksi kontrol.
3.4 Osilasi paksa dan karakteristik frekuensi ACS.
Dalam kondisi pengoperasian nyata, ACS sering kali terkena gaya pengganggu secara berkala, yang disertai dengan perubahan berkala dalam besaran terkendali dan pengaruh peraturan. Misalnya saja getaran kapal pada saat berlayar di laut yang ganas, fluktuasi kecepatan putaran baling-baling dan besaran lainnya. Dalam beberapa kasus, amplitudo osilasi besaran keluaran sistem dapat mencapai nilai yang sangat besar, dan ini sesuai dengan fenomena resonansi. Akibat resonansi sering kali menimbulkan bencana bagi sistem yang mengalaminya, misalnya kapal terbalik, rusaknya mesin. Dalam sistem kendali, fenomena seperti itu mungkin terjadi ketika sifat elemen berubah karena keausan, penggantian, konfigurasi ulang, atau kegagalan. Lalu ada kebutuhan untuk menentukan rentang kondisi pengoperasian yang aman atau mengkonfigurasi ATS dengan benar. Isu-isu ini akan dibahas di sini karena berlaku untuk sistem linier.
Biarkan beberapa sistem memiliki struktur yang ditunjukkan di bawah ini:
| x=A x sinωt |
| y=A y dosa(ωt+φ) |
Gambar.3.16. ACS dalam mode osilasi paksa.
Jika sistem terkena pengaruh periodik x dengan amplitudo A x dan frekuensi melingkar w, maka setelah proses transisi berakhir, osilasi dengan frekuensi yang sama dengan amplitudo A y dan digeser relatif terhadap osilasi masukan sebesar sudut fasa j akan ditetapkan pada output. Parameter osilasi keluaran (amplitudo dan pergeseran fasa) bergantung pada frekuensi gaya penggerak. Tugasnya adalah menentukan parameter osilasi keluaran dari parameter osilasi masukan yang diketahui.
Sesuai dengan fungsi transfer ACS yang ditunjukkan pada Gambar 3.14, persamaan diferensialnya berbentuk
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)
Mari kita substitusikan ke (3.53) ekspresi x dan y yang ditunjukkan pada Gambar. 3.14:
(an p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)
Jika kita perhatikan pola osilasi yang digeser seperempat periode, maka pada persamaan (3.54) fungsi sinus akan digantikan oleh fungsi kosinus:
(an p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)
Mari kalikan persamaan (3,54) dengan i = dan tambahkan hasilnya dengan (3,55):
(an p n +an -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)
Menggunakan rumus Euler
exp(±ibt)=cosbt±isinbt,
Mari kita kurangi persamaan (3.56) menjadi bentuk
(an p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)
Mari kita lakukan operasi diferensiasi terhadap waktu yang disediakan oleh operator p=d/dt:
Dan pengalamanmu=
Ax exp(iwt). (3.58)
Setelah transformasi sederhana yang berkaitan dengan reduksi sebesar exp(iwt), kita peroleh
Bagian kanan ekspresi (3.59) mirip dengan ekspresi fungsi transfer ACS dan dapat diperoleh dengan mengganti p=iw. Dengan analogi, ini disebut fungsi transfer kompleks W(iw), atau karakteristik fase amplitudo (APC). Istilah respon frekuensi juga sering digunakan. Jelas bahwa pecahan ini merupakan fungsi dari argumen kompleks dan juga dapat direpresentasikan dalam bentuk ini:
W(iw) = M(w) +iN(w), (3,60)
dimana M(w) dan N(w) masing-masing merupakan karakteristik frekuensi nyata dan imajiner.
Rasio A y / A x adalah modulus AFC dan merupakan fungsi frekuensi:
Ay / Ax = R (w)
dan disebut respons frekuensi amplitudo (AFC). Fase
pergeseran j =j (w) juga merupakan fungsi frekuensi dan disebut respon frekuensi fase (PFC). Dengan menghitung R(w) dan j(w) untuk rentang frekuensi (0…¥), dimungkinkan untuk membuat grafik AFC pada bidang kompleks dalam koordinat M(w) dan iN(w) (Gbr. 3.17).
| ω |
| R(ω) |
| ω cp |
| ω soal |
Gambar.3.18. Karakteristik frekuensi amplitudo.
Respon frekuensi sistem 1 menunjukkan puncak resonansi yang sesuai dengan amplitudo osilasi paksa terbesar. Pekerjaan di area yang dekat dengan frekuensi resonansi dapat menjadi bencana dan seringkali sama sekali tidak dapat diterima oleh peraturan pengoperasian objek tertentu yang diatur. Respon frekuensi tipe 2 tidak memiliki puncak resonansi dan lebih disukai untuk sistem mekanis. Dapat juga dilihat bahwa dengan meningkatnya frekuensi, amplitudo osilasi keluaran menurun. Secara fisik, hal ini mudah dijelaskan: sistem apa pun, karena sifat inersia yang melekat di dalamnya, lebih mudah terpengaruh oleh frekuensi rendah daripada frekuensi tinggi. Dimulai pada frekuensi tertentu, osilasi keluaran menjadi dapat diabaikan dan frekuensi ini disebut frekuensi cutoff, dan rentang frekuensi di bawah frekuensi cutoff disebut bandwidth. Dalam teori kendali otomatis, frekuensi cutoff diambil pada nilai respon frekuensi yang 10 kali lebih kecil dibandingkan pada frekuensi nol. Sifat suatu sistem untuk meredam getaran frekuensi tinggi disebut sifat filter lolos rendah.
Mari kita perhatikan metode penghitungan respons frekuensi menggunakan contoh tautan orde kedua, yang persamaan diferensialnya
(T 2 2 hal 2 + T 1 hal + 1)y = kx. (3.62)
Dalam soal osilasi paksa, bentuk persamaan yang lebih visual sering digunakan
(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)
dimana disebut frekuensi alami osilasi tanpa adanya redaman, x =T 1 w 0 /2 adalah koefisien redaman.
Fungsi transfernya terlihat seperti ini:
Dengan mengganti p = iw kita memperoleh karakteristik fase amplitudo
Dengan menggunakan aturan pembagian bilangan kompleks, kita memperoleh ekspresi respons frekuensi:
Mari kita tentukan frekuensi resonansi di mana respons frekuensi maksimum. Ini sesuai dengan penyebut minimum ekspresi (3.66). Menyamakan turunan penyebut terhadap frekuensi w dengan nol, kita mendapatkan:
2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3,67)
dari situ kita memperoleh nilai frekuensi resonansi yang tidak sama dengan nol:
w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)
Mari kita menganalisis ekspresi ini, yang mana kita mempertimbangkan kasus-kasus individual yang sesuai dengan nilai koefisien atenuasi yang berbeda.
1. x = 0. Frekuensi resonansi sama dengan frekuensi alami, dan besarnya respon frekuensi berubah menjadi tak terhingga. Ini adalah kasus yang disebut resonansi matematis.
2. . Karena frekuensi dinyatakan sebagai bilangan positif, dan dari (68) dalam hal ini diperoleh nol atau bilangan imajiner, maka pada nilai koefisien atenuasi tersebut, respon frekuensi tidak mempunyai puncak resonansi (kurva 2 pada Gambar 3.18).
3. . Respon frekuensi memiliki puncak resonansi, dan dengan penurunan koefisien atenuasi, frekuensi resonansi mendekati frekuensinya sendiri dan puncak resonansi menjadi lebih tinggi dan tajam.
Tautan khas sistem linier dapat ditentukan dengan berbagai cara yang setara, khususnya menggunakan apa yang disebut fungsi transfer, yang biasanya memiliki bentuk rasional pecahan, yaitu. yang merupakan perbandingan dua polinomial:
dimana b i dan a j adalah koefisien polinomial. Inilah yang disebut parameter fungsi transfer atau tautan.
Fungsi transfer menghubungkan gambar Y(p) dari sinyal keluaran y(t) dari suatu link dengan gambar X(p) dari sinyal masukannya x(t):
Y(p)=W(p)X(p) (1.2)
itu. memungkinkan Anda menemukan keluaran y(t) dari sinyal masukan apa pun yang diketahui x(t). Artinya dari sudut pandang TAU, fungsi transfer sepenuhnya mencirikan sistem kendali atau tautannya. Hal yang sama dapat dikatakan mengenai himpunan koefisien polinomial pembilang dan penyebut fungsi transfer.
Fungsi transfer tautanW(P) adalah perbandingan transformasi Laplace besaran keluaran dengan transformasi Laplace besaran masukan
2. Informasi singkat tentang tautan posisi
Tautan posisional mencakup tautan dinamis tipikal berikut ini:
Tautan inersia,
Tautan aperiodik orde pertama,
Tautan aperiodik orde kedua,
Tautan osilasi
Tautan konservatif.
Karakteristik waktu dari tautan posisi dirangkum dalam Tabel. 1. Fungsi transfer tautan juga ditunjukkan di sini.
A).Tautan inersia.
Tautan ini dijelaskan tidak hanya dalam statika, tetapi juga dalam dinamika dengan persamaan aljabar
X keluar = k X memasukkan (2.1)
Fungsi transfer link sama dengan nilai konstan
W(p) = x keluar (p)/x memasukkan (p) = k (2.2)
Contoh tautan tersebut adalah: kotak roda gigi mekanis (tanpa memperhitungkan fenomena puntiran dan serangan balik), penguat elektronik bebas inersia (broadband), pembagi tegangan, dll. Banyak sensor sinyal, seperti sensor potensiometri, sensor induksi, transformator berputar dan sinkronisasi, fotosel, dll., juga dapat dianggap sebagai tautan bebas inersia.
Secara umum, tautan bebas inersia adalah idealisasi tertentu dari tautan nyata. Faktanya, semua link mempunyai ciri inersia tertentu, sehingga tidak ada satu link pun yang mampu melewatkan semua frekuensi dari 0 hingga secara seragam. Biasanya, salah satu tautan nyata yang dibahas di bawah ini, misalnya, aperiodik atau osilasi, direduksi menjadi tautan jenis ini, jika pengaruh proses dinamis dalam tautan ini (yaitu konstanta waktu) dapat diabaikan.
B)Tautan aperiodik orde pertama
Tautan ini dijelaskan oleh persamaan diferensial
,
(2.3)
Di mana T- konstanta waktu, s,
k- koefisien transmisi tautan.
Fungsi transfer tautan memiliki bentuk
(2.4)
Tautan aperiodik adalah tautan paling sederhana yang mempunyai inersia. Memang benar, hubungan ini tidak serta merta, mula-mula cepat, dan kemudian semakin bertahap bereaksi terhadap pengaruh bertahap. Hal ini terjadi karena dalam ikatan aperiodik asal fisik terdapat satu unsur yang terakumulasi (serta satu atau lebih unsur yang memakan energi), energi yang tersimpan di dalamnya tidak dapat berubah secara tiba-tiba dalam waktu - hal ini memerlukan daya yang tidak terbatas.
Contoh sambungan aperiodik orde 1 meliputi: motor jenis apa pun (listrik, hidrolik, pneumatik), generator DC, listrik R.C.- Dan LR- sirkuit, penguat magnet, tangki bensin, tungku pemanas. Proses kerja pada unit-unit tersebut digambarkan dengan persamaan umum (2.3).
V)Tautan aperiodik orde ke-2
Persamaan diferensial dari link tersebut berbentuk:
(2.5)
Dalam hal ini, akar persamaan karakteristik
P 2 + T 1 P+1=0 (2.6)
harus nyata, yang akan dipenuhi dengan syarat
T 1 2 T 2 (2.7)
Kami berasumsi bahwa proses yang terjadi di ACS dijelaskan oleh persamaan diferensial linier dengan koefisien konstan. Jadi, kami akan membatasi diri untuk mempertimbangkan ACS linier dengan parameter konstan, yaitu. parameter yang tidak bergantung pada waktu atau keadaan sistem.
Misalkan untuk sistem dinamis (lihat gambar)
persamaan diferensial ditulis dalam bentuk operator
dimana D(P) dan M(P) adalah polinomial di P.
P – operator diferensiasi;
x(t) – koordinat keluaran sistem;
g(t) – pengaruh masukan.
Mari kita transformasi (1) menurut Laplace, dengan asumsi kondisi awal nol.
Mari kita perkenalkan notasinya
;
,
kita dapatkan, dengan mempertimbangkan itu
Kami menggunakan notasi
, (5)
maka persamaan (3) akan berbentuk:
. (6)
Persamaan (6) menghubungkan bayangan X(S) dari koordinat keluaran sistem dengan bayangan G(S) dari aksi masukan. Fungsi (S) mencirikan sifat dinamis sistem. Sebagai berikut dari (4) dan (5), fungsi ini tidak bergantung pada dampak yang diterapkan pada sistem, tetapi hanya bergantung pada parameter sistem. Dengan memperhatikan (6) fungsinya F(S) dapat ditulis sebagai berikut
Fungsi (S) disebut fungsi alih sistem. Dari (7) jelas bahwa fungsi transfer adalah perbandingan citra Laplace dari koordinat masukan sistem dengan citra Laplace aksi masukan pada kondisi awal nol.
Mengetahui fungsi alih sistem (S) Setelah menentukan bayangan G(S) dari pengaruh g(t) yang diterapkan pada sistem, kita dapat menemukan dari (6) bayangan X(S) dari koordinat keluaran sistem x (t), kemudian, berpindah dari gambar X(S) ke x(t) asli memperoleh proses perubahan koordinat keluaran suatu sistem ketika pengaruh masukan diterapkan pada sistem ini.
Polinomial penyebut fungsi transfer disebut polinomial karakteristik, dan persamaannya
persamaan karakteristik.
Untuk sistem yang dijelaskan oleh persamaan orde ke-n, persamaan karakteristik adalah persamaan aljabar derajat ke-n dan mempunyai n akar, S 1 S 2... S n, di antaranya dapat terdapat konjugat nyata dan kompleks.
Akar polinomial pada penyebut fungsi transfer disebut kutub fungsi transfer ini, dan pada pembilangnya disebut nol.
Mari kita nyatakan polinomial dalam bentuk:
Oleh karena itu fungsi transfer
. (11)
Oleh karena itu, menentukan nol dan kutub menentukan fungsi transfer hingga faktor konstan 
.
Dalam kasus ketika bagian nyata dari semua kutub fungsi transfer bernilai negatif, mis.
, k=1,2…n, sistem disebut stabil. Di dalamnya, komponen transisi kuantitas keluaran (gerakan diri) memudar seiring berjalannya waktu.
Karakteristik frekuensi sistem
Konversi sinyal masukan harmonik dengan sistem linier
Fungsi alih sistem otomatis terhadap aksi kendali g(t) adalah
(1)
Biarkan dampaknya
g(t) = A 1 sin ω 1 t,
Dan diperlukan untuk menentukan perubahan X(t) dalam proses tunak, yaitu Temukan solusi khusus untuk persamaan (1), yang telah dibahas sebelumnya.
Perhatikan bahwa sebagai akibat dari penerapan suatu pengaruh, proses sementara terjadi dalam sistem, yang cenderung 0 seiring waktu, karena sistem diasumsikan stabil. Kami tidak mempertimbangkannya. Transisi seperti itu memungkinkan kita untuk mempertimbangkan aksi g(t) seperti yang ditentukan pada seluruh sumbu waktu (momen awal penerapan aksi kontrol ke sistem tidak dipertimbangkan) dan menggunakan ekspresi yang diperoleh sebelumnya untuk karakteristik spektral sinusoidal .
Untuk menentukan x(t) dalam keadaan tunak, kita mentransformasikan kedua ruas persamaan diferensial (1) menurut Fourier. Yang kami maksud dengan ini adalah itu
;
,
perhatikan itu
fungsi transfer di mana S 
Di samping itu
Kemudian karakteristik spektral osilasi paksa dari besaran terkontrol ditentukan dari (3) dalam bentuk
Dalam (4) pengganda fungsional (jω) memperhitungkan perubahan karakteristik spektral ketika pengaruh g(t) melewati sistem dinamis linier.
Mari kita bayangkan fungsi yang kompleks (jω) dalam bentuk demonstratif
dan temukan x(t) menggunakan rumus transformasi Fourier terbalik:
menggunakan properti pemfilteran dari fungsi delta, dan dengan mempertimbangkan (5), kita akan mendapatkan
Karena 
,,
(6)
Oleh karena itu, dalam kondisi tunak, respons x(t) sistem otomatis linier terhadap pengaruh sinusoidal juga merupakan sinusoidal. Frekuensi sudut sinyal masukan dan keluaran sama. Amplitudo pada keluaran sistem adalah A 1 │ (jω)│, dan fase awalnya adalah arg (jω).
Jika masukan sistem linier mendapat pengaruh periodik dalam bentuk
,
kemudian, dengan menggunakan prinsip superposisi, yang berlaku untuk sistem linier, kita menemukan bahwa dalam kasus ini gerak tetap paksa sistem
(7)
Selain itu, nilai ω di sini harus diberi nilai diskrit, yaitu. asumsikan ω=kω 1
Mengetahui spektrum frekuensi sinyal masukan, Anda dapat dengan mudah menentukan spektrum frekuensi sinyal pada masukan sistem. Jika misalnya spektrum frekuensi amplitudo A k dari sinyal masukan g(t) diketahui, maka spektrum frekuensi amplitudo sinyal keluaran adalah A k │ Ф(jkω 1 ) │.
Dalam ekspresi yang dipertimbangkan, fungsinya (jω) mencirikan sifat dinamis dari sistem otomatis itu sendiri dan tidak bergantung pada sifat pengaruh yang diterapkan pada sistem. Hal ini dapat dengan mudah diperoleh dari fungsi transfer dengan mengganti S secara formal dengan jω
Fungsi (jω) dari argumen kontinu ω disebut karakteristik fase amplitudo sistem AFC dalam kaitannya dengan aksi kontrol g(t) yang diterapkan pada sistem.
Berdasarkan (3), AFC juga dapat didefinisikan sebagai rasio karakteristik spektral sinyal pada inputnya. Modul AF (j ) mencirikan perubahan amplitudo sinyal harmonik saat melewati sistem, dan argumennya adalah pergeseran fasa sinyal.
Fungsi (j ) menerima nama respon frekuensi amplitudo (AFC), dan fungsi arg (j ) – respons frekuensi fase (PFC).
Misalkan pengaruh g(t) yang diterapkan pada sistem otomatis adalah harmonik kompleks dengan frekuensi 1, yaitu.
Respon sistem terhadap dampak tersebut dalam keadaan stabil ditentukan oleh kesetaraan
Atau menggunakan rumus Euler
dan juga itu
;
Kita akan mencari integral di ruas kanan persamaan menggunakan sifat penyaringan fungsi delta.
mendefinisikan dalam bentuk yang kompleks respon keadaan tunak sistem terhadap pengaruh berupa harmonik kompleks dengan frekuensi 1.
AFC dapat digunakan tidak hanya untuk menganalisis osilasi keadaan tunak pada keluaran sistem otomatis, tetapi juga untuk menentukan proses kendali secara keseluruhan. Dalam kasus terakhir, akan lebih mudah untuk mempertimbangkan momen waktu t 0 penerapan sistem kendali sebagai momen waktu nol dan menggunakan rumus transformasi Fourier satu sisi. Setelah menentukan karakteristik spektral 
dan mencari karakteristik spektral dari variabel yang dikontrol menggunakan rumus
Perubahan variabel terkontrol x(t) setelah menerapkan pengaruh g(t) ditemukan dengan menggunakan rumus transformasi Fourier terbalik.
1. Fungsi transfer dan karakteristik frekuensi. Perangkat peralatan komunikasi analog1. Fungsi transfer dan karakteristik frekuensi
Rangkaian listrik dengan kompleksitas apa pun, yang memiliki dua pasang terminal untuk menghubungkan ke sumber dan penerima energi listrik, disebut dalam teknologi komunikasi segi empat. Terminal yang terhubung dengan sumber disebut memasukkan, dan terminal yang terhubung dengan penerima (beban) adalah terminal keluaran (kutub).
DI DALAM pandangan umum Segiempat digambarkan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.1. Sumber energi listrik dengan nilai tegangan efektif kompleks dan hambatan dalam dihubungkan ke masukan jaringan empat terminal 1–1". Beban dengan hambatan dihubungkan ke terminal keluaran 2–2". Tegangan dengan nilai efektif kompleks diterapkan pada terminal masukan, dan tegangan dengan nilai efektif kompleks diterapkan pada terminal keluaran. Arus dengan nilai efektif kompleks mengalir melalui terminal masukan, dan arus dengan nilai efektif kompleks mengalir melalui terminal keluaran. Perhatikan bahwa jaringan empat terminal lainnya dapat bertindak sebagai sumber dan penerima energi listrik.
Pada Gambar. 1.1 sebutan simbolis untuk tegangan dan arus digunakan. Artinya analisis suatu rangkaian listrik dilakukan terhadap getaran harmonik dengan frekuensi tertentu. Untuk osilasi harmonik tertentu, seseorang dapat menentukan fungsi transfer dari jaringan empat port yang dimuat, yang merupakan perbandingan nilai efektif kompleks besaran listrik keluaran dengan nilai efektif kompleks besaran listrik masukan.
Jika pengaruh masukan dianggap sebagai tegangan generator dengan nilai efektif kompleks , dan respons jaringan dua terminal terhadap pengaruh ini adalah tegangan dengan nilai efektif kompleks atau arus dengan nilai efektif kompleks , maka kita peroleh fungsi transfer kompleks dari bentuk umum:
, (1.1)
. (1.2)
Dalam kasus tertentu, ketika pengaruh tertentu adalah tegangan pada terminal masukan kuadripol atau arus yang mengalir melalui terminal ini, diperoleh empat jenis fungsi transfer berikut:
– koefisien transfer tegangan kompleks (untuk jaringan dua terminal aktif, misalnya amplifier, disebut penguatan tegangan);
– koefisien transfer arus kompleks (untuk rangkaian aktif – perolehan arus);
– resistensi transfer yang kompleks;
– konduktivitas transfer yang kompleks.
Sering digunakan dalam teori rangkaian fungsi transfer yang dinormalisasi atau berfungsi segi empat:
, (1.3)
yang diperoleh dengan normalisasi (1.1) dengan faktor .
Seperti besaran kompleks lainnya N dapat direpresentasikan dalam bentuk demonstratif:
, (1.4)
dimana adalah modul fungsi transfer kompleks, dan j adalah argumennya.
Pertimbangkan fungsi transfer tegangan kompleks
Menggantikan ke (1.5) notasi nilai efektif kompleks
.
Dari perbandingan ungkapan ini dengan (1.4) jelas bahwa
,
yaitu modul fungsi transfer tegangan kompleks (atau penguatan tegangan kompleks) menunjukkan berapa kali nilai efektif (amplitudo) osilasi tegangan harmonik pada keluaran rangkaian berubah dibandingkan dengan nilai yang sama pada masukan rangkaian, dan argumen fungsi ini menentukan pergeseran fasa antara osilasi tegangan harmonik pada input dan output.
Dengan cara yang sama Anda dapat menemukan:
.
Semua yang dikatakan di atas tentang koefisien perpindahan tegangan juga berlaku untuk koefisien perpindahan arus.
Jika kita mengubah frekuensi osilasi harmonik, maka ekspresi (1.4) harus ditulis dalam bentuk:
. (1.6)
Fungsi frekuensi disebut karakteristik frekuensi amplitudo rangkaian(AFC). Ini menunjukkan perubahan apa yang dilakukan rangkaian terhadap amplitudo osilasi harmonik pada setiap frekuensi.
Fungsi frekuensi disebut karakteristik frekuensi fasa rangkaian(FCHH). Oleh karena itu, karakteristik ini menunjukkan pergeseran fasa yang diperoleh osilasi harmonik dari setiap frekuensi saat merambat melalui rangkaian.
Fungsi transfer kompleks juga dapat direpresentasikan dalam bentuk aljabar:
dimana Re dan Im menunjukkan bagian real dan imajiner dari besaran kompleks.
Dari teori besaran kompleks diketahui bahwa
Contoh 1.1
Tentukan koefisien transmisi tegangan, respon frekuensi dan respon fasa rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2, A.
Menurut (1.5) kami menulis
Mari kita cari fungsi kompleks pada keluaran rangkaian:
Mengganti ke dalam rumus , kita memperoleh fungsi transfer kompleks:
;
Dengan mengubah frekuensi w dari 0 menjadi ɐ, kita dapat menampilkan grafik respon frekuensi dan respon fasa rangkaian (Gbr. 1.2, B Dan V).
Respon frekuensi dan respon fasa rangkaian dapat direpresentasikan dalam grafik tunggal jika kita memplot ketergantungan fungsi transfer kompleks pada frekuensi w pada bidang kompleks. Dalam hal ini, ujung vektor akan menggambarkan kurva tertentu, yang disebut hodograf fungsi transfer kompleks (Gbr. 1.3).
Para ahli sering menggunakan konsep tersebut karakteristik frekuensi amplitudo logaritmik(LAH):
.
Nilai-nilai KE diukur dalam desibel (dB). Di sirkuit aktif yang berisi amplifier, nilainya KE disebut juga keuntungan logaritmik. Untuk rangkaian pasif, konsep ini diperkenalkan sebagai pengganti faktor penguatan melonggarkan rantai:
, (1.7)
yang juga diukur dalam desibel.
Contoh 1.2
Diketahui bahwa modulus koefisien transmisi tegangan rangkaian mengambil nilai sebagai berikut:
F= 0kHz N(F) = 1
F= 1 kHz N(F) = 0,3
F= 2 kHz N(F) = 0,01
F= 4kHz N(F) = 0,001
F= 8kHz N(F) = 0,0001
Gambarlah grafik pelemahan rangkaian tersebut.
Nilai pelemahan rantai yang dihitung menurut (1.7) diberikan dalam tabel:
|
F, kHz |
|||||
|
A(F), dB |
Jadwal A(F) ditunjukkan pada Gambar. 1.4.
Jika alih-alih resistansi kompleks kapasitansi dan induktansi, kita berurusan dengan resistansi operator kapasitansi dan induktansi hal, maka dalam ekspresi Anda perlu menggantinya dengan R.
Fungsi alih operator rantai dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai fungsi rasional pecahan dengan koefisien real:
atau dalam bentuk
Di mana 
– nol; 
– kutub fungsi alih; .
Mengganti operator di (1.8) R pada jw, kita kembali memperoleh fungsi transfer kompleks dari rangkaian
,
di mana respon frekuensi rangkaian
Mengingat fungsi irasional, biasanya ketika menganalisis dan mensintesis rangkaian kita berurusan dengan kuadrat respons frekuensi:
dimana koefisien diperoleh dengan menggabungkan koefisien dengan pangkat yang sama dari variabel w.
Contoh 1.3
Temukan koefisien transfer tegangan dan kuadrat respons frekuensi rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 1.5, A.
Koefisien perpindahan tegangan rangkaian ini sama dengan
Di mana N = 1, 
, .
Akar pembilang pecahan rasional ini, yaitu nol dari fungsi transfer,
.
Akar penyebut atau kutub fungsi transfer,
.
Pada Gambar. 1.5, B menunjukkan lokasi nol dan kutub fungsi di 
.
Dengan teorema Vieta
.
Respon amplitudo-frekuensi ditentukan dengan penggantian R dan menghitung modulus fungsi yang dihasilkan
.
Kuadrat respon frekuensi akan dituliskan pada formulir
Di mana 
; 
;
.
Respon frekuensi rangkaian ditunjukkan pada Gambar. 1.5, V.
Mari kita daftar properti utama fungsi transfer operator dan respons frekuensi kuadrat dari rangkaian pasif:
1. Fungsi transfer adalah fungsi rasional pecahan dengan koefisien real. Materialitas koefisien dijelaskan oleh fakta bahwa koefisien tersebut ditentukan oleh elemen rangkaian.
2. Kutub-kutub fungsi transfer terletak pada setengah bidang kiri variabel kompleks R. Tidak ada batasan lokasi angka nol. Mari kita buktikan sifat ini dengan menggunakan fungsi transfer sebagai contoh. Mari kita pilih tindakan input atau dalam bentuk operator. Gambaran tegangan keluaran dalam hal ini sama secara numerik, yaitu.
dimana polinomial pembilang fungsi transfer; 
– koefisien muai fungsi rasional pecahan menjadi jumlah pecahan sederhana.
Mari beralih dari gambar ke aslinya:
dimana dalam kasus umum.
Dalam kuadripol aktif pasif dan stabil, osilasi pada keluaran kuadripol setelah penghentian pengaruh harus bersifat teredam. Artinya pada (1.13) bagian riil kutub harus negatif, yaitu kutub harus berada pada setengah bidang kiri variabel R.
3. Derajat polinomial pembilang fungsi transfer dan kuadrat respon frekuensi tidak melebihi derajat polinomial penyebutnya, yaitu N F M. Jika sifat ini tidak terpenuhi, maka pada frekuensi yang sangat tinggi, respons frekuensi akan berlangsung tanpa batas sangat penting(karena pembilangnya akan bertambah dengan meningkatnya frekuensi lebih cepat daripada penyebutnya), yaitu rangkaian akan memiliki penguatan tak terbatas, yang bertentangan dengan arti fisiknya.
4. Respon frekuensi kuadrat adalah fungsi rasional genap dari variabel w dengan koefisien nyata. Properti ini jelas mengikuti metode memperoleh respons frekuensi kuadrat dari fungsi transfer.
5. Respon frekuensi kuadrat tidak dapat mengambil nilai negatif dan besar tak terhingga untuk w > 0. Non-negatif mengikuti sifat modulus kuadrat suatu besaran kompleks. Keterbatasan nilai respon frekuensi pada frekuensi nyata dijelaskan dengan cara yang sama seperti pada properti 3.
Kebanyakan rangkaian sumber tak bebas mempunyai setidaknya dua jalur sinyal: maju (dari masukan ke keluaran) dan mundur (dari keluaran ke masukan). Jalur sinyal mundur diimplementasikan menggunakan sirkuit khusus masukan(OS). Mungkin ada beberapa jalur seperti itu, dan karenanya sirkuit OS. Kehadiran OS di sirkuit dengan sumber dependen memberi mereka kualitas baru yang berharga yang tidak dimiliki sirkuit tanpa OS. Misalnya, dengan menggunakan sirkuit OS, dimungkinkan untuk mencapai stabilisasi suhu mode operasi sirkuit, mengurangi distorsi nonlinier yang terjadi pada sirkuit dengan elemen nonlinier, dll.
Setiap rangkaian dengan umpan balik dapat direpresentasikan sebagai terdiri dari dua jaringan empat terminal (Gbr. 1.6).
Jaringan dua port linier aktif dengan fungsi transfer tegangan adalah penguat. Kadang-kadang disebut elemen utama rangkaian dan dikatakan membentuk saluran amplifikasi langsung.
Jaringan empat terminal pasif dengan fungsi transfer tegangan disebut rangkaian umpan balik. Pada masukan rangkaian, tegangan masukan dan tegangan umpan balik dijumlahkan.
Mari kita turunkan rumus fungsi transfer tegangan rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 1.6. Biarkan tegangan diterapkan ke input. Gambar kameranya. Tegangan muncul pada keluaran rangkaian. Menurut Gambar. 1.6 gambar kameranya
Gambar operator dapat ditulis melalui fungsi transfer rangkaian umpan balik
Kemudian ekspresi (1.14) dapat ditulis ulang menjadi
Fungsi transfer operator untuk tegangan rangkaian dengan OS (lihat Gambar 1.6).
. (1.16)
Contoh 1.4
Pada Gambar. Gambar 1.7 menunjukkan rangkaian penguat operasional (OPA) yang dirancang untuk penskalaan tegangan. Temukan fungsi transfer dari rangkaian ini.
Mari kita peroleh fungsi alih rangkaian ini sebagai rangkaian umpan balik menggunakan rumus (1.16).
Rangkaian umpan balik pada diagram pada Gambar. 1.7 berfungsi sebagai pembagi tegangan berbentuk L, terdiri dari resistansi resistif dan. Tegangan keluaran penguat disuplai ke masukan rangkaian OS; Tegangan OS dihilangkan dari resistor. Fungsi transfer tegangan rangkaian OS
Mari kita gunakan rumus (1.16) dan perhatikan bahwa tegangan masukan dan tegangan umpan balik tidak dijumlahkan, tetapi dikurangi. Kemudian kita memperoleh fungsi alih penguat skala:
.
Mengingat bahwa dalam op-amp nyata nilainya >> 1, akhirnya kita mendapatkan:
Contoh 1.5
Tautan pada op-amp dengan umpan balik yang bergantung pada frekuensi ditunjukkan pada Gambar. 1.8. Temukan fungsi transfer dari tautan ini.
Untuk menganalisis jalur sinyal langsung dan jalur sinyal OS perlu menggunakan metode superposisi. Untuk melakukan ini, Anda harus menghilangkan sumber tegangan input dan tegangan umpan balik secara bergantian, menggantinya dengan resistansi internal. Dalam kasus sumber tegangan ideal, resistansi internalnya adalah nol. Tegangan yang diterapkan ke link dilemahkan oleh rangkaian input, yang merupakan pembagi tegangan berbentuk L dengan resistansi di bahu. Fungsi transfer tegangan pembagi tersebut adalah
Rangkaian umpan balik juga merupakan jaringan empat port berbentuk L dengan fungsi transfer.
Penguatan op-amp.
Sesuai dengan rumus (1.16), kita memperoleh fungsi transfer tautan:
Mengingat >> 1, kita peroleh:
.
Tautan ini dapat melakukan berbagai fungsi tergantung pada jenis resistansi dan. Pada dan tautan berubah menjadi penguat skala pembalik; di dan – ke integrator; di dan – menjadi pembeda.
Contoh 1.6
Tautan orde kedua dengan penguatan yang dapat disesuaikan ditunjukkan pada Gambar. 1.9, A. Temukan fungsi transfer dari tautan ini.
Analisis lintasan sinyal input dan sinyal pada rangkaian OS menunjukkan bahwa link tersebut memiliki rangkaian input seperti ditunjukkan pada Gambar. 1.9, B dan rangkaian OS ditunjukkan pada Gambar. 1.9, V. Fungsi alih rangkaian ini dapat diperoleh metode matriks, misalnya, menganggap setiap sirkuit sebagai sambungan kaskade dari segi empat berbentuk L yang sesuai.
Untuk rangkaian masukan
Untuk sirkuit OS
. (1.18)
Dengan mempertimbangkan (1.16), kita memperoleh fungsi transfer tautan
. (1.19)
Penguatan penguat. Kemudian, substitusikan (1.17) dan (1.18) ke (1.19), setelah transformasi kita dapatkan
.
Melewati ke (1.16) dari operator R kepada operator, kita memperoleh fungsi transfer yang kompleks
. (1.20)
Produknya adalah fungsi transfer kompleks dari penguat dan rangkaian umpan balik, asalkan umpan baliknya diputus (Gbr. 1.10). Fungsi tersebut disebut fungsi transfer loop OS atau perolehan putaran. Mari kita perkenalkan konsep umpan balik positif dan negatif. Konsep-konsep ini memainkan peran penting dalam teori rangkaian umpan balik.
Mari kita asumsikan terlebih dahulu bahwa fungsi transfer , , tidak bergantung pada frekuensi dan merupakan bilangan real. Situasi ini mungkin terjadi bila tidak ada L.C.-elemen. Ini bisa bersifat positif dan angka negatif. Dalam kasus pertama, pergeseran fasa antara tegangan masukan dan keluaran atau, dengan kata lain, pergeseran fasa sepanjang loop umpan balik adalah nol atau . k= 0, 1, 2, ... Dalam kasus kedua, ketika , pergeseran fasa sepanjang loop ini sama dengan atau .
Jika dalam rangkaian dengan umpan balik pergeseran fasa sepanjang loop adalah nol, maka umpan balik disebut positif, jika pergeseran fasa sama dengan , maka umpan balik tersebut disebut negatif.
Fungsi transfer dapat direpresentasikan sebagai vektor dan ditampilkan pada bidang kompleks. Dengan umpan balik positif, vektor berada pada sumbu semi nyata positif, dan dengan umpan balik negatif, pada sumbu semi nyata negatif.
Kurva yang digambarkan oleh ujung vektor sebagai perubahan frekuensi w (Gbr. 1.11), seperti diketahui, disebut hodograf.
Representasi dalam bentuk hodograf memungkinkan seseorang untuk menentukan jenis umpan balik dalam kasus umpan balik yang bergantung pada frekuensi.
Mari kita perkenalkan konsep rantai stabil dan tidak stabil. Rantai itu disebut berkelanjutan, jika osilasi bebas cenderung nol seiring waktu. Kalau tidak, rantai itu disebut tidak stabil. Dari teori proses transien dapat disimpulkan bahwa rantai tersebut stabil jika akar-akar persamaan karakteristik terletak pada setengah bidang kiri variabel kompleks p. Jika akar-akar persamaan tersebut terletak pada setengah bidang kanan, maka rangkaian tersebut tidak stabil, yaitu berada dalam mode eksitasi sendiri. Jadi, untuk menentukan kondisi kestabilan suatu rantai, cukup mencari persamaan karakteristik dan akar-akarnya. Seperti yang kita lihat, kondisi stabilitas dapat ditentukan tanpa mengenalkan konsep umpan balik. Namun, sejumlah permasalahan muncul di sini. Faktanya adalah menurunkan persamaan karakteristik dan menentukan akar-akarnya merupakan prosedur yang rumit, terutama untuk rangkaian pesanan tinggi. Pengenalan konsep umpan balik memudahkan untuk memperoleh persamaan karakteristik atau bahkan memungkinkan untuk dilakukan tanpa persamaan karakteristik. Penting juga bahwa konsep umpan balik memadai untuk proses fisik yang terjadi di sirkuit, sehingga menjadi lebih visual. Pemahaman mendalam tentang proses fisik memfasilitasi penciptaan osilator mandiri, amplifier, dll.
Mari kita perhatikan rangkaiannya (lihat Gambar 1.6) dan turunkan persamaan karakteristiknya. Biarkan dan, oleh karena itu, . Kemudian dari (1.15) sebagai berikut:
. (1.22)
Jika kita menuliskan fungsi alih rangkaian utama dalam bentuk 
, dan rangkaian OSnya adalah , maka persamaan (1.22) akan ditulis ulang sebagai berikut:
Kesetaraan ini berlaku ketika
Ekspresi di sisi kiri persamaan ini adalah polinomial, oleh karena itu (1.23) dapat ditulis dalam bentuk umum:
Ini adalah persamaan karakteristik rangkaian.
Akar persamaan (1.24) pada umumnya merupakan besaran kompleks
Di mana 
. Mengetahui akar persamaan karakteristik, kita dapat menulis tegangan keluaran:
Agar ketegangan tidak bertambah tanpa batas, semua berakar 
Persamaan karakteristik harus mempunyai bagian real negatif, yaitu akar-akarnya harus terletak pada setengah bidang kiri variabel kompleks. Suatu rangkaian dengan sistem operasi yang mempunyai sifat seperti itu disebut stabil mutlak.
Saat mempelajari rangkaian loop tertutup, dua masalah dapat muncul. Jika rangkaian yang dirancang harus stabil, maka perlu adanya kriteria yang, berdasarkan jenis fungsinya, memungkinkan seseorang untuk menilai tidak adanya akar persamaan karakteristik pada setengah bidang kanan. R. Jika umpan balik digunakan untuk membuat rangkaian osilasi mandiri yang tidak stabil, maka Anda harus memastikan bahwa akar persamaan (1.24), sebaliknya, terletak di setengah bidang kanan. Dalam hal ini, perlu adanya susunan akar di mana eksitasi diri akan terjadi pada frekuensi yang diperlukan.
Mari kita perhatikan kriteria stabilitas suatu rangkaian, yang disebut kriteria Nyquist, yang memungkinkan kita menilai stabilitas suatu rangkaian dengan umpan balik berdasarkan sifat-sifat rangkaian terbuka (Gbr. 1.10).
Fungsi transfer rangkaian terbuka, atau penguatan loop, termasuk dalam persamaan karakteristik (1.22):
, (1.26)
Jika terdapat frekuensi w yang ujung vektornya jatuh pada titik dengan koordinat (1, J 0), maka ini berarti kondisi (1,26) terpenuhi, yaitu eksitasi sendiri akan terjadi pada rangkaian pada frekuensi ini. Artinya hodograf dapat digunakan untuk mengetahui stabil atau tidaknya rantai tersebut. Untuk itu digunakan kriteria Nyquist yang dirumuskan sebagai berikut: jika hodograf fungsi alih rangkaian terbuka tidak mencakup titik dengan koordinat(1, J 0), kemudian dengan rangkaian umpan balik tertutup rangkaian tersebut stabil. Dalam hal hodograf menutupi titik (1, j X 1 dapat ditulis dalam dua kondisi: dalam mode stasioner. KE= 2, kurva 1) dan tidak stabil ( KE= 3, kurva 2; KE= 4, kurva 3) rantai.
Soal dan tugas untuk tes mandiri
1. Apa yang dimaksud dengan fungsi transfer kompleks? Jenis fungsi transfer kompleks apa dari jaringan kuadripol yang diketahui?
2. Tentukan koefisien transmisi tegangan, respon frekuensi dan respon fasa rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2, A, jika tegangan keluaran adalah tegangan pada resistor R. Buatlah grafik respon frekuensi dan respon fasa.
Menjawab: 
; 
; 90° – arctan w R.C..
3. Tentukan koefisien perpindahan tegangan tanpa beban dan koefisien perpindahan arus pada saat hubung singkat untuk jaringan empat port berbentuk U yang induktansinya termasuk dalam cabang memanjang L, dan di cabang melintang - kapasitas DENGAN.
Menjawab: 
.
4. Tentukan redaman yang ditimbulkan oleh rangkaian Gambar. 1.2, A, pada R= 31,8 kOhm dan = 10 kOhm.
Menjawab: 12dB.
5. Apa yang dimaksud dengan fungsi alih operator? Bagaimana kaitannya dengan fungsi transfer kompleks? Bagaimana cara menentukan nol dan kutub fungsi alih operator?
6. Tentukan fungsi alih operator, koefisien perpindahan tegangan kompleks, respon frekuensi dan kuadrat respon frekuensi rangkaian osilasi seri yang ditunjukkan pada Gambar. 1.5, A, jika tegangan keluaran adalah tegangan melintasi kapasitor DENGAN. Gambarlah grafik respon frekuensi rangkaian.
Menjawab: 
;
.
7. Sebutkan sifat-sifat utama fungsi alih operator rangkaian pasif.
8. Bagaimana cara menghitung fungsi alih rangkaian loop tertutup?
9. Buktikan fungsi alih operator diferensiator pada penguat operasional sama dengan (– RRC). Buatlah grafik respon frekuensi dari pembeda tersebut.
11. Tentukan fungsi transfer filter yang ditunjukkan pada Gambar. 1.13.
Menjawab:
.
12. Apa yang dimaksud dengan hodograf penguatan loop? Bagaimana cara menentukan jenis umpan balik menggunakan hodograf?
13. Bagaimana kriteria stabilitas Nyquist dirumuskan? Untuk sirkuit apa ini digunakan?
14. Tentukan fungsi alih kompleks rangkaian terbuka yang ditunjukkan pada Gambar. 1.13. Jelajahi ketergantungan stabilitas rangkaian pada nilai penguatan KE.
SISTEM LINEAR
KONTROL OTOMATIS
Penerbitan Universitas Teknik Negeri Omsk
Kementerian Pendidikan dan Sains Federasi Rusia
Negara lembaga pendidikan
lebih tinggi pendidikan kejuruan
"Universitas Teknik Negeri Omsk"
SISTEM LINEAR
KONTROL OTOMATIS
Pedoman kerja praktek
Penerbitan Universitas Teknik Negeri Omsk
Disusun oleh E.V. Shendaleva, Ph.D. teknologi. ilmu pengetahuan
Publikasi tersebut berisi pedoman melaksanakan kerja praktek teori kendali otomatis.
Ditujukan untuk mahasiswa peminatan 200503, “Standardisasi dan Sertifikasi”, yang mempelajari disiplin ilmu “Dasar-Dasar Pengendalian Otomatis”.
Diterbitkan berdasarkan keputusan dewan editorial dan penerbitan
Universitas Teknik Negeri Omsk
© GOU VPO "Negara Bagian Omsk
Universitas Teknik", 2011
Kebutuhan untuk menggunakan metodologi teori manajemen untuk spesialis standardisasi dan sertifikasi muncul ketika menentukan:
1) karakteristik kuantitatif dan (atau) kualitatif dari sifat-sifat benda uji sebagai akibat dari pengaruhnya selama pengoperasiannya, ketika memodelkan suatu benda dan (atau) pengaruh, yang hukum perubahannya harus dipastikan dengan menggunakan alat otomatis sistem pengaturan;
2) sifat dinamis benda ukur dan uji;
3) pengaruh sifat dinamis alat ukur terhadap hasil pengukuran dan pengujian benda.
Metode mempelajari objek dibahas dalam kerja praktek.
Kerja Praktek 1
Fungsi dinamis
Latihan 1.1
Temukan fungsi pembobotannya w(T) menurut fungsi transisi yang diketahui
H(T) = 2(1–e –0,2 T).
Larutan
w(T)=H¢( T), oleh karena itu, ketika membedakan ekspresi aslinya
w(T)=0,4e –0,2 T .
Latihan 1.2
Temukan fungsi transfer sistem menggunakan persamaan diferensial 4 kamu¢¢( T) + 2kamu¢( T) + 10kamu(T) = 5X(T). Kondisi awal adalah nol.
Larutan
Persamaan diferensial diubah ke bentuk standar dengan membaginya dengan koefisien suku kamu(T)
0,4kamu¢¢( T) + 0,2kamu¢( T) + kamu(T) = 0,5X(T).
Persamaan yang dihasilkan diubah menurut Laplace
0,4S 2 kamu(S) + 0,2sy(S) + kamu(S) = 0,5X(S)
dan kemudian ditulis sebagai fungsi transfer:
Di mana S= sebuah + Saya w adalah operator Laplace.
Latihan 1.3
Temukan fungsi transfernya W(S) sistem menggunakan fungsi bobot yang diketahui w(T)=5–T.
Larutan
Transformasi Laplace
. (1.1)
Menggunakan hubungan antara fungsi transfer dan fungsi pembobotan W(S) = w(S), kita mendapatkan
.
Transformasi Laplace dapat diperoleh dengan perhitungan (1.1), menggunakan tabel transformasi Laplace atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab. Program di Matlab diberikan di bawah ini.
sim s t
x=5-t% fungsi waktu
y=laplace(x)% Laplace mengubah fungsi.
Latihan 1.4
Dengan menggunakan fungsi transfer sistem, temukan responsnya terhadap tindakan satu langkah (fungsi transisi)
.
Larutan
Transformasi Laplace terbalik
, (1.2)
di mana c adalah absis konvergensi X(S).
Menurut prinsip superposisi, berlaku untuk sistem linier
H(T)=H 1 (T)+H 2 (T),
Di mana H(T) – fungsi transisi dari keseluruhan sistem;
H 1 (T) – fungsi transisi dari tautan pengintegrasian
;
H 2 (T) – fungsi sementara dari bagian penguat
.
Diketahui bahwa H 1 (T)=k 1× T, H 2 (T)=k 2×δ( T), Kemudian H(T)=k 1× T+k 2×δ( T).
Transformasi invers Laplace dapat diperoleh dengan perhitungan (1.2), menggunakan tabel transformasi Laplace, atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab. Program di Matlab diberikan di bawah ini.
sims s k1 k2% penunjukan variabel simbolik
y=k1/s+k2% Laplace mengubah fungsi
x=ilatempat(y)% fungsi waktu.
Latihan 1.5
Temukan karakteristik frekuensi amplitudo dan frekuensi fase menggunakan fungsi transfer sistem yang diketahui
.
Larutan
Untuk menentukan karakteristik frekuensi amplitudo (AFC) dan karakteristik frekuensi fasa (PFC), perlu beralih dari fungsi transfer ke karakteristik amplitudo-fase. W(Saya w), mengapa mengubah argumen S → Saya w
.
Kemudian mewakili AFC dalam formulir W(Saya w)= P(w)+ iQ(w), dimana P(w) – bagian nyata, Q(w) adalah bagian imajiner dari AFC. Untuk mendapatkan bagian real dan imajiner AFC, pembilang dan penyebutnya perlu dikalikan dengan bilangan kompleks, konjugasikan ke ekspresi dalam penyebut:
Respon frekuensi dan respon fasa ditentukan masing-masing dengan rumus
, 
;
, 
Karakteristik fase amplitudo W(J w) dapat direpresentasikan dalam bentuk
.
Latihan 1.6
Tentukan sinyal kamu(T) pada keluaran sistem berdasarkan sinyal masukan yang diketahui dan fungsi alih sistem
X(T)=2sin10 T; 
.
Diketahui bahwa ketika terkena sinyal input X(T)=B dosa T sinyal keluaran ke sistem kamu(T) juga akan harmonis, tetapi akan berbeda dari amplitudo dan fasa masukan
kamu(T) = B× A(w) dosa
Di mana A(w) – respons frekuensi sistem; j(w) – respon fase sistem.
Dengan menggunakan fungsi transfer kita menentukan respon frekuensi dan respon fasa
j(w)=–arctg0.1w.
Pada frekuensi w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 dan j(10) = –arctg1=–0,25p.
Kemudian kamu(T) = 2×2 dosa(10 T–0,25p) = 4 dosa(10 T–0,25p).
1. Mendefinisikan konsep fungsi bobot.
2. Mendefinisikan konsep fungsi transisi.
3. Untuk tujuan apa transformasi Laplace digunakan saat mendeskripsikan tautan dinamis?
4. Persamaan apa yang disebut diferensial linier?
5. Untuk tujuan apa, ketika berpindah ke persamaan dalam bentuk operator, persamaan diferensial asli diubah menjadi bentuk standar?
6. Bagaimana ekspresi bilangan imajiner dihilangkan dari penyebut karakteristik fase amplitudo?
7. Tentukan perintah transformasi Laplace langsung dalam paket perangkat lunak Matlab.
8. Tentukan perintah transformasi Laplace terbalik dalam paket perangkat lunak Matlab.
Kerja Praktek 2
Fungsi pengalihan
Latihan 2.1
Temukan fungsi alih sistem berdasarkan diagram strukturnya.
Larutan
Metode utama menghubungkan tautan dalam diagram blok adalah: tautan paralel, serial, dan penghubung dengan umpan balik (bagian tautan yang khas).
Fungsi transfer suatu sistem tautan yang terhubung paralel sama dengan jumlah fungsi transfer dari masing-masing tautan (Gbr. 2.1)
. (2.1)
Beras. 2.1. Koneksi tautan paralel
Fungsi alih suatu sistem sambungan seri sama dengan hasil kali fungsi alih masing-masing sambungan (Gbr. 2.2)
(2.2)
Beras. 2.2. Koneksi seri tautan
Umpan balik adalah transfer sinyal dari keluaran suatu tautan ke masukannya, di mana sinyal umpan balik dijumlahkan secara aljabar dengan sinyal eksternal (Gbr. 2.3).
Beras. 2.3 Hubungan dengan umpan balik: a) positif, b) negatif
Fungsi transfer koneksi umpan balik positif
, (2.3)
fungsi transfer koneksi umpan balik negatif
. (2.4)
Definisi fungsi transfer sistem yang kompleks pengelolaannya dilakukan secara bertahap. Untuk melakukan ini, bagian yang berisi sambungan serial, paralel, dan sambungan dengan umpan balik diidentifikasi (bagian tautan tipikal) (Gbr. 2.4)
W 34 (S)=W 3 (S)+W 4 (S); 
.
Beras. 2.4. Diagram blok sistem kendali
Kemudian bagian tipikal dari link yang dipilih diganti dengan satu link dengan fungsi transfer terhitung dan prosedur perhitungan diulangi (Gbr. 2.5 - 2.7).
Beras. 2.5. Mengganti koneksi paralel dan loop tertutup dengan satu link
Beras. 2.6. Mengganti koneksi umpan balik dengan satu tautan
Beras. 2.7. Mengganti koneksi serial dengan satu link
(2.5)
Latihan 2.2
Tentukan fungsi alih jika fungsi alih bagian-bagian penyusunnya adalah:
Larutan
Saat mensubstitusikan ke (2.5) fungsi alih tautan
Transformasi diagram blok relatif terhadap tindakan kontrol masukan (Gbr. 2.7, 2.11) dapat diperoleh dengan perhitungan (2.5) atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab. Program di Matlab diberikan di bawah ini.
W1=tf(,)% Fungsi transmisi W 1
W2=tf(,)% Fungsi transmisi W 2
W3=tf(,)% Fungsi transmisi W 3
W4=tf(,)% Fungsi transmisi W 4
W5=tf(,)% Fungsi transmisi W 5
W34=paralel(W3,W4)% koneksi paralel ( W 3 + W 4)
W25=umpan balik(W2,W5)
W134=umpan balik(W1,W34)% umpan balik negatif
W12345=seri(W134,W25)% koneksi serial ( W 134× W 25)
W=umpan balik(W12345,1)
Latihan 2.3.
Temukan fungsi transfer sistem loop tertutup berdasarkan gangguan
Larutan
Untuk menentukan fungsi alih suatu sistem kompleks dari pengaruh gangguan, perlu disederhanakan dan dipertimbangkan relatif terhadap pengaruh masukan yang mengganggu (Gbr. 2.8 - 2.12).
Gambar.2.8. Diagram blok awal sistem otomatis
Beras. 2.9. Penyederhanaan diagram blok
Beras. 2.10. Diagram blok yang disederhanakan
Beras. 2.11. Diagram blok relatif terhadap tindakan kontrol masukan
Beras. 2.12. Blok diagram sistem relatif terhadap pengaruh yang mengganggu
Setelah membawa diagram struktur ke sirkuit tunggal, fungsi transfer untuk pengaruh yang mengganggu F(T)
(2.6)
Transformasi diagram struktur terhadap pengaruh gangguan (Gbr. 2.12) dapat diperoleh dengan perhitungan (2.6) atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab.
W1=tf(,)% Fungsi transmisi W 1
W2=tf(,)% Fungsi transmisi W 2
W3=tf(,)% Fungsi transmisi W 3
W4=tf(,)% Fungsi transmisi W 4
W5=tf(,)% Fungsi transmisi W 5
W34=paralel(W3,W4)% koneksi paralel
W25=umpan balik(W2,W5)% umpan balik negatif
W134=umpan balik(W1,W34)% umpan balik negatif
Wf=umpan balik(W25,W134)% umpan balik negatif.
Latihan 2. 4
Tentukan fungsi transfer sistem loop tertutup untuk kesalahan tersebut.
Larutan
Diagram blok untuk menentukan fungsi transfer sistem loop tertutup untuk kesalahan kontrol ditunjukkan pada Gambar. 2.13.
Beras. 2.13. Diagram blok sistem mengenai kesalahan kontrol
Fungsi transfer loop tertutup untuk kesalahan
(2.7)
Saat mengganti nilai numerik
Transformasi diagram blok relatif terhadap sinyal kesalahan kontrol (Gbr. 2.13) dapat diperoleh dengan perhitungan (2.7) atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab.
W1=tf(,)% Fungsi transmisi W 1
W2=tf(,)% Fungsi transmisi W 2
W3=tf(,)% Fungsi transmisi W 3
W4=tf(,)% Fungsi transmisi W 4
W5=tf(,)% Fungsi transmisi W 5
W34=paralel(W3,W4)% koneksi paralel)
W25=umpan balik(W2,W5)% umpan balik negatif
W134=umpan balik(W1,W34)% umpan balik negatif
Kami=umpan balik(1,W134*W25)% umpan balik negatif
Pertanyaan kontrol:
1. Sebutkan cara utama untuk menghubungkan tautan dalam diagram blok.
2. Tentukan fungsi alih sistem hubungan paralel.
3. Menentukan fungsi alih suatu sistem hubungan seri.
4. Tentukan fungsi transfer umpan balik positif.
5. Tentukan fungsi transfer umpan balik negatif.
6. Tentukan fungsi alih jalur komunikasi.
7. Perintah Matlab manakah yang digunakan untuk menentukan fungsi transfer dua link yang terhubung paralel?
8. Perintah Matlab manakah yang digunakan untuk menentukan fungsi transfer dua link yang terhubung seri?
9. Perintah Matlab manakah yang digunakan untuk menentukan fungsi transfer suatu tautan yang tercakup dalam umpan balik?
10. Gambarlah diagram blok sistem untuk menentukan fungsi transfer untuk tindakan pengendalian.
11. Tuliskan fungsi transfer untuk tindakan kontrol.
12. Gambarlah diagram blok sistem untuk menentukan fungsi transfer berdasarkan parameter pengganggu.
13. Tuliskan fungsi transfer untuk parameter yang mengganggu.
14. Gambarlah diagram blok sistem untuk menentukan fungsi transfer untuk kesalahan kontrol.
15. Tuliskan fungsi transfer untuk kesalahan kontrol.
Kerja Praktek 3
Dekomposisi fungsi transfer yang kompleks
