Mari kita pertimbangkan sistem persamaan aljabar linier(SLAU) relatif N tidak dikenal X 1 , X 2 , ..., X N :
Sistem ini dalam bentuk “runtuh” dapat ditulis sebagai berikut:
S N saya=1 A aku j X J = b Saya , saya=1,2, ..., n.
Sesuai dengan aturan perkalian matriks, sistem dipertimbangkan persamaan linear dapat ditulis di bentuk matriks Kapak=b, Di mana
,
,.
Matriks A, yang kolom-kolomnya merupakan koefisien untuk variabel-variabel yang tidak diketahui, dan baris-barisnya merupakan koefisien dari variabel-variabel yang tidak diketahui dalam persamaan yang bersesuaian disebut matriks sistem. Matriks kolom B, yang elemen-elemennya merupakan ruas kanan persamaan sistem, disebut matriks ruas kanan atau sederhananya sisi kanan sistem. Matriks kolom X , yang unsur-unsurnya tidak diketahui, disebut solusi sistem.
Suatu sistem persamaan aljabar linier ditulis dalam bentuk Kapak=b, adalah persamaan matriks.
Jika matriks sistem tidak merosot, maka dia punya matriks terbalik dan kemudian solusi sistem Kapak=b diberikan oleh rumus:
x=SEBUAH -1 B.
Contoh Selesaikan sistem 
metode matriks.
Larutan mari kita cari matriks invers untuk matriks koefisien sistem
Mari kita hitung determinannya dengan memperluas sepanjang baris pertama:
Karena Δ ≠ 0 , Itu A -1 ada.
Matriks invers ditemukan dengan benar.
Mari kita cari solusi untuk sistemnya 
Karena itu, X 1 = 1,x 2 = 2,x 3 = 3 .
Penyelidikan: 
7. Teorema Kronecker-Capelli tentang kesesuaian sistem persamaan aljabar linier.
Sistem persamaan linear memiliki bentuk:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Di sini a i j dan b i (i = ; j = ) diberikan, dan x j adalah bilangan real yang tidak diketahui. Dengan menggunakan konsep hasil kali matriks, kita dapat menulis ulang sistem (5.1) dalam bentuk:
dimana A = (ai j) adalah matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui dari sistem (5.1), yang disebut matriks sistem, X = (x 1 , x 2 ,..., xn) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T adalah vektor kolom yang masing-masing terdiri dari x j dan suku bebas b i yang tidak diketahui.
Koleksi yang dipesan N bilangan real (c 1, c 2,..., c n) disebut solusi sistem(5.1), jika sebagai hasil substitusi bilangan-bilangan ini sebagai pengganti variabel-variabel yang bersesuaian x 1, x 2,..., x n, setiap persamaan sistem berubah menjadi identitas aritmatika; dengan kata lain jika terdapat vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T sedemikian hingga AC B.
Sistem (5.1) disebut persendian, atau larut, jika ia memiliki setidaknya satu solusi. Sistem itu disebut tidak kompatibel, atau tidak dapat diselesaikan, jika tidak memiliki solusi.
,
dibentuk dengan menempatkan kolom suku bebas di sisi kanan matriks A disebut matriks yang diperluas dari sistem.
Pertanyaan tentang kompatibilitas sistem (5.1) diselesaikan dengan teorema berikut.
Teorema Kronecker-Capelli . Suatu sistem persamaan linier dikatakan konsisten jika dan hanya jika pangkat matriks A danA berimpit, yaitu. r(A) = r(A) = r.
Untuk himpunan M solusi sistem (5.1) ada tiga kemungkinan:
1) M = (dalam hal ini sistem tidak konsisten);
2) M terdiri dari satu elemen, yaitu. sistem mempunyai solusi unik (dalam hal ini sistem disebut yakin);
3) M terdiri atas lebih dari satu unsur (maka sistem disebut tidak pasti). Dalam kasus ketiga, sistem (5.1) mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga.
Sistem mempunyai solusi unik hanya jika r(A) = n. Dalam hal ini, jumlah persamaan tidak kurang dari jumlah persamaan yang tidak diketahui (mn); jika m>n, maka persamaan m-n merupakan konsekuensi dari yang lain. Jika 0 Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sembarang, Anda harus mampu menyelesaikan sistem yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui - yang disebut Sistem tipe Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistem (5.3) diselesaikan dengan salah satu cara berikut: 1) metode Gauss, atau metode menghilangkan yang tidak diketahui; 2) menurut rumus Cramer; 3) metode matriks. Contoh 2.12. Jelajahi sistem persamaan dan selesaikan jika konsisten: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Larutan. Kami menulis matriks yang diperluas dari sistem:
Mari kita hitung pangkat matriks utama sistem. Jelaslah, misalnya, minor orde kedua di pojok kiri atas = 7 0; minor orde ketiga yang memuatnya sama dengan nol: Oleh karena itu, rank matriks utama sistem adalah 2, yaitu. r(A) = 2. Untuk menghitung rank matriks yang diperluas A, perhatikan minor pembatasnya ini berarti pangkat matriks yang diperluas r(A) = 3. Karena r(A) r(A), sistemnya tidak konsisten. Pada bagian pertama, kita telah membahas beberapa materi teori, metode substitusi, serta metode penjumlahan suku demi suku pada persamaan sistem. Saya menyarankan semua orang yang mengakses situs ini melalui halaman ini untuk membaca bagian pertama. Mungkin sebagian pengunjung akan menganggap materinya terlalu sederhana, namun dalam proses penyelesaian sistem persamaan linear, saya menyampaikan sejumlah komentar dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematika secara umum. Sekarang kita akan menganalisis aturan Cramer, serta menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks invers (metode matriks). Semua materi disajikan secara sederhana, rinci dan jelas; hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem dengan menggunakan metode di atas. Pertama, kita akan melihat lebih dekat aturan Cramer untuk sistem dua persamaan linier dalam dua persamaan yang tidak diketahui. Untuk apa? – Lagi pula, sistem paling sederhana dapat diselesaikan dengan menggunakan metode sekolah, metode penjumlahan suku demi suku! Faktanya adalah, meskipun terkadang, tugas seperti itu muncul - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua persamaan yang tidak diketahui menggunakan rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami cara menggunakan aturan Cramer untuk kasus yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga persamaan yang tidak diketahui. Selain itu, ada sistem persamaan linear dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan menggunakan aturan Cramer! Pertimbangkan sistem persamaan Pada langkah pertama kita menghitung determinannya, disebut penentu utama sistem. metode Gauss. Jika , maka sistem mempunyai solusi unik, dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung dua determinan lagi: Dalam prakteknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf latin. Kami menemukan akar persamaan menggunakan rumus: Contoh 7 Memecahkan sistem persamaan linear Larutan: Kita melihat bahwa koefisien persamaannya cukup besar; di sebelah kanan terdapat pecahan desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang jarang ditemui dalam tugas-tugas praktis matematika; Saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik. Bagaimana cara mengatasi sistem seperti itu? Anda dapat mencoba menyatakan satu variabel dalam variabel lain, tetapi dalam kasus ini Anda mungkin akan mendapatkan pecahan mewah yang sangat merepotkan untuk dikerjakan, dan desain solusinya akan terlihat sangat buruk. Anda dapat mengalikan persamaan kedua dengan 6 dan mengurangkan suku demi suku, tetapi pecahan yang sama juga akan muncul di sini. Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer dapat membantu. ; ; Menjawab: , Kedua akar mempunyai ekor yang tak terhingga dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan lumrah) untuk permasalahan ekonometrik. Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan menggunakan rumus yang sudah jadi, namun ada satu peringatan. Saat menggunakan metode ini, wajib Bagian dari desain tugas adalah bagian berikut: “Ini berarti sistem memiliki solusi unik”. Jika tidak, pengulas dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer. Tidaklah berlebihan untuk memeriksa, yang dapat dengan mudah dilakukan dengan kalkulator: kita substitusikan nilai perkiraan ke sisi kiri setiap persamaan sistem. Hasilnya, dengan kesalahan kecil, Anda akan mendapatkan angka yang berada di sisi kanan. Contoh 8 Sajikan jawabannya dalam pecahan biasa biasa. Lakukan pemeriksaan. Ini adalah contoh yang bisa Anda pecahkan sendiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran). Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga hal yang tidak diketahui: Kami menemukan determinan utama sistem: Jika , maka sistem mempunyai solusi yang tak terhingga banyaknya atau tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu; Anda perlu menggunakan metode Gauss. Jika , maka sistem mempunyai solusi unik dan untuk mencari akar-akarnya kita harus menghitung tiga determinan lagi: Dan terakhir jawabannya dihitung dengan menggunakan rumus: Seperti yang Anda lihat, kasus “tiga per tiga” pada dasarnya tidak berbeda dengan kasus “dua per dua”; kolom suku bebas secara berurutan “berjalan” dari kiri ke kanan sepanjang kolom determinan utama. Contoh 9 Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer. Larutan: Mari selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer. Menjawab: Sebenarnya di sini sekali lagi tidak ada yang istimewa untuk dikomentari, karena solusinya mengikuti rumus yang sudah jadi. Tapi ada beberapa komentar. Kebetulan sebagai hasil perhitungan, diperoleh pecahan tak tereduksi yang “buruk”, misalnya: . 1) Mungkin ada kesalahan dalam perhitungan. Begitu Anda menemukan pecahan yang “buruk”, Anda perlu segera memeriksanya Apakah kondisinya ditulis ulang dengan benar?. Jika kondisi ditulis ulang tanpa kesalahan, maka Anda perlu menghitung ulang determinannya menggunakan ekspansi pada baris (kolom) lain. 2) Jika tidak ada kesalahan yang teridentifikasi dari hasil pengecekan, maka kemungkinan besar terjadi kesalahan ketik pada kondisi tugas. Dalam hal ini, kerjakan tugas itu dengan tenang dan TELITI sampai akhir, lalu pastikan untuk memeriksa dan kami mencatatnya dengan clean sheet setelah keputusan itu. Tentu saja, memeriksa jawaban pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi itu akan menjadi argumen yang melemahkan bagi guru, yang sangat suka memberi nilai minus untuk omong kosong seperti itu. Cara menangani pecahan dijelaskan secara rinci pada jawaban Contoh 8. Jika Anda memiliki komputer, gunakan program otomatis untuk memeriksanya, yang dapat diunduh secara gratis di awal pelajaran. Omong-omong, yang paling menguntungkan adalah menggunakan program ini segera (bahkan sebelum memulai solusi); Anda akan segera melihat langkah perantara di mana Anda melakukan kesalahan! Kalkulator yang sama secara otomatis menghitung solusi sistem menggunakan metode matriks. Komentar kedua. Dari waktu ke waktu ada sistem yang persamaannya tidak memiliki beberapa variabel, misalnya: Contoh 10 Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer. Ini adalah contoh solusi mandiri (contoh desain akhir dan jawaban di akhir pelajaran). Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 hal yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis berdasarkan prinsip yang sama. Anda dapat melihat contoh langsungnya pada pelajaran Sifat-sifat Penentu. Mengurangi orde determinan - lima determinan orde 4 cukup dapat dipecahkan. Meskipun tugas tersebut sudah sangat mengingatkan pada sepatu seorang profesor di dada seorang mahasiswa yang beruntung. Metode matriks invers pada dasarnya merupakan kasus khusus persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 dari pelajaran yang ditentukan). Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus mampu memperluas determinan, mencari invers suatu matriks, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan diberikan seiring kemajuan penjelasan. Contoh 11 Selesaikan sistem menggunakan metode matriks Larutan: Mari kita tulis sistemnya dalam bentuk matriks: Silakan lihat sistem persamaan dan matriks. Saya rasa semua orang memahami prinsip yang digunakan untuk menulis elemen ke dalam matriks. Satu-satunya komentar: jika beberapa variabel hilang dari persamaan, maka angka nol harus ditempatkan di tempat yang sesuai dalam matriks. Kita mencari matriks inversnya menggunakan rumus: Pertama, mari kita lihat determinannya: Di sini determinannya diperluas pada baris pertama. Perhatian! Jika , maka matriks inversnya tidak ada, dan tidak mungkin menyelesaikan sistem menggunakan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan metode menghilangkan yang tidak diketahui (metode Gauss). Sekarang kita perlu menghitung 9 minor dan menuliskannya ke dalam matriks minor Referensi: Penting untuk mengetahui arti subskrip ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor garis tempat elemen tersebut berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen berada: Misalkan ada matriks persegi orde ke-n Matriks A -1 disebut matriks terbalik terhadap matriks A, jika A*A -1 = E, dimana E adalah matriks identitas orde ke-n. Matriks identitas- matriks persegi yang semua elemen sepanjang diagonal utama, dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, adalah satu, dan sisanya adalah nol, misalnya: matriks terbalik mungkin ada hanya untuk matriks persegi itu. untuk matriks-matriks yang jumlah baris dan kolomnya berhimpitan. Agar suatu matriks memiliki matriks invers, matriks tersebut perlu dan cukup bersifat non-singular. Matriks A = (A1, A2,...A n) disebut tidak merosot, jika vektor kolom bebas linier. Banyaknya vektor kolom bebas linier suatu matriks disebut pangkat matriks. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa agar suatu matriks invers ada, pangkat matriks tersebut perlu dan cukup sama dengan dimensinya, yaitu. r = n. Untuk matriks A, carilah invers matriks A -1 Solusi: Kita tuliskan matriks A dan letakkan matriks identitas E di sebelah kanan. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kita mereduksi matriks A menjadi matriks identitas E. Perhitungannya diberikan pada Tabel 31.1. Mari kita periksa kebenaran perhitungannya dengan mengalikan matriks asli A dan matriks invers A -1. Hasil perkalian matriks diperoleh matriks identitas. Oleh karena itu, perhitungan dilakukan dengan benar. Menjawab: Persamaan matriks dapat terlihat seperti: KAPAK = B, HA = B, AXB = C, dimana A, B, C adalah matriks yang ditentukan, X adalah matriks yang diinginkan. Persamaan matriks diselesaikan dengan mengalikan persamaan tersebut dengan matriks invers.
Misalnya, untuk mencari matriks dari persamaan, Anda perlu mengalikan persamaan ini dengan persamaan di sebelah kiri. Oleh karena itu, untuk mencari solusi persamaan tersebut, Anda perlu mencari matriks invers dan mengalikannya dengan matriks di sisi kanan persamaan. Persamaan lainnya diselesaikan dengan cara yang sama. Selesaikan persamaan AX = B jika Larutan: Karena invers matriksnya sama dengan (lihat contoh 1) Selain yang lain, mereka juga digunakan metode matriks. Metode ini didasarkan pada aljabar linier dan matriks vektor. Metode tersebut digunakan untuk tujuan menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks dan multidimensi. Paling sering, metode ini digunakan ketika diperlukan untuk melakukan penilaian komparatif terhadap fungsi organisasi dan divisi strukturalnya. Dalam proses penerapan metode analisis matriks, dapat dibedakan beberapa tahapan. Pada tahap pertama suatu sistem indikator ekonomi sedang dibentuk dan atas dasar itu disusun matriks data awal, yang merupakan tabel di mana nomor-nomor sistem ditampilkan dalam baris-baris individualnya (saya = 1,2,....,n), dan di kolom vertikal - jumlah indikator (j = 1,2,....,m). Pada tahap kedua Untuk setiap kolom vertikal, nilai indikator terbesar yang tersedia diidentifikasi, yang diambil sebagai satu. Setelah itu, semua jumlah yang tercermin dalam kolom ini dibagi dengan nilai terbesar dan matriks koefisien standar terbentuk. Pada tahap ketiga semua komponen matriks dikuadratkan. Jika mempunyai signifikansi yang berbeda, maka setiap indikator matriks diberi koefisien bobot tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pendapat para ahli. Yang terakhir, tahap keempat nilai peringkat yang ditemukan Rj dikelompokkan berdasarkan kenaikan atau penurunannya. Metode matriks yang diuraikan harus digunakan, misalnya, dalam analisis komparatif berbagai proyek investasi, serta dalam menilai indikator ekonomi lainnya dari kegiatan organisasi. (kadang-kadang metode ini disebut juga metode matriks atau metode matriks terbalik) memerlukan pengenalan awal dengan konsep seperti bentuk matriks notasi SLAE. Metode matriks invers dimaksudkan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier yang determinan matriks sistemnya berbeda dari nol. Tentu saja, ini mengasumsikan bahwa matriks sistem adalah persegi (konsep determinan hanya ada untuk matriks persegi). Inti dari metode matriks invers dapat dinyatakan dalam tiga poin: SLAE apa pun dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai $A\cdot X=B$, dengan $A$ adalah matriks sistem, $B$ adalah matriks suku bebas, $X$ adalah matriks yang tidak diketahui. Biarkan matriks $A^(-1)$ ada. Mari kalikan kedua ruas persamaan $A\cdot X=B$ dengan matriks $A^(-1)$ di sebelah kiri: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Karena $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ adalah matriks identitas), persamaan di atas menjadi: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ Karena $E\cdot X=X$, maka: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Contoh No.1 Selesaikan SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ menggunakan matriks invers. $$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\kiri(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\kanan). $$ Mari kita cari matriks invers ke matriks sistem, yaitu. Mari kita hitung $A^(-1)$. Pada contoh No.2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\kiri(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan) . $$ Sekarang mari kita substitusikan ketiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) ke dalam persamaan $X=A^(-1)\cdot B$. Kemudian kita melakukan perkalian matriks $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\kanan)\cdot \kiri(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\kanan)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \kiri(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\kanan). $$ Jadi, kita mendapat persamaan $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( susunan )\kanan)$. Dari persamaan ini kita mendapatkan: $x_1=-3$, $x_2=2$. Menjawab: $x_1=-3$, $x_2=2$. Contoh No.2 Selesaikan SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ menggunakan metode matriks terbalik. Mari kita tuliskan matriks sistem $A$, matriks suku bebas $B$ dan matriks tak diketahui $X$. $$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\kiri(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\kanan). $$ Sekarang giliran mencari matriks invers ke matriks sistem, yaitu. temukan $A^(-1)$. Pada contoh nomor 3 pada halaman yang didedikasikan untuk mencari matriks invers, matriks invers telah ditemukan. Mari gunakan hasil akhir dan tulis $A^(-1)$: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \kiri(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array)\kanan). $$ Sekarang mari kita substitusikan ketiga matriks ($X$, $A^(-1)$, $B$) ke dalam persamaan $X=A^(-1)\cdot B$, lalu lakukan perkalian matriks di ruas kanan kesetaraan ini. $$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \kanan)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\kanan)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \kiri(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\kanan) $$ Jadi, kita mendapat persamaan $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 \ \9\end(array)\kanan)$. Dari persamaan ini kita mendapatkan: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$. Ini adalah konsep yang menggeneralisasi semua kemungkinan operasi yang dilakukan dengan matriks. Matriks matematika - tabel elemen. Tentang meja di mana M garis dan N kolom, matriks ini dikatakan mempunyai dimensi M pada N. Tampilan umum matriks: Untuk solusi matriks perlu dipahami apa itu matriks dan mengetahui parameter utamanya. Elemen utama matriks: Jenis matriks utama: Matriksnya bisa simetris terhadap diagonal utama dan sekunder. Artinya, jika sebuah 12 = sebuah 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n = a mn-1, maka matriks tersebut simetris terhadap diagonal utama. Hanya matriks persegi yang bisa simetris. Hampir semua metode penyelesaian matriks terdiri dari mencari determinannya N-urutan ke-dan kebanyakan cukup rumit. Untuk mencari determinan orde 2 dan 3 ada cara lain yang lebih rasional. Untuk menghitung determinan suatu matriks A Urutan ke-2, perlu untuk mengurangi hasil kali elemen-elemen diagonal sekunder dari hasil kali elemen-elemen diagonal utama: Di bawah ini aturan mencari determinan orde ke-3. Aturan segitiga yang disederhanakan sebagai salah satu metode penyelesaian matriks, dapat digambarkan sebagai berikut: Dengan kata lain, hasil kali unsur-unsur determinan pertama yang dihubungkan oleh garis lurus diambil dengan tanda “+”; Selain itu, untuk determinan ke-2, produk yang bersangkutan diambil dengan tanda “-”, yaitu menurut skema berikut: Pada menyelesaikan matriks menggunakan aturan Sarrus, di sebelah kanan determinan, tambahkan 2 kolom pertama dan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian pada diagonal utama dan diagonal-diagonal yang sejajar diambil dengan tanda “+”; dan hasil kali elemen-elemen yang bersesuaian dari diagonal sekunder dan diagonal-diagonal yang sejajar dengannya, dengan tanda “-”: Menguraikan determinan dalam baris atau kolom saat menyelesaikan matriks. Penentunya sama dengan jumlah hasil kali elemen-elemen baris determinan dan komplemen aljabarnya. Biasanya baris/kolom yang berisi angka nol dipilih. Baris atau kolom di mana dekomposisi dilakukan akan ditandai dengan panah. Mengurangi determinan menjadi bentuk segitiga saat menyelesaikan matriks. Pada menyelesaikan matriks metode mereduksi determinan menjadi bentuk segitiga, cara kerjanya seperti ini: dengan menggunakan transformasi paling sederhana pada baris atau kolom, determinan menjadi berbentuk segitiga dan kemudian nilainya, sesuai dengan sifat-sifat determinan, akan sama dengan hasil kali elemen-elemen yang ada pada diagonal utama. Teorema Laplace untuk menyelesaikan matriks. Saat menyelesaikan matriks menggunakan teorema Laplace, Anda perlu mengetahui teorema itu sendiri. Teorema Laplace: Biarkan Δ
- ini adalah penentu N urutan -th. Kami memilih apa saja k baris (atau kolom), disediakan k≤
n - 1. Dalam hal ini, jumlah produk semua anak di bawah umur k Urutan -th yang terdapat pada yang dipilih k baris (kolom), dengan komplemen aljabarnya akan sama dengan determinan. Urutan tindakan untuk solusi matriks terbalik: Untuk solusi sistem matriks Metode Gaussian paling sering digunakan. Metode Gauss adalah metode standar untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE) dan terdiri dari fakta bahwa variabel dihilangkan secara berurutan, yaitu dengan bantuan perubahan dasar, sistem persamaan dibawa ke sistem persamaan segitiga. bentuk dan darinya, secara berurutan, mulai dari yang terakhir (berdasarkan nomor), temukan setiap elemen sistem. metode Gauss adalah alat paling serbaguna dan terbaik untuk menemukan solusi matriks. Jika suatu sistem memiliki jumlah solusi yang tak terhingga atau sistem tersebut tidak kompatibel, maka sistem tersebut tidak dapat diselesaikan menggunakan aturan Cramer dan metode matriks. Metode Gauss juga menyiratkan pergerakan langsung (mengurangi matriks yang diperluas ke bentuk bertahap, yaitu memperoleh nol di bawah diagonal utama) dan membalikkan (mendapatkan nol di atas diagonal utama matriks yang diperluas). Pergerakan maju adalah metode Gauss, dan pergerakan sebaliknya adalah metode Gauss-Jordan. Metode Gauss-Jordan berbeda dengan metode Gauss hanya pada urutan eliminasi variabelnya.
.
Dan
, 
, 
, 
, yang berarti sistem memiliki solusi unik.
.
Saya merekomendasikan algoritma “perawatan” berikut. Jika Anda tidak memiliki komputer, lakukan ini:
Di sini, di persamaan pertama tidak ada variabel, di persamaan kedua tidak ada variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan determinan utama dengan benar dan hati-hati: 
– angka nol ditempatkan sebagai pengganti variabel yang hilang.
Omong-omong, adalah rasional untuk membuka determinan dengan nol sesuai dengan baris (kolom) di mana nol berada, karena perhitungannya jauh lebih sedikit.
Menyelesaikan sistem menggunakan matriks invers
, Di mana 
, di mana adalah matriks yang ditransposisikan dari komplemen aljabar dari elemen-elemen matriks yang bersesuaian.
Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa elemen tersebut berada pada baris pertama, kolom ketiga, dan, misalnya, elemen tersebut berada pada baris ke-3, kolom ke-2.
Teorema kondisi keberadaan matriks invers
Algoritma untuk mencari matriks invers
Contoh 1 
Memecahkan persamaan matriks
Metode matriks dalam analisis ekonomi
Metode penyelesaian matriks.
Menemukan determinan orde 2.
Metode mencari determinan orde 3.
Memecahkan matriks invers.
Memecahkan sistem matriks.
