Persamaan diferensial Bernoulli merupakan persamaan bentuk
dimana n≠0,n≠1.
Persamaan ini dapat disusun ulang dengan menggunakan substitusi
Saat latihan persamaan diferensial Bernoulli biasanya tidak menghasilkan persamaan linier, tetapi langsung diselesaikan dengan menggunakan metode yang sama dengan persamaan linier - baik metode Bernoulli maupun metode variasi konstanta sembarang.
Mari kita lihat cara menyelesaikan persamaan diferensial Bernoulli menggunakan substitusi y=uv (metode Bernoulli). Skema penyelesaiannya sama dengan .
Contoh. Selesaikan persamaan:
1) y'x+y=-xy².
Ini adalah persamaan diferensial Bernoulli. Mari kita bawa ke bentuk standar. Caranya, bagi kedua bagian dengan x: y’+y/x=-y². Di sini p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Tapi kita tidak membutuhkannya untuk menyelesaikannya tampilan standar. Kami akan bekerja dengan formulir pencatatan yang diberikan dalam kondisi.
1) Penggantian y=uv, dimana u=u(x) dan v=v(x) adalah beberapa fungsi baru dari x. Maka y'=(uv)'=u'v+v'u. Kami mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam kondisi: (u'v+v'u)x+uv=-xu²v².
2) Mari kita buka tanda kurung: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Sekarang mari kita kelompokkan suku-suku tersebut dengan v: v+v'ux=-xu²v² (I) (kita tidak menyentuh suku yang berderajat v, yang berada di ruas kanan persamaan). Sekarang kita mengharuskan ekspresi dalam tanda kurung sama dengan nol: u’x+u=0. Dan ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan u dan x. Setelah menyelesaikannya, kami akan menemukanmu. Kita substitusikan u=du/dx dan pisahkan variabelnya: x·du/dx=-u. Kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan membaginya dengan xu≠0:
(saat menemukan u C kita menganggapnya sama dengan nol).
3) Dalam persamaan (I) kita substitusikan =0 dan fungsi yang ditemukan u=1/x. Kita mempunyai persamaan: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². Setelah disederhanakan: v’=-(1/x)·v². Ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan v dan x. Kita ganti v’=dv/dx dan pisahkan variabelnya: dv/dx=-(1/x)·v². Kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan membaginya dengan v²≠0:
(kami mengambil -C untuk, dengan mengalikan kedua ruas dengan -1, menghilangkan minusnya). Jadi, kalikan dengan (-1):
(seseorang tidak dapat mengambil C, tetapi ln│C│, dan dalam hal ini adalah v=1/ln│Cx│).
2) 2y'+2y=xy².
Mari kita pastikan bahwa ini adalah persamaan Bernoulli. Membagi kedua bagian dengan 2, kita mendapatkan y'+y=(x/2) y². Di sini p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Kami menyelesaikan persamaan menggunakan metode Bernoulli.
1) Penggantian y=uv, y'=u'v+v'u. Kita substitusikan ekspresi ini ke kondisi awal: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².
2) Buka tanda kurung: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Sekarang mari kita kelompokkan suku-suku yang mengandung v: +2v’u=xu²v² (II). Kita mensyaratkan bahwa ekspresi dalam tanda kurung sama dengan nol: 2u’+2u=0, maka u’+u=0. Ini adalah persamaan yang dapat dipisahkan untuk u dan x. Ayo selesaikan dan temukan kamu. Kita substitusikan u’=du/dx, dari mana du/dx=-u. Mengalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan membaginya dengan u≠0, kita mendapatkan: du/u=-dx. Mari berintegrasi:
3) Substitusikan ke (II) =0 dan
Sekarang kita substitusikan v’=dv/dx dan pisahkan variabelnya:
Mari berintegrasi:
Ruas kiri persamaan merupakan integral tabel, integral ruas kanan dicari dengan menggunakan rumus integrasi per bagian:
Mengganti v dan du yang ditemukan menggunakan rumus integrasi per bagian, kita mendapatkan:
Dan sejak itu
Mari kita buat C=-C:
4) Karena y=uv, kita substitusikan fungsi yang ditemukan u dan v:
3) Integrasikan persamaan x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.
Mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan x²(x-1)≠0 dan pindahkan suku dengan y² ke ruas kanan:
Ini adalah persamaan Bernoulli
1) Penggantian y=uv, y'=u'v+v'u. Seperti biasa, kita substitusikan ekspresi ini ke kondisi awal: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.
2) Oleh karena itu x²(x-1)u'v+x²(x-1)v'u-x(x-2)uv=u²v². Kami mengelompokkan suku-suku yang mengandung v (v² - jangan sentuh):
v+x²(x-1)v'u=u²v² (III). Sekarang kita mengharuskan ekspresi dalam tanda kurung sama dengan nol: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, maka x²(x-1)u’=x(x-2)u. Dalam persamaan kita pisahkan variabel u dan x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Kita mengalikan kedua ruas persamaan dengan dx dan membaginya dengan x²(x-1)u≠0:
Di sisi kiri persamaan adalah integral tabel. Pecahan rasional di sisi kanan Anda perlu menguraikannya menjadi pecahan sederhana:
Ketika x=1: 1-2=A·0+B·1, maka B=-1.
Pada x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, sehingga A=2.
ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. Menurut sifat-sifat logaritma: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, maka u=x²/(x-1).
3) Dalam persamaan (III) kita substitusikan =0 dan u=x²/(x-1). Kita peroleh: 0+x²(x-1)v'u=u²v²,
v'=dv/dx, gantikan:
alih-alih C, kita ambil - C, sehingga dengan mengalikan kedua ruas dengan (-1), kita menghilangkan minusnya:
Sekarang mari kita kurangi ekspresi di ruas kanan menjadi penyebut yang sama dan temukan v:
4) Karena y=uv, dengan mensubstitusi fungsi yang ditemukan u dan v, kita mendapatkan:
Contoh tes mandiri:
1) Mari kita pastikan bahwa ini adalah persamaan Bernoulli. Membagi kedua ruas dengan x, kita peroleh:
1) Penggantian y=uv, dari mana y'=u'v+v'u. Kita substitusikan y dan y’ ini ke dalam kondisi awal:
2) Kelompokkan suku-sukunya dengan v:
Sekarang kita mengharuskan ekspresi dalam tanda kurung sama dengan nol dan mencari u dari kondisi ini:
Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan:
3) Dalam persamaan (*) kita substitusikan =0 dan u=1/x²:
Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan yang dihasilkan.
Persamaan berbentuk y' + P(x)y = Q(x), dimana P(x) dan Q(x) diketahui merupakan fungsi dari x, linier terhadap fungsi y dan turunannya y', disebut persamaan diferensial linier orde pertama.
Jika q(x)=0, persamaan tersebut disebut persamaan homogen linier. q(x)=0 – persamaan linier tak homogen.
Persamaan linier direduksi menjadi dua persamaan yang variabelnya dapat dipisahkan dengan menggunakan substitusi y = u*v, dimana u = u(x) dan v = v(x) adalah beberapa fungsi kontinu bantu.
Jadi, y = u*v, y' = u'*v + u * v' (1),
lalu kita tulis ulang persamaan aslinya menjadi: u’*v + u * v’ + P(x)*v = Q(x) (2).
Karena fungsi y yang tidak diketahui dicari sebagai hasil kali dua fungsi, salah satunya dapat dipilih secara sembarang, yang lain dapat ditentukan dengan persamaan (2).
Mari kita pilih sehingga v’ + P(x)*v = 0 (3). Untuk melakukan hal ini, cukuplah v(x) menjadi solusi parsial persamaan (3) (pada C = 0). Mari temukan solusi ini:
V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)
Mengganti fungsi (4) ke persamaan (2), kita memperoleh persamaan kedua dengan variabel yang dapat dipisahkan, dari mana kita menemukan fungsi u(x):
kamu' * = Q(x) ; du = Q(x) *; kamu = 
+C (5)
Akhirnya kita mendapatkan:
y(x) = u(x)*v(x) = *( 
+C)
Persamaan Bernoulli:kamu’ + kamu = X* kamu 3
Persamaan ini berbentuk: y’ + P(x)*y = y’’ * Q(x), dimana P(x) dan Q(x) merupakan fungsi kontinu.
Jika n = 0, maka persamaan Bernoulli menjadi persamaan diferensial linier. Jika n = 1, persamaan tersebut menjadi persamaan yang dapat dipisahkan.
Secara umum, ketika n ≠ 0, 1, eq. Bernoulli direduksi menjadi persamaan diferensial linier dengan menggunakan substitusi: z = y 1- n
Persamaan diferensial baru untuk fungsi z(x) memiliki bentuk: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) dan dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti diferensial linier. persamaan orde 1.
20. Persamaan diferensial orde tinggi.
Mari kita perhatikan persamaan yang tidak memuat fungsi secara eksplisit:
|
|
Orde persamaan ini dikurangi satu dengan menggunakan substitusi:
Memang benar:
Dan kita mendapatkan persamaan yang ordenya diturunkan satu:
Beda. persamaan orde yang lebih tinggi dari persamaan kedua berbentuk dan , dimana bilangan real, dan fungsinya f(x) kontinu pada interval integrasi X.
Tidak selalu mungkin untuk menyelesaikan persamaan tersebut secara analitis dan metode perkiraan biasanya digunakan. Namun, dalam beberapa kasus hal ini mungkin ditemukan keputusan bersama.
Dalil.
Solusi umum kamu 0
persamaan diferensial homogen linier pada interval X dengan koefisien kontinu aktif X adalah kombinasi linier N solusi parsial bebas linier dari LODE 
dengan sewenang-wenang koefisien konstan 
, itu adalah 
.
Dalil.
Keputusan bersama kamu diferensial linier tidak homogen
persamaan pada interval X dengan yang terus menerus pada saat yang sama
diantara X koefisien dan fungsi f(x) mewakili jumlahnya
Di mana kamu 0 adalah solusi umum dari LODE yang bersangkutan, dan merupakan solusi khusus dari LODE asli.
Jadi, solusi umum persamaan diferensial linier tak homogen dengan konstanta
mencari koefisien dalam bentuk , dimana - beberapa
solusi pribadinya, dan 
– solusi umum dari diferensial homogen yang bersesuaian
persamaan
21. Cobaan dan peristiwa. Jenis acara. Contoh.
Pengujian adalah penciptaan serangkaian kondisi tertentu untuk terjadinya peristiwa. Contoh: melempar dadu
Peristiwa – terjadinya/tidak terjadinya satu atau beberapa hasil tes; hasil tes. Contoh: menggelindingkan angka 2
Peristiwa acak adalah peristiwa yang mungkin terjadi atau tidak terjadi selama pengujian tertentu. Contoh: menggulirkan angka yang lebih besar dari 5
Dapat diandalkan - suatu peristiwa yang pasti terjadi selama pengujian tertentu. Contoh: menggulirkan angka yang lebih besar dari atau sama dengan 1
Kemungkinan - suatu peristiwa yang dapat terjadi selama pengujian tertentu. Contoh: menggelindingkan angka 6
Mustahil - suatu peristiwa yang tidak dapat terjadi selama pengujian tertentu. Contoh: menggelindingkan angka 7
Biarkan A menjadi suatu peristiwa. Yang dimaksud dengan peristiwa yang berlawanan dengannya adalah suatu peristiwa yang terdiri dari tidak terjadinya peristiwa A. Sebutan: Ᾱ. Contoh: A – nomor 2 dilempar, Ᾱ – nomor lainnya dilempar
Peristiwa A dan B tidak dapat dipertemukan jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak termasuk terjadinya peristiwa lainnya dalam percobaan yang sama. Contoh: mendapatkan angka 1 dan 3 dalam satu kali lemparan.
Peristiwa A dan B disebut gabungan apabila dapat terjadi dalam satu kali percobaan. Contoh: mendapatkan angka lebih besar dari 2 dan angka 4 pada pelemparan yang sama.
22. Kumpulan acara lengkap. Contoh.
Sekelompok kejadian lengkap - kejadian A, B, C, D, ..., L, yang dianggap satu-satunya kejadian yang mungkin jika, sebagai hasil dari setiap pengujian, setidaknya salah satu dari kejadian tersebut pasti akan terjadi. Contoh: muncul angka 1, angka 2, 3, 4, 5, 6 pada dadu.
23. Frekuensi kejadian. Definisi statistik probabilitas.
Misalkan n pengujian dilakukan, dan kejadian A terjadi sebanyak m kali. Rasio m:n ini adalah frekuensi terjadinya kejadian A.
Def. Probabilitas suatu kejadian acak adalah bilangan konstan yang diasosiasikan dengan suatu kejadian tertentu, yang frekuensi kejadiannya berfluktuasi dalam serangkaian pengujian yang panjang.
Probabilitas dihitung sebelum percobaan, dan frekuensi setelahnya.
24. Definisi klasik tentang probabilitas. Sifat-sifat probabilitas suatu peristiwa.
Probabilitas suatu kejadian x adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan kejadian A dengan jumlah total semua kemungkinan hasil percobaan yang tidak kompatibel dan mungkin unik secara berpasangan. P(A) =
Properti probabilitas peristiwa:
Untuk acara apa pun A 0<=m<=n
Membagi setiap suku dengan n, kita memperoleh peluang suatu kejadian A: 0<=Р(А) <=1
Jika m=0, maka kejadian tersebut mustahil: P(A)=0
Jika m=n, maka kejadian tersebut reliabel: P(A)=1
Jika m 25. Definisi geometris dari probabilitas. Contoh. Definisi klasik tentang probabilitas memerlukan pertimbangan atas sejumlah hasil dasar yang terbatas, dan kemungkinan yang sama. Namun dalam praktiknya sering kali terdapat pengujian yang jumlah kemungkinan hasilnya tidak terbatas. ODA. Jika suatu titik muncul secara acak pada suatu daerah dengan ukuran S satu dimensi, dua dimensi atau tiga dimensi (suatu ukuran adalah panjang, luas atau volumenya), maka peluang kemunculannya pada bagian dari daerah ukuran S tersebut adalah sama ke dimana S adalah ukuran geometri yang menyatakan jumlah total semua mungkin dan sama mungkinnya hasil uji coba ini, dan S Saya– ukuran yang menyatakan jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa A. Contoh 1. Sebuah lingkaran berjari-jari R ditempatkan pada lingkaran yang lebih kecil yang berjari-jari r. Tentukan peluang bahwa sebuah titik yang dilemparkan secara acak ke dalam lingkaran yang lebih besar juga akan jatuh ke dalam lingkaran kecil. Contoh 2. Misalkan suatu ruas dengan panjang l dimasukkan ke dalam ruas dengan panjang L. Tentukan peluang kejadian A “sebuah titik yang dilempar secara acak jatuh pada ruas dengan panjang l”. Contoh 3. Sebuah titik dipilih secara acak dalam lingkaran. Berapa peluang terambilnya jarak ke pusat lingkaran lebih dari setengahnya? Contoh 4. Kedua orang itu sepakat untuk bertemu di suatu tempat antara pukul dua hingga tiga sore. Orang pertama yang datang menunggu orang lain selama 10 menit lalu pergi. Berapa peluang orang-orang ini bertemu jika masing-masing dari mereka dapat tiba kapan saja selama jam yang ditentukan, tanpa memperhatikan jam lainnya? 26. Elemen kombinatorik: Penempatan, permutasi, kombinasi. 1) Permutasi disebut tatanan yang ditetapkan dalam himpunan berhingga. Jumlah semua permutasi yang berbeda dihitung dengan rumus 2) Penempatan dari N elemen oleh M disebut apa saja tertib
subset dari himpunan utama yang mengandung m elemen. 3) Kombinasi dari N elemen oleh M disebut apa saja kacau
subset dari himpunan utama yang mengandung elemen. Persamaan diferensial y" +a 0 (x)y=b(x)y n disebut persamaan Bernoulli.
Tujuan layanan. Kalkulator online dapat digunakan untuk memeriksa solusinya Persamaan diferensial Bernoulli. Contoh 1. Temukan solusi umum persamaan y" + 2xy = 2xy 3. Ini adalah persamaan Bernoulli untuk n=3. Membagi kedua ruas persamaan dengan y 3 kita peroleh. Lakukan perubahan. Maka persamaan tersebut ditulis ulang menjadi -z " + 4xz = 4x. Memecahkan persamaan ini dengan metode variasi konstanta sembarang, kita peroleh Contoh 2. kamu"+kamu+kamu 2 =0 Bagilah dengan y 2 Kami membuat pengganti: Kita peroleh: -z" + z = -1 atau z" - z = 1 Contoh 3. xy'+2y+x 5 y 3 e x =0 persamaan Bernoulli adalah salah satu yang paling terkenal persamaan diferensial nonlinier orde pertama. Itu tertulis dalam formulir Di mana A(X) Dan B(X) adalah fungsi kontinu. Jika M= 0, maka persamaan Bernoulli menjadi persamaan diferensial linier. Dalam kasus ketika M= 1, persamaan tersebut menjadi persamaan yang dapat dipisahkan. Secara umum, kapan M≠ 0,1, persamaan Bernoulli direduksi menjadi persamaan diferensial linier menggunakan substitusi Persamaan diferensial baru untuk fungsi tersebut z(X) memiliki bentuk dan dapat diselesaikan dengan menggunakan metode yang dijelaskan pada halaman Persamaan diferensial linier orde pertama. METODE BERNOULI. Persamaan yang dipertimbangkan dapat diselesaikan dengan metode Bernoulli. Untuk melakukan ini, kita mencari solusi persamaan awal dalam bentuk produk dua fungsi: di mana kamu, v- berfungsi dari X. Bedakan: Substitusikan ke persamaan awal (1): Bentuk persamaan diferensial orde pertama ditelepon persamaan dalam diferensial total, jika ruas kirinya mewakili diferensial total suatu fungsi, mis. Dalil. Agar persamaan (1) menjadi persamaan diferensial total, syaratnya terpenuhi dalam beberapa domain perubahan variabel yang terhubung sederhana. Integral umum persamaan (1) berbentuk atau Contoh 1.
Selesaikan persamaan diferensial.
Larutan.
Mari kita periksa apakah persamaan ini merupakan persamaan diferensial total:
jadi begitulah kondisi (2) terpenuhi. Jadi, persamaan ini merupakan persamaan diferensial total dan
oleh karena itu, di mana masih merupakan fungsi yang belum ditentukan.
Mengintegrasikan, kita mendapatkan. Turunan parsial dari fungsi yang ditemukan harus sama dengan, yang memberikan dari mana sehingga Jadi,.
Integral umum persamaan diferensial awal.
Saat mengintegrasikan beberapa persamaan diferensial, suku-sukunya dapat dikelompokkan sedemikian rupa sehingga diperoleh kombinasi yang mudah diintegrasikan.
Operator diferensial linier dan sifat-sifatnya. Himpunan fungsi yang mempunyai interval ( A
, B
) tidak kurang N
turunannya, membentuk ruang linier. Pertimbangkan operatornya L
N
(kamu
), yang menampilkan fungsinya kamu
(X
), yang mempunyai turunan, menjadi suatu fungsi yang mempunyai k
- N
turunan. Persamaan diferensial linier orde pertama adalah persamaan yang linier terhadap suatu fungsi dan turunannya yang belum diketahui. Sepertinya \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x), dimana p(x) dan q(x) diberikan fungsi x, kontinu pada daerah dimana persamaan (1) perlu diintegrasikan. Jika q(x)\equiv0 , maka persamaan (1) dipanggil homogen linier. Ini adalah persamaan yang dapat dipisahkan dan memiliki solusi umum Y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!, Solusi umum persamaan tak homogen dapat ditemukan metode variasi konstanta sembarang, yang terdiri dari kenyataan bahwa solusi persamaan (1) dicari dalam bentuk Y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\kanan), dimana C(x) adalah fungsi baru yang tidak diketahui dari x. Contoh 1. Selesaikan persamaan y"+2xy=2xe^(-x^2) . Larutan. Mari kita gunakan metode variasi konstan. Perhatikan persamaan homogen y"+2xy=0, yang sesuai dengan persamaan tak homogen ini. Ini adalah persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Solusi umumnya berbentuk y=Ce^(-x^2) . Kita mencari solusi umum persamaan tak homogen dalam bentuk y=C(x)e^(-x^2), dengan C(x) adalah fungsi x yang tidak diketahui. Substitusinya menghasilkan C"(x)=2x, sehingga C(x)=x^2+C. Jadi, solusi umum persamaan tak homogen tersebut adalah y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , dimana C - konstanta integrasi. Komentar. Ternyata persamaan diferensialnya linier di x sebagai fungsi dari y. Bentuk normal dari persamaan tersebut adalah \frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y). Contoh 2. Selesaikan persamaannya \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y). Larutan. Persamaan ini linier jika kita menganggap x sebagai fungsi dari y: \frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y). Kami menggunakan metode variasi konstanta sembarang. Pertama kita selesaikan persamaan homogen yang sesuai \frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0, yang merupakan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Solusi umumnya berbentuk x=Ce^(\sin(y)),~C=\teks(konstanta). Kita mencari solusi umum persamaan dalam bentuk x=C(y)e^(\sin(y)), dengan C(y) adalah fungsi y yang tidak diketahui. Mengganti, kita dapatkan C"(y)e^(\sin(y))=\sin2y atau C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y. Dari sini, mengintegrasikan per bagian, kita punya \begin(sejajar)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y))\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(sejajar) Jadi, C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C. X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y)) Persamaan aslinya juga dapat diintegrasikan sebagai berikut. Kami percaya kamu=kamu(x)v(x), dimana u(x) dan v(x) adalah fungsi x yang tidak diketahui, salah satunya, misalnya v(x), dapat dipilih secara sembarang. Mengganti y=u(x)v(x) menjadi , setelah transformasi kita peroleh Vu"+(pv+v")u=q(x). Menentukan v(x) dari kondisi v"+pv=0, kita kemudian mencari dari vu"+(pv+v")u=q(x) fungsi u(x) dan, akibatnya, solusi y=uv dari persamaannya \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). Sebagai v(x) kita dapat mengambil penyelesaian persamaan apa pun yang sering terjadi v"+pv=0,~v\tidak\ekuiv0. Contoh 3. Selesaikan masalah Cauchy: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4. Larutan. Kita mencari solusi umum persamaan dalam bentuk y=u(x)v(x) ; kita punya y"=u"v+uv". Substitusikan ekspresi y dan y" ke dalam persamaan awal, kita akan mendapatkan X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) atau x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1) Kita mencari fungsi v=v(x) dari kondisi x(x-1)v"+v=0. Mengambil solusi tertentu dari persamaan terakhir, misalnya v=\frac(x)(x-1) dan menggantinya, kita mendapatkan persamaan u"=2x-1, dari situ kita menemukan fungsi u(x)=x^2-x+C. Oleh karena itu, solusi umum persamaan tersebut x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) akan Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1), atau y=\frac(Cx)(x-1)+x^2. Dengan menggunakan kondisi awal y|_(x=2)=4, kita memperoleh persamaan untuk mencari C 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, dari mana C=0 ; jadi solusi dari permasalahan Cauchy adalah fungsi y=x^2. Contoh 4. Diketahui ada hubungan antara arus i dan gaya gerak listrik E pada suatu rangkaian yang mempunyai hambatan R dan induktansi diri L. E=Ri+L\frac(di)(dt), di mana R dan L adalah konstanta. Jika kita menganggap E sebagai fungsi waktu t, kita memperoleh persamaan linier tak homogen untuk kuat arus i: \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L). Temukan kekuatan arus i(t) untuk kasus kapan E=E_0=\teks(konstan) dan saya(0)=I_0 . Larutan. Kita punya \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. Solusi umum persamaan ini berbentuk i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). Dengan menggunakan kondisi awal (13), kita peroleh dari C=I_0-\frac(E_0)(kanan), jadi solusi yang diinginkan adalah I(t)=\frac(E_0)(R)+\kiri(I_0-\frac(E_0)(R)\kanan)\!e^(-(R/L)t). Hal ini menunjukkan bahwa pada t\to+\infty kekuatan arus i(t) cenderung ke nilai konstan \frac(E_0)(R) . Contoh 5. Keluarga C_\alpha dari kurva integral persamaan linier tak homogen y"+p(x)y=q(x) diberikan. Tunjukkan bahwa garis singgung pada titik-titik yang bersesuaian dengan kurva C_\alpha yang ditentukan oleh persamaan linier berpotongan di satu titik (Gbr. 13). Larutan. Perhatikan garis singgung sembarang kurva C_\alpha di titik M(x,y) Persamaan garis singgung di titik M(x,y) berbentuk \eta-q(x)(\xi-x)=y, dengan \xi,\eta adalah koordinat titik singgung saat ini. Menurut definisi, pada titik-titik yang bersesuaian, x adalah konstan dan y adalah variabel. Mengambil dua garis singgung pada garis C_\alpha pada titik-titik yang bersesuaian, untuk koordinat titik S perpotongannya, kita peroleh \xi=x+\frac(1)(p(x)), \kuad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)). Hal ini menunjukkan bahwa semua garis singgung kurva C_\alpha pada titik-titik yang bersesuaian ( x tetap) berpotongan di titik yang sama S\!\kiri(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\kanan). Menghilangkan argumen x dalam sistem, kita memperoleh persamaan tempat kedudukan titik S\titik dua f(\xi,\eta)=0. Contoh 6. Temukan solusi persamaan tersebut y"-y=\cos(x)-\sin(x), memenuhi kondisi: y dibatasi pada y\to+\infty . Larutan. Solusi umum persamaan ini adalah y=Ce^x+\sin(x) . Solusi apa pun terhadap persamaan yang diperoleh dari solusi umum untuk C\ne0 tidak akan terbatas, karena untuk x\to+\infty fungsi \sin(x) dibatasi dan e^x\to+\infty . Oleh karena itu, persamaan ini memiliki solusi unik y=\sin(x) , dibatasi pada x\to+\infty , yang diperoleh dari solusi umum di C=0 . Persamaan diferensial Bernoulli seperti \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, di mana n\ne0;1 (untuk n=0 dan n=1 persamaan ini linier). Menggunakan penggantian variabel z=\frac(1)(y^(n-1)) Persamaan Bernoulli direduksi menjadi persamaan linier dan diintegrasikan menjadi persamaan linier. Contoh 7. Selesaikan persamaan Bernoulli y"-xy=-xy^3. Larutan. Bagilah kedua ruas persamaan dengan y^3: \frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x Membuat perubahan variabel \frac(1)(y^2)=z\Panah Kanan-\frac(2y")(y^3)=z", Di mana \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). Setelah substitusi, persamaan terakhir berubah menjadi persamaan linier -\frac(z")(2)-xz=-x atau z"+2xz=2x, solusi umumnya adalah z=1+Ce^(-x^2). \frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2) atau y^2(1+Ce^(-x^2))=1. Komentar. Persamaan Bernoulli juga dapat diintegrasikan dengan metode variasi konstanta, seperti persamaan linier, dan menggunakan substitusi y(x)=u(x)v(x) . Contoh 8. Selesaikan persamaan Bernoulli xy"+y=y^2\ln(x). . Larutan. Mari kita terapkan metode variasi konstanta sembarang. Solusi umum persamaan homogen yang bersesuaian xy"+y=0 berbentuk y=\frac(C)(x). Kita mencari solusi umum persamaan tersebut dalam bentuk y=\frac(C(x)) (x) , di mana C(x) - fungsi baru yang tidak diketahui... Menggantikan ke persamaan asli, kita akan mendapatkan C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2). Untuk mencari fungsi C(x), kita memperoleh persamaan dengan variabel-variabel yang dapat dipisahkan, yang darinya, dengan memisahkan variabel-variabel tersebut dan mengintegrasikannya, kita temukan \frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Panah Kanan~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)). Jadi, solusi umum persamaan aslinya y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)). Beberapa persamaan nonlinier orde pertama dapat direduksi menjadi persamaan linier atau persamaan Bernoulli dengan menggunakan perubahan variabel yang berhasil ditemukan. Contoh 9. Selesaikan persamaannya y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0. Larutan. Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0.. Membagi kedua ruas persamaan dengan 2\cos^2\frac(y)(2), kita mendapatkan \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\nama operator(tg)\frac(y)(2)+x=0. Penggantian \namaoperator(tg)\frac(y)(2)=z\Panah Kanan\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2)) mereduksi persamaan ini menjadi linier \frac(dz)(dx)+z=-x, solusi umumnya adalah z=1-x+Ce^(-x) . Mengganti z dengan ekspresinya dalam bentuk y, kita memperoleh integral umum persamaan ini \namaoperator(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x). Dalam beberapa persamaan, fungsi y(x) yang diinginkan mungkin berada di bawah tanda integral. Dalam kasus ini, terkadang persamaan ini dapat direduksi menjadi persamaan diferensial melalui diferensiasi. Contoh 10. Selesaikan persamaannya x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0. Larutan. Membedakan kedua ruas persamaan ini terhadap x, kita peroleh \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (X) atau Sumber informasi
Karena dengan n=0 diperoleh persamaan linier, dan dengan n=1 - dengan variabel yang dapat dipisahkan, kita asumsikan bahwa n ≠ 0 dan n ≠ 1. Bagilah kedua ruas (1) dengan yn. Kalau begitu, kita punya. Mengganti ekspresi ini, kita mendapatkan 
, atau, yang merupakan hal yang sama, z" + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Ini adalah persamaan linier yang kita tahu cara menyelesaikannya.
Di mana 
atau, apa yang sama, 
.
kamu"+kamu = -kamu 2
kamu"/kamu 2 + 1/kamu = -1
z=1/y n-1 , yaitu z = 1/tahun 2-1 = 1/tahun
z = 1/tahun
z"= -y"/y 2
Larutan.
a) Solusi melalui persamaan Bernoulli.
Mari kita sajikan dalam bentuk: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Ini adalah persamaan Bernoulli untuk n=3. Membagi kedua ruas persamaan dengan y 3 kita mendapatkan: xy"/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x. Kita lakukan penggantian: z=1/y 2. Kemudian z"=-2/y 3 dan oleh karena itu persamaan tersebut ditulis ulang dalam bentuk : -xz"/2+2z=-x 5 e x. Ini adalah persamaan tak homogen. Perhatikan persamaan homogen yang bersangkutan: -xz"/2+2z=0
1. Menyelesaikannya, kita mendapatkan: z"=4z/x
Mengintegrasikan, kita mendapatkan:
ln(z) = 4ln(z)
z=x4. Sekarang kita mencari penyelesaian persamaan awal dalam bentuk: y(x) = C(x)x 4 , y"(x) = C(x)"x 4 + C(x)(x 4)"
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)" x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)" x 5 /2 = -x 5 e x atau C(x)" = 2e x . Mengintegrasikan, kita mendapatkan: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Dari kondisi y(x)=C(x)y kita peroleh: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) atau y = Cx 4 +2x 4 e x. Karena z=1/y 2, kita peroleh: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x
(2) Sebagai ay Mari kita ambil solusi bukan nol pada persamaan tersebut: 
(3) Persamaan (3) merupakan persamaan dengan variabel-variabel yang dapat dipisahkan. Setelah kami menemukan solusi khususnya v = v(x), substitusikan ke (2). Karena memenuhi persamaan (3), ekspresi dalam tanda kurung menjadi nol. Kita mendapatkan: 
Ini juga merupakan persamaan yang dapat dipisahkan. Kami menemukan solusi umumnya, dan dengan itu solusi persamaan aslinya kamu = uv.64. Persamaan diferensial total. Faktor pengintegrasian. Metode solusi
65. Persamaan linier diferensial biasa orde tinggi: homogen dan tidak homogen. Operator diferensial linier, sifat-sifatnya (dengan bukti).
Mengganti persamaan ini ke dalam x=C(y)e^(\sin(y)) , kita memperoleh solusi umum untuk persamaan awal, dan oleh karena itu ke persamaan ini: persamaan Bernoulli
Dari sini kita memperoleh integral umum persamaan ini
