Metode turunan paling curam dan keturunan dengan koordinat bahkan untuk fungsi kuadrat memerlukan jumlah yang tak terbatas iterasi. Namun, dimungkinkan untuk membuat arah penurunan seperti itu untuk fungsi kuadrat
- (3.12)
- (di mana r adalah vektor berdimensi n) dengan matriks definit positif simetris A, proses penurunan akan konvergen tepat ke titik minimum dalam sejumlah langkah berhingga.
Matriks definit positif memungkinkan kita memperkenalkan norma suatu vektor sebagai berikut:
Definisi (3.13) berarti hasil kali skalar dua vektor x dan y sekarang berarti besaran (x, Ау). Vektor ortogonal dalam pengertian perkalian titik ini
(x, Ау) = 0 (3,14)
disebut konjugat (sehubungan dengan matriks A tertentu).
Berdasarkan ini kelompok besar metode: gradien konjugasi, arah konjugasi, garis singgung paralel dan lain-lain.
Untuk fungsi kuadrat mereka digunakan dengan keberhasilan yang sama. Metode arah konjugasi, yang detail algoritmanya dipilih dengan cermat, dapat menggeneralisasi fungsi arbitrer dengan baik.
Pertama mari kita perhatikan bagaimana metode ini diterapkan pada bentuk kuadrat (3.12). Untuk melakukan ini kita memerlukan beberapa sifat vektor konjugasi.
Misalkan ada sistem vektor konjugasi berpasangan x i. Masing-masing vektor tersebut kita normalkan dalam pengertian norma (3.14), kemudian hubungan antar vektor tersebut berbentuk
Mari kita buktikan bahwa vektor-vektor yang saling terkonjugasi adalah bebas linier. Dari kesetaraan
yang bertentangan dengan kepastian positif matriks. Kontradiksi ini membuktikan pernyataan kami. Artinya sistem vektor konjugasi n merupakan basis dalam ruang berdimensi n. Untuk suatu matriks tertentu terdapat basis-basis yang jumlahnya tak terhingga yang terdiri dari vektor-vektor yang saling konjugasi.
Mari kita cari basis konjugasi x i, 1 in. Mari kita pilih titik sembarang r 0 . Setiap pergerakan dari titik ini dapat diperluas ke basis konjugasi
Mengganti ekspresi ini menjadi sisi kanan rumus (3.12), kita ubah dengan memperhatikan konjugasi basis (3.15), menjadi bentuk berikut:
Jumlah terakhir terdiri dari suku-suku, yang masing-masing hanya bersesuaian dengan satu komponen penjumlahan (3.16). Artinya gerak sepanjang salah satu arah konjugasi x i hanya mengubah satu suku dari jumlah tersebut (3.17), tanpa mempengaruhi suku lainnya.
Dari titik r 0 kita melakukan penurunan secara bergantian ke minimum sepanjang setiap arah konjugasi x saya . Setiap penurunan meminimalkan sukunya dalam jumlah (3.17), sehingga fungsi kuadrat minimum tercapai secara tepat setelah melakukan satu siklus penurunan, yaitu dalam jumlah langkah yang terbatas.
Basis konjugasi dapat dibangun dengan menggunakan metode bidang singgung sejajar.
Misalkan suatu garis tertentu sejajar dengan vektor x, dan biarkan fungsi kuadrat pada garis tersebut mencapai nilai minimumnya di titik r 0 . Mari kita substitusikan persamaan garis ini r = r 0 + bx ke dalam ekspresi (3.12) dan mengharuskan kondisi minimum fungsi dipenuhi
c(b) = (r 0) + b 2 + b (x, 2Аr 0 + b),
dan masukkan (dts/db) b-0 = 0. Ini menyiratkan persamaan yang dipenuhi oleh titik minimum:
(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3.18)
Misalkan pada garis lain, sejajar dengan garis pertama, fungsi tersebut mengambil nilai minimum di titik r 1; maka kita juga menemukan (x, 2Аr 1 + b) = 0. Mengurangi persamaan ini dari (3.18), kita memperoleh
(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3.19)
Oleh karena itu, arah yang menghubungkan titik-titik minimum pada dua garis sejajar adalah konjugasi dengan arah garis-garis tersebut.
Jadi, selalu mungkin untuk membuat konjugasi vektor ke vektor x yang diberikan secara sembarang. Untuk melakukan ini, cukup menggambar dua garis yang sejajar dengan x dan temukan pada setiap garis minimum bentuk kuadrat (3.12). Vektor r 1 r 0 yang menghubungkan minimum ini adalah konjugasi ke x. Perhatikan bahwa garis lurus menyentuh garis datar pada titik di mana fungsi pada garis lurus ini bernilai minimum; Nama metode dikaitkan dengan ini.
Misalkan ada dua bidang berdimensi m sejajar yang dihasilkan oleh sistem vektor konjugasi x i, 1 imn. Biarkan fungsi kuadrat mencapai nilai minimumnya pada bidang-bidang ini masing-masing di titik r 0 dan r 1. Dengan menggunakan alasan serupa, kita dapat membuktikan bahwa vektor r 1 r 0 yang menghubungkan titik-titik minimum adalah konjugasi dengan semua vektor x i. Oleh karena itu, jika sistem vektor konjugasi x i yang tidak lengkap diberikan, maka dengan menggunakan metode ini selalu dimungkinkan untuk membuat vektor r 1 r 0 yang terkonjugasi dengan semua vektor sistem ini.
Mari kita perhatikan satu siklus proses pembangunan basis konjugasi. Misalkan suatu basis telah dibangun di mana m vektor-vektor terakhir saling terkonjugasi, dan nm pertama vektor tidak terkonjugasi terakhir. Mari kita cari fungsi kuadrat minimum (3.12) pada suatu bidang berdimensi m yang dihasilkan oleh m vektor terakhir dari basis. Karena vektor-vektor ini saling terkonjugasi, untuk melakukan ini cukup dengan memilih titik r 0 secara sewenang-wenang dan menurunkan titik tersebut secara bergantian di sepanjang masing-masing arah ini (minimal). Mari kita nyatakan titik minimum pada bidang ini dengan r 1 .
Sekarang dari titik r 1 kita akan melakukan penurunan bergantian sepanjang n - m vektor basis pertama. Penurunan ini akan menghilangkan lintasan dari bidang pertama dan membawanya ke suatu titik r 2 . Dari titik r 2 kita akan kembali turun sepanjang m arah terakhir, yang akan menuju ke titik r 3 . Penurunan ini berarti menemukan titik minimum secara tepat pada bidang kedua yang sejajar dengan bidang pertama. Akibatnya, arah r 3 - r 1 terkonjugasi dengan m vektor basis terakhir.
Jika salah satu arah nonkonjugasi pada basis diganti dengan arah r 3 - r 1, maka pada basis baru sudah m + 1 arah akan saling terkonjugasi.
Mari kita mulai menghitung siklus dari dasar yang sewenang-wenang; untuk itu kita dapat berasumsi bahwa m=1. Proses yang dijelaskan dalam satu siklus meningkatkan jumlah vektor konjugasi dalam basis sebanyak satu. Artinya dalam n - 1 siklus semua vektor basis akan menjadi konjugasi, dan siklus berikutnya akan mengarahkan lintasan ke titik minimum fungsi kuadrat (3.12).
Meskipun konsep basis konjugasi didefinisikan hanya untuk fungsi kuadrat, proses yang dijelaskan di atas disusun sedemikian rupa sehingga dapat diterapkan secara formal pada fungsi arbitrer. Tentu saja, dalam hal ini perlu mencari nilai minimum sepanjang arah dengan menggunakan metode parabola, tanpa menggunakan rumus apa pun yang terkait dengan jenis fungsi kuadrat tertentu (3.12).
Dalam lingkungan minimum yang kecil, pertambahan fungsi yang cukup halus biasanya direpresentasikan dalam bentuk bentuk kuadrat pasti positif simetris seperti (3.2). Jika representasi ini akurat, maka metode arah konjugasi akan menyatu dalam sejumlah langkah yang terbatas. Namun representasinya hanyalah perkiraan, sehingga jumlah langkahnya tidak terbatas; tetapi konvergensi metode ini mendekati nilai minimum akan berbentuk kuadrat.
Berkat konvergensi kuadrat, metode arah konjugasi memungkinkan seseorang menemukan nilai minimum dengan akurasi tinggi. Metode dengan konvergensi linier biasanya kurang akurat dalam menentukan nilai koordinat ekstrem.
Metode arah konjugasi rupanya yang paling banyak digunakan metode yang efektif turun Ia bekerja dengan baik dengan minimum yang merosot, dan dengan jurang yang dapat dipecahkan, dan dengan adanya bagian relief yang cenderung lemah - “dataran tinggi”, dan dengan sejumlah besar variabel - hingga dua lusin.
Mekanika klasik dan elektrodinamika, ketika mencoba menerapkannya untuk menjelaskan fenomena atom, membuahkan hasil yang sangat bertentangan dengan eksperimen. Contoh paling mencolok dari hal ini adalah upaya menerapkan elektrodinamika klasik pada model atom, di mana elektron bergerak mengelilingi inti dalam orbit klasik. Dengan pergerakan seperti itu, seperti halnya pergerakan muatan dengan percepatan, elektron harus terus menerus memancarkan energi dalam bentuk gelombang elektromagnetik dan, pada akhirnya, pasti akan jatuh ke inti bermuatan positif. Jadi - dari sudut pandang elektrodinamika klasik - atom tidak stabil. Seperti yang bisa kita lihat, tesis ini tidak benar. Kontradiksi yang begitu dalam antara teori dan eksperimen menunjukkan bahwa deskripsi objek mikro memerlukan perubahan mendasar dalam konsep dan hukum dasar klasik.
Dari sejumlah data eksperimen (seperti difraksi elektron) dapat disimpulkan bahwa mekanika yang mengatur fenomena atom - mekanika kuantum - harus didasarkan pada gagasan tentang gerak yang secara fundamental berbeda dari gagasan mekanika klasik. Dalam mekanika kuantum tidak ada konsep lintasan partikel, dan akibatnya, karakteristik dinamis lainnya. Tesis ini dirumuskan dalam PRINSIP KETIDAKPASTIAN HEISENBERG:
Tidak mungkin mengukur koordinat dan momentum suatu objek mikro secara bersamaan dengan akurasi apa pun:
DXDP³ H (II.1)
Perlu diperhatikan (dan ini akan dibahas nanti), hubungan ketidakpastian tidak hanya menghubungkan koordinat dan momentum, tetapi juga sejumlah besaran lainnya.
Sekarang mari kita kembali membahas peralatan matematika mekanika kuantum.
Operator A merupakan kebiasaan untuk menyebut aturan yang sesuai dengan fungsi masing-masing F fungsi yang sesuai J :
j= A F (II.3)
Contoh operator paling sederhana: akar kuadrat, diferensiasi, dll.
Tidak semua fungsi dapat dipengaruhi oleh operator mana pun; misalnya, fungsi yang tidak dapat didiferensiasi tidak dapat dipengaruhi oleh operator diferensiasi. Oleh karena itu, operator apa pun hanya dapat didefinisikan pada kelas fungsi tertentu dan dianggap terdefinisi jika tidak hanya aturan yang digunakan untuk mengubah satu fungsi menjadi fungsi lain, tetapi juga himpunan fungsi yang digunakannya.
Dengan analogi aljabar bilangan, kita dapat memperkenalkan aljabar operator:
1) Operator penjumlahan atau selisih
(A ± B ) · F = A · F ± B · F (II.4)
2) Produk operator
AB · F = A (B · F ) (II.5)
itu. pertama pada fungsinya F operator bertindak B , membentuk beberapa fungsi baru, yang kemudian ditindaklanjuti oleh operator A . DI DALAM kasus umum tindakan operator AB tidak sesuai dengan tindakan operator B.A. .
Memang benar jika SEBUAH=d/dx Dan B=x ,
Itu AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,
A BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx
Jika AB=BA, maka operatornya disebut komuter, dan jika AB-BAº(A,B) (II.6), maka mereka tidak melakukan perjalanan. Ekspresi dalam tanda kurung disebut komutator.
Dalam mekanika kuantum, operator self-adjoint linier (atau Hermitian) biasanya digunakan. Properti linearitas artinya
A(C 1 F 1 +c 2 F 2 )F =C 1 AF 1 +c 2 AF 2 (II.7)
Di mana C 1 Dan C 2 - konstanta, dan F 1 Dan F 2 - fungsi arbitrer yang operatornya ditentukan A. Ini properti matematika berkaitan erat dengan prinsip superposisi.
Operator Hermitian yang beradjoin sendiri adalah operator yang persamaannya berlaku:
dari 1 * (x)(Af 2 (x))dx = dari 2 (x)(A * F 1 * (x))dx (II.8)
ini diasumsikan bahwa A ditentukan pada F 1 * (X) Dan F 2 (X) dan semua integral yang termasuk dalam (1.8) ada. Persyaratan Hermitianitas sangat penting untuk mekanika kuantum dan di bawah ini kita akan mengetahui alasannya.
Seperti yang telah disebutkan, tindakan operator direduksi menjadi transformasi satu fungsi menjadi fungsi lain, namun ada juga kasus yang mungkin terjadi ketika, sebagai akibat dari tindakan operator, fungsi asli tidak berubah atau dikalikan dengan konstanta. Contoh paling sederhana:
Dapat dikatakan bahwa setiap operator A dapat dibandingkan persamaan linier jenis:
AF = af (II.9) ,
Di mana A = konstanta. A adalah nilai eigen operator, dan F - fungsi operator itu sendiri. Persamaan ini disebut persamaan nilai eigen. Nilai konstanta yang persamaan (1.9) mengambil solusi nontrivial disebut nilai eigen. Bersama-sama mereka membentuk spektrum nilai eigen, yang dapat bersifat diskrit, kontinu, atau campuran. Setiap nilai berhubungan dengan satu atau lebih fungsi eigen F T , dan jika hanya satu fungsi yang sesuai dengan satu nilai eigen, maka fungsi tersebut non-degenerasi, dan jika ada beberapa, maka fungsi tersebut mengalami degenerasi.
Fungsi eigen dan nilai eigen pertapa (pelengkap diri) operator memiliki sejumlah properti:
1. Nilai eigen dari operator tersebut adalah nyata.
2. Fungsinya sendiri F 1 Dan F 2 operator tersebut memiliki nilai eigen yang berbeda Dengan 1 Dan C 2 masing-masing ortogonal satu sama lain, mis. ò F 1 * (X) F 2 (X) dx = 0 (II.10)
3. Mereka harus dinormalisasi menjadi kesatuan dengan memasukkan faktor normalisasi khusus, yang dalam kasus umum dijelaskan dengan kondisi ortonormalitas: ò F M * (X) F N (X) dx =D M N , D M N =0 pada M ¹ N Dan D M N =1 pada M = N (II.11)
4. Jika dua operator A Dan B memiliki sistem fungsi eigen yang sama, kemudian fungsi tersebut berpindah, dan pernyataan sebaliknya juga benar
5. Fungsi eigen dari operator Hermitian membentuk himpunan ortonormal lengkap, yaitu. fungsi apa pun yang didefinisikan dalam domain variabel yang sama dapat direpresentasikan sebagai serangkaian fungsi eigen operator A:
(II.12),
Di mana C N- beberapa konstanta, dan perluasan ini akan tepat.
Sifat terakhir ini sangat penting untuk peralatan mekanika kuantum, karena atas dasar itu dimungkinkan untuk membangun representasi matriks operator dan menerapkan peralatan aljabar linier yang kuat.
Memang, sejak di (II.12) fungsi asli F N (X) dianggap diketahui, lalu mencari fungsinya F(x) perlu dan cukup untuk menemukan semua koefisien muai ( C N). Sekarang mari kita pertimbangkan beberapa operator B, yang bertindak berdasarkan fungsi tersebut c(x) dan mentransfernya ke F(x):
F(X) = BC(X) (II.13)
Sekarang mari kita bayangkan fungsinya F(x) Dan Bc(x) dalam bentuk barisan (II.12):
(II.14)
dan memasukkannya ke dalam (II.13)
(II.15)
(II.16)
Kalikan kedua ruas persamaan dengan F k * (X) dan mengintegrasikan, dengan mempertimbangkan kondisi ortonormalitas:
Persamaan (II.17) menggambarkan transisi dari suatu fungsi c(x) berfungsi F(x), yang dilakukan dengan menetapkan semua koefisien M buku. Himpunan semua besaran M buku ada operatornya B dalam representasi matriks dan dapat ditulis sebagai
Jadi, operator sembarang B dalam representasi matriks dapat direpresentasikan sebagai tabel bilangan persegi, matriks, dan representasi ini hanya akan ditentukan oleh jenis operator dan himpunan awal fungsi basis.
Sekarang mari kita mengingat kembali secara singkat ketentuan-ketentuan utama teori matriks. Secara umum matriks merupakan himpunan bilangan real atau kompleks A aku j, disebut elemen matriks, disusun dalam tabel persegi panjang
Indeks Saya Dan J menunjukkan bahwa elemen tersebut A aku j terletak di persimpangan Saya baris ke-dan J kolom ke-. Jika matriks memiliki N garis dan M kolom, maka dikatakan mempunyai dimensi ( N X M), Jika N = M, maka matriks tersebut disebut persegi. Matriks persegi panjang berukuran ( 1 X M) disebut vektor baris, dan ( N x1) adalah vektor kolom. Elemen matriks A aku j pada Saya = J disebut diagonal, matriks yang semua elemennya kecuali diagonalnya sama dengan nol disebut diagonal, dan matriks diagonal yang semua elemennya sama dengan satu disebut kesatuan. Jumlah elemen diagonalnya disebut jejak: Sp.
Sangat mudah untuk membuat aljabar matriks, yang akan direduksi menjadi aturan berikut:
1. Matriks dan dikatakan sama jika untuk semua Saya Dan J persamaannya benar: A aku j = B aku j
2. Jumlah matriks dan dimensi ( N X M) akan menjadi matriks berdimensi ( N X M) sedemikian rupa untuk semua orang Saya Dan J persamaannya benar: C aku j = A aku j + B aku j
3. Hasil kali matriks dengan bilangan sembarang A akan ada matriks dengan dimensi yang sama, sehingga untuk semua Saya Dan J persamaannya benar: C aku j = A A aku j
4. Hasil kali matriks dimensi ( N X M) ke dalam matriks dimensi ( M X P) disebut matriks berdimensi ( N X P) seperti yang
(II.20)
5. Suatu matriks disebut konjugat kompleks jika memuat semua elemen matriks A aku j digantikan oleh konjugat kompleks A aku j * . Suatu matriks dikatakan transposisi jika diperoleh dengan mengganti baris dengan kolom dan sebaliknya: A ’ aku j = A Ji. Suatu matriks yang ditransposisikan dan konjugat kompleks disebut konjugat dan dilambangkan
FUNGSI TERHUBUNG
Konsep teori fungsi, yang merupakan cerminan konkrit dari operator involutif tertentu untuk kelas fungsi yang bersangkutan.
1) S.f. ke fungsi bernilai kompleks .
ditelepon suatu fungsi yang nilainya merupakan konjugasi kompleks dengan nilai f.
2) S.f. ke fungsi harmonik - lihat Konjugasi fungsi harmonik.
3) S.f. k -integral periodik pada fungsi f(x) disebut. fungsi
itu ada dan bertepatan hampir di mana-mana dengan -sum, atau jumlah Abel-Poisson deret trigonometri konjugasi.
4) S.f. berfungsi 
didefinisikan pada ruang vektor X yang bersifat dualitas (sehubungan dengan bentuk bilinear
Untuk fungsi yang ditentukan pada kamu, fungsi konjugasi didefinisikan dengan cara yang sama.
S.f. ke fungsi dari satu variabel 
akan ada fungsi
S.f. berfungsi 
di ruang Hilbert X, hasil kali skalar adalah fungsinya 
S.f. menjadi normal 
di ruang yang dinormalisasi akan ada fungsi N*(kamu) ,
sama dengan nol jika dan sama dengan jika
Jika f mulus dan tumbuh lebih cepat di tak terhingga fungsi linear, maka f* tidak lebih dari Legenda fungsi f. Untuk fungsi satu dimensi yang sangat cembung, definisi yang setara dengan (*) diberikan oleh W. Young, dengan istilah lain. W. Jung mendefinisikan S.f. berfungsi
dimana terus menerus dan terus meningkat, berdasarkan relasi
dimana fungsi invers Definisi (*) untuk fungsi satu dimensi pertama kali dikemukakan oleh S. Mandelbrojt, dalam kasus berdimensi hingga oleh V. Fenchel, dalam kasus berdimensi tak hingga oleh J. Moreau dan A. Brønsted. Untuk fungsi cembung dan konjugasinya, fungsi Young
Fungsi S. merupakan fungsi tertutup cembung. Operator konjugasi*: secara unik menampilkan himpunan cembung yang tepat fungsi tertutup pada X adalah kumpulan fungsi tertutup cembung sejati pada Y (Fenchel - Moreau).
Lihat dan untuk lebih jelasnya.
Lihat juga Analisis cembung, Fungsi dukungan, Dualitas dalam masalah ekstrim dan analisis cembung.
menyala.: Joung W.H., lProc. Roy. sosial. A
Ensiklopedia matematika. - M.: Ensiklopedia Soviet. I.M.Vinogradov. 1977-1985.
Lihat apa itu “FUNGSI TERHUBUNG” di kamus lain:
Fungsi pendukung himpunan A yang terletak pada ruang vektor X adalah fungsi sA yang didefinisikan dalam ruang vektor Y yang berdualitas dengannya melalui relasi Misalnya, O. f. satuan wadah dalam ruang yang dinormalisasi dipertimbangkan dalam... ... Ensiklopedia Matematika
Fungsi yang terkait dengan representasi integral dari solusi masalah nilai batas persamaan diferensial. G.f. masalah nilai batas untuk persamaan diferensial linier solusi mendasar persamaan yang memenuhi syarat batas homogen.... ... Ensiklopedia Matematika
Fungsi anti-analitik, fungsi dari satu atau lebih variabel kompleks yang merupakan konjugasi kompleks ke fungsi holomorfik (lihat Fungsi analitik). E.D.Solomentsev... Ensiklopedia Matematika
Kontrol, fungsi u(t), termasuk dalam persamaan diferensial nilai-nilai gerombolan pada setiap saat dapat dipilih secara sewenang-wenang. Biasanya, pembatasan dikenakan pada kisaran perubahan u(t) untuk setiap t dimana U adalah himpunan tertutup tertentu di... ... Ensiklopedia Matematika
Tampilan berkelanjutan yang mempertahankan bentuk figur yang sangat kecil. Konsep dasar. Pemetaan kontinu w=f(z) suatu wilayah G dari ruang Euclidean berdimensi n ke dalam ruang Euclidean berdimensi n disebut. konformal pada suatu titik jika pada titik ini telah... Ensiklopedia Matematika
1) Transformasi matematika analisis, mewujudkan dualitas antar objek dalam ruang ganda (bersama dengan dualitas proyektif dalam geometri analitik dan dualitas polar dalam geometri cembung). Biar lancar fungsinya,... ... Ensiklopedia Matematika
1) P. t. tentang fungsi konjugasi: biarkan periodik fungsi berkelanjutan dengan periode 2p dan fungsi konjugasi trigonometri dengan f(t); maka jika f(t).memenuhi kondisi Lipschitz terhadap eksponen di 0
- (mod k) fungsi c(n)=c(n; k) pada himpunan bilangan bulat, memenuhi syarat: Dengan kata lain, D.x. (mod k) adalah aritmatika. fungsi yang tidak identik nol bersifat perkalian penuh dan periodik dengan periode k. Konsep D.x. masuk P........ Ensiklopedia Matematika
Salah satu generalisasi integral Lebesgue yang dikemukakan oleh A. Denjoy (A. Denjoy, 1919), dipelajari secara rinci oleh T. J. Box (T. J. Boks, 1921). Fungsi sebenarnya f(x).pada ruas [a, b]secara periodik (dengan periode b a) berlanjut sepanjang garis. Untuk… … Ensiklopedia Matematika
Integral ganda dimana merupakan fungsi tertentu (umumnya bernilai kompleks) dari variabel riil, fungsi integral persegi, fungsi arbitrer (juga bernilai kompleks), integral persegi, dan fungsi konjugasi kompleks c. Jika,… … Ensiklopedia Matematika
1 1 4 LAMPIRAN B: KONSEP TEORITIS
Prinsip subsistem berpasangan
Ketika suatu sistem material teridentifikasi, lingkungan yang sesuai di mana sistem ini berada secara otomatis muncul. Karena lingkungan selalu lebih besar dari sistem, maka evolusi sistem ditentukan oleh perubahan lingkungan. Gagasan evolusi menyiratkan dua aspek utama dan, dalam arti tertentu, aspek alternatif: konservasi (C) dan perubahan (I). Jika salah satunya hilang, maka tidak ada evolusi: sistem akan hilang atau stabil. Rasio perubahan dan konservasi (I/S) mencirikan plastisitas evolusioner sistem. Perhatikan bahwa kondisi ini bersifat alternatif: semakin banyak Dan, semakin sedikit C dan, sebaliknya, karena keduanya saling melengkapi menjadi satu: C + I = 1.
Untuk implementasi yang lebih baik hanya pada aspek pertama - pelestarian - akan lebih menguntungkan jika sistem menjadi berkelanjutan, stabil, tidak dapat diubah, yaitu, sejauh mungkin (bukan dalam arti geometris, tetapi dalam arti informasi) dari destruktif faktor lingkungan (Gbr. B.1). Namun, faktor-faktor yang sama ini secara bersamaan memberikan informasi yang berguna tentang arah perubahan lingkungan. Dan jika sistem perlu beradaptasi terhadapnya, berubah sesuai dengan perubahan lingkungan (aspek kedua), maka sistem tersebut harus sensitif, labil dan dapat diubah, yaitu “lebih dekat” (dalam arti informasi) dengan lingkungan yang berbahaya. faktor sebanyak mungkin. Akibatnya, terdapat situasi konflik ketika sistem, di satu sisi, harus “lebih jauh” dari lingkungannya, dan di sisi lain, “lebih dekat”.
Masalah Lingkungan
Untuk berubah (mendapatkan informasi berguna) Anda harus “lebih dekat”
Solusi yang memungkinkan
Berada pada “jarak optimal”
Bagilah menjadi dua subsistem terkait
Beras. B.1 Hubungan antara sistem dan lingkungan
Solusi pertama yang mungkin: sistem secara keseluruhan harus berada pada “jarak” optimal dari lingkungan, memilih kompromi optimal tertentu dari I/C. Solusi kedua: untuk membagi menjadi dua subsistem yang digabungkan, menghilangkan satu subsistem yang “menjauh” darinya lingkungan, dan mendekatkan yang lain. Solusi kedua menghilangkan persyaratan yang saling bertentangan untuk pelestarian (C) dan perubahan (I) sistem, dan memungkinkan Anda memaksimalkan keduanya secara bersamaan, sehingga meningkatkan stabilitas sistem secara keseluruhan. Kesimpulan ini mendasari konsep baru.
LAMPIRAN B: KONSEP DASAR TEORITIS 1 1 5
PRINSIP SUBSISTEM TERHUBUNG
DIFERENSIASI SISTEM ADAPTIF, BERKEMBANG DALAM LINGKUNGAN VARIABEL, MENJADI DUA SUBSISTEM TERHUBUNG DENGAN SPESIALISASI KONSERVATIF DAN OPERASIONAL, MENINGKATKAN STABILITASNYA.
Pemisahan subsistem internal dan eksternal harus dipahami bukan dalam pengertian geometris (morfologis), tetapi dalam pengertian informasional, yaitu aliran informasi dari lingkungan tentang perubahan-perubahan yang terjadi di dalamnya terlebih dahulu masuk ke dalam subsistem eksternal (“RAM ”), dan kemudian ke memori internal (“memori konstan”) sistem).
Dalam bentuk umum ini, konsep ini berlaku untuk sistem yang berevolusi dan adaptif, terlepas dari sifat spesifiknya - biologis, teknis, permainan, atau sosial. Dapat diharapkan bahwa di antara sistem yang berevolusi dan adaptif, struktur yang terdiri dari dua subsistem yang berpasangan akan cukup sering muncul. Dalam semua kasus ketika sistem dipaksa untuk memantau “perilaku musuh” (lingkungan) dan membangun “perilaku” sesuai dengan ini, diferensiasi, pembagian layanan menjadi konservatif dan operasional meningkatkan stabilitas. Tentara mengalokasikan detasemen pengintaian dan mengirim mereka ke berbagai arah untuk menemui musuh. Kapal memiliki lunas (dinas konservatif) dan kemudi terpisah (operasional), pesawat terbang dan aileron; penstabil roket dan kemudi.
Ciri-ciri umum diferensiasi konjugasi biner
Sebelum munculnya subsistem berpasangan, kendali utama evolusi, aliran informasi mengalir langsung dari lingkungan ke sistem: E →S. Setelah munculnya subsistem operasional, merekalah yang pertama kali menerima informasi dari lingkungan: lingkungan → operasional → subsistem konservatif, E →o →k. Itu sebabnya subsistem baru selalu beroperasi dan
muncul antara subsistem konservatif dan lingkungan.
Perbedaan mendasar antara sistem konjugasi kesatuan dan biner terletak pada bentuk kontak informasinya dengan lingkungan. Untuk yang pertama, informasi mengalir dari lingkungan langsung ke masing-masing elemen sistem, sedangkan untuk yang kedua, informasi mengalir pertama ke elemen subsistem operasional dan dari mereka ke elemen subsistem konservatif.
Dikronisme (asinkroni) dan dimorfisme (asimetri) berkaitan erat: ketika suatu sistem elemen identik dibagi menjadi dua bagian, selama keduanya homogen secara kualitatif, tidak ada dimorfisme atau dikronisme (Gbr. B.2). Namun begitu salah satunya mulai berevolusi, baik dimorfisme maupun dikronisme muncul secara bersamaan. Sepanjang sumbu morfologi, terdapat dua bentuk yang membentuk struktur “inti stabil” (SC) dan “cangkang labil” (LP) (Gbr. B.3). Struktur ini melindungi subsistem konservatif dari faktor lingkungan alternatif, seperti suhu rendah dan tinggi.
1 1 6 LAMPIRAN B: KONSEP TEORITIS
Semua inovasi evolusioner muncul pertama kali di subsistem operasional, diuji di sana, setelah itu (setelah beberapa generasi), inovasi terpilih berakhir di subsistem konservatif. Evolusi subsistem operasional dimulai dan berakhir lebih awal daripada subsistem konservatif. Oleh karena itu, secara kronologis mereka dapat dianggap sebagai “avant-garde” dan
“barisan belakang” (Gbr. B.4).
Sepanjang sumbu “sistem-lingkungan”, sistem dibagi menjadi “inti stabil” dan “cangkang labil”
Sepanjang sumbu waktu, subsistem operasional dapat dianggap “avant-garde” dibandingkan dengan subsistem konservatif.
Arus informasi
Rabu depan
Operasional Konservatif
Operasional Konservatif
Arus informasi
Pembagian dan spesialisasi subsistem untuk tugas-tugas alternatif pelestarian dan perubahan memberikan kondisi optimal untuk penerapan metode utama evolusi sistem kehidupan - dalam arti tertentu, metode coba-coba. Dengan konsentrasi sampel dalam RAM, kesalahan dan temuan juga terlokalisasi di sana. Hal ini memungkinkan sistem
mencoba berbagai pilihan untuk memecahkan masalah evolusioner tanpa risiko melanggengkan solusi yang gagal.
Pembedaan subsistem konservatif dan operasional tidak bersifat mutlak, melainkan relatif. Mungkin ada rangkaian subsistem yang berurutan: α, β, γ,…..ω, dengan tautan (fundamental) yang paling konservatif adalah α, dan yang paling operasional adalah ω. Dan di dalam baris tersebut, pada setiap pasangan, di sebelah kiri adalah subsistem konservatif, di sebelah kanan adalah subsistem operasional (seperti rangkaian tegangan logam dalam elektrokimia).
Agar informasi ekologi baru dapat masuk ke subsistem operasional, maka sebaran fenotipik unsur-unsurnya harus lebih luas dibandingkan unsur-unsur subsistem konservatif, maka kesesuaiannya akan lebih rendah dan koefisien seleksinya lebih tinggi daripada unsur-unsur subsistem konservatif. Untuk melakukan ini, mereka harus mempunyai laju reaksi yang sama. Karena pelestarian sistem seringkali lebih penting daripada perubahan (karena ketiadaan perubahan mengancam stagnasi, dan perubahan mengancam kepunahan), subsistem turunan menjadi tidak setara. Subsistem konservatif lebih penting dan berharga daripada subsistem operasional. Ia mempertahankan beberapa fitur dan fungsi dari sistem kesatuan induk, sementara subsistem operasional memperoleh yang baru. Oleh karena itu, untuk memahami makna evolusioner dari diferensiasi biner, cukup memahami makna subsistem operasional saja.
LAMPIRAN B: KONSEP TEORITIS 1 1 7
UNTUK INFORMASI EKOLOGI BARU UNTUK MEMASUKI SUBSISTEM OPERASI, VARIAN FENOTIPIK
UNSURNYA HARUS LEBIH LUAS DAN NORMAL REAKSI LEBIH SEMPIT DARIPADA UNSUR SUBSISTEM KONSERVATIF.
Untuk transfer informasi antar subsistem (OP CP) yang efektif, elemen subsistem operasional juga harus memiliki “saluran lintas bagian” komunikasi yang lebih luas daripada elemen subsistem konservatif.
Evolusi subsistem yang tidak sinkron
Evolusi sistem (S) ditentukan oleh lingkungan (E), ES. Aliran informasi yang berasal dari lingkungan berperan sebagai semacam potensi ekologi yang memaksa sistem untuk berubah. Meningkatnya penyebaran unsur-unsur sistem kesatuan, cepat atau lambat, secara otomatis mengarah pada diferensiasinya menjadi subsistem konservatif dan operasional. Jika kita membandingkan potensi lingkungan dengan potensi listrik, dan sistem kesatuan dengan bola lampu, maka sistem biner adalah dua buah bola lampu yang dapat dihubungkan ke sumber arus secara paralel atau seri (Gbr. B.5). Ini adalah sebuah peluang baru yang secara fundamental tidak dimiliki oleh sistem kesatuan.
Beras. B.5 Evolusi sinkron sistem kesatuan (AS) dan sistem nonkonjugasi biner (BNS)
Analog dari rangkaian paralel. Evolusi asynchronous dari diferensiasi konjugat biner (BCD) adalah analog dari skema sekuensial. Panah keriting menunjukkan arah evolusi, panah sederhana menunjukkan aliran elektron dan informasi (Geodakyan, 2005).
Tiga diagram-model dari tiga metode utama reproduksi dan asimetri. Rangkaian satu bola lampu dianalogikan dengan metode aseksual, rangkaian paralel dianalogikan dengan metode hermafrodit, dan rangkaian sekuensial dianalogikan dengan otak dioecious (dan asimetris).
Fungsi terkait. Subdiferensial. Prinsip minimaks. Soal dualitas proyektif Karena 18 April 2014 (1) Carilah konjugat dari fungsi p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q adalah matriks d × d positif simetris, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max(x 1 , · · · , xn ) √ (g) 1 + x2 (h) δA , dimana A adalah himpunan di Rd dan δA (x) = 0 jika x ∈ A, δA (x) = +∞ jika x∈ /A (i) hA , dimana A adalah himpunan di Rd dan hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A). (2) Buktikan pertidaksamaan p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Kapan kesetaraan eksak tercapai? Bagaimana cara kerja suatu fungsi terkonjugasi ke fungsi yang grafiknya berupa polihedron cembung? Perhatikan himpunan segmen dengan panjang 1 pada R+ ×R+ dengan ujung pada garis koordinat. Buktikan bahwa astroid adalah amplop untuk himpunan ini. Fungsi manakah yang merupakan konjugat dari fungsi yang grafiknya berbentuk astroid? Misalkan f merupakan fungsi non-cembung. Jelaskan konjugat keduanya. Misalkan f, f ∗ merupakan fungsi cembung mulus, dan pada setiap titik matriks turunan keduanya (Hessian) D2 f, D2 f ∗ tidak berdegenerasi. Buktikan bahwa untuk sembarang x relasi D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I berlaku, dengan I adalah matriks identitas. (7) Temukan solusi umum persamaan diferensial berikut f 00 = (f − xf 0)2. (8) Hitung subdiferensial fungsi cembung pada nol (a) max(ex , 1 − x) P (b) di=1 |xi | (c) maks1≤i≤d |xi | (9) Buktikan bahwa x0 adalah titik minimum fungsi cembung f jika dan hanya jika 0 ∈ ∂f (x0). (10) Tentukan nilai minimum dari fungsi (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) Buktikan relasi (f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ , 1 dengan f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Buktikan (tanpa menggunakan prinsip minimax) bahwa nilai maksimum pada permasalahan program linier tidak melebihi nilai minimum pada permasalahan dual. (13) Merumuskan masalah program linier ganda dan menyelesaikannya. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Definisi masalah dualitas proyektif. Bidang proyektif ganda RP2∗ adalah ruang garis pada bidang proyektif RP2. 14) Buktikan bahwa bidang proyektif ganda mempunyai struktur bidang proyektif alami, dimana garis adalah kumpulan garis-garis pada RP2 yang melalui suatu titik tertentu. (Khususnya, varietas RP2 dan RP2∗ bersifat difeomorfik.) 15) Perhatikan dua garis berbeda a, b ⊂ RP2, yang melambangkan O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O. Pada setiap garis terdapat koordinat affine real alami, yang didefinisikan secara unik hingga komposisi dengan transformasi affine: a, b " R. Untuk setiap x ∈ a dan y ∈ b, misalkan l(x, y) adalah garis yang melalui x dan y. Buktikan bahwa peta a × b → RP2∗ , (x, y) 7 → l(x, y) adalah peta affine. Misalkan γ ⊂ RP2 adalah kurva mulus ke γ. 16) Buktikan bahwa γ ∗∗ = γ. 17) Misalkan f (x) adalah fungsi cembung halus dan f ∗ (x∗) merupakan konjugasinya Γ(f ∗) pada bidang affine (x, y ) dan (x∗, y ∗) (lebih tepatnya, bagian berhingga dari grafik yang nilai fungsinya berhingga). Buktikan bahwa kurva Γ(f ∗) ditransformasikan melalui transformasi affine menjadi kurva ganda ke Γ(f). Petunjuk: gunakan hasil soal 2). 18) Buktikan bahwa kurva ganda hingga kerucut halus (kurva orde kedua yang tidak dapat direduksi menjadi sepasang garis) juga merupakan kerucut halus. 19) Berikan definisi garis putus-putus ganda (poligon ganda) dan selesaikan analogi soal 3) dan 4) untuk garis putus-putus γ dan fungsi affine sepotong-sepotong f (grafik – garis putus-putus). 2
