metode Gauss sempurna untuk menyelesaikan sistem linier persamaan aljabar(SLAU). Ini memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan metode lain:
- pertama, tidak perlu memeriksa konsistensi sistem persamaan terlebih dahulu;
- kedua, metode Gauss tidak hanya dapat menyelesaikan SLAE yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-singular, tetapi juga sistem persamaan yang jumlah persamaannya tidak sama. jumlah variabel yang tidak diketahui atau determinan matriks utama sama dengan nol;
- ketiga, metode Gaussian memberikan hasil dengan jumlah operasi komputasi yang relatif kecil.
Ikhtisar singkat artikel tersebut.
Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan notasi.
Selanjutnya akan dijelaskan algoritma metode Gauss untuk kasus yang paling sederhana, yaitu untuk sistem persamaan aljabar linier, banyaknya persamaan yang berimpit dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem tersebut adalah tidak sama dengan nol. Saat menyelesaikan sistem persamaan seperti itu, inti dari metode Gauss terlihat paling jelas, yaitu eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan. Oleh karena itu, metode Gaussian disebut juga metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui. Kami akan menunjukkan solusi terperinci dari beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode Gauss, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau tunggal. Solusi untuk sistem tersebut memiliki beberapa fitur, yang akan kita bahas secara rinci menggunakan contoh.
Navigasi halaman.
Definisi dan notasi dasar.
Pertimbangkan sistem p persamaan linear dengan n yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n):
Dimana merupakan variabel yang tidak diketahui, merupakan bilangan (nyata atau kompleks), dan merupakan suku bebas.
Jika 
, maka sistem persamaan aljabar linier disebut homogen, jika tidak - heterogen.
Himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang seluruh persamaan sistemnya menjadi identitas disebut keputusan SLAU.
Jika terdapat paling sedikit satu penyelesaian pada suatu sistem persamaan aljabar linier, maka disebut persendian, jika tidak - non-bersama.
Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin. Jika terdapat lebih dari satu solusi, maka sistem disebut tidak pasti.
Mereka mengatakan bahwa sistem itu tertulis bentuk koordinat, jika memiliki bentuk
.
Sistem ini masuk bentuk matriks catatan memiliki bentuk di mana 
- matriks utama SLAE, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks suku bebas.
Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu, 
Matriks persegi A disebut merosot, jika determinannya nol. Jika , maka matriks A disebut tidak merosot.
Hal berikut perlu diperhatikan.
Jika kita tampil dengan sistem persamaan aljabar linier tindakan berikut
- menukar dua persamaan,
- mengalikan kedua ruas persamaan apa pun dengan bilangan real (atau kompleks) sembarang dan bukan nol k,
- ke kedua ruas persamaan apa pun tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k,
maka Anda mendapatkan sistem ekuivalen yang memiliki solusi yang sama (atau, sama seperti sistem aslinya, tidak memiliki solusi).
Untuk matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier, tindakan berikut berarti melakukan transformasi elementer dengan baris:
- bertukar dua baris,
- mengalikan semua elemen dari setiap baris matriks T dengan bilangan bukan nol k,
- menambahkan elemen-elemen dari setiap baris matriks elemen-elemen yang bersesuaian dari baris lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k.
Sekarang kita dapat melanjutkan ke penjelasan metode Gauss.
Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-tunggal, menggunakan metode Gaussian.
Apa yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk menemukan solusi sistem persamaan? 
.
Beberapa orang akan melakukan itu.
Perhatikan bahwa menjumlahkan ruas kiri persamaan kedua sisi kiri pertama, dan ke kanan - kanan, Anda dapat menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera mencari x 1: 
Kami mengganti nilai yang ditemukan x 1 =1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga sistem: 
Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan ketiga sistem dengan -1 dan menjumlahkannya ke suku-suku yang bersesuaian pada persamaan pertama, kita menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dan dapat menemukan x 2: 
Kami mengganti nilai yang dihasilkan x 2 = 2 ke dalam persamaan ketiga dan menemukan sisa variabel x 3 yang tidak diketahui: 
Orang lain akan melakukan hal yang berbeda.
Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem terhadap variabel yang tidak diketahui x 1 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan kedua dan ketiga sistem untuk mengecualikan variabel ini dari persamaan tersebut: 
Sekarang mari kita selesaikan persamaan kedua sistem untuk x 2 dan substitusikan hasilnya ke persamaan ketiga untuk menghilangkan variabel x 2 yang tidak diketahui dari persamaan tersebut: 
Dari persamaan ketiga sistem tersebut jelas bahwa x 3 =3. Dari persamaan kedua kita temukan 
, dan dari persamaan pertama kita peroleh .
Solusi yang familier, bukan?
Hal yang paling menarik di sini adalah bahwa metode penyelesaian kedua pada dasarnya adalah metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui, yaitu metode Gaussian. Ketika kami menyatakan variabel yang tidak diketahui (pertama x 1, pada tahap berikutnya x 2) dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan sistem yang tersisa, kami mengecualikannya. Kami melakukan eliminasi hingga hanya tersisa satu variabel yang tidak diketahui pada persamaan terakhir. Proses menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan pukulan ke depan kita sekarang mempunyai kesempatan untuk menghitung variabel yang tidak diketahui pada persamaan terakhir. Dengan bantuannya, kita menemukan variabel yang tidak diketahui berikutnya dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya. Proses mencari variabel yang tidak diketahui secara berurutan sambil berpindah dari persamaan terakhir ke persamaan pertama disebut kebalikan metode Gauss.
Perlu dicatat bahwa ketika kita menyatakan x 1 dalam bentuk x 2 dan x 3 pada persamaan pertama, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut akan menghasilkan hasil yang sama:
Memang, prosedur seperti itu juga memungkinkan untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga sistem: 
Nuansa penghapusan variabel yang tidak diketahui menggunakan metode Gaussian muncul ketika persamaan sistem tidak memuat beberapa variabel.
Misalnya saja di SLAU 
pada persamaan pertama tidak ada variabel yang tidak diketahui x 1 (dengan kata lain koefisien di depannya adalah nol). Oleh karena itu, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan pertama sistem untuk x 1 untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui ini dari persamaan lainnya. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Karena kita mempertimbangkan sistem persamaan linier yang determinan matriks utamanya berbeda dari nol, selalu ada persamaan yang memiliki variabel yang kita butuhkan, dan kita dapat mengatur ulang persamaan ini ke posisi yang kita butuhkan. Sebagai contoh kita, cukup menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem 
, maka Anda dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya dari persamaan sistem lainnya (walaupun x 1 tidak lagi ada di persamaan kedua).
Kami harap Anda memahami intinya.
Mari kita jelaskan Algoritma metode Gaussian.
Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem n persamaan aljabar linier dengan n persamaan yang tidak diketahui variabel bentuk 
, dan biarkan determinan matriks utamanya berbeda dari nol.
Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana, dan 
.
Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.
Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar 
Caranya, pada persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , pada persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk 
dimana, dan 
. Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.
Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, sementara kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar 
Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk 
Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .
Mari kita lihat algoritmanya menggunakan sebuah contoh.
Contoh.
metode Gauss.
Larutan.
Koefisien a 11 bukan nol, jadi mari kita lanjutkan ke perkembangan langsung metode Gaussian, yaitu mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem kecuali yang pertama. Caranya, pada ruas kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga, dan keempat, tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan . 
Dan : 
Variabel yang tidak diketahui x 1 telah dihilangkan, mari kita lanjutkan ke penghapusan x 2 . Ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat sistem kita tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan masing-masing 
Dan 
:
Untuk menyelesaikan kemajuan metode Gaussian, kita perlu menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Mari kita tambahkan masing-masing ke kiri dan kanan persamaan keempat, kiri dan sisi kanan persamaan ketiga dikalikan dengan 
:
Anda dapat mulai membalikkan metode Gaussian.
Dari persamaan terakhir yang kita miliki 
,
dari persamaan ketiga kita peroleh,
dari yang kedua,
dari yang pertama.
Untuk memeriksanya, Anda dapat mengganti nilai yang diperoleh dari variabel yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan aslinya. Semua persamaan berubah menjadi identitas, yang menunjukkan bahwa solusi menggunakan metode Gauss telah ditemukan dengan benar.
Menjawab:
Sekarang mari kita berikan solusi untuk contoh yang sama menggunakan metode Gaussian dalam notasi matriks.
Contoh.
Temukan solusi sistem persamaan metode Gauss.
Larutan.
Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk 
. Di bagian atas setiap kolom terdapat variabel yang tidak diketahui yang sesuai dengan elemen matriks.
Pendekatan langsung metode Gaussian di sini melibatkan reduksi matriks yang diperluas dari sistem menjadi bentuk trapesium menggunakan transformasi dasar. Proses ini mirip dengan penghapusan variabel yang tidak diketahui yang kita lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang Anda akan melihat ini.
Mari kita transformasikan matriksnya sehingga semua elemen pada kolom pertama, mulai dari kolom kedua, menjadi nol. Untuk melakukan ini, ke elemen baris kedua, ketiga dan keempat kita tambahkan elemen baris pertama yang sesuai dikalikan dengan , dan karenanya: 
Selanjutnya kita transformasikan matriks yang dihasilkan sehingga pada kolom kedua semua elemen, mulai dari kolom ketiga, menjadi nol. Ini sama dengan menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, ke elemen baris ketiga dan keempat kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris pertama matriks, dikalikan dengan masing-masing Dan :
Tetap mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, ke elemen baris terakhir dari matriks yang dihasilkan, kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris kedua dari belakang, dikalikan dengan :
Perlu dicatat bahwa matriks ini sesuai dengan sistem persamaan linier 
yang diperoleh sebelumnya setelah bergerak maju.
Saatnya untuk kembali. Dalam notasi matriks, kebalikan dari metode Gaussian melibatkan transformasi matriks yang dihasilkan sedemikian rupa sehingga matriks yang ditandai pada gambar 
menjadi diagonal, yaitu mengambil bentuk 
di mana beberapa angka.
Transformasi ini mirip dengan transformasi maju metode Gaussian, tetapi dilakukan bukan dari baris pertama ke baris terakhir, melainkan dari baris terakhir ke baris pertama.
Tambahkan ke elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris terakhir, dikalikan dengan 
, terus menerus 
masing-masing: 
Sekarang tambahkan ke elemen baris kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris ketiga, masing-masing dikalikan dengan dan dengan: 
Pada langkah terakhir dari metode Gaussian terbalik, ke elemen baris pertama kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris kedua, dikalikan dengan: 
Matriks yang dihasilkan sesuai dengan sistem persamaan 
, dari mana kita menemukan variabel yang tidak diketahui.
Menjawab:
CATATAN.
Saat menggunakan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, perhitungan perkiraan harus dihindari, karena hal ini dapat menyebabkan hasil yang salah sepenuhnya. Kami menyarankan untuk tidak membulatkan desimal. Lebih baik dari desimal beralih ke pecahan biasa.
Contoh.
Memecahkan sistem tiga persamaan menggunakan metode Gauss 
.
Larutan.
Perhatikan bahwa dalam contoh ini variabel yang tidak diketahui memiliki sebutan berbeda (bukan x 1, x 2, x 3, tetapi x, y, z). Mari beralih ke pecahan biasa: 
Mari kita kecualikan x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem: 
Dalam sistem yang dihasilkan, variabel y yang tidak diketahui tidak ada di persamaan kedua, tetapi y ada di persamaan ketiga, oleh karena itu, mari kita tukar persamaan kedua dan ketiga: 
Ini melengkapi perkembangan langsung metode Gauss (tidak perlu mengecualikan y dari persamaan ketiga, karena variabel yang tidak diketahui ini sudah tidak ada lagi).
Mari kita mulai langkah sebaliknya.
Dari persamaan terakhir kita temukan 
,
dari yang kedua dari belakang 
dari persamaan pertama yang kita miliki 
Menjawab:
X = 10, y = 5, z = -20.
Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui atau matriks utama sistemnya berbentuk tunggal, menggunakan metode Gauss.
Sistem persamaan, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau persegi tunggal, mungkin tidak mempunyai solusi, mungkin mempunyai solusi tunggal, atau mungkin mempunyai jumlah solusi tak terhingga.
Sekarang kita akan memahami bagaimana metode Gauss memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas atau inkonsistensi suatu sistem persamaan linier, dan dalam kasus kompatibilitasnya, menentukan semua solusi (atau satu solusi tunggal).
Pada prinsipnya, proses menghilangkan variabel yang tidak diketahui dalam kasus SLAE tersebut tetap sama. Namun, ada baiknya menjelaskan secara detail beberapa situasi yang mungkin timbul.
Mari kita beralih ke tahap yang paling penting.
Jadi, mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan aljabar linier, setelah menyelesaikan perkembangan maju metode Gauss, mengambil bentuk 
dan tidak ada satu persamaan pun yang direduksi menjadi (dalam hal ini kita akan menyimpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel). Sebuah pertanyaan logis muncul: “Apa yang harus dilakukan selanjutnya”?
Mari kita tuliskan variabel-variabel tak dikenal yang muncul lebih dulu dalam semua persamaan sistem yang dihasilkan: 
Dalam contoh kita ini adalah x 1, x 4 dan x 5. Di ruas kiri persamaan sistem kita hanya menyisakan suku-suku yang mengandung variabel yang tidak diketahui tertulis x 1, x 4 dan x 5, suku-suku yang tersisa dipindahkan ke ruas kanan persamaan yang bertanda berlawanan: 
Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel yang tidak diketahui yang berada di sisi kanan persamaan, di mana 
- nomor sewenang-wenang: 
Setelah ini, ruas kanan semua persamaan SLAE kita berisi angka dan kita dapat melanjutkan ke kebalikan dari metode Gaussian.
Dari persamaan terakhir sistem yang kita miliki, dari persamaan kedua dari belakang kita temukan, dari persamaan pertama yang kita dapatkan 
Penyelesaian sistem persamaan adalah himpunan nilai variabel yang tidak diketahui 
Pemberian Angka nilai yang berbeda, kita akan memperoleh solusi yang berbeda untuk sistem persamaan tersebut. Artinya, sistem persamaan kita mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.
Menjawab:
Di mana - angka sewenang-wenang.
Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh lagi.
Contoh.
Memutuskan sistem homogen persamaan aljabar linier 
metode Gauss.
Larutan.
Mari kita kecualikan variabel x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, ke ruas kiri dan kanan persamaan kedua, kita tambahkan masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, ruas kiri dan kanan. persamaan pertama dikalikan dengan: 
Sekarang mari kita kecualikan y dari persamaan ketiga dari sistem persamaan yang dihasilkan: 
SLAE yang dihasilkan setara dengan sistem 
.
Kita tinggalkan di sisi kiri persamaan sistem hanya suku-suku yang mengandung variabel x dan y yang tidak diketahui, dan pindahkan suku-suku dengan variabel z yang tidak diketahui ke ruas kanan: 
Misalkan diberikan sistem persamaan aljabar linier yang perlu diselesaikan (temukan nilai xi yang tidak diketahui yang mengubah setiap persamaan sistem menjadi persamaan).
Kita tahu bahwa sistem persamaan aljabar linier dapat:
1) Tidak punya solusi (jadilah non-bersama).
2) Memiliki banyak solusi yang tak terhingga.
3) Miliki solusi tunggal.
Seperti yang kita ingat, aturan Cramer dan metode matriks tidak cocok jika sistem mempunyai banyak solusi yang tak terhingga atau tidak konsisten. metode Gauss – alat paling ampuh dan serbaguna untuk menemukan solusi terhadap sistem persamaan linear apa pun, yang dalam setiap kasus akan membawa kita pada jawabannya! Algoritma metode itu sendiri dalam segala hal tiga kasus bekerja sama. Jika metode Cramer dan matriks membutuhkan pengetahuan tentang determinan, maka untuk menerapkan metode Gauss hanya diperlukan pengetahuan saja operasi aritmatika, yang membuatnya dapat diakses bahkan oleh siswa sekolah dasar.
Transformasi matriks tertambah ( ini adalah matriks sistem - matriks yang hanya terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, ditambah kolom suku bebas) sistem persamaan aljabar linier dalam metode Gauss:
1) Dengan troki matriks Bisa mengatur kembali di beberapa tempat.
2) jika bilangan proporsional muncul (atau ada) dalam matriks (seperti kasus spesial– identik) garis, lalu mengikuti menghapus Semua baris ini berasal dari matriks kecuali satu.
3) jika baris nol muncul dalam matriks selama transformasi, maka seharusnya juga demikian menghapus.
4) suatu baris matriks dapat berupa kalikan (bagi) ke angka apa pun selain nol.
5) ke baris matriks Anda bisa tambahkan string lain dikalikan dengan angka, berbeda dari nol.
Dalam metode Gauss, transformasi elementer tidak mengubah solusi sistem persamaan.
Metode Gauss terdiri dari dua tahap:
- "Gerakan langsung" - dengan menggunakan transformasi dasar, bawa matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier ke bentuk langkah "segitiga": elemen-elemen matriks yang diperluas yang terletak di bawah diagonal utama sama dengan nol (gerakan dari atas ke bawah). Misalnya untuk tipe ini:
Untuk melakukannya, lakukan langkah-langkah berikut:
1) Mari kita perhatikan persamaan pertama dari sistem persamaan aljabar linier dan koefisien untuk x 1 sama dengan K. Persamaan kedua, ketiga, dan seterusnya. kita ubah persamaannya sebagai berikut: kita membagi setiap persamaan (koefisien yang tidak diketahui, termasuk suku bebas) dengan koefisien yang tidak diketahui x 1 di setiap persamaan, dan mengalikannya dengan K. Setelah itu, kita kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua ( koefisien yang tidak diketahui dan suku bebas). Untuk x 1 pada persamaan kedua kita memperoleh koefisien 0. Dari persamaan transformasi ketiga kita kurangi persamaan pertama sampai semua persamaan kecuali persamaan pertama, untuk x 1 yang tidak diketahui, memiliki koefisien 0.
2) Mari kita lanjutkan ke persamaan berikutnya. Misalkan ini adalah persamaan kedua dan koefisien untuk x 2 sama dengan M. Kita lanjutkan dengan semua persamaan “lebih rendah” seperti yang dijelaskan di atas. Jadi, "di bawah" x 2 yang tidak diketahui di semua persamaan akan ada nol.
3) Lanjutkan ke persamaan berikutnya dan seterusnya hingga tersisa satu persamaan terakhir yang tidak diketahui dan suku bebas yang ditransformasikan.
- “Pergerakan terbalik” dari metode Gauss adalah memperoleh solusi terhadap sistem persamaan aljabar linier (“pergerakan “bottom-up”). Dari persamaan "bawah" terakhir kita memperoleh satu solusi pertama - x n yang tidak diketahui. Untuk melakukan ini, kita menyelesaikan persamaan dasar A * x n = B. Dalam contoh yang diberikan di atas, x 3 = 4. Kita substitusikan nilai yang ditemukan ke persamaan berikutnya yang “atas” dan selesaikan dengan persamaan berikutnya yang tidak diketahui. Misalnya, x 2 – 4 = 1, yaitu. x 2 = 5. Begitu seterusnya hingga kita menemukan semua yang belum diketahui.
Contoh.
Mari kita selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gaussian, seperti saran beberapa penulis:
Mari kita tuliskan matriks yang diperluas dari sistem dan, dengan menggunakan transformasi dasar, bawa ke bentuk bertahap:
Kami melihat "langkah" kiri atas. Kita harus memiliki unit di sana. Soalnya kolom pertama tidak ada satuannya sama sekali, jadi menata ulang baris-barisnya tidak akan menyelesaikan apa pun. Dalam kasus seperti itu, unit tersebut harus diorganisasikan menggunakan transformasi dasar. Hal ini biasanya dapat dilakukan dengan beberapa cara. Mari kita lakukan:
1 langkah
. Ke baris pertama kita tambahkan baris kedua, dikalikan –1. Artinya, secara mental kita mengalikan baris kedua dengan –1 dan menjumlahkan baris pertama dan kedua, sedangkan baris kedua tidak berubah.
Sekarang di kiri atas ada “minus satu”, yang cukup cocok untuk kita. Siapa pun yang ingin mendapatkan +1 dapat melakukan tindakan tambahan: kalikan baris pertama dengan –1 (ubah tandanya).
Langkah 2 . Baris pertama dikalikan 5 ditambahkan ke baris kedua. Baris pertama dikalikan 3 ditambahkan ke baris ketiga.
Langkah 3 . Baris pertama dikalikan –1, prinsipnya untuk kecantikan. Tanda baris ketiga juga diubah dan dipindahkan ke posisi kedua, sehingga pada “langkah” kedua kami memiliki unit yang dibutuhkan.
Langkah 4 . Baris ketiga ditambahkan ke baris kedua, dikalikan 2.
Langkah 5 . Baris ketiga dibagi 3.
Tanda yang menunjukkan kesalahan dalam perhitungan (lebih jarang, salah ketik) adalah garis bawah yang “buruk”. Artinya, jika kita mendapatkan sesuatu seperti (0 0 11 |23) di bawah, dan karenanya, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, maka dengan tingkat kemungkinan yang tinggi kita dapat mengatakan bahwa telah terjadi kesalahan pada saat dasar transformasi.
Mari kita lakukan yang sebaliknya; dalam merancang contoh, sistem itu sendiri sering kali tidak ditulis ulang, namun persamaannya “diambil langsung dari matriks yang diberikan”. Saya ingatkan Anda, langkah sebaliknya bekerja dari bawah ke atas. Dalam contoh ini, hasilnya adalah hadiah:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, maka x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Menjawab:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Mari selesaikan sistem yang sama menggunakan algoritma yang diusulkan. Kita mendapatkan
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Bagi persamaan kedua dengan 5, dan persamaan ketiga dengan 3. Kita peroleh:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Mengalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 4, kita mendapatkan:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga, kita mendapatkan:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Bagilah persamaan ketiga dengan 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Kalikan persamaan ketiga dengan 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan ketiga, kita memperoleh matriks yang diperluas “bertingkat”:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Jadi, karena kesalahan terakumulasi selama perhitungan, kita memperoleh x 3 = 0,96 atau sekitar 1.
x 2 = 3 dan x 1 = –1.
Dengan menyelesaikan cara ini, Anda tidak akan pernah bingung dalam perhitungan dan meskipun ada kesalahan perhitungan, Anda akan mendapatkan hasilnya.
Metode penyelesaian sistem persamaan aljabar linier ini mudah diprogram dan tidak diperhitungkan fitur tertentu koefisien untuk hal yang tidak diketahui, karena dalam praktiknya (dalam perhitungan ekonomi dan teknis) kita harus berurusan dengan koefisien yang bukan bilangan bulat.
Aku harap kamu berhasil! Sampai jumpa di kelas! guru.
blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.
Biarkan sistem diberikan, ∆≠0. (1)metode Gauss adalah metode menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan.
Inti dari metode Gauss adalah mengubah (1) menjadi sistem dengan matriks segitiga, yang kemudian diperoleh nilai semua yang tidak diketahui secara berurutan (terbalik). Mari kita pertimbangkan salah satu skema komputasi. Rangkaian ini disebut rangkaian pembagian tunggal. Jadi mari kita lihat diagram ini. Misalkan a 11 ≠0 (elemen utama) membagi persamaan pertama dengan 11. Kita mendapatkan
(2)
Dengan menggunakan persamaan (2), mudah untuk menghilangkan yang tidak diketahui x 1 dari persamaan sistem yang tersisa (untuk melakukan ini, cukup dengan mengurangi persamaan (2) dari setiap persamaan, yang sebelumnya dikalikan dengan koefisien yang sesuai untuk x 1) , yaitu pada langkah pertama yang kita peroleh
.
Dengan kata lain, pada langkah 1, setiap elemen baris berikutnya, mulai dari baris kedua, sama dengan selisih antara elemen asli dan hasil kali “proyeksinya” ke kolom pertama dan baris pertama (yang diubah).
Setelah ini, dengan membiarkan persamaan pertama saja, kami melakukan transformasi serupa pada sisa persamaan sistem yang diperoleh pada langkah pertama: kami memilih persamaan dengan elemen utama di antara persamaan tersebut dan, dengan bantuannya, mengecualikan x 2 dari yang tersisa persamaan (langkah 2).
Setelah n langkah, alih-alih (1), kita memperoleh sistem ekuivalen 
(3)
Jadi, pada tahap pertama kita memperoleh sistem segitiga (3). Tahap ini disebut pukulan ke depan.
Pada tahap kedua (terbalik), kita mencari secara berurutan dari (3) nilai x n, x n -1, ..., x 1.
Mari kita nyatakan solusi yang dihasilkan sebagai x 0 . Maka selisihnya ε=b-A x 0 disebut sisa.
Jika ε=0, maka solusi yang ditemukan x 0 benar.
Perhitungan menggunakan metode Gaussian dilakukan dalam dua tahap:
- Tahap pertama disebut metode maju. Pada tahap pertama, sistem asli diubah menjadi bentuk segitiga.
- Tahap kedua disebut pukulan terbalik. Pada tahap kedua, sistem segitiga yang setara dengan sistem aslinya diselesaikan.
Pada setiap langkah, elemen utama diasumsikan bukan nol. Jika tidak demikian, maka elemen lain dapat digunakan sebagai elemen utama, seolah-olah menata ulang persamaan sistem.
Tujuan dari metode Gauss
Metode Gauss dirancang untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Mengacu pada metode solusi langsung.Jenis metode Gaussian
- Metode Gaussian klasik;
- Modifikasi metode Gauss. Salah satu modifikasi metode Gaussian adalah skema dengan pemilihan elemen utama. Ciri metode Gauss dengan pemilihan elemen utama adalah penataan ulang persamaan sehingga pada langkah ke-k elemen utama menjadi elemen terbesar pada kolom ke-k.
- metode Jordano-Gauss;
Mari kita ilustrasikan perbedaannya Metode Jordano-Gauss dari metode Gaussian dengan contoh.
Contoh penyelesaian menggunakan metode Gaussian
Mari kita selesaikan sistemnya: 
Untuk memudahkan penghitungan, mari kita tukar barisnya: 
Mari kalikan baris ke-2 dengan (2). Tambahkan baris ke-3 ke baris ke-2 
Kalikan baris ke-2 dengan (-1). Tambahkan baris ke-2 ke baris ke-1 
Dari baris pertama kita nyatakan x 3:
Dari baris ke-2 kita nyatakan x 2:
Dari baris ke-3 kita nyatakan x 1: 
Contoh penyelesaian dengan metode Jordano-Gauss
Mari kita selesaikan SLAE yang sama menggunakan metode Jordano-Gauss. 
Kami akan memilih elemen penyelesaian RE secara berurutan, yang terletak pada diagonal utama matriks.
Elemen resolusi sama dengan (1).
NE = SE - (A*B)/RE
RE - elemen penyelesaian (1), A dan B - elemen matriks yang membentuk persegi panjang dengan elemen STE dan RE.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Elemen penyelesaiannya sama dengan (3).
Sebagai ganti elemen penyelesaian kita mendapatkan 1, dan di kolom itu sendiri kita menulis nol.
Semua elemen matriks lainnya, termasuk elemen kolom B, ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Untuk melakukan ini, kami memilih empat angka yang terletak di titik sudut persegi panjang dan selalu menyertakan elemen penyelesaian RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Elemen resolusinya adalah (-4).
Sebagai ganti elemen penyelesaian kita mendapatkan 1, dan di kolom itu sendiri kita menulis nol.
Semua elemen matriks lainnya, termasuk elemen kolom B, ditentukan oleh aturan persegi panjang.
Untuk melakukan ini, kami memilih empat angka yang terletak di titik sudut persegi panjang dan selalu menyertakan elemen penyelesaian RE.
Mari kita sajikan perhitungan setiap elemen dalam bentuk tabel:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Menjawab: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Implementasi metode Gaussian
Metode Gaussian diimplementasikan dalam banyak bahasa pemrograman, khususnya: Pascal, C++, php, Delphi, dan ada juga implementasi metode Gaussian secara online.Menggunakan metode Gaussian
Penerapan metode Gauss dalam teori permainan
Dalam teori permainan, ketika menemukan strategi maximin optimal seorang pemain, sistem persamaan disusun, yang diselesaikan dengan metode Gaussian.Penerapan metode Gauss dalam menyelesaikan persamaan diferensial
Untuk mencari solusi khusus suatu persamaan diferensial, pertama-tama carilah turunan yang derajatnya sesuai untuk penyelesaian parsial tertulis (y=f(A,B,C,D)), yang disubstitusikan ke dalam persamaan asli. Selanjutnya untuk menemukan variabel A,B,C,D sistem persamaan disusun dan diselesaikan dengan metode Gaussian.Penerapan metode Jordano-Gauss dalam pemrograman linier
DI DALAM pemrograman linier, khususnya pada metode simpleks, aturan persegi panjang yang menggunakan metode Jordano-Gauss digunakan untuk mengubah tabel simpleks pada setiap iterasi.Carl Friedrich Gauss, ahli matematika terhebat untuk waktu yang lama ragu-ragu, memilih antara filsafat dan matematika. Mungkin pola pikir inilah yang memungkinkan dia membuat “warisan” yang begitu nyata dalam dunia sains. Khususnya, dengan menciptakan "Metode Gauss" ...
Selama hampir 4 tahun, artikel-artikel di situs ini membahas tentang pendidikan sekolah, terutama dari sudut pandang filsafat, prinsip-prinsip (kesalahan) pemahaman yang diperkenalkan ke dalam pikiran anak-anak. Waktunya akan tiba untuk lebih spesifik, contoh dan metode... Saya yakin ini adalah pendekatan yang familiar, membingungkan dan penting bidang kehidupan memberikan hasil yang lebih baik.
Kita manusia dirancang sedemikian rupa sehingga tidak peduli seberapa banyak kita membicarakannya berpikir abstrak, Tetapi memahami Selalu terjadi melalui contoh. Jika tidak ada contoh, maka tidak mungkin memahami prinsipnya... Seperti halnya tidak mungkin mencapai puncak gunung kecuali dengan berjalan kaki menyusuri seluruh lereng.
Sama dengan sekolah: untuk saat ini cerita hidup Tidaklah cukup jika kita secara naluriah terus menganggapnya sebagai tempat di mana anak-anak diajar untuk memahami.
Misalnya mengajarkan metode Gaussian...
Metode Gauss di kelas 5 sekolah
Izinkan saya membuat reservasi segera: metode Gauss memiliki lebih banyak lagi aplikasi yang luas, misalnya, saat memecahkan sistem persamaan linear. Apa yang akan kita bicarakan terjadi di kelas 5 SD. Ini dimulai, setelah memahami yang mana, akan lebih mudah untuk memahami “opsi lanjutan”. Pada artikel ini yang kita bicarakan Metode Gauss (metode) untuk mencari jumlah suatu deret
Berikut adalah contoh yang saya bawa dari sekolah anak bungsu, menghadiri kelas 5 di gimnasium Moskow.
Demonstrasi sekolah tentang metode Gauss
Guru matematika menggunakan papan tulis interaktif (metode modern pelatihan) menunjukkan kepada anak-anak presentasi tentang sejarah “penciptaan metode” oleh Gauss kecil.
Guru sekolah mencambuk Karl kecil (metode yang sudah ketinggalan zaman, tidak digunakan di sekolah saat ini) karena dia
daripada menjumlahkan angka dari 1 hingga 100 secara berurutan, carilah jumlahnya memperhatikan bahwa pasangan-pasangan bilangan yang berjarak sama dari tepi suatu barisan aritmatika akan menghasilkan bilangan yang sama. misalnya 100 dan 1, 99 dan 2. Setelah menghitung jumlah pasangan tersebut, Gauss kecil hampir seketika memecahkan masalah yang diajukan oleh gurunya. Untuk itu dia dieksekusi di depan publik yang tercengang. Sehingga orang lain patah semangat untuk berpikir.
Apa yang dilakukan Gauss kecil? dikembangkan pengertian angka? Memperhatikan beberapa fitur deret bilangan dengan langkah konstan (perkembangan aritmatika). DAN tepatnya ini kemudian menjadikannya seorang ilmuwan hebat, mampu memperhatikan, memiliki perasaan, naluri pemahaman.
Inilah sebabnya mengapa matematika berharga dan berkembang kemampuan untuk melihat umum khususnya - berpikir abstrak . Oleh karena itu, sebagian besar orang tua dan majikan secara naluriah menganggap matematika sebagai disiplin ilmu yang penting ...
“Maka Anda perlu belajar matematika, karena matematika akan mengatur pikiran Anda.
M.V.Lomonosov".
Namun, para pengikut mereka yang mencambuk orang-orang jenius di masa depan dengan tongkat mengubah Metode menjadi sesuatu yang sebaliknya. Seperti yang dikatakan teman saya 35 tahun lalu penasihat ilmiah: “Mereka mempelajari pertanyaannya.” Atau seperti yang dikatakan putra bungsu saya kemarin tentang metode Gauss: “Mungkin tidak ada gunanya membuat ilmu pengetahuan besar tentang hal ini, ya?”
Konsekuensi dari kreativitas para “ilmuwan” terlihat pada tingkat matematika sekolah saat ini, tingkat pengajarannya dan pemahaman mayoritas tentang “Ratu Ilmu Pengetahuan”.
Namun, mari kita lanjutkan...
Metode penjelasan metode Gauss di kelas 5 sekolah
Seorang guru matematika di gimnasium Moskow, menjelaskan metode Gauss menurut Vilenkin, memperumit tugasnya.
Bagaimana jika selisih (langkah) suatu barisan aritmatika bukan hanya satu, melainkan bilangan lain? Misalnya, 20.
Soal yang beliau berikan kepada siswa kelas lima:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Sebelum mengenal metode gimnasium, mari kita lihat di Internet: bagaimana guru sekolah dan tutor matematika melakukannya?..
Metode Gaussian: penjelasan No.1
Seorang tutor ternama di channel YOUTUBE miliknya memberikan alasan sebagai berikut:
“mari kita tuliskan angka dari 1 sampai 100 sebagai berikut:
pertama rangkaian angka dari 1 sampai 50, dan tepat di bawahnya rangkaian angka lain dari 50 sampai 100, tetapi dalam urutan terbalik"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
“Harap diperhatikan: jumlah setiap pasangan angka dari baris atas dan bawah adalah sama dan sama dengan 101! Mari kita hitung jumlah pasangannya, yaitu 50 dan kalikan jumlah satu pasangan dengan jumlah pasangannya! Voila: The jawabannya sudah siap!"
“Jika kamu tidak mengerti, jangan marah!” guru mengulanginya sebanyak tiga kali selama penjelasan. "Kamu akan mengambil metode ini di kelas 9!"
Metode Gaussian: penjelasan No.2
Tutor lain, yang kurang terkenal (dilihat dari jumlah penayangannya), mengambil pendekatan yang lebih ilmiah, menawarkan algoritma solusi 5 poin yang harus diselesaikan secara berurutan.
Bagi yang belum tahu, 5 adalah salah satu angka Fibonacci yang secara tradisional dianggap ajaib. Misalnya, metode 5 langkah selalu lebih ilmiah daripada metode 6 langkah. ...Dan ini bukan suatu kebetulan, kemungkinan besar, Penulis adalah pendukung tersembunyi teori Fibonacci
Dana perkembangan aritmatika: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Algoritma mencari jumlah bilangan suatu deret dengan metode Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Pada saat yang sama, Anda perlu mengingatnya ditambah satu aturan : kita harus menambahkan satu ke hasil bagi yang dihasilkan: jika tidak, kita akan mendapatkan hasil yang lebih kecil satu dari jumlah pasangan sebenarnya: 42 + 1 = 43.
Ini adalah jumlah barisan aritmatika yang diperlukan dari 4 menjadi 256 dengan selisih 6!
Metode Gauss: penjelasan di kelas 5 di gimnasium Moskow
Berikut cara menyelesaikan soal mencari jumlah suatu deret:
20+40+60+ ... +460+480+500
di kelas 5 gimnasium Moskow, buku teks Vilenkin (menurut putra saya).
Setelah memaparkan presentasi, guru matematika menunjukkan beberapa contoh dengan menggunakan metode Gaussian dan memberikan tugas kepada kelas untuk mencari jumlah bilangan suatu deret dengan kelipatan 20.
Ini memerlukan hal-hal berikut:
Seperti yang Anda lihat, ini lebih kompak dan teknik yang efektif: angka 3 juga merupakan anggota deret Fibonacci
Komentar saya tentang metode Gauss versi sekolah
Ahli matematika hebat pasti akan memilih filsafat jika dia telah meramalkan “metode”-nya akan diubah oleh para pengikutnya. guru bahasa Jerman, yang mencambuk Karl dengan tongkat. Dia akan melihat simbolisme, spiral dialektis, dan kebodohan abadi para “guru”, mencoba mengukur keselarasan pemikiran matematis yang hidup dengan aljabar kesalahpahaman ....
Ngomong-ngomong: tahukah kamu. bahwa sistem pendidikan kita berakar pada sekolah Jerman abad ke-18 dan ke-19?
Tapi Gauss memilih matematika.
Apa inti dari metodenya?
DI DALAM penyederhanaan. DI DALAM mengamati dan menangkap pola angka sederhana. DI DALAM mengubah aritmatika sekolah kering menjadi kegiatan yang menarik dan mengasyikkan , mengaktifkan di otak keinginan untuk melanjutkan, daripada menghalangi aktivitas mental yang berbiaya tinggi.
Apakah mungkin untuk menggunakan salah satu "modifikasi metode" Gauss yang diberikan untuk menghitung jumlah bilangan suatu barisan aritmatika dengan hampir segera? Menurut “algoritma”, Karl kecil dijamin akan terhindar dari pukulan, mengembangkan keengganan terhadap matematika, dan menekan dorongan kreatifnya sejak awal.
Mengapa tutor terus-menerus menasihati siswa kelas lima “untuk tidak takut salah paham” tentang metode ini, meyakinkan mereka bahwa mereka akan menyelesaikan masalah “seperti” sejak kelas 9? Tindakan yang buta huruf secara psikologis. Itu adalah langkah yang bagus untuk diperhatikan: "Sampai jumpa sudah kelas 5 kamu bisa selesaikan masalah yang akan kamu selesaikan hanya dalam 4 tahun! Kamu orang yang hebat!”
Untuk menggunakan metode Gaussian, level 3 sudah cukup, padahal anak normal sudah mengetahui cara menjumlahkan, mengalikan dan membagi bilangan 2-3 digit. Permasalahan muncul karena ketidakmampuan guru-guru dewasa yang “out of touch” untuk menjelaskan hal-hal paling sederhana dalam bahasa manusia normal, apalagi matematika... Mereka tidak mampu membuat orang tertarik pada matematika dan sama sekali mematahkan semangat bahkan mereka yang “” mampu."
Atau, seperti komentar anak saya: “menghasilkan ilmu pengetahuan yang besar.”
Metode Gauss, penjelasan saya
Saya dan istri saya menjelaskan “metode” ini kepada anak kami, bahkan sebelum sekolah...
Kesederhanaan, bukan kerumitan atau permainan tanya jawab
"Lihat, ini angka dari 1 sampai 100. Apa yang kamu lihat?"
Intinya bukanlah apa sebenarnya yang dilihat anak itu. Triknya adalah membuat dia melihat.
"Bagaimana kamu bisa menyatukannya?" Putranya menyadari bahwa pertanyaan seperti itu tidak ditanyakan “begitu saja” dan Anda perlu melihat pertanyaan tersebut “dengan cara yang berbeda, berbeda dari biasanya”
Tidak masalah jika anak tersebut langsung melihat solusinya, kecil kemungkinannya. Penting bagi dia berhenti takut untuk melihat, atau seperti yang saya katakan: “memindahkan tugas”. Ini adalah awal dari jalan menuju pemahaman
“Mana yang lebih mudah: menambahkan, misalnya, 5 dan 6 atau 5 dan 95?” Sebuah pertanyaan utama... Namun pelatihan apa pun bertujuan untuk "membimbing" seseorang menuju "jawaban" - dengan cara apa pun yang dapat diterima olehnya.
Pada tahap ini, mungkin sudah muncul tebakan tentang bagaimana cara “menghemat” perhitungan.
Yang kami lakukan hanyalah memberi petunjuk: metode penghitungan “frontal, linier” bukanlah satu-satunya metode yang mungkin dilakukan. Jika seorang anak memahami hal ini, maka kelak dia akan menemukan lebih banyak lagi metode seperti itu, ini menarik!!! Dan dia pasti akan menghindari “kesalahpahaman” matematika dan tidak akan merasa jijik dengannya. Dia mendapat kemenangan!
Jika anak ditemukan bahwa menjumlahkan pasangan angka yang berjumlah seratus adalah hal yang mudah "perkembangan aritmatika dengan selisih 1"- suatu hal yang agak suram dan tidak menarik bagi seorang anak - tiba-tiba menemukan kehidupan untuknya . Keteraturan muncul dari kekacauan, dan ini selalu menimbulkan antusiasme: begitulah cara kita dibuat!
Sebuah pertanyaan yang harus dijawab: mengapa, setelah wawasan yang diterima seorang anak, ia harus kembali dipaksa ke dalam kerangka algoritma kering, yang juga secara fungsional tidak berguna dalam kasus ini?!
Mengapa memaksakan penulisan ulang yang bodoh? nomor urut di buku catatan: sehingga bahkan orang yang mampu pun tidak memiliki satu kesempatan pun untuk memahaminya? Tentu saja secara statistik, tetapi pendidikan massal diarahkan pada “statistik”...
Kemana perginya angka nol?
Namun, menjumlahkan angka yang berjumlah 100 jauh lebih dapat diterima oleh pikiran daripada angka yang berjumlah 101...
"Metode Sekolah Gauss" memerlukan hal ini: lipat tanpa berpikir panjang pasangan bilangan yang berjarak sama dari pusat barisan, Terlepas dari segalanya.
Bagaimana jika Anda melihat?
Meski begitu, angka nol merupakan penemuan terbesar umat manusia yang berusia lebih dari 2.000 tahun. Dan guru matematika terus mengabaikannya.
Jauh lebih mudah untuk mengubah rangkaian angka yang dimulai dengan 1 menjadi rangkaian yang dimulai dengan 0. Jumlahnya tidak akan berubah, bukan? Anda harus berhenti "berpikir dalam buku teks" dan mulai mencari... Dan lihatlah bahwa pasangan dengan jumlah 101 dapat digantikan seluruhnya dengan pasangan dengan jumlah 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Bagaimana cara menghapuskan "aturan plus 1"?
Sejujurnya, saya pertama kali mendengar aturan seperti itu dari tutor YouTube itu...
Apa yang masih harus saya lakukan ketika saya perlu menentukan jumlah anggota suatu rangkaian?
Saya melihat urutannya:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
dan ketika Anda benar-benar lelah, lanjutkan ke baris yang lebih sederhana:
1, 2, 3, 4, 5
dan menurut saya: jika Anda mengurangi satu dari 5, Anda mendapatkan 4, tapi saya sangat jelas Jadi begitu 5 angka! Oleh karena itu, Anda perlu menambahkan satu! Pengertian angka berkembang pada tahun sekolah dasar, menyarankan: meskipun ada seluruh anggota Google dalam rangkaian ini (10 pangkat seratus), polanya akan tetap sama.
Apa sih aturannya?..
Sehingga dalam beberapa atau tiga tahun Anda dapat mengisi seluruh ruang antara dahi dan belakang kepala dan berhenti berpikir? Bagaimana cara mendapatkan roti dan mentega? Bagaimanapun, kita sedang bergerak menuju era ekonomi digital!
Lebih lanjut tentang metode sekolah Gauss: “mengapa menjadikan sains dari sini?..”
Bukan tanpa alasan saya memposting tangkapan layar dari buku catatan anak saya...
“Apa yang terjadi di kelas?”
“Yah, aku langsung menghitung, mengangkat tanganku, tapi dia tidak bertanya. Oleh karena itu, ketika yang lain menghitung, aku mulai mengerjakan pekerjaan rumah dalam bahasa Rusia agar tidak membuang waktu. ??), dia memanggilku ke papan tulis.
“Benar, tunjukkan padaku bagaimana kamu menyelesaikannya,” kata guru. Saya menunjukkannya. Dia berkata: “Salah, kamu harus menghitung seperti yang saya tunjukkan!”
“Untungnya dia tidak memberi saya nilai buruk. Dan dia menyuruh saya menulis di buku catatan saya “jalan penyelesaiannya” dengan cara mereka sendiri.
Kejahatan utama seorang guru matematika
Hampir setelahnya kejadian itu Carl Gauss merasakan rasa hormat yang tinggi terhadap guru matematika sekolahnya. Tapi jika dia tahu caranya pengikut guru itu akan mendistorsi inti dari metode ini...dia akan mengaum dengan marah dan melalui Organisasi Dunia hak milik intelektual WIPO telah melarang penggunaan nama wajarnya di buku pelajaran sekolah!..
Dalam apa kesalahan utama pendekatan sekolah? Atau, seperti yang saya katakan, kejahatan guru matematika sekolah terhadap anak-anak?
Algoritma kesalahpahaman
Apa yang dilakukan para ahli metodologi sekolah, yang sebagian besarnya tidak tahu cara berpikir?
Mereka menciptakan metode dan algoritma (lihat). Ini reaksi defensif yang melindungi guru dari kritik (“Semuanya dilakukan sesuai dengan…”) dan anak-anak dari pemahaman. Jadi - dari keinginan untuk mengkritik guru!(Turunan kedua dari “kebijaksanaan” birokrasi, pendekatan ilmiah terhadap masalah). Seseorang yang tidak memahami maknanya akan lebih memilih menyalahkan kesalahpahamannya sendiri, dibandingkan kebodohan sistem sekolah.
Inilah yang terjadi: orang tua menyalahkan anak-anak mereka, dan guru... melakukan hal yang sama terhadap anak-anak yang “tidak mengerti matematika!”
Apakah kamu pintar?
Apa yang dilakukan Karl kecil?
Pendekatan yang sepenuhnya tidak konvensional terhadap tugas yang dirumuskan. Inilah inti dari pendekatan-Nya. Ini hal utama yang harus diajarkan di sekolah adalah berpikir bukan dengan buku teks, tetapi dengan kepala. Tentunya ada juga komponen instrumental yang bisa digunakan... untuk mencari lebih sederhana dan metode yang efektif akun.
Metode Gauss menurut Vilenkin
Di sekolah mereka mengajarkan bahwa metode Gauss adalah
Apa, jika jumlah anggota deret tersebut ganjil, seperti pada soal yang dilimpahkan kepada anak saya?..
"Tangkapannya" adalah dalam kasus ini Anda harus menemukan nomor "ekstra" dalam seri tersebut dan menambahkannya ke jumlah pasangan. Dalam contoh kita, angka ini adalah 260.
Bagaimana cara mendeteksinya? Menyalin semua pasangan angka ke dalam buku catatan!(Inilah sebabnya guru menyuruh anak-anak melakukan pekerjaan bodoh ini dengan mencoba mengajarkan "kreativitas" menggunakan metode Gaussian... Dan inilah mengapa "metode" seperti itu secara praktis tidak dapat diterapkan pada rangkaian data yang besar, DAN inilah alasannya. bukan metode Gaussian).
Sedikit kreativitas dalam rutinitas sekolah...
Putranya bertindak berbeda.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Tidak sulit, bukan?
Namun dalam praktiknya, hal ini menjadi lebih mudah, yang memungkinkan Anda meluangkan waktu 2-3 menit untuk penginderaan jauh dalam bahasa Rusia, sementara sisanya “menghitung”. Selain itu, metode ini mempertahankan jumlah langkah metode: 5, yang tidak memungkinkan pendekatan tersebut dikritik karena tidak ilmiah.
Jelas sekali pendekatan ini lebih sederhana, lebih cepat dan lebih universal, sesuai gaya Metode. Tapi… guru tidak hanya tidak memuji, tapi juga memaksa saya untuk menulis ulang “dengan cara yang benar” (lihat tangkapan layar). Artinya, dia melakukan upaya putus asa untuk membungkam dorongan kreatif dan kemampuan memahami matematika sampai ke akar-akarnya! Rupanya, agar dia nantinya bisa dipekerjakan sebagai tutor... Dia menyerang orang yang salah...
Segala sesuatu yang saya uraikan begitu panjang dan membosankan bisa dijelaskan kepada anak normal dalam waktu maksimal setengah jam. Beserta contohnya.
Dan sedemikian rupa sehingga dia tidak akan pernah melupakannya.
Dan itu akan terjadi langkah menuju pemahaman...bukan hanya ahli matematika.
Akui saja: berapa kali dalam hidup Anda Anda menjumlahkan menggunakan metode Gaussian? Dan saya tidak pernah melakukannya!
Tetapi naluri pemahaman, yang berkembang (atau padam) dalam proses pembelajaran metode matematika di sekolah... Oh!.. Ini benar-benar hal yang tak tergantikan!
Terutama di era digitalisasi universal, yang diam-diam kita masuki di bawah kepemimpinan ketat Partai dan Pemerintah.
Beberapa kata untuk membela guru...
Tidaklah adil dan salah jika menempatkan seluruh tanggung jawab gaya mengajar seperti ini hanya pada guru sekolah. Sistem ini berlaku.
Beberapa guru memahami absurditas dari apa yang terjadi, tetapi apa yang harus dilakukan? Undang-undang tentang Pendidikan, Standar Pendidikan Negara Bagian Federal, metode, peta teknologi pelajaran... Segala sesuatu harus dilakukan “sesuai dengan dan atas dasar” dan semuanya harus didokumentasikan. Minggir - berdiri dalam antrean untuk dipecat. Jangan munafik: gaji guru Moskow sangat bagus... Jika mereka memecat Anda, ke mana harus pergi?..
Oleh karena itu situs ini bukan tentang pendidikan. Dia tentang pendidikan individu, hanya cara yang mungkin keluar dari kerumunan generasi Z ...
Dalam artikel ini, metode tersebut dianggap sebagai metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier (SLAE). Metode ini bersifat analitis, yaitu memungkinkan Anda untuk menulis algoritma solusi pandangan umum, lalu gantikan nilai dari contoh spesifik di sana. Berbeda dengan metode matriks atau rumus Cramer, saat menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan metode Gauss, Anda juga dapat mengerjakan persamaan yang memiliki jumlah solusi tak terhingga. Atau mereka tidak memilikinya sama sekali.
Apa yang dimaksud dengan penyelesaian dengan metode Gaussian?
Pertama, kita perlu menulis sistem persamaan kita pada tampilannya seperti ini. Ambil sistemnya:
Koefisien ditulis dalam bentuk tabel, dan suku bebasnya ditulis pada kolom tersendiri di sebelah kanan. Kolom dengan suku bebas dipisahkan untuk memudahkan. Matriks yang memuat kolom ini disebut diperluas.
Selanjutnya, matriks utama dengan koefisien harus direduksi menjadi bentuk segitiga atas. Inilah inti penyelesaian sistem dengan metode Gaussian. Sederhananya, setelah manipulasi tertentu, matriks akan terlihat sedemikian rupa sehingga bagian kiri bawahnya hanya berisi angka nol:
Kemudian, jika Anda menulis matriks baru lagi sebagai sistem persamaan, Anda akan melihat bahwa baris terakhir sudah berisi nilai salah satu akar, yang kemudian disubstitusikan ke persamaan di atas, ditemukan akar lain, dan seterusnya.
Ini adalah gambaran paling banyak tentang solusi dengan metode Gaussian garis besar umum. Apa yang terjadi jika tiba-tiba sistem tidak mempunyai solusi? Atau apakah jumlah mereka sangat banyak? Untuk menjawab pertanyaan ini dan banyak pertanyaan lainnya, perlu mempertimbangkan secara terpisah semua elemen yang digunakan dalam menyelesaikan metode Gaussian.
Matriks, sifat-sifatnya
Tidak ada makna tersembunyi tidak ada dalam matriks. Ini hanyalah cara mudah untuk merekam data untuk operasi selanjutnya dengannya. Bahkan anak sekolah pun tidak perlu takut pada mereka.
Matriksnya selalu berbentuk persegi panjang, karena lebih nyaman. Bahkan dalam metode Gaussian, yang semuanya bermuara pada pembuatan matriks bentuknya segitiga, entri berisi persegi panjang, hanya dengan angka nol di tempat yang tidak ada angkanya. Angka nol mungkin tidak tertulis, tetapi tersirat.
Matriks memiliki ukuran. “Lebar” adalah jumlah baris (m), “panjang” adalah jumlah kolom (n). Kemudian ukuran matriks A (biasanya huruf kapital digunakan untuk menyatakannya) surat) akan dilambangkan sebagai A m×n. Jika m=n, maka matriks tersebut berbentuk persegi, dan m=n adalah ordenya. Oleh karena itu, setiap elemen matriks A dapat dilambangkan dengan nomor baris dan kolomnya: a xy ; x - nomor baris, perubahan, y - nomor kolom, perubahan.
B bukanlah poin utama keputusan. Pada prinsipnya, semua operasi dapat dilakukan secara langsung dengan persamaan itu sendiri, tetapi notasinya akan jauh lebih rumit, dan akan lebih mudah untuk menjadi bingung.
Penentu
Matriks juga mempunyai determinan. Ini sangat karakteristik penting. Tidak perlu mencari tahu maknanya sekarang; Anda cukup menunjukkan cara menghitungnya, lalu mengetahui properti matriks apa yang ditentukannya. Cara termudah untuk mencari determinan adalah melalui diagonal. Diagonal imajiner digambar dalam matriks; elemen-elemen yang terletak pada masing-masingnya dikalikan, dan kemudian produk yang dihasilkan ditambahkan: diagonal dengan kemiringan ke kanan - dengan tanda plus, dengan kemiringan ke kiri - dengan tanda minus.
Penting untuk diperhatikan bahwa determinan hanya dapat dihitung untuk matriks persegi. Untuk matriks persegi panjang, Anda dapat melakukan hal berikut: pilih yang terkecil dari jumlah baris dan jumlah kolom (biarkan k), lalu tandai secara acak k kolom dan k baris dalam matriks. Elemen-elemen pada perpotongan kolom dan baris yang dipilih akan membentuk matriks persegi baru. Jika determinan matriks tersebut adalah bilangan bukan nol, maka disebut basis minor matriks persegi panjang asal.
Sebelum Anda mulai menyelesaikan suatu sistem persamaan dengan metode Gaussian, tidak ada salahnya untuk menghitung determinannya. Jika ternyata nol, maka kita dapat langsung mengatakan bahwa matriks tersebut mempunyai jumlah solusi yang tak terhingga atau tidak ada solusi sama sekali. Dalam kasus yang menyedihkan ini, Anda perlu melangkah lebih jauh dan mencari tahu tentang peringkat matriks.
Klasifikasi sistem
Ada yang namanya pangkat suatu matriks. Ini pesanan maksimum determinannya, berbeda dengan nol (jika kita mengingat tentang basis minor, kita dapat mengatakan bahwa pangkat matriks adalah orde dari basis minor).
Berdasarkan situasi peringkatnya, SLAE dapat dibagi menjadi:
- Persendian. kamu Dalam sistem gabungan, pangkat matriks utama (hanya terdiri dari koefisien) bertepatan dengan pangkat matriks yang diperluas (dengan kolom suku bebas). Sistem seperti itu mempunyai solusi, tetapi belum tentu satu, oleh karena itu, sistem gabungan juga dibagi menjadi:
- - yakin- memiliki solusi tunggal. Dalam sistem tertentu, pangkat matriks dan jumlah yang tidak diketahui (atau jumlah kolom, yang merupakan hal yang sama) adalah sama;
- - belum diartikan - dengan jumlah solusi yang tidak terbatas. Pangkat matriks dalam sistem seperti itu lebih kecil dari jumlah matriks yang tidak diketahui.
- Tidak kompatibel. kamu Dalam sistem seperti itu, barisan matriks utama dan matriks yang diperluas tidak berhimpitan. Sistem yang tidak kompatibel tidak memiliki solusi.
Metode Gauss bagus karena selama penyelesaiannya memungkinkan seseorang memperoleh bukti yang jelas tentang ketidakkonsistenan sistem (tanpa menghitung determinan matriks besar), atau solusi dalam bentuk umum untuk sistem dengan jumlah solusi tak terbatas.
Transformasi dasar
Sebelum melanjutkan langsung ke penyelesaian sistem, Anda dapat membuatnya tidak terlalu rumit dan lebih nyaman untuk perhitungan. Hal ini dicapai melalui transformasi dasar - sehingga implementasinya tidak mengubah jawaban akhir dengan cara apa pun. Perlu dicatat bahwa beberapa transformasi dasar di atas hanya berlaku untuk matriks yang bersumber dari SLAE. Berikut adalah daftar transformasi tersebut:
- Menata ulang string. Jelasnya, jika Anda mengubah urutan persamaan dalam catatan sistem, hal ini tidak akan mempengaruhi penyelesaian dengan cara apa pun. Oleh karena itu, baris-baris dalam matriks sistem ini juga dapat dipertukarkan, tentu saja tidak melupakan kolom suku bebas.
- Mengalikan semua elemen string dengan koefisien tertentu. Sangat membantu! Dapat digunakan untuk memperpendek angka besar dalam matriks atau hilangkan angka nol. Banyak keputusan, seperti biasa, tidak akan berubah, tapi operasi lebih lanjut itu akan menjadi lebih nyaman. Yang utama adalah koefisiennya tidak sama dengan nol.
- Menghapus baris dengan faktor proporsional. Ini sebagian mengikuti paragraf sebelumnya. Jika dua baris atau lebih dalam suatu matriks mempunyai koefisien proporsional, maka ketika salah satu baris dikalikan/dibagi dengan koefisien proporsionalitas, diperoleh dua (atau, sekali lagi, lebih) baris yang benar-benar identik, dan baris tambahannya dapat dihilangkan, sehingga menyisakan hanya satu.
- Menghapus garis nol. Jika, selama transformasi, diperoleh suatu baris yang semua elemennya, termasuk anggota bebasnya, adalah nol, maka baris tersebut dapat disebut nol dan dikeluarkan dari matriks.
- Menjumlahkan elemen-elemen dari satu baris dengan elemen-elemen lainnya (di kolom yang sesuai), dikalikan dengan koefisien tertentu. Transformasi yang paling tidak terlihat dan paling penting dari semuanya. Ada baiknya membahasnya lebih detail.
Menambahkan string dikalikan dengan faktor
Untuk memudahkan pemahaman, ada baiknya menguraikan proses ini langkah demi langkah. Dua baris diambil dari matriks:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Katakanlah Anda perlu menambahkan yang pertama ke yang kedua, dikalikan dengan koefisien "-2".
sebuah" 21 = sebuah 21 + -2×sebuah 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Kemudian baris kedua dalam matriks diganti dengan yang baru, dan baris pertama tetap tidak berubah.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Perlu dicatat bahwa koefisien perkalian dapat dipilih sedemikian rupa sehingga, sebagai hasil penjumlahan dua baris, salah satu elemen baris baru sama dengan nol. Oleh karena itu, dimungkinkan untuk memperoleh persamaan dalam suatu sistem di mana terdapat satu persamaan yang kurang diketahui. Dan jika Anda mendapatkan dua persamaan seperti itu, maka operasi dapat dilakukan lagi dan mendapatkan persamaan yang berisi dua persamaan yang lebih sedikit. Dan jika setiap kali Anda mengubah satu koefisien dari semua baris di bawah yang asli menjadi nol, maka Anda dapat, seperti tangga, turun ke bagian paling bawah matriks dan mendapatkan persamaan dengan satu yang tidak diketahui. Ini disebut penyelesaian sistem menggunakan metode Gaussian.
Secara umum
Biarlah ada sistem. Ia mempunyai m persamaan dan n akar yang tidak diketahui. Anda dapat menulisnya sebagai berikut:
Matriks utama disusun dari koefisien sistem. Kolom suku bebas ditambahkan ke matriks yang diperluas dan, untuk memudahkan, dipisahkan oleh sebuah garis.
- baris pertama matriks dikalikan dengan koefisien k = (-a 21 /a 11);
- baris pertama yang diubah dan baris kedua matriks ditambahkan;
- sebagai ganti baris kedua, hasil penjumlahan dari paragraf sebelumnya dimasukkan ke dalam matriks;
- sekarang koefisien pertama masuk detik baru garisnya adalah a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Sekarang rangkaian transformasi yang sama dilakukan, hanya baris pertama dan ketiga yang terlibat. Oleh karena itu, pada setiap langkah algoritma, elemen a 21 digantikan oleh 31. Kemudian semuanya diulangi untuk 41, ... a m1. Hasilnya adalah matriks yang elemen pertama pada barisnya adalah nol. Sekarang Anda harus melupakan baris nomor satu dan melakukan algoritma yang sama, mulai dari baris kedua:
- koefisien k = (-a 32 /a 22);
- baris kedua yang diubah ditambahkan ke baris "saat ini";
- hasil penjumlahan tersebut disubstitusikan pada baris ketiga, keempat, dan seterusnya, sedangkan baris pertama dan kedua tidak berubah;
- pada baris-baris matriks, dua elemen pertama sudah sama dengan nol.
Algoritma harus diulang sampai koefisien k = (-am,m-1 /a mm) muncul. Artinya di terakhir kali algoritma ini dilakukan hanya untuk persamaan yang lebih rendah. Sekarang matriksnya tampak seperti segitiga, atau berbentuk berundak. Intinya ada persamaan a mn × x n = b m. Koefisien dan suku bebasnya diketahui, dan akarnya dinyatakan melaluinya: x n = b m /a mn. Akar yang dihasilkan disubstitusikan ke baris paling atas untuk mencari x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))±a m-1,n-1. Dan seterusnya dengan analogi: di setiap baris berikutnya ada root baru, dan, setelah mencapai "puncak" sistem, Anda dapat menemukan banyak solusi. Itu akan menjadi satu-satunya.
Ketika tidak ada solusi
Jika dalam salah satu baris matriks semua elemen kecuali suku bebas sama dengan nol, maka persamaan yang bersesuaian dengan baris tersebut terlihat seperti 0 = b. Tidak ada solusi. Dan karena persamaan seperti itu termasuk dalam sistem, maka himpunan solusi seluruh sistem adalah kosong, yaitu merosot.
Ketika terdapat solusi yang jumlahnya tak terhingga
Mungkin saja dalam matriks segitiga tertentu tidak ada baris dengan satu elemen koefisien persamaan dan satu suku bebas. Hanya ada garis yang jika ditulis ulang akan terlihat seperti persamaan dengan dua variabel atau lebih. Artinya sistem mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga. Dalam hal ini jawabannya dapat diberikan dalam bentuk solusi umum. Bagaimana cara melakukannya?
Semua variabel dalam matriks dibagi menjadi dasar dan bebas. Yang dasar adalah yang berdiri “di tepi” baris-baris dalam matriks langkah. Sisanya gratis. Dalam solusi umum, variabel dasar dituliskan melalui variabel bebas.
Untuk memudahkan, matriks terlebih dahulu ditulis ulang menjadi sistem persamaan. Kemudian pada variabel terakhir, yang hanya tersisa satu variabel dasar, variabel tersebut tetap berada di satu sisi, dan semua variabel lainnya dipindahkan ke sisi lainnya. Hal ini dilakukan untuk setiap persamaan dengan satu variabel dasar. Kemudian, dalam persamaan lainnya, jika memungkinkan, ekspresi yang diperoleh diganti dengan variabel dasar. Jika hasilnya lagi-lagi merupakan ekspresi yang hanya berisi satu variabel dasar, maka hasilnya akan dinyatakan lagi dari sana, dan seterusnya, hingga setiap variabel dasar ditulis sebagai ekspresi dengan variabel bebas. Begitulah adanya keputusan bersama SLAU.
Anda juga dapat menemukan solusi dasar sistem - berikan nilai apa pun pada variabel bebas, lalu untuk kasus khusus ini hitung nilai variabel dasar. Ada banyak sekali solusi khusus yang dapat diberikan.
Solusi dengan contoh spesifik
Berikut adalah sistem persamaan.
Untuk kenyamanan, lebih baik segera membuat matriksnya
Diketahui bahwa jika diselesaikan dengan metode Gaussian, persamaan yang bersesuaian dengan baris pertama akan tetap tidak berubah pada akhir transformasi. Oleh karena itu, akan lebih menguntungkan jika elemen kiri atas matriks adalah yang terkecil - maka elemen pertama dari baris yang tersisa setelah operasi akan menjadi nol. Artinya, dalam matriks yang dikompilasi, akan lebih menguntungkan jika baris kedua ditempatkan di tempat baris pertama.
baris kedua: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
baris ketiga: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Sekarang, agar tidak bingung, Anda perlu menuliskan matriks dengan hasil antara transformasinya.
Jelasnya, matriks seperti itu dapat dibuat lebih nyaman untuk dilihat dengan menggunakan operasi tertentu. Misalnya, Anda dapat menghapus semua “minus” dari baris kedua dengan mengalikan setiap elemen dengan “-1”.
Perlu juga dicatat bahwa pada baris ketiga semua elemen adalah kelipatan tiga. Kemudian Anda dapat mempersingkat string dengan angka ini dengan mengalikan setiap elemen dengan "-1/3" (dikurangi - sekaligus menghilangkan nilai negatif).
Terlihat jauh lebih bagus. Sekarang kita perlu meninggalkan baris pertama dan bekerja dengan baris kedua dan ketiga. Tugasnya adalah menambahkan baris kedua ke baris ketiga, dikalikan dengan koefisien sedemikian rupa sehingga elemen a 32 menjadi sama dengan nol.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (jika pada beberapa transformasi jawabannya tidak berupa bilangan bulat, disarankan untuk menjaga keakuratan perhitungan untuk meninggalkan itu “sebagaimana adanya”, dalam bentuk pecahan biasa, dan baru kemudian, setelah jawabannya diterima, putuskan apakah akan membulatkan dan mengonversinya ke bentuk pencatatan lain)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matriks ditulis kembali dengan nilai baru.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Seperti yang Anda lihat, matriks yang dihasilkan sudah berbentuk bertahap. Oleh karena itu, transformasi sistem lebih lanjut menggunakan metode Gaussian tidak diperlukan. Yang bisa dilakukan disini adalah menghapus dari baris ketiga koefisien keseluruhan "-1/7".
Sekarang semuanya indah. Yang perlu dilakukan hanyalah menuliskan kembali matriks tersebut dalam bentuk sistem persamaan dan menghitung akar-akarnya
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritme yang digunakan untuk menemukan akar-akarnya sekarang disebut langkah terbalik dalam metode Gaussian. Persamaan (3) mengandung nilai z:
kamu = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Dan persamaan pertama memungkinkan kita mencari x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Kita berhak menyebut sistem seperti itu gabungan, dan bahkan pasti, yaitu memiliki solusi unik. Jawabannya ditulis dalam bentuk berikut:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Contoh sistem yang tidak pasti
Varian penyelesaian sistem tertentu dengan menggunakan metode Gauss telah dianalisis; sekarang perlu untuk mempertimbangkan kasus jika sistem tersebut tidak pasti, yaitu, banyak solusi yang dapat ditemukan untuk sistem tersebut.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Kemunculan sistem itu sendiri sudah memprihatinkan, karena banyaknya yang tidak diketahui adalah n = 5, dan rank matriks sistem sudah tepat lebih kecil dari bilangan tersebut, karena banyaknya barisnya adalah m = 4, yaitu, orde tertinggi dari determinan-kuadrat adalah 4. Artinya, terdapat jumlah solusi yang tak terhingga, dan Anda perlu mencari tampilan umumnya. Metode Gauss untuk persamaan linier memungkinkan Anda melakukan hal ini.
Pertama, seperti biasa, matriks yang diperluas dikompilasi.
Baris kedua: koefisien k = (-a 21 /a 11) = -3. Pada baris ketiga, elemen pertama ada sebelum transformasi, jadi Anda tidak perlu menyentuh apa pun, Anda harus membiarkannya apa adanya. Baris keempat: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Dengan mengalikan elemen-elemen baris pertama dengan masing-masing koefisiennya secara bergantian dan menambahkannya ke baris-baris yang diperlukan, kita memperoleh matriks dengan bentuk berikut:
Seperti yang Anda lihat, baris kedua, ketiga dan keempat terdiri dari elemen-elemen yang sebanding satu sama lain. Yang kedua dan keempat umumnya identik, jadi salah satunya bisa langsung dihilangkan, dan sisanya bisa dikalikan dengan koefisien “-1” dan mendapatkan garis nomor 3. Dan lagi, dari dua garis yang identik, sisakan satu.
Hasilnya adalah matriks seperti ini. Meskipun sistemnya belum ditulis, variabel dasar perlu ditentukan di sini - variabel yang berada pada koefisien a 11 = 1 dan a 22 = 1, dan variabel bebas - sisanya.
Dalam persamaan kedua hanya ada satu variabel dasar - x 2. Artinya dapat dinyatakan dari sana dengan menuliskannya melalui variabel x 3 , x 4 , x 5 , yang bebas.
Kami mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan pertama.
Hasilnya adalah persamaan yang variabel dasarnya hanya x 1 . Mari kita lakukan hal yang sama seperti pada x 2.
Semua variabel dasar, yang ada dua, dinyatakan dalam tiga variabel bebas; sekarang kita dapat menuliskan jawabannya dalam bentuk umum.
Anda juga dapat menentukan salah satu solusi tertentu dari sistem. Untuk kasus seperti itu, angka nol biasanya dipilih sebagai nilai variabel bebas. Maka jawabannya adalah:
16, 23, 0, 0, 0.
Contoh sistem non kooperatif
Menyelesaikan sistem persamaan yang tidak kompatibel menggunakan metode Gauss adalah yang tercepat. Ini berakhir segera setelah pada salah satu tahap diperoleh persamaan yang tidak memiliki solusi. Artinya, tahap penghitungan akar yang cukup panjang dan melelahkan dihilangkan. Sistem berikut dipertimbangkan:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Seperti biasa, matriks dikompilasi:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Dan itu direduksi menjadi bentuk bertahap:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Setelah transformasi pertama, baris ketiga berisi persamaan bentuk
tanpa solusi. Akibatnya, sistem menjadi tidak konsisten dan jawabannya adalah himpunan kosong.
Keuntungan dan kerugian dari metode ini
Jika Anda memilih metode penyelesaian SLAE di atas kertas dengan pena, maka metode yang dibahas dalam artikel ini terlihat paling menarik. Jauh lebih sulit untuk menjadi bingung dalam transformasi dasar dibandingkan jika Anda harus mencari determinan atau matriks invers yang rumit secara manual. Namun, jika Anda menggunakan program untuk bekerja dengan jenis data ini, misalnya, spreadsheet, ternyata program tersebut sudah memuat algoritma untuk menghitung parameter utama matriks - determinan, minor, invers, dan sebagainya. Dan jika yakin mesin akan menghitung sendiri nilai-nilai tersebut dan tidak akan melakukan kesalahan, lebih disarankan menggunakan metode matriks atau rumus Cramer, karena penerapannya diawali dan diakhiri dengan perhitungan determinan dan matriks terbalik.
Aplikasi
Karena solusi Gaussian adalah sebuah algoritma, dan matriksnya sebenarnya adalah array dua dimensi, maka solusi tersebut dapat digunakan dalam pemrograman. Namun karena artikel tersebut memposisikan dirinya sebagai panduan “untuk orang bodoh”, maka harus dikatakan bahwa tempat termudah untuk menerapkan metode ini adalah spreadsheet, misalnya Excel. Sekali lagi, setiap SLAE yang dimasukkan ke dalam tabel dalam bentuk matriks akan dianggap oleh Excel sebagai array dua dimensi. Dan untuk operasi dengan mereka ada banyak perintah yang bagus: penjumlahan (Anda hanya dapat menjumlahkan matriks dengan ukuran yang sama!), perkalian dengan angka, perkalian matriks (juga dengan batasan tertentu), mencari matriks invers dan transposisi dan, yang paling penting , menghitung determinannya. Jika tugas yang memakan waktu ini digantikan dengan satu perintah, maka dimungkinkan untuk menentukan peringkat matriks jauh lebih cepat dan, oleh karena itu, menentukan kompatibilitas atau ketidakcocokannya.
