Cara menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gaussian. Kebalikan dari metode Gaussian

Di sini Anda dapat menyelesaikan sistem secara gratis persamaan linear Metode Gauss online ukuran besar dalam bilangan kompleks dengan solusi yang sangat rinci. Kalkulator kami dapat menyelesaikan sistem persamaan linier pasti dan tak tentu secara online menggunakan metode Gaussian, yang memiliki jumlah solusi tak terhingga. Dalam hal ini, dalam jawabannya Anda akan mendapatkan ketergantungan beberapa variabel pada variabel bebas lainnya. Anda juga dapat memeriksa konsistensi sistem persamaan secara online menggunakan solusi Gaussian.

Ukuran matriks: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

Tentang metodenya

Saat menyelesaikan sistem persamaan linear metode daring Gauss langkah-langkah berikut dilakukan.

1. Kami menulis matriks yang diperluas.
2. Faktanya, solusinya dibagi menjadi langkah maju dan mundur dari metode Gaussian. Langkah langsung metode Gaussian adalah reduksi suatu matriks menjadi bentuk bertahap. Kebalikan dari metode Gaussian adalah reduksi matriks menjadi bentuk bertahap khusus. Namun dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk segera menghilangkan apa yang terletak di atas dan di bawah elemen yang dimaksud. Kalkulator kami menggunakan pendekatan ini.
3. Penting untuk dicatat bahwa ketika menyelesaikan dengan menggunakan metode Gaussian, kehadiran dalam matriks setidaknya satu baris nol dengan BUKAN nol sisi kanan(kolom anggota bebas) menunjukkan ketidakcocokan sistem. Larutan sistem linier dalam hal ini tidak ada.

Untuk memahami dengan baik cara kerja algoritma Gaussian online, masukkan contoh apa pun, pilih “solusi sangat detail” dan lihat solusinya secara online.

Metode Gauss, disebut juga metode eliminasi berurutan tidak diketahui adalah sebagai berikut. Dengan menggunakan transformasi dasar, sistem persamaan linear dibawa ke bentuk sedemikian rupa sehingga matriks koefisiennya menjadi trapesium (sama dengan segitiga atau berundak) atau mendekati trapesium (goresan langsung metode Gaussian, selanjutnya disebut guratan lurus saja). Contoh sistem dan penyelesaiannya dapat dilihat pada gambar di atas.

Dalam sistem seperti itu, persamaan terakhir hanya berisi satu variabel dan nilainya dapat ditemukan dengan jelas. Nilai variabel ini kemudian disubstitusikan ke persamaan sebelumnya ( kebalikan dari metode Gaussian , lalu kebalikannya), dari mana variabel sebelumnya ditemukan, dan seterusnya.

Dalam sistem trapesium (segitiga), seperti yang kita lihat, persamaan ketiga tidak lagi memuat variabel kamu Dan X, dan persamaan kedua adalah variabel X .

Setelah matriks sistem berbentuk trapesium, tidak sulit lagi untuk memahami masalah kompatibilitas sistem, menentukan banyaknya solusi, dan mencari solusi sendiri.

Keuntungan dari metode ini:

1. ketika menyelesaikan sistem persamaan linier dengan lebih dari tiga persamaan dan persamaan yang tidak diketahui, metode Gauss tidak serumit metode Cramer, karena penyelesaian dengan metode Gauss memerlukan perhitungan yang lebih sedikit;
2. Dengan menggunakan metode Gauss, Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan linear tak tentu, yaitu memiliki keputusan bersama(dan kita akan membahasnya dalam pelajaran ini), namun dengan menggunakan metode Cramer, kita hanya dapat menyatakan bahwa sistem tersebut tidak pasti;
3. Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan linier yang jumlah persamaannya tidak sama dengan jumlah persamaan (kami juga akan menganalisisnya dalam pelajaran ini);
4. Metode ini didasarkan pada metode dasar (sekolah) - metode substitusi yang tidak diketahui dan metode penambahan persamaan, yang telah kita bahas di artikel terkait.

Agar semua orang memahami kesederhanaan penyelesaian sistem persamaan linear trapesium (segitiga, langkah), kami menyajikan solusi untuk sistem tersebut menggunakan gerak mundur. Keputusan cepat Sistem ini ditunjukkan pada gambar di awal pembelajaran.

Contoh 1. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan invers:

Larutan. Dalam sistem trapesium ini variabelnya z dapat ditemukan secara unik dari persamaan ketiga. Kami mengganti nilainya ke persamaan kedua dan mendapatkan nilai variabel kamu:

Sekarang kita mengetahui nilai dari dua variabel - z Dan kamu. Kami mensubstitusikannya ke persamaan pertama dan mendapatkan nilai variabelnya X:

Dari langkah sebelumnya kita tuliskan solusi sistem persamaan:

Untuk mendapatkan sistem persamaan linear trapesium, yang kita selesaikan dengan sangat sederhana, perlu menggunakan langkah maju yang terkait dengan transformasi dasar sistem persamaan linear. Ini juga tidak terlalu sulit.

Transformasi dasar sistem persamaan linear

Mengulangi metode sekolah dalam menjumlahkan persamaan suatu sistem secara aljabar, kita menemukan bahwa pada salah satu persamaan sistem kita dapat menambahkan persamaan sistem yang lain, dan setiap persamaan dapat dikalikan dengan beberapa angka. Hasilnya, kita memperoleh sistem persamaan linier yang setara dengan sistem ini. Di dalamnya, satu persamaan sudah berisi hanya satu variabel, dengan mensubstitusi nilainya ke persamaan lain, kita sampai pada solusi. Penjumlahan tersebut merupakan salah satu jenis transformasi dasar sistem. Saat menggunakan metode Gaussian, kita dapat menggunakan beberapa jenis transformasi.

Animasi di atas menunjukkan bagaimana sistem persamaan berangsur-angsur berubah menjadi trapesium. Artinya, yang Anda lihat di animasi pertama dan meyakinkan diri sendiri bahwa mudah untuk menemukan nilai dari semua yang tidak diketahui darinya. Bagaimana melakukan transformasi tersebut dan tentu saja contohnya akan dibahas lebih lanjut.

Saat menyelesaikan sistem persamaan linier dengan sejumlah persamaan dan persamaan yang tidak diketahui dalam sistem persamaan dan dalam matriks yang diperluas dari sistem Bisa:

1. mengatur ulang baris (ini disebutkan di awal artikel ini);
2. jika transformasi lain menghasilkan baris yang sama atau proporsional, maka transformasi tersebut dapat dihapus, kecuali satu;
3. hapus baris “nol” yang semua koefisiennya sama dengan nol;
4. mengalikan atau membagi string apa pun dengan angka tertentu;
5. ke baris mana pun tambahkan baris lain, dikalikan dengan angka tertentu.

Sebagai hasil transformasi, kita memperoleh sistem persamaan linear yang setara dengan ini.

Algoritma dan contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan sistem matriks persegi menggunakan metode Gauss

Pertama-tama mari kita pertimbangkan penyelesaian sistem persamaan linear yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaannya. Matriks sistem seperti itu berbentuk persegi, yaitu jumlah baris di dalamnya sama dengan jumlah kolom.

Contoh 2. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss

Saat menyelesaikan sistem persamaan linear dengan metode sekolah, kita mengalikan salah satu persamaan suku demi suku dengan bilangan tertentu, sehingga koefisien variabel pertama pada kedua persamaan tersebut adalah bilangan yang berlawanan. Saat menjumlahkan persamaan, variabel ini dihilangkan. Metode Gauss bekerja dengan cara yang sama.

Untuk menyederhanakan penampilan solusi mari kita buat matriks yang diperluas dari sistem:

Dalam matriks ini, koefisien-koefisien yang tidak diketahui terletak di sebelah kiri sebelum garis vertikal, dan suku-suku bebasnya terletak di sebelah kanan setelah garis vertikal.

Untuk kemudahan membagi koefisien variabel (untuk mendapatkan pembagian dengan kesatuan) Mari kita tukar baris pertama dan kedua dari matriks sistem. Kita memperoleh sistem yang ekuivalen dengan sistem ini, karena dalam sistem persamaan linear persamaan-persamaan tersebut dapat dipertukarkan:

Menggunakan persamaan pertama yang baru menghilangkan variabel tersebut X dari persamaan kedua dan semua persamaan berikutnya. Untuk melakukan ini, ke baris kedua matriks kita tambahkan baris pertama dikalikan (dalam kasus kita dengan ), ke baris ketiga - baris pertama dikalikan (dalam kasus kita dengan ).

Hal ini dimungkinkan karena

Jika sistem persamaan kita punya lebih dari tiga, maka baris pertama harus dijumlahkan ke semua persamaan berikutnya, dikalikan dengan rasio koefisien-koefisien yang bersesuaian, diambil dengan tanda minus.

Hasilnya, kita memperoleh matriks yang ekuivalen dengan sistem sistem persamaan baru ini, di mana semua persamaan, mulai dari persamaan kedua tidak mengandung variabel X :

Untuk menyederhanakan baris kedua dari sistem yang dihasilkan, kalikan dengan dan dapatkan kembali matriks sistem persamaan yang setara dengan sistem ini:

Sekarang, dengan menjaga persamaan pertama dari sistem yang dihasilkan tidak berubah, menggunakan persamaan kedua kita menghilangkan variabelnya kamu dari semua persamaan selanjutnya. Untuk melakukan ini, pada baris ketiga matriks sistem kita menambahkan baris kedua, dikalikan dengan (dalam kasus kita dengan ).

Jika terdapat lebih dari tiga persamaan dalam sistem kita, maka kita harus menambahkan baris kedua ke semua persamaan berikutnya, dikalikan dengan rasio koefisien yang bersesuaian, diambil dengan tanda minus.

Hasilnya, kita kembali memperoleh matriks suatu sistem yang ekuivalen dengan sistem persamaan linear ini:

Kami telah memperoleh sistem persamaan linear trapesium yang setara:

Jika jumlah persamaan dan variabel lebih besar dari contoh kita, maka proses eliminasi variabel secara berurutan akan berlanjut hingga matriks sistem menjadi trapesium, seperti pada contoh demo kita.

Kami akan menemukan solusi "dari akhir" - langkah sebaliknya. Untuk ini dari persamaan terakhir kita tentukan z:
.
Mengganti nilai ini ke persamaan sebelumnya, kita akan menemukannya kamu:

Dari persamaan pertama kita akan menemukannya X:

Jawaban: penyelesaian sistem persamaan ini adalah .

: dalam hal ini jawaban yang sama akan diberikan jika sistem mempunyai solusi unik. Jika sistem mempunyai solusi yang jumlahnya tak terhingga, maka inilah jawabannya, dan inilah pokok bahasan bagian kelima pelajaran ini.

Selesaikan sendiri sistem persamaan linear menggunakan metode Gaussian, lalu lihat solusinya

Di sini sekali lagi kita mempunyai contoh sistem persamaan linier yang konsisten dan pasti, di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui. Perbedaan dari contoh demo kami dan algoritmanya adalah sudah ada empat persamaan dan empat persamaan yang tidak diketahui.

Contoh 4. Memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss:

Sekarang Anda perlu menggunakan persamaan kedua untuk menghilangkan variabel dari persamaan berikutnya. Mari kita lakukan pekerjaan persiapan. Agar lebih mudah dengan rasio koefisien, Anda perlu mendapatkan satu di kolom kedua pada baris kedua. Untuk melakukannya, kurangi baris ketiga dari baris kedua, dan kalikan baris kedua yang dihasilkan dengan -1.

Sekarang mari kita lakukan eliminasi variabel dari persamaan ketiga dan keempat. Caranya, tambahkan baris kedua, dikalikan dengan , ke baris ketiga, dan baris kedua, dikalikan dengan , ke baris keempat.

Sekarang, dengan menggunakan persamaan ketiga, kita menghilangkan variabel dari persamaan keempat. Untuk melakukannya, tambahkan baris ketiga ke baris keempat, dikalikan dengan . Kami memperoleh matriks trapesium yang diperluas.

Kami telah memperoleh sistem persamaan yang setara dengan sistem ini:

Akibatnya, sistem yang dihasilkan dan sistem yang diberikan kompatibel dan pasti. Keputusan akhir kita menemukan "dari akhir". Dari persamaan keempat kita bisa langsung menyatakan nilai variabel “x-empat”:

Kami mengganti nilai ini ke dalam persamaan ketiga sistem dan mendapatkan

,

,

Terakhir, substitusi nilai

Persamaan pertama memberi

,

di mana kita menemukan "x dulu":

Jawaban: sistem persamaan ini mempunyai solusi unik .

Anda juga dapat memeriksa solusi sistem pada kalkulator menggunakan metode Cramer: dalam hal ini, jawaban yang sama akan diberikan jika sistem memiliki solusi unik.

Penyelesaian masalah terapan dengan metode Gauss dengan menggunakan contoh masalah pada paduan

Sistem persamaan linear digunakan untuk memodelkan objek nyata di dunia fisik. Mari kita selesaikan salah satu masalah ini - paduan. Masalah serupa adalah masalah campuran, biaya atau berat jenis produk individu dalam kelompok produk dan sejenisnya.

Contoh 5. Tiga buah paduan mempunyai massa total 150 kg. Paduan pertama mengandung 60% tembaga, yang kedua - 30%, yang ketiga - 10%. Selain itu, pada paduan kedua dan ketiga secara keseluruhan terdapat 28,4 kg lebih sedikit tembaga dibandingkan pada paduan pertama, dan pada paduan ketiga terdapat 6,2 kg lebih sedikit tembaga dibandingkan pada paduan kedua. Temukan massa masing-masing bagian paduan.

Larutan. Kami menyusun sistem persamaan linear:

Kita kalikan persamaan kedua dan ketiga dengan 10, kita memperoleh sistem persamaan linier yang setara:

Kami membuat matriks yang diperluas dari sistem:

Perhatian, lurus ke depan. Dengan menambahkan (dalam kasus kami, mengurangi) satu baris dikalikan dengan angka (kami menerapkannya dua kali), transformasi berikut terjadi dengan matriks yang diperluas dari sistem:

Perpindahan langsung sudah berakhir. Kami memperoleh matriks trapesium yang diperluas.

Kami menerapkan langkah sebaliknya. Kami menemukan solusinya dari akhir. Kami melihatnya.

Dari persamaan kedua kita temukan

Dari persamaan ketiga -

Anda juga dapat memeriksa solusi sistem pada kalkulator menggunakan metode Cramer: dalam hal ini, jawaban yang sama akan diberikan jika sistem memiliki solusi unik.

Kesederhanaan metode Gauss dibuktikan dengan fakta bahwa matematikawan Jerman Carl Friedrich Gauss hanya membutuhkan waktu 15 menit untuk menciptakannya. Selain metode yang dinamai menurut namanya, pepatah “Kita tidak boleh mengacaukan apa yang tampak luar biasa dan tidak wajar bagi kita dengan hal yang benar-benar mustahil” diketahui dari karya Gauss - semacam instruksi singkat untuk membuat penemuan.

Dalam banyak masalah terapan mungkin tidak ada batasan ketiga, yaitu persamaan ketiga, maka Anda harus menyelesaikan sistem dua persamaan dengan tiga yang tidak diketahui menggunakan metode Gaussian, atau, sebaliknya, jumlah yang tidak diketahui lebih sedikit daripada persamaan. Sekarang kita akan mulai menyelesaikan sistem persamaan tersebut.

Dengan menggunakan metode Gaussian, Anda dapat menentukan apakah suatu sistem kompatibel atau tidak N persamaan linier dengan N variabel.

Metode Gauss dan sistem persamaan linear dengan jumlah solusi tak terbatas

Contoh berikutnya adalah sistem persamaan linear yang konsisten namun tidak dapat ditentukan, yaitu sistem yang memiliki jumlah penyelesaian yang tak terhingga.

Setelah melakukan transformasi pada matriks yang diperluas dari sistem (menata ulang baris, mengalikan dan membagi baris dengan angka tertentu, menambahkan baris lain ke satu baris), baris-baris berbentuk dapat muncul

Jika dalam semua persamaan berbentuk

Suku bebas sama dengan nol, yang berarti sistem tersebut tidak terbatas, yaitu memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas, dan persamaan jenis ini “berlebihan” dan kita mengecualikannya dari sistem.

Contoh 6.

Larutan. Mari kita buat matriks yang diperluas dari sistem. Kemudian, dengan menggunakan persamaan pertama, kita menghilangkan variabel dari persamaan berikutnya. Untuk melakukan ini, tambahkan baris pertama ke baris kedua, ketiga dan keempat, dikalikan dengan :

Sekarang mari tambahkan baris kedua ke baris ketiga dan keempat.

Hasilnya, kita sampai pada sistem

Dua persamaan terakhir diubah menjadi persamaan bentuk. Persamaan ini dipenuhi untuk nilai apa pun yang tidak diketahui dan dapat dibuang.

Untuk memenuhi persamaan kedua, kita dapat memilih nilai sembarang untuk dan , kemudian nilai untuk akan ditentukan secara unik: . Dari persamaan pertama nilai for juga ditemukan secara unik: .

Baik sistem yang diberikan maupun yang terakhir konsisten, tetapi tidak pasti, dan rumusnya

untuk sewenang-wenang dan memberi kita semua solusi dari sistem tertentu.

Metode Gauss dan sistem persamaan linear tanpa solusi

Contoh berikutnya adalah sistem persamaan linear yang tidak konsisten, yaitu sistem yang tidak memiliki solusi. Jawaban atas permasalahan tersebut dirumuskan sebagai berikut: sistem tidak memiliki solusi.

Seperti yang telah disebutkan sehubungan dengan contoh pertama, setelah melakukan transformasi, baris-baris formulir dapat muncul dalam matriks yang diperluas dari sistem

sesuai dengan persamaan bentuk

Jika di antara persamaan tersebut terdapat paling sedikit satu persamaan yang suku bebasnya bukan nol (yaitu ), maka sistem persamaan tersebut tidak konsisten, yaitu tidak mempunyai penyelesaian dan penyelesaiannya lengkap.

Contoh 7. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan metode Gauss:

Larutan. Kami menyusun matriks sistem yang diperluas. Dengan menggunakan persamaan pertama, kami mengecualikan variabel dari persamaan berikutnya. Caranya, tambahkan baris pertama dikalikan dengan baris kedua, baris pertama dikalikan dengan baris ketiga, dan baris pertama dikalikan dengan baris keempat.

Sekarang Anda perlu menggunakan persamaan kedua untuk menghilangkan variabel dari persamaan berikutnya. Untuk mendapatkan rasio koefisien bilangan bulat, kita menukar baris kedua dan ketiga dari matriks yang diperluas dari sistem.

Untuk mengecualikan persamaan ketiga dan keempat, tambahkan persamaan kedua dikalikan dengan , pada baris ketiga, dan persamaan kedua dikalikan dengan , pada baris keempat.

Sekarang, dengan menggunakan persamaan ketiga, kita menghilangkan variabel dari persamaan keempat. Untuk melakukannya, tambahkan baris ketiga ke baris keempat, dikalikan dengan .

Oleh karena itu, sistem yang diberikan setara dengan yang berikut:

Sistem yang dihasilkan tidak konsisten, karena persamaan terakhirnya tidak dapat dipenuhi oleh nilai apa pun yang tidak diketahui. Oleh karena itu, sistem ini tidak memiliki solusi.

metode Gauss sempurna untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAE). Ini memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan metode lain:

• pertama, tidak perlu memeriksa konsistensi sistem persamaan terlebih dahulu;
• kedua, metode Gauss tidak hanya dapat menyelesaikan SLAE yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-singular, tetapi juga sistem persamaan yang jumlah persamaannya tidak sama. jumlah variabel yang tidak diketahui atau determinan matriks utama sama dengan nol;
• ketiga, metode Gaussian memberikan hasil dengan jumlah operasi komputasi yang relatif kecil.

Ikhtisar singkat artikel tersebut.

Pertama, kami memberikan definisi yang diperlukan dan memperkenalkan notasi.

Selanjutnya akan dijelaskan algoritma metode Gauss untuk kasus yang paling sederhana, yaitu untuk sistem persamaan aljabar linier, banyaknya persamaan yang berimpit dengan banyaknya variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem tersebut adalah tidak sama dengan nol. Saat menyelesaikan sistem persamaan seperti itu, inti dari metode Gauss terlihat paling jelas, yaitu eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan. Oleh karena itu, metode Gaussian disebut juga metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui. Kami akan menunjukkan solusi terperinci dari beberapa contoh.

Sebagai kesimpulan, kami akan mempertimbangkan penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode Gauss, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau tunggal. Solusi untuk sistem tersebut memiliki beberapa fitur, yang akan kita bahas secara rinci menggunakan contoh.

Navigasi halaman.

Definisi dan notasi dasar.

Pertimbangkan sistem persamaan linear p dengan n yang tidak diketahui (p bisa sama dengan n):

Dimana merupakan variabel yang tidak diketahui, merupakan bilangan (nyata atau kompleks), dan merupakan suku bebas.

Jika , maka sistem persamaan aljabar linier disebut homogen, jika tidak - heterogen.

Himpunan nilai variabel yang tidak diketahui yang seluruh persamaan sistemnya menjadi identitas disebut keputusan SLAU.

Jika terdapat paling sedikit satu penyelesaian pada suatu sistem persamaan aljabar linier, maka disebut persendian, jika tidak - non-bersama.

Jika SLAE mempunyai solusi unik, maka SLAE disebut yakin. Jika terdapat lebih dari satu solusi, maka sistem disebut tidak pasti.

Mereka mengatakan bahwa sistem itu tertulis bentuk koordinat, jika memiliki bentuk
.

Sistem ini masuk bentuk matriks catatan memiliki bentuk , dimana - matriks utama SLAE, - matriks kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks suku bebas.

Jika kita menambahkan kolom matriks suku bebas ke matriks A sebagai kolom ke-(n+1), kita memperoleh apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya matriks yang diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom suku bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom yang tersisa, yaitu,

Matriks persegi A disebut merosot, jika determinannya nol. Jika , maka matriks A disebut tidak merosot.

Hal berikut perlu diperhatikan.

Jika kita tampil dengan sistem persamaan aljabar linier tindakan berikut

• tukar dua persamaan,
• mengalikan kedua ruas persamaan apa pun dengan bilangan real (atau kompleks) sembarang dan bukan nol k,
• ke kedua ruas persamaan apa pun tambahkan bagian-bagian yang bersesuaian dari persamaan lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k,

maka Anda mendapatkan sistem ekuivalen yang memiliki solusi yang sama (atau, sama seperti sistem aslinya, tidak memiliki solusi).

Untuk matriks yang diperluas dari sistem persamaan aljabar linier, tindakan berikut berarti melakukan transformasi elementer dengan baris:

• bertukar dua baris,
• mengalikan semua elemen dari setiap baris matriks T dengan bilangan bukan nol k,
• menambahkan elemen-elemen dari setiap baris matriks elemen-elemen yang bersesuaian dari baris lain, dikalikan dengan bilangan sembarang k.

Sekarang kita dapat melanjutkan ke penjelasan metode Gauss.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya sama dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui dan matriks utama sistemnya non-tunggal, menggunakan metode Gauss.

Apa yang akan kita lakukan di sekolah jika kita diberi tugas untuk menemukan solusi sistem persamaan? .

Beberapa orang akan melakukan itu.

Perhatikan bahwa menjumlahkan ruas kiri persamaan kedua sisi kiri pertama, dan ke kanan - kanan, Anda dapat menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 dan x 3 dan segera mencari x 1:

Kami mengganti nilai yang ditemukan x 1 =1 ke dalam persamaan pertama dan ketiga sistem:

Jika kita mengalikan kedua ruas persamaan ketiga sistem dengan -1 dan menjumlahkannya ke suku-suku yang bersesuaian pada persamaan pertama, kita menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dan dapat menemukan x 2:

Kami mengganti nilai yang dihasilkan x 2 = 2 ke dalam persamaan ketiga dan menemukan sisa variabel x 3 yang tidak diketahui:

Orang lain akan melakukan hal yang berbeda.

Mari kita selesaikan persamaan pertama sistem terhadap variabel yang tidak diketahui x 1 dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke persamaan kedua dan ketiga sistem untuk mengecualikan variabel ini dari persamaan tersebut:

Sekarang mari kita selesaikan persamaan kedua sistem untuk x 2 dan substitusikan hasilnya ke persamaan ketiga untuk menghilangkan variabel x 2 yang tidak diketahui dari persamaan tersebut:

Dari persamaan ketiga sistem tersebut jelas bahwa x 3 =3. Dari persamaan kedua kita temukan , dan dari persamaan pertama kita peroleh .

Solusi yang familier, bukan?

Hal yang paling menarik di sini adalah bahwa metode penyelesaian kedua pada dasarnya adalah metode eliminasi berurutan dari hal-hal yang tidak diketahui, yaitu metode Gaussian. Ketika kami menyatakan variabel yang tidak diketahui (pertama x 1, pada tahap berikutnya x 2) dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan sistem yang tersisa, kami mengecualikannya. Kami melakukan eliminasi hingga hanya tersisa satu variabel yang tidak diketahui pada persamaan terakhir. Proses menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan disebut metode Gaussian langsung. Setelah menyelesaikan pukulan ke depan kita sekarang memiliki kesempatan untuk menghitung variabel yang tidak diketahui pada persamaan terakhir. Dengan bantuannya, kita menemukan variabel yang tidak diketahui berikutnya dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya. Proses mencari variabel yang tidak diketahui secara berurutan sambil berpindah dari persamaan terakhir ke persamaan pertama disebut kebalikan dari metode Gaussian.

Perlu dicatat bahwa ketika kita menyatakan x 1 dalam bentuk x 2 dan x 3 pada persamaan pertama, dan kemudian mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua dan ketiga, tindakan berikut akan menghasilkan hasil yang sama:

Memang, prosedur seperti itu juga memungkinkan untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga sistem:

Nuansa penghapusan variabel yang tidak diketahui menggunakan metode Gaussian muncul ketika persamaan sistem tidak memuat beberapa variabel.

Misalnya saja di SLAU pada persamaan pertama tidak ada variabel yang tidak diketahui x 1 (dengan kata lain koefisien di depannya adalah nol). Oleh karena itu, kita tidak dapat menyelesaikan persamaan pertama sistem untuk x 1 untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui ini dari persamaan lainnya. Jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menukar persamaan sistem. Karena kita mempertimbangkan sistem persamaan linier yang determinan matriks utamanya berbeda dari nol, selalu ada persamaan yang memiliki variabel yang kita butuhkan, dan kita dapat mengatur ulang persamaan ini ke posisi yang kita butuhkan. Sebagai contoh kita, cukup menukar persamaan pertama dan kedua dari sistem , maka Anda dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk x 1 dan mengecualikannya dari persamaan sistem lainnya (walaupun x 1 tidak lagi ada di persamaan kedua).

Kami harap Anda memahami intinya.

Mari kita jelaskan Algoritma metode Gaussian.

Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem n persamaan aljabar linier dengan n persamaan yang tidak diketahui variabel bentuk , dan biarkan determinan matriks utamanya berbeda dari nol.

Kita akan berasumsi demikian, karena kita selalu dapat mencapainya dengan menata ulang persamaan sistem. Mari kita hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dari persamaan kedua. Caranya, pada persamaan kedua sistem kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , pada persamaan ketiga kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan pertama, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana, dan .

Kita akan mendapatkan hasil yang sama jika kita menyatakan x 1 dalam bentuk variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan mensubstitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam semua persamaan lainnya. Jadi, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan mulai dari persamaan kedua.

Selanjutnya, kita melanjutkan dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar

Caranya, pada persamaan ketiga sistem kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , pada persamaan keempat kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan , dan seterusnya, pada persamaan ke-n kita tambahkan persamaan kedua, dikalikan dengan . Sistem persamaan setelah transformasi tersebut akan berbentuk

dimana, dan . Jadi, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, mulai dari persamaan ketiga.

Selanjutnya, kita melanjutkan untuk menghilangkan x 3 yang tidak diketahui, sementara kita bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar

Jadi kita lanjutkan perkembangan langsung metode Gaussian hingga sistem terbentuk

Mulai saat ini kita memulai kebalikan dari metode Gaussian: kita menghitung x n dari persamaan terakhir sebagai , dengan menggunakan nilai x n yang diperoleh, kita mencari x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita mencari x 1 dari persamaan pertama .

Mari kita lihat algoritmanya menggunakan sebuah contoh.

Contoh.

metode Gauss.

Larutan.

Koefisien a 11 bukan nol, jadi mari kita lanjutkan ke perkembangan langsung metode Gaussian, yaitu mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 1 dari semua persamaan sistem kecuali yang pertama. Caranya, pada ruas kiri dan kanan persamaan kedua, ketiga, dan keempat, tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan pertama, masing-masing dikalikan dengan . Dan :

Variabel yang tidak diketahui x 1 telah dihilangkan, mari kita lanjutkan ke penghapusan x 2 . Ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga dan keempat sistem kita tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan masing-masing Dan :

Untuk menyelesaikan kemajuan metode Gaussian, kita perlu menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Mari kita jumlahkan masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan keempat, ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, dikalikan dengan :

Anda dapat memulai kebalikan dari metode Gaussian.

Dari persamaan terakhir yang kita miliki ,
dari persamaan ketiga kita peroleh,
dari yang kedua,
dari yang pertama.

Untuk memeriksanya, Anda dapat mengganti nilai yang diperoleh dari variabel yang tidak diketahui ke dalam sistem persamaan aslinya. Semua persamaan berubah menjadi identitas, yang menunjukkan bahwa solusi menggunakan metode Gauss telah ditemukan dengan benar.

Menjawab:

Sekarang mari kita berikan solusi untuk contoh yang sama menggunakan metode Gaussian dalam notasi matriks.

Contoh.

Temukan solusi sistem persamaan metode Gauss.

Larutan.

Matriks yang diperluas dari sistem memiliki bentuk . Di bagian atas setiap kolom terdapat variabel yang tidak diketahui yang sesuai dengan elemen matriks.

Pendekatan langsung metode Gaussian di sini melibatkan reduksi matriks yang diperluas dari sistem menjadi bentuk trapesium menggunakan transformasi dasar. Proses ini mirip dengan penghapusan variabel yang tidak diketahui yang kita lakukan dengan sistem dalam bentuk koordinat. Sekarang Anda akan melihat ini.

Mari kita transformasikan matriksnya sehingga semua elemen pada kolom pertama, mulai dari kolom kedua, menjadi nol. Untuk melakukan ini, ke elemen baris kedua, ketiga dan keempat kita tambahkan elemen baris pertama yang sesuai dikalikan dengan , dan karenanya:

Selanjutnya kita transformasikan matriks yang dihasilkan sehingga pada kolom kedua semua elemen, mulai dari kolom ketiga, menjadi nol. Ini sama dengan menghilangkan variabel yang tidak diketahui x 2 . Untuk melakukan ini, ke elemen baris ketiga dan keempat kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris pertama matriks, dikalikan dengan masing-masing Dan :

Tetap mengecualikan variabel yang tidak diketahui x 3 dari persamaan terakhir sistem. Untuk melakukan ini, ke elemen baris terakhir dari matriks yang dihasilkan, kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris kedua dari belakang, dikalikan dengan :

Perlu dicatat bahwa matriks ini sesuai dengan sistem persamaan linier

yang diperoleh sebelumnya setelah bergerak maju.

Saatnya untuk kembali. Dalam notasi matriks, kebalikan dari metode Gaussian melibatkan transformasi matriks yang dihasilkan sedemikian rupa sehingga matriks yang ditandai pada gambar

menjadi diagonal, yaitu mengambil bentuk

di mana beberapa angka.

Transformasi ini mirip dengan transformasi maju metode Gaussian, tetapi dilakukan bukan dari baris pertama ke baris terakhir, melainkan dari baris terakhir ke baris pertama.

Tambahkan ke elemen baris ketiga, kedua dan pertama elemen yang bersesuaian dari baris terakhir, dikalikan dengan , terus menerus masing-masing:

Sekarang tambahkan ke elemen baris kedua dan pertama elemen yang sesuai dari baris ketiga, masing-masing dikalikan dengan dan dengan:

Pada langkah terakhir dari metode Gaussian terbalik, ke elemen baris pertama kita menambahkan elemen yang bersesuaian dari baris kedua, dikalikan dengan:

Matriks yang dihasilkan sesuai dengan sistem persamaan , dari mana kita menemukan variabel yang tidak diketahui.

Menjawab:

CATATAN.

Saat menggunakan metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, perhitungan perkiraan harus dihindari, karena hal ini dapat menyebabkan hasil yang salah sepenuhnya. Kami menyarankan untuk tidak membulatkan desimal. Lebih baik dari desimal pergi ke pecahan biasa.

Contoh.

Memecahkan sistem tiga persamaan menggunakan metode Gauss .

Larutan.

Perhatikan bahwa dalam contoh ini variabel yang tidak diketahui memiliki sebutan berbeda (bukan x 1, x 2, x 3, tetapi x, y, z). Mari beralih ke pecahan biasa:

Mari kita kecualikan x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem:

Dalam sistem yang dihasilkan, variabel y yang tidak diketahui tidak ada di persamaan kedua, tetapi y ada di persamaan ketiga, oleh karena itu, mari kita tukar persamaan kedua dan ketiga:

Ini melengkapi perkembangan langsung metode Gauss (tidak perlu mengecualikan y dari persamaan ketiga, karena variabel yang tidak diketahui ini sudah tidak ada lagi).

Mari kita mulai langkah sebaliknya.

Dari persamaan terakhir kita temukan ,
dari yang kedua dari belakang


dari persamaan pertama yang kita miliki

Menjawab:

X = 10, y = 5, z = -20.

Penyelesaian sistem persamaan aljabar linier yang jumlah persamaannya tidak sesuai dengan jumlah persamaan yang tidak diketahui atau matriks utama sistemnya berbentuk tunggal, menggunakan metode Gauss.

Sistem persamaan, yang matriks utamanya berbentuk persegi panjang atau persegi tunggal, mungkin tidak mempunyai solusi, mungkin mempunyai solusi tunggal, atau mungkin mempunyai jumlah solusi tak terhingga.

Sekarang kita akan memahami bagaimana metode Gauss memungkinkan kita menetapkan kompatibilitas atau inkonsistensi suatu sistem persamaan linier, dan dalam kasus kompatibilitasnya, menentukan semua solusi (atau satu solusi tunggal).

Pada prinsipnya, proses menghilangkan variabel yang tidak diketahui dalam kasus SLAE tersebut tetap sama. Namun, ada baiknya menjelaskan secara detail beberapa situasi yang mungkin timbul.

Mari kita beralih ke tahap yang paling penting.

Jadi, mari kita asumsikan bahwa sistem persamaan aljabar linier, setelah menyelesaikan perkembangan maju metode Gauss, berbentuk dan tidak ada satu persamaan pun yang direduksi menjadi (dalam hal ini kita akan menyimpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel). Sebuah pertanyaan logis muncul: “Apa yang harus dilakukan selanjutnya”?

Mari kita tuliskan variabel-variabel tak dikenal yang muncul lebih dulu dalam semua persamaan sistem yang dihasilkan:

Dalam contoh kita ini adalah x 1, x 4 dan x 5. Di ruas kiri persamaan sistem kita hanya menyisakan suku-suku yang mengandung variabel yang tidak diketahui tertulis x 1, x 4 dan x 5, suku-suku yang tersisa dipindahkan ke ruas kanan persamaan yang bertanda berlawanan:

Mari kita berikan nilai arbitrer pada variabel yang tidak diketahui yang berada di sisi kanan persamaan, di mana - nomor sewenang-wenang:

Setelah ini, ruas kanan semua persamaan SLAE kita berisi angka dan kita dapat melanjutkan ke kebalikan dari metode Gaussian.

Dari persamaan terakhir sistem yang kita miliki, dari persamaan kedua dari belakang kita temukan, dari persamaan pertama yang kita dapatkan

Penyelesaian sistem persamaan adalah himpunan nilai variabel yang tidak diketahui

Pemberian Angka nilai yang berbeda, kita akan memperoleh solusi yang berbeda untuk sistem persamaan tersebut. Artinya, sistem persamaan kita mempunyai banyak solusi yang tak terhingga.

Menjawab:

Di mana - angka sewenang-wenang.

Untuk mengkonsolidasikan materi, kami akan menganalisis secara rinci solusi dari beberapa contoh lagi.

Contoh.

Memutuskan sistem homogen persamaan aljabar linier metode Gauss.

Larutan.

Mari kita kecualikan variabel x yang tidak diketahui dari persamaan kedua dan ketiga sistem. Untuk melakukan ini, ke ruas kiri dan kanan persamaan kedua, kita tambahkan masing-masing ruas kiri dan kanan persamaan pertama, dikalikan dengan , dan ke ruas kiri dan kanan persamaan ketiga, kita tambahkan kiri dan ruas kanan persamaan pertama, dikalikan dengan:

Sekarang mari kita kecualikan y dari persamaan ketiga dari sistem persamaan yang dihasilkan:

SLAE yang dihasilkan setara dengan sistem .

Kita tinggalkan di sisi kiri persamaan sistem hanya suku-suku yang mengandung variabel x dan y yang tidak diketahui, dan pindahkan suku-suku dengan variabel z yang tidak diketahui ke ruas kanan:

Dua sistem persamaan linear disebut ekuivalen jika himpunan semua penyelesaiannya berimpit.

Transformasi dasar suatu sistem persamaan adalah:

1. Menghapus persamaan sepele dari sistem, mis. yang semua koefisiennya sama dengan nol;
2. Mengalikan persamaan apa pun dengan angka selain nol;
3. Menambahkan persamaan ke-i ke persamaan ke-i apa pun dikalikan dengan bilangan apa pun.

Suatu variabel x i disebut bebas jika variabel tersebut tidak diperbolehkan, tetapi seluruh sistem persamaan diperbolehkan.

Dalil. Transformasi dasar mengubah sistem persamaan menjadi sistem persamaan yang setara.

Arti dari metode Gaussian adalah mentransformasikan sistem persamaan asli dan memperoleh sistem ekuivalen terselesaikan atau ekuivalen tidak konsisten.

Jadi, metode Gaussian terdiri dari langkah-langkah berikut:

1. Mari kita lihat persamaan pertama. Mari kita pilih koefisien bukan nol pertama dan bagi seluruh persamaan dengan koefisien tersebut. Kita memperoleh persamaan yang memasukkan beberapa variabel x i dengan koefisien 1;
2. Mari kita kurangi persamaan ini dari persamaan lainnya, kalikan dengan bilangan sedemikian rupa sehingga koefisien variabel x i dalam persamaan lainnya menjadi nol. Kami memperoleh sistem yang diselesaikan sehubungan dengan variabel x i dan setara dengan yang asli;
3. Jika persamaan sepele muncul (jarang, tetapi terjadi; misalnya 0 = 0), kita mencoretnya dari sistem. Hasilnya, persamaannya berkurang satu;
4. Langkah sebelumnya kita ulangi tidak lebih dari n kali, dimana n adalah banyaknya persamaan dalam sistem. Setiap kali kami memilih variabel baru untuk "diproses". Jika muncul persamaan yang tidak konsisten (misalnya, 0 = 8), sistem tersebut tidak konsisten.

Hasilnya, setelah beberapa langkah kita akan mendapatkan sistem yang terselesaikan (mungkin dengan variabel bebas) atau sistem yang tidak konsisten. Sistem yang diizinkan terbagi dalam dua kasus:

1. Banyaknya variabel sama dengan banyaknya persamaan. Ini berarti bahwa sistem telah didefinisikan;
2. Jumlah variabel nomor lebih banyak persamaan. Kami mengumpulkan semua variabel bebas di sebelah kanan - kami mendapatkan rumus untuk variabel yang diizinkan. Rumus ini tertulis dalam jawabannya.

Itu saja! Sistem persamaan linear terpecahkan! Ini adalah algoritma yang cukup sederhana, dan untuk menguasainya Anda tidak perlu menghubungi tutor matematika yang lebih tinggi. Mari kita lihat sebuah contoh:

Tugas. Selesaikan sistem persamaan:

Deskripsi langkah:

1. Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua dan ketiga - kita mendapatkan variabel yang diizinkan x 1;
2. Kita mengalikan persamaan kedua dengan (−1), dan membagi persamaan ketiga dengan (−3) - kita mendapatkan dua persamaan yang memasukkan variabel x 2 dengan koefisien 1;
3. Kita tambahkan persamaan kedua ke persamaan pertama, dan kurangi persamaan ketiga. Kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 2 ;
4. Terakhir, kita kurangi persamaan ketiga dari persamaan pertama - kita mendapatkan variabel yang diizinkan x 3;
5. Kami telah menerima sistem yang disetujui, tulis tanggapannya.

Solusi umum sistem persamaan linear simultan adalah sistem baru, setara dengan variabel asli, di mana semua variabel yang diizinkan dinyatakan dalam variabel bebas.

Kapan solusi umum diperlukan? Jika Anda harus melakukan langkah lebih sedikit dari k (k adalah banyaknya persamaan). Namun, alasan mengapa proses berakhir pada langkah tertentu l< k , может быть две:

1. Setelah langkah ke-l, diperoleh sistem yang tidak memuat persamaan bilangan (l + 1). Sebenarnya, ini bagus, karena... sistem resmi masih diperoleh - bahkan beberapa langkah sebelumnya.
2. Setelah langkah ke-l, kita memperoleh persamaan di mana semua koefisien variabel sama dengan nol, dan koefisien bebasnya berbeda dari nol. Ini adalah persamaan yang kontradiktif, dan oleh karena itu, sistemnya tidak konsisten.

Penting untuk dipahami bahwa munculnya persamaan yang tidak konsisten dengan menggunakan metode Gaussian merupakan dasar yang cukup untuk terjadinya inkonsistensi. Pada saat yang sama, kami mencatat bahwa sebagai hasil dari langkah ke-l, tidak ada persamaan sepele yang tersisa - semuanya dicoret dalam proses tersebut.

Deskripsi langkah:

1. Kurangi persamaan pertama, dikalikan 4, dari persamaan kedua. Kami juga menambahkan persamaan pertama ke persamaan ketiga - kami mendapatkan variabel yang diizinkan x 1;
2. Kurangi persamaan ketiga, dikalikan 2, dari persamaan kedua - kita mendapatkan persamaan kontradiktif 0 = −5.

Jadi, sistem tersebut tidak konsisten karena ditemukan persamaan yang tidak konsisten.

Tugas. Jelajahi kompatibilitas dan temukan solusi umum untuk sistem:

Deskripsi langkah:

1. Kita kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (setelah dikalikan dua) dan persamaan ketiga - kita mendapatkan variabel yang diperbolehkan x 1;
2. Kurangi persamaan kedua dari persamaan ketiga. Karena semua koefisien dalam persamaan ini sama, persamaan ketiga menjadi sepele. Pada saat yang sama, kalikan persamaan kedua dengan (−1);
3. Kurangi persamaan kedua dari persamaan pertama - kita mendapatkan variabel yang diizinkan x 2. Seluruh sistem persamaan kini juga terselesaikan;
4. Karena variabel x 3 dan x 4 bebas, kita pindahkan ke kanan untuk menyatakan variabel yang diperbolehkan. Inilah jawabannya.

Jadi, sistemnya konsisten dan tak tentu, karena ada dua variabel yang diperbolehkan (x 1 dan x 2) dan dua variabel bebas (x 3 dan x 4).