Jenis-jenis persamaan diferensial linier tertentu orde kedua. Persamaan diferensial orde dua dan orde lebih tinggi

Dasar-dasar penyelesaian linier tidak homogen persamaan diferensial orde kedua (LNDU-2) dengan koefisien konstan(PC)

LDDE orde ke-2 dengan koefisien konstan $p$ dan $q$ memiliki bentuk $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, di mana $f\left(x \kanan)$ adalah fungsi kontinu.

Sehubungan dengan LNDU 2 dengan PC, dua pernyataan berikut ini benar.

Mari kita asumsikan bahwa beberapa fungsi $U$ adalah solusi parsial sembarang dari persamaan diferensial tak homogen. Mari kita asumsikan juga bahwa beberapa fungsi $Y$ adalah solusi umum (GS) dari persamaan diferensial homogen linier (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Maka GS dari LHDE-2 sama dengan jumlah solusi privat dan umum yang ditunjukkan, yaitu $y=U+Y$.

Jika bagian kanan LPDE orde 2 merupakan penjumlahan fungsi, yaitu $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right)+... + f_(r) \left(x\right)$, maka pertama-tama kita cari PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ yang sesuai dengan masing-masing fungsi $f_ (1) \ left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, dan setelah itu tulis CR LNDU-2 di bentuk $U= U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solusi LPDE orde 2 dengan PC

Jelas sekali bahwa jenis PD $U$ tertentu dari LNDU-2 tertentu bergantung pada bentuk spesifik dari sisi kanannya $f\left(x\right)$. Kasus pencarian PD LNDU-2 yang paling sederhana dirumuskan dalam bentuk empat aturan berikut.

Aturan #1.

Sisi kanan LNDU-2 berbentuk $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, dimana $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, yaitu disebut a polinomial derajat $n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, dimana $Q_(n) \left(x\right)$ adalah yang lain polinomial yang berderajat sama dengan $P_(n)\left(x\right)$, dan $r$ adalah jumlah akar persamaan karakteristik sesuai dengan LOD-2, sama dengan nol. Koefisien polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ dicari dengan metode koefisien tak tentu (UK).

Peraturan No.2.

Sisi kanan LNDU-2 berbentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, di mana $P_(n) \kiri( x\kanan)$ adalah polinomial berderajat $n$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, dimana $Q_(n ) \ left(x\right)$ adalah polinomial lain yang berderajat sama dengan $P_(n) \left(x\right)$, dan $r$ adalah jumlah akar persamaan karakteristik dari LODE-2 yang bersangkutan , sama dengan $\alpha $. Koefisien polinomial $Q_(n) \left(x\right)$ ditemukan dengan metode NC.

Peraturan No.3.

Sisi kanan LNDU-2 berbentuk $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \kanan) $, dimana $a$, $b$ dan $\beta$ berada nomor yang diketahui. Kemudian dicari PD $U$-nya dalam bentuk $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \kanan )\cdot x^(r) $, di mana $A$ dan $B$ adalah koefisien yang tidak diketahui, dan $r$ adalah jumlah akar persamaan karakteristik dari LODE-2 yang bersangkutan, sama dengan $i\cdot \beta $. Koefisien $A$ dan $B$ ditemukan dengan menggunakan metode non-destruktif.

Peraturan No.4.

Sisi kanan LNDU-2 berbentuk $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, dimana $P_(n) \left(x\right)$ adalah polinomial berderajat $n$, dan $P_(m) \left(x\right)$ adalah polinomial berderajat $m$. Kemudian PD $U$nya dicari dalam bentuk $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, dimana $Q_(s) \left(x\right)$ dan $ R_(s) \left(x\right)$ adalah polinomial berderajat $s$, bilangan $s$ adalah bilangan maksimum dari dua bilangan $n$ dan $m$, dan $r$ adalah banyaknya akar dari persamaan karakteristik LODE-2 yang sesuai, sama dengan $\alpha +i\cdot \beta $. Koefisien polinomial $Q_(s) \left(x\right)$ dan $R_(s) \left(x\right)$ ditemukan dengan metode NC.

Metode NK terdiri dari penerapan aturan berikut. Untuk mencari koefisien polinomial yang tidak diketahui yang merupakan bagian dari solusi parsial persamaan diferensial tak homogen LNDU-2, perlu:

• gantikan PD $U$ yang tertulis pandangan umum, V sisi kiri LNDU-2;
• di sisi kiri LNDU-2, lakukan penyederhanaan dan kelompokkan suku dengan pangkat yang sama $x$;
• pada identitas yang dihasilkan, samakan koefisien suku-suku dengan pangkat yang sama $x$ pada ruas kiri dan kanan;
• selesaikan sistem persamaan linear yang dihasilkan untuk koefisien yang tidak diketahui.

Contoh 1

Tugas: temukan OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Temukan juga PD , memenuhi kondisi awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$.

Kami menuliskan LOD-2 yang sesuai: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Persamaan karakteristik: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Akar persamaan karakteristik adalah: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Akar-akar ini valid dan berbeda. Jadi, OR dari LODE-2 yang bersangkutan memiliki bentuk: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Sisi kanan LNDU-2 ini berbentuk $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Penting untuk mempertimbangkan koefisien eksponen $\alpha =3$. Koefisien ini tidak bertepatan dengan akar persamaan karakteristik mana pun. Oleh karena itu, PD LNDU-2 ini berbentuk $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Kita akan mencari koefisien $A$, $B$ menggunakan metode NC.

Kami menemukan turunan pertama dari Republik Ceko:

$U"=\kiri(A\cdot x+B\kanan)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\kiri(A\cdot x+B\kanan)\cdot \kiri( e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\kanan)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami menemukan turunan kedua dari Republik Ceko:

$U""=\kiri(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kanan)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\kiri(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot \kiri(e^(3\cdot x) \kanan)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\kiri(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kanan)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\kiri(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\kanan)\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami mengganti fungsi $U""$, $U"$ dan $U$ sebagai ganti $y""$, $y"$ dan $y$ ke dalam NLDE-2 $y""-3\cdot y" yang diberikan -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x). $ Terlebih lagi, karena eksponen $e^(3\cdot x) $ dimasukkan sebagai faktor di semua komponen, maka dapat dihilangkan.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \kiri(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\kanan)-18\cdot \kiri(A\ cdot x+B\kanan)=36\cdot x+12.$

Kami melakukan tindakan di sisi kiri persamaan yang dihasilkan:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Kami menggunakan metode NDT. Kami memperoleh sistem persamaan linier dengan dua hal yang tidak diketahui:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Solusi untuk sistem ini adalah: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ untuk soal kita terlihat seperti ini: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ untuk soal kita terlihat seperti ini: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.

Untuk mencari PD yang memenuhi kondisi awal yang diberikan, kita mencari turunan $y"$ dari OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\kiri(-2\cdot x-1\kanan)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Kami mengganti $y$ dan $y"$ kondisi awal $y=6$ untuk $x=0$ dan $y"=1$ untuk $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Kami menerima sistem persamaan:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Mari kita selesaikan. Kita mencari $C_(1) $ menggunakan rumus Cramer, dan $C_(2) $ kita tentukan dari persamaan pertama:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ mulai(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\kiri(-3\kanan)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Jadi, PD persamaan diferensial ini berbentuk: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kanan )\cdot e^(3\cdot x) $.

Di sini kita akan menerapkan metode variasi konstanta Lagrange untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen orde kedua. Detil Deskripsi metode untuk menyelesaikan persamaan orde sewenang-wenang ini dijelaskan di halaman
Penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen orde tinggi dengan metode Lagrange >>>.

Contoh 1

Selesaikan persamaan diferensial orde dua dengan koefisien konstan menggunakan metode variasi konstanta Lagrange:
(1)

Larutan

Pertama kita selesaikan persamaan diferensial homogen:
(2)

Ini adalah persamaan orde kedua.

Memecahkan persamaan kuadrat:
.
Akar ganda: . Sistem dasar penyelesaian persamaan (2) berbentuk:
(3) .
Dari sini kita mendapatkan solusi umum persamaan homogen (2):
(4) .

Memvariasikan konstanta C 1 dan C 2 . Artinya, kita mengganti konstanta pada (4) dengan fungsi:
.
Mencari solusi persamaan asli(1) sebagai:
(5) .

Menemukan turunannya:
.
Mari kita hubungkan fungsi dan persamaannya:
(6) .
Kemudian
.

Kami menemukan turunan kedua:
.
Substitusikan ke persamaan awal (1):
(1) ;



.
Karena dan memenuhi persamaan homogen (2), jumlah suku-suku pada setiap kolom dari tiga baris terakhir menghasilkan nol dan persamaan sebelumnya berbentuk:
(7) .
Di Sini .

Bersama dengan persamaan (6) kita memperoleh sistem persamaan untuk menentukan fungsi dan:
(6) :
(7) .

Memecahkan sistem persamaan

Kami memecahkan sistem persamaan (6-7). Mari kita tuliskan ekspresi untuk fungsi dan:
.
Kami menemukan turunannya:
;
.

Kami menyelesaikan sistem persamaan (6-7) menggunakan metode Cramer. Kami menghitung determinan matriks sistem:

.
Dengan menggunakan rumus Cramer kita menemukan:
;
.

Jadi, kami menemukan turunan dari fungsi:
;
.
Mari berintegrasi (lihat Metode untuk mengintegrasikan akar). Melakukan pergantian pemain
; ; ; .

.
.

;
.

Menjawab

Contoh 2

Selesaikan persamaan diferensial dengan metode variasi konstanta Lagrange:
(8)

Larutan

Langkah 1. Menyelesaikan persamaan homogen

Kami memecahkan persamaan diferensial homogen:

(9)
Kami mencari solusi dalam bentuk . Kami menyusun persamaan karakteristik:

Persamaan ini memiliki akar kompleks:
.
Sistem dasar solusi yang bersesuaian dengan akar-akar ini berbentuk:
(10) .
Solusi umum persamaan homogen (9):
(11) .

Langkah 2. Variasi konstanta - mengganti konstanta dengan fungsi

Sekarang kita memvariasikan konstanta C 1 dan C 2 . Artinya, kita mengganti konstanta pada (11) dengan fungsi:
.
Kami mencari solusi persamaan awal (8) dalam bentuk:
(12) .

Selanjutnya, kemajuan solusinya sama seperti pada contoh 1. Kita sampai pada sistem selanjutnya persamaan untuk menentukan fungsi dan:
(13) :
(14) .
Di Sini .

Memecahkan sistem persamaan

Mari kita selesaikan sistem ini. Mari kita tuliskan ekspresi untuk fungsi dan :
.
Dari tabel turunan kita temukan:
;
.

Kami menyelesaikan sistem persamaan (13-14) menggunakan metode Cramer. Penentu matriks sistem:

.
Dengan menggunakan rumus Cramer kita menemukan:
;
.

.
Karena , tanda modulus di bawah tanda logaritma dapat dihilangkan. Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan:
.
Kemudian
.

Solusi umum persamaan awal:


.

Persamaan diferensial linier orde kedua disebut persamaan bentuk

kamu"" + P(X)kamu" + Q(X)kamu = F(X) ,

Di mana kamu adalah fungsi yang dapat ditemukan, dan P(X) , Q(X) Dan F(X) - fungsi kontinu pada interval tertentu ( a, b) .

Jika ruas kanan persamaan adalah nol ( F(X) = 0), maka persamaan tersebut disebut persamaan homogen linier . Bagian praktis dari pelajaran ini terutama akan dikhususkan untuk persamaan tersebut. Jika ruas kanan persamaan tidak sama dengan nol ( F(X) ≠ 0), maka persamaannya disebut .

Dalam permasalahan tersebut kita diharuskan untuk menyelesaikan persamaannya kamu"" :

kamu"" = −P(X)kamu" − Q(X)kamu + F(X) .

Persamaan diferensial linier orde dua mempunyai penyelesaian yang unik Masalah Cauchy .

Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dan penyelesaiannya

Perhatikan persamaan diferensial homogen linier orde kedua:

kamu"" + P(X)kamu" + Q(X)kamu = 0 .

Jika kamu1 (X) Dan kamu2 (X) adalah solusi khusus dari persamaan ini, maka pernyataan berikut ini benar:

1) kamu1 (X) + kamu 2 (X) - juga merupakan solusi persamaan ini;

2) Cy1 (X) , Di mana C- konstanta sembarang (konstanta), juga merupakan solusi persamaan ini.

Dari kedua pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa fungsinya

C1 kamu 1 (X) + C 2 kamu 2 (X)

juga merupakan solusi untuk persamaan ini.

Sebuah pertanyaan wajar muncul: apakah ini solusinya penyelesaian umum persamaan diferensial homogen linier orde kedua , yaitu solusi yang, untuk nilai yang berbeda C1 Dan C2 Apakah mungkin untuk mendapatkan semua solusi yang mungkin untuk persamaan tersebut?

Jawaban atas pertanyaan ini adalah: mungkin, tetapi dalam kondisi tertentu. Ini kondisi pada properti apa yang harus dimiliki solusi tertentu kamu1 (X) Dan kamu2 (X) .

Dan kondisi ini disebut kondisi kemandirian linier solusi pribadi.

Dalil. Fungsi C1 kamu 1 (X) + C 2 kamu 2 (X) adalah solusi umum persamaan diferensial orde kedua homogen linier jika fungsinya kamu1 (X) Dan kamu2 (X) independen linier.

Definisi. Fungsi kamu1 (X) Dan kamu2 (X) disebut bebas linier jika rasionya konstan bukan nol:

kamu1 (X)/kamu 2 (X) = k ; k = konstanta ; k ≠ 0 .

Namun, menentukan berdasarkan definisi apakah fungsi-fungsi ini bebas linier seringkali sangat melelahkan. Ada cara untuk menetapkan independensi linier dengan menggunakan determinan Wronski W(X) :

Jika determinan Wronski tidak sama dengan nol, maka penyelesaiannya bebas linier . Jika determinan Wronski sama dengan nol, maka penyelesaiannya bergantung linier.

Contoh 1. Temukan solusi umum persamaan diferensial homogen linier.

Larutan. Kita berintegrasi dua kali dan, seperti yang mudah dilihat, agar selisih antara turunan kedua suatu fungsi dan fungsi itu sendiri sama dengan nol, solusinya harus diasosiasikan dengan eksponensial yang turunannya sama dengan fungsi itu sendiri. Artinya, solusi parsialnya adalah dan .

Sejak determinan Wronski

tidak sama dengan nol, maka solusi-solusi tersebut bebas linier. Oleh karena itu, solusi umum persamaan ini dapat ditulis sebagai

.

Persamaan diferensial homogen linier orde dua dengan koefisien konstan: teori dan praktek

Persamaan diferensial homogen linier orde kedua dengan koefisien konstan disebut persamaan bentuk

kamu"" + py" + qy = 0 ,

Di mana P Dan Q- nilai konstan.

Fakta bahwa ini adalah persamaan orde kedua ditunjukkan dengan adanya turunan kedua dari fungsi yang diinginkan, dan homogenitasnya ditunjukkan dengan nol di ruas kanan. Nilai-nilai yang telah disebutkan di atas disebut koefisien konstan.

Ke menyelesaikan persamaan diferensial orde kedua homogen linier dengan koefisien konstan , Anda harus terlebih dahulu menyelesaikan apa yang disebut persamaan karakteristik bentuk

k² + hal + Q = 0 ,

yang, seperti dapat dilihat, merupakan persamaan kuadrat biasa.

Bergantung pada solusi persamaan karakteristik, tiga opsi berbeda dimungkinkan solusi persamaan diferensial orde kedua homogen linier dengan koefisien konstan , yang sekarang akan kita analisis. Untuk kepastian yang lengkap, kita asumsikan bahwa semua solusi partikular telah diuji dengan determinan Wronski dan tidak sama dengan nol di semua kasus. Namun, orang yang ragu dapat memeriksanya sendiri.

Akar persamaan karakteristik adalah nyata dan berbeda

Dengan kata lain, . Dalam hal ini, penyelesaian persamaan diferensial orde kedua homogen linier dengan koefisien konstan memiliki bentuk

.

Contoh 2. Selesaikan persamaan diferensial homogen linier

.

Contoh 3. Selesaikan persamaan diferensial homogen linier

.

Larutan. Persamaan karakteristik mempunyai bentuk, akar-akarnya dan nyata serta berbeda. Solusi parsial yang sesuai dari persamaan tersebut adalah: dan . Solusi umum persamaan diferensial ini berbentuk

.

Akar-akar persamaan karakteristik adalah nyata dan setara

Itu adalah, . Dalam hal ini, penyelesaian persamaan diferensial orde kedua homogen linier dengan koefisien konstan memiliki bentuk

.

Contoh 4. Selesaikan persamaan diferensial homogen linier

.

Larutan. Persamaan karakteristik mempunyai akar yang sama. Solusi parsial yang sesuai dari persamaan tersebut adalah: dan . Solusi umum persamaan diferensial ini berbentuk

Contoh 5. Selesaikan persamaan diferensial homogen linier

.

Larutan. Persamaan karakteristik mempunyai akar-akar yang sama. Solusi parsial yang sesuai dari persamaan tersebut adalah: dan . Solusi umum persamaan diferensial ini berbentuk

Institusi pendidikan "Negara Bagian Belarusia

akademi pertanian"

Departemen Matematika Tinggi

Pedoman

mempelajari topik “Persamaan Diferensial Linier Orde Kedua” oleh mahasiswa Fakultas Akuntansi Pendidikan Korespondensi (NISPO)

Gorki, 2013

Persamaan diferensial linier

orde kedua dengan konstantakoefisien

Persamaan diferensial homogen linier

Persamaan diferensial linier orde kedua dengan koefisien konstan disebut persamaan bentuk

itu. persamaan yang memuat fungsi yang diinginkan dan turunannya hanya sampai derajat pertama dan tidak memuat produknya. Dalam persamaan ini Dan
- beberapa angka, dan suatu fungsi
diberikan pada interval tertentu
.

Jika
pada interval
, maka persamaan (1) akan berbentuk

, (2)

dan dipanggil homogen linier . Jika tidak, persamaan (1) disebut linier tidak homogen .

Pertimbangkan fungsi kompleksnya

, (3)

Di mana
Dan
- fungsi nyata. Jika fungsi (3) merupakan solusi kompleks persamaan (2), maka bagian realnya
, dan bagian imajiner
solusi
secara terpisah adalah solusi dari persamaan homogen yang sama. Jadi, semuanya solusi komprehensif persamaan (2) menghasilkan dua solusi nyata untuk persamaan ini.

Solusi homogen persamaan linier memiliki properti:

Jika adalah solusi persamaan (2), maka fungsinya
, Di mana DENGAN– konstanta sembarang juga akan menjadi solusi persamaan (2);

Jika Dan ada solusi untuk persamaan (2), maka fungsinya
juga akan menjadi solusi persamaan (2);

Jika Dan ada solusi untuk persamaan (2), maka kombinasi liniernya
juga akan menjadi solusi persamaan (2), di mana Dan
– konstanta sewenang-wenang.

Fungsi
Dan
disebut bergantung secara linear pada interval
, jika nomor tersebut ada Dan
, tidak sama dengan nol pada saat yang sama, bahwa pada interval ini persamaannya

Jika persamaan (4) hanya terjadi ketika
Dan
, lalu fungsinya
Dan
disebut independen linier pada interval
.

Contoh 1 . Fungsi
Dan
bergantung linier, karena
pada seluruh garis bilangan. Dalam contoh ini
.

Contoh 2 . Fungsi
Dan
bebas linier pada interval apa pun, karena persamaannya
hanya mungkin jika
, Dan
.

Konstruksi solusi umum homogen linier

persamaan

Untuk menemukan solusi umum persamaan (2), Anda perlu mencari dua solusi bebas liniernya Dan . Kombinasi linear dari solusi-solusi ini
, Di mana Dan
adalah konstanta sembarang, dan akan memberikan solusi umum untuk persamaan linier homogen.

Kita akan mencari solusi bebas linier persamaan (2) dalam bentuk

, (5)

Di mana – nomor tertentu. Kemudian
,
. Mari kita substitusikan ekspresi ini ke persamaan (2):

atau
.

Karena
, Itu
. Jadi fungsinya
akan menjadi solusi persamaan (2) jika akan memenuhi persamaan tersebut

. (6)

Persamaan (6) disebut persamaan karakteristik untuk persamaan (2). Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat aljabar.

Membiarkan Dan ada akar persamaan ini. Mereka bisa nyata dan berbeda, atau kompleks, atau nyata dan setara. Mari kita pertimbangkan kasus-kasus ini.

Biarkan sampai ke akarnya Dan persamaan karakteristik adalah nyata dan berbeda. Maka solusi persamaan (2) adalah fungsinya
Dan
. Solusi-solusi ini bebas linier, karena persamaannya
hanya dapat dilakukan pada saat
, Dan
. Oleh karena itu, solusi umum persamaan (2) berbentuk

,

Di mana Dan
- konstanta sewenang-wenang.

Contoh 3
.

Larutan . Persamaan karakteristik untuk diferensial ini adalah
. Setelah menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita menemukan akar-akarnya
Dan
. Fungsi
Dan
adalah solusi persamaan diferensial. Solusi umum persamaan ini adalah
.

Bilangan kompleks disebut ekspresi bentuk
, Di mana Dan adalah bilangan real, dan
disebut satuan imajiner. Jika
, lalu nomornya
disebut murni imajiner. Jika
, lalu nomornya
diidentifikasi dengan bilangan real .

Nomor disebut bagian nyata dari bilangan kompleks, dan - bagian imajiner. Jika dua bilangan kompleks berbeda satu sama lain hanya dengan tanda bagian imajinernya, maka keduanya disebut konjugasi:
,
.

Contoh 4 . Selesaikan persamaan kuadrat
.

Larutan . Persamaan diskriminan
. Kemudian. Juga,
. Jadi, persamaan kuadrat ini mempunyai akar-akar kompleks konjugasi.

Biarkan akar persamaan karakteristik menjadi kompleks, mis.
,
, Di mana
. Solusi persamaan (2) dapat ditulis dalam bentuk
,
atau
,
. Menurut rumus Euler

,
.

Kemudian ,. Sebagaimana diketahui, jika suatu fungsi kompleks merupakan penyelesaian persamaan linier homogen, maka penyelesaian persamaan tersebut adalah bagian nyata dan bagian imajiner dari fungsi tersebut. Jadi, solusi persamaan (2) adalah fungsinya
Dan
. Sejak kesetaraan

hanya dapat dieksekusi jika
Dan
, maka solusi-solusi ini bebas linier. Oleh karena itu, solusi umum persamaan (2) berbentuk

Di mana Dan
- konstanta sewenang-wenang.

Contoh 5 . Temukan solusi umum persamaan diferensial
.

Larutan . Persamaannya
adalah karakteristik dari diferensial tertentu. Mari kita selesaikan dan dapatkan akar yang kompleks
,
. Fungsi
Dan
adalah solusi bebas linier dari persamaan diferensial. Solusi umum persamaan ini adalah:

Biarkan akar-akar persamaan karakteristik menjadi nyata dan sama, yaitu.
. Maka solusi persamaan (2) adalah fungsinya
Dan
. Solusi-solusi ini bebas linier, karena ekspresi tersebut dapat sama dengan nol hanya jika
Dan
. Oleh karena itu, solusi umum persamaan (2) berbentuk
.

Contoh 6 . Temukan solusi umum persamaan diferensial
.

Larutan . Persamaan karakteristik
mempunyai akar yang sama
. Dalam hal ini, solusi bebas linier terhadap persamaan diferensial adalah fungsinya
Dan
. Solusi umum mempunyai bentuk
.

Persamaan diferensial linier tak homogen orde kedua dengan koefisien konstan

dan sisi kanan khusus

Solusi umum persamaan linear tak homogen (1) sama dengan jumlah solusi umum
persamaan homogen yang sesuai dan solusi tertentu
persamaan tidak homogen:
.

Dalam beberapa kasus, solusi tertentu terhadap persamaan tak homogen dapat dicari secara sederhana dengan bentuk ruas kanan
persamaan (1). Mari kita lihat kasus-kasus di mana hal ini mungkin terjadi.

itu. ruas kanan persamaan tak homogen adalah polinomial derajat M. Jika
bukan merupakan akar persamaan karakteristik, maka penyelesaian khusus persamaan tak homogen tersebut harus dicari dalam bentuk polinomial derajat M, yaitu

Kemungkinan
ditentukan dalam proses mencari solusi tertentu.

Jika
adalah akar persamaan karakteristik, maka solusi khusus persamaan tak homogen tersebut harus dicari dalam bentuk

Contoh 7 . Temukan solusi umum persamaan diferensial
.

Larutan . Persamaan homogen yang sesuai untuk persamaan ini adalah
. Persamaan karakteristiknya
memiliki akar
Dan
. Solusi umum persamaan homogen memiliki bentuk
.

Karena
bukan akar persamaan karakteristik, maka kita akan mencari solusi partikular persamaan tak homogen tersebut dalam bentuk fungsi
. Mari kita cari turunan dari fungsi ini
,
dan substitusikan ke dalam persamaan ini:

atau . Mari kita samakan koefisiennya dan anggota gratis:
Setelah memutuskan sistem ini, kita mendapatkan
,
. Maka solusi khusus dari persamaan tak homogen tersebut berbentuk
, dan penyelesaian umum persamaan tak homogen tertentu adalah jumlah penyelesaian umum persamaan homogen yang bersesuaian dan penyelesaian khusus persamaan tak homogen:
.

Biarkan persamaan tak homogen berbentuk

Jika
bukan merupakan akar persamaan karakteristik, maka penyelesaian khusus persamaan tak homogen tersebut harus dicari dalam bentuk. Jika
adalah akar dari persamaan multiplisitas karakteristik k (k=1 atau k=2), maka dalam hal ini solusi khusus persamaan tak homogen akan berbentuk .

Contoh 8 . Temukan solusi umum persamaan diferensial
.

Larutan . Persamaan karakteristik persamaan homogen yang bersesuaian memiliki bentuk
. Akarnya
,
. Dalam hal ini, solusi umum persamaan homogen yang bersangkutan ditulis dalam bentuk
.

Karena bilangan 3 bukan merupakan akar persamaan karakteristik, maka solusi khusus persamaan tak homogen tersebut harus dicari dalam bentuk
. Mari kita cari turunan orde pertama dan kedua:

Mari kita substitusikan ke persamaan diferensial:
+ +,
+,.

Mari kita samakan koefisiennya dan anggota gratis:

Dari sini
,
. Maka solusi khusus untuk persamaan ini memiliki bentuk
, dan solusi umum

.

Metode Lagrange untuk variasi konstanta sembarang

Metode memvariasikan konstanta sembarang dapat diterapkan pada persamaan linier tak homogen apa pun dengan koefisien konstan, apa pun jenis ruas kanannya. Metode ini memungkinkan Anda untuk selalu menemukan solusi umum persamaan tak homogen jika solusi umum persamaan homogen yang bersesuaian diketahui.

Membiarkan
Dan
adalah solusi bebas linier dari persamaan (2). Maka solusi umum persamaan ini adalah
, Di mana Dan
- konstanta sewenang-wenang. Inti dari metode memvariasikan konstanta sembarang adalah mencari solusi umum persamaan (1) dalam bentuk

Di mana
Dan
- fungsi baru yang tidak diketahui yang perlu ditemukan. Karena ada dua fungsi yang tidak diketahui, maka untuk menemukannya diperlukan dua persamaan yang memuat fungsi-fungsi tersebut. Kedua persamaan ini membentuk sistem

yang merupakan sistem persamaan aljabar linier terhadap
Dan
. Memecahkan sistem ini, kami temukan
Dan
. Mengintegrasikan kedua sisi persamaan yang diperoleh, kita temukan

Dan
.

Mengganti ekspresi ini ke (9), kita memperoleh solusi umum persamaan linier tak homogen (1).

Contoh 9 . Temukan solusi umum persamaan diferensial
.

Larutan. Persamaan karakteristik persamaan homogen yang bersesuaian dengan persamaan diferensial tertentu adalah
. Akarnya rumit
,
. Karena
Dan
, Itu
,
, dan solusi umum persamaan homogen memiliki bentuk. Kemudian kita akan mencari solusi umum persamaan tak homogen tersebut dalam bentuk di mana
Dan
- fungsi yang tidak diketahui.

Sistem persamaan untuk mencari fungsi yang tidak diketahui ini memiliki bentuk

Setelah memecahkan sistem ini, kami menemukannya
,
. Kemudian

,
. Mari kita gantikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus solusi umum:

Ini adalah solusi umum persamaan diferensial yang diperoleh dengan menggunakan metode Lagrange.

Pertanyaan untuk pengendalian diri atas pengetahuan

Persamaan diferensial manakah yang disebut persamaan diferensial linier orde kedua dengan koefisien konstan?

Persamaan diferensial linier manakah yang disebut homogen dan manakah yang disebut tidak homogen?

Sifat apa yang dimiliki persamaan linier homogen?

Persamaan apa yang disebut ciri persamaan diferensial linier dan bagaimana cara memperolehnya?

Dalam bentuk apa penyelesaian umum persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan ditulis dalam kasus akar-akar persamaan karakteristik yang berbeda?

Dalam bentuk apa penyelesaian umum persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan ditulis dalam kasus akar-akar yang sama dari persamaan karakteristik?

Dalam bentuk apa penyelesaian umum persamaan diferensial homogen linier dengan koefisien konstan ditulis dalam kasus akar kompleks persamaan karakteristik?

Bagaimana penyelesaian umum persamaan linear tak homogen ditulis?

Dalam bentuk apa penyelesaian khusus persamaan linier tak homogen dicari jika akar-akar persamaan karakteristik berbeda dan tidak sama dengan nol, dan ruas kanan persamaan adalah polinomial derajat M?

Dalam bentuk apa penyelesaian khusus persamaan linier tak homogen dicari jika terdapat satu angka nol di antara akar-akar persamaan karakteristik dan ruas kanan persamaan tersebut adalah polinomial derajat? M?

Apa inti dari metode Lagrange?

Paragraf ini akan membahas kasus spesial persamaan linier orde kedua, jika koefisien persamaannya konstan, yaitu bilangan. Persamaan seperti ini disebut persamaan dengan koefisien konstan. Jenis persamaan ini khususnya diterapkan secara luas.

1. Persamaan diferensial homogen linier

orde kedua dengan koefisien konstan

Pertimbangkan persamaannya

dimana koefisiennya konstan. Dengan asumsi membagi semua suku persamaan dengan dan menyatakan

Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk

Seperti diketahui, untuk mencari solusi umum persamaan linear homogen orde dua, cukup dengan mengetahuinya sistem mendasar solusi pribadi. Mari kita tunjukkan cara mencari sistem fundamental solusi parsial untuk persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan. Kami akan mencari solusi khusus untuk persamaan ini dalam bentuk

Diferensialkan fungsi ini dua kali dan substitusikan ekspresi ke dalam persamaan (59), kita peroleh

Karena , maka, dikurangi dengan kita mendapatkan persamaannya

Dari persamaan ini ditentukan nilai k yang fungsinya akan menjadi solusi persamaan (59).

Persamaan aljabar (61) untuk menentukan koefisien k disebut persamaan karakteristik persamaan diferensial (59).

Persamaan karakteristik merupakan persamaan derajat kedua sehingga mempunyai dua akar. Akar-akar ini dapat berupa konjugat nyata, nyata dan setara, atau konjugat kompleks.

Mari kita perhatikan bentuk sistem fundamental dari solusi partikular dalam masing-masing kasus ini.

1. Akar-akar persamaan karakteristik nyata dan berbeda: . Dalam hal ini, dengan menggunakan rumus (60) kita menemukan dua solusi parsial:

Kedua solusi partikular ini membentuk sistem solusi fundamental pada seluruh sumbu numerik, karena determinan Wronski tidak hilang dimana pun:

Oleh karena itu, solusi umum persamaan menurut rumus (48) berbentuk

2. Akar-akar persamaan karakteristik adalah sama: . Dalam hal ini, kedua akarnya akan nyata. Dengan menggunakan rumus (60), kita hanya memperoleh satu solusi partikular

Mari kita tunjukkan bahwa solusi partikular kedua, yang bersama-sama dengan solusi pertama membentuk sistem fundamental, mempunyai bentuk

Pertama-tama, mari kita periksa apakah fungsi tersebut merupakan solusi persamaan (59). Benar-benar,

Tapi, karena ada akar persamaan karakteristik (61). Selain itu, menurut teorema Vieta, maka . Akibatnya, , yaitu, fungsi tersebut memang merupakan solusi persamaan (59).

Sekarang mari kita tunjukkan bahwa solusi parsial yang ditemukan membentuk sistem solusi fundamental. Benar-benar,

Jadi, dalam hal ini solusi umum persamaan linear homogen memiliki bentuk

3. Akar persamaan karakteristik itu kompleks. Seperti diketahui, akar kompleks persamaan kuadrat dengan koefisien riil adalah konjugat bilangan kompleks, yaitu mereka terlihat seperti: . Dalam hal ini, solusi parsial persamaan (59), menurut rumus (60), akan berbentuk:

Dengan menggunakan rumus Euler (lihat Bab XI, § 5, paragraf 3), ekspresi untuk dapat ditulis dalam bentuk:

Solusi-solusi ini bersifat komprehensif. Untuk mendapatkan solusi yang valid, pertimbangkan fungsi baru

Mereka adalah kombinasi solusi linier dan, oleh karena itu, merupakan solusi persamaan (59) (lihat § 3, butir 2, Teorema 1).

Mudah untuk menunjukkan bahwa determinan Wronski untuk solusi-solusi ini adalah bukan nol dan, oleh karena itu, solusi-solusi tersebut membentuk sistem solusi fundamental.

Dengan demikian, solusi umum persamaan diferensial linier homogen dalam kasus akar kompleks persamaan karakteristik memiliki bentuk

Sebagai kesimpulan, kami menyajikan tabel rumus untuk solusi umum persamaan (59) tergantung pada jenis akar persamaan karakteristik.