Setelah transformasi sederhana yang kita dapatkan

(3.54)

Aturan: fungsi transfer sistem dengan negatif umpan balik sama dengan pecahan, yang pembilangnya adalah fungsi alih saluran maju, dan penyebutnya adalah jumlah kesatuan dan hasil kali fungsi alih saluran maju dan saluran balik sistem.

Kapan positif masukan rumus (3.54) mengambil bentuk

(3.55)

Dalam praktiknya, sistem dengan umpan balik negatif biasanya ditemui, yang fungsi transfernya ditemukan menurut relasi (3.54).

3.3.4. Aturan pemindahan

Dalam beberapa kasus, untuk mendapatkan fungsi transfer keseluruhan sistem menggunakan transformasi struktural, akan lebih mudah untuk memindahkan titik penerapan sinyal melalui tautan yang lebih dekat ke keluaran atau masukan. Dengan transformasi diagram struktural seperti itu, seseorang harus mematuhinya aturan: fungsi transfer sistem harus tetap tidak berubah.

Mari kita pertimbangkan situasi ketika titik penerapan sinyal ditransfer melalui tautan yang lebih dekat ke output. Struktur awal sistem ditunjukkan pada Gambar. 3.31. Mari kita tentukan fungsi transfer yang dihasilkannya

Mari kita pindahkan titik penerapan sinyal melalui tautan dengan fungsi transfer dengan menambahkan beberapa fungsi transfer ke saluran ini. Kita memperoleh diagram blok dari sistem yang diubah (Gbr. 3 32).

Beras. 3.32. Diagram blok dari sistem yang diubah.

Untuk itu, fungsi alih mempunyai bentuk

Karena ketika mentransformasikan struktur sistem, fungsi alihnya tidak boleh berubah, dengan menyamakan ruas kanan ekspresi (3.56) dan (3.57), kita menentukan fungsi alih yang diperlukan

Jadi, ketika titik penerapan sinyal dipindahkan lebih dekat ke keluaran sistem, fungsi transfer dari tautan yang melaluinya sinyal ditransmisikan harus ditambahkan ke saluran.

Serupa aturan dapat dirumuskan untuk memindahkan titik penerapan sinyal lebih dekat ke masukan sistem: fungsi transfer terbalik dari tautan yang melaluinya sinyal ditransfer harus ditambahkan ke saluran yang sesuai.

Contoh 3.1

Tentukan fungsi transfer umum sistem, diagram bloknya ditunjukkan pada Gambar. 3.33.

Mari kita tentukan terlebih dahulu fungsi transfer koneksi link tipikal: fungsi transfer koneksi link paralel

dan fungsi transfer tautan yang terhubung seri

Beras. 3.33. Diagram blok sistem

Dengan mempertimbangkan notasi yang diperkenalkan, struktur sistem dapat direduksi menjadi bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 3.34.

Dengan menggunakan transformasi struktural, kami menuliskan fungsi transfer umum sistem

Menggantikan nilainya dengan dan, akhirnya kita dapatkan

Contoh 3.2

Tentukan fungsi transfer sistem pelacakan target otomatis stasiun radar, diagram bloknya ditunjukkan pada Gambar. 3.35.

Beras. 3.35. Diagram blok sistem pelacakan target otomatis

Berikut adalah fungsi transfer dari sistem penerima; - fungsi transfer detektor fase; - fungsi transfer penguat daya; - fungsi alih mesin; - fungsi transfer gearbox; - fungsi transfer sensor kecepatan putaran antena; - fungsi transfer perangkat koreksi.

Dengan menggunakan aturan transformasi struktural, kami menulis

fungsi alih

Mari kita tentukan fungsi alih loop internal

dan sistem saluran langsung

Mari kita tentukan fungsi alih sistem secara lengkap

Mengganti nilai awal alih-alih fungsi transfer perantara, kita akhirnya memperolehnya

3.4. Diagram blok yang sesuai dengan persamaan diferensial

Metode kedua dalam menyusun diagram blok didasarkan pada penggunaan persamaan diferensial. Mari kita pertimbangkan terlebih dahulu untuk suatu objek yang perilakunya dijelaskan oleh persamaan matriks-vektor (2.1), (2.2):

(3.59)

Mari kita integrasikan persamaan keadaan di (3.59) dari waktu ke waktu dan tentukan keadaan dan variabel keluaran dalam bentuk

(3.60)

Persamaan (3.60) merupakan dasar untuk menggambar diagram.

Beras. 3.36. Diagram blok sesuai dengan persamaan
keadaan objek

Lebih mudah untuk menggambarkan diagram blok yang sesuai dengan persamaan (3.60), dimulai dengan variabel keluaran kamu, dan disarankan untuk menempatkan variabel masukan dan keluaran objek pada garis horizontal yang sama (Gbr. 3.36).

Untuk objek saluran tunggal, diagram struktur dapat dibuat menggunakan persamaan (2.3), menyelesaikannya terhadap turunan tertinggi

Memiliki terintegrasi (3.61) N sekali, kita dapatkan

(3.62)

Sistem persamaan (3.62) sesuai dengan diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 3.37.

Beras. 3.37. Diagram blok sesuai dengan persamaan (3.61)

Seperti yang bisa kita lihat, objek kontrol saluran tunggal, yang perilakunya dijelaskan oleh persamaan (3.61), selalu dapat direpresentasikan secara struktural sebagai rantai N integrator yang terhubung seri dengan umpan balik.

Contoh 3.3

Gambarlah diagram blok dari objek yang modelnya diberikan sistem berikut persamaan diferensial:

Mari kita integrasikan persamaan keadaan terlebih dahulu

Beras. 3.38. Ilustrasi menggambar diagram blok
dengan persamaan keadaan

Sesuai dengan persamaan integral pada Gambar. 3.38 kami menggambarkan diagram blok sistem.

3.5. Transisi dari fungsi transfer ke deskripsi kanonik

Mari kita bahas metode konversi yang paling terkenal model matematika objek dalam bentuk fungsi transfer arbitrer ke deskripsi dalam variabel keadaan. Untuk tujuan ini kami menggunakan diagram struktural yang sesuai. Perhatikan itu tugas ini bersifat ambigu, karena variabel keadaan suatu objek dapat dipilih dengan cara yang berbeda (lihat Bagian 2.2).

Mari kita pertimbangkan dua opsi untuk transisi ke deskripsi variabel keadaan dari fungsi transfer objek

(3.63)

dimana pertama-tama mari kita sajikan (3.63) sebagai hasil kali dua fungsi transfer:

Masing-masing representasi ini (3.63) memiliki representasinya sendiri-sendiri model sederhana dalam variabel keadaan, yang disebut bentuk kanonik.

3.5.1. Bentuk kanonik pertama

Mari kita perhatikan transformasi model matematika sistem dengan fungsi transfer (3.64). Diagram bloknya dapat direpresentasikan sebagai dua tautan yang dihubungkan secara seri
(Gbr. 3.39).

Beras. 3.39. Representasi struktural sistem (3.64)

Untuk setiap tautan sistem kami menulis persamaan operator yang sesuai

(3.66)

Mari kita tentukan dari persamaan pertama (3.66) turunan tertinggi dari variabel tersebut z, yang sesuai dengan nilai dalam bentuk operator

Ekspresi yang dihasilkan memungkinkan kita untuk merepresentasikan persamaan pertama (3.66) sebagai rangkaian N integrator dengan umpan balik (lihat Bagian 3.5), dan variabel keluaran kamu dibentuk sesuai dengan persamaan kedua (3.66) sebagai penjumlahan variabel z dan dia M turunan (Gbr. 3.40).

Beras. 3.40. Skema yang sesuai dengan persamaan (3.66)

Dengan menggunakan transformasi struktural, kita memperoleh diagram blok sistem yang ditunjukkan pada Gambar. 3.41.

Beras. 3.41. Diagram struktur sesuai dengan bentuk kanonik

Perhatikan bahwa diagram blok yang berhubungan dengan fungsi transfer (3.64) terdiri dari sebuah rantai N integrator, di mana N- urutan sistem. Selain itu, dalam umpan balik adalah koefisien penyebut fungsi alih asli (koefisien polinomial karakteristik), dan dalam hubungan langsung adalah koefisien polinomial pembilangnya.

Dari diagram blok yang dihasilkan, mudah untuk beralih ke model sistem dalam variabel keadaan. Untuk tujuan ini, kami mengambil output dari masing-masing integrator sebagai variabel keadaan

yang memungkinkan kita untuk menuliskan persamaan diferensial keadaan dan persamaan keluaran sistem (3.63) dalam bentuk

(3.67)

Sistem persamaan (3.67) dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks vektor (2.1) dengan matriks sebagai berikut:

Model sistem dalam variabel keadaan (3.67) akan dipanggil bentuk kanonik pertama.

3.5.2. Bentuk kanonik kedua

Mari kita perhatikan metode transisi kedua dari fungsi transfer (3.63) ke deskripsi variabel keadaan, yang secara skematis kita representasikan struktur sistem (3.65) pada Gambar. 3.42.

Beras. 3.42. Representasi struktural dari fungsi transfer (3.65)

Persamaan operatornya berbentuk

(3.68)

Mirip dengan kasus sebelumnya, mari kita nyatakan persamaan pertama (3.68) sebagai rangkaian N integrator dengan umpan balik, dan pengaruh masukan z kita bentuk sesuai dengan persamaan kedua (3.68) berupa control sum kamu Dan M turunannya (Gbr. 3.43).

Sebagai hasil dari transformasi struktural, kita memperoleh diagram blok sistem yang ditunjukkan pada Gambar. 3.44. Seperti yang bisa kita lihat, dalam kasus ini, diagram blok yang berhubungan dengan fungsi transfer (3.65) terdiri dari sebuah rantai N integrator. Umpan balik juga berisi koefisien polinomial karakteristik, dan tautan langsung berisi koefisien polinomial pembilangnya.

Beras. 3.43. Skema yang sesuai dengan persamaan (3.68)

Beras. 3.44. Diagram blok yang sesuai dengan fungsi transfer (3.65)

Sekali lagi, kita memilih nilai keluaran integrator sebagai variabel keadaan dan menuliskan persamaan diferensial keadaan dan persamaan keluarannya.

(3.69)

Dengan menggunakan persamaan (3.69), kita menentukan matriksnya

Model sistem dalam variabel keadaan bertipe (3.69) akan dipanggil bentuk kanonik kedua.

Perhatikan bahwa matriks A tidak berubah untuk bentuk kanonik pertama atau kedua dan berisi koefisien penyebut dari fungsi transfer asli (3.63). Koefisien pembilang fungsi transfer (3,63) memuat matriks C(dalam kasus bentuk kanonik pertama) atau matriks B(dalam kasus bentuk kanonik kedua). Oleh karena itu, persamaan keadaan yang berhubungan dengan dua representasi kanonik sistem dapat ditulis langsung menggunakan fungsi transfer (3.63) tanpa melalui diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 3.40 dan 3.43.

Seperti yang bisa kita lihat, transisi dari fungsi transfer ke deskripsi variabel keadaan adalah tugas yang ambigu. Kami memeriksa opsi untuk transisi ke deskripsi kanonik, yang paling sering digunakan dalam teori kontrol otomatis.

Contoh 3.4

Dapatkan dua versi deskripsi kanonik dan diagram blok yang sesuai untuk sistem yang modelnya berbentuk

Kami menggunakan representasi fungsi transfer dalam bentuk (3.64) dan menulis persamaan operatornya

dari situ kita beralih ke diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 3.45.

Beras. 3.45. Diagram struktur sesuai dengan bentuk kanonik pertama

Berdasarkan diagram blok ini, kami menulis persamaan bentuk kanonik pertama dalam bentuk

Untuk berpindah ke bentuk kanonik kedua, mari kita nyatakan fungsi transfer sistem dalam bentuk (3.65) dan tuliskan persamaan operator berikut untuknya:

yang sesuai dengan diagram blok yang ditunjukkan pada Gambar. 3.46.

Beras. 3.46. Diagram struktur sesuai dengan bentuk kanonik kedua

Sekarang mari kita tulis model sistem dalam bentuk kanonik kedua

3.6. Lingkup penerapan metode struktural

Metode struktural cocok untuk menghitung sistem otomatis linier, tetapi memiliki keterbatasan. Metode ini melibatkan penggunaan fungsi transfer, sehingga dapat digunakan, sebagai suatu peraturan, pada kondisi awal nol.

Saat menggunakan metode struktural, Anda harus mematuhi hal-hal berikut aturan: selama transformasi sistem apa pun, urutannya tidak boleh berkurang, yaitu pengurangan faktor identik pada pembilang dan penyebut fungsi transfer tidak dapat diterima. Dengan mengurangi faktor-faktor yang identik, kami membuang tautan-tautan yang sebenarnya ada dari sistem. Mari kita ilustrasikan pernyataan ini dengan sebuah contoh.

Contoh 3.5

Mari kita pertimbangkan sebuah sistem yang terdiri dari tautan pengintegrasian dan pembedaan, yang dihubungkan secara seri.

Opsi pertama untuk menghubungkan tautan ditunjukkan pada Gambar. 3.47.

Dengan menggunakan transformasi struktural, kita menemukan fungsi transfer umum

Oleh karena itu, sambungan tautan seperti itu setara dengan sambungan bebas inersia, yaitu sinyal pada keluaran sistem mengulangi sinyal pada masukannya. Kami akan menunjukkannya dengan mempertimbangkan persamaan tautan individual. Sinyal keluaran dari tautan pengintegrasian ditentukan oleh relasinya

dimana kondisi awal pada integrator. Sinyal pada keluaran tautan pembeda, dan oleh karena itu, keseluruhan sistem, memiliki bentuk

yang sesuai dengan kesimpulan yang dibuat berdasarkan analisis fungsi alih keseluruhan tautan.

Opsi kedua untuk menghubungkan tautan ditunjukkan pada Gambar. 3.48, yaitu tautannya ditukar. Fungsi transfer sistem sama seperti pada kasus pertama,

Namun, saat ini keluaran sistem tidak mengikuti sinyal masukan. Hal ini dapat diverifikasi dengan mempertimbangkan persamaan link. Sinyal pada keluaran elemen pembeda sesuai dengan persamaan

dan pada keluaran sistem ditentukan oleh relasinya

Seperti yang bisa kita lihat, dalam kasus kedua, sinyal keluaran berbeda dari sinyal keluaran sistem pertama dalam nilai nilai awal, meskipun kedua sistem memiliki fungsi transfer yang sama.

Kesimpulan

Bagian ini membahas karakteristik dinamis dari tautan tipikal yang membentuk sistem kontrol dengan konfigurasi arbitrer. Fitur diagram struktural yang dibangun berdasarkan fungsi transfer dan persamaan diferensial dibahas. Diberikan dua metode transisi dari fungsi alih suatu sistem melalui diagram struktural ke modelnya dalam bentuk variabel keadaan, sesuai dengan berbagai bentuk kanonik.

Perlu dicatat bahwa menyajikan suatu sistem dalam bentuk diagram struktural memungkinkan dalam beberapa kasus untuk mengevaluasi statika dan dinamikanya dan pada dasarnya memberikan gambaran struktural dari sistem.

3.1. Gambarlah diagram blok sistem, persamaan diferensial yang berbentuk:

A)

V)

3.2. Gambarlah diagram blok sistem, yang modelnya direpresentasikan dalam variabel keadaan:

A) B)

V) G)

3.3. Tentukan fungsi alih sistem jika diagram strukturnya seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 3.49.

Beras. 3.49. Blok diagram untuk tugas 3.3

3.4. Diagram blok sistem diketahui (Gbr. 3.50). Catat modelnya dalam variabel status.

Beras. 3.50. Diagram blok untuk tugas 3.4

3.5. Diagram blok sistem diketahui (Gbr. 3.51).

Beras. 3.51.

1. Tentukan fungsi transfer dengan asumsi bahwa

2. Tentukan asumsi fungsi transfer

3. Tuliskan model sistem dalam variabel keadaan.

4. Ulangi paragraf. 1 dan 2 untuk sistem, diagram bloknya ditunjukkan pada Gambar. 3.52.

Beras. 3.52. Diagram blok untuk soal 3.5

3.6 .

3.7. Gambarlah diagram blok yang sesuai dengan bentuk deskripsi kanonik pertama dari sistem yang memiliki fungsi transfer

1. Tuliskan bentuk kanonik pertama.

2. Gambarlah diagram blok yang sesuai dengan bentuk kanonik kedua yang menggambarkan sistem.

3. Tuliskan bentuk kanonik kedua.

3.8. Gambarlah diagram blok yang sesuai dengan bentuk deskripsi kanonik pertama dari sistem yang memiliki fungsi transfer

1. Tuliskan bentuk kanonik pertama.

2. Gambarlah diagram blok yang sesuai dengan bentuk kanonik kedua yang menggambarkan sistem.

3. Tuliskan bentuk kanonik kedua.

literatur

1. Andreev Yu.N. Kontrol objek linier berdimensi terbatas. - M.: Nauka, 1978.

2. Besekersky V.A..,Popov E.P.. Teori regulasi otomatis. - M.: Nauka, 1974.

3. Erofeev A.A. Teori kendali otomatis. - SPb: Poli-tekhnika, 1998.

4. Ivashchenko N.N. Regulasi otomatis. - M.: Mashinostroenie, 1978.

5. Pervozvansky A.A. Kursus teori kontrol otomatis. - M.: Lebih tinggi. sekolah, 1986.

6. Popov E.P. Teori sistem linier pengaturan dan kontrol otomatis. - M.: Lebih tinggi. sekolah, 1989.

7. Konovalov G.F. Otomatisasi radio. - M.: Lebih tinggi. sekolah, 1990.

8. Phillips H.,Pelabuhan R. Sistem kontrol umpan balik. - M.: Laboratorium Pengetahuan Dasar, 2001.

SISTEM LINEAR

KONTROL OTOMATIS

Penerbitan Universitas Teknik Negeri Omsk

Kementerian Pendidikan dan Sains Federasi Rusia

Negara lembaga pendidikan

lebih tinggi pendidikan kejuruan

"Universitas Teknik Negeri Omsk"

SISTEM LINEAR

KONTROL OTOMATIS

Pedoman kerja praktek

Penerbitan Universitas Teknik Negeri Omsk

Disusun oleh E.V. Shendaleva, Ph.D. teknologi. ilmu pengetahuan

Publikasi tersebut berisi pedoman melaksanakan kerja praktek teori kendali otomatis.

Ditujukan untuk mahasiswa peminatan 200503, “Standardisasi dan Sertifikasi”, yang mempelajari disiplin ilmu “Dasar-Dasar Pengendalian Otomatis”.

Diterbitkan berdasarkan keputusan dewan editorial dan penerbitan

Universitas Teknik Negeri Omsk

© GOU VPO "Negara Bagian Omsk

Universitas Teknik", 2011

Kebutuhan untuk menggunakan metodologi teori manajemen untuk spesialis standardisasi dan sertifikasi muncul ketika menentukan:

1) karakteristik kuantitatif dan (atau) kualitatif dari sifat-sifat benda uji sebagai akibat dari pengaruhnya selama pengoperasiannya, ketika memodelkan suatu benda dan (atau) pengaruh, yang hukum perubahannya harus dipastikan dengan menggunakan alat otomatis sistem pengaturan;

2) sifat dinamis benda ukur dan uji;

3) pengaruh sifat dinamis alat ukur terhadap hasil pengukuran dan pengujian benda.

Metode mempelajari objek dibahas dalam kerja praktek.

Kerja Praktek 1

Fungsi dinamis

Latihan 1.1

Temukan fungsi pembobotannya w(T) menurut fungsi transisi yang diketahui

H(T) = 2(1–e –0,2 T).

Larutan

w(T)=H¢( T), oleh karena itu, ketika membedakan ekspresi aslinya

w(T)=0,4e –0,2 T .

Latihan 1.2

Temukan fungsi transfer sistem menggunakan persamaan diferensial 4 kamu¢¢( T) + 2kamu¢( T) + 10kamu(T) = 5X(T). Kondisi awal adalah nol.

Larutan

Persamaan diferensial diubah ke bentuk standar dengan membaginya dengan koefisien suku kamu(T)

0,4kamu¢¢( T) + 0,2kamu¢( T) + kamu(T) = 0,5X(T).

Persamaan yang dihasilkan diubah menurut Laplace

0,4S 2 kamu(S) + 0,2sy(S) + kamu(S) = 0,5X(S)

dan kemudian ditulis sebagai fungsi transfer:

Di mana S= sebuah + Saya w adalah operator Laplace.

Latihan 1.3

Temukan fungsi transfernya W(S) sistem menggunakan fungsi bobot yang diketahui w(T)=5–T.

Larutan

Transformasi Laplace

. (1.1)

Menggunakan hubungan antara fungsi transfer dan fungsi pembobotan W(S) = w(S), kita mendapatkan

.

Transformasi Laplace dapat diperoleh dengan perhitungan (1.1), menggunakan tabel transformasi Laplace atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab. Program di Matlab diberikan di bawah ini.

sim s t

x=5-t% fungsi waktu

y=laplace(x)% Laplace mengubah fungsi.

Latihan 1.4

Dengan menggunakan fungsi transfer sistem, temukan responsnya terhadap tindakan satu langkah (fungsi transisi)

.

Larutan

Transformasi Laplace terbalik

, (1.2)

di mana c adalah absis konvergensi X(S).

Menurut prinsip superposisi, berlaku untuk sistem linier

H(T)=H 1 (T)+H 2 (T),

Di mana H(T) – fungsi transisi dari keseluruhan sistem;

H 1 (T) – fungsi transisi dari tautan pengintegrasian

;

H 2 (T) – fungsi sementara dari bagian penguat

.

Diketahui bahwa H 1 (T)=k 1× T, H 2 (T)=k 2×δ( T), Kemudian H(T)=k 1× T+k 2×δ( T).

Transformasi invers Laplace dapat diperoleh dengan perhitungan (1.2), menggunakan tabel transformasi Laplace, atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab. Program di Matlab diberikan di bawah ini.

sims s k1 k2% penunjukan variabel simbolis

y=k1/s+k2% Laplace mengubah fungsi

x=ilatempat(y)% fungsi waktu.

Latihan 1.5

Temukan karakteristik frekuensi amplitudo dan frekuensi fase menggunakan fungsi transfer sistem yang diketahui

.

Larutan

Untuk menentukan karakteristik frekuensi amplitudo (AFC) dan karakteristik frekuensi fasa (PFC), perlu beralih dari fungsi transfer ke karakteristik amplitudo-fase. W(Saya w), mengapa mengubah argumen S → Saya w

.

Kemudian wakilkan AFC dalam formulir W(Saya w)= P(w)+ iQ(w), dimana P(w) – bagian nyata, Q(w) adalah bagian imajiner dari AFC. Untuk mendapatkan bagian real dan imajiner AFC, pembilang dan penyebutnya perlu dikalikan dengan bilangan kompleks yang dikonjugasikan dengan ekspresi penyebutnya:

Respon frekuensi dan respon fasa ditentukan masing-masing dengan rumus

, ;

,

Karakteristik fase amplitudo W(J w) dapat direpresentasikan dalam bentuk

.

Latihan 1.6

Tentukan sinyal kamu(T) pada keluaran sistem berdasarkan sinyal masukan yang diketahui dan fungsi alih sistem

X(T)=2sin10 T; .

Diketahui bahwa ketika terkena sinyal input X(T)=B dosa T sinyal keluaran ke sistem kamu(T) juga akan harmonis, tetapi akan berbeda dari amplitudo dan fasa masukan

kamu(T) = B× A(w) dosa

Di mana A(w) – respons frekuensi sistem; j(w) – respon fase sistem.

Dengan menggunakan fungsi transfer kita menentukan respon frekuensi dan respon fasa

j(w)=–arctg0.1w.

Pada frekuensi w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 dan j(10) = –arctg1=–0,25p.

Kemudian kamu(T) = 2×2 dosa(10 T–0,25p) = 4 dosa(10 T-0,25p).

Pertanyaan kontrol :

1. Mendefinisikan konsep fungsi bobot.

2. Mendefinisikan konsep fungsi transisi.

3. Untuk tujuan apa transformasi Laplace digunakan saat mendeskripsikan tautan dinamis?

4. Persamaan apa yang disebut diferensial linier?

5. Untuk tujuan apa, ketika berpindah ke persamaan dalam bentuk operator, persamaan diferensial asli diubah menjadi bentuk standar?

6. Bagaimana ekspresi bilangan imajiner dihilangkan dari penyebut karakteristik fase amplitudo?

7. Tentukan perintah transformasi Laplace langsung dalam paket perangkat lunak Matlab.

8. Tentukan perintah transformasi Laplace terbalik dalam paket perangkat lunak Matlab.

Kerja Praktek 2

Fungsi pengalihan

Latihan 2.1

Temukan fungsi alih sistem berdasarkan diagram strukturnya.

Larutan

Metode utama menghubungkan tautan dalam diagram blok adalah: tautan paralel, serial, dan penghubung dengan umpan balik (bagian tautan yang khas).

Fungsi transfer suatu sistem tautan yang terhubung paralel sama dengan jumlah fungsi transfer dari masing-masing tautan (Gbr. 2.1)

. (2.1)

Beras. 2.1. Koneksi tautan paralel

Fungsi alih suatu sistem sambungan seri sama dengan hasil kali fungsi alih masing-masing sambungan (Gbr. 2.2)

(2.2)

Beras. 2.2. Koneksi seri tautan

Umpan balik adalah transfer sinyal dari keluaran suatu tautan ke masukannya, di mana sinyal umpan balik dijumlahkan secara aljabar dengan sinyal eksternal (Gbr. 2.3).

Beras. 2.3 Hubungan dengan umpan balik: a) positif, b) negatif

Fungsi transfer koneksi umpan balik positif

, (2.3)

fungsi transfer koneksi umpan balik negatif

. (2.4)

Definisi fungsi transfer sistem yang kompleks pengelolaannya dilakukan secara bertahap. Untuk melakukan ini, bagian yang berisi sambungan serial, paralel, dan sambungan dengan umpan balik diidentifikasi (bagian tautan tipikal) (Gbr. 2.4)

W 34 (S)=W 3 (S)+W 4 (S); .

Beras. 2.4. Diagram blok sistem kendali

Kemudian bagian tipikal dari link yang dipilih diganti dengan satu link dengan fungsi transfer terhitung dan prosedur perhitungan diulangi (Gbr. 2.5 - 2.7).

Beras. 2.5. Mengganti koneksi paralel dan loop tertutup dengan satu link

Beras. 2.6. Mengganti koneksi umpan balik dengan satu tautan

Beras. 2.7. Mengganti koneksi serial dengan satu link

(2.5)

Latihan 2.2

Tentukan fungsi alih jika fungsi alih bagian-bagian penyusunnya adalah:

Larutan

Saat mensubstitusikan ke (2.5) fungsi alih tautan

Transformasi diagram blok relatif terhadap tindakan kontrol masukan (Gbr. 2.7, 2.11) dapat diperoleh dengan perhitungan (2.5) atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab. Program di Matlab diberikan di bawah ini.

W1=tf(,)% Fungsi transmisi W 1

W2=tf(,)% Fungsi transmisi W 2

W3=tf(,)% Fungsi transmisi W 3

W4=tf(,)% Fungsi transmisi W 4

W5=tf(,)% Fungsi transmisi W 5

W34=paralel(W3,W4)% koneksi paralel ( W 3 + W 4)

W25=umpan balik(W2,W5)

W134=umpan balik(W1,W34)% umpan balik negatif

W12345=seri(W134,W25)% koneksi serial ( W 134× W 25)

W=umpan balik(W12345,1)

Latihan 2.3.

Temukan fungsi transfer sistem loop tertutup berdasarkan gangguan

Larutan

Untuk menentukan fungsi alih sistem yang kompleks dari pengaruh gangguan, perlu disederhanakan dan dipertimbangkan relatif terhadap pengaruh masukan yang mengganggu (Gbr. 2.8 - 2.12).

Gambar.2.8. Diagram blok awal sistem otomatis

Beras. 2.9. Penyederhanaan diagram blok

Beras. 2.10. Diagram blok yang disederhanakan

Beras. 2.11. Diagram blok relatif terhadap tindakan kontrol masukan

Beras. 2.12. Blok diagram sistem relatif terhadap pengaruh yang mengganggu

Setelah membawa diagram struktur ke sirkuit tunggal, fungsi transfer untuk pengaruh yang mengganggu F(T)

(2.6)

Transformasi diagram struktur terhadap pengaruh gangguan (Gbr. 2.12) dapat diperoleh dengan perhitungan (2.6) atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab.

W1=tf(,)% Fungsi transmisi W 1

W2=tf(,)% Fungsi transmisi W 2

W3=tf(,)% Fungsi transmisi W 3

W4=tf(,)% Fungsi transmisi W 4

W5=tf(,)% Fungsi transmisi W 5

W34=paralel(W3,W4)% koneksi paralel

W25=umpan balik(W2,W5)% umpan balik negatif

W134=umpan balik(W1,W34)% umpan balik negatif

Wf=umpan balik(W25,W134)% umpan balik negatif.

Latihan 2. 4

Tentukan fungsi transfer sistem loop tertutup untuk kesalahan tersebut.

Larutan

Diagram blok untuk menentukan fungsi transfer sistem loop tertutup untuk kesalahan kontrol ditunjukkan pada Gambar. 2.13.

Beras. 2.13. Diagram blok sistem mengenai kesalahan kontrol

Fungsi transfer loop tertutup untuk kesalahan

(2.7)

Saat mengganti nilai numerik

Transformasi diagram blok relatif terhadap sinyal kesalahan kontrol (Gbr. 2.13) dapat diperoleh dengan perhitungan (2.7) atau menggunakan paket perangkat lunak Matlab.

W1=tf(,)% Fungsi transmisi W 1

W2=tf(,)% Fungsi transmisi W 2

W3=tf(,)% Fungsi transmisi W 3

W4=tf(,)% Fungsi transmisi W 4

W5=tf(,)% Fungsi transmisi W 5

W34=paralel(W3,W4)% koneksi paralel)

W25=umpan balik(W2,W5)% umpan balik negatif

W134=umpan balik(W1,W34)% umpan balik negatif

Kami=umpan balik(1,W134*W25)% umpan balik negatif

Pertanyaan kontrol:

1. Sebutkan cara utama untuk menghubungkan tautan dalam diagram blok.

2. Tentukan fungsi alih sistem hubungan paralel.

3. Menentukan fungsi alih suatu sistem hubungan seri.

4. Tentukan fungsi transfer umpan balik positif.

5. Tentukan fungsi transfer umpan balik negatif.

6. Tentukan fungsi alih jalur komunikasi.

7. Perintah Matlab manakah yang digunakan untuk menentukan fungsi transfer dari dua link yang terhubung paralel?

8. Perintah Matlab manakah yang digunakan untuk menentukan fungsi transfer dua link yang terhubung seri?

9. Perintah Matlab manakah yang digunakan untuk menentukan fungsi transfer suatu tautan yang tercakup dalam umpan balik?

10. Gambarlah diagram blok sistem untuk menentukan fungsi transfer untuk tindakan pengendalian.

11. Tuliskan fungsi transfer untuk tindakan kontrol.

12. Gambarlah diagram blok sistem untuk menentukan fungsi transfer berdasarkan parameter pengganggu.

13. Tuliskan fungsi transfer untuk parameter yang mengganggu.

14. Gambarlah diagram blok sistem untuk menentukan fungsi transfer untuk kesalahan kontrol.

15. Tuliskan fungsi transfer untuk kesalahan kontrol.

Kerja Praktek 3

Dekomposisi fungsi transfer yang kompleks

Transformasi Laplace dari DE memungkinkan untuk memperkenalkan konsep fungsi transfer yang mencirikan sifat dinamis sistem.

Misalnya persamaan operator

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

dapat diubah dengan mengeluarkan X(s) dan Y(s) dari tanda kurung dan membaginya satu sama lain:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Ekspresi yang dihasilkan disebut fungsi transfer.

Fungsi pemindahan disebut rasio bayangan efek keluaran Y(s) dengan bayangan masukan X(s) pada kondisi awal nol.

(2.4)

Fungsi transfer adalah fungsi rasional pecahan dari variabel kompleks:

,

dimana B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - polinomial pembilang,

A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - polinomial penyebut.

Fungsi alih mempunyai orde yang ditentukan oleh orde polinomial penyebut (n).

Dari (2.4) maka gambaran sinyal keluaran dapat dicari sebagai

Y(s) = W(s)*X(s).

Karena fungsi transfer suatu sistem sepenuhnya menentukan sifat dinamisnya, tugas awal menghitung ASR direduksi menjadi menentukan fungsi transfernya.

Contoh tautan tipikal

Tautan dalam suatu sistem adalah elemen yang memiliki properti tertentu secara dinamis. Tautan sistem kendali dapat memiliki sifat fisik yang berbeda (tautan listrik, pneumatik, mekanis, dll.), tetapi dijelaskan oleh kendali jarak jauh yang sama, dan rasio sinyal input dan output dalam tautan dijelaskan oleh transfer yang sama fungsi .

Dalam TAU dibedakan sekelompok satuan paling sederhana, yang biasa disebut tipikal. Karakteristik statis dan dinamis dari tautan tipikal telah dipelajari sepenuhnya. Tautan standar banyak digunakan dalam menentukan karakteristik dinamis objek kontrol. Misalnya, dengan mengetahui respons transien yang dibuat menggunakan alat perekam, sering kali dimungkinkan untuk menentukan jenis tautan apa yang dimiliki objek kontrol, dan oleh karena itu fungsi transfernya, persamaan diferensial, dll., mis. model objek. Tautan tipikal Tautan kompleks apa pun dapat direpresentasikan sebagai koneksi dari tautan yang lebih sederhana.

Tautan tipikal yang paling sederhana meliputi:

· mengintensifkan,

· inersia (aperiodik orde 1),

mengintegrasikan (nyata dan ideal),

membedakan (nyata dan ideal),

· orde ke-2 aperiodik,

· berosilasi,

· tertunda.

1) Memperkuat tautan.

Tautan memperkuat sinyal input sebanyak K kali. Persamaan tautan y = K*x, fungsi transfer W(s) = K. Parameter K disebut memperoleh .

Sinyal keluaran dari tautan tersebut mengulangi sinyal masukan secara persis, diperkuat sebanyak K kali (lihat Gambar 1.18).

Dengan tindakan bertahap h(t) = K.

Contoh tautan tersebut adalah: transmisi mekanis, sensor, amplifier bebas inersia, dll.

2) Mengintegrasikan.

2.1) Integrasi yang ideal.

Nilai keluaran dari tautan pengintegrasi ideal sebanding dengan integral nilai masukan:

; W(s) =

Ketika tautan aksi langkah x(t) = 1 diterapkan pada masukan, sinyal keluaran terus meningkat (lihat Gambar 1.19):

Tautan ini astatik, mis. tidak memiliki kondisi stabil.

Contoh tautan tersebut adalah wadah berisi cairan. Parameter masukan adalah laju aliran cairan yang masuk, parameter keluaran adalah level. Awalnya, wadahnya kosong dan jika tidak ada aliran, levelnya nol, tetapi jika pasokan cairan dihidupkan, levelnya mulai meningkat secara merata.

2.2) Integrasi yang nyata.

Fungsi alih tautan ini berbentuk

Respon transisi, berbeda dengan link ideal, berbentuk kurva (lihat Gambar 1.20):

h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .

Contoh dari link integrasi adalah motor DC dengan eksitasi independen, jika tegangan suplai stator diambil sebagai efek input, dan sudut putaran rotor diambil sebagai efek output. Jika tegangan tidak disuplai ke motor, maka rotor tidak bergerak dan sudut putarannya dapat diambil sama dengan nol. Ketika tegangan diterapkan, rotor mulai berputar, dan sudut putarannya mula-mula lambat karena inersia, dan kemudian meningkat lebih cepat hingga kecepatan putaran tertentu tercapai.

3) Membedakan.

3.1) Pembeda yang ideal.

Besaran keluaran sebanding dengan turunan waktu dari masukan:

Dengan sinyal masukan langkah, sinyal keluarannya berupa pulsa (fungsi d): h(t) = K. d(t).

3.2) Pembedaan nyata.

Tautan pembeda yang ideal tidak dapat diwujudkan secara fisik. Sebagian besar objek yang mewakili tautan pembeda termasuk dalam tautan pembeda nyata, yang fungsi transfernya berbentuk

Karakteristik transisi: .

Contoh link : generator listrik. Parameter masukannya adalah sudut putaran rotor, parameter keluarannya adalah tegangan. Jika rotor diputar dengan sudut tertentu maka akan muncul tegangan pada terminal-terminalnya, namun jika rotor tidak diputar lebih jauh maka tegangan akan turun menjadi nol. Itu tidak bisa turun tajam karena adanya induktansi pada belitan.

4) Aperiodik (inersia).

Tautan ini sesuai dengan DE dan PF formulir

; W(s) = .

Mari kita tentukan sifat perubahan nilai keluaran tautan ini ketika efek bertahap dari nilai x 0 diterapkan ke masukan.

Gambar efek langkah: X(s) = . Maka gambaran besaran keluarannya adalah:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

Mari kita pecahkan pecahan menjadi pecahan prima:

= + = = - = -

Pecahan asli pertama menurut tabel: L -1 ( ) = 1, pecahan kedua:

Lalu kita akhirnya mendapatkannya

kamu(t) = K x 0 (1 - ).

Konstanta T disebut konstan waktu.

Sebagian besar objek termal adalah tautan aperiodik. Misalnya, ketika tegangan diterapkan ke masukan tungku listrik, suhunya akan berubah menurut hukum serupa (lihat Gambar 1.22).

5) Tautan pesanan kedua

Tautan memiliki kendali jarak jauh dan formulir PF

,

W(s) = .

Ketika efek langkah dengan amplitudo x 0 diterapkan pada input, kurva transisi akan memiliki salah satu dari dua jenis: aperiodik (pada T 1 ³ 2T 2) atau osilasi (pada T 1< 2Т 2).

Dalam hal ini, tautan orde kedua dibedakan:

· orde ke-2 aperiodik (T 1 ³ 2T 2),

· inersia (T 1< 2Т 2),

· konservatif (T 1 = 0).

6) Tertunda.

Jika, ketika suatu sinyal tertentu diterapkan pada masukan suatu benda, ia tidak langsung bereaksi terhadap sinyal tersebut, tetapi setelah beberapa waktu, maka benda tersebut dikatakan mengalami penundaan.

Ketinggalan– ini adalah interval waktu dari saat sinyal masukan berubah hingga sinyal keluaran mulai berubah.

Tautan lagging adalah tautan yang nilai keluarannya y sama persis dengan nilai masukan x dengan beberapa penundaan t:

kamu(t) = x(t - t).

Fungsi transfer tautan:

W(s) = e - t s .

Contoh penundaan: pergerakan zat cair di sepanjang pipa (berapa banyak zat cair yang dipompa di awal pipa, maka banyak pula yang keluar di akhir, tetapi setelah beberapa saat zat cair bergerak melalui pipa), pergerakan muatan di sepanjang konveyor (penundaan ditentukan oleh panjang konveyor dan kecepatan sabuk), dll. .d.

Koneksi tautan

Karena objek yang diteliti, untuk mempermudah analisis fungsinya, dibagi menjadi beberapa link, maka setelah menentukan fungsi transfer untuk setiap link, muncul tugas untuk menggabungkannya menjadi satu fungsi transfer objek tersebut. Jenis fungsi transfer suatu objek bergantung pada urutan koneksi tautan:

1) Koneksi serial.

W putaran = W 1. W2. W 3...

Ketika tautan dihubungkan secara seri, fungsi transfernya berkembang biak.

2) Koneksi paralel.

W putaran = W 1 + W 2 + W 3 + …

Ketika tautan dihubungkan secara paralel, fungsi transfernya melipat.

3) Umpan balik

Fungsi transfer dengan referensi (x):

“+” sesuai dengan OS negatif,

"-" - positif.

Untuk menentukan fungsi transfer objek dengan koneksi tautan yang lebih kompleks, digunakan pembesaran rangkaian secara berurutan, atau dikonversi menggunakan rumus Meson.

Alih fungsi ASR

Untuk penelitian dan perhitungan, diagram struktur ASR melalui transformasi ekuivalen direduksi menjadi yang paling sederhana tampilan standar“objek – pengatur” (lihat Gambar 1.27). Hampir semuanya metode rekayasa perhitungan dan penentuan pengaturan pengontrol diterapkan untuk struktur standar seperti itu.

DI DALAM kasus umum setiap ASR satu dimensi dengan umpan balik utama dapat dibawa ke bentuk ini dengan memperbesar tautan secara bertahap.

Jika keluaran sistem y tidak diumpankan ke masukannya, maka diperoleh sistem kendali loop terbuka, yang fungsi alihnya didefinisikan sebagai hasil kali:

W ¥ = W p . W y

(W p - PF regulator, W y - PF objek kontrol).

pada

X

Gambar 1.28

Artinya, rangkaian link W p dan W y dapat diganti dengan satu link dengan W ¥ . Fungsi transfer sistem loop tertutup biasanya dilambangkan dengan Ф(s). Hal ini dapat dinyatakan dalam W ¥:

Fungsi alih ini Фз(s) menentukan ketergantungan y pada x dan disebut fungsi alih sistem loop tertutup sepanjang saluran aksi referensi (dengan referensi).

Untuk ASR juga terdapat fungsi transfer melalui saluran lain:

e (s) = = - karena kesalahan,

Ф in (s) = = - karena gangguan,

di mana W (s) – fungsi alih objek kendali melalui saluran transmisi gangguan.

Sehubungan dengan gangguan tersebut, terdapat dua pilihan yang dapat dilakukan:

Gangguan tersebut mempunyai efek tambahan pada tindakan pengendalian (lihat Gambar 1.29a);

Gangguan tersebut mempengaruhi pengukuran parameter yang dikontrol (lihat Gambar 1.29b).

Contoh opsi pertama adalah pengaruh fluktuasi tegangan dalam jaringan terhadap tegangan yang disuplai oleh regulator ke elemen pemanas suatu benda. Contoh opsi kedua: kesalahan dalam mengukur parameter yang dikontrol karena perubahan suhu lingkungan. W u.v. – model pengaruh lingkungan terhadap pengukuran.

Gambar 1.30

Parameter K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1,5, K4 = 2, K5 = 0,5.

Dalam diagram blok ASR, tautan yang sesuai dengan perangkat kontrol berdiri di depan tautan objek kontrol dan menghasilkan tindakan kontrol pada objek u. Diagram menunjukkan bahwa rangkaian pengatur mencakup link 1, 2 dan 3, dan rangkaian objek mencakup link 4 dan 5.

Mengingat link 1, 2 dan 3 dihubungkan secara paralel, kita memperoleh fungsi transfer pengontrol sebagai jumlah dari fungsi transfer link:

Tautan 4 dan 5 dihubungkan secara seri, oleh karena itu fungsi transfer objek kontrol didefinisikan sebagai produk dari fungsi transfer tautan:

Fungsi transfer loop terbuka:

dari situ jelas pembilangnya B(s) = 1,5. s 2 + 3 . s + 1, penyebut (juga merupakan polinomial karakteristik sistem loop terbuka) A(s) = 2. s 3 + 3 . s 2 + s. Maka polinomial karakteristik sistem tertutup adalah:

D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. s 3 + 4.5. s 2 + 4 . s+1.

Fungsi transfer sistem loop tertutup:

pada tugas ,

secara tidak sengaja .

Saat menentukan fungsi alih dari suatu gangguan, diambil W a.v. = W kamu. Kemudian

. ¨

Tujuan akhir dari analisis ACS adalah untuk memecahkan (jika memungkinkan) atau mempelajari persamaan diferensial sistem secara keseluruhan. Biasanya persamaan masing-masing tautan yang membentuk ACS diketahui, dan tugas perantara muncul untuk memperoleh persamaan diferensial sistem dari DE yang diketahui dari tautannya. Dalam bentuk klasik representasi DE, tugas ini penuh dengan kesulitan yang signifikan. Menggunakan konsep fungsi transfer sangat menyederhanakannya.

Biarkan beberapa sistem dijelaskan dengan bentuk persamaan diferensial.

Dengan memperkenalkan notasi = p, dimana p disebut operator, atau simbol, diferensiasi, dan sekarang memperlakukan simbol ini sebagai biasa bilangan aljabar, setelah mengeluarkan x dan x di luar tanda kurung, diperoleh persamaan diferensial sistem ini dalam bentuk operator:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x keluar = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x masuk. (3.38)

Polinomial dalam p pada nilai keluaran adalah

D(p)=an p n +an -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

disebut operator eigen, dan polinomial pada nilai masukan disebut operator pengaruh

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Fungsi transfer adalah rasio pengaruh operator terhadap operator sendiri:

W(p) = K(p)/D(p) = x keluar / x masuk. (3.41)

Berikut ini, kita hampir di mana-mana akan menggunakan bentuk operator untuk menulis persamaan diferensial.

Jenis koneksi link dan aljabar fungsi transfer.

Memperoleh fungsi alih suatu sistem kendali otomatis memerlukan pengetahuan tentang aturan-aturan untuk mencari fungsi alih dari kelompok-kelompok tautan yang di dalamnya tautan-tautan tersebut saling berhubungan dengan cara tertentu. Ada tiga jenis koneksi.

1. Berurutan, di mana keluaran dari tautan sebelumnya adalah masukan untuk tautan berikutnya (Gbr. 3.12):

x keluar

Beras. 3.14. Kembali ke belakang - koneksi paralel.

Tergantung pada apakah sinyal umpan balik x ditambahkan ke sinyal masukan xin atau dikurangi, umpan balik positif dan negatif dibedakan.

Masih berdasarkan sifat fungsi transfer, kita dapat menulis

W 1 (p) =x keluar /(x masuk ±x); W 2 (p) = x/x keluar; W c =x keluar /x masuk. (3.44)

Menghilangkan koordinat internal x dari dua persamaan pertama, kita memperoleh fungsi transfer untuk koneksi seperti itu:

W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)

Perlu diingat bahwa dalam ekspresi terakhir, tanda plus berhubungan dengan negatif masukan.

Dalam kasus ketika suatu tautan memiliki beberapa masukan (seperti, misalnya, objek kontrol), beberapa fungsi transfer dari tautan ini dipertimbangkan, sesuai dengan masing-masing masukan, misalnya, jika persamaan tautan berbentuk

D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3,46)

dimana K x (p) dan K z (p) masing-masing merupakan operator pengaruh pada input x dan z, maka link ini memiliki fungsi transfer pada input x dan z:

L x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)

Di masa depan, untuk mengurangi entri dalam ekspresi fungsi transfer dan operator terkait, kami akan menghilangkan argumen “p”.

Dari pertimbangan bersama ekspresi (3.46) dan (3.47) berikut ini

kamu = L x x+W z z, (3,48)

yaitu, dalam kasus umum, nilai keluaran dari setiap tautan dengan beberapa masukan sama dengan jumlah produk dari nilai masukan dan fungsi transfer untuk masukan yang bersangkutan.

Alih fungsi ACS berdasarkan gangguan.

Bentuk umum struktur ACS, yang beroperasi pada deviasi variabel terkontrol, adalah sebagai berikut:

W o z =K z /D objek W o x =K x /D

W p y

z

kamu

-X

Gambar.3.15. ATS tertutup.

Mari kita perhatikan fakta bahwa pengaruh regulasi diterapkan pada objek dengan tanda yang diubah. Hubungan antara keluaran suatu benda dan masukannya melalui pengatur disebut umpan balik utama (sebagai lawan dari kemungkinan umpan balik tambahan pada pengatur itu sendiri). Sesuai dengan makna regulasi yang sangat filosofis, maka tindakan regulator ditujukan pengurangan penyimpangan variabel terkontrol, dan karena itu umpan balik utama selalu negatif. Pada Gambar. 3.15:

W o z - fungsi alih objek karena gangguan;

W o x - fungsi alih objek sesuai dengan pengaruh regulasi;

W p y - fungsi transfer pengontrol sesuai dengan deviasi y.

Persamaan diferensial dari plant dan pengontrol terlihat seperti ini:

y=W o x x +W o z z

x = - W p y y. (3.49)

Mengganti x dari persamaan kedua ke persamaan pertama dan melakukan pengelompokan, kita memperoleh persamaan ATS:

(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)

Oleh karena itu fungsi alih ACS untuk gangguan

W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)

Dengan cara serupa, Anda bisa mendapatkan fungsi transfer ACS untuk tindakan kontrol:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

dimana W p u adalah fungsi transfer pengontrol sesuai dengan aksi kontrol.

3.4 Osilasi paksa dan karakteristik frekuensi ACS.

Dalam kondisi pengoperasian nyata, ACS sering kali terkena gaya pengganggu secara berkala, yang disertai dengan perubahan berkala dalam besaran terkendali dan pengaruh peraturan. Misalnya saja getaran kapal pada saat berlayar di laut yang ganas, fluktuasi kecepatan putaran baling-baling dan besaran lainnya. Dalam beberapa kasus, amplitudo osilasi besaran keluaran sistem dapat mencapai nilai yang sangat besar, dan ini sesuai dengan fenomena resonansi. Akibat resonansi sering kali menimbulkan bencana bagi sistem yang mengalaminya, misalnya kapal terbalik, rusaknya mesin. Dalam sistem kendali, fenomena seperti itu mungkin terjadi ketika sifat elemen berubah karena keausan, penggantian, konfigurasi ulang, atau kegagalan. Lalu ada kebutuhan untuk menentukan rentang kondisi pengoperasian yang aman atau mengkonfigurasi ATS dengan benar. Isu-isu ini akan dibahas di sini karena berlaku untuk sistem linier.

Biarkan beberapa sistem memiliki struktur yang ditunjukkan di bawah ini:

x=A x sinωt

y=A y dosa(ωt+φ)

Gambar.3.16. ACS dalam mode osilasi paksa.

Jika sistem terkena pengaruh periodik x dengan amplitudo A x dan frekuensi melingkar w, maka setelah proses transisi berakhir, osilasi dengan frekuensi yang sama dengan amplitudo A y dan digeser relatif terhadap osilasi masukan sebesar sudut fasa j akan ditetapkan pada output. Parameter osilasi keluaran (amplitudo dan pergeseran fasa) bergantung pada frekuensi gaya penggerak. Tugasnya adalah menentukan parameter osilasi keluaran dari parameter osilasi masukan yang diketahui.

Sesuai dengan fungsi transfer ACS yang ditunjukkan pada Gambar 3.14, persamaan diferensialnya berbentuk

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Mari kita substitusikan ke (3.53) ekspresi x dan y yang ditunjukkan pada Gambar. 3.14:

(an p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Jika kita perhatikan pola osilasi yang digeser seperempat periode, maka pada persamaan (3.54) fungsi sinus akan digantikan oleh fungsi kosinus:

(an p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Mari kalikan persamaan (3,54) dengan i = dan tambahkan hasilnya dengan (3,55):

(an p n +an -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Menggunakan rumus Euler

exp(±ibt)=cosbt±isinbt,

Mari kita kurangi persamaan (3.56) menjadi bentuk

(an p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Mari kita lakukan operasi diferensiasi terhadap waktu yang disediakan oleh operator p=d/dt:

Dan pengalamanmu=

Sebuah x pengalaman(iwt). (3.58)

Setelah transformasi sederhana yang terkait dengan reduksi sebesar exp(iwt), kita peroleh

Bagian kanan ekspresi (3.59) mirip dengan ekspresi fungsi transfer ACS dan dapat diperoleh dengan mengganti p=iw. Dengan analogi, ini disebut fungsi transfer kompleks W(iw), atau karakteristik fase amplitudo (APC). Istilah respon frekuensi juga sering digunakan. Jelas bahwa pecahan ini merupakan fungsi dari argumen kompleks dan juga dapat direpresentasikan dalam bentuk ini:

W(iw) = M(w) +iN(w), (3,60)

dimana M(w) dan N(w) masing-masing merupakan karakteristik frekuensi nyata dan imajiner.

Rasio A y / A x adalah modulus AFC dan merupakan fungsi frekuensi:

Ay / Ax = R (w)

dan disebut respons frekuensi amplitudo (AFC). Fase

pergeseran j =j (w) juga merupakan fungsi frekuensi dan disebut respon frekuensi fase (PFC). Dengan menghitung R(w) dan j(w) untuk rentang frekuensi (0…¥), dimungkinkan untuk membuat grafik AFC pada bidang kompleks dalam koordinat M(w) dan iN(w) (Gbr. 3.17).

ω

R(ω)

ω cp

ω soal

Gambar.3.18. Karakteristik frekuensi amplitudo.

Respon frekuensi sistem 1 menunjukkan puncak resonansi yang sesuai dengan amplitudo osilasi paksa terbesar. Pekerjaan di area yang dekat dengan frekuensi resonansi dapat menjadi bencana dan seringkali sama sekali tidak dapat diterima oleh aturan pengoperasian objek tertentu yang diatur. Respon frekuensi tipe 2 tidak memiliki puncak resonansi dan lebih disukai untuk sistem mekanis. Dapat juga dilihat bahwa dengan meningkatnya frekuensi, amplitudo osilasi keluaran menurun. Secara fisik, hal ini mudah dijelaskan: sistem apa pun, karena sifat inersia yang melekat di dalamnya, lebih mudah terpengaruh oleh frekuensi rendah daripada frekuensi tinggi. Dimulai pada frekuensi tertentu, osilasi keluaran menjadi dapat diabaikan dan frekuensi ini disebut frekuensi cutoff, dan rentang frekuensi di bawah frekuensi cutoff disebut bandwidth. Dalam teori kendali otomatis, frekuensi cutoff diambil sebagai frekuensi dimana nilai respon frekuensi 10 kali lebih kecil dibandingkan pada frekuensi nol. Sifat suatu sistem untuk meredam getaran frekuensi tinggi disebut sifat filter lolos rendah.

Mari kita perhatikan metode penghitungan respons frekuensi menggunakan contoh tautan orde kedua, yang persamaan diferensialnya

(T 2 2 hal 2 + T 1 hal + 1)y = kx. (3.62)

Dalam soal osilasi paksa, bentuk persamaan yang lebih visual sering digunakan

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

dimana disebut frekuensi alami osilasi tanpa adanya redaman, x =T 1 w 0 /2 adalah koefisien redaman.

Fungsi transfernya terlihat seperti ini:

Dengan mengganti p = iw kita memperoleh karakteristik fase amplitudo

Menggunakan aturan pembagian bilangan kompleks, kita memperoleh ekspresi untuk respons frekuensi:

Mari kita tentukan frekuensi resonansi di mana respons frekuensi maksimum. Ini sesuai dengan penyebut minimum ekspresi (3.66). Menyamakan turunan penyebut terhadap frekuensi w dengan nol, kita mendapatkan:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3,67)

dari situ kita memperoleh nilai frekuensi resonansi yang tidak sama dengan nol:

w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Mari kita menganalisis ekspresi ini, yang mana kita mempertimbangkan kasus-kasus individual yang sesuai dengan nilai koefisien atenuasi yang berbeda.

1. x = 0. Frekuensi resonansi sama dengan frekuensi alami, dan besarnya respon frekuensi berubah menjadi tak terhingga. Ini adalah kasus yang disebut resonansi matematis.

2. . Karena frekuensi dinyatakan sebagai bilangan positif, dan dari (68) dalam hal ini diperoleh nol atau bilangan imajiner, maka pada nilai koefisien atenuasi tersebut, respon frekuensi tidak mempunyai puncak resonansi (kurva 2 pada Gambar 3.18).

3. . Respon frekuensi memiliki puncak resonansi, dan dengan penurunan koefisien atenuasi, frekuensi resonansi mendekati frekuensinya sendiri dan puncak resonansi menjadi lebih tinggi dan tajam.

1. Fungsi transfer dan karakteristik frekuensi. Perangkat peralatan komunikasi analog

1. Fungsi transfer dan karakteristik frekuensi

Rangkaian listrik dengan kompleksitas apa pun, yang memiliki dua pasang terminal untuk menghubungkan ke sumber dan penerima energi listrik, disebut dalam teknologi komunikasi segi empat. Terminal yang terhubung dengan sumber disebut memasukkan, dan terminal yang terhubung dengan penerima (beban) adalah terminal keluaran (kutub).

DI DALAM pandangan umum Segiempat digambarkan seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1.1. Sebuah sumber dihubungkan ke masukan kuadrupol 1–1". energi listrik dengan nilai tegangan efektif yang kompleks dan resistansi internal. Sebuah beban dengan resistansi dihubungkan ke terminal keluaran 2–2". Tegangan dengan nilai efektif kompleks diterapkan ke terminal masukan, dan nilai efektif kompleks diterapkan ke terminal keluaran. Arus dengan nilai efektif kompleks mengalir melalui terminal masukan, dan nilai efektif kompleks mengalir melalui terminal keluaran. Perhatikan bahwa jaringan empat terminal lainnya dapat bertindak sebagai sumber dan penerima energi listrik.

Pada Gambar. 1.1 sebutan simbolis untuk tegangan dan arus digunakan. Artinya analisis suatu rangkaian listrik dilakukan terhadap getaran harmonik dengan frekuensi tertentu. Untuk osilasi harmonik tertentu, seseorang dapat menentukan fungsi transfer dari jaringan empat port yang dimuat, yang merupakan perbandingan nilai efektif kompleks besaran listrik keluaran dengan nilai efektif kompleks besaran listrik masukan.

Jika pengaruh masukan dianggap sebagai tegangan generator dengan nilai efektif kompleks , dan reaksi jaringan dua terminal terhadap pengaruh ini adalah tegangan dengan nilai efektif kompleks atau arus dengan nilai efektif kompleks , maka kita peroleh fungsi transfer kompleks dari bentuk umum:

, (1.1)

. (1.2)

Dalam kasus tertentu, ketika pengaruh tertentu adalah tegangan pada terminal masukan kuadripol atau arus yang mengalir melalui terminal ini, diperoleh empat jenis fungsi transfer berikut:

– koefisien transfer tegangan kompleks (untuk jaringan dua terminal aktif, misalnya amplifier, disebut penguatan tegangan);

– koefisien transfer arus kompleks (untuk rangkaian aktif – perolehan arus);

– resistensi transfer yang kompleks;

– konduktivitas transfer yang kompleks.

Sering digunakan dalam teori rangkaian fungsi transfer yang dinormalisasi atau berfungsi segi empat:

, (1.3)

yang diperoleh dengan normalisasi (1.1) dengan faktor .

Seperti besaran kompleks lainnya N dapat direpresentasikan dalam bentuk demonstratif:

, (1.4)

dimana adalah modul dari fungsi transfer kompleks, dan j adalah argumennya.

Pertimbangkan fungsi transfer tegangan kompleks

Menggantikan ke (1.5) notasi nilai efektif kompleks

.

Dari perbandingan ungkapan ini dengan (1.4) terlihat jelas bahwa

,

yaitu modul fungsi transfer tegangan kompleks (atau penguatan tegangan kompleks) menunjukkan berapa kali nilai efektif (amplitudo) osilasi tegangan harmonik pada keluaran rangkaian berubah dibandingkan dengan nilai yang sama pada masukan rangkaian, dan argumen fungsi ini menentukan pergeseran fasa antara osilasi tegangan harmonik pada input dan output.

Dengan cara yang sama Anda dapat menemukan:

.

Semua yang dikatakan di atas tentang koefisien perpindahan tegangan juga berlaku untuk koefisien perpindahan arus.

Jika kita mengubah frekuensi osilasi harmonik, maka ekspresi (1.4) harus ditulis dalam bentuk:

. (1.6)

Fungsi frekuensi disebut karakteristik frekuensi amplitudo rangkaian(AFC). Ini menunjukkan perubahan apa yang dilakukan rangkaian terhadap amplitudo osilasi harmonik pada setiap frekuensi.

Fungsi frekuensi disebut karakteristik frekuensi fasa rangkaian(FCHH). Oleh karena itu, karakteristik ini menunjukkan pergeseran fasa yang diperoleh osilasi harmonik dari setiap frekuensi saat merambat melalui rangkaian.

Fungsi transfer kompleks juga dapat direpresentasikan dalam bentuk aljabar:

dimana Re dan Im menunjukkan bagian real dan imajiner dari besaran kompleks.

Dari teori besaran kompleks diketahui bahwa

Contoh 1.1

Tentukan koefisien transmisi tegangan, respon frekuensi dan respon fasa rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2, A.

Menurut (1.5) kita menulis

Kami akan menemukannya fungsi yang kompleks pada keluaran rangkaian:

Mengganti ke dalam rumus , kita memperoleh fungsi transfer kompleks:

;

Dengan mengubah frekuensi w dari 0 menjadi ɐ, kita dapat menampilkan grafik respon frekuensi dan respon fasa rangkaian (Gbr. 1.2, B Dan V).

Respon frekuensi dan respon fasa rangkaian dapat direpresentasikan dalam grafik tunggal jika kita memplot ketergantungan fungsi transfer kompleks pada frekuensi w pada bidang kompleks. Dalam hal ini, ujung vektor akan menggambarkan kurva tertentu, yang disebut hodograf fungsi transfer kompleks (Gbr. 1.3).

Para ahli sering menggunakan konsep tersebut karakteristik frekuensi amplitudo logaritmik(LAH):

.

Nilai-nilai KE diukur dalam desibel (dB). Di sirkuit aktif yang berisi amplifier, nilainya KE disebut juga keuntungan logaritmik. Untuk rangkaian pasif, konsep ini diperkenalkan sebagai pengganti faktor penguatan melemahkan rantai:

, (1.7)

yang juga diukur dalam desibel.

Contoh 1.2

Diketahui bahwa modulus koefisien transmisi tegangan rangkaian mengambil nilai sebagai berikut:

F= 0 kHz N(F) = 1

F= 1kHz N(F) = 0,3

F= 2kHz N(F) = 0,01

F= 4kHz N(F) = 0,001

F= 8kHz N(F) = 0,0001

Gambarlah grafik pelemahan rangkaian tersebut.

Nilai redaman rantai yang dihitung menggunakan (1.7) diberikan dalam tabel:

F, kHz
A(F), dB

Jadwal A(F) ditunjukkan pada Gambar. 1.4.

Jika alih-alih resistansi kompleks kapasitansi dan induktansi, kita berurusan dengan resistansi operator kapasitansi dan induktansi hal, maka dalam ekspresi Anda perlu menggantinya dengan R.

Fungsi alih operator rantai dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai fungsi rasional pecahan dengan koefisien real:

atau dalam bentuk

Di mana – nol; – kutub fungsi alih; .

Mengganti operator di (1.8) R pada jw, kita kembali memperoleh fungsi transfer kompleks dari rangkaian

,

di mana respon frekuensi rangkaian

Mengingat fungsi irasional, biasanya ketika menganalisis dan mensintesis rangkaian kita berurusan dengan kuadrat respons frekuensi:

dimana koefisien diperoleh dengan menggabungkan koefisien dengan pangkat yang sama dari variabel w.

Contoh 1.3

Temukan koefisien transfer tegangan dan kuadrat respons frekuensi rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 1.5, A.

Koefisien perpindahan tegangan rangkaian ini sama dengan

Di mana N = 1, , .

Akar pembilang pecahan rasional ini, yaitu nol dari fungsi transfer,

.

Akar penyebut atau kutub fungsi transfer,

.

Pada Gambar. 1.5, B menunjukkan letak nol dan kutub fungsi di .

Dengan teorema Vieta

.

Respon amplitudo-frekuensi ditentukan dengan penggantian R dan menghitung modulus fungsi yang dihasilkan

.

Kuadrat respon frekuensi akan dituliskan pada formulir

Di mana ; ;

.

Respon frekuensi rangkaian ditunjukkan pada Gambar. 1.5, V.

Mari kita daftar properti utama fungsi transfer operator dan respons frekuensi kuadrat dari rangkaian pasif:

1. Fungsi transfer adalah fungsi rasional pecahan dengan koefisien real. Materialitas koefisien dijelaskan oleh fakta bahwa koefisien tersebut ditentukan oleh elemen rangkaian.

2. Kutub-kutub fungsi transfer terletak pada setengah bidang kiri variabel kompleks R. Tidak ada batasan lokasi angka nol. Mari kita buktikan sifat ini dengan menggunakan fungsi transfer sebagai contoh. Mari kita pilih tindakan input atau dalam bentuk operator. Gambaran tegangan keluaran dalam hal ini sama secara numerik, yaitu.

dimana polinomial pembilang fungsi transfer; – koefisien muai fungsi rasional pecahan menjadi jumlah pecahan sederhana.

Mari beralih dari gambar ke aslinya:

dimana dalam kasus umum.

Dalam kuadripol aktif pasif dan stabil, osilasi pada keluaran kuadripol setelah penghentian pengaruh harus bersifat teredam. Artinya pada (1.13) bagian riil kutub harus negatif, yaitu kutub harus berada pada setengah bidang kiri variabel R.

3. Derajat polinomial pembilang fungsi transfer dan kuadrat respon frekuensi tidak melebihi derajat polinomial penyebutnya, yaitu N F M. Jika sifat ini tidak terpenuhi, maka pada frekuensi yang sangat tinggi, respons frekuensi akan berlangsung tanpa batas sangat penting(karena pembilangnya akan bertambah dengan frekuensi yang meningkat lebih cepat daripada penyebutnya), yaitu rangkaian akan memiliki amplifikasi tak terbatas, yang bertentangan dengan arti fisiknya.

4. Respon frekuensi kuadrat adalah fungsi rasional genap dari variabel w dengan koefisien nyata. Properti ini jelas mengikuti metode memperoleh respons frekuensi kuadrat dari fungsi transfer.

5. Respon frekuensi kuadrat tidak dapat mengambil nilai negatif dan besar tak terhingga untuk w > 0. Non-negatif mengikuti sifat modulus kuadrat suatu besaran kompleks. Keterbatasan nilai respon frekuensi pada frekuensi nyata dijelaskan dengan cara yang sama seperti pada properti 3.

Kebanyakan rangkaian sumber tak bebas mempunyai setidaknya dua jalur sinyal: maju (dari masukan ke keluaran) dan mundur (dari keluaran ke masukan). Jalur sinyal mundur diimplementasikan menggunakan sirkuit khusus masukan(OS). Mungkin ada beberapa jalur seperti itu, dan karenanya sirkuit OS. Kehadiran OS di sirkuit dengan sumber dependen memberi mereka kualitas baru yang berharga yang tidak dimiliki sirkuit tanpa OS. Misalnya, dengan menggunakan sirkuit OS, dimungkinkan untuk mencapai stabilisasi suhu mode operasi sirkuit, mengurangi distorsi nonlinier yang terjadi pada sirkuit dengan elemen nonlinier, dll.

Setiap rangkaian dengan umpan balik dapat direpresentasikan sebagai terdiri dari dua jaringan empat terminal (Gbr. 1.6).

Jaringan dua port linier aktif dengan fungsi transfer tegangan adalah penguat. Kadang-kadang disebut elemen utama rangkaian dan dikatakan membentuk saluran amplifikasi langsung.

Jaringan empat terminal pasif dengan fungsi transfer tegangan disebut rangkaian umpan balik. Pada masukan rangkaian, tegangan masukan dan tegangan umpan balik dijumlahkan.

Mari kita turunkan rumus fungsi transfer tegangan rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 1.6. Biarkan tegangan diterapkan ke input. Gambar kameranya. Tegangan muncul pada keluaran rangkaian. Menurut Gambar. 1.6 gambar kameranya

Gambar operator dapat ditulis melalui fungsi transfer rangkaian umpan balik

Kemudian ekspresi (1.14) dapat ditulis ulang menjadi

Fungsi transfer operator untuk tegangan rangkaian dengan OS (lihat Gambar 1.6).

. (1.16)

Contoh 1.4

Pada Gambar. Gambar 1.7 menunjukkan rangkaian penguat operasional (OPA) yang dirancang untuk penskalaan tegangan. Temukan fungsi transfer dari rangkaian ini.

Mari kita peroleh fungsi alih rangkaian ini sebagai rangkaian umpan balik menggunakan rumus (1.16).

Rangkaian umpan balik pada diagram pada Gambar. 1.7 berfungsi sebagai pembagi tegangan berbentuk L, terdiri dari resistor dan. Tegangan keluaran penguat disuplai ke masukan rangkaian OS; Tegangan OS dihilangkan dari resistor. Fungsi transfer tegangan rangkaian OS

Mari kita gunakan rumus (1.16) dan perhatikan bahwa tegangan masukan dan tegangan umpan balik tidak dijumlahkan, tetapi dikurangi. Kemudian kita memperoleh fungsi alih penguat skala:

.

Mengingat bahwa dalam op-amp nyata nilainya >> 1, akhirnya kita mendapatkan:

Contoh 1.5

Tautan pada op-amp dengan umpan balik yang bergantung pada frekuensi ditunjukkan pada Gambar. 1.8. Temukan fungsi transfer dari tautan ini.

Untuk menganalisis jalur sinyal langsung dan jalur sinyal OS perlu menggunakan metode superposisi. Untuk melakukan ini, Anda harus menghilangkan sumber tegangan input dan tegangan umpan balik secara bergantian, menggantinya dengan resistansi internal. Dalam kasus sumber tegangan ideal, resistansi internalnya adalah nol. Tegangan yang diterapkan ke link dilemahkan oleh rangkaian input, yang merupakan pembagi tegangan berbentuk L dengan resistansi di bahu. Fungsi transfer tegangan pembagi tersebut adalah

Rangkaian umpan balik juga merupakan jaringan empat port berbentuk L dengan fungsi transfer.

Penguatan op-amp.

Sesuai dengan rumus (1.16), kita memperoleh fungsi transfer tautan:

Mengingat >> 1, kita peroleh:

.

Tautan ini dapat melakukan berbagai fungsi tergantung pada jenis resistansi dan. Pada dan tautan berubah menjadi penguat skala pembalik; di dan – ke integrator; di dan – menjadi pembeda.

Contoh 1.6

Tautan orde kedua dengan penguatan yang dapat disesuaikan ditunjukkan pada Gambar. 1.9, A. Temukan fungsi transfer dari tautan ini.

Analisis lintasan sinyal input dan sinyal pada rangkaian OS menunjukkan bahwa link tersebut mempunyai rangkaian input seperti ditunjukkan pada Gambar. 1.9, B dan rangkaian OS ditunjukkan pada Gambar. 1.9, V. Fungsi alih rangkaian ini dapat diperoleh metode matriks, misalnya, menganggap setiap sirkuit sebagai sambungan kaskade dari segi empat berbentuk L yang sesuai.

Untuk rangkaian masukan

Untuk sirkuit OS

. (1.18)

Dengan mempertimbangkan (1.16), kita memperoleh fungsi transfer tautan

. (1.19)

Penguatan penguat. Kemudian, substitusikan (1.17) dan (1.18) ke (1.19), setelah transformasi kita dapatkan

.

Melewati ke (1.16) dari operator R kepada operator, kita memperoleh fungsi transfer yang kompleks

. (1.20)

Produknya adalah fungsi transfer kompleks dari penguat dan rangkaian umpan balik, asalkan umpan baliknya diputus (Gbr. 1.10). Fungsi tersebut disebut fungsi transfer loop OS atau perolehan putaran. Mari kita perkenalkan konsep umpan balik positif dan negatif. Konsep-konsep ini memainkan peran penting dalam teori rangkaian umpan balik.

Mari kita asumsikan terlebih dahulu bahwa fungsi alih , , tidak bergantung pada frekuensi dan merupakan bilangan real. Situasi ini mungkin terjadi bila tidak ada L.C.-elemen. Ini bisa bersifat positif dan angka negatif. Dalam kasus pertama, pergeseran fasa antara tegangan masukan dan keluaran atau, dengan kata lain, pergeseran fasa sepanjang loop umpan balik adalah nol atau . k= 0, 1, 2, ... Dalam kasus kedua, ketika , pergeseran fasa sepanjang loop ini sama dengan atau .

Jika dalam rangkaian dengan umpan balik pergeseran fasa sepanjang loop adalah nol, maka umpan balik disebut positif, jika pergeseran fasa sama dengan , maka umpan balik tersebut disebut negatif.

Fungsi transfer dapat direpresentasikan sebagai vektor dan ditampilkan pada bidang kompleks. Dengan umpan balik positif, vektor berada pada sumbu semi nyata positif, dan dengan umpan balik negatif, pada sumbu semi nyata negatif.

Kurva yang digambarkan oleh ujung vektor sebagai perubahan frekuensi w (Gbr. 1.11), seperti diketahui, disebut hodograf.

Representasi dalam bentuk hodograf memungkinkan seseorang untuk menentukan jenis umpan balik dalam kasus umpan balik yang bergantung pada frekuensi.

Mari kita perkenalkan konsep rantai stabil dan rantai tidak stabil. Rantai itu disebut berkelanjutan, jika osilasi bebas cenderung nol seiring waktu. Kalau tidak, rantai itu disebut tidak stabil. Dari teori proses transien dapat disimpulkan bahwa rantai tersebut stabil jika akar-akar persamaan karakteristik terletak pada setengah bidang kiri variabel kompleks p. Jika akar-akar persamaan tersebut terletak pada setengah bidang kanan, maka rangkaian tersebut tidak stabil, yaitu berada dalam mode eksitasi sendiri. Jadi, untuk menentukan kondisi kestabilan suatu rantai, cukup dengan mencarinya persamaan karakteristik dan akarnya. Seperti yang kita lihat, kondisi stabilitas dapat ditentukan tanpa mengenalkan konsep umpan balik. Namun, sejumlah permasalahan muncul di sini. Faktanya adalah menurunkan persamaan karakteristik dan menentukan akar-akarnya merupakan prosedur yang rumit, terutama untuk rangkaian pesanan tinggi. Pengenalan konsep umpan balik memudahkan untuk memperoleh persamaan karakteristik atau bahkan memungkinkan untuk dilakukan tanpa persamaan karakteristik. Hal ini juga sangat penting bahwa konsep umpan balik memadai untuk proses fisik yang terjadi di sirkuit, sehingga menjadi lebih jelas. Pemahaman mendalam tentang proses fisik memfasilitasi penciptaan osilator mandiri, amplifier, dll.

Mari kita perhatikan rangkaiannya (lihat Gambar 1.6) dan turunkan persamaan karakteristiknya. Biarkan dan, oleh karena itu, . Kemudian dari (1.15) sebagai berikut:

. (1.22)

Jika kita menuliskan fungsi alih rangkaian utama dalam bentuk , dan rangkaian OSnya adalah , maka persamaan (1.22) akan ditulis ulang sebagai berikut:

Kesetaraan ini berlaku ketika

Ekspresi di sisi kiri persamaan ini adalah polinomial, oleh karena itu (1.23) dapat ditulis dalam bentuk umum:

Ini adalah persamaan karakteristik rangkaian.

Akar persamaan (1.24) pada umumnya merupakan besaran kompleks

Di mana . Mengetahui akar persamaan karakteristik, kita dapat menulis tegangan keluaran:

Agar ketegangan tidak bertambah tanpa batas, semua berakar Persamaan karakteristik harus mempunyai bagian real negatif, yaitu akar-akarnya harus terletak pada setengah bidang kiri variabel kompleks. Suatu rangkaian dengan sistem operasi yang mempunyai sifat seperti itu disebut stabil mutlak.

Saat mempelajari rangkaian loop tertutup, ada dua masalah yang bisa muncul. Jika rangkaian yang dirancang harus stabil, maka perlu adanya kriteria yang, berdasarkan jenis fungsinya, memungkinkan seseorang untuk menilai tidak adanya akar persamaan karakteristik pada setengah bidang kanan. R. Jika umpan balik digunakan untuk membuat rangkaian osilasi mandiri yang tidak stabil, maka Anda harus memastikan bahwa akar persamaan (1.24), sebaliknya, terletak di setengah bidang kanan. Dalam hal ini, perlu adanya susunan akar di mana eksitasi diri akan terjadi pada frekuensi yang diperlukan.

Mari kita perhatikan kriteria stabilitas suatu rangkaian, yang disebut kriteria Nyquist, yang memungkinkan kita menilai stabilitas suatu rangkaian dengan umpan balik berdasarkan sifat-sifat rangkaian terbuka (Gbr. 1.10).

Fungsi transfer rangkaian terbuka, atau penguatan loop, termasuk dalam persamaan karakteristik (1.22):

, (1.26)

Jika terdapat frekuensi w yang ujung vektornya jatuh pada titik dengan koordinat (1, J 0), maka ini berarti kondisi (1,26) terpenuhi, yaitu eksitasi sendiri akan terjadi pada rangkaian pada frekuensi ini. Artinya hodograf dapat digunakan untuk mengetahui stabil atau tidaknya rantai tersebut. Untuk itu digunakan kriteria Nyquist yang dirumuskan sebagai berikut: jika hodograf fungsi alih rangkaian terbuka tidak mencakup titik dengan koordinat(1, J 0), kemudian dengan rangkaian umpan balik tertutup rangkaian tersebut stabil. Dalam hal hodograf menutupi titik (1, j X 1 dapat ditulis dalam dua kondisi: dalam mode stasioner. KE= 2, kurva 1) dan tidak stabil ( KE= 3, kurva 2; KE= 4, kurva 3) rantai.

Soal dan tugas untuk tes mandiri

1. Apa yang dimaksud dengan fungsi transfer kompleks? Jenis fungsi transfer kompleks apa dari jaringan kuadripol yang diketahui?

2. Tentukan koefisien transmisi tegangan, respon frekuensi dan respon fasa rangkaian yang ditunjukkan pada Gambar. 1.2, A, jika tegangan keluaran adalah tegangan pada resistor R. Buatlah grafik respon frekuensi dan respon fasa.

Menjawab: ; ; 90° – arctan w R.C..

3. Tentukan koefisien perpindahan tegangan tanpa beban dan koefisien perpindahan arus pada saat hubung singkat untuk jaringan empat port berbentuk U yang induktansinya termasuk dalam cabang memanjang L, dan di cabang melintang - kapasitas DENGAN. Menjawab: .

4. Tentukan redaman yang ditimbulkan oleh rangkaian Gambar. 1.2, A, pada R= 31,8 kOhm dan = 10 kOhm.

Menjawab: 12dB.

5. Apa yang dimaksud dengan fungsi alih operator? Bagaimana hubungannya dengan fungsi transfer kompleks? Bagaimana cara menentukan nol dan kutub fungsi alih operator?

6. Tentukan fungsi alih operator, koefisien perpindahan tegangan kompleks, respon frekuensi dan kuadrat respon frekuensi rangkaian osilasi seri yang ditunjukkan pada Gambar. 1.5, A, jika tegangan keluaran adalah tegangan melintasi kapasitor DENGAN. Gambarlah grafik respon frekuensi rangkaian.

Menjawab: ; .

7. Sebutkan sifat-sifat utama fungsi alih operator rangkaian pasif.

8. Bagaimana cara menghitung fungsi alih rangkaian loop tertutup?

9. Buktikan fungsi alih operator diferensiator pada penguat operasional sama dengan (– RRC). Buatlah grafik respon frekuensi dari pembeda tersebut.

11. Tentukan fungsi transfer filter yang ditunjukkan pada Gambar. 1.13.

Menjawab: .

12. Apa yang dimaksud dengan hodograf penguatan loop? Bagaimana cara menentukan jenis umpan balik menggunakan hodograf?

13. Bagaimana kriteria stabilitas Nyquist dirumuskan? Untuk sirkuit apa ini digunakan?

14. Tentukan fungsi alih kompleks rangkaian terbuka yang ditunjukkan pada Gambar. 1.13. Jelajahi ketergantungan stabilitas rangkaian pada nilai penguatan KE.