Rumah Pencegahan Kuadrat sempurna dari trinomial kuadrat. Memfaktorkan polinomial

Kuadrat sempurna dari trinomial kuadrat. Memfaktorkan polinomial

Dalam pelajaran ini, kita akan mengingat semua metode pemfaktoran polinomial yang telah dipelajari sebelumnya dan mempertimbangkan contoh penerapannya, selain itu, kita akan mempelajari metode baru- metode mengidentifikasi persegi lengkap dan mempelajari cara menerapkannya dalam memecahkan berbagai masalah.

Subjek:Memfaktorkan polinomial

Pelajaran:Memfaktorkan polinomial. Metode untuk memilih persegi lengkap. Kombinasi metode

Mari kita mengingat kembali metode dasar memfaktorkan polinomial yang telah dipelajari sebelumnya:

Metode mengeluarkan faktor persekutuan di luar tanda kurung, yaitu faktor yang ada di semua suku polinomial. Mari kita lihat sebuah contoh:

Ingatlah bahwa monomial adalah hasil kali pangkat dan angka. Dalam contoh kita, kedua istilah tersebut memiliki beberapa elemen yang sama dan identik.

Jadi, mari kita keluarkan faktor persekutuannya dari tanda kurung:

;

Izinkan kami mengingatkan Anda bahwa dengan mengalikan faktor yang diambil dengan tanda kurung, Anda dapat memeriksa kebenaran faktor yang dikeluarkan.

Metode pengelompokan. Tidak selalu mungkin untuk mengekstrak faktor persekutuan dalam suatu polinomial. Dalam hal ini, Anda perlu membagi anggotanya ke dalam kelompok-kelompok sedemikian rupa sehingga di setiap kelompok Anda dapat mengambil faktor persekutuan dan mencoba memecahnya sehingga setelah mengambil faktor-faktor dalam kelompok, muncul faktor persekutuan di kelompok tersebut. seluruh ekspresi, dan Anda dapat melanjutkan dekomposisi. Mari kita lihat sebuah contoh:

Mari kita kelompokkan suku pertama dengan suku keempat, suku kedua dengan suku kelima, dan suku ketiga dengan suku keenam:

Mari kita keluarkan faktor persekutuan dalam kelompok tersebut:

Ekspresi tersebut sekarang memiliki faktor yang sama. Mari kita keluarkan:

Penerapan rumus perkalian yang disingkat. Mari kita lihat sebuah contoh:

;

Mari kita tuliskan ekspresi secara detail:

Jelasnya, kita mempunyai rumus untuk selisih kuadrat, karena ini adalah jumlah kuadrat dari dua ekspresi dan hasil kali gandanya dikurangi darinya. Mari kita gunakan rumus:

Hari ini kita akan mempelajari metode lain - metode memilih persegi lengkap. Hal ini didasarkan pada rumus kuadrat jumlah dan kuadrat selisih. Mari kita ingatkan mereka:

Rumus kuadrat jumlah (selisih);

Keunikan rumus ini adalah rumus tersebut memuat kuadrat dari dua ekspresi dan hasil kali gandanya. Mari kita lihat sebuah contoh:

Mari kita tuliskan ungkapannya:

Jadi ekspresi pertama adalah , dan ekspresi kedua adalah .

Untuk membuat rumus kuadrat suatu jumlah atau selisih, dua kali hasil kali ekspresi saja tidak cukup. Perlu ditambah dan dikurangi:

Mari kita selesaikan kuadrat jumlahnya:

Mari kita ubah ekspresi yang dihasilkan:

Mari kita terapkan rumus selisih kuadrat, ingat bahwa selisih kuadrat dari dua ekspresi adalah hasil kali dan jumlah selisihnya:

Jadi, metode ini Pertama-tama, kita perlu mengidentifikasi ekspresi a dan b yang dikuadratkan, yaitu menentukan ekspresi mana yang dikuadratkan dalam contoh ini. Setelah ini, Anda perlu memeriksa keberadaan produk ganda dan jika tidak ada, maka tambahkan dan kurangi, ini tidak akan mengubah arti dari contoh, tetapi polinomial dapat difaktorkan menggunakan rumus kuadrat dari jumlah atau selisih dan selisih kuadrat, jika memungkinkan.

Mari beralih ke penyelesaian contoh.

Contoh 1 - faktorkan:

Mari kita cari ekspresi yang dikuadratkan:

Mari kita tuliskan apa yang seharusnya menjadi hasil kali gandanya:

Mari kita tambahkan dan kurangi hasil kali dua kali lipat:

Mari kita selesaikan kuadrat jumlahnya dan berikan yang serupa:

Mari kita tuliskan menggunakan rumus selisih kuadrat:

Contoh 2 - selesaikan persamaannya:

;

Di sisi kiri persamaan adalah trinomial. Anda perlu memfaktorkannya menjadi beberapa faktor. Kami menggunakan rumus selisih kuadrat:

Kita mempunyai kuadrat dari ekspresi pertama dan hasil kali gandanya, kuadrat dari ekspresi kedua tidak ada, mari kita tambahkan dan kurangi:

Mari kita lipat persegi lengkap dan berikan suku serupa:

Mari kita terapkan rumus selisih kuadrat:

Jadi kita punya persamaannya

Kita tahu bahwa suatu produk sama dengan nol hanya jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Mari kita buat persamaan berikut berdasarkan ini:

Mari selesaikan persamaan pertama:

Mari selesaikan persamaan kedua:

Jawaban: atau

;

Kami melanjutkan dengan cara yang sama seperti contoh sebelumnya - pilih kuadrat selisihnya.

x menelepon

1.2.3. Menggunakan identitas perkalian yang disingkat

Contoh. Faktorkan x 4 16.

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. Memfaktorkan polinomial menggunakan akar-akarnya

Dalil. Misalkan polinomial P x mempunyai akar x 1 . Maka polinomial tersebut dapat difaktorkan sebagai berikut: P x x x 1 S x , dimana S x adalah suatu polinomial yang derajatnya kurang satu

nilai secara bergantian ke dalam ekspresi untuk P x. Kita peroleh bahwa ketika x 2 kamu-

ekspresi akan berubah menjadi 0, yaitu P 2 0, yang berarti x 2 adalah akar dari suatu bilangan multi-

anggota. Bagilah polinomial P x dengan x 2 .

X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10x

x2 x12

12x 2412x 24

P x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. Memilih persegi lengkap

Cara memilih persegi lengkap didasarkan pada penggunaan rumus: a 2 2ab b 2 a b 2 ,a 2 2ab b 2 a b 2 .

Mengisolasi kuadrat lengkap adalah transformasi identitas di mana trinomial tertentu direpresentasikan sebagai a b 2 jumlah atau selisih kuadrat binomial dan beberapa ekspresi numerik atau alfabet.

Trinomial persegi terhadap suatu variabel memberikan ekspresi bentuk

ax 2 bx c , dimana a , b dan c diberi angka, dan a 0 .

Mari kita transformasikan trinomial kuadrat ax 2 bx c sebagai berikut.

x2:

koefisien

Kemudian kita nyatakan ekspresi b x sebagai 2b x (dua kali hasil kali

x ):a x

Untuk ekspresi dalam tanda kurung kita menambah dan mengurangi angkanya

yang merupakan kuadrat suatu bilangan

Hasilnya kita mendapatkan:

Memperhatikan sekarang itu

Kita mendapatkan

4a 2

Contoh. Pilih kotak yang lengkap.

2x12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2x2 2x 1 15

2x12 7.

4 dan 2,

1.4. Polinomial dalam beberapa variabel

Polinomial dalam beberapa variabel, seperti polinomial dalam satu variabel, dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.

Transformasi identitas penting suatu polinomial dalam beberapa variabel adalah faktorisasi. Di sini, metode faktorisasi seperti menempatkan faktor persekutuan di luar tanda kurung, mengelompokkan, menggunakan identitas perkalian yang disingkat, mengisolasi kuadrat lengkap, dan memasukkan variabel bantu digunakan.

1. Faktorkan polinomial P x ,y 2x 5 128x 2 y 3 .

2 x 5128 x 2y 32 x 2x 364 y ​​​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2.

2. Faktorkan P x ,y ,z 20x 2 3yz 15xy 4xz . Mari kita terapkan metode pengelompokan

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z.

3. Faktorkan P x ,y x 4 4y 4 . Mari kita pilih kotak lengkap:

x 4 tahun 4x 44 x 2 tahun 24 tahun 24 x 2 tahun 2x 22 tahun 2 2 4 x 2 tahun 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. Sifat-sifat suatu derajat dengan eksponen rasional apa pun

Gelar dengan eksponen rasional apa pun memiliki sifat-sifat berikut:

1. a r 1a r 2a r 1r 2,

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

sebuah r 1

adalah 1

saudara 1

dimana a 0;b 0;r 1;r 2 adalah bilangan rasional sembarang.

1. Kalikan 8

x 3 12x 7.

24x23.

8x3 12x7x8x 12x 8 12x 24

2. Faktorkan

sebuah 2x 3

1.6. Latihan untuk dilakukan sendiri

1. Lakukan tindakan menggunakan rumus perkalian yang disingkat. 1) sebuah 52 ;

2) 3 dan 72 ;

3) sebuah nb n2 .

4) 1x3 ;

3 tahun 3 ;

7) 8sebuah 2 8a 2 ;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2 ;

10) sebuah 3a 2 3a 9 ;

11) sebuah 2b 2a 4a 2b 2b 4.3

2. Hitung menggunakan identitas perkalian yang disingkat:

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. Buktikan identitasnya:

1). x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) sebuah 2b 2 2 2 ab 2 sebuah 2b 2 2 ;

3) a 2 b2 x2 y2 kapak oleh2 bx ay2 .

4. Faktorkan polinomial berikut:

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21b;

3) 63 m 4n 327 m 3n 445 m 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2 ;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3 ;

6) 24 kapak38 bx12 a19 b;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5sebuah 4b 2 64a 2 ;

9) 121 n 2 3n 2t 2 ;

10) 4 ton 2 20tn 25n 2 36;

11) hal 4 6 hal2 k9 k2 ;

12) 16 hal 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6 ;

13) 6x3 36x 2 72x 48;

14) 15 kapak 3 45 kapak 2 45 kapak 15 a ;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1 ;

16) 5 hal 2 n q n 15p 5 n q 2 n ;

17) 4a 7b 232a 4b 5;

18) 7 x 24 tahun 2 2 3 x 28 tahun 2 2 ;

19) 1000 ton 3 27 ton 6 .

5. Hitung dengan cara paling sederhana:

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. Temukan hasil bagi dan sisa polinomial P x dengan polinomialQ x: 1)P x 2x 4 x 3 5;Q x x 3 9x ;

2) P x 2 x 2; Qxx3 2x2x; 3) Pxx6 1; Q x x4 4 x2 .

7. Buktikan bahwa polinomial x 2 2x 2 tidak mempunyai akar real.

8. Temukan akar polinomial:

1) x 3 4 x;

2) x 3 3x 2 5x 15.

9. Faktor:

1) 6 sebuah 2 sebuah 5 5a 3 ;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2 ;

3) x 3 6x 2 11x 6.

10. Selesaikan persamaan dengan mengisolasi kuadrat lengkap:

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. Temukan arti ekspresi:

4 3 85

16 6

2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. Hitung:

16 0,25

16 0,25

Seperti yang telah saya catat, dalam kalkulus integral tidak ada rumus yang mudah untuk mengintegrasikan pecahan. Oleh karena itu, terdapat kecenderungan yang menyedihkan: semakin canggih suatu pecahan, semakin sulit mencari integralnya. Dalam hal ini, Anda harus menggunakan berbagai trik, yang sekarang akan saya ceritakan kepada Anda. Pembaca yang sudah siap dapat segera memanfaatkannya Daftar isi:

  • Metode menjumlahkan tanda diferensial untuk pecahan sederhana

Metode konversi pembilang buatan

Contoh 1

Omong-omong, integral yang dipertimbangkan juga dapat diselesaikan dengan mengubah metode variabel, yang menyatakan , tetapi penulisan solusinya akan lebih lama.

Contoh 2

Menemukan integral tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk keputusan independen. Perlu dicatat bahwa metode penggantian variabel tidak lagi berfungsi di sini.

Perhatian, penting! Contoh No. 1, 2 adalah tipikal dan sering terjadi. Secara khusus, integral seperti itu sering muncul ketika menyelesaikan integral lain, khususnya ketika mengintegrasikan fungsi irasional (akar).

Teknik yang dipertimbangkan juga berhasil dalam kasus ini jika pangkat tertinggi pembilangnya lebih besar dari pangkat tertinggi penyebutnya.

Contoh 3

Temukan integral tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Kami mulai memilih pembilangnya.

Algoritma untuk memilih pembilangnya kira-kira seperti ini:

1) Di pembilang saya perlu mengaturnya, tetapi di sana. Apa yang harus dilakukan? Saya memasukkannya ke dalam tanda kurung dan mengalikannya dengan: .

2) Sekarang saya coba buka tanda kurung ini, apa yang terjadi? . Hmm… lebih baik, tapi awalnya tidak ada dua di pembilangnya. Apa yang harus dilakukan? Anda perlu mengalikannya dengan:

3) Saya membuka tanda kurung lagi: . Dan inilah kesuksesan pertama! Ternyata tepat! Tapi masalahnya sudah muncul istilah tambahan. Apa yang harus dilakukan? Untuk mencegah ekspresi berubah, saya harus menambahkan hal yang sama ke konstruksi saya:
. Hidup menjadi lebih mudah. Apakah mungkin untuk mengatur lagi di pembilangnya?

4) Itu mungkin. Mari mencoba: . Buka tanda kurung suku kedua:
. Maaf, pada langkah sebelumnya sebenarnya saya sudah, belum. Apa yang harus dilakukan? Anda perlu mengalikan suku kedua dengan:

5) Sekali lagi, untuk memeriksanya, saya membuka tanda kurung pada suku kedua:
. Sekarang normal: berasal dari konstruksi akhir poin 3! Tapi sekali lagi ada “tetapi” kecil, istilah tambahan telah muncul, yang berarti saya harus menambahkan ekspresi saya:

Jika semuanya dilakukan dengan benar, maka ketika kita membuka semua tanda kurung kita akan mendapatkan pembilang asli dari integran tersebut. Kami memeriksa:
Tudung.

Dengan demikian:

Siap. Pada istilah terakhir, saya menggunakan metode menjumlahkan suatu fungsi ke dalam diferensial.

Jika kita mencari turunan dari jawabannya dan mereduksi ekspresi tersebut menjadi penyebut yang sama, maka kita akan mendapatkan fungsi integran aslinya. Metode penguraian menjadi suatu jumlah tidak lebih dari tindakan kebalikan dari membawa ekspresi ke penyebut yang sama.

Algoritma untuk memilih pembilang dalam contoh seperti itu paling baik dilakukan dalam bentuk draf. Dengan beberapa keterampilan itu akan bekerja secara mental. Saya ingat kasus yang memecahkan rekor ketika saya melakukan seleksi untuk pangkat ke-11, dan perluasan pembilangnya memakan hampir dua baris Verd.

Contoh 4

Temukan integral tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Metode menjumlahkan tanda diferensial untuk pecahan sederhana

Mari kita beralih ke jenis pecahan berikutnya.
, , , (koefisien dan tidak sama dengan nol).

Faktanya, beberapa kasus dengan arcsinus dan arctangent telah disebutkan dalam pelajaran Metode perubahan variabel dalam integral tak tentu. Contoh-contoh tersebut diselesaikan dengan menjumlahkan fungsi di bawah tanda diferensial dan selanjutnya mengintegrasikannya menggunakan tabel. Ini satu lagi contoh yang khas dengan logaritma yang panjang dan tinggi:

Contoh 5

Contoh 6

Di sini disarankan untuk mengambil tabel integral dan melihat rumus dan apa Bagaimana transformasi terjadi. Catatan, bagaimana dan mengapa Kotak dalam contoh ini disorot. Secara khusus, dalam Contoh 6 pertama-tama kita perlu merepresentasikan penyebutnya ke dalam bentuk , lalu letakkan di bawah tanda diferensial. Dan semua ini perlu dilakukan agar dapat menggunakan rumus tabel standar .

Mengapa mencari, coba selesaikan sendiri contoh No. 7, 8, terutama karena contoh tersebut cukup singkat:

Contoh 7

Contoh 8

Temukan integral tak tentu:

Jika Anda juga berhasil memeriksa contoh-contoh ini, maka hormatilah - keterampilan diferensiasi Anda sangat baik.

Metode pemilihan persegi penuh

Integral formulir (koefisien dan tidak sama dengan nol) diselesaikan metode ekstraksi persegi lengkap, yang telah muncul dalam pelajaran Transformasi geometri grafik.

Faktanya, integral tersebut direduksi menjadi salah satu dari empat integral tabel yang baru saja kita lihat. Dan ini dicapai dengan menggunakan rumus perkalian singkat yang sudah dikenal:

Rumus diterapkan tepat ke arah ini, yaitu, gagasan metode ini adalah mengatur ekspresi secara artifisial dalam penyebutnya, dan kemudian mengubahnya menjadi salah satu penyebutnya.

Contoh 9

Temukan integral tak tentu

Ini contoh paling sederhana, di mana dengan istilah – koefisien satuan(dan bukan angka atau minus).

Mari kita lihat penyebutnya, di sini semuanya jelas terjadi secara kebetulan. Mari kita mulai mengonversi penyebutnya:

Jelas, Anda perlu menambahkan 4. Dan, agar ekspresi tidak berubah, kurangi empat yang sama:

Sekarang Anda bisa menerapkan rumus:

Setelah konversi selesai SELALU disarankan untuk melakukan pukulan terbalik: , semuanya baik-baik saja, tidak ada kesalahan.

Desain akhir dari contoh yang dimaksud akan terlihat seperti ini:

Siap. Meringkas "gratis" fungsi yang kompleks di bawah tanda diferensial: , pada prinsipnya dapat diabaikan

Contoh 10

Temukan integral tak tentu:

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, jawabannya ada di akhir pelajaran

Contoh 11

Temukan integral tak tentu:

Apa yang harus dilakukan jika ada minus di depan? Dalam hal ini, kita perlu menghilangkan tanda minus dari tanda kurung dan menyusun suku-sukunya sesuai urutan yang kita perlukan: . Konstan(“dua” masuk pada kasus ini) jangan sentuh!

Sekarang kami menambahkan satu dalam tanda kurung. Menganalisis ekspresi tersebut, kami sampai pada kesimpulan bahwa kami perlu menambahkan satu di luar tanda kurung:

Di sini kita mendapatkan rumusnya, terapkan:

SELALU Kami memeriksa drafnya:
, itulah yang perlu diperiksa.

Contoh bersihnya terlihat seperti ini:

Membuat tugas menjadi lebih sulit

Contoh 12

Temukan integral tak tentu:

Di sini istilahnya bukan lagi satuan koefisien, melainkan “lima”.

(1) Jika ada konstanta pada, maka segera kita keluarkan dari tanda kurung.

(2) Secara umum, yang terbaik adalah memindahkan konstanta ini ke luar integral agar tidak mengganggu.

(3) Jelas semuanya akan bermuara pada rumusnya. Kita perlu memahami istilahnya, yaitu mendapatkan “dua”

(4) Ya,. Artinya kita menjumlahkan persamaan dan mengurangkan pecahan yang sama.

(5) Sekarang pilih persegi lengkap. DI DALAM kasus umum kita juga perlu menghitungnya, tapi di sini kita punya rumus logaritma panjangnya , dan tidak ada gunanya melakukan tindakan tersebut; alasannya akan menjadi jelas di bawah.

(6) Sebenarnya rumus tersebut bisa kita terapkan , hanya sebagai pengganti “X” yang kita miliki , yang tidak meniadakan validitas integral tabel. Sebenarnya, satu langkah terlewatkan - sebelum integrasi, fungsi tersebut seharusnya dimasukkan di bawah tanda diferensial: , tetapi, seperti telah berulang kali saya catat, hal ini sering kali diabaikan.

(7) Pada jawaban di bawah akar, disarankan untuk membuka kembali semua tanda kurung:

Sulit? Ini bukanlah bagian tersulit dari kalkulus integral. Meskipun contoh yang dipertimbangkan tidak terlalu rumit karena memerlukan teknik komputasi yang baik.

Contoh 13

Temukan integral tak tentu:

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Jawabannya ada di akhir pelajaran.

Ada integral dengan akar pada penyebutnya, yang, dengan menggunakan substitusi, direduksi menjadi integral dari jenis yang dipertimbangkan; Anda dapat membacanya di artikel Integral kompleks, tetapi ini dirancang untuk siswa yang sangat siap.

Menjumlahkan pembilangnya di bawah tanda diferensial

Ini adalah bagian terakhir dari pelajaran ini, namun integral jenis ini cukup umum! Jika Anda lelah, mungkin lebih baik membaca besok? ;)

Integral yang akan kita bahas sama dengan integral paragraf sebelumnya, yaitu berbentuk: atau (koefisien , dan tidak sama dengan nol).

Artinya, di pembilang yang kita miliki fungsi linear. Bagaimana cara menyelesaikan integral tersebut?

Kalkulator daring.
Mengisolasi kuadrat binomial dan memfaktorkan trinomial persegi.

Program matematika ini membedakan binomial persegi dari trinomial persegi, yaitu. melakukan transformasi seperti:
\(ax^2+bx+c \panah kanan a(x+p)^2+q \) dan memfaktorkan trinomial kuadrat: \(ax^2+bx+c \panah kanan a(x+n)(x+m) \)

Itu. permasalahannya adalah mencari bilangan \(p, q\) dan \(n, m\)

Program ini tidak hanya memberikan jawaban terhadap permasalahan, tetapi juga menampilkan proses penyelesaiannya.

Program ini mungkin bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sekolah menengah dalam persiapan untuk tes dan ujian, saat menguji pengetahuan sebelum Ujian Negara Bersatu, bagi orang tua untuk mengontrol penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan aljabar. Atau mungkin terlalu mahal bagi Anda untuk menyewa seorang tutor atau membeli buku pelajaran baru? Atau apakah Anda hanya ingin menyelesaikannya secepat mungkin? pekerjaan rumah dalam matematika atau aljabar? Dalam hal ini, Anda juga dapat menggunakan program kami dengan solusi terperinci.

Dengan cara ini, Anda dapat melakukan pelatihan sendiri dan/atau pelatihan adik-adik Anda, sehingga tingkat pendidikan di bidang pemecahan masalah meningkat.

Jika Anda belum memahami aturan memasukkan trinomial kuadrat, kami sarankan Anda membiasakan diri dengannya.

Aturan untuk memasukkan polinomial kuadrat

Huruf Latin apa pun dapat bertindak sebagai variabel.
Misalnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dll.

Angka dapat dimasukkan sebagai bilangan bulat atau pecahan.
Selain itu, bilangan pecahan tidak hanya dapat dimasukkan dalam bentuk desimal, tetapi juga dalam bentuk pecahan biasa.

Aturan untuk memasukkan pecahan desimal.
Dalam desimal pecahan dapat dipisahkan dari keseluruhannya dengan tanda titik atau koma.
Misalnya, Anda bisa masuk desimal seperti ini: 2,5x - 3,5x^2

Aturan memasukkan pecahan biasa.
Hanya bilangan bulat yang dapat bertindak sebagai pembilang, penyebut, dan bagian bilangan bulat suatu pecahan.

Penyebutnya tidak boleh negatif.

Saat memasukkan pecahan numerik, pembilangnya dipisahkan dari penyebutnya dengan tanda pembagian: /
Seluruh bagian dipisahkan dari pecahan dengan tanda ampersand: &
Masukan: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
Hasil: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

Saat memasukkan ekspresi Anda dapat menggunakan tanda kurung. Dalam hal ini, saat menyelesaikan, ekspresi yang diperkenalkan disederhanakan terlebih dahulu.
Misalnya: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Contoh solusi terperinci

Mengisolasi kuadrat binomial.$$ ax^2+bx+c \panah kanan a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \kanan)\cdot x+2 \cdot \kiri(\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\kiri (x^2 + 2 \cdot\kiri(\frac(1)(2) \kanan)\cdot x + \kiri(\frac(1)(2) \kanan)^2 \kanan)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kiri(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Menjawab:$$2x^2+2x-4 = 2\kiri(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorisasi.$$ kapak^2+bx+c \panah kanan a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\kiri(x^2+x-2 \kanan) = $$
$$ 2 \kiri(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \kanan) = $$ $$ 2 \kiri(x \kiri(x +2 \kanan) -1 \kiri(x +2 \kanan ) \kanan) = $$ $$ 2 \kiri(x -1 \kanan) \kiri(x +2 \kanan) $$ Menjawab:$$2x^2+2x-4 = 2 \kiri(x -1 \kanan) \kiri(x +2 \kanan) $$

Memutuskan

Ditemukan bahwa beberapa skrip yang diperlukan untuk mengatasi masalah ini tidak dimuat, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin mengaktifkan AdBlock.
Dalam hal ini, nonaktifkan dan segarkan halaman.

JavaScript dinonaktifkan di browser Anda.
Agar solusinya muncul, Anda perlu mengaktifkan JavaScript.
Berikut adalah petunjuk tentang cara mengaktifkan JavaScript di browser Anda.

Karena Ada banyak orang yang bersedia menyelesaikan masalah, permintaan Anda telah diantri.
Dalam beberapa detik solusinya akan muncul di bawah.
Harap tunggu detik...


Jika kamu melihat kesalahan dalam solusi, lalu Anda dapat menulis tentang hal ini di Formulir Masukan.
Jangan lupa menunjukkan tugas yang mana Anda memutuskan apa masuk ke dalam kolom.



Game, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Mengisolasi kuadrat binomial dari trinomial persegi

Jika trinomial persegi ax 2 +bx+c direpresentasikan sebagai a(x+p) 2 +q, dimana p dan q adalah bilangan real, maka kita katakan bahwa dari trinomial persegi, kuadrat binomial disorot.

Dari trinomial 2x 2 +12x+14 kita mengekstrak kuadrat binomialnya.


\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)


Caranya, bayangkan 6x sebagai hasil kali 2*3*x, lalu tambahkan dan kurangi 3 2. Kita mendapatkan:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Itu. Kami ekstrak binomial persegi dari trinomial persegi, dan menunjukkan bahwa:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Memfaktorkan trinomial kuadrat

Jika trinomial persegi ax 2 +bx+c direpresentasikan dalam bentuk a(x+n)(x+m), dimana n dan m adalah bilangan real, maka operasi tersebut dikatakan telah dilakukan faktorisasi trinomial kuadrat.

Mari kita tunjukkan dengan sebuah contoh bagaimana transformasi ini dilakukan.

Mari kita faktorkan trinomial kuadrat 2x 2 +4x-6.

Mari kita keluarkan koefisien a dari tanda kurung, yaitu. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Mari kita ubah ekspresi dalam tanda kurung.
Untuk melakukannya, bayangkan 2x sebagai selisih 3x-1x, dan -3 sebagai -1*3. Kita mendapatkan:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Itu. Kami memfaktorkan trinomial kuadrat, dan menunjukkan bahwa:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Perhatikan bahwa memfaktorkan trinomial kuadrat hanya mungkin dilakukan jika, persamaan kuadrat, yang sesuai dengan trinomial ini memiliki akar.
Itu. dalam kasus kita, trinomial 2x 2 +4x-6 dapat difaktorkan jika persamaan kuadrat 2x 2 +4x-6 =0 mempunyai akar-akar. Dalam proses faktorisasi, kita mengetahui bahwa persamaan 2x 2 + 4x-6 = 0 mempunyai dua akar 1 dan -3, karena dengan nilai tersebut, persamaan 2(x-1)(x+3)=0 berubah menjadi persamaan sejati.

Buku (buku teks) Abstrak Ujian Negara Bersatu dan ujian Ujian Negara Bersatu online Game, teka-teki Merencanakan grafik fungsi Kamus ejaan bahasa Rusia Kamus bahasa gaul remaja Katalog sekolah Rusia Katalog lembaga pendidikan menengah Rusia Katalog daftar universitas Rusia tugas

Definisi

Ekspresi bentuk 2 x 2 + 3 x + 5 disebut trinomial kuadrat. Secara umum, trinomial persegi adalah ekspresi bentuk a x 2 + b x + c, dengan a, b, c a, b, c adalah bilangan sembarang, dan a ≠ 0.

Perhatikan trinomial kuadrat x 2 - 4 x + 5. Mari kita tuliskan dalam bentuk ini: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Mari kita tambahkan 2 2 ke persamaan ini dan kurangi 2 2, kita mendapatkan: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Perhatikan bahwa x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, jadi x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformasi yang kami lakukan disebut “mengisolasi kuadrat sempurna dari trinomial kuadrat”.

Tentukan kuadrat sempurna dari trinomial kuadrat 9 x 2 + 3 x + 1.

Perhatikan bahwa 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Lalu `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Tambahkan dan kurangi `(1/2)^2` ke ekspresi yang dihasilkan, kita dapatkan

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Kami akan menunjukkan bagaimana metode mengisolasi kuadrat sempurna dari trinomial kuadrat digunakan untuk memfaktorkan trinomial kuadrat.

Faktorkan trinomial kuadrat 4 x 2 - 12 x + 5.

Kita pilih kuadrat sempurna dari trinomial kuadrat: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Sekarang kita terapkan rumus a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , kita peroleh: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .

Faktorkan trinomial kuadrat - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Sekarang kita perhatikan bahwa 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Kita tambahkan suku 2 2 ke persamaan 9 x 2 - 12 x, kita peroleh:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Kami menerapkan rumus selisih kuadrat, kami mendapatkan:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Faktorkan trinomial kuadrat 3 x 2 - 14 x - 5 .

Kita tidak dapat menyatakan ekspresi 3 x 2 sebagai kuadrat dari suatu ekspresi, karena kita belum mempelajarinya di sekolah. Anda akan membahasnya nanti, dan di Tugas No. 4 kita akan mempelajarinya akar kuadrat. Mari kita tunjukkan bagaimana Anda dapat memfaktorkan suatu trinomial kuadrat tertentu:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Kami akan menunjukkan cara menggunakan metode kuadrat sempurna untuk mencari nilai terbesar atau terkecil dari trinomial kuadrat.
Perhatikan trinomial kuadrat x 2 - x + 3. Pilih persegi lengkap:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Perhatikan bahwa ketika `x=1/2` nilai trinomial kuadratnya adalah `11/4`, dan ketika `x!=1/2` bilangan positif ditambahkan ke nilai `11/4`, jadi kita dapatkan angka yang lebih besar dari `11/4`. Dengan demikian, nilai terkecil trinomial kuadrat adalah `11/4` dan diperoleh ketika `x=1/2`.

Temukan nilai terbesar dari trinomial kuadrat - 16 2 + 8 x + 6.

Kita memilih kuadrat sempurna dari trinomial kuadrat: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Ketika `x=1/4` nilai trinomial kuadrat adalah 7, dan ketika `x!=1/4` bilangan positif dikurangkan dari bilangan 7, yaitu kita memperoleh bilangan yang kurang dari 7. Jadi angka 7 adalah nilai tertinggi trinomial kuadrat, dan diperoleh ketika `x=1/4`.

Faktorkan pembilang dan penyebut pecahan `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` dan kurangi pecahan tersebut.

Perhatikan bahwa penyebut pecahan x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Mari kita memfaktorkan pembilang suatu pecahan menggunakan metode mengisolasi kuadrat lengkap dari trinomial persegi. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Pecahan ini direduksi menjadi bentuk `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` setelah dikurangi (x - 3) kita mendapatkan `(x+5)/(x-3 )`.

Faktorkan polinomial x 4 - 13 x 2 + 36.

Mari kita terapkan metode mengisolasi kuadrat lengkap pada polinomial ini. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`



Baru di situs

>

Paling populer

© 2024. Portal konsultasi gigi.

BAGIAN POPULER