Kita sering mendengar ungkapan: “inert”, “bergerak karena inersia”, “momen inersia”. Dalam arti kiasan, kata “inersia” dapat diartikan sebagai kurangnya inisiatif dan tindakan. Kami tertarik pada arti langsungnya.
Apa itu inersia
Menurut definisi kelembaman dalam fisika, ini adalah kemampuan benda untuk mempertahankan keadaan diam atau bergerak tanpa adanya gaya eksternal.
Jika semuanya jelas dengan konsep inersia pada tingkat intuitif, maka momen inersia– pertanyaan terpisah. Setuju, sulit membayangkan dalam pikiran Anda apa itu. Dalam artikel ini Anda akan mempelajari cara memecahkan masalah dasar pada topik tersebut "Momen inersia".
Penentuan momen inersia
Dari pelajaran sekolah diketahui bahwa massa – ukuran kelembaman suatu benda. Jika kita mendorong dua gerobak yang massanya berbeda, maka akan lebih sulit menghentikan gerobak yang lebih berat. Artinya, semakin besar massanya maka semakin besar pula pengaruh eksternal diperlukan untuk mengubah gerakan tubuh. Apa yang dianggap berlaku untuk gerak translasi, ketika gerobak dari contoh bergerak lurus.
Dengan analogi massa dan gerak translasi, momen inersia adalah ukuran inersia suatu benda di gerakan rotasi di sekitar sumbu.
Momen inersia– besaran fisika skalar, ukuran kelembaman suatu benda selama rotasi pada suatu sumbu. Dilambangkan dengan surat itu J dan dalam sistem SI diukur dalam kilogram dikali meter persegi.
Bagaimana cara menghitung momen inersia? Makan rumus umum, yang digunakan dalam fisika untuk menghitung momen inersia suatu benda. Jika suatu benda dipecah menjadi potongan-potongan yang sangat kecil dengan massa dm , maka momen inersia akan sama dengan jumlah hasil kali massa-massa dasar tersebut dengan kuadrat jarak ke sumbu rotasi.
Ini adalah rumus umum momen inersia dalam fisika. Untuk titik massa material M , berputar mengelilingi sumbu pada jarak tertentu R dari dia, rumus ini mengambil bentuk:
teorema Steiner
Momen inersia bergantung pada apa? Mulai dari massa, posisi sumbu rotasi, bentuk dan ukuran benda.
Teorema Huygens-Steiner merupakan teorema yang sangat penting yang sering digunakan dalam penyelesaian masalah.
Omong-omong! Untuk pembaca kami sekarang ada diskon 10%.
Teorema Huygens-Steiner menyatakan:
Momen inersia suatu benda terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia benda terhadap sumbu yang melalui pusat massa yang sejajar dengan sumbu sembarang dan hasil kali massa benda dengan kuadrat. dari jarak antara sumbu.
Bagi yang tidak ingin terus menerus berintegrasi dalam menyelesaikan soal mencari momen inersia, kami sajikan gambar yang menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen yang sering dijumpai dalam soal:
Contoh penyelesaian masalah mencari momen inersia
Mari kita lihat dua contoh. Tugas pertama adalah mencari momen inersia. Tugas kedua adalah menggunakan teorema Huygens-Steiner.
Soal 1. Tentukan momen inersia piringan homogen bermassa m dan berjari-jari R. Sumbu rotasi melalui pusat piringan.
Larutan:
Mari kita bagi piringan menjadi cincin-cincin yang sangat tipis, yang jari-jarinya bervariasi 0 sebelum R dan pertimbangkan salah satu cincin tersebut. Biarkan radiusnya menjadi R, dan massa – dm. Maka momen inersia cincin tersebut adalah:
Massa cincin dapat direpresentasikan sebagai:
Di Sini dz– tinggi cincin. Mari kita substitusikan massa ke dalam rumus momen inersia dan integrasikan:
Hasilnya adalah rumus momen inersia piringan atau silinder yang sangat tipis.
Soal 2. Misalkan ada lagi piringan bermassa m dan jari-jari R. Sekarang kita perlu mencari momen inersia piringan tersebut terhadap sumbu yang melalui titik tengah salah satu jari-jarinya.
Larutan:
Momen inersia piringan terhadap sumbu yang melalui pusat massa diketahui dari soal sebelumnya. Mari kita terapkan teorema Steiner dan temukan:
Omong-omong, di blog kami Anda dapat menemukan materi berguna lainnya tentang fisika dan.
Kami berharap Anda akan menemukan sesuatu yang berguna untuk diri Anda sendiri di artikel ini. Jika timbul kesulitan dalam proses penghitungan tensor inersia, jangan lupakan layanan siswa. Pakar kami akan memberi saran tentang masalah apa pun dan membantu menyelesaikan masalah dalam hitungan menit.
Relatif terhadap sumbu tetap (“momen inersia aksial”) adalah kuantitas J a, sama dengan jumlahnya karya massa semua N titik material sistem dengan kuadrat jaraknya ke sumbu:
- saya- berat Saya poin ke-,
- r i- jarak dari Saya titik ke sumbu.
Aksial momen inersia tubuh J a adalah ukuran kelembaman suatu benda dalam gerak rotasi pada suatu sumbu, sama seperti massa suatu benda adalah ukuran kelembamannya dalam gerak translasi.
Jika benda itu homogen, artinya massa jenisnya sama di semua tempat, maka
Teorema Huygens-Steiner
Momen inersia padat relatif terhadap sumbu apa pun tidak hanya bergantung pada massa, bentuk dan ukuran benda, tetapi juga pada posisi benda dalam kaitannya dengan sumbu tersebut. Menurut teorema Steiner (teorema Huygens-Steiner), momen inersia tubuh J relatif terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia tubuh ini Jc relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massa benda yang sejajar dengan sumbu yang ditinjau, dan hasil kali massa benda M per kuadrat jarak D antar sumbu:
di mana total massa tubuh.
Misalnya, momen inersia suatu batang terhadap sumbu yang melalui ujungnya sama dengan:
Momen aksial inersia beberapa benda
| Tubuh | Keterangan | Posisi sumbu A | Momen inersia J a |
|---|---|---|---|
 |
Massa titik material M | Dari jarak jauh R dari suatu titik, stasioner | |
 |
Silinder berongga berdinding tipis atau cincin radius R dan massa M | Sumbu silinder | |
 |
Silinder padat atau cakram radius R dan massa M | Sumbu silinder | |
 |
Silinder massa berongga berdinding tebal M dengan radius luar r 2 dan radius dalam r 1 | Sumbu silinder | |
 |
Panjang silinder padat aku, radius R dan massa M | ||
 |
Panjang silinder (cincin) berdinding tipis berongga aku, radius R dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap silinder dan melewati pusat massanya | |
 |
Batang Panjang Tipis Lurus aku dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap batang dan melewati pusat massanya | |
 |
Batang Panjang Tipis Lurus aku dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap batang dan melewati ujungnya | |
 |
Bola radius berdinding tipis R dan massa M | Sumbu melewati pusat bola | |
 |
Bola radius R dan massa M | Sumbu melewati bagian tengah bola | |
 |
Kerucut radius R dan massa M | Sumbu kerucut | |
| Segitiga sama kaki dengan ketinggian H, dasar A dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui titik sudut | ||
| Segitiga beraturan dengan sisi A dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui pusat massa | ||
| Persegi dengan sisi A dan massa M | Sumbunya tegak lurus terhadap bidang persegi dan melalui pusat massa |
Mendapatkan rumus
Silinder berdinding tipis (cincin, lingkaran)
Penurunan rumus
Momen inersia suatu benda sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagian penyusunnya. Bagilah silinder berdinding tipis menjadi elemen-elemen yang bermassa dm dan momen inersia DJ saya. Kemudian
Karena semua elemen silinder berdinding tipis berada pada jarak yang sama dari sumbu rotasi, rumus (1) diubah menjadi bentuk
Silinder berdinding tebal (cincin, simpai)
Penurunan rumus
Misalkan ada cincin homogen dengan jari-jari luar R, radius dalam R 1, tebal H dan kepadatan ρ. Mari kita pecah menjadi cincin tipis yang tebal dr. Massa dan momen inersia cincin berjari-jari tipis R akan
Mari kita cari momen inersia cincin tebal sebagai suatu integral
Karena volume dan massa cincin adalah sama
kita memperoleh rumus akhir momen inersia cincin
Cakram homogen (silinder padat)
Penurunan rumus
Mengingat silinder (cakram) sebagai cincin dengan jari-jari dalam nol ( R 1 = 0), kita peroleh rumus momen inersia silinder (cakram):
Kerucut padat
Penurunan rumus
Mari kita pecahkan kerucut menjadi cakram tipis dengan ketebalan dh, tegak lurus terhadap sumbu kerucut. Jari-jari disk tersebut sama dengan
Di mana R– jari-jari alas kerucut, H– tinggi kerucut, H– jarak dari puncak kerucut ke piringan. Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah
Mengintegrasikan, kita dapatkan
Bola homogen padat
Penurunan rumus
Bagilah bola menjadi cakram tipis dengan ketebalan dh, tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Jari-jari piringan tersebut terletak pada ketinggian H dari pusat bola kita mencarinya menggunakan rumus
Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah
Kita mencari momen inersia bola melalui integrasi:
Bola berdinding tipis
Penurunan rumus
Untuk memperolehnya, kita menggunakan rumus momen inersia bola berjari-jari homogen R:
Mari kita hitung berapa besar momen inersia bola akan berubah jika, pada massa jenis konstan ρ, jari-jarinya bertambah sangat kecil dr.
Batang tipis (sumbu melewati tengah)
Penurunan rumus
Bagilah batang menjadi potongan-potongan kecil dr. Massa dan momen inersia pecahan tersebut adalah sama
Mengintegrasikan, kita dapatkan
Batang tipis (sumbu melewati ujung)
Penurunan rumus
Ketika sumbu rotasi bergerak dari tengah batang ke ujungnya, pusat gravitasi batang bergerak relatif terhadap sumbu sejauh tertentu. aku/2. Menurut teorema Steiner momen baru inersia akan sama
Momen inersia planet dan satelitnya yang tak berdimensi
Nilai yang bagus untuk penelitian struktur internal planet dan satelitnya mempunyai momen inersia yang tidak berdimensi. Momen inersia tak berdimensi suatu benda berjari-jari R dan massa M sama dengan perbandingan momen inersia terhadap sumbu rotasi dengan momen inersia suatu titik material bermassa sama terhadap sumbu rotasi tetap yang terletak pada jarak tertentu. R(sama dengan Tn. 2). Nilai ini mencerminkan distribusi massa terhadap kedalaman. Salah satu metode untuk mengukurnya di dekat planet dan satelit adalah dengan menentukan pergeseran Doppler dari sinyal radio yang ditransmisikan oleh AMS yang terbang di dekat planet atau satelit tertentu. Untuk bola berdinding tipis, momen inersia tak berdimensi adalah 2/3 (~0,67), untuk bola homogen adalah 0,4, dan secara umum, semakin kecil maka semakin besar massa benda terkonsentrasi di pusatnya. Misalnya, Bulan mempunyai momen inersia tak berdimensi mendekati 0,4 (sama dengan 0,391), sehingga diasumsikan relatif homogen, kerapatannya sedikit berubah terhadap kedalaman. Momen inersia Bumi tak berdimensi lebih kecil dari momen inersia Bumi bola homogen (sama dengan 0,335), yang merupakan argumen yang mendukung keberadaan inti padat.
Momen inersia sentrifugal
Momen inersia sentrifugal suatu benda terhadap sumbu sistem koordinat kartesius persegi panjang adalah besaran sebagai berikut:
Di mana X, kamu Dan z- Koordinat elemen benda kecil dengan volume dV, kepadatan ρ dan massa dm.
Sumbu OX disebut sumbu utama inersia benda, jika momen inersia sentrifugal Jxy Dan Jxz secara bersamaan sama dengan nol. Tiga sumbu inersia utama dapat ditarik melalui setiap titik pada benda. Sumbu-sumbu ini saling tegak lurus satu sama lain. Momen inersia benda relatif terhadap tiga sumbu inersia utama yang ditarik pada suatu titik sembarang HAI tubuh disebut momen utama inersia benda.
Sumbu inersia utama yang melalui pusat massa suatu benda disebut sumbu pusat utama inersia benda, dan momen inersia terhadap sumbu tersebut adalah momennya utama titik-titik sentral kelembaman. Sumbu simetri benda homogen selalu merupakan salah satu sumbu inersia pusat utamanya.
Momen inersia geometri
Momen inersia geometris - karakteristik geometris suatu bagian bentuk
dimana adalah jarak dari sumbu pusat ke suatu daerah dasar relatif terhadap sumbu netral.
Momen inersia geometrik tidak berhubungan dengan pergerakan material; ia hanya merefleksikan tingkat kekakuan dari bagian tersebut. Digunakan untuk menghitung jari-jari girasi, defleksi balok, pemilihan penampang balok, kolom, dll.
Satuan ukuran SI adalah m4. Dalam perhitungan konstruksi, literatur dan bermacam-macam logam canai, khususnya, ditunjukkan dalam cm 4.
Dari situ momen resistensi bagian tersebut dinyatakan:
.| Momen inersia geometri suatu bangun datar | |
|---|---|
| Tinggi dan lebar persegi panjang: | |
| Bagian kotak persegi panjang dengan tinggi dan lebar sepanjang kontur luar dan , dan sepanjang kontur dalam dan masing-masing | |
| Diameter lingkaran | |
Momen inersia sentral
Momen inersia sentral(atau momen inersia relatif terhadap titik O) adalah besaran
Momen inersia sentral dapat dinyatakan dalam momen inersia aksial atau sentrifugal utama: .
Tensor inersia dan ellipsoid inersia
Momen inersia suatu benda terhadap sumbu sembarang yang melalui pusat massa dan mempunyai arah yang ditentukan oleh vektor satuan dapat direpresentasikan dalam bentuk kuadrat (bilinear):
(1),di mana tensor inersia. Matriks tensor inersia berbentuk simetris, berdimensi dan terdiri dari komponen momen sentrifugal:
.
Dengan memilih sistem koordinat yang sesuai, matriks tensor inersia dapat direduksi menjadi bentuk diagonal. Untuk melakukannya, Anda perlu menyelesaikan masalah nilai eigen untuk matriks tensor:
,
dimana adalah matriks transisi ortogonal ke basis eigen dari tensor inersia. Pada dasar yang tepat, sumbu koordinat diarahkan sepanjang sumbu utama tensor inersia, dan juga bertepatan dengan sumbu semi utama ellipsoid tensor inersia. Besaran merupakan momen inersia utama. Ekspresi (1) dalam sistem koordinatnya sendiri berbentuk:
dari mana persamaan tersebut berasal
Momen gaya dan momen inersia
Dalam dinamika gerak translasi suatu titik material, selain sifat kinematik, diperkenalkan pula konsep gaya dan massa. Saat mempelajari dinamika gerak rotasi, besaran fisika diperkenalkan - torsi Dan momen inersia, arti fisik yang akan kami ungkapkan di bawah ini.
Biarkan suatu benda berada di bawah pengaruh gaya yang diterapkan pada suatu titik A, berputar di sekitar sumbu OO" (Gambar 5.1).
Gambar 5.1 – Kesimpulan dari konsep momen gaya
Gaya bekerja pada bidang yang tegak lurus terhadap sumbu. Tegak lurus R, turun dari intinya TENTANG(berbaring pada sumbu) terhadap arah gaya disebut bahu kekuatan. Hasil kali gaya dengan lengan menentukan modulus momen kekuatan relatif terhadap intinya TENTANG:
(5.1)
Momen kekuasaan adalah vektor yang ditentukan oleh hasil kali vektor vektor jari-jari titik penerapan gaya dan vektor gaya:
(5.2)
Satuan momen gaya - newton meter(N . M). Arah vektor momen gaya dapat dicari dengan menggunakan aturan baling-baling yang benar.
Ukuran inersia suatu benda selama gerak translasi adalah massa. Inersia suatu benda selama gerak rotasi tidak hanya bergantung pada massa, tetapi juga pada distribusinya dalam ruang relatif terhadap sumbu rotasi. Besaran inersia pada gerak rotasi disebut besaran momen inersia benda relatif terhadap sumbu rotasi.
Momen inersia suatu titik material relatif terhadap sumbu rotasi - produk massa titik ini dengan kuadrat jarak dari sumbu:
Momen inersia benda relatif terhadap sumbu rotasi - jumlah momen inersia titik-titik material yang menyusun benda tersebut:
(5.4)
DI DALAM kasus umum, jika benda tersebut padat dan mewakili kumpulan titik-titik yang bermassa kecil dm, momen inersia ditentukan oleh integrasi:
, (5.5)
Di mana R- jarak dari sumbu rotasi ke suatu elemen bermassa d M.
Jika benda itu homogen dan kepadatannya ρ = M/V, maka momen inersia benda
(5.6)
Momen inersia suatu benda bergantung pada sumbu rotasinya dan bagaimana massa benda didistribusikan ke seluruh volume.
Momen inersia benda yang mempunyai bentuk geometri beraturan dan distribusi seragam massa berdasarkan volume.
Momen inersia batang homogen relatif terhadap sumbu yang melalui pusat inersia dan tegak lurus terhadap batang,
Momen inersia silinder homogen relatif terhadap sumbu yang tegak lurus alasnya dan melalui pusat inersia,
(5.8)
Momen inersia silinder atau ring berdinding tipis relatif terhadap sumbu yang tegak lurus terhadap bidang alasnya dan melalui pusatnya,
Momen inersia bola relatif terhadap diameter
(5.10)
Mari kita tentukan momen inersia piringan terhadap sumbu yang melalui pusat inersia dan tegak lurus bidang rotasi. Biarkan massa disk menjadi M, dan jari-jarinya adalah R.
Luas cincin (Gambar 5.2) yang tertutup di antaranya R dan , sama dengan .
Gambar 5.2 – Kesimpulan momen inersia piringan
Daerah cakram. Dengan ketebalan cincin yang konstan,
dari mana atau 
.
Maka momen inersia piringan,
Untuk lebih jelasnya, Gambar 5.3 menunjukkan padatan homogen berbagai bentuk dan momen inersia benda-benda ini relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massa ditunjukkan.
Gambar 5.3 – Momen inersia SAYA C dari beberapa padatan homogen.
teorema Steiner
Rumus momen inersia benda di atas diberikan dengan syarat sumbu rotasi melewati pusat inersia. Untuk menentukan momen inersia suatu benda relatif terhadap sumbu sembarang, Anda harus menggunakan teorema Steiner : momen inersia benda terhadap sumbu rotasi sembarang sama dengan jumlah momen inersia J 0 relatif terhadap sumbu yang sejajar dengan sumbu tertentu dan melalui pusat inersia benda, dan nilai md 2:
(5.12)
Di mana M- massa tubuh, D- jarak dari pusat massa ke sumbu rotasi yang dipilih. Satuan momen inersia - kilogram meter kuadrat (kg . m 2).
Jadi, momen inersia suatu batang homogen yang panjangnya aku relatif terhadap sumbu yang melalui ujungnya, menurut teorema Steiner adalah sama dengan
Aplikasi. Momen inersia dan perhitungannya.
Biarkan benda tegar berputar mengelilingi sumbu Z (Gambar 6). Ini dapat direpresentasikan sebagai sistem titik material yang berbeda m i , tidak berubah seiring waktu, yang masing-masing bergerak dalam lingkaran dengan radius r i, terletak pada bidang yang tegak lurus sumbu Z. Kecepatan sudut semua poin material adalah sama. Momen inersia suatu benda terhadap sumbu Z adalah besaran:
Di mana 
– momen inersia suatu titik material relatif terhadap sumbu OZ. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa momen inersia adalah kuantitas aditif, yaitu momen inersia suatu benda yang terdiri dari bagian-bagian individual sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagian tersebut.
Gambar 6
Jelas sekali, [ SAYA] = kg×m 2. Pentingnya konsep momen inersia dinyatakan dalam tiga rumus:
; 
; 
.
Rumus pertama menyatakan momentum sudut suatu benda yang berputar pada sumbu tetap Z (rumus ini berguna untuk dibandingkan dengan persamaan momentum suatu benda. P = mVc, Di mana abad ke-5– kecepatan pusat massa). Rumus kedua disebut persamaan dasar dinamika gerak rotasi suatu benda pada sumbu tetap, yaitu dengan kata lain hukum kedua Newton untuk gerak rotasi (bandingkan dengan hukum gerak pusat massa: 
). Rumus ketiga menyatakan energi kinetik suatu benda yang berputar pada sumbu tetap (bandingkan dengan persamaan energi kinetik suatu partikel 
). Perbandingan rumus memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa momen inersia dalam gerak rotasi memainkan peran yang mirip dengan massa dalam arti bahwa semakin besar momen inersia suatu benda, semakin kecil percepatan sudut yang diperolehnya, semua hal lain dianggap sama ( tubuh, secara kiasan, lebih sulit untuk diputar). Pada kenyataannya, penghitungan momen inersia bermuara pada penghitungan integral rangkap tiga dan hanya dapat dilakukan untuk bilangan terbatas tubuh simetris dan hanya untuk sumbu simetri. Jumlah sumbu yang dapat diputar oleh suatu benda sangatlah besar. Di antara semua sumbu, yang menonjol adalah sumbu yang melewati titik tubuh yang luar biasa - Pusat massa
(suatu titik, untuk menggambarkan geraknya cukup dengan membayangkan bahwa seluruh massa sistem terkonsentrasi pada pusat massa dan gaya yang sama dengan jumlah semua gaya diterapkan pada titik ini). Namun ada juga banyak sekali sumbu yang melewati pusat massa. Ternyata untuk setiap benda padat yang bentuknya berubah-ubah, terdapat tiga sumbu yang saling tegak lurus C x, C y, C z, ditelepon sumbu rotasi bebas
, yang memiliki sifat luar biasa: jika sebuah benda diputar pada salah satu sumbu ini dan dilempar ke atas, maka selama pergerakan benda berikutnya, sumbu tersebut akan tetap sejajar dengan dirinya sendiri, yaitu. tidak akan jatuh. Memutar sumbu lainnya tidak memiliki sifat ini. Nilai momen inersia benda tipikal terhadap sumbu yang ditunjukkan diberikan di bawah ini. Jika sumbu melalui pusat massa, tetapi membentuk sudut a, b, g dengan sumbu C x, C y, C z Dengan demikian, momen inersia terhadap sumbu tersebut adalah sama dengan
Saya c = Saya cx cos 2 a + Saya cy cos 2 b + Saya cz cos 2 g (*)
Mari kita perhatikan secara singkat perhitungan momen inersia benda paling sederhana.
1.Momen inersia batang homogen panjang dan tipis terhadap sumbu yang melalui pusat massa batang dan tegak lurus terhadapnya.
Membiarkan T - massa batang, aku – panjangnya.
, 
Indeks " Dengan» pada momen inersia Ic artinya momen inersia terhadap sumbu yang melalui titik pusat massa (pusat simetri benda), C(0,0,0).
2. Momen inersia pelat persegi panjang tipis.
; 
;
3. Momen inersia suatu persegi panjang sejajar.
, t.C(0,0,0)
4. Momen inersia sebuah cincin tipis.
;
, t.C(0,0,0)
5. Momen inersia piringan tipis.
Karena simetri
; 
;
6. Momen inersia silinder padat.
;
Karena simetri:
7. Momen inersia bola padat.
, t.C(0,0,0)
8. Momen inersia kerucut padat.
, t.C(0,0,0)
Di mana R– radius alas, H– tinggi kerucut.
Ingatlah bahwa cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Terakhir, jika sumbu O tidak melalui pusat massa, maka momen inersia benda dapat dihitung menggunakan teorema Huygens Steiner
Saya o = Saya s + md 2, (**)
Di mana saya o– momen inersia benda relatif terhadap sumbu sembarang, Adalah– momen inersia terhadap sumbu yang sejajar dengannya, melewati pusat massa,
M- massa tubuh, D– jarak antar sumbu.
Prosedur untuk menghitung momen inersia benda berbentuk standar relatif terhadap sumbu sembarang adalah sebagai berikut.
Momen inersia
Untuk menghitung momen inersia, secara mental kita harus membagi benda menjadi unsur-unsur yang cukup kecil, yang titik-titiknya dianggap terletak pada jarak yang sama dari sumbu rotasi, kemudian mencari hasil kali massa setiap unsur dengan kuadrat. jaraknya dari sumbu dan, terakhir, jumlahkan semua hasil kali. Tentu saja, ini adalah tugas yang sangat memakan waktu. Untuk menghitung
momen inersia benda benar bentuk geometris Dalam beberapa kasus, Anda dapat menggunakan metode kalkulus integral.
Kita akan mengganti penentuan jumlah momen inersia berhingga suatu unsur benda dengan menjumlahkan sejumlah besar momen inersia yang dihitung untuk unsur-unsur kecil tak terhingga:
lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (pada Δm → 0).
Mari kita hitung momen inersia piringan homogen atau silinder padat dengan ketinggian H relatif terhadap sumbu simetrinya
Mari kita bagi piringan menjadi elemen-elemen dalam bentuk cincin konsentris tipis yang berpusat pada sumbu simetrinya. Cincin yang dihasilkan memiliki diameter dalam R dan eksternal r+dr, dan tingginya H. Karena dr<< r
, maka kita dapat berasumsi bahwa jarak semua titik cincin dari sumbunya adalah sama R.
Untuk setiap cincin individu, momen inersia
saya = ΣΔmr 2 = r 2 ΣΔm,
Di mana ΣΔm− massa seluruh cincin.
Volume dering 2πrhdr. Jika kepadatan bahan disk ρ
, maka massa cincin
ρ2πrhdr.
Momen inersia cincin
i = 2πρjam 3 dr.
Untuk menghitung momen inersia seluruh piringan, perlu untuk menjumlahkan momen inersia cincin dari pusat piringan ( r = 0) ke tepinya ( r = R), yaitu menghitung integral:
Saya = 2πρh 0 R ∫r 3 dr,
atau
Saya = (1/2)πρhR 4.
Tapi massa disk m = ρπhR 2, karena itu,
Saya = (1/2)mR 2.
Mari kita sajikan (tanpa perhitungan) momen inersia untuk beberapa benda berbentuk geometris beraturan, yang terbuat dari bahan homogen 
1.
Momen inersia cincin tipis terhadap sumbu yang melalui pusatnya tegak lurus terhadap bidangnya (atau silinder berongga berdinding tipis terhadap sumbu simetrinya):
saya = mR 2.
2.
Momen inersia silinder berdinding tebal terhadap sumbu simetri:
Saya = (1/2)m(R 1 2 − R 2 2)
Di mana R 1− dalaman dan R 2− jari-jari luar.
3.
Momen inersia piringan terhadap sumbu yang bertepatan dengan salah satu diameternya:
Saya = (1/4)mR 2.
4.
Momen inersia silinder pejal terhadap sumbu tegak lurus generatrix dan melalui titik tengahnya:
saya = m(R 2 /4 + jam 2 /12)
Di mana R− jari-jari dasar silinder, H− tinggi silinder.
5.
Momen inersia sebuah batang tipis terhadap sumbu yang melalui bagian tengahnya:
Saya = (1/12)ml 2,
Di mana aku− panjang batang.
6.
Momen inersia batang tipis terhadap sumbu yang melalui salah satu ujungnya:
Saya = (1/3)ml 2
7. Momen inersia bola terhadap sumbu yang berimpit dengan salah satu diameternya:
Saya = (2/5)mR 2.
Jika momen inersia suatu benda terhadap suatu sumbu yang melalui pusat massanya diketahui, maka momen inersia terhadap sumbu lain yang sejajar dengan sumbu pertama dapat dicari berdasarkan apa yang disebut teorema Huygens-Steiner.
Momen inersia benda SAYA relatif terhadap sumbu mana pun sama dengan momen inersia benda Adalah relatif terhadap sumbu yang sejajar dengan sumbu tertentu dan melalui pusat massa benda, ditambah massa benda M, dikalikan dengan kuadrat jarak aku antar sumbu:
Saya = Saya c + ml 2.
Sebagai contoh, mari kita hitung momen inersia sebuah bola berjari-jari R dan massa M, digantung pada seutas benang dengan panjang l, relatif terhadap sumbu yang melalui titik suspensi TENTANG. Massa benang kecil dibandingkan massa bola. Sejak momen inersia bola terhadap sumbu yang melalui pusat massa Ic = (2/5)mR 2, dan jarak
antar sumbu ( aku + R), maka momen inersia terhadap sumbu yang melalui titik suspensi:
Saya = (2/5)mR 2 + m(l + R) 2.
Dimensi momen inersia:
[Saya] = [m] × = ML 2.
