Kuliah tentang aljabar dan geometri. Semester 1.

Kuliah 15. Elips.

Bab 15. Elips.

ayat 1. Definisi dasar.

Definisi. Elips adalah GMT suatu bidang, jumlah jarak ke dua titik tetap pada bidang tersebut, disebut fokus, adalah nilai konstan.

Definisi. Jarak dari titik sembarang M pada bidang ke fokus elips disebut jari-jari fokus titik M.

Sebutan:
– fokus elips,
– jari-jari fokus titik M.

Oleh definisi elips, titik M adalah titik elips jika dan hanya jika
- nilai konstan. Konstanta ini biasanya dilambangkan dengan 2a:

. (1)

perhatikan itu
.

Menurut definisi elips, fokusnya adalah titik-titik tetap, sehingga jarak antara titik-titik tersebut juga merupakan nilai konstan untuk elips tertentu.

Definisi. Jarak antara fokus elips disebut panjang fokus.

Penamaan:
.

Dari segitiga
mengikuti itu
, yaitu

.

Mari kita nyatakan dengan b bilangan yang sama dengan
, yaitu

. (2)

Definisi. Sikap

(3)

disebut eksentrisitas elips.

Mari kita perkenalkan sistem koordinat pada bidang ini, yang kita sebut kanonik untuk elips.

Definisi. Sumbu tempat fokus elips disebut sumbu fokus.

Mari kita buat PDSC kanonik untuk elips, lihat Gambar 2.

Kami memilih sumbu fokus sebagai sumbu absis, dan menggambar sumbu ordinat melalui bagian tengah segmen
tegak lurus terhadap sumbu fokus.

Kemudian fokusnya memiliki koordinat
,
.

ayat 2. Persamaan kanonik elips.

Dalil. Dalam sistem koordinat kanonik elips, persamaan elips berbentuk:

. (4)

Bukti. Pembuktiannya kami lakukan dalam dua tahap. Pada tahap pertama, kita akan membuktikan bahwa koordinat titik mana pun yang terletak pada elips memenuhi persamaan (4). Pada tahap kedua kita akan membuktikan bahwa setiap solusi persamaan (4) memberikan koordinat suatu titik yang terletak pada elips. Oleh karena itu persamaan (4) dipenuhi oleh titik-titik tersebut dan hanya titik-titik pada bidang koordinat yang terletak pada elips. Dari sini dan dari definisi persamaan kurva maka persamaan (4) adalah persamaan elips.

1) Misalkan titik M(x, y) adalah titik pada elips, yaitu. jumlah jari-jari fokusnya adalah 2a:

.

Mari kita gunakan rumus jarak antara dua titik pada bidang koordinat dan gunakan rumus ini untuk mencari jari-jari fokus suatu titik M:

,
, dari mana kita mendapatkan:

Mari kita pindahkan satu akar ke ruas kanan persamaan dan mengkuadratkannya:

Mengurangi, kita mendapatkan:

Kami menyajikan yang serupa, kurangi 4 dan hilangkan radikalnya:

.

mengkuadratkan

Buka tanda kurung dan persingkat
:

di mana kita mendapatkan:

Dengan menggunakan persamaan (2), kita peroleh:

.

Membagi persamaan terakhir dengan
, kita memperoleh persamaan (4), dst.

2) Misalkan sepasang bilangan (x, y) memenuhi persamaan (4) dan misalkan M(x, y) adalah titik yang bersesuaian pada bidang koordinat Oxy.

Kemudian dari (4) sebagai berikut:

.

Kami mengganti persamaan ini ke dalam ekspresi jari-jari fokus titik M:

.

Di sini kami menggunakan persamaan (2) dan (3).

Dengan demikian,
. Juga,
.

Sekarang perhatikan bahwa dari persamaan (4) berikut ini

atau
dll.
, maka pertidaksamaannya sebagai berikut:

.

Oleh karena itu, pada gilirannya, berikut ini

atau
Dan

,
. (5)

Dari persamaan (5) berikut ini
, yaitu titik M(x, y) adalah titik elips, dan seterusnya.

Teorema tersebut telah terbukti.

Definisi. Persamaan (4) disebut persamaan kanonik elips.

Definisi. Sumbu koordinat kanonik elips disebut sumbu utama elips.

Definisi. Asal usul sistem koordinat kanonik elips disebut pusat elips.

ayat 3. Properti elips.

Dalil. (Sifat elips.)

1. Dalam sistem koordinat kanonik untuk elips, semuanya

titik-titik elips berada pada persegi panjang

,
.

2. Poinnya terletak pada

3. Elips adalah kurva yang simetris terhadap

sumbu utama mereka.

4. Pusat elips adalah pusat simetrinya.

Bukti. 1, 2) Langsung mengikuti persamaan kanonik elips.

3, 4) Misalkan M(x, y) adalah titik sembarang pada elips. Maka koordinatnya memenuhi persamaan (4). Namun koordinat titik-titik tersebut juga memenuhi persamaan (4), dan oleh karena itu, merupakan titik-titik elips, yang kemudian menjadi dasar pernyataan teorema.

Teorema tersebut telah terbukti.

Definisi. Besaran 2a disebut sumbu mayor elips, besaran a disebut sumbu semi mayor elips.

Definisi. Besaran 2b disebut sumbu minor elips, besaran b disebut sumbu semiminor elips.

Definisi. Titik potong elips dengan sumbu utamanya disebut titik sudut elips.

Komentar. Elips dapat dibuat sebagai berikut. Di pesawat, kami “menancapkan paku ke titik fokus” dan mengikatkan seutas benang ke titik tersebut
. Lalu kita ambil pensil dan gunakan untuk mengencangkan benang. Kemudian kita gerakkan ujung pensil di sepanjang bidang, pastikan benangnya kencang.

Dari definisi eksentrisitas berikut ini

Mari kita perbaiki bilangan a dan arahkan bilangan c ke nol. Lalu di
,
Dan
. Dalam batas yang kita dapatkan

atau
– persamaan lingkaran.

Sekarang mari kita arahkan
. Kemudian
,
dan kita melihat bahwa pada batas elips merosot menjadi ruas garis lurus
dalam notasi Gambar 3.

ayat 4. Persamaan parametrik elips.

Dalil. Membiarkan
– bilangan real sembarang. Kemudian sistem persamaan

,
(6)

adalah persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik untuk elips.

Bukti. Cukup dibuktikan bahwa sistem persamaan (6) ekuivalen dengan persamaan (4), yaitu. mereka memiliki serangkaian solusi yang sama.

1) Misalkan (x, y) adalah solusi sembarang untuk sistem (6). Bagi persamaan pertama dengan a, persamaan kedua dengan b, kuadratkan kedua persamaan dan tambahkan:

.

Itu. setiap solusi (x, y) dari sistem (6) memenuhi persamaan (4).

2) Sebaliknya, misalkan pasangan (x, y) menjadi solusi persamaan (4), yaitu.

.

Dari persamaan ini diperoleh titik dengan koordinat
terletak pada lingkaran yang berjari-jari satuan dengan pusat di titik asal, yaitu. adalah suatu titik pada lingkaran trigonometri yang mempunyai sudut tertentu
:

Dari pengertian sinus dan cosinus langsung berikut ini

,
, Di mana
, maka pasangan (x, y) adalah solusi sistem (6), dst.

Teorema tersebut telah terbukti.

Komentar. Elips dapat diperoleh sebagai hasil “kompresi” seragam lingkaran berjari-jari a terhadap sumbu absis.

Membiarkan
– persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal. “Kompresi” lingkaran ke sumbu absis tidak lebih dari transformasi bidang koordinat, yang dilakukan menurut aturan berikut. Untuk setiap titik M(x, y) kita mengasosiasikan sebuah titik pada bidang yang sama
, Di mana
,
– koefisien “kompresi”.

Dengan transformasi ini, setiap titik pada lingkaran “bertransisi” ke titik lain pada bidang yang memiliki absis yang sama, tetapi ordinatnya lebih kecil. Mari kita nyatakan ordinat lama suatu titik melalui ordinat baru:

dan substitusikan lingkaran ke dalam persamaan:

.

Dari sini kita mendapatkan:

. (7)

Oleh karena itu, jika sebelum transformasi “kompresi”, titik M(x, y) terletak pada lingkaran, yaitu. koordinatnya memenuhi persamaan lingkaran, kemudian setelah transformasi “kompresi” titik ini “berubah” menjadi titik
, yang koordinatnya memenuhi persamaan elips (7). Jika kita ingin memperoleh persamaan elips dengan sumbu semiminorb, maka kita perlu mengambil faktor kompresi

.

ayat 5. Bersinggungan dengan elips.

Dalil. Membiarkan
– titik sembarang dari elips

.

Maka persamaan garis singgung elips di titik tersebut
memiliki bentuk:

. (8)

Bukti. Cukup dengan memperhatikan kasus ketika titik singgung terletak pada kuartal pertama atau kedua bidang koordinat:
. Persamaan elips pada setengah bidang atas berbentuk:

. (9)

Mari kita gunakan persamaan tangen grafik fungsi
pada intinya
:

Di mana
– nilai turunan suatu fungsi tertentu di suatu titik
. Elips pada kuartal pertama dapat dianggap sebagai grafik fungsi (8). Mari kita cari turunannya dan nilainya di titik singgung:

,

. Di sini kita mengambil keuntungan dari fakta bahwa titik singgung
adalah titik elips dan oleh karena itu koordinatnya memenuhi persamaan elips (9), yaitu.

.

Kami mengganti nilai turunan yang ditemukan ke dalam persamaan tangen (10):

,

di mana kita mendapatkan:

Ini menyiratkan:

Mari kita bagi persamaan ini dengan
:

.

Perlu dicatat bahwa
, Karena dot
milik elips dan koordinatnya memenuhi persamaannya.

Persamaan tangen (8) dibuktikan dengan cara yang sama pada titik singgung yang terletak pada kuarter ketiga atau keempat bidang koordinat.

Dan terakhir, kita dapat dengan mudah memverifikasi bahwa persamaan (8) memberikan persamaan tangen pada titik-titiknya
,
:

atau
, Dan
atau
.

Teorema tersebut telah terbukti.

ayat 6. Properti cermin elips.

Dalil. Garis singgung elips mempunyai sudut yang sama besar dengan jari-jari fokus titik singgung tersebut.

Membiarkan
– titik kontak,
,
– jari-jari fokus titik singgung, P dan Q – proyeksi fokus pada garis singgung yang ditarik ke elips di titik tersebut
.

Teorema menyatakan bahwa

. (11)

Persamaan ini dapat diartikan sebagai persamaan sudut datang dan pantulan seberkas cahaya dari suatu elips yang dilepaskan dari fokusnya. Properti ini disebut properti cermin elips:

Seberkas cahaya yang dilepaskan dari fokus elips, setelah dipantulkan dari cermin elips, melewati fokus elips yang lain.

Bukti teorema. Untuk membuktikan persamaan sudut (11), kita akan membuktikan kesebangunan segitiga
Dan
, di mana para pihak
Dan
akan serupa. Karena segitiga-segitiga itu siku-siku, maka persamaannya sudah cukup untuk dibuktikan

Definisi. Elips adalah tempat kedudukan titik-titik geometri pada suatu bidang, yang jumlah jarak masing-masing titik tersebut dari dua titik tertentu pada bidang tersebut, yang disebut fokus, adalah nilai konstan (asalkan nilai ini lebih besar dari jarak antara fokus) .

Mari kita nyatakan fokus melalui jarak di antara mereka - melalui , dan nilai konstan, sama dengan jumlahnya jarak dari setiap titik elips ke fokus, melalui (sesuai kondisi).

Mari kita buat sistem koordinat Kartesius sehingga fokusnya berada pada sumbu absis, dan titik asal koordinat bertepatan dengan titik tengah segmen (Gbr. 44). Maka fokusnya akan mempunyai koordinat sebagai berikut: fokus kiri dan fokus kanan. Mari kita turunkan persamaan elips pada sistem koordinat yang kita pilih. Untuk tujuan ini, pertimbangkan titik sembarang dari elips. Menurut definisi elips, jumlah jarak dari titik ini ke fokus adalah:

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, kita peroleh

Untuk menyederhanakan persamaan ini, kita tuliskan dalam bentuk

Kemudian mengkuadratkan kedua ruas persamaan, kita peroleh

atau, setelah penyederhanaan yang jelas:

Sekarang kita kuadratkan kedua ruas persamaan lagi, setelah itu kita mendapatkan:

atau, setelah transformasi identik:

Karena menurut syarat definisi elips, maka bilangan tersebut positif. Mari kita perkenalkan notasinya

Maka persamaannya akan berbentuk sebagai berikut:

Berdasarkan definisi elips, koordinat setiap titiknya memenuhi persamaan (26). Namun persamaan (29) merupakan konsekuensi dari persamaan (26). Akibatnya, hal ini juga dipenuhi oleh koordinat titik mana pun pada elips.

Dapat ditunjukkan bahwa koordinat titik-titik yang tidak terletak pada elips tidak memenuhi persamaan (29). Jadi persamaan (29) merupakan persamaan elips. Ini disebut persamaan kanonik elips.

Mari kita tentukan bentuk elips menggunakan persamaan kanoniknya.

Pertama-tama, mari kita perhatikan fakta bahwa persamaan ini hanya berisi derajat genap x dan y. Artinya, jika suatu titik termasuk dalam elips, maka titik tersebut juga memuat titik yang simetris dengan titik terhadap sumbu absis, dan titik yang simetris dengan titik terhadap sumbu ordinat. Jadi, elips memiliki dua sumbu simetri yang saling tegak lurus, yang dalam sistem koordinat pilihan kita berimpit dengan sumbu koordinat. Untuk selanjutnya kita akan menyebut sumbu simetri elips sebagai sumbu elips, dan titik potongnya sebagai pusat elips. Sumbu tempat fokus elips berada (dalam pada kasus ini sumbu x) disebut sumbu fokus.

Mari kita tentukan dulu bentuk elips pada suku pertama. Untuk melakukannya, selesaikan persamaan (28) untuk y:

Jelas sekali di sini , karena y mengambil nilai imajiner. Dengan bertambahnya dari 0 ke a, y berkurang dari b ke 0. Bagian elips yang terletak pada kuarter pertama adalah busur yang dibatasi oleh titik B (0; b) dan terletak pada sumbu koordinat (Gbr. 45). Sekarang dengan menggunakan simetri elips, kita sampai pada kesimpulan bahwa elips memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 45.

Titik potong elips dengan sumbu disebut titik sudut elips. Dari kesimetrian elips, selain simpul, elips juga mempunyai dua simpul lagi (lihat Gambar 45).

Ruas-ruas dan titik-titik penghubung yang berlawanan pada elips, serta panjangnya, masing-masing disebut sumbu mayor dan sumbu minor elips. Bilangan a dan b masing-masing disebut sumbu semi mayor dan sumbu minor elips.

Perbandingan setengah jarak antara fokus dan sumbu semi mayor elips disebut eksentrisitas elips dan biasanya dilambangkan dengan huruf:

Karena , eksentrisitas elips lebih kecil dari kesatuan: Eksentrisitas mencirikan bentuk elips. Memang dari rumus (28) dapat disimpulkan bahwa semakin kecil eksentrisitas elips, semakin kecil perbedaan sumbu semi minor b dengan sumbu semi mayor a, yaitu semakin tidak memanjang elips tersebut (sepanjang sumbu fokus).

Dalam kasus pembatas, hasilnya adalah lingkaran berjari-jari a: , atau . Pada saat yang sama, fokus elips tampak menyatu pada satu titik - pusat lingkaran. Eksentrisitas lingkaran adalah nol:

Hubungan antara elips dan lingkaran dapat dibuat dari sudut pandang lain. Mari kita tunjukkan bahwa elips dengan sumbu semi a dan b dapat dianggap sebagai proyeksi lingkaran berjari-jari a.

Mari kita perhatikan dua bidang P dan Q, yang saling membentuk sudut a, yang mana (Gbr. 46). Mari kita buat sistem koordinat pada bidang P, dan pada bidang Q sebuah sistem Oxy dengan titik asal O yang sama dan sumbu absis yang sama berimpit dengan garis perpotongan bidang tersebut. Perhatikan sebuah lingkaran pada bidang P

dengan pusat di titik asal dan jari-jari sama dengan a. Misalkan adalah titik yang dipilih secara acak pada lingkaran, menjadi proyeksinya pada bidang Q, dan menjadi proyeksi titik M pada sumbu Ox. Mari kita tunjukkan bahwa titik tersebut terletak pada elips dengan sumbu semi a dan b.

Garis orde kedua.
Elips dan persamaan kanoniknya. Lingkaran

Setelah mempelajarinya secara menyeluruh garis lurus pada bidang tersebut Kami terus mempelajari geometri dunia dua dimensi. Taruhannya berlipat ganda dan saya mengundang Anda untuk mengunjungi galeri elips, hiperbola, parabola yang indah, yang merupakan perwakilan khas garis orde kedua. Tamasya sudah dimulai, dan yang pertama informasi singkat tentang keseluruhan pameran di berbagai lantai museum:

Konsep garis aljabar dan keteraturannya

Garis pada suatu bidang disebut aljabar, jika di sistem koordinat affine persamaannya berbentuk , dimana merupakan polinomial yang terdiri dari suku-suku yang berbentuk ( – bilangan real, – bilangan bulat non-negatif).

Seperti yang Anda lihat, persamaan garis aljabar tidak mengandung sinus, cosinus, logaritma, dan beau monde fungsional lainnya. Hanya X dan Y yang masuk bilangan bulat non-negatif derajat.

Urutan garis sama dengan nilai maksimum syarat-syarat yang termasuk di dalamnya.

Menurut teorema yang sesuai, konsep garis aljabar, serta urutannya, tidak bergantung pada pilihan sistem koordinat affine, oleh karena itu, untuk kemudahan keberadaan, kami berasumsi bahwa semua perhitungan selanjutnya dilakukan di Koordinat Kartesius.

Persamaan umum baris orde kedua berbentuk , dimana – bilangan real sembarang (Merupakan kebiasaan untuk menulisnya dengan faktor dua), dan koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Jika , maka persamaan disederhanakan menjadi , dan jika koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang sama, maka ini tepat persamaan umum garis “datar”., yang mewakili baris pesanan pertama.

Banyak yang telah memahami arti istilah baru ini, namun, untuk 100% menguasai materi, kami memasukkan jari kami ke dalam soket. Untuk menentukan urutan baris, Anda perlu melakukan iterasi semua persyaratan persamaannya dan temukan masing-masing persamaannya jumlah derajat variabel masuk.

Misalnya:

istilah tersebut mengandung “x” pangkat 1;
istilah tersebut mengandung “Y” pangkat 1;
Tidak ada variabel dalam suku tersebut, jadi jumlah pangkatnya adalah nol.

Sekarang mari kita cari tahu mengapa persamaan tersebut mendefinisikan garis Kedua memesan:

istilahnya mengandung “x” pangkat 2;
penjumlahannya mempunyai jumlah pangkat variabel: 1 + 1 = 2;
istilahnya mengandung “Y” pangkat 2;
semua istilah lainnya - lebih sedikit derajat.

Nilai maksimum: 2

Jika kita menambahkan tambahan, katakanlah, ke persamaan kita, maka persamaan tersebut sudah menentukan baris urutan ketiga. Jelaslah bahwa bentuk umum persamaan garis orde ke-3 berisi “himpunan lengkap” suku-suku, yang jumlah pangkat variabelnya sama dengan tiga:
, di mana koefisiennya tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Jika Anda menambahkan satu atau lebih istilah yang sesuai yang mengandung , maka kita akan membicarakannya baris pesanan ke-4, dll.

Kita harus menemukan garis aljabar orde 3, 4 dan lebih tinggi lebih dari satu kali, khususnya, ketika mengenal sistem koordinat kutub.

Namun, mari kembali ke persamaan umum dan mengingat variasi sekolah yang paling sederhana. Sebagai contoh, sebuah parabola muncul, persamaannya dapat dengan mudah direduksi menjadi penampilan umum, dan hiperbola dengan persamaan ekuivalen. Namun, tidak semuanya mulus...

Kelemahan yang signifikan dari persamaan umum ini adalah hampir selalu tidak jelas garis mana yang didefinisikan. Bahkan dalam kasus paling sederhana sekalipun, Anda tidak akan langsung menyadari bahwa ini adalah hiperbola. Tata letak seperti itu hanya bagus di pesta topeng, jadi dalam kursus geometri analitik kami akan mempertimbangkannya tugas khas membawa persamaan garis orde 2 ke bentuk kanonik.

Apa bentuk persamaan kanonik?

Hal ini diterima secara umum tampilan standar persamaan, ketika dalam hitungan detik menjadi jelas objek geometris apa yang didefinisikannya. Selain itu, bentuk kanonik sangat cocok untuk menyelesaikan banyak hal tugas-tugas praktis. Jadi, misalnya menurut persamaan kanonik lurus "datar"., pertama, langsung terlihat jelas bahwa ini adalah garis lurus, dan kedua, titik miliknya dan vektor arahnya mudah terlihat.

Jelas sekali baris pesanan pertama adalah garis lurus. Di lantai dua, bukan lagi penjaga yang menunggu kami, tetapi sembilan patung yang jauh lebih beragam:

Klasifikasi garis orde kedua

Dengan menggunakan kompleks khusus tindakan, setiap persamaan garis orde kedua direduksi menjadi salah satu bentuk berikut:

(dan merupakan bilangan real positif)

1) – persamaan kanonik elips;

2) – persamaan kanonik hiperbola;

3) – persamaan kanonik parabola;

4) – imajiner elips;

5) – sepasang garis berpotongan;

6) – berpasangan imajiner garis berpotongan (dengan satu titik perpotongan nyata di titik asal);

7) – sepasang garis sejajar;

8) – berpasangan imajiner garis sejajar;

9) – sepasang garis yang berhimpitan.

Beberapa pembaca mungkin mendapat kesan bahwa daftar tersebut tidak lengkap. Misalnya pada poin no. 7, persamaannya menentukan pasangan langsung, sejajar sumbu, dan timbul pertanyaan: dimana persamaan yang menentukan garis sejajar sumbu ordinat? Jawab ini tidak dianggap kanonik. Garis lurus mewakili kasus standar yang sama, diputar 90 derajat, dan entri tambahan dalam klasifikasi adalah mubazir, karena tidak membawa sesuatu yang baru secara fundamental.

Jadi ada sembilan dan hanya sembilan berbagai jenis baris urutan ke-2, tetapi dalam praktiknya paling sering ditemukan elips, hiperbola, dan parabola.

Mari kita lihat elipsnya dulu. Seperti biasa, saya fokus pada poin-poin yang ada sangat penting untuk memecahkan masalah, dan jika Anda memerlukan turunan rumus secara rinci, bukti teorema, silakan merujuk, misalnya, ke buku teks karya Bazylev/Atanasyan atau Aleksandrov.

Elips dan persamaan kanoniknya

Ejaan... tolong jangan ulangi kesalahan beberapa pengguna Yandex yang tertarik dengan "cara membuat elips", "perbedaan antara elips dan oval", dan "eksentrisitas elips".

Persamaan kanonik elips berbentuk , dimana bilangan real positif, dan . Saya akan merumuskan definisi elips nanti, tetapi untuk sekarang saatnya istirahat dari pembicaraan dan memecahkan masalah umum:

Bagaimana cara membuat elips?

Ya, ambil saja dan gambar saja. Tugas tersebut sering muncul, dan sebagian besar siswa tidak dapat menguasai gambar dengan benar:

Contoh 1

Buatlah elips yang diberikan oleh persamaan

Larutan: Pertama, mari kita bawa persamaannya ke bentuk kanonik:

Mengapa membawa? Salah satu kelebihan persamaan kanonik adalah memungkinkan Anda menentukan secara instan simpul elips, yang terletak di titik-titik. Sangat mudah untuk melihat bahwa koordinat masing-masing titik memenuhi persamaan.

Pada kasus ini :


Segmen garis ditelepon poros utama elips;
segmen garis – sumbu kecil;
nomor ditelepon poros semi mayor elips;
nomor – sumbu kecil.
dalam contoh kita: .

Untuk membayangkan dengan cepat seperti apa elips tertentu, lihat saja nilai “a” dan “be” dari persamaan kanoniknya.

Semuanya baik-baik saja, rapi dan indah, tetapi ada satu peringatan: Saya membuat gambar menggunakan program. Dan Anda dapat membuat gambarnya menggunakan aplikasi apa saja. Namun, di kenyataan pahit Ada selembar kertas kotak-kotak di atas meja, dan tikus-tikus menari berputar-putar di tangan kami. Orang dengan bakat seni tentu saja bisa berdebat, tapi Anda juga punya tikus (walaupun lebih kecil). Bukan sia-sia umat manusia menemukan penggaris, kompas, busur derajat, dan alat sederhana lainnya untuk menggambar.

Karena alasan ini, kita tidak mungkin dapat menggambar elips secara akurat hanya dengan mengetahui simpulnya saja. Tidak apa-apa jika elipsnya kecil, misalnya dengan setengah sumbu. Alternatifnya, Anda dapat memperkecil skala dan, karenanya, dimensi gambar. Tapi di kasus umum Sangat diinginkan untuk mencari poin tambahan.

Ada dua pendekatan untuk membangun elips - geometris dan aljabar. Saya tidak suka konstruksi menggunakan kompas dan penggaris karena algoritmenya bukan yang terpendek dan gambarnya sangat berantakan. Dalam keadaan darurat, silakan merujuk ke buku teks, namun kenyataannya jauh lebih rasional menggunakan alat aljabar. Dari persamaan elips pada rancangan kita dengan cepat menyatakan:

Persamaan tersebut kemudian dipecah menjadi dua fungsi:
– mendefinisikan busur atas elips;
– mendefinisikan busur bawah elips.

Elips yang ditentukan oleh persamaan kanonik adalah simetris terhadap sumbu koordinat, serta terhadap titik asal. Dan ini bagus - simetri hampir selalu menjadi pertanda barang gratis. Jelasnya, menangani kuarter koordinat 1 saja sudah cukup, jadi kita membutuhkan fungsinya . Ini menimbulkan pertanyaan untuk menemukan poin tambahan dengan absis . Mari ketuk tiga pesan SMS di kalkulator:

Tentu saja, menyenangkan juga jika terjadi kesalahan serius dalam perhitungan, hal itu akan segera menjadi jelas selama konstruksi.

Tandai titik-titik pada gambar (warna merah), titik-titik simetris pada busur yang tersisa ( Warna biru) dan dengan hati-hati menghubungkan seluruh perusahaan dengan sebuah garis:


Lebih baik menggambar sketsa awal dengan sangat tipis, dan baru kemudian memberi tekanan dengan pensil. Hasilnya seharusnya berupa elips yang lumayan bagus. Ngomong-ngomong, mau tahu kurva apa itu?

Definisi elips. Fokus elips dan eksentrisitas elips

Elips adalah kasus spesial bulat telur Kata “oval” tidak boleh dipahami dalam arti filistin (“anak menggambar oval”, dll.). Ini adalah istilah matematika yang memiliki rumusan rinci. Tujuan dari pelajaran ini bukan untuk membahas teori oval dan berbagai jenisnya, yang hampir tidak mendapat perhatian kursus standar geometri analitik. Dan menurut lebih lanjut kebutuhan saat ini, kita segera beralih ke definisi ketat elips:

Elips adalah himpunan semua titik pada bidang, jumlah jarak ke masing-masing titik dari dua titik tertentu, disebut Trik elips, adalah besaran konstan, yang secara numerik sama dengan panjang sumbu utama elips ini: .
Dalam hal ini, jarak antar fokus kurang dari nilai ini: .

Sekarang semuanya akan menjadi lebih jelas:

Bayangkan titik biru “bergerak” sepanjang elips. Jadi, berapa pun titik elips yang kita ambil, jumlah panjang ruasnya akan selalu sama:

Mari kita pastikan bahwa dalam contoh kita, nilai penjumlahannya benar-benar sama dengan delapan. Tempatkan secara mental titik “um” di titik sudut kanan elips, lalu: , yang perlu diperiksa.

Cara lain menggambarnya didasarkan pada definisi elips. Matematika yang lebih tinggi terkadang menjadi penyebab ketegangan dan stres, jadi inilah saatnya untuk melakukan sesi bongkar muat lagi. Silakan ambil kertas Whatman atau selembar karton besar dan tempelkan ke meja dengan dua paku. Ini akan menjadi trik. Ikat benang hijau ke kepala paku yang menonjol dan tarik seluruhnya dengan pensil. Ujung pensil akan berakhir pada titik tertentu yang termasuk dalam elips. Sekarang mulailah menggambar pensil di sepanjang lembaran kertas, jaga agar benang hijau tetap kencang. Lanjutkan prosesnya sampai Anda kembali ke titik pangkal...bagus...gambarnya bisa dicek ke dokter dan guru =)

Bagaimana cara mencari fokus elips?

Dalam contoh di atas, saya menggambarkan titik fokus “yang sudah jadi”, dan sekarang kita akan belajar cara mengekstraknya dari kedalaman geometri.

Jika elips diberikan oleh persamaan kanonik, maka fokusnya memiliki koordinat , dimana itu jarak setiap fokus ke pusat simetri elips.

Perhitungannya lebih sederhana dari sederhana:

! Koordinat spesifik dari fokus tidak dapat diidentifikasi dengan arti “tse”! Saya ulangi bahwa ini memang benar JARAK dari setiap fokus ke pusat(yang pada umumnya tidak harus terletak persis di titik asal).
Oleh karena itu, jarak antar fokus juga tidak dapat dikaitkan dengan posisi kanonik elips. Dengan kata lain, elips dapat dipindahkan ke tempat lain dan nilainya tetap tidak berubah, sedangkan fokusnya secara alami akan berubah koordinatnya. Tolong pertimbangkan saat ini selama studi lebih lanjut tentang topik tersebut.

Eksentrisitas elips dan makna geometrisnya

Eksentrisitas elips adalah rasio yang dapat mengambil nilai dalam rentang tersebut.

Dalam kasus kami:

Mari kita cari tahu bagaimana bentuk elips bergantung pada eksentrisitasnya. Untuk ini perbaiki simpul kiri dan kanan elips yang ditinjau, yaitu nilai sumbu semimayor akan tetap konstan. Maka rumus eksentrisitasnya akan berbentuk: .

Mari kita mulai mendekatkan nilai eksentrisitas pada kesatuan. Hal ini hanya mungkin terjadi jika. Apa artinya? ...ingat triknya . Artinya fokus elips akan “bergerak menjauh” sepanjang sumbu absis menuju simpul samping. Dan, karena “bagian hijau bukanlah karet”, elips pasti akan mulai rata, berubah menjadi sosis yang semakin tipis yang digantung pada porosnya.

Dengan demikian, Bagaimana nilai lebih dekat eksentrisitas elips terhadap kesatuan, semakin memanjang elips tersebut.

Sekarang mari kita contohkan proses sebaliknya: fokus elips berjalan menuju satu sama lain, mendekati tengah. Artinya nilai “ce” semakin mengecil sehingga eksentrisitasnya cenderung nol: .
Dalam hal ini, “segmen hijau” sebaliknya akan “menjadi ramai” dan mulai “mendorong” garis elips ke atas dan ke bawah.

Dengan demikian, Semakin dekat nilai eksentrisitas ke nol, semakin mirip elipsnya... lihat kasus pembatas ketika fokus berhasil disatukan kembali di titik asal:

Lingkaran adalah kasus khusus dari elips

Memang, dalam kasus persamaan sumbu semi, persamaan kanonik elips berbentuk , yang secara refleksif diubah menjadi persamaan lingkaran dengan pusat di titik asal jari-jari “a”, yang terkenal di sekolah.

Dalam prakteknya, notasi dengan huruf “berbicara” “er” lebih sering digunakan: . Jari-jari adalah panjang suatu ruas, dengan setiap titik pada lingkaran berjarak satu jarak radius dari pusatnya.

Perhatikan bahwa definisi elips tetap sepenuhnya benar: fokusnya bertepatan, dan jumlah panjang segmen yang berhimpitan untuk setiap titik pada lingkaran adalah konstan. Karena jarak antara fokus adalah , maka eksentrisitas suatu lingkaran adalah nol.

Membuat lingkaran itu mudah dan cepat, cukup gunakan kompas. Namun, terkadang perlu untuk mengetahui koordinat beberapa titiknya, dalam hal ini kita menggunakan cara yang biasa - kita membawa persamaan tersebut ke bentuk Matanov yang ceria:

– fungsi setengah lingkaran atas;
– fungsi setengah lingkaran bawah.

Setelah itu kita temukan nilai-nilai yang diperlukan, membedakan, mengintegrasikan dan melakukan hal-hal baik lainnya.

Artikel tersebut tentu saja hanya untuk referensi saja, tapi bagaimana Anda bisa hidup di dunia tanpa cinta? Tugas kreatif untuk keputusan independen

Contoh 2

Buatlah persamaan kanonik elips jika salah satu fokus dan sumbu semi minornya diketahui (pusatnya berada di titik asal). Temukan simpul, titik tambahan, dan buat garis pada gambar. Hitung eksentrisitas.

Solusi dan gambar di akhir pelajaran

Mari tambahkan tindakan:

Putar dan terjemahkan paralel elips

Mari kita kembali ke persamaan kanonik elips, yaitu kondisi yang misterinya telah menyiksa pikiran yang ingin tahu sejak pertama kali kurva ini disebutkan. Jadi kami melihat elips , tetapi tidakkah mungkin dalam praktiknya memenuhi persamaan tersebut ? Lagi pula, di sini, tampaknya juga berbentuk elips!

Persamaan seperti ini jarang terjadi, namun bisa saja terjadi. Dan itu sebenarnya mendefinisikan elips. Mari kita demistifikasi:

Konstruksi tersebut menghasilkan elips asli kita yang diputar 90 derajat. Itu adalah, - Ini entri non-kanonik elips . Catatan!- persamaan tidak mendefinisikan elips lainnya, karena tidak ada titik (fokus) pada sumbu yang memenuhi definisi elips.

11.1. Konsep dasar

Mari kita perhatikan garis yang ditentukan oleh persamaan derajat kedua relatif terhadap koordinat saat ini

Koefisien persamaannya adalah bilangan real, tetapi paling sedikit salah satu bilangan A, B, atau C bukan nol. Garis seperti itu disebut garis (kurva) orde kedua. Di bawah ini akan diketahui bahwa persamaan (11.1) mendefinisikan lingkaran, elips, hiperbola atau parabola pada bidang. Sebelum melanjutkan ke pernyataan ini, mari kita pelajari sifat-sifat kurva yang terdaftar.

11.2. Lingkaran

Kurva orde kedua yang paling sederhana adalah lingkaran. Ingatlah bahwa lingkaran berjari-jari R yang berpusat di suatu titik adalah himpunan semua titik M pada bidang yang memenuhi syarat . Misalkan suatu titik dalam sistem koordinat persegi panjang memiliki koordinat x 0, y 0 dan - suatu titik sembarang pada lingkaran (lihat Gambar 48).

Kemudian dari kondisi tersebut diperoleh persamaannya

(11.2)

Persamaan (11.2) dipenuhi oleh koordinat titik mana pun pada lingkaran tertentu dan tidak dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang tidak terletak pada lingkaran.

Persamaan (11.2) disebut persamaan kanonik lingkaran

Khususnya dengan menetapkan dan , kita memperoleh persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal .

Persamaan lingkaran (11.2) setelah transformasi sederhana akan berbentuk . Saat membandingkan persamaan ini dengan persamaan umum (11.1) kurva orde kedua, mudah untuk melihat bahwa dua kondisi terpenuhi untuk persamaan lingkaran:

1) koefisien x 2 dan y 2 sama satu sama lain;

2) tidak ada anggota yang memuat hasil kali xy dari koordinat saat ini.

Mari kita pertimbangkan masalah kebalikannya. Menempatkan nilai dan dalam persamaan (11.1), kita memperoleh

Mari kita ubah persamaan ini:

(11.4)

Oleh karena itu persamaan (11.3) mendefinisikan lingkaran pada kondisi tersebut . Pusatnya ada pada titik tersebut , dan radiusnya

.

Jika , maka persamaan (11.3) berbentuk

.

Itu dipenuhi oleh koordinat satu titik . Dalam hal ini mereka berkata: “lingkaran telah merosot menjadi sebuah titik” (memiliki jari-jari nol).

Jika , lalu persamaan (11.4), dan karena itu persamaan setara(11.3) tidak akan mendefinisikan garis apa pun, karena bagian kanan persamaan (11.4) negatif, dan persamaan kiri tidak negatif (katakanlah: “lingkaran itu imajiner”).

11.3. Elips

Persamaan elips kanonik

Elips adalah himpunan semua titik pada suatu bidang, yang jumlah jarak masing-masing titik ke dua titik tertentu pada bidang tersebut, disebut Trik , adalah nilai konstanta yang lebih besar dari jarak antar fokus.

Mari kita nyatakan fokusnya dengan F 1 Dan F 2, jarak antara keduanya adalah 2 C, dan jumlah jarak dari titik sembarang elips ke fokus adalah 2 A(lihat Gambar 49). Menurut definisi 2 A > 2C, yaitu A > C.

Untuk menurunkan persamaan elips, kita memilih sistem koordinat sehingga fokusnya F 1 Dan F 2 terletak pada sumbunya, dan titik asal bertepatan dengan bagian tengah ruas F 1 F 2. Maka fokusnya akan mempunyai koordinat sebagai berikut: dan .

Misalkan menjadi titik sembarang pada elips. Kemudian menurut definisi elips, yaitu.

Ini pada dasarnya adalah persamaan elips.

Mari kita ubah persamaan (11.5) menjadi lebih banyak tampilan sederhana dengan cara berikut:

Karena A>Dengan, Itu . Ayo taruh

(11.6)

Maka persamaan terakhir akan berbentuk atau

(11.7)

Dapat dibuktikan persamaan (11.7) ekuivalen dengan persamaan aslinya. Ini disebut persamaan elips kanonik .

Elips adalah kurva orde kedua.

Mempelajari bentuk elips menggunakan persamaannya

Mari kita tentukan bentuk elips menggunakan persamaan kanoniknya.

1. Persamaan (11.7) memuat x dan y hanya dalam pangkat genap, jadi jika suatu titik termasuk dalam elips, maka titik tersebut,, juga termasuk dalam elips. Oleh karena itu, elips adalah simetris terhadap sumbu dan, serta terhadap titik, yang disebut pusat elips.

2. Temukan titik potong elips dengan sumbu koordinat. Menempatkan , kita menemukan dua titik dan , di mana sumbu memotong elips (lihat Gambar 50). Dengan memasukkan persamaan (11.7) , kita mencari titik potong elips dengan sumbu: dan . Poin A 1 , Sebuah 2 , B1, B 2 disebut simpul elips. Segmen A 1 Sebuah 2 Dan B 1 B 2, serta panjangnya 2 A dan 2 B dipanggil sebagaimana mestinya sumbu mayor dan minor elips. Angka A Dan B masing-masing disebut besar dan kecil poros gandar elips.

3. Dari persamaan (11.7) diketahui bahwa setiap suku pada ruas kiri tidak lebih dari satu, yaitu. kesenjangan dan atau dan terjadi. Akibatnya, semua titik elips terletak di dalam persegi panjang yang dibentuk oleh garis lurus.

4. Pada persamaan (11.7), jumlah suku non-negatif dan sama dengan satu. Oleh karena itu, jika suatu suku bertambah maka suku lainnya akan berkurang, yaitu jika bertambah maka suku tersebut berkurang dan sebaliknya.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa elips memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 50 (kurva tertutup oval).

Informasi lebih lanjut tentang elips

Bentuk elips bergantung pada rasio. Ketika elips berubah menjadi lingkaran, persamaan elips (11.7) berbentuk . Rasio ini sering digunakan untuk mengkarakterisasi bentuk elips. Perbandingan setengah jarak antara fokus dan sumbu semi mayor elips disebut eksentrisitas elips dan o6o dilambangkan dengan huruf ε (“epsilon”):

dengan 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Hal ini menunjukkan bahwa semakin kecil eksentrisitas elips, maka elips tersebut akan semakin tidak rata; jika kita menetapkan ε = 0, maka elips berubah menjadi lingkaran.

Misalkan M(x;y) adalah titik sembarang pada elips dengan fokus F 1 dan F 2 (lihat Gambar 51). Panjang ruas F 1 M = r 1 dan F 2 M = r 2 disebut jari-jari fokus titik M. Jelas sekali,

Rumusnya berlaku

Garis lurus disebut

Teorema 11.1. Jika adalah jarak dari titik sembarang elips ke suatu fokus, d adalah jarak dari titik yang sama ke direktriks yang bersesuaian dengan fokus tersebut, maka rasionya adalah nilai konstan yang sama dengan eksentrisitas elips:

Dari persamaan (11.6) berikut ini . Jika, maka persamaan (11.7) mendefinisikan elips, yang sumbu mayornya terletak pada sumbu Oy, dan sumbu minornya terletak pada sumbu Ox (lihat Gambar 52). Fokus elips tersebut berada pada titik dan , di mana .

11.4. Hiperbola

Persamaan hiperbola kanonik

Hiperbola adalah himpunan semua titik pada bidang, modulus selisih jarak dari masing-masing titik ke dua titik tertentu pada bidang ini, disebut Trik , adalah nilai konstanta yang lebih kecil dari jarak antar fokus.

Mari kita nyatakan fokusnya dengan F 1 Dan F 2 jarak antara keduanya adalah 2 detik, dan modulus selisih jarak dari setiap titik hiperbola ke fokus yang dilalui 2a. A-priori 2a < 2 detik, yaitu A < C.

Untuk menurunkan persamaan hiperbola, kita memilih sistem koordinat sehingga fokusnya F 1 Dan F 2 terletak pada sumbunya, dan titik asal bertepatan dengan bagian tengah ruas F 1 F 2(lihat Gambar 53). Maka fokusnya akan memiliki koordinat dan

Biarkan menjadi titik sembarang dari hiperbola. Kemudian menurut definisi hiperbola atau , yaitu Setelah penyederhanaan, seperti yang dilakukan saat menurunkan persamaan elips, kita memperoleh persamaan hiperbola kanonik

(11.9)

(11.10)

Hiperbola adalah garis orde kedua.

Mempelajari bentuk hiperbola menggunakan persamaannya

Mari kita tentukan bentuk hiperbola menggunakan persamaan caconicalnya.

1. Persamaan (11.9) memuat x dan y hanya dalam pangkat genap. Oleh karena itu, hiperbola tersebut simetris terhadap sumbu dan , serta terhadap titik, yang disebut pusat hiperbola.

2. Temukan titik potong hiperbola dengan sumbu koordinat. Dengan memasukkan persamaan (11.9), kita menemukan dua titik perpotongan hiperbola dengan sumbu: dan. Memasukkan (11.9), kita mendapatkan , yang mana tidak mungkin. Akibatnya hiperbola tidak memotong sumbu Oy.

Poinnya disebut puncak hiperbola, dan segmen

sumbu nyata , segmen garis - semi-sumbu nyata hiperbola.

Segmen yang menghubungkan titik-titik disebut sumbu imajiner , nomor b - semi-sumbu imajiner . Persegi panjang dengan sisi 2a Dan 2b ditelepon persegi panjang dasar hiperbola .

3. Dari persamaan (11.9) dapat disimpulkan bahwa minuend tidak kurang dari satu, yaitu itu atau . Artinya titik-titik hiperbola terletak di sebelah kanan garis (cabang kanan hiperbola) dan di sebelah kiri garis (cabang kiri hiperbola).

4. Dari persamaan (11.9) hiperbola terlihat bahwa semakin besar maka semakin besar. Hal ini mengikuti fakta bahwa selisihnya mempertahankan nilai konstan sama dengan satu.

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa hiperbola memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar 54 (kurva yang terdiri dari dua cabang tak berhingga).

Asimtot hiperbola

Garis lurus L disebut asimtot kurva tak berbatas K, jika jarak d dari titik M kurva K ke garis lurus ini cenderung nol ketika jarak titik M sepanjang kurva K dari titik asal tidak terbatas. Gambar 55 memberikan ilustrasi konsep asimtot: garis lurus L merupakan asimtot kurva K.

Mari kita tunjukkan bahwa hiperbola mempunyai dua asimtot:

(11.11)

Karena garis lurus (11.11) dan hiperbola (11.9) simetris terhadap sumbu koordinat, cukup dengan mempertimbangkan titik-titik saja dari garis-garis tersebut yang terletak pada kuarter pertama.

Mari kita ambil titik N pada garis lurus yang absisnya x sama dengan titik pada hiperbola (lihat Gambar 56), dan tentukan selisih antara ordinat garis lurus dan cabang hiperbola:

Seperti yang Anda lihat, seiring bertambahnya x, penyebut pecahan bertambah; pembilangnya adalah nilai konstan. Oleh karena itu, panjang ruas tersebut ΜΝ cenderung nol. Karena MΝ lebih besar dari jarak d dari titik M ke garis, maka d cenderung nol. Jadi, garis-garis tersebut merupakan asimtot hiperbola (11.9).

Saat membuat hiperbola (11.9), disarankan untuk terlebih dahulu membuat persegi panjang utama hiperbola (lihat Gambar 57), menggambar garis lurus yang melalui titik-titik yang berlawanan dari persegi panjang ini - asimtot hiperbola dan tandai titik-titik tersebut dan , dari hiperbola.

Persamaan hiperbola sama sisi.

asimtotnya merupakan sumbu koordinat

Hiperbola (11.9) disebut sama sisi jika sumbu semi-nya sama dengan (). Persamaan kanoniknya

(11.12)

Asimtot hiperbola sama sisi mempunyai persamaan dan oleh karena itu merupakan garis bagi sudut koordinat.

Mari kita perhatikan persamaan hiperbola ini dalam sistem koordinat baru (lihat Gambar 58), diperoleh dari sistem lama dengan memutar sumbu koordinat sebesar sudut. Kami menggunakan rumus untuk memutar sumbu koordinat:

Kita substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan (11.12):

Persamaan hiperbola sama sisi, yang sumbu Sapi dan Oy asimtotnya, akan berbentuk .

Informasi lebih lanjut tentang hiperbola

Keanehan hiperbola (11.9) adalah perbandingan jarak antara fokus dengan nilai sumbu nyata hiperbola, dilambangkan dengan:

Karena untuk hiperbola , eksentrisitas hiperbola lebih besar dari satu: . Eksentrisitas mencirikan bentuk hiperbola. Memang, dari persamaan (11.10) maka yaitu. Dan .

Dari sini terlihat bahwa semakin kecil eksentrisitas suatu hiperbola maka semakin kecil perbandingan sumbu-sumbunya, sehingga persegi panjang utamanya semakin memanjang.

Eksentrisitas hiperbola sama sisi adalah. Benar-benar,

Jari-jari fokus Dan untuk titik-titik cabang kanan hiperbola berbentuk dan , dan untuk cabang kiri - Dan .

Garis lurus disebut direktriks hiperbola. Karena untuk hiperbola ε > 1, maka . Artinya direktriks kanan terletak di antara pusat dan titik sudut kanan hiperbola, direktriks kiri terletak di antara pusat dan titik sudut kiri.

Direktriks hiperbola mempunyai sifat yang sama dengan direktriks elips.

Kurva yang didefinisikan oleh persamaan tersebut juga merupakan hiperbola, sumbu nyata 2b terletak pada sumbu Oy, dan sumbu imajiner 2 A- pada sumbu Kerbau. Pada Gambar 59 ditampilkan sebagai garis putus-putus.

Jelaslah bahwa hiperbola memiliki asimtot yang sama. Hiperbola seperti ini disebut konjugat.

11.5. Parabola

Persamaan parabola kanonik

Parabola adalah himpunan semua titik pada suatu bidang, yang masing-masing titiknya mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu, yang disebut fokus, dan suatu garis tertentu, yang disebut direktriks. Jarak fokus F ke direktriks disebut parameter parabola dan dilambangkan dengan p (p > 0).

Untuk menurunkan persamaan parabola, kita memilih sistem koordinat Oxy sehingga sumbu Ox melalui fokus F tegak lurus terhadap direktriks dengan arah dari direktriks ke F, dan titik asal koordinat O terletak di tengah-tengah antara fokus dan direktriks (lihat Gambar 60). Dalam sistem yang dipilih, fokus F mempunyai koordinat , dan persamaan direktriksnya berbentuk , atau .

1. Pada persamaan (11.13) variabel y pangkat genap, artinya parabola simetris terhadap sumbu Ox; Sumbu Sapi merupakan sumbu simetri parabola.

2. Karena ρ > 0, maka dari (11.13) dapat disimpulkan bahwa . Oleh karena itu, parabola terletak di sebelah kanan sumbu Oy.

3. Jika kita mempunyai y = 0. Oleh karena itu, parabola melewati titik asal.

4. Ketika x bertambah tanpa batas, modul y juga bertambah tanpa batas. Parabola mempunyai bentuk (bentuk) seperti pada Gambar 61. Titik O(0; 0) disebut titik puncak parabola, ruas FM = r disebut jari-jari fokus titik M.

Persamaan , , ( p>0) juga mendefinisikan parabola, ditunjukkan pada Gambar 62

Sangat mudah untuk menunjukkan grafik itu trinomial kuadrat, dimana , B dan C adalah sembarang bilangan real, merupakan parabola sesuai dengan definisi yang diberikan di atas.

11.6. Persamaan umum garis orde kedua

Persamaan kurva orde dua dengan sumbu simetri sejajar sumbu koordinat

Mari kita cari dulu persamaan elips yang berpusat di titik yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu koordinat Ox dan Oy serta sumbu semi-nya masing-masing sama besar. A Dan B. Mari kita tempatkan di tengah elips O 1 awal dari sistem koordinat baru, yang sumbu dan semi-sumbunya A Dan B(lihat Gambar 64):

Terakhir, parabola yang ditunjukkan pada Gambar 65 memiliki persamaan yang bersesuaian.

Persamaannya

Persamaan elips, hiperbola, parabola, dan persamaan lingkaran setelah transformasi (kurung buka, pindahkan semua suku persamaan ke satu sisi, bawa suku-suku sejenis, masukkan notasi baru untuk koefisien) dapat ditulis menggunakan persamaan tunggal membentuk

dimana koefisien A dan C tidak sama dengan nol pada saat yang bersamaan.

Timbul pertanyaan: apakah setiap persamaan bentuk (11.14) menentukan salah satu kurva (lingkaran, elips, hiperbola, parabola) orde kedua? Jawabannya diberikan oleh teorema berikut.

Teorema 11.2. Persamaan (11.14) selalu mendefinisikan: lingkaran (untuk A = C), atau elips (untuk AC > 0), atau hiperbola (untuk AC< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Persamaan umum orde kedua

Sekarang mari kita pertimbangkan persamaan umum derajat kedua dengan dua hal yang tidak diketahui:

Berbeda dengan persamaan (11.14) dengan adanya suku dengan hasil kali koordinat (B¹ 0). Dengan memutar sumbu koordinat sebesar sudut a, persamaan ini dapat diubah sehingga suku dengan hasil kali koordinat tidak ada.

Menggunakan rumus rotasi sumbu

Mari kita nyatakan koordinat lama ke dalam koordinat baru:

Mari kita pilih sudut a sehingga koefisien untuk x" · y" menjadi nol, yaitu persamaan

Jadi, ketika sumbu diputar dengan sudut a yang memenuhi kondisi (11.17), persamaan (11.15) direduksi menjadi persamaan (11.14).

Kesimpulan: persamaan umum orde kedua (11.15) mendefinisikan pada bidang (kecuali untuk kasus degenerasi dan peluruhan) kurva berikut: lingkaran, elips, hiperbola, parabola.

Catatan: Jika A = C, maka persamaan (11.17) menjadi tidak ada artinya. Dalam hal ini, cos2α = 0 (lihat (11.16)), maka 2α = 90°, yaitu α = 45°. Jadi, ketika A = C, sistem koordinatnya harus diputar 45°.

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang, jumlah jarak dari masing-masing titik tersebut ke dua titik tertentu F_1, dan F_2 adalah nilai konstanta (2a) yang lebih besar dari jarak (2c) antara titik-titik tersebut poin yang diberikan(Gbr. 3.36, a). Definisi geometris ini mengungkapkan properti fokus elips.

Properti fokus elips

Titik F_1 dan F_2 disebut fokus elips, jarak antara keduanya 2c=F_1F_2 adalah panjang fokus, titik tengah O ruas F_1F_2 adalah pusat elips, angka 2a adalah panjang sumbu mayor elips elips (dengan demikian, angka a adalah sumbu semi-mayor elips). Segmen F_1M dan F_2M yang menghubungkan titik sembarang M pada elips dengan fokusnya disebut jari-jari fokus titik M. Ruas yang menghubungkan dua titik pada suatu elips disebut tali busur elips.

Rasio e=\frac(c)(a) disebut eksentrisitas elips. Dari definisi (2a>2c) maka 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Definisi geometris elips, yang menyatakan sifat fokusnya, setara dengan definisi analitisnya - garis yang diberikan oleh persamaan kanonik elips:

Mari kita perkenalkan sistem koordinat persegi panjang (Gbr. 3.36c). Kita ambil pusat O elips sebagai titik asal sistem koordinat; kita ambil garis lurus yang melalui fokus (sumbu fokus atau sumbu pertama elips) sebagai sumbu absis (arah positifnya adalah dari titik F_1 ke titik F_2); mari kita ambil garis lurus yang tegak lurus sumbu fokus dan melalui pusat elips (sumbu kedua elips) sebagai sumbu ordinat (arah pada sumbu ordinat dipilih agar sistem koordinat persegi panjang Oxy tepat) .

Mari kita buat persamaan elips menggunakan definisi geometrinya, yang menyatakan sifat fokus. Dalam sistem koordinat yang dipilih, kami menentukan koordinat fokus F_1(-c,0),~F_2(c,0). Untuk titik sembarang M(x,y) yang termasuk dalam elips, kita mempunyai:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Menuliskan persamaan ini dalam bentuk koordinat, kita peroleh:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Kita pindahkan radikal kedua ke ruas kanan, kuadratkan kedua ruas persamaan dan bawa suku-suku serupa:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Panah kiri kanan ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Membaginya dengan 4, kita mengkuadratkan kedua ruas persamaan:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Panah Kanan Kiri~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Setelah ditunjuk b=\sqrt(a^2-c^2)>0, kita mendapatkan b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Membagi kedua ruas dengan a^2b^2\ne0, kita sampai pada persamaan kanonik elips:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Oleh karena itu, sistem koordinat yang dipilih bersifat kanonik.

Jika titik fokus elips bertepatan, maka elips tersebut adalah lingkaran (Gbr. 3.36,6), karena a=b. Dalam hal ini, setiap sistem koordinat persegi panjang dengan titik asal di suatu titik akan bersifat kanonik O\ekuivalen F_1\ekuivalen F_2, dan persamaan x^2+y^2=a^2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik O dan berjari-jari sama dengan a.

Dengan bernalar urutan terbalik, dapat ditunjukkan bahwa semua titik yang koordinatnya memenuhi persamaan (3.49), dan hanya titik tersebut, termasuk dalam tempat kedudukan titik-titik geometri yang disebut elips. Dengan kata lain, definisi analitis elips setara dengan definisi geometrinya, yang menyatakan sifat fokus elips.

Properti direktori elips

Direktriks elips adalah dua garis lurus yang sejajar dengan sumbu ordinat sistem koordinat kanonik pada jarak yang sama \frac(a^2)(c) darinya. Pada c=0, jika elips berbentuk lingkaran, tidak ada direktriks (kita dapat berasumsi bahwa direktriks berada pada tak terhingga).

Elips dengan eksentrisitas 0 tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang masing-masing perbandingan jarak ke titik tertentu F (fokus) dengan jarak ke garis lurus tertentu d (direktriks) yang tidak melalui suatu titik tertentu adalah konstan dan sama dengan eksentrisitas e ( properti direktori elips). Di sini F dan d adalah salah satu fokus elips dan salah satu direktriksnya, yang terletak pada salah satu sisi sumbu ordinat sistem koordinat kanonik, yaitu. F_1,d_1 atau F_2,d_2 .

Faktanya, misalnya, untuk fokus F_2 dan direktriks d_2 (Gbr. 3.37,6) kondisinya \frac(r_2)(\rho_2)=e dapat dituliskan dalam bentuk koordinat:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\kanan)

Menyingkirkan irasionalitas dan mengganti e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, kita sampai pada persamaan elips kanonik (3.49). Alasan serupa dapat dilakukan untuk fokus F_1 dan sutradara d_1\titik dua\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Persamaan elips dalam sistem koordinat kutub

Persamaan elips pada sistem koordinat kutub F_1r\varphi (Gbr. 3.37, c dan 3.37 (2)) berbentuk

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

di mana p=\frac(b^2)(a) adalah parameter fokus elips.

Faktanya, mari kita pilih fokus kiri F_1 elips sebagai kutub sistem koordinat kutub, dan sinar F_1F_2 sebagai sumbu kutub (Gbr. 3.37, c). Kemudian untuk titik sembarang M(r,\varphi), menurut definisi geometri (properti fokus) elips, kita mempunyai r+MF_2=2a. Kami menyatakan jarak antara titik M(r,\varphi) dan F_2(2c,0) (lihat paragraf 2 dari keterangan 2.8):

\begin(sejajar)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(sejajar)

Oleh karena itu, dalam bentuk koordinat, persamaan elips F_1M+F_2M=2a berbentuk

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Kami mengisolasi radikal, mengkuadratkan kedua sisi persamaan, membaginya dengan 4 dan menyajikan suku-suku serupa:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\kanan)\!\cdot r=a^2-c^2.

Nyatakan jari-jari kutub r dan lakukan penggantian e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Panah Kanan Kiri \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Arti geometris dari koefisien dalam persamaan elips

Mari kita cari titik potong elips (lihat Gambar 3.37, a) dengan sumbu koordinat (simpul elips). Mengganti y=0 ke dalam persamaan, kita mencari titik potong elips dengan sumbu absis (dengan sumbu fokus): x=\pm a. Jadi, panjang ruas sumbu fokus yang terdapat di dalam elips adalah 2a. Ruas ini, sebagaimana disebutkan di atas, disebut sumbu mayor elips, dan bilangan a adalah sumbu semi mayor elips. Mengganti x=0, kita mendapatkan y=\pm b. Jadi, panjang ruas sumbu kedua elips yang berada di dalam elips adalah 2b. Ruas ini disebut sumbu minor elips, dan bilangan b adalah sumbu semiminor elips.

Benar-benar, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, dan persamaan b=a diperoleh hanya dalam kasus c=0, jika elipsnya berbentuk lingkaran. Sikap k=\frac(b)(a)\leqslant1 disebut rasio kompresi elips.

Catatan 3.9

1. Garis lurus x=\pm a,~y=\pm b membatasi persegi panjang utama pada bidang koordinat, yang di dalamnya terdapat elips (lihat Gambar 3.37, a).

2. Elips dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang diperoleh dengan memampatkan lingkaran ke diameternya.

Misalkan persamaan lingkaran pada sistem koordinat persegi panjang Oxy adalah x^2+y^2=a^2. Ketika dikompresi ke sumbu x dengan koefisien 0

\begin(kasus)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(kasus)

Substitusikan lingkaran x=x" dan y=\frac(1)(k)y" ke dalam persamaan, kita peroleh persamaan koordinat bayangan M"(x",y") dari titik M(x,y ) :

(x")^2+(\kiri(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

sejak b=k\cdot a . Ini adalah persamaan kanonik elips.

3. Sumbu koordinat (sistem koordinat kanonik) adalah sumbu simetri elips (disebut sumbu utama elips), dan pusatnya adalah pusat simetri.

Memang jika titik M(x,y) termasuk dalam elips . maka titik M"(x,-y) dan M""(-x,y), simetris terhadap titik M terhadap sumbu koordinat, juga termasuk dalam elips yang sama.

4. Dari persamaan elips pada sistem koordinat kutub r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(lihat Gambar 3.37, c), ternyata makna geometris parameter fokus adalah setengah panjang tali busur elips yang melalui fokusnya tegak lurus sumbu fokus ( r = p pada \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Eksentrisitas e mencirikan bentuk elips, yaitu selisih antara elips dan lingkaran. Semakin besar e, semakin memanjang elipsnya, dan semakin dekat e ke nol, semakin dekat elips tersebut ke lingkaran (Gbr. 3.38a). Memang, dengan mempertimbangkan bahwa e=\frac(c)(a) dan c^2=a^2-b^2 , kita mendapatkan

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\kiri(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2, !}

di mana k adalah faktor kompresi elips, 0

6. Persamaan \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 di a

7. Persamaan \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b mendefinisikan elips dengan pusat di titik O"(x_0,y_0), yang sumbunya sejajar dengan sumbu koordinat (Gbr. 3.38, c). Persamaan ini direduksi menjadi persamaan kanonik menggunakan terjemahan paralel (3.36).

Ketika a=b=R persamaannya (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 menggambarkan lingkaran berjari-jari R dengan pusat di titik O"(x_0,y_0) .

Persamaan parametrik elips

Persamaan parametrik elips dalam sistem koordinat kanonik memiliki bentuk

\begin(kasus)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(kasus)0\leqslant t<2\pi.

Memang, dengan mengganti ekspresi ini ke persamaan (3.49), kita sampai pada identitas trigonometri utama \cos^2t+\sin^2t=1 .

Contoh 3.20. Gambarlah sebuah elips \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 dalam sistem koordinat kanonik Oxy. Temukan sumbu semi, panjang fokus, eksentrisitas, rasio aspek, parameter fokus, persamaan direktriks.

Larutan. Membandingkan persamaan yang diberikan dengan persamaan kanonik, kita menentukan sumbu semi-sumbu: a=2 - sumbu semi-mayor, b=1 - sumbu semi-minor elips. Kita membuat persegi panjang utama dengan sisi 2a=4,~2b=2 dengan pusat di titik asal (Gbr. 3.39). Mengingat simetri elips, kita memasukkannya ke dalam persegi panjang utama. Jika perlu, tentukan koordinat beberapa titik elips. Misalnya, dengan mensubstitusikan x=1 ke persamaan elips, kita peroleh

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ segi empat y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Oleh karena itu, titik-titik dengan koordinat \kiri(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\kanan)\!,~\kiri(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\kanan)- milik elips.

Menghitung rasio kompresi k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); keanehan e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); parameter fokus p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Kami menyusun persamaan direktriks: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Panah Kanan Kiri~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Untuk melakukan penghitungan, Anda harus mengaktifkan kontrol ActiveX!