Mari kita ganti persamaan asli dengan persamaan yang setara dan buat iterasi sesuai aturan 
. Jadi, metode iterasi sederhana adalah proses iteratif satu langkah. Untuk memulai proses ini, Anda perlu mengetahui perkiraan awal. Mari kita cari tahu kondisi konvergensi metode dan pilihan pendekatan awal.
Tiket#29
Metode Seidel
Metode Seidel (kadang-kadang disebut metode Gauss-Seidel) adalah modifikasi dari metode iterasi sederhana, yang terdiri dari fakta bahwa ketika menghitung perkiraan berikutnya x (k+1) (lihat rumus (1.13), (1.14)) miliknya sudah diperoleh komponen x 1 ( k+1) , ...,xi - 1 (k+1) langsung digunakan untuk menghitung x i (k+1) .
Dalam bentuk notasi koordinat, metode Seidel berbentuk:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k ) + hari
di mana x (0) adalah perkiraan awal terhadap solusi.
Jadi, komponen ke-i dari pendekatan ke-(k+1) dihitung dengan rumus
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
Kondisi berakhirnya proses iteratif Seidel ketika akurasi ε tercapai dalam bentuk yang disederhanakan berbentuk:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ε.
Tiket#30
Metode passing
Untuk menyelesaikan sistem A x = b dengan matriks tridiagonal, metode sapuan paling sering digunakan, yang merupakan adaptasi dari metode Gauss untuk kasus ini.
Mari kita tulis sistem persamaannya
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
dalam bentuk matriks: A x = b dimana
SEBUAH= 
Mari kita tuliskan rumus metode sapuan sesuai urutan penerapannya.
1. Pukulan langsung dengan metode sapuan (perhitungan besaran bantu):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + bi ] / , saya=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Pukulan terbalik metode sapuan (menemukan solusi):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
Tiket#31
Metode iterasi sederhana
Inti dari metode ini iterasi sederhana terdiri dari berpindah dari persamaan
f(x)= 0 (*)
ke persamaan ekuivalen
X=φ(x). (**)
Transisi ini dapat dilakukan cara yang berbeda, tergantung pada jenisnya f(x). Misalnya, Anda bisa memasang
φ(x) = X+bf(x),(***)
Di mana B= konstanta, dan akar-akarnya persamaan asli tidak akan berubah.
Jika perkiraan awal ke akar diketahui x 0, lalu perkiraan baru
x 1=x(0),
itu. skema umum dari proses berulang:
xk+1=φ(xk).(****)
Kriteria paling sederhana untuk mengakhiri proses
|xk +1 -xk |<ε.
Kriteria konvergensi metode iterasi sederhana:
jika dekat root | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого X, maka iterasinya menyatu untuk perkiraan awal apa pun.
Mari kita jelajahi pilihan konstanta B dari sudut pandang memastikan kecepatan konvergensi maksimum. Sesuai dengan kriteria konvergensi, kecepatan konvergensi tertinggi diberikan ketika |φ / (x)| = 0. Sementara itu, berdasarkan (***), b = –1/f / (x), dan rumus iterasi (****) masuk ke x saya =x saya-1 -f(x saya-1)/f/ (x saya-1).- itu. ke dalam rumus metode Newton. Jadi, metode Newton adalah kasus khusus dari metode iterasi sederhana, yang memberikan kecepatan konvergensi tertinggi dari semua opsi yang memungkinkan untuk memilih suatu fungsi. φ(x).
Tiket#32
metode Newton
Ide utama dari metode ini adalah sebagai berikut: perkiraan awal ditentukan di dekat akar hipotetis, setelah itu garis singgung ke fungsi yang diteliti dibangun pada titik perkiraan, di mana perpotongan dengan sumbu absis ditemukan. Poin ini diambil sebagai perkiraan berikutnya. Begitu seterusnya hingga ketelitian yang dibutuhkan tercapai.
Misalkan suatu fungsi bernilai riil yang terdefinisi pada suatu interval dan terdiferensiasi pada interval tersebut. Maka rumus kalkulus aproksimasi iteratif dapat diturunkan sebagai berikut:
dimana α adalah sudut kemiringan garis singgung pada suatu titik.
Oleh karena itu, ekspresi yang diperlukan untuk memiliki bentuk:
Tiket#33
Metode rasio emas
Metode rasio emas memungkinkan Anda menghilangkan interval dengan menghitung hanya satu nilai fungsi pada setiap iterasi. Sebagai hasil dari dua nilai fungsi yang dipertimbangkan, ditentukan interval yang harus digunakan di masa depan. Interval ini akan memuat salah satu titik sebelumnya dan titik berikutnya ditempatkan secara simetris padanya. Titik membagi interval menjadi dua bagian sehingga perbandingan keseluruhan dengan bagian yang lebih besar sama dengan perbandingan bagian yang lebih besar dengan yang lebih kecil, yaitu sama dengan apa yang disebut “rasio emas”.
Membagi interval menjadi beberapa bagian yang tidak sama memungkinkan Anda menemukan metode yang lebih efektif. Mari kita hitung fungsi di ujung segmen [ A,B] dan letakkan A=X 1 , B=X 2. Mari kita hitung juga fungsi di dua titik interior X 3 , X 4. Mari kita bandingkan keempat nilai fungsi tersebut dan pilih yang terkecil di antara mereka. Misalkan yang terkecil ternyata F(x 3). Jelasnya, nilai minimum harus berada di salah satu segmen yang berdekatan dengannya. Oleh karena itu segmen [ X 4 ,B] dapat dibuang dan meninggalkan segmen tersebut. 
Langkah pertama telah diambil. Pada segmen tersebut, Anda perlu memilih dua titik internal lagi, menghitung nilai fungsi di titik tersebut dan di ujungnya, dan mengambil langkah berikutnya. Namun pada langkah perhitungan sebelumnya, kita telah menemukan fungsi di ujung segmen baru dan di salah satu titik dalamnya X 4. Oleh karena itu, cukup memilih satu titik lagi di dalamnya x 5 tentukan nilai fungsi di dalamnya dan buat perbandingan yang diperlukan. Ini melipatgandakan jumlah komputasi yang diperlukan per langkah proses. Apa cara terbaik untuk menempatkan poin? Setiap kali ruas yang tersisa dibagi menjadi tiga bagian dan kemudian salah satu ruas terluar dibuang.
Mari kita nyatakan interval ketidakpastian awal dengan D.
Karena dalam kasus umum, salah satu segmen dapat dibuang X 1, X 3 atau X 4, X 2 lalu pilih poinnya X 3 Dan X 4 sehingga panjang ruas-ruas tersebut sama:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Setelah dibuang, kita mendapatkan interval ketidakpastian panjang yang baru D'.
Mari kita nyatakan hubungannya D/D' dengan huruf φ:
yaitu, mari kita tetapkan, di mana interval ketidakpastian berikutnya. Tetapi
sama panjangnya dengan ruas yang dibuang pada tahap sebelumnya, yaitu
Oleh karena itu kita mendapatkan:
.
Hal ini mengarah pada persamaan atau, setara 
.
Akar positif dari persamaan ini memberi
.
Tiket#34
interpolasi fungsi, mis. Dengan menggunakan fungsi tertentu, buatlah fungsi lain (biasanya lebih sederhana) yang nilainya bertepatan dengan nilai fungsi tertentu pada sejumlah titik tertentu. Selain itu, interpolasi memiliki signifikansi praktis dan teoritis.
Metode iterasi sederhana, juga disebut metode pendekatan berturut-turut, adalah algoritma matematika untuk mencari nilai suatu besaran yang tidak diketahui dengan menyempurnakannya secara bertahap. Inti dari metode ini adalah, seperti namanya, secara bertahap mengungkapkan pendekatan berikutnya dari perkiraan awal, diperoleh hasil yang semakin halus. Metode ini digunakan untuk mencari nilai suatu variabel dalam suatu fungsi tertentu, serta ketika menyelesaikan sistem persamaan, baik linier maupun nonlinier.
Mari kita pertimbangkan bagaimana metode ini diterapkan ketika menyelesaikan SLAE. Metode iterasi sederhana memiliki algoritma berikut:
1. Memeriksa terpenuhinya kondisi konvergensi pada matriks asal. Teorema konvergensi: jika matriks asli sistem memiliki dominasi diagonal (yaitu, pada setiap baris, elemen-elemen diagonal utama harus lebih besar nilai absolutnya daripada jumlah elemen-elemen diagonal sekunder dalam nilai absolut), maka sederhana metode iterasi bersifat konvergen.
2. Matriks sistem asli tidak selalu mempunyai dominasi diagonal. Dalam kasus seperti ini, sistem dapat diubah. Persamaan yang memenuhi kondisi konvergensi tidak disentuh, dan kombinasi linier dibuat dengan persamaan yang tidak memenuhi, yaitu. kalikan, kurangi, tambahkan persamaan satu sama lain hingga diperoleh hasil yang diinginkan.
Jika dalam sistem hasil terdapat koefisien tak tetap pada diagonal utama, maka suku-suku bentuk dengan i * x i ditambahkan pada kedua ruas persamaan tersebut, yang tanda-tandanya harus bertepatan dengan tanda-tanda elemen diagonal.
3. Transformasi sistem yang dihasilkan ke bentuk normal:
x - =β - +α*x -
Hal ini dapat dilakukan dengan banyak cara, misalnya seperti ini: dari persamaan pertama, nyatakan x 1 dalam persamaan lain yang tidak diketahui, dari persamaan kedua - x 2, dari persamaan ketiga - x 3, dst. Dalam hal ini kami menggunakan rumus:
α ij = -(a ij / a ii)
saya = b saya /a ii
Anda harus kembali memastikan bahwa sistem bentuk normal yang dihasilkan memenuhi kondisi konvergensi:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1, sedangkan i= 1,2,...n
4. Faktanya, kita mulai menerapkan metode perkiraan berturut-turut itu sendiri.
x (0) adalah aproksimasi awal, kita nyatakan x (1) melaluinya, kemudian kita nyatakan x (2) melalui x (1). Rumus umum dalam bentuk matriks terlihat seperti ini:
x (n) = β - +α*x (n-1)
Kami menghitung sampai kami mencapai akurasi yang diperlukan:
maks |x saya (k)-x saya (k+1) ≤ ε
Jadi, mari kita praktikkan metode iterasi sederhana. Contoh:
Selesaikan SLAE:
4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 dengan ketelitian ε=10 -3
Mari kita lihat apakah elemen diagonal mendominasi modulus.
Kita melihat bahwa hanya persamaan ketiga yang memenuhi kondisi konvergensi. Kami mengubah persamaan pertama dan kedua, dan menambahkan persamaan kedua ke persamaan pertama:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
Dari yang ketiga kita kurangi yang pertama:
2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
Kami mengubah sistem asli menjadi sistem yang setara:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4
Sekarang mari kita bawa sistem ke bentuk normalnya:
x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2
Kami memeriksa konvergensi proses berulang:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, yaitu syaratnya terpenuhi.
0,3947
Tebakan awal x(0) = 0,4762
0,8511
Mengganti nilai-nilai ini ke dalam persamaan bentuk normal, kita memperoleh nilai-nilai berikut:
0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639
Mengganti nilai-nilai baru, kita mendapatkan:
0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336
Kami melanjutkan perhitungan sampai kami mendekati nilai yang memenuhi kondisi tertentu.
x (7) = 0,441091
Mari kita periksa kebenaran hasil yang diperoleh:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
Hasil yang diperoleh dengan mensubstitusi nilai-nilai yang ditemukan ke dalam persamaan asli sepenuhnya memenuhi kondisi persamaan.
Seperti yang bisa kita lihat, metode iterasi sederhana memberikan hasil yang cukup akurat, namun untuk menyelesaikan persamaan ini kita harus menghabiskan banyak waktu dan melakukan perhitungan yang rumit.
Misalkan sistem yang terdiri dari n persamaan aljabar dengan n persamaan yang tidak diketahui diberikan:
Algoritma untuk metode iterasi sederhana:
Perhatikan bahwa di sini dan selanjutnya, subskrip menunjukkan komponen yang sesuai dari vektor yang tidak diketahui, dan superskrip menunjukkan nomor iterasi (perkiraan).
Kemudian terbentuklah proses matematika siklik yang setiap siklusnya mewakili satu iterasi. Sebagai hasil dari setiap iterasi, diperoleh nilai baru dari vektor yang tidak diketahui. Untuk mengatur proses berulang, kami menulis sistem (1) dalam bentuk tereduksi. Dalam hal ini, suku-suku pada diagonal utama dinormalisasi dan tetap berada di sebelah kiri tanda sama dengan, dan sisanya dipindahkan ke ruas kanan. Sistem persamaan tereduksi memiliki bentuk:
perhatikan itu tidak akan pernah tercapai, tetapi dengan setiap iterasi berikutnya, vektor yang tidak diketahui semakin mendekati solusi eksak.
12. Rumus dasar iterasi yang digunakan pada metode iterasi sederhana untuk menyelesaikan persamaan nonlinier:
13. Kriteria penghentian proses iterasi pada metode iterasi sederhana untuk menyelesaikan persamaan nonlinier:
Proses iterasi berakhir jika untuk setiap komponen ke-i dari vektor yang tidak diketahui kondisi untuk mencapai akurasi terpenuhi.
perhatikan itu solusi tepat dalam metode iterasi sederhana tidak akan pernah tercapai, namun, dengan setiap iterasi berikutnya, vektor yang tidak diketahui semakin mendekati solusi eksak
14. Kriteria pemilihan fungsi bantu F(x) untuk segmen iteratif interval:
Pada saat mengerjakan tes matematika penyelesaian metode iterasi sederhana, kondisi konvergensi harus diperiksa terlebih dahulu. Agar metode dapat konvergen, dalam matriks A nilai absolut semua elemen diagonal harus lebih besar daripada jumlah modulus semua elemen lain pada baris yang bersesuaian:
Kerugian dari metode berulang Ini adalah kondisi konvergensi yang agak ketat, yang tidak dipenuhi untuk semua sistem persamaan.
Jika kondisi konvergensi terpenuhi, maka pada tahap selanjutnya perlu ditentukan pendekatan awal dari vektor yang tidak diketahui, yang biasanya merupakan vektor nol:
15. Metode Gauss, yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, memberikan:
Metode ini didasarkan pada pengubahan matriks menjadi bentuk segitiga. Hal ini dicapai dengan menghilangkan hal-hal yang tidak diketahui secara berurutan dari persamaan sistem.
Metode iterasi sederhana didasarkan pada penggantian persamaan asli dengan persamaan ekuivalen:
Biarkan perkiraan awal ke akar diketahui x = x 0. Menggantinya ke ruas kanan persamaan (2.7), kita memperoleh perkiraan baru 
, lalu dengan cara yang sama kita dapatkan 
dll.:
. (2.8)
 |
Tidak dalam semua kondisi, proses iteratif konvergen ke akar persamaan X. Mari kita lihat lebih dekat proses ini. Gambar 2.6 menunjukkan interpretasi grafis dari proses konvergen dan divergen satu arah. Gambar 2.7 menunjukkan proses konvergen dan divergen dua arah. Proses divergen ditandai dengan peningkatan pesat dalam nilai argumen dan fungsi serta penghentian program terkait secara tidak normal.
 |
Dengan proses dua arah, perputaran dimungkinkan, yaitu pengulangan fungsi dan nilai argumen yang sama tanpa henti. Perulangan memisahkan proses divergen dari proses konvergen.
Dari grafik terlihat jelas bahwa untuk proses satu sisi dan dua sisi, konvergensi ke akar ditentukan oleh kemiringan kurva di dekat akar. Semakin kecil kemiringannya, semakin baik konvergensinya. Sebagaimana diketahui, garis singgung kemiringan suatu kurva sama dengan turunan kurva pada suatu titik tertentu.
Oleh karena itu, semakin kecil angka di dekat akar, semakin cepat proses konvergennya.
Agar proses iterasi menjadi konvergen, pertidaksamaan berikut harus dipenuhi di sekitar akar:
Peralihan dari persamaan (2.1) ke persamaan (2.7) dapat dilakukan dengan berbagai cara tergantung pada jenis fungsinya f(x). Dalam transisi seperti itu, fungsi tersebut perlu dibangun agar kondisi konvergensi (2.9) terpenuhi.
Mari kita perhatikan salah satu algoritma umum untuk transisi dari persamaan (2.1) ke persamaan (2.7).
Mari kalikan ruas kiri dan kanan persamaan (2.1) dengan konstanta sembarang B dan tambahkan yang tidak diketahui ke kedua bagian X. Dalam hal ini, akar persamaan awal tidak akan berubah:
Mari kita perkenalkan notasinya 
dan mari kita beralih dari relasi (2.10) ke persamaan (2.8).
 |
Pilihan konstanta yang sewenang-wenang B akan memastikan terpenuhinya kondisi konvergensi (2.9). Kriteria untuk mengakhiri proses iteratif adalah kondisi (2.2). Gambar 2.8 menunjukkan interpretasi grafis dari metode iterasi sederhana menggunakan metode representasi yang dijelaskan (skala sepanjang sumbu X dan Y berbeda).
Jika suatu fungsi dipilih dalam bentuk , maka turunan dari fungsi tersebut adalah . Maka, kecepatan konvergensi tertinggi adalah pada 
dan rumus iterasi (2.11) masuk ke rumus Newton. Dengan demikian, metode Newton memiliki derajat konvergensi tertinggi dari semua proses iteratif.
Implementasi perangkat lunak metode iterasi sederhana ini dibuat dalam bentuk prosedur subrutin Itera(PROGRAM 2.1).
Keseluruhan prosedur secara praktis terdiri dari satu siklus Ulangi ... Sampai, menerapkan rumus (2.11) dengan memperhatikan kondisi penghentian proses iteratif (rumus (2.2)).
Prosedur ini memiliki perlindungan loop bawaan dengan menghitung jumlah loop menggunakan variabel Niter. Di kelas praktik, Anda perlu memastikan dengan menjalankan program bagaimana pengaruh pilihan koefisien B dan perkiraan awal dalam proses pencarian akar. Saat mengubah koefisien B sifat proses berulang untuk fungsi yang diteliti berubah. Pertama menjadi dua sisi, dan kemudian loop (Gbr. 2.9). Skala sumbu X Dan Y berbeda. Nilai modulus b yang lebih besar lagi menyebabkan proses divergen.
Perbandingan metode untuk perkiraan solusi persamaan
Perbandingan metode yang dijelaskan di atas untuk solusi persamaan numerik dilakukan dengan menggunakan program yang memungkinkan seseorang mengamati proses pencarian akar dalam bentuk grafik di layar PC. Prosedur yang termasuk dalam program ini dan penerapan metode yang dibandingkan diberikan di bawah ini (PROGRAM 2.1).
Beras. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 adalah salinan layar PC di akhir proses iterasi.
Dalam semua kasus, persamaan kuadrat x 2 -x-6 = 0 diambil sebagai fungsi yang diteliti, yang memiliki solusi analitis x 1 = -2 dan x 2 = 3. Kesalahan dan perkiraan awal diasumsikan sama untuk semua metode. Hasil pencarian akar x= 3 yang disajikan pada gambar adalah sebagai berikut. Metode dikotomi konvergen paling lambat - 22 iterasi, paling cepat metode iterasi sederhana dengan b = -0,2 - 5 iterasi. Tidak ada kontradiksi di sini dengan pernyataan bahwa metode Newton adalah yang tercepat.
Turunan dari fungsi yang diteliti pada titik tersebut X= 3 sama dengan -0,2, artinya perhitungan dalam hal ini dilakukan secara praktis dengan metode Newton dengan nilai turunannya di titik akar persamaan. Saat mengubah koefisien B laju konvergensi menurun dan proses konvergen secara bertahap mula-mula berjalan dalam siklus dan kemudian menjadi divergen.
Dengan analogi dengan (2.1), sistem (5.1) dapat direpresentasikan dalam bentuk ekuivalen berikut:
di mana g(x) adalah fungsi vektor berulang dari argumen vektor. Sistem persamaan nonlinier sering kali muncul secara langsung dalam bentuk (5.2) (misalnya, dalam skema numerik persamaan diferensial, dalam hal ini, tidak diperlukan upaya tambahan untuk mengubah persamaan (5.1) menjadi sistem (5.2). Jika kita melanjutkan analogi dengan metode iterasi sederhana untuk satu persamaan, maka proses iterasi berdasarkan persamaan (5.2) dapat disusun sebagai berikut:
- 1) beberapa vektor awal x ((,) e 5 o (x 0, A)(diasumsikan bahwa x* e 5„(x 0, A));
- 2) perkiraan selanjutnya dihitung menggunakan rumus
kemudian proses iterasi selesai dan
Seperti sebelumnya, kita perlu mencari tahu dalam kondisi apa
Mari kita bahas masalah ini dengan melakukan analisis sederhana. Pertama kita perkenalkan kesalahan pendekatan ke-i sebagai e(i) = x(i) - x*
Mari kita substitusikan ekspresi ini ke dalam (5.3) dan perluas g(x* + e (/i)) dalam pangkat e(k> di lingkungan x* sebagai fungsi dari argumen vektor (dengan asumsi bahwa semua turunan parsial dari fungsi g(x) kontinu). Dengan mempertimbangkan juga bahwa x* = g(x*), kita peroleh
atau dalam bentuk matriks
B = (bnm)= I (x*)1 - matriks iterasi.
Jika tingkat kesalahan ||e®|| cukup kecil, maka suku kedua pada ruas kanan persamaan (5.4) dapat diabaikan, dan kemudian berimpit dengan persamaan (2.16). Oleh karena itu, kondisi konvergensi proses iteratif (5.3) mendekati solusi eksak dijelaskan oleh Teorema 3.1.
Konvergensi metode iterasi sederhana. Diperlukan dan kondisi cukup untuk konvergensi proses iteratif (5.3): 
dan kondisi cukup:
Kondisi ini lebih bersifat teoretis daripada praktis, karena kita tidak mengetahui x'. Dengan analogi (1.11), kita memperoleh suatu kondisi yang dapat berguna. Misalkan x* e 5 o (x 0, A) dan matriks Jacobian untuk fungsi g(x)
ada untuk semua x e S n (x 0 , sEBUAH) (perhatikan bahwa C(x*) = B). Jika elemen-elemen matriks C(x) memenuhi pertidaksamaan
untuk semua x e 5„(x 0, A), maka kondisi cukup (5.5) juga terpenuhi untuk sembarang norma matriks.
Contoh 5.1 (metode iterasi sederhana) Pertimbangkan sistem berikut persamaan:
Salah satu kemungkinan untuk merepresentasikan sistem ini dalam bentuk ekuivalen (5.2) adalah dengan menyatakan X dari persamaan pertama dan x 2 dari persamaan kedua: 
Kemudian skema iterasinya berbentuk
Solusi eksaknya adalah x* e 5„((2, 2), 1). Mari kita pilih vektor awal x (0) = (2,2) dan ? hal = CT 5. Hasil perhitungan disajikan pada tabel. 5.1.
Tabel 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
Hasil ini menunjukkan bahwa konvergensinya cukup lambat. Untuk memperoleh karakteristik konvergensi kuantitatif, kami melakukan analisis sederhana, dengan mempertimbangkan x (1/) sebagai solusi eksak. Matriks Jacobian C(x) untuk fungsi iteratif kita memiliki bentuk
maka matriks B diperkirakan kira-kira sebagai
Sangat mudah untuk memeriksa bahwa kondisi (5.5) maupun kondisi (5.6) tidak terpenuhi, namun terjadi konvergensi, karena 5(B) ~ 0.8.
Seringkali dimungkinkan untuk mempercepat konvergensi metode iterasi sederhana dengan sedikit mengubah proses perhitungan. Ide modifikasi ini sangat sederhana: menghitung P komponen vektor x (A+1) dapat digunakan tidak hanya (t = n,..., N), tetapi juga komponen vektor aproksimasi berikutnya yang sudah dihitung xk^ (/= 1,P - 1). Dengan demikian, metode iterasi sederhana yang dimodifikasi dapat direpresentasikan sebagai skema iterasi berikut:
Jika perkiraan yang dihasilkan oleh proses iteratif (5.3) konvergen, maka proses iteratif (5.8) cenderung konvergen lebih cepat karena penggunaan informasi yang lebih lengkap.
Contoh 5.2 (metode iterasi sederhana yang dimodifikasi) Iterasi sederhana yang dimodifikasi untuk sistem (5.7) direpresentasikan sebagai
Seperti sebelumnya, kita memilih vektor awal x (0) = (2, 2) dan g r = = 10 -5. Hasil perhitungan disajikan pada tabel. 5.2.
Tabel 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I Perubahan besar dalam urutan perhitungan menyebabkan pengurangan separuh jumlah iterasi, dan oleh karena itu, pengurangan separuh jumlah operasi.
