Ekspresi, persamaan dan sistem persamaan
Dengan bilangan kompleks

Hari ini di kelas kita akan berlatih operasi khas dengan bilangan kompleks, dan juga menguasai teknik menyelesaikan ekspresi, persamaan dan sistem persamaan yang terkandung dalam bilangan-bilangan tersebut. Workshop ini merupakan kelanjutan dari pembelajaran, oleh karena itu jika Anda belum menguasai topik tersebut dengan baik, silakan ikuti link di atas. Nah, untuk pembaca yang lebih siap, saya sarankan Anda segera melakukan pemanasan:

Contoh 1

Sederhanakan sebuah ekspresi , Jika . Nyatakan hasilnya dalam bentuk trigonometri dan plotkan pada bidang kompleks.

Larutan: jadi, Anda perlu mengganti pecahan “buruk”, melakukan penyederhanaan, dan mengubah hasilnya bilangan kompleks V bentuk trigonometri. Ditambah gambar.

Apa cara terbaik untuk meresmikan keputusan? Dengan "canggih" ekspresi aljabar Lebih baik memahaminya selangkah demi selangkah. Pertama, perhatian tidak terlalu teralihkan, dan kedua, jika tugas tidak diterima, akan lebih mudah menemukan kesalahannya.

1) Pertama, mari kita sederhanakan pembilangnya. Mari kita gantikan nilainya ke dalamnya, buka tanda kurung dan perbaiki gaya rambut:

...Ya, Quasimodo seperti itu berasal dari bilangan kompleks...

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa selama transformasi, hal-hal yang sangat sederhana digunakan - aturan perkalian polinomial dan persamaan yang sudah menjadi hal yang lumrah. Yang penting hati-hati jangan sampai bingung dengan tanda-tandanya.

2) Sekarang sampai pada penyebutnya. Jika kemudian:

Perhatikan interpretasi yang tidak biasa yang digunakannya rumus jumlah kuadrat. Alternatifnya, Anda dapat melakukan penataan ulang di sini subrumus Hasilnya tentu saja akan sama.

3) Dan terakhir, keseluruhan ekspresi. Jika kemudian:

Untuk menghilangkan pecahan, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan ekspresi konjugasi penyebutnya. Pada saat yang sama, untuk keperluan aplikasi rumus selisih kuadrat harus terlebih dahulu (dan sudah menjadi suatu keharusan!) letakkan bagian real negatif di tempat ke-2:

Dan sekarang aturan utamanya:

KAMI TIDAK TERBURU-BURU! Lebih baik bermain aman dan mengambil langkah ekstra.
Dalam ekspresi, persamaan dan sistem dengan bilangan kompleks, perhitungan verbal yang lancang lebih penuh dari sebelumnya!

Ada pengurangan yang bagus pada langkah terakhir dan itu merupakan pertanda bagus.

Catatan : sebenarnya, disini ada pembagian bilangan kompleks dengan bilangan kompleks 50 (ingat itu). Saya masih bungkam tentang nuansa ini sampai sekarang, dan kita akan membicarakannya nanti.

Mari kita nyatakan pencapaian kita dengan surat itu

Mari kita sajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk trigonometri. Secara umum, di sini Anda dapat melakukannya tanpa gambar, tetapi karena diperlukan, akan lebih rasional untuk melakukannya sekarang:

Mari kita hitung modulus bilangan kompleks:

Jika Anda menggambar pada skala 1 satuan. = 1 cm (2 sel buku catatan), maka nilai yang diperoleh dapat dengan mudah diperiksa dengan menggunakan penggaris biasa.

Mari kita cari argumen. Karena bilangan tersebut terletak pada kuarter koordinat ke-2, maka:

Sudutnya dapat dengan mudah diperiksa dengan busur derajat. Ini adalah keuntungan yang tidak diragukan lagi dari gambar tersebut.

Jadi: – bilangan yang diperlukan dalam bentuk trigonometri.

Mari kita periksa:
, itulah yang perlu diverifikasi.

Lebih mudah untuk menemukan nilai sinus dan kosinus yang tidak dikenal menggunakan tabel trigonometri.

Menjawab:

Contoh serupa untuk keputusan independen:

Contoh 2

Sederhanakan sebuah ekspresi , Di mana . Gambarlah bilangan yang dihasilkan pada bidang kompleks dan tuliskan dalam bentuk eksponensial.

Cobalah untuk tidak melewatkan tutorialnya. Mereka mungkin tampak sederhana, tetapi tanpa pelatihan, “masuk ke genangan air” tidak hanya mudah, tetapi sangat mudah. Oleh karena itu, kami “mendapatkannya”.

Seringkali suatu masalah memiliki lebih dari satu solusi:

Contoh 3

Hitung jika ,

Larutan: pertama-tama, mari kita perhatikan kondisi aslinya - satu bilangan disajikan dalam bentuk aljabar, dan bilangan lainnya dalam bentuk trigonometri, dan bahkan dalam derajat. Mari kita segera menulis ulang ke dalam bentuk yang lebih familiar: .

Dalam bentuk apa perhitungannya harus dilakukan? Ekspresi tersebut jelas melibatkan perkalian pertama dan selanjutnya dipangkatkan ke 10 rumus Moivre, yang dirumuskan untuk bentuk trigonometri bilangan kompleks. Jadi nampaknya lebih logis untuk mengkonversi angka pertama. Mari kita temukan modul dan argumennya:

Kami menggunakan aturan untuk mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri:
jika kemudian

Dengan membuat pecahan menjadi benar, kita sampai pada kesimpulan bahwa kita dapat “memutar” 4 putaran ( senang.):

Solusi kedua adalah mengubah bilangan ke-2 menjadi bentuk aljabar , lakukan perkalian dalam bentuk aljabar, ubah hasilnya menjadi bentuk trigonometri dan gunakan rumus Moivre.

Seperti yang Anda lihat, ada satu tindakan “ekstra”. Mereka yang berkeinginan dapat menindaklanjuti keputusan tersebut dan memastikan bahwa hasilnya sama.

Kondisi tersebut tidak menjelaskan apa pun tentang bentuk bilangan kompleks akhir, jadi:

Menjawab:

Tapi “untuk kecantikan” atau sesuai permintaan, hasilnya mudah dibayangkan dalam bentuk aljabar:

Sendiri:

Contoh 4

Sederhanakan sebuah ekspresi

Di sini kita perlu mengingatnya tindakan dengan derajat, meskipun satu aturan yang berguna Itu tidak ada di manual, ini dia: .

Dan satu lagi catatan penting: contoh dapat diselesaikan dalam dua gaya. Opsi pertama adalah bekerja dengan dua angka dan baik-baik saja dengan pecahan. Opsi kedua adalah mewakili setiap nomor sebagai hasil bagi dua bilangan: Dan singkirkan struktur empat lantai. Dari sudut pandang formal, tidak masalah bagaimana Anda memutuskannya, tetapi ada perbedaan mendasar! Harap pikirkan baik-baik tentang:
adalah bilangan kompleks;
adalah hasil bagi dua bilangan kompleks ( dan ), namun bergantung pada konteksnya, Anda juga dapat mengatakan ini: bilangan yang direpresentasikan sebagai hasil bagi dua bilangan kompleks.

Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran.

Ekspresinya bagus, tapi persamaannya lebih baik:

Persamaan dengan koefisien kompleks

Apa bedanya dengan persamaan “biasa”? Peluang =)

Mengingat komentar di atas, mari kita mulai dengan contoh ini:

Contoh 5

Selesaikan persamaannya

Dan pembukaan langsung “panas di tumit”: mulanya bagian kanan persamaan diposisikan sebagai hasil bagi dua bilangan kompleks ( dan 13), oleh karena itu akan menjadi bentuk yang buruk untuk menulis ulang kondisi dengan bilangan tersebut (walaupun ini tidak akan menyebabkan kesalahan). Omong-omong, perbedaan ini lebih jelas terlihat pada pecahan - jika, secara relatif, maka nilai ini terutama dipahami sebagai akar persamaan kompleks "penuh"., dan bukan sebagai pembagi suatu bilangan, dan terlebih lagi bukan sebagai bagian dari suatu bilangan!

Larutan, pada prinsipnya bisa juga diatur selangkah demi selangkah, tetapi dalam pada kasus ini permainan ini tidak sebanding dengan lilinnya. Tugas awalnya adalah menyederhanakan segala sesuatu yang tidak mengandung "z" yang tidak diketahui, sehingga persamaannya direduksi menjadi bentuk:

Kami dengan percaya diri menyederhanakan pecahan tengah:

Kami memindahkan hasilnya ke sisi kanan dan menemukan perbedaannya:

Catatan : dan sekali lagi saya menarik perhatian Anda ke poin yang bermakna - di sini kita tidak mengurangi angka dari suatu angka, tetapi membawa pecahan ke penyebut yang sama! Perlu dicatat bahwa dalam KEMAJUAN penyelesaian, tidak dilarang bekerja dengan angka: , namun, dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, gaya ini lebih berbahaya daripada bermanfaat =)

Menurut aturan proporsi, kami menyatakan “zet”:

Sekarang Anda dapat membagi dan mengalikan lagi dengan konjugatnya, tetapi angka yang mirip pada pembilang dan penyebutnya menyarankan langkah selanjutnya:

Menjawab:

Untuk memeriksanya, mari kita substitusikan nilai yang dihasilkan ke dalam sisi kiri persamaan asli dan mari kita buat beberapa penyederhanaan:

– ruas kanan persamaan awal diperoleh, sehingga akar ditemukan dengan benar.

...Sekarang, sekarang... Saya akan menemukan sesuatu yang lebih menarik untuk Anda... ini dia:

Contoh 6

Selesaikan persamaannya

Persamaan ini direduksi menjadi bentuk , yang artinya linier. Saya pikir petunjuknya jelas - lakukanlah!

Tentu saja... bagaimana Anda bisa hidup tanpanya:

Persamaan kuadrat dengan koefisien kompleks

Di pelajaran Bilangan kompleks untuk boneka kita belajar bahwa persamaan kuadrat dengan koefisien real dapat memiliki akar kompleks terkonjugasi, setelah itu muncul pertanyaan logis: mengapa sebenarnya koefisien itu sendiri tidak bisa kompleks? Biarkan saya merumuskannya kasus umum:

Persamaan kuadrat dengan koefisien kompleks yang berubah-ubah (1 atau 2 di antaranya atau ketiganya, khususnya, valid) Memiliki dua dan hanya dua akar yang kompleks (mungkin salah satu atau keduanya valid). Pada saat yang sama, akarnya (baik bagian nyata maupun bagian imajiner bukan nol) mungkin bertepatan (kelipatan).

Persamaan kuadrat dengan koefisien kompleks diselesaikan dengan menggunakan skema yang sama seperti persamaan "sekolah"., dengan beberapa perbedaan teknik perhitungannya:

Contoh 7

Temukan akar persamaan kuadrat

Larutan: unit imajiner didahulukan, dan, pada prinsipnya, Anda dapat menghilangkannya (mengalikan kedua sisi dengan) Namun, hal ini tidak terlalu diperlukan.

Untuk memudahkan, kami menuliskan koefisiennya:

Jangan sampai kita kehilangan "minus" dari member gratis! ...Ini mungkin tidak jelas bagi semua orang - saya akan menulis ulang persamaannya bentuk standar :

Mari kita hitung diskriminannya:

Dan inilah kendala utamanya:

Aplikasi rumus umum ekstraksi akar (lihat paragraf terakhir artikel Bilangan kompleks untuk boneka) diperumit oleh kesulitan serius yang terkait dengan argumen bilangan kompleks radikal (Lihat diri mu sendiri). Namun ada cara lain yang bersifat “aljabar”! Kita akan mencari root dalam bentuk:

Mari kita persegikan kedua sisinya:

Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika bagian riil dan bagian imajinernya sama. Jadi, kita dapatkan sistem berikut:

Sistem lebih mudah diselesaikan dengan memilih (cara yang lebih teliti adalah dengan menyatakan persamaan ke-2 - substitusikan ke persamaan pertama, dapatkan dan selesaikan persamaan bikuadrat) . Dengan asumsi bahwa pembuat soal bukanlah monster, kami mengajukan hipotesis bahwa dan adalah bilangan bulat. Dari persamaan pertama berikut bahwa “x” modulo lebih dari "Y". Selain itu, perkalian positif memberi tahu kita bahwa hal-hal yang tidak diketahui memiliki tanda yang sama. Berdasarkan persamaan di atas, dan fokus pada persamaan ke-2, kita tuliskan semua pasangan yang cocok:

Jelas bahwa persamaan pertama sistem dipenuhi oleh dua pasangan terakhir, sebagai berikut:

Pemeriksaan perantara tidak ada salahnya:

itulah yang perlu diperiksa.

Anda dapat memilih sebagai root yang "berfungsi". setiap arti. Jelas bahwa lebih baik mengambil versi tanpa “kontra”:

Kami menemukan akarnya, tanpa lupa, bahwa:

Menjawab:

Mari kita periksa apakah akar-akar yang ditemukan memenuhi persamaan tersebut :

1) Mari kita gantikan:

kesetaraan yang sebenarnya.

2) Mari kita gantikan:

kesetaraan yang sebenarnya.

Dengan demikian, solusinya ditemukan dengan benar.

Berdasarkan masalah yang baru saja kita bahas:

Contoh 8

Temukan akar persamaannya

Perlu diperhatikan bahwa akar kuadrat dari murni kompleks angka dapat dengan mudah diekstraksi menggunakan rumus umum , Di mana , jadi kedua metode ditampilkan dalam sampel. Pernyataan berguna kedua berkaitan dengan fakta bahwa ekstraksi awal akar suatu konstanta tidak menyederhanakan penyelesaian sama sekali.

Sekarang Anda dapat bersantai - dalam contoh ini Anda akan merasa sedikit ketakutan :)

Contoh 9

Selesaikan persamaannya dan periksa

Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Paragraf terakhir artikel ini dikhususkan untuk

sistem persamaan dengan bilangan kompleks

Mari santai dan... jangan tegang =) Mari kita pertimbangkan kasus paling sederhana - sistem dua persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui:

Contoh 10

Memecahkan sistem persamaan. Sajikan jawabannya dalam bentuk aljabar dan eksponensial, gambarkan akar-akarnya pada gambar.

Larutan: kondisi itu sendiri menunjukkan bahwa sistem mempunyai solusi unik, yaitu kita perlu mencari dua bilangan yang memenuhi untuk masing-masing persamaan sistem.

Sistemnya memang bisa diselesaikan dengan cara yang “kekanak-kanakan”. (menyatakan satu variabel ke dalam variabel lain) , namun jauh lebih nyaman untuk digunakan rumus Cramer. Mari kita hitung penentu utama sistem:

, yang berarti sistem memiliki solusi unik.

Saya ulangi bahwa lebih baik meluangkan waktu Anda dan menuliskan langkah-langkahnya sedetail mungkin:

Kita mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan satuan imajiner dan mendapatkan akar pertama:

Juga:

Sisi kanan yang sesuai diperoleh, dll.

Mari kita membuat gambarnya:

Mari kita nyatakan akar-akarnya dalam bentuk eksponensial. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan modul dan argumennya:

1) – arctangent dari “dua” dihitung “buruk”, jadi kita biarkan seperti ini:

BADAN FEDERAL UNTUK PENDIDIKAN

LEMBAGA PENDIDIKAN NEGARA

PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI

"UNVERSITAS PEDAGOGIS NEGARA VORONEZH"

DEPARTEMEN AGLEBRA DAN GEOMETRI

Bilangan kompleks

(tugas yang dipilih)

PEKERJAAN KUALIFIKASI LULUSAN

spesialisasi 050201.65 matematika

(dengan tambahan keahlian 050202.65 ilmu komputer)

Diselesaikan oleh: siswa tahun ke-5

fisik dan matematika

fakultas

Penasihat ilmiah:

VORONEZH – 2008

1. Perkenalan……………………………………………………...…………..…

2. Bilangan kompleks (masalah terpilih)

2.1. Bilangan kompleks dalam bentuk aljabar….…………….….

2.2. Interpretasi geometris bilangan kompleks………..…

2.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks

2.4. Penerapan teori bilangan kompleks pada penyelesaian persamaan derajat 3 dan 4………..…………………………………………………………………

2.5. Bilangan kompleks dan parameternya……………………………...….

3. Kesimpulan………………………………………………………………………………….

4. Daftar referensi………………………….………………………......

1. Perkenalan

Dalam program matematika kursus sekolah teori bilangan diperkenalkan dengan menggunakan contoh himpunan bilangan asli, bilangan bulat, rasional, irasional, mis. pada himpunan bilangan real yang gambarannya memenuhi seluruh garis bilangan. Namun sudah di kelas 8 persediaan bilangan real tidak mencukupi, menyelesaikan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif. Oleh karena itu, penting untuk mengisi kembali stok bilangan real dengan bantuan bilangan kompleks, yang akar kuadratnya adalah angka negatif memiliki arti.

Memilih topik “Bilangan Kompleks” sebagai topik wisuda saya pekerjaan yang memenuhi syarat, adalah bahwa konsep bilangan kompleks memperluas pengetahuan siswa tentang sistem bilangan, tentang pemecahan berbagai masalah baik yang bersifat aljabar maupun geometri, tentang penyelesaian persamaan aljabar derajat apa pun dan tentang memecahkan masalah dengan parameter.

Tesis ini mengkaji solusi dari 82 permasalahan.

Bagian pertama dari bagian utama "Bilangan kompleks" memberikan solusi untuk masalah bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, mendefinisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, operasi konjugasi bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, pangkat dari satuan imajiner , modulus bilangan kompleks, dan juga menetapkan ekstraksi aturan akar pangkat dua dari bilangan kompleks.

Pada bagian kedua, permasalahan interpretasi geometri bilangan kompleks berupa titik atau vektor pada bidang kompleks diselesaikan.

Bagian ketiga membahas tentang operasi bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri. Rumus yang digunakan adalah: Moivre dan mengekstraksi akar bilangan kompleks.

Bagian keempat dikhususkan untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-3 dan ke-4.

Saat menyelesaikan masalah di bagian terakhir, “Bilangan dan parameter kompleks”, informasi yang diberikan di bagian sebelumnya digunakan dan digabungkan. Serangkaian masalah dalam bab ini dikhususkan untuk menentukan kelompok garis pada bidang kompleks yang ditentukan oleh persamaan (pertidaksamaan) dengan suatu parameter. Di bagian latihan, Anda perlu menyelesaikan persamaan dengan parameter (di bidang C). Ada tugas di mana variabel kompleks secara bersamaan memenuhi sejumlah kondisi. Ciri khusus penyelesaian masalah pada bagian ini adalah reduksi banyak masalah menjadi penyelesaian persamaan (pertidaksamaan, sistem) derajat kedua, irasional, trigonometri dengan parameter.

Ciri penyajian materi pada setiap bagian adalah masukan awal landasan teori, dan selanjutnya penerapan praktisnya dalam memecahkan masalah.

Pada akhirnya tesis daftar literatur bekas disajikan. Kebanyakan dari mereka menyajikan materi teoritis dengan cukup rinci dan mudah diakses, mempertimbangkan solusi untuk beberapa masalah, dan memberikan tugas-tugas praktis untuk keputusan independen. Perhatian khusus Saya ingin merujuk ke sumber-sumber seperti:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Bilangan kompleks dan penerapannya: Buku Ajar. . Bahan alat bantu pengajaran disajikan dalam bentuk ceramah dan latihan praktek.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Masalah dan teorema matematika dasar yang dipilih. Aritmatika dan aljabar. Buku ini berisi 320 soal yang berkaitan dengan aljabar, aritmatika, dan teori bilangan. Tugas-tugas ini berbeda secara signifikan dari tugas-tugas sekolah standar.

2. Bilangan kompleks (masalah terpilih)

2.1. Bilangan kompleks dalam bentuk aljabar

Pemecahan banyak masalah dalam matematika dan fisika direduksi menjadi penyelesaian persamaan aljabar, yaitu. persamaan bentuk

,

dimana a0, a1,…, an adalah bilangan real. Oleh karena itu, kajian persamaan aljabar merupakan salah satu kajiannya isu-isu kritis dalam matematika. Misalnya persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif. Persamaan yang paling sederhana adalah persamaan

.

Agar persamaan ini mempunyai penyelesaian, himpunan bilangan real perlu diperluas dengan menambahkan akar persamaan ke dalamnya.

.

Mari kita nyatakan akar ini dengan

. Jadi, menurut definisi, atau,

karena itu,

. disebut satuan imajiner. Dengan bantuannya dan dengan bantuan sepasang bilangan real, ekspresi bentuk dikompilasi.

Ekspresi yang dihasilkan disebut bilangan kompleks karena mengandung bagian nyata dan bagian imajiner.

Jadi, bilangan kompleks adalah ekspresi bentuk

, dan merupakan bilangan real, dan merupakan simbol tertentu yang memenuhi kondisi . Bilangan tersebut disebut bagian real suatu bilangan kompleks, dan bilangan tersebut disebut bagian imajinernya. Simbol , digunakan untuk menunjukkannya.

Bentuk bilangan kompleks

adalah bilangan real dan oleh karena itu, himpunan bilangan kompleks memuat himpunan bilangan real.

Bentuk bilangan kompleks

disebut murni imajiner. Dua bilangan kompleks berbentuk dan dikatakan sama jika bagian riil dan bagian imajinernya sama, yaitu. jika persamaan , .

Notasi aljabar bilangan kompleks memungkinkan pengoperasian bilangan kompleks sesuai dengan aturan aljabar biasa.

Untuk menyelesaikan soal bilangan kompleks, Anda perlu memahami definisi dasarnya. Tujuan utama dari artikel review ini adalah untuk menjelaskan apa itu bilangan kompleks dan menyajikan metode penyelesaian masalah dasar bilangan kompleks. Jadi, bilangan kompleks disebut bilangan yang bentuknya z = a + dua, Di mana a, b- bilangan real, yang masing-masing disebut bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks, dan dilambangkan a = Kembali(z), b=Im(z).
Saya disebut satuan imajiner. saya 2 = -1. Secara khusus, bilangan real apa pun dapat dianggap kompleks: a = a + 0i, dimana a nyata. Jika sebuah = 0 Dan b ≠ 0, maka bilangan tersebut biasa disebut murni imajiner.

Sekarang mari kita perkenalkan operasi pada bilangan kompleks.
Pertimbangkan dua bilangan kompleks z 1 = a 1 + b 1 saya Dan z 2 = a 2 + b 2 saya.

Mari kita pertimbangkan z = a + dua.

Himpunan bilangan kompleks memperluas himpunan bilangan real, yang pada gilirannya memperluas himpunan tersebut angka rasional dll. Rantai investasi ini dapat dilihat pada gambar: N – bilangan bulat, Z - bilangan bulat, Q - rasional, R - nyata, C - kompleks.

Representasi bilangan kompleks

Notasi aljabar.

Pertimbangkan bilangan kompleks z = a + dua, bentuk penulisan bilangan kompleks ini disebut aljabar. Bentuk pencatatan ini telah kita bahas secara detail pada bagian sebelumnya. Gambar visual berikut ini cukup sering digunakan

Bentuk trigonometri.

Dari gambar tersebut terlihat bahwa jumlahnya z = a + dua dapat ditulis berbeda. Jelas sekali a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, karena itu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) disebut argumen bilangan kompleks. Representasi bilangan kompleks ini disebut bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri terkadang sangat mudah digunakan. Misalnya, lebih mudah menggunakannya untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi bilangan bulat, yaitu jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Itu z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, rumus ini disebut rumus Moivre.

Bentuk demonstratif.

Mari kita pertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i- bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, tuliskan dalam bentuk lain z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, persamaan terakhir mengikuti rumus Euler, jadi kita peroleh seragam baru notasi bilangan kompleks: z = reiφ, yang disebut indikatif. Bentuk notasi ini juga sangat mudah untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat: z n = r n e diφ, Di Sini N tidak harus berupa bilangan bulat, tetapi dapat berupa bilangan real sembarang. Bentuk notasi ini cukup sering digunakan untuk menyelesaikan permasalahan.

Teorema dasar aljabar yang lebih tinggi

Bayangkan kita mempunyai persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0. Tentu saja diskriminan persamaan ini negatif dan tidak mempunyai akar real, namun ternyata persamaan tersebut mempunyai dua akar kompleks yang berbeda. Jadi, teorema dasar aljabar yang lebih tinggi menyatakan bahwa setiap polinomial berderajat n memiliki setidaknya satu akar kompleks. Oleh karena itu, setiap polinomial berderajat n mempunyai tepat n akar kompleks, dengan mempertimbangkan multiplisitasnya. Teorema ini merupakan hasil yang sangat penting dalam matematika dan digunakan secara luas. Akibat sederhana dari teorema ini adalah terdapat tepat n akar yang berbeda derajat n kesatuan.

Jenis tugas utama

Bagian ini akan membahas tipe utama tugas-tugas sederhana ke bilangan kompleks. Secara konvensional, masalah yang melibatkan bilangan kompleks dapat dibagi ke dalam kategori berikut.

• Melakukan operasi aritmatika sederhana pada bilangan kompleks.
• Menemukan akar-akar polinomial dalam bilangan kompleks.
• Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.
• Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks.
• Menggunakan bilangan kompleks untuk menyelesaikan masalah lain.

Sekarang mari kita pertimbangkan teknik umum solusi terhadap permasalahan-permasalahan tersebut.

Operasi aritmatika paling sederhana dengan bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan yang dijelaskan di bagian pertama, tetapi jika bilangan kompleks disajikan dalam bentuk trigonometri atau eksponensial, maka dalam hal ini Anda dapat mengubahnya menjadi bentuk aljabar dan melakukan operasi sesuai aturan yang diketahui.

Menemukan akar-akar polinomial biasanya dilakukan dengan mencari akar-akar persamaan kuadrat. Misalkan kita mempunyai persamaan kuadrat, jika diskriminannya non-negatif, maka akar-akarnya real dan dapat dicari dengan rumus yang sudah diketahui. Jika diskriminannya negatif, yaitu, D = -1∙a 2, Di mana A adalah bilangan tertentu, maka diskriminannya dapat direpresentasikan sebagai D = (ia) 2, karena itu √D = saya|a|, dan kemudian Anda dapat menggunakannya rumus terkenal untuk akar-akar persamaan kuadrat.

Contoh. Mari kita kembali ke apa yang disebutkan di atas. persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminan - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan akarnya:

Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat dapat dilakukan dengan beberapa cara. Jika Anda perlu menaikkan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar ke pangkat kecil (2 atau 3), maka Anda dapat melakukannya dengan perkalian langsung, tetapi jika pangkatnya lebih besar (dalam soal sering kali jauh lebih besar), maka Anda perlu melakukannya tuliskan bilangan ini dalam bentuk trigonometri atau eksponensial dan gunakan metode yang sudah diketahui.

Contoh. Perhatikan z = 1 + i dan naikkan ke pangkat sepuluh.
Mari kita tuliskan z dalam bentuk eksponensial: z = √2 e iπ/4.
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kita kembali ke bentuk aljabar: z 10 = -32i.

Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks adalah operasi kebalikan dari eksponensial dan oleh karena itu dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akar sering digunakan bentuk penulisan bilangan eksponensial.

Contoh. Mari kita temukan semua akar kesatuan derajat 3. Untuk melakukannya, kita akan mencari semua akar persamaan z 3 = 1, kita akan mencari akar-akarnya dalam bentuk eksponensial.
Mari kita substitusikan ke dalam persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Jadi: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, maka φ = 2πk/3.
Akar yang berbeda diperoleh pada φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh karena itu 1, e i2π/3, e i4π/3 adalah akar-akarnya.
Atau dalam bentuk aljabar:

Jenis masalah yang terakhir mencakup berbagai macam masalah dan tidak ada metode umum untuk menyelesaikannya. Mari kita berikan contoh sederhana dari tugas tersebut:

Temukan jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Meskipun rumusan masalah ini tidak berbicara tentang bilangan kompleks, namun dapat diselesaikan dengan mudah dengan bantuannya. Untuk mengatasinya, representasi berikut digunakan:


Jika sekarang kita mensubstitusi representasi ini ke dalam penjumlahan, maka masalahnya direduksi menjadi menjumlahkan barisan geometri biasa.

Kesimpulan

Bilangan kompleks banyak digunakan dalam matematika, artikel ulasan ini membahas tentang operasi dasar bilangan kompleks, menjelaskan beberapa jenis soal standar, dan menjelaskan secara singkat metode umum solusinya, untuk studi lebih rinci tentang kemampuan bilangan kompleks, disarankan untuk menggunakan literatur khusus.

literatur

Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Manusia menggunakan persamaan pada zaman kuno, dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Agar lebih jelas, mari kita selesaikan permasalahan berikut:

Hitung \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jika \

Pertama-tama, mari kita perhatikan fakta bahwa satu bilangan disajikan dalam bentuk aljabar, yang lainnya dalam bentuk trigonometri. Perlu disederhanakan dan dibawa ke bentuk berikut

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Ekspresi \ mengatakan bahwa pertama-tama kita melakukan perkalian dan menaikkan pangkat 10 menggunakan rumus Moivre. Rumus ini dirumuskan untuk bentuk trigonometri suatu bilangan kompleks. Kita mendapatkan:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Mengikuti aturan mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, kita melakukan hal berikut:

Dalam kasus kami:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Dengan membuat pecahan \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] benar, kita sampai pada kesimpulan bahwa kita dapat “memutar” 4 putaran \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Jawaban: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yaitu dengan mengubah bilangan ke-2 menjadi bentuk aljabar, kemudian melakukan perkalian dalam bentuk aljabar, mengubah hasilnya menjadi bentuk trigonometri dan menerapkan rumus Moivre:

Di mana saya bisa menyelesaikan sistem persamaan bilangan kompleks secara online?

Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan di situs web kami https://site. Pemecah online gratis ini memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan online dengan kompleksitas apa pun dalam hitungan detik. Yang perlu Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam pemecah. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda masih memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup VKontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu dengan senang hati membantu Anda.