Hari ini dia layak dinyanyikan dalam puisi
Teorema Vieta tentang sifat-sifat akar.
Mana yang lebih baik, beri tahu saya, konsistensinya seperti ini:
Anda mengalikan akarnya dan pecahannya sudah siap
Di pembilangnya Dengan, di penyebutnya A.
Dan jumlah akar-akar pecahannya juga sama
Bahkan dengan minus pecahan ini
Sungguh sebuah masalah
Di pembilang V, di penyebutnya A.
(Dari cerita rakyat sekolah)
Dalam prasasti tersebut, teorema luar biasa dari François Vieta tidak diberikan sepenuhnya secara akurat. Sebenarnya kita bisa menulis persamaan kuadrat, yang tidak memiliki akar dan tuliskan jumlah dan produknya. Misalnya persamaan x 2 + 2x + 12 = 0 tidak mempunyai akar real. Namun, dengan pendekatan formal, kita dapat menuliskan hasil perkaliannya (x 1 · x 2 = 12) dan jumlahnya (x 1 + x 2 = -2). Kita ayat-ayat tersebut akan sesuai dengan teorema dengan peringatan: "jika persamaan memiliki akar", yaitu. D ≥ 0.
Penerapan praktis pertama dari teorema ini adalah membangun persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar. Kedua, ini memungkinkan Anda menyelesaikan banyak persamaan kuadrat secara lisan. Buku pelajaran sekolah terutama berfokus pada pengembangan keterampilan ini.
Di sini kita akan mempertimbangkan masalah yang lebih kompleks yang diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta.
Contoh 1.
Salah satu akar persamaan 5x 2 – 12x + c = 0 tiga kali lebih besar dari akar kedua. Temukan s.
Larutan.
Biarkan akar kedua menjadi x 2.
Maka akar pertama x1 = 3x 2.
Menurut teorema Vieta, jumlah akar-akarnya adalah 12/5 = 2,4.
Mari kita buat persamaan 3x 2 + x 2 = 2.4.
Jadi x 2 = 0,6. Oleh karena itu x 1 = 1,8.
Jawab: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
Contoh 2.
Diketahui x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan x 2 – 8x + p = 0, dengan 3x 1 + 4x 2 = 29. Carilah p.
Larutan.
Menurut teorema Vieta, x 1 + x 2 = 8, dan dengan syarat 3x 1 + 4x 2 = 29.
Setelah menyelesaikan sistem kedua persamaan ini, kita mencari nilai x 1 = 3, x 2 = 5.
Oleh karena itu p = 15.
Jawaban : hal = 15.
Contoh 3.
Tanpa menghitung akar-akar persamaan 3x 2 + 8 x – 1 = 0, carilah x 1 4 + x 2 4
Larutan.
Perhatikan bahwa dengan teorema Vieta x 1 + x 2 = -8/3 dan x 1 x 2 = -1/3 dan ubah persamaannya
a) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Jawaban: 4898/9.
Contoh 4.
Berapa nilai parameter a selisih antara akar persamaan terbesar dan terkecil
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 sama dengan hasil kali keduanya.
Larutan.
Ini adalah persamaan kuadrat. Akar tersebut mempunyai 2 akar yang berbeda jika D > 0. Dengan kata lain, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 atau (a – 3) 2 > 0. Oleh karena itu, kita mempunyai 2 akar untuk semua a, karena kecuali a = 3.
Agar lebih pasti, kita asumsikan bahwa x 1 > x 2 dan diperoleh x 1 + x 2 = (a + 1)/2 dan x 1 x 2 = (a – 1)/2. Berdasarkan kondisi soal x 1 – x 2 = (a – 1)/2. Ketiga syarat tersebut harus dipenuhi secara bersamaan. Mari kita pertimbangkan persamaan pertama dan terakhir sebagai suatu sistem. Ini dapat dengan mudah diselesaikan dengan penjumlahan aljabar.
Kita peroleh x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Mari kita periksa apa A persamaan kedua akan terpenuhi: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Mari kita substitusikan nilai yang diperoleh dan kita akan mendapatkan: a/4 = (a – 1)/2. Maka a = 2. Jelas sekali jika a = 2, maka semua syarat terpenuhi.
Jawaban: bila a = 2.
Contoh 5.
Apa yang setara dengan nilai terkecil a, di mana jumlah akar-akar persamaan
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 sama dengan jumlah kuadrat akar-akarnya.
Larutan.
Pertama-tama, mari kita bawa persamaan tersebut ke bentuk kanonik: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. Persamaannya akan mempunyai akar jika D/4 ≥ 0. Oleh karena itu: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Atau (a – 1 ) 2 ≥ 0. Dan kondisi ini berlaku untuk semua a.
Mari kita terapkan teorema Vieta: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Mari kita hitung
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Atau setelah substitusi x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Tetap membuat persamaan yang sesuai dengan kondisi soal: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Kita peroleh: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Persamaan kuadrat ini memiliki 2 akar: a 1 = 1 dan a 2 = 1/2. Yang terkecil adalah –1/2.
Jawaban: 1/2.
Contoh 6.
Tentukan hubungan antara koefisien persamaan ax 2 + bx + c = 0 jika jumlah pangkat tiga dari akar-akarnya sama dengan hasil kali kuadrat dari akar-akar tersebut.
Larutan.
Kita asumsikan bahwa persamaan ini mempunyai akar dan oleh karena itu, teorema Vieta dapat diterapkan padanya.
Maka kondisi soal akan ditulis sebagai berikut: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Atau: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
Faktor kedua perlu dikonversi. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
Kita peroleh (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Tetap mengganti jumlah dan produk dari akar-akar melalui koefisien.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Ekspresi ini dapat dengan mudah diubah ke dalam bentuk b(3ac – b 2)/a = c 2. Hubungannya telah ditemukan.
Komentar. Perlu diingat bahwa relasi yang dihasilkan masuk akal untuk dipertimbangkan hanya setelah relasi lainnya terpenuhi: D ≥ 0.
Contoh 7.
Tentukan nilai variabel a yang jumlah kuadrat akar-akar persamaan x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 merupakan nilai terbesar.
Larutan.
Jika persamaan ini mempunyai akar-akar x 1 dan x 2, maka jumlahnya adalah x 1 + x 2 = -2a, dan hasil kali x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.
Kita hitung x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (a – 3) 2 + 22.
Sekarang jelas bahwa ungkapan ini diperlukan nilai tertinggi pada a = 3.
Masih harus diperiksa apakah persamaan kuadrat asli benar-benar berakar di a = 3. Kita periksa dengan substitusi dan mendapatkan: x 2 + 6x + 7 = 0 dan untuk itu D = 36 – 28 > 0.
Oleh karena itu, jawabannya adalah: untuk a = 3.
Contoh 8.
Persamaan 2x 2 – 7x – 3 = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Tentukan jumlah rangkap tiga koefisien persamaan kuadrat yang diketahui, yang akar-akarnya adalah bilangan X 1 = 1/x 1 dan X 2 = 1/x 2. (*)
Larutan.
Jelasnya, x 1 + x 2 = 7/2 dan x 1 x 2 = -3/2. Mari kita buat persamaan kedua dari akar-akarnya dalam bentuk x 2 + px + q = 0. Untuk melakukannya, kita menggunakan kebalikan dari teorema Vieta. Kita peroleh: p = -(X 1 + X 2) dan q = X 1 · X 2.
Setelah dilakukan substitusi ke rumus tersebut berdasarkan (*), maka: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 dan q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Persamaan yang diperlukan akan berbentuk: x 2 + 7/3 x – 2/3 = 0. Sekarang kita dapat dengan mudah menghitung tiga kali lipat jumlah koefisiennya:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Jawaban diterima.
Masih ada pertanyaan? Tidak yakin bagaimana cara menggunakan teorema Vieta?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!
blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.
Pertama, mari kita rumuskan teorema itu sendiri: Misalkan persamaan kuadrat tereduksi berbentuk x^2+b*x + c = 0. Katakanlah persamaan ini mempunyai akar-akar x1 dan x2. Maka menurut teorema tersebut, pernyataan berikut ini valid:
1) Jumlah akar-akar x1 dan x2 akan sama dengan nilai negatif koefisien b.
2) Hasil kali dari akar-akar ini akan menghasilkan koefisien c.
Tapi apa persamaan yang diberikan?
Persamaan kuadrat tereduksi adalah persamaan kuadrat yang koefisien derajat tertingginya sama dengan satu, yaitu. ini adalah persamaan berbentuk x^2 + b*x + c = 0. (dan persamaan a*x^2 + b*x + c = 0 tidak tereduksi). Dengan kata lain, untuk membawa persamaan ke bentuk tertentu, kita harus membagi persamaan tersebut dengan koefisien pangkat tertinggi (a). Tugasnya adalah membawa persamaan ini ke bentuk berikut:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Membagi setiap persamaan dengan koefisien derajat tertinggi, kita memperoleh:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.
Seperti yang dapat Anda lihat dari contoh, bahkan persamaan yang mengandung pecahan dapat direduksi menjadi bentuk tertentu.
Menggunakan teorema Vieta
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
kita mendapatkan akarnya: x1 = 2; x2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
sebagai hasilnya kita mendapatkan akar-akarnya: x1 = -2 ; x2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
kita mendapatkan akar-akarnya: x1 = −1; x2 = −4.
Arti teorema Vieta
Teorema Vieta memungkinkan kita menyelesaikan persamaan tereduksi kuadrat apa pun dalam waktu hampir detik. Pada pandangan pertama, ini tampaknya merupakan tugas yang agak sulit, tetapi setelah 5 10 persamaan, Anda dapat langsung belajar melihat akar-akarnya.
Dari contoh yang diberikan, dan dengan menggunakan teorema, terlihat jelas bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat dapat disederhanakan secara signifikan, karena dengan menggunakan teorema ini, Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat secara praktis tanpa perhitungan yang rumit dan menghitung diskriminan, dan seperti yang Anda ketahui, the semakin sedikit perhitungan, semakin sulit membuat kesalahan, dan ini penting.
Dalam semua contoh, kami menggunakan aturan ini berdasarkan dua asumsi penting:
Persamaan yang diberikan, yaitu. koefisien derajat tertinggi sama dengan satu (kondisi ini mudah dihindari. Anda dapat menggunakan bentuk persamaan tak tereduksi, maka pernyataan berikut akan valid x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, tapi biasanya lebih sulit diselesaikan :))
Ketika persamaan memiliki dua berbagai akar. Kami berasumsi bahwa pertidaksamaan tersebut benar dan diskriminannya lebih besar dari nol.
Oleh karena itu, kita bisa berbaikan algoritma umum solusi menggunakan teorema Vieta.
Algoritma solusi umum menggunakan teorema Vieta
Kita mereduksi persamaan kuadrat menjadi bentuk tereduksi jika persamaan tersebut diberikan kepada kita dalam bentuk tidak tereduksi. Bila koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang sebelumnya kita sajikan ternyata berupa pecahan (bukan desimal), maka dalam hal ini persamaan kita harus diselesaikan melalui diskriminan.
Ada juga kasus ketika kembali ke persamaan awal memungkinkan kita bekerja dengan angka yang “nyaman”.
Teorema Vieta (lebih tepatnya, teorema kebalikan dari teorema Vieta) memungkinkan Anda mengurangi waktu penyelesaian persamaan kuadrat. Anda hanya perlu tahu cara menggunakannya. Bagaimana cara belajar menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta? Tidak sulit jika Anda memikirkannya sedikit.
Sekarang kita hanya akan membahas penyelesaian persamaan kuadrat tereduksi menggunakan teorema Vieta. Persamaan kuadrat tereduksi adalah persamaan yang a, yaitu koefisien x², sama dengan satu. Persamaan kuadrat yang tidak diberikan juga dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Vieta, tetapi setidaknya salah satu akarnya bukan bilangan bulat. Mereka lebih sulit ditebak.
Teorema kebalikan dari teorema Vieta menyatakan: jika bilangan x1 dan x2 sedemikian rupa
maka x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat
Saat menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta, hanya 4 pilihan yang mungkin. Jika Anda mengingat alur pemikirannya, Anda dapat belajar menemukan akar utuh dengan sangat cepat.
I. Jika q adalah bilangan positif,
artinya akar-akar x1 dan x2 adalah bilangan-bilangan yang bertanda sama (karena hanya mengalikan bilangan-bilangan yang bertanda sama akan menghasilkan bilangan positif).
I.a. Jika -p adalah bilangan positif, (masing-masing, hal<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Jika -p — angka negatif, (masing-masing p>0), maka kedua akar bilangan negatif (kita menjumlahkan bilangan yang bertanda sama dan mendapatkan bilangan negatif).
II. Jika q adalah bilangan negatif,
Artinya akar-akar x1 dan x2 mempunyai tanda yang berbeda (bila mengalikan bilangan, bilangan negatif hanya diperoleh jika tanda faktornya berbeda). Dalam hal ini, x1+x2 bukan lagi penjumlahan, melainkan selisih (lagipula, saat menjumlahkan bilangan dengan tanda-tanda yang berbeda kita kurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar). Oleh karena itu, x1+x2 menunjukkan seberapa besar perbedaan akar-akar x1 dan x2, yaitu seberapa besar satu akar lebih besar dari yang lain (dalam nilai absolut).
II.a. Jika -p adalah bilangan positif, (yaitu, hal<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Jika -p adalah bilangan negatif, (p>0), maka akar (modulo) yang lebih besar adalah bilangan negatif.
Mari kita pertimbangkan penyelesaian persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta menggunakan contoh.
Selesaikan persamaan kuadrat yang diberikan menggunakan teorema Vieta:
Di sini q=12>0, jadi akar-akar x1 dan x2 adalah bilangan-bilangan yang bertanda sama. Jumlahnya adalah -p=7>0, jadi kedua akarnya adalah bilangan positif. Kita pilih bilangan bulat yang hasil kali 12. Yaitu 1 dan 12, 2 dan 6, 3 dan 4. Jumlahnya adalah 7 untuk pasangan 3 dan 4. Artinya 3 dan 4 adalah akar-akar persamaan.
Dalam contoh ini, q=16>0, artinya akar-akar x1 dan x2 adalah bilangan-bilangan yang bertanda sama. Jumlahnya adalah -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Di sini q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, maka bilangan yang lebih besar adalah positif. Jadi akar-akarnya adalah 5 dan -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Antara akar dan koefisien persamaan kuadrat, selain rumus akar, terdapat hubungan berguna lainnya yang diberikan teorema Vieta. Pada artikel kali ini kami akan memberikan rumusan dan pembuktian teorema Vieta untuk persamaan kuadrat. Selanjutnya kita perhatikan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Setelah ini, kami akan menganalisis solusi dari contoh yang paling umum. Terakhir, kami menuliskan rumus Vieta yang mendefinisikan hubungan antara akar-akar real persamaan aljabar derajat n dan koefisiennya.
Navigasi halaman.
Teorema Vieta, rumusan, pembuktian
Dari rumus akar-akar persamaan kuadrat a·x 2 +b·x+c=0 yang berbentuk D=b 2 −4·a·c, diperoleh relasi sebagai berikut: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . Hasil ini dikonfirmasi teorema Vieta:
Dalil.
Jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat a x 2 +b x+c=0, maka jumlah akar-akarnya sama dengan perbandingan koefisien b dan a, diambil dengan tanda berlawanan, dan hasil kali dari akar-akarnya sama dengan perbandingan koefisien c dan a, yaitu .
Bukti.
Kita akan melakukan pembuktian teorema Vieta sesuai dengan skema berikut: kita menyusun jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat menggunakan rumus akar yang diketahui, kemudian kita mengubah ekspresi yang dihasilkan dan memastikan bahwa keduanya sama dengan −b/ a dan c/a, masing-masing.
Mari kita mulai dengan menjumlahkan akar-akarnya dan menyusunnya. Sekarang kita membawa pecahan ke penyebut yang sama, kita punya. Di pembilang pecahan yang dihasilkan, setelah itu :. Akhirnya, setelah pada tanggal 2, kita mendapatkan . Ini membuktikan hubungan pertama teorema Vieta untuk jumlah akar persamaan kuadrat. Mari kita beralih ke yang kedua.
Kami menyusun produk dari akar-akar persamaan kuadrat: . Menurut aturan mengalikan pecahan, hasil kali terakhir dapat ditulis sebagai . Sekarang kita mengalikan tanda kurung dengan tanda kurung pada pembilangnya, tetapi akan lebih cepat untuk menciutkan hasil kali ini rumus selisih kuadrat, Jadi . Kemudian, mengingatnya, kami melakukan transisi berikutnya. Dan karena diskriminan persamaan kuadrat sesuai dengan rumus D=b 2 −4·a·c, maka alih-alih D pada pecahan terakhir kita dapat mensubstitusikan b 2 −4·a·c, kita peroleh. Setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa, kita sampai pada pecahan , dan pengurangannya sebesar 4·a menghasilkan . Ini membuktikan hubungan kedua teorema Vieta untuk hasil kali akar.
Jika kita menghilangkan penjelasannya, maka bukti teorema Vieta akan berbentuk singkat:
,
.
Perlu diperhatikan bahwa jika diskriminan sama dengan nol, persamaan kuadrat memiliki satu akar. Namun, jika kita berasumsi bahwa persamaan dalam kasus ini mempunyai dua akar yang identik, maka persamaan dari teorema Vieta juga berlaku. Memang, ketika D=0 akar persamaan kuadrat sama dengan , maka dan , dan karena D=0, yaitu, b 2 −4·a·c=0, maka b 2 =4·a·c, maka .
Dalam praktiknya, teorema Vieta paling sering digunakan dalam kaitannya dengan persamaan kuadrat tereduksi (dengan koefisien terdepan a sama dengan 1) dalam bentuk x 2 +p·x+q=0. Kadang-kadang dirumuskan untuk persamaan kuadrat jenis ini saja, yang tidak membatasi keumumannya, karena persamaan kuadrat apa pun dapat diganti dengan persamaan ekuivalen dengan membagi kedua ruasnya dengan bilangan bukan nol a. Mari kita berikan rumusan teorema Vieta yang sesuai:
Dalil.
Jumlah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0 sama dengan koefisien x yang bertanda berlawanan, dan hasil kali akar-akarnya sama dengan suku bebas, yaitu x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Teorema kebalikan dari teorema Vieta
Rumusan kedua teorema Vieta yang diberikan pada paragraf sebelumnya menunjukkan bahwa jika x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p x+q=0, maka relasi x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. Sebaliknya, dari relasi tertulis x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x 2 +p x+q=0. Dengan kata lain, kebalikan dari teorema Vieta benar. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema dan buktikan.
Dalil.
Jika bilangan x 1 dan x 2 sedemikian rupa sehingga x 1 +x 2 =−p dan x 1 · x 2 =q, maka x 1 dan x 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p · x+q =0.
Bukti.
Setelah koefisien p dan q pada persamaan x 2 +p·x+q=0 diganti dengan persamaannya melalui x 1 dan x 2, maka persamaan tersebut diubah menjadi persamaan ekuivalen.
Mari kita substitusikan bilangan x 1 sebagai ganti x ke dalam persamaan yang dihasilkan, dan kita mendapatkan persamaannya x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, yang untuk setiap x 1 dan x 2 mewakili persamaan numerik yang benar 0=0, karena x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Oleh karena itu, x 1 adalah akar persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, artinya x 1 adalah akar persamaan ekuivalen x 2 +p·x+q=0.
Jika dalam persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 gantikan bilangan x 2 dengan x, kita peroleh persamaannya x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Ini adalah persamaan yang sebenarnya x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Oleh karena itu, x 2 juga merupakan akar persamaan x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, dan oleh karena itu persamaan x 2 +p·x+q=0.
Ini melengkapi pembuktian teorema yang bertentangan dengan teorema Vieta.
Contoh penggunaan teorema Vieta
Saatnya berbicara tentang penerapan praktis teorema Vieta dan teorema kebalikannya. Pada bagian ini kita akan menganalisis solusi untuk beberapa contoh yang paling umum.
Mari kita mulai dengan menerapkan teorema kebalikan dari teorema Vieta. Lebih mudah digunakan untuk memeriksa apakah dua bilangan tertentu merupakan akar persamaan kuadrat tertentu. Dalam hal ini, jumlah dan selisihnya dihitung, setelah itu validitas hubungan diperiksa. Jika kedua hubungan ini terpenuhi, maka berdasarkan teorema kebalikan dari teorema Vieta, disimpulkan bahwa bilangan-bilangan tersebut adalah akar-akar persamaan. Jika setidaknya salah satu hubungan tidak terpenuhi, maka bilangan-bilangan tersebut bukan akar-akar persamaan kuadrat. Pendekatan ini dapat digunakan ketika menyelesaikan persamaan kuadrat untuk memeriksa akar-akar yang ditemukan.
Contoh.
Pasangan bilangan 1) x 1 =−5, x 2 =3, atau 2) atau 3) manakah yang merupakan pasangan akar persamaan kuadrat 4 x 2 −16 x+9=0?
Larutan.
Koefisien persamaan kuadrat 4 x 2 −16 x+9=0 adalah a=4, b=−16, c=9. Menurut teorema Vieta, jumlah akar-akar persamaan kuadrat harus sama dengan −b/a, yaitu 16/4=4, dan hasil kali akar-akarnya harus sama dengan c/a, yaitu 9 /4.
Sekarang mari kita hitung jumlah dan hasil kali angka-angka di masing-masing dari tiga pasangan yang diberikan, dan bandingkan dengan nilai yang baru saja kita peroleh.
Dalam kasus pertama kita memiliki x 1 +x 2 =−5+3=−2. Nilai yang dihasilkan berbeda dengan 4 sehingga tidak dapat dilakukan pemeriksaan lebih lanjut, namun dengan menggunakan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kita dapat langsung menyimpulkan bahwa pasangan bilangan pertama bukanlah pasangan akar persamaan kuadrat yang diberikan.
Mari beralih ke kasus kedua. Di sini, syarat pertama terpenuhi. Kami memeriksa kondisi kedua: nilai yang dihasilkan berbeda dari 9/4. Oleh karena itu, pasangan bilangan kedua tersebut bukan merupakan pasangan akar persamaan kuadrat.
Masih ada satu kasus terakhir. Di sini dan . Kedua syarat tersebut terpenuhi, jadi bilangan x 1 dan x 2 ini adalah akar-akar persamaan kuadrat yang diberikan.
Menjawab:
Kebalikan teorema Vieta dapat digunakan dalam praktik untuk mencari akar persamaan kuadrat. Biasanya, akar bilangan bulat dari persamaan kuadrat tertentu dengan koefisien bilangan bulat dipilih, karena dalam kasus lain hal ini cukup sulit dilakukan. Dalam hal ini, mereka menggunakan fakta bahwa jika jumlah dua bilangan sama dengan koefisien kedua persamaan kuadrat, yang diberi tanda minus, dan hasil kali bilangan-bilangan tersebut sama dengan suku bebasnya, maka bilangan-bilangan tersebut adalah akar persamaan kuadrat ini. Mari kita pahami ini dengan sebuah contoh.
Mari kita ambil persamaan kuadrat x 2 −5 x+6=0. Agar bilangan x 1 dan x 2 menjadi akar-akar persamaan ini, dua persamaan harus dipenuhi: x 1 + x 2 =5 dan x 1 · x 2 =6. Yang tersisa hanyalah memilih nomor tersebut. DI DALAM pada kasus ini ini cukup mudah dilakukan: bilangan tersebut adalah 2 dan 3, karena 2+3=5 dan 2·3=6. Jadi, 2 dan 3 adalah akar-akar persamaan kuadrat ini.
Teorema kebalikan dari teorema Vieta sangat mudah digunakan untuk mencari akar kedua dari persamaan kuadrat tertentu ketika salah satu akar sudah diketahui atau jelas. Dalam hal ini, akar kedua dapat ditemukan dari relasi mana pun.
Sebagai contoh, mari kita ambil persamaan kuadrat 512 x 2 −509 x −3=0. Di sini mudah untuk melihat bahwa kesatuan adalah akar persamaan, karena jumlah koefisien persamaan kuadrat ini sama dengan nol. Jadi x 1 =1. Akar kedua x 2 dapat dicari, misalnya, dari relasi x 1 ·x 2 =c/a. Kita mempunyai 1 x 2 =−3/512, dan x 2 =−3/512. Beginilah cara kami menentukan kedua akar persamaan kuadrat: 1 dan −3/512.
Jelas bahwa pemilihan akar hanya disarankan dalam kasus yang paling sederhana. Dalam kasus lain, untuk mencari akar, Anda dapat menggunakan rumus akar persamaan kuadrat melalui diskriminan.
Penerapan praktis lainnya dari kebalikan teorema Vieta adalah membuat persamaan kuadrat dengan akar-akar x 1 dan x 2 . Untuk melakukan ini, cukup menghitung jumlah akar-akar yang menghasilkan koefisien x dengan tanda kebalikan dari persamaan kuadrat yang diberikan, dan hasil kali akar-akar yang menghasilkan suku bebas.
Contoh.
Tulis persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah −11 dan 23.
Larutan.
Mari kita nyatakan x 1 =−11 dan x 2 =23. Kita menghitung jumlah dan hasil kali bilangan-bilangan berikut: x 1 +x 2 =12 dan x 1 ·x 2 =−253. Oleh karena itu, bilangan-bilangan yang ditunjukkan adalah akar-akar persamaan kuadrat tereduksi dengan koefisien kedua −12 dan suku bebas −253. Artinya, x 2 −12·x−253=0 adalah persamaan yang diperlukan.
Menjawab:
x 2 −12·x−253=0 .
Teorema Vieta sangat sering digunakan ketika menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat. Bagaimana hubungan teorema Vieta dengan tanda-tanda akar persamaan kuadrat tereduksi x 2 +p·x+q=0? Berikut dua pernyataan yang relevan:
- Jika titik potong q adalah bilangan positif dan persamaan kuadrat mempunyai akar real, maka keduanya positif atau keduanya negatif.
- Jika suku bebas q bilangan negatif dan persamaan kuadrat mempunyai akar-akar real, maka tanda-tandanya berbeda, dengan kata lain akar yang satu positif dan akar yang lain negatif.
Pernyataan-pernyataan ini mengikuti rumus x 1 · x 2 =q, serta aturan mengalikan bilangan positif, negatif, dan bilangan yang berbeda tandanya. Mari kita lihat contoh penerapannya.
Contoh.
R itu positif. Dengan menggunakan rumus diskriminan kita mencari D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, nilai dari ekspresi r 2 +8 positif untuk sembarang r nyata, jadi D>0 untuk sembarang r nyata. Akibatnya, persamaan kuadrat asli memiliki dua akar untuk setiap nilai nyata dari parameter r.
Sekarang mari kita cari tahu kapan akarnya memiliki tanda yang berbeda. Jika tanda-tanda akar-akarnya berbeda, maka hasil kali keduanya negatif, dan menurut teorema Vieta, hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tereduksi sama dengan suku bebas. Oleh karena itu, kami tertarik pada nilai r yang suku bebasnya r−1 negatif. Jadi, untuk mencari nilai r yang kita minati, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan linier r−1<0 , откуда находим r<1 .
Menjawab:
di sungai<1 .
rumus Vieta
Di atas kita berbicara tentang teorema Vieta untuk persamaan kuadrat dan menganalisis hubungan yang ditegaskannya. Namun ada rumus yang menghubungkan akar real dan koefisien tidak hanya persamaan kuadrat, tetapi juga persamaan kubik, persamaan derajat keempat, dan secara umum, persamaan aljabar derajat n. Mereka disebut Rumus Vieta.
Mari kita tulis rumus Vieta untuk persamaan aljabar derajat n berbentuk, dan asumsikan persamaan tersebut mempunyai n akar real x 1, x 2, ..., x n (di antara mereka mungkin ada yang bertepatan): 
Rumus Vieta bisa didapatkan teorema penguraian polinomial menjadi faktor linier, serta definisi polinomial yang sama melalui persamaan semua koefisien yang bersesuaian. Jadi polinomial dan pemuaiannya menjadi faktor linier bentuknya adalah sama. Membuka tanda kurung pada hasil kali terakhir dan menyamakan koefisien yang sesuai, kita memperoleh rumus Vieta.
Khususnya, untuk n=2 kita mempunyai rumus Vieta yang sudah familiar untuk persamaan kuadrat.
Untuk persamaan kubik, rumus Vieta berbentuk 
Perlu dicatat bahwa di sisi kiri rumus Vieta terdapat apa yang disebut rumus dasar polinomial simetris.
Bibliografi.
- Aljabar: buku pelajaran untuk kelas 8. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A.Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008. - 271 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Dalam 2 jam. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan umum / A.G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Aljabar dan awal analisis matematis. kelas 10: buku teks. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; ed. A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - M.: Pendidikan, 2010.- 368 hal. : sakit. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Pernyataan pertama menyatakan bahwa jumlah akar-akar persamaan ini sama dengan nilai koefisien variabel x (dalam hal ini b), tetapi bertanda berlawanan. Secara visual terlihat seperti ini: x1 + x2 = −b.
Pernyataan kedua tidak lagi berkaitan dengan jumlah, tetapi dengan hasil kali dua akar yang sama. Produk ini disamakan dengan koefisien bebas, yaitu. C. Atau, x1 * x2 = c. Kedua contoh ini diselesaikan dalam sistem.
Teorema Vieta sangat menyederhanakan penyelesaian, tetapi memiliki satu batasan. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dapat dicari dengan menggunakan teknik ini harus direduksi. Pada persamaan di atas, koefisien a yang berada di depan x2 sama dengan satu. Persamaan apa pun dapat diubah menjadi bentuk serupa dengan membagi persamaan tersebut dengan koefisien pertama, tetapi operasi ini tidak selalu rasional.
Bukti teorema
Pertama-tama, kita harus ingat betapa tradisionalnya mencari akar-akar persamaan kuadrat. Ditemukan akar pertama dan kedua yaitu: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Secara umum teorema tersebut habis dibagi 2a, namun seperti telah disebutkan, teorema tersebut hanya dapat diterapkan jika a=1.Dari teorema Vieta diketahui bahwa jumlah akar-akarnya sama dengan koefisien kedua yang bertanda minus. Artinya x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Hal yang sama juga berlaku untuk hasil kali akar-akar yang tidak diketahui: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Pada gilirannya, D = b2-4c (sekali lagi dengan a=1). Ternyata hasilnya: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Dari bukti sederhana yang diberikan, hanya satu kesimpulan yang dapat ditarik: teorema Vieta terkonfirmasi sepenuhnya.
Rumusan dan pembuktian kedua
Teorema Vieta memiliki interpretasi lain. Lebih tepatnya, ini bukanlah interpretasi, melainkan formulasi. Faktanya adalah jika kondisi yang sama terpenuhi seperti pada kasus pertama: terdapat dua akar real yang berbeda, maka teorema tersebut dapat ditulis dengan rumus lain.Persamaan tersebut terlihat seperti ini: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Jika fungsi P(x) berpotongan di dua titik x1 dan x2, maka dapat dituliskan sebagai P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). Jika P mempunyai derajat kedua, dan seperti inilah ekspresi aslinya, maka R adalah bilangan prima, yaitu 1. Pernyataan ini benar karena jika tidak, persamaan tidak akan berlaku. Koefisien x2 saat membuka tanda kurung tidak boleh lebih besar dari satu, dan ekspresi harus tetap persegi.
