Persamaan diferensial (DE) - ini persamaannya,
dimana adalah variabel bebas, y adalah fungsi dan merupakan turunan parsial.

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang hanya memiliki satu variabel bebas, .

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang mempunyai dua atau lebih variabel bebas.

Kata “biasa” dan “turunan parsial” boleh dihilangkan jika sudah jelas persamaan mana yang dipertimbangkan. Berikut ini akan dibahas persamaan diferensial biasa.

Urutan persamaan diferensial adalah urutan turunan tertinggi.

Berikut adalah contoh persamaan orde pertama:

Berikut adalah contoh persamaan orde keempat:

Terkadang persamaan diferensial orde pertama ditulis dalam bentuk diferensial:

Dalam hal ini, variabel x dan y adalah sama. Artinya, variabel bebasnya bisa berupa x atau y. Dalam kasus pertama, y ​​adalah fungsi dari x. Dalam kasus kedua, x adalah fungsi dari y. Jika perlu, kita dapat mereduksi persamaan ini ke bentuk yang secara eksplisit menyertakan turunan y′.
Membagi persamaan ini dengan dx kita mendapatkan:
.
Sejak dan , maka berikut ini
.

Memecahkan persamaan diferensial

Turunan dari fungsi dasar dinyatakan melalui fungsi dasar. Integral fungsi dasar seringkali tidak dinyatakan dalam fungsi dasar. Situasinya lebih buruk lagi dengan persamaan diferensial. Sebagai hasil dari solusi tersebut, Anda bisa mendapatkan:

• ketergantungan eksplisit suatu fungsi pada variabel;

  Memecahkan persamaan diferensial adalah fungsi y = u (X), yang terdefinisi, n kali terdiferensiasi, dan .

• ketergantungan implisit dalam bentuk persamaan tipe Φ (x, kamu) = 0 atau sistem persamaan;

  Integral persamaan diferensial adalah solusi persamaan diferensial yang mempunyai bentuk implisit.

• ketergantungan dinyatakan melalui fungsi dasar dan integral darinya;

  Memecahkan persamaan diferensial dalam kuadratur - ini mencari solusi dalam bentuk kombinasi fungsi dasar dan integralnya.

• solusinya tidak dapat dinyatakan melalui fungsi dasar.

Karena penyelesaian persamaan diferensial dilakukan dengan menghitung integral, penyelesaiannya mencakup himpunan konstanta C 1, C 2, C 3, ... C n. Banyaknya konstanta sama dengan orde persamaan. Integral parsial persamaan diferensial adalah integral umum untuk nilai konstanta C 1, C 2, C 3, ..., C n yang diberikan.

Referensi:
V.V. Stepanov, Mata kuliah persamaan diferensial, “LKI”, 2015.
N.M. Gunter, RO. Kuzmin, Kumpulan Masalah Matematika Tinggi, “Lan”, 2003.

Saat ini, salah satu keterampilan terpenting bagi setiap spesialis adalah kemampuan menyelesaikan persamaan diferensial. Memecahkan persamaan diferensial - tidak ada satu pun tugas terapan yang dapat dilakukan tanpa ini, baik itu menghitung parameter fisik atau memodelkan perubahan sebagai akibat dari kebijakan makroekonomi yang diadopsi. Persamaan ini juga penting untuk sejumlah ilmu pengetahuan lain, seperti kimia, biologi, kedokteran, dll. Di bawah ini kami akan memberikan contoh penggunaan persamaan diferensial dalam ilmu ekonomi, namun sebelumnya kita akan membahas secara singkat tentang jenis-jenis persamaan utama.

Persamaan diferensial - tipe paling sederhana

Orang bijak mengatakan bahwa hukum alam semesta kita tertulis di dalamnya bahasa matematika. Tentu saja, dalam aljabar terdapat banyak contoh berbagai persamaan, tetapi sebagian besar merupakan contoh pendidikan yang tidak dapat diterapkan dalam praktik. Matematika yang benar-benar menarik dimulai ketika kita ingin menggambarkan proses yang terjadi di dalamnya kehidupan nyata. Namun bagaimana kita dapat mencerminkan faktor waktu yang mengatur proses nyata—inflasi, output, atau indikator demografi?

Mari kita ingat satu hal definisi penting dari mata kuliah matematika tentang turunan suatu fungsi. Turunan adalah laju perubahan suatu fungsi, sehingga dapat membantu kita merefleksikan faktor waktu dalam persamaan.

Artinya, kita membuat persamaan dengan fungsi yang mendeskripsikan indikator yang kita minati dan menambahkan turunan fungsi tersebut ke persamaan tersebut. Ini adalah persamaan diferensial. Sekarang mari kita beralih ke yang paling sederhana jenis persamaan diferensial untuk boneka.

Persamaan diferensial paling sederhana berbentuk $y'(x)=f(x)$, dimana $f(x)$ adalah fungsi tertentu, dan $y'(x)$ adalah turunan atau laju perubahan yang diinginkan fungsi. Ini dapat diselesaikan dengan integrasi biasa: $$y(x)=\int f(x)dx.$$

Kedua tipe paling sederhana disebut persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan. Persamaannya terlihat seperti ini: $y’(x)=f(x)\cdot g(y)$. Terlihat bahwa variabel terikat $y$ juga merupakan bagian dari fungsi yang dibangun. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan sangat sederhana - Anda perlu “memisahkan variabel”, yaitu, membawanya ke bentuk $y'(x)/g(y)=f(x)$ atau $dy/g(y) =f(x)dx$. Tetap mengintegrasikan kedua sisi $$\int \frac(dy)(g(y))=\int f(x)dx$$ - ini adalah solusi persamaan diferensial tipe yang dapat dipisahkan.

Tipe sederhana yang terakhir adalah persamaan diferensial linier orde satu. Bentuknya $y'+p(x)y=q(x)$. Di sini $p(x)$ dan $q(x)$ adalah beberapa fungsi, dan $y=y(x)$ adalah fungsi yang diperlukan. Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu kita sudah menggunakan metode khusus(Metode Lagrange untuk variasi konstanta sembarang, metode substitusi Bernoulli).

ada lagi spesies yang kompleks persamaan - persamaan orde kedua, ketiga dan umumnya sewenang-wenang, homogen dan persamaan tidak homogen, serta sistem persamaan diferensial. Penyelesaiannya memerlukan persiapan awal dan pengalaman dalam memecahkan masalah yang lebih sederhana.

Apa yang disebut persamaan diferensial parsial sangat penting bagi fisika dan, di luar dugaan, keuangan. Artinya fungsi yang diinginkan bergantung pada beberapa variabel secara bersamaan. Misalnya, persamaan Black-Scholes dari bidang rekayasa keuangan menggambarkan nilai suatu opsi (tipe sekuritas) tergantung pada profitabilitasnya, jumlah pembayaran, serta tanggal mulai dan berakhirnya pembayaran. Menyelesaikan persamaan diferensial parsial cukup rumit dan biasanya perlu digunakan program khusus, seperti Matlab atau Maple.

Contoh penerapan persamaan diferensial dalam ilmu ekonomi

Mari kita berikan, seperti yang dijanjikan, contoh sederhana penyelesaian persamaan diferensial. Pertama, mari kita atur tugasnya.

Bagi beberapa perusahaan, fungsi pendapatan marjinal dari penjualan produknya berbentuk $MR=10-0.2q$. Di sini $MR$ adalah pendapatan marjinal perusahaan, dan $q$ adalah volume produksi. Kita perlu mencari total pendapatan.

Seperti yang Anda lihat dari soal, ini adalah contoh terapan dari ekonomi mikro. Banyak perusahaan dan perusahaan terus-menerus menghadapi perhitungan seperti itu dalam menjalankan aktivitasnya.

Mari kita mulai dengan solusinya. Seperti diketahui dari ilmu ekonomi mikro, pendapatan marjinal merupakan turunan dari total pendapatan, dan pendapatan adalah nol jika penjualan nol.

Dari sudut pandang matematika, masalahnya direduksi menjadi penyelesaian persamaan diferensial $R'=10-0.2q$ dalam kondisi $R(0)=0$.

Mari kita integrasikan persamaannya, dengan mengambil fungsi antiturunan dari kedua ruas, kita peroleh keputusan bersama: $$R(q) = \int (10-0.2q)dq = 10 q-0.1q^2+C. $$

Untuk mencari konstanta $C$, ingat kondisi $R(0)=0$. Mari kita substitusikan: $$R(0) =0-0+C = 0. $$ Jadi C=0 dan fungsi pendapatan total kita berbentuk $R(q)=10q-0.1q^2$. Masalah terpecahkan.

Contoh lain oleh jenis yang berbeda Kontrol jarak jauh dikumpulkan di halaman:

instruksi

Jika persamaan tersebut disajikan dalam bentuk: dy/dx = q(x)/n(y), klasifikasikan persamaan tersebut sebagai persamaan diferensial yang variabelnya dapat dipisahkan. Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan menuliskan kondisi dalam diferensial sebagai berikut: n(y)dy = q(x)dx. Kemudian integrasikan kedua sisi. Dalam beberapa kasus, penyelesaiannya ditulis dalam bentuk integral yang diambil dari fungsi yang diketahui. Misalnya, dalam kasus dy/dx = x/y, kita mendapatkan q(x) = x, n(y) = y. Tuliskan dalam bentuk ydy = xdx dan integrasikan. Seharusnya y^2 = x^2 + c.

Untuk linier persamaan menghubungkan persamaan tersebut dengan “pertama”. Fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya memasuki persamaan tersebut hanya sampai derajat pertama. Linier berbentuk dy/dx + f(x) = j(x), dimana f(x) dan g(x) adalah fungsi yang bergantung pada x. Penyelesaiannya ditulis menggunakan integral yang diambil dari fungsi yang diketahui.

Perlu diketahui bahwa banyak persamaan diferensial yang merupakan persamaan orde dua (mengandung turunan kedua). Misalnya persamaan gerak harmonik sederhana ditulis dalam bentuk umum: md 2x/dt 2 = –kx. Persamaan tersebut, dalam , memiliki solusi khusus. Persamaan gerak harmonik sederhana adalah contoh yang cukup penting: persamaan diferensial linier yang memiliki koefisien konstan.

Jika dalam kondisi tugas hanya ada satu persamaan linier, maka kamu telah diberikan kondisi tambahan, berkat solusi yang dapat ditemukan. Bacalah soal dengan cermat untuk menemukan kondisi tersebut. Jika variabel x dan y menunjukkan jarak, kecepatan, berat - jangan ragu untuk menetapkan batas x≥0 dan y≥0. Sangat mungkin x atau y menyembunyikan jumlah apel, dan seterusnya. – maka nilainya hanya bisa . Jika x adalah umur anak laki-laki, maka jelas dia tidak boleh lebih tua dari ayahnya, maka tunjukkanlah hal ini pada kondisi soal.

Sumber:

• cara menyelesaikan persamaan dengan satu variabel

Masalah kalkulus diferensial dan integral adalah elemen penting konsolidasi teori analisis matematis, cabang matematika tinggi yang dipelajari di universitas. Diferensial persamaannya diselesaikan dengan metode integrasi.

instruksi

Kalkulus diferensial mengeksplorasi sifat-sifat . Dan sebaliknya, mengintegrasikan suatu fungsi memungkinkan properti tertentu, yaitu turunan atau diferensial suatu fungsi untuk mencari fungsi itu sendiri. Ini adalah solusi persamaan diferensial.

Apa pun adalah hubungan antara besaran yang tidak diketahui dan data yang diketahui. Dalam kasus persamaan diferensial, peran yang tidak diketahui dimainkan oleh fungsi, dan peran besaran yang diketahui dimainkan oleh turunannya. Selain itu, relasi tersebut mungkin berisi variabel independen: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, dengan x adalah variabel yang tidak diketahui variabel, y (x) adalah fungsi yang akan ditentukan, orde persamaannya adalah pesanan maksimum turunan (n).

Persamaan seperti ini disebut persamaan diferensial biasa. Jika hubungan tersebut memuat beberapa variabel bebas dan turunan parsial (diferensial) suatu fungsi terhadap variabel-variabel tersebut, maka persamaan tersebut disebut persamaan diferensial parsial dan berbentuk: x∂z/∂y - ∂z/∂x = 0 , di mana z(x, y) adalah fungsi yang diperlukan.

Jadi, untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan diferensial, Anda harus bisa mencari antiturunan, yaitu. memecahkan masalah kebalikan dari diferensiasi. Contoh: Selesaikan persamaan orde pertama y’ = -y/x.

SolusiGanti y’ dengan dy/dx: dy/dx = -y/x.

Kurangi persamaan tersebut ke bentuk yang sesuai untuk integrasi. Caranya, kalikan kedua ruas dengan dx dan bagi dengan y:dy/y = -dx/x.

Integral: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - dalam |x| +C.

Solusi ini disebut persamaan diferensial umum. C adalah konstanta yang himpunan nilainya menentukan himpunan solusi persamaan. Untuk nilai C tertentu, solusinya akan unik. Solusi ini merupakan solusi parsial dari persamaan diferensial.

Memecahkan sebagian besar persamaan tingkat tinggi derajat tidak memiliki rumus yang jelas untuk mencari akar kuadrat persamaan. Namun, ada beberapa metode reduksi yang memungkinkan Anda mengubah persamaan derajat yang lebih tinggi menjadi bentuk yang lebih visual.

instruksi

Metode paling umum untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi adalah ekspansi. Pendekatan ini merupakan kombinasi pemilihan akar bilangan bulat, pembagi suku bebas, dan selanjutnya pembagian polinomial umum ke dalam bentuk (x – x0).

Misalnya, selesaikan persamaan x^4 + x³ + 2 x² – x – 3 = 0. Penyelesaian: Suku bebas polinomial ini adalah -3, sehingga pembagi bilangan bulatnya dapat berupa bilangan ±1 dan ±3. Substitusikan mereka satu per satu ke dalam persamaan dan cari tahu apakah Anda mendapatkan identitasnya: 1: 1 + 1 + 2 – 1 – 3 = 0.

Akar kedua x = -1. Bagilah dengan ekspresi (x + 1). Tuliskan persamaan yang dihasilkan (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 3) = 0. Derajatnya telah dikurangi menjadi satuan, oleh karena itu, persamaan tersebut dapat memiliki dua akar lagi. Untuk mencarinya, selesaikan persamaan kuadrat: x² + x + 3 = 0D = 1 – 12 = -11

Diskriminannya bernilai negatif, artinya persamaan tersebut tidak lagi mempunyai akar real. Temukan akar kompleks persamaan: x = (-2 + i·√11)/2 dan x = (-2 – i·√11)/2.

Metode lain untuk menyelesaikan persamaan derajat yang lebih tinggi adalah dengan mengubah variabel menjadi kuadrat. Pendekatan ini digunakan jika semua pangkat persamaannya genap, contoh: x^4 – 13 x² + 36 = 0

Sekarang carilah akar-akar persamaan awal: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Tip 10: Cara Menentukan Persamaan Redoks

Reaksi kimia adalah proses transformasi zat yang terjadi dengan perubahan komposisinya. Zat yang bereaksi disebut zat awal, dan zat yang terbentuk dari proses ini disebut produk. Itu terjadi selama reaksi kimia unsur-unsur penyusun zat awal mengubah bilangan oksidasinya. Artinya, mereka dapat menerima elektron orang lain dan memberikan elektronnya sendiri. Dalam kedua kasus tersebut, biayanya berubah. Reaksi seperti ini disebut reaksi redoks.

Entah sudah diselesaikan terhadap turunannya, atau dapat diselesaikan terhadap turunannya .

Solusi umum persamaan diferensial tipe pada interval X, yang diberikan, dapat dicari dengan mengambil integral kedua ruas persamaan ini.

Kita mendapatkan .

Jika Anda melihat propertinya integral tak tentu, lalu kita temukan solusi umum yang diinginkan:

kamu = F(x) + C,

Di mana F(x)- salah satu fungsi primitif f(x) diantara X, A DENGAN- konstanta sewenang-wenang.

Harap dicatat bahwa dalam sebagian besar masalah, intervalnya X jangan tunjukkan. Artinya, solusi harus ditemukan untuk semua orang. X, untuk apa dan fungsi yang diinginkan kamu, Dan persamaan asli masuk akal.

Jika Anda perlu menghitung solusi tertentu dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal kamu(x 0) = kamu 0, kemudian setelah menghitung integral umum kamu = F(x) + C, masih perlu menentukan nilai konstanta C = C 0, menggunakan kondisi awal. Artinya, sebuah konstanta C = C 0 ditentukan dari persamaan F(x 0) + C = kamu 0, dan solusi parsial persamaan diferensial yang diinginkan akan berbentuk:

kamu = F(x) + C 0.

Mari kita lihat sebuah contoh:

Mari kita cari solusi umum persamaan diferensial dan periksa kebenaran hasilnya. Mari kita cari solusi khusus untuk persamaan ini yang memenuhi kondisi awal.

Larutan:

Setelah kita mengintegrasikan persamaan diferensial yang diberikan, kita mendapatkan:

.

Mari kita ambil integral ini menggunakan metode integrasi per bagian:

Itu., adalah solusi umum persamaan diferensial.

Untuk memastikan hasilnya benar, mari kita lakukan pengecekan. Untuk melakukan ini, kami mengganti solusi yang kami temukan ke dalam persamaan yang diberikan:

.

Yaitu kapan persamaan awal berubah menjadi identitas:

oleh karena itu, solusi umum persamaan diferensial ditentukan dengan benar.

Solusi yang kami temukan adalah solusi umum persamaan diferensial untuk setiap nilai riil argumen X.

Tinggal menghitung solusi tertentu untuk ODE yang akan memenuhi kondisi awal. Dengan kata lain, perlu dihitung nilai konstanta DENGAN, yang persamaannya akan benar:

.

.

Lalu, ganti C = 2 ke dalam solusi umum ODE, kita memperoleh solusi khusus dari persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal:

.

Persamaan diferensial biasa turunannya dapat diselesaikan dengan membagi 2 ruas persamaan dengan f(x). Transformasi ini akan ekuivalen jika f(x) tidak berubah menjadi nol dalam keadaan apa pun X dari interval integrasi persamaan diferensial X.

Ada kemungkinan situasi ketika, untuk beberapa nilai argumen X ∈ X fungsi f(x) Dan g(x) sekaligus menjadi nol. Untuk nilai serupa X solusi umum persamaan diferensial adalah fungsi apa pun kamu, yang didefinisikan di dalamnya, karena .

Jika untuk beberapa nilai argumen X ∈ X kondisinya terpenuhi, artinya dalam hal ini ODE tidak memiliki solusi.

Untuk semua orang X dari interval X solusi umum persamaan diferensial ditentukan dari persamaan yang ditransformasikan.

Mari kita lihat contohnya:

Contoh 1.

Mari kita cari solusi umum untuk ODE: .

Larutan.

Dari sifat-sifat dasar fungsi dasar jelaslah bahwa fungsi logaritma natural didefinisikan untuk nilai argumen non-negatif, jadi cakupan ekspresinya adalah dalam(x+3) ada jeda X > -3 . Ini berarti persamaan diferensial yang diberikan masuk akal X > -3 . Untuk nilai argumen ini, ekspresi x+3 tidak hilang, sehingga Anda dapat menyelesaikan ODE turunannya dengan membagi 2 bagiannya x + 3.

Kita mendapatkan .

Selanjutnya, kita integrasikan persamaan diferensial yang dihasilkan dan diselesaikan terhadap turunannya: . Untuk mengambil integral ini, kita menggunakan metode menjumlahkannya di bawah tanda diferensial.

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang menghubungkan variabel bebas, fungsi yang tidak diketahui dari variabel tersebut dan turunannya (atau diferensial) dari berbagai orde.

Urutan persamaan diferensial disebut orde turunan tertinggi yang terdapat di dalamnya.

Selain persamaan biasa, persamaan diferensial parsial juga dipelajari. Ini adalah persamaan yang menghubungkan variabel-variabel independen, fungsi yang tidak diketahui dari variabel-variabel ini dan turunan parsialnya terhadap variabel yang sama. Tapi kami hanya akan mempertimbangkannya persamaan diferensial biasa dan oleh karena itu, demi singkatnya, kami akan menghilangkan kata “biasa”.

Contoh persamaan diferensial:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Persamaan (1) orde keempat, persamaan (2) orde ketiga, persamaan (3) dan (4) orde kedua, persamaan (5) orde satu.

Persamaan diferensial N Urutan ke-th tidak harus mengandung fungsi eksplisit, semua turunannya dari yang pertama hingga N orde -th dan variabel bebas. Ini tidak boleh mengandung turunan eksplisit dari orde tertentu, fungsi, atau variabel independen.

Misalnya, dalam persamaan (1) jelas tidak ada turunan orde ketiga dan kedua, serta fungsi; dalam persamaan (2) - turunan orde kedua dan fungsinya; dalam persamaan (4) - variabel bebas; dalam persamaan (5) - fungsi. Hanya persamaan (3) yang memuat secara eksplisit seluruh turunan, fungsi, dan variabel bebasnya.

Memecahkan persamaan diferensial setiap fungsi dipanggil kamu = f(x), jika disubstitusikan ke dalam persamaan, ia berubah menjadi identitas.

Proses mencari solusi persamaan diferensial disebut nya integrasi.

Contoh 1. Temukan solusi persamaan diferensial.

Larutan. Mari kita tulis persamaan ini dalam bentuk . Solusinya adalah mencari fungsi dari turunannya. Fungsi aslinya, seperti diketahui dari kalkulus integral, merupakan antiturunan untuk, yaitu.

Begitulah adanya penyelesaian persamaan diferensial ini . Berubah di dalamnya C, kita akan mendapatkan solusi yang berbeda. Kami menemukan bahwa ada banyak sekali solusi untuk persamaan diferensial orde pertama.

Solusi umum persamaan diferensial N Orde ke-th adalah solusinya, dinyatakan secara eksplisit terhadap fungsi dan kandungan yang tidak diketahui N konstanta arbitrer independen, mis.

Penyelesaian persamaan diferensial pada Contoh 1 bersifat umum.

Solusi parsial persamaan diferensial solusi di mana konstanta sembarang diberi nilai numerik tertentu disebut.

Contoh 2. Temukan solusi umum persamaan diferensial dan solusi khusus .

Larutan. Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan beberapa kali sama dengan orde persamaan diferensial.

,

.

Hasilnya, kami mendapat solusi umum -

dari persamaan diferensial orde ketiga tertentu.

Sekarang mari kita cari solusi tertentu dalam kondisi yang ditentukan. Untuk melakukan ini, substitusikan nilainya alih-alih koefisien sewenang-wenang dan dapatkan

.

Jika, selain persamaan diferensial, kondisi awal diberikan dalam bentuk , maka permasalahan seperti itu disebut Masalah Cauchy . Substitusikan nilai dan ke dalam solusi umum persamaan dan temukan nilai konstanta sembarang C, dan kemudian solusi tertentu dari persamaan untuk nilai yang ditemukan C. Ini adalah solusi untuk masalah Cauchy.

Contoh 3. Selesaikan masalah Cauchy untuk persamaan diferensial dari Contoh 1 subjek .

Larutan. Mari kita substitusikan nilai dari kondisi awal ke dalam solusi umum kamu = 3, X= 1. Kita mendapatkan

Kami menuliskan solusi masalah Cauchy untuk persamaan diferensial orde pertama ini:

Menyelesaikan persamaan diferensial, bahkan yang paling sederhana sekalipun, memerlukan keterampilan integrasi dan turunan yang baik, termasuk fungsi kompleks. Hal ini dapat dilihat pada contoh berikut.

Contoh 4. Temukan solusi umum persamaan diferensial.

Larutan. Persamaannya ditulis sedemikian rupa sehingga kedua ruas dapat langsung diintegrasikan.

.

Kami menerapkan metode integrasi dengan perubahan variabel (substitusi). Biarkan saja.

Diperlukan untuk mengambil dx dan sekarang - perhatian - kita melakukan ini sesuai dengan aturan diferensiasi fungsi kompleks, karena X dan ada fungsi yang kompleks("apel" - ekstraksi akar pangkat dua atau, yang merupakan hal yang sama - menaikkan pangkat "setengah", dan "daging cincang" adalah ungkapan yang paling mendasar):

Kami menemukan integralnya:

Kembali ke variabel X, kita mendapatkan:

.

Ini adalah solusi umum persamaan diferensial derajat pertama.

Dalam menyelesaikan persamaan diferensial, tidak hanya keterampilan dari bagian matematika tingkat tinggi sebelumnya yang diperlukan, tetapi juga keterampilan dari tingkat dasar, yaitu matematika sekolah. Seperti telah disebutkan, dalam persamaan diferensial orde apa pun mungkin tidak ada variabel bebas, yaitu variabel X. Pengetahuan tentang proporsi dari sekolah yang tidak terlupakan (namun tergantung siapa) dari sekolah akan membantu mengatasi masalah ini. Ini adalah contoh selanjutnya.