Hukum distribusi variabel acak diskrit. Distribusi geometris

KULIAH 8

Distribusi probabilitas variabel acak diskrit.Distribusi binomial. Distribusi racun. Distribusi geometris. Fungsi pembangkitan.

6. DISTRIBUSI PROBABILITAS
VARIABEL ACAK DISKRIT

Distribusi binomial

Biarkan itu diproduksi N uji coba independen, yang masing-masing acaranya A Mungkin muncul atau tidak. Kemungkinan P terjadinya suatu peristiwa A dalam semua pengujian adalah konstan dan tidak berubah dari pengujian ke pengujian. Anggaplah sebagai variabel acak X jumlah kemunculan suatu peristiwa A dalam tes ini. Rumus untuk mencari peluang terjadinya suatu peristiwa A
mulus k sekali setiap N tes, seperti diketahui, dijelaskan rumus Bernoulli

Distribusi probabilitas yang ditentukan oleh rumus Bernoulli disebut binomium .

Hukum ini disebut “binomial” karena ruas kanan dapat dianggap sebagai suku umum dalam perluasan binomial Newton.

Mari kita tuliskan hukum binomial dalam bentuk tabel

Mari kita cari karakteristik numerik dari distribusi ini.

.

Mari kita tulis persamaannya, yang merupakan biner Newton

.

dan bedakan terhadap p. Hasilnya kita dapatkan

.

Kalikan sisi kiri dan kanan dengan P:

.

Mengingat bahwa p+q=1, kita punya

(6.2)

Jadi, ekspektasi matematis banyaknya kemunculan kejadian dalam n percobaan bebas sama dengan hasil kali banyaknya percobaan n dengan peluang p terjadinya suatu kejadian dalam setiap percobaan.

Mari kita hitung variansnya menggunakan rumus

Untuk ini kita akan menemukannya

.

Mari kita bedakan dulu rumus binomial Newton dua kali terhadap P:

dan kalikan kedua ruas persamaan dengan P 2:

Karena itu,

Jadi, varians dari distribusi binomial adalah

. (6.3)

Hasil ini juga dapat diperoleh dari penalaran kualitatif murni. Jumlah total X kemunculan kejadian A pada semua percobaan adalah jumlah dari banyaknya kejadian kejadian dalam percobaan individu. Jadi, jika X 1 adalah banyaknya kemunculan kejadian pada percobaan pertama, X 2 – pada percobaan kedua, dan seterusnya, maka banyaknya kejadian kejadian A pada semua percobaan adalah X = X 1 +X 2 +…+X N. Menurut sifat ekspektasi matematis:

Masing-masing suku di sisi kanan persamaan adalah ekspektasi matematis dari banyaknya kejadian dalam satu percobaan, yang sama dengan peluang kejadian tersebut. Dengan demikian,

Menurut properti dispersi:

Karena , dan ekspektasi matematis dari suatu variabel acak, yang hanya dapat mengambil dua nilai, yaitu 1 2 dengan probabilitas P dan 0 2 dengan probabilitas Q, Itu . Dengan demikian, Hasilnya, kami mendapatkan

Dengan menggunakan konsep momen awal dan momen sentral, kita dapat memperoleh rumus asimetri dan kurtosis:

. (6.4)

Poligon distribusi binomial memiliki bentuk sebagai berikut (lihat Gambar 6.1). Probabilitas P N(k) pertama meningkat seiring bertambahnya k, mencapai nilai tertingginya dan kemudian mulai menurun. Distribusi binomial miring kecuali untuk kasus ini P=0,5. Perhatikan bahwa dengan sejumlah besar tes N Distribusi binomial sangat mendekati normal. (Alasan usulan ini terkait dengan teorema lokal Moivre-Laplace.)

Bilangan m 0 terjadinya suatu peristiwa disebut yang paling disukai, jika peluang suatu kejadian terjadi beberapa kali dalam rangkaian pengujian ini adalah yang terbesar (maksimum pada poligon distribusi). Untuk distribusi binomial

. (6.5)

Komentar. Pertidaksamaan ini dapat dibuktikan dengan menggunakan rumus probabilitas binomial berulang:

(6.6)

Contoh 6.1. Pangsa produk premium di perusahaan ini adalah 31%. Berapakah ekspektasi dan varians matematisnya, serta jumlah produk premium yang paling mungkin dalam kumpulan 75 produk yang dipilih secara acak?

Larutan. Karena P=0,31, Q=0,69, N=75, lalu

M[ X] = n.p.= 75×0,31 = 23,25; D[ X] = npq= 75×0,31×0,69 = 16,04.

Untuk menemukan angka yang paling mungkin M 0, mari kita buat pertidaksamaan ganda

Oleh karena itu M 0 = 23.

distribusi racun

Seperti telah disebutkan, distribusi binomial mendekati normal ketika N®¥. Namun hal ini tidak akan terjadi jika seiring dengan peningkatan N salah satu kuantitasnya P atau Q cenderung nol. Dalam hal ini, rumus Poisson asimtotik berlaku, yaitu. pada N®¥, P®0

, (6.7)

dimana aku= n.p.. Rumus ini menentukan hukum distribusi Poisson , yang mempunyai arti tersendiri, dan bukan hanya sebagai kasus khusus dari distribusi binomial. Berbeda dengan distribusi binomial, di sini variabelnya acak k dapat mengambil jumlah nilai yang tak terbatas: k=0,1,2,…

Hukum Poisson menjelaskan jumlah kejadian k yang terjadi dalam periode waktu yang sama, asalkan peristiwa tersebut terjadi secara independen satu sama lain dengan intensitas rata-rata konstan, yang dicirikan oleh parameter l. Poligon distribusi Poisson ditunjukkan pada Gambar. 6.2. Perhatikan bahwa untuk balapan besar
Distribusi Poisson mendekati normal. Oleh karena itu, distribusi Poisson biasanya digunakan dalam kasus di mana l berorde kesatuan, dan jumlah percobaan N harus besar, dan kemungkinan terjadinya peristiwa tersebut P dalam setiap tes kecil. Dalam hal ini sering juga disebut hukum Poisson hukum distribusi fenomena langka.

Contoh situasi terjadinya distribusi Poisson adalah distribusi: 1) jumlah mikroba tertentu per satuan volume; 2) jumlah elektron yang dipancarkan dari katoda yang dipanaskan per satuan waktu; 3) jumlah partikel a yang dipancarkan suatu sumber radioaktif dalam jangka waktu tertentu; 4) jumlah panggilan yang masuk ke sentral telepon pada waktu tertentu dalam sehari, dll.

Mari kita tuliskan hukum Poisson dalam bentuk tabel

Mari kita periksa apakah jumlah semua probabilitas sama dengan satu:

Mari kita cari karakteristik numerik dari distribusi ini. Berdasarkan definisi ekspektasi matematis untuk DSV, kita punya

Perhatikan bahwa pada penjumlahan terakhir, penjumlahan dimulai dengan k=1, karena suku pertama dari jumlah yang bersesuaian dengan k=0, sama dengan nol.

Untuk mencari variansnya, pertama-tama kita cari ekspektasi matematis dari kuadrat acak:

Jadi, ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak yang terdistribusi menurut hukum Poisson adalah sama dan sama dengan parameter distribusi tersebut.

. (6.8)

Inilah ciri khas dari distribusi Poisson. Jadi, jika berdasarkan data eksperimen ditemukan bahwa ekspektasi matematis dan varians suatu nilai tertentu berdekatan, maka ada alasan untuk berasumsi bahwa variabel acak tersebut terdistribusi sesuai dengan hukum Poisson.

Dengan menggunakan konsep momen awal dan momen sentral, kita dapat menunjukkan bahwa untuk distribusi Poisson koefisien skewness dan kurtosis adalah sama:

. (6.9)

Karena parameter l selalu positif, maka distribusi Poisson selalu mempunyai skewness dan kurtosis positif.

Sekarang mari kita tunjukkan bahwa rumus Poisson dapat dianggap sebagai model matematika dari aliran kejadian yang paling sederhana.

Alur peristiwa Panggil urutan peristiwa yang terjadi pada waktu acak. Aliran itu disebut yang paling sederhana, jika memiliki properti stasioneritas, tidak ada efek samping Dan hal biasa.

Intensitas aliran l adalah jumlah rata-rata kejadian yang terjadi per satuan waktu.

Jika konstanta intensitas aliran l diketahui, maka peluang terjadinya k peristiwa aliran paling sederhana dari waktu ke waktu T ditentukan oleh rumus Poisson:

. (6.10)

Rumus ini mencerminkan semua sifat aliran paling sederhana. Selain itu, setiap aliran paling sederhana dijelaskan dengan rumus Poisson, oleh karena itu aliran paling sederhana sering disebut racun.

Properti stasioneritas k peristiwa dalam jangka waktu tertentu hanya bergantung pada jumlahnya k dan durasi T jangka waktu tertentu dan tidak bergantung pada awal penghitungannya. Dengan kata lain, jika aliran mempunyai sifat stasioneritas, maka kemungkinan terjadinya k peristiwa dalam jangka waktu tertentu T ada fungsi yang hanya bergantung pada k dan dari T.

Dalam kasus aliran paling sederhana, rumus Poisson (6.10) mengikuti bahwa probabilitas k peristiwa selama T, pada intensitas tertentu, merupakan fungsi dari dua argumen saja: k Dan T, yang mencirikan properti stasioneritas.

Tidak ada properti efek samping apakah itu kemungkinan terjadinya k peristiwa-peristiwa dalam jangka waktu tertentu tergantung pada muncul atau tidaknya peristiwa-peristiwa itu pada waktu sebelum dimulainya periode yang bersangkutan. Dengan kata lain, sejarah aliran ini tidak mempengaruhi probabilitas kejadian yang terjadi dalam waktu dekat.

Dalam kasus aliran paling sederhana, rumus Poisson (6.10) tidak menggunakan informasi tentang terjadinya peristiwa sebelum dimulainya periode waktu yang dipertimbangkan, yang mencirikan properti tidak adanya efek samping.

Properti biasa adalah bahwa terjadinya dua peristiwa atau lebih dalam waktu singkat secara praktis tidak mungkin terjadi. Dengan kata lain, peluang terjadinya lebih dari satu peristiwa dalam jangka waktu singkat dapat diabaikan dibandingkan dengan peluang terjadinya hanya satu peristiwa.

Mari kita tunjukkan bahwa rumus Poisson (6.10) mencerminkan sifat kewajaran. Menempatkan k=0 dan k=1, kita masing-masing menemukan probabilitas tidak terjadinya peristiwa dan terjadinya satu peristiwa:

Oleh karena itu, peluang terjadinya lebih dari satu peristiwa adalah

Menggunakan perluasan fungsi dalam deret Maclaurin, setelah transformasi dasar kita peroleh

.

Perbandingan Pt(1) dan Pt(k>1), kami menyimpulkan bahwa untuk nilai kecil T peluang terjadinya lebih dari satu peristiwa dapat diabaikan dibandingkan dengan peluang terjadinya satu peristiwa, yang mencirikan sifat kewajaran.

Contoh 6.2. Dalam pengamatan Rutherford dan Geiger, suatu zat radioaktif selama periode waktu 7,5 detik memancarkan rata-rata 3,87 partikel a. Temukan probabilitas bahwa untuk 1 detik zat ini akan mengeluarkan setidaknya satu partikel.

Larutan. Seperti yang telah kita ketahui, distribusi jumlah partikel a yang dipancarkan oleh suatu sumber radioaktif selama periode waktu tertentu dijelaskan dengan rumus Poisson, yaitu. membentuk alur peristiwa yang paling sederhana. Karena intensitas emisi partikel a sebesar 1 detik sama

,

maka rumus Poisson (6.10) berbentuk

Jadi, kemungkinannya T=1 detik zat tersebut akan mengeluarkan setidaknya satu partikel yang sama

Distribusi geometris

Biarkan penembakan dilakukan pada target tertentu hingga pukulan pertama, dan kemungkinannya P mengenai sasaran pada setiap tembakannya sama dan tidak bergantung pada hasil tembakan sebelumnya. Dengan kata lain, skema Bernoulli diimplementasikan dalam percobaan yang sedang dipertimbangkan. Sebagai variabel acak X kita akan mempertimbangkan jumlah tembakan yang dilepaskan. Jelasnya, nilai yang mungkin dari variabel acak X adalah bilangan asli: X 1 =1, X 2 =2, ...maka peluang dibutuhkannya k tembakan akan sama

. (6.11)

Dengan asumsi dalam rumus ini k=1,2, ... kita memperoleh barisan geometri dengan suku pertama P dan pengganda Q:

Oleh karena itu, distribusi yang ditentukan oleh rumus (6.11) disebut geometris .

Dengan menggunakan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, mudah untuk memverifikasinya

.

Mari kita cari karakteristik numerik dari distribusi geometri.

Berdasarkan definisi ekspektasi matematis untuk DSV, kita punya

.

Mari kita hitung variansnya menggunakan rumus

.

Untuk ini kita akan menemukannya

.

Karena itu,

.

Jadi, ekspektasi matematis dan varians distribusi geometri adalah sama

. (6.12)

6.4.* Fungsi pembangkit

Saat memecahkan masalah yang berkaitan dengan DSV, metode kombinatorik sering digunakan. Salah satu metode teoritis analisis kombinatorial yang paling berkembang adalah metode pembangkitan fungsi, yang merupakan salah satu metode paling ampuh dalam aplikasi. Mari kita mengenalnya secara singkat.

Jika variabel acak x hanya mengambil nilai bilangan bulat non-negatif, mis.

,

Itu fungsi pembangkit distribusi probabilitas suatu variabel acak x disebut fungsi

, (6.13)

Di mana z– variabel nyata atau kompleks. Perhatikan itu antara beberapa fungsi pembangkit j x ( X)dan banyak distribusi(P(x= k)} terdapat korespondensi satu-satu.

Biarkan variabel acak x memiliki distribusi binomial

.

Kemudian, dengan menggunakan rumus binomial Newton, kita peroleh

,

itu. fungsi pembangkit distribusi binomial seperti

. (6.14)

Tambahan. Fungsi pembangkit Poisson

seperti

. (6.15)

Menghasilkan fungsi distribusi geometri

seperti

. (6.16)

Dengan menggunakan fungsi pembangkit, akan lebih mudah untuk menemukan karakteristik numerik utama DSV. Misalnya, momen awal pertama dan kedua dihubungkan ke fungsi pembangkit dengan persamaan berikut:

, (6.17)

. (6.18)

Metode pembangkitan fungsi seringkali mudah dilakukan karena dalam beberapa kasus fungsi distribusi DSV sangat sulit ditentukan, sedangkan fungsi pembangkit terkadang mudah ditemukan. Misalnya, pertimbangkan desain tes independen sekuensial Bernoulli, tetapi buatlah satu perubahan pada desain tersebut. Biarkan kemungkinan suatu peristiwa terjadi A bervariasi dari percobaan ke percobaan. Artinya rumus Bernoulli menjadi tidak dapat diterapkan untuk skema seperti itu. Tugas mencari fungsi distribusi dalam hal ini menghadirkan kesulitan yang cukup besar. Namun, untuk skema ini, fungsi pembangkitnya mudah ditemukan, dan oleh karena itu, karakteristik numerik yang sesuai juga mudah ditemukan.

Meluasnya penggunaan fungsi pembangkit didasarkan pada fakta bahwa studi tentang jumlah variabel acak dapat digantikan dengan studi produk dari fungsi pembangkit yang sesuai. Jadi, jika x 1, x 2, …, x N kalau begitu, mereka mandiri

Membiarkan hal=hal(A) – kemungkinan “berhasil” dalam k Tes ke-th di sirkuit Bernoulli (masing-masing, qk=1–hal– kemungkinan “kegagalan” dalam k tes ke-). Kemudian sesuai dengan rumus (6.19), fungsi pembangkitnya akan berbentuk

. (6.20)

Dengan menggunakan fungsi pembangkit ini, kita dapat menulis

.

Di sini diperhitungkan bahwa pk +qk=1. Sekarang, dengan menggunakan rumus (6.1), kita mencari momen awal kedua. Untuk melakukan ini, mari kita hitung dulu

Dan .

Dalam kasus khusus P 1 =P 2 =…=hal=P(yaitu dalam kasus distribusi binomial) dari rumus yang diperoleh maka Mx= n.p.,Dx= npq.

Kita dapat menyoroti hukum distribusi variabel acak diskrit yang paling umum:

• Hukum distribusi binomial
• hukum distribusi Poisson
• Hukum distribusi geometris
• Hukum distribusi hipergeometri

Untuk distribusi variabel acak diskrit tertentu, perhitungan probabilitas nilainya, serta karakteristik numerik (ekspektasi matematis, varians, dll.) dilakukan dengan menggunakan “rumus” tertentu. Oleh karena itu, sangat penting untuk mengetahui jenis-jenis distribusi dan sifat dasarnya.

1. Hukum distribusi binomial.

Variabel acak diskrit $X$ tunduk pada hukum distribusi probabilitas binomial jika mengambil nilai $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\kiri(1-p\kanan))^(n-k)$. Faktanya, variabel acak $X$ adalah jumlah kemunculan peristiwa $A$ dalam uji coba independen $n$. Hukum distribusi probabilitas variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \titik & n \\
\hline
p_i & P_n\kiri(0\kanan) & P_n\kiri(1\kanan) & \titik & P_n\kiri(n\kanan) \\
\hline
\end(array)$

Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasi matematisnya adalah $M\left(X\right)=np$, variansnya adalah $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Contoh . Keluarga itu memiliki dua anak. Dengan asumsi peluang mempunyai anak laki-laki dan perempuan sama dengan $0,5$, carilah hukum distribusi variabel acak $\xi$ - jumlah anak laki-laki dalam keluarga.

Misalkan variabel acak $\xi $ adalah jumlah anak laki-laki dalam keluarga. Nilai yang dapat diambil $\xi:\ 0,\ ​​​​1,\ 2$. Probabilitas nilai-nilai ini dapat ditemukan menggunakan rumus $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, dimana $n =2$ adalah jumlah percobaan independen, $p=0.5$ adalah probabilitas suatu kejadian terjadi dalam serangkaian $n$ percobaan. Kita mendapatkan:

$P\kiri(\xi =0\kanan)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$

$P\kiri(\xi =1\kanan)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\kiri(\xi =2\kanan)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\kiri(1-0,5\kanan))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25.$

Maka hukum distribusi variabel acak $\xi $ adalah korespondensi antara nilai $0,\ 1,\ 2$ dan probabilitasnya, yaitu:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$

Jumlah probabilitas dalam hukum distribusi harus sama dengan $1$, yaitu $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

Harapan $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, varians $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0,5=0,5$, deviasi standar $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\kira-kira $0,707.

2. Hukum distribusi Poisson.

Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai bilangan bulat non-negatif $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentar. Keunikan distribusi ini adalah, berdasarkan data eksperimen, kita menemukan perkiraan $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan)$, jika perkiraan yang diperoleh berdekatan, maka kita punya alasan untuk menyatakan bahwa variabel acak tunduk pada hukum distribusi Poisson.

Contoh . Contoh variabel acak yang tunduk pada hukum distribusi Poisson dapat berupa: jumlah mobil yang akan dilayani oleh sebuah SPBU besok; jumlah item cacat dalam produk yang diproduksi.

Contoh . Pabrik mengirimkan produk senilai $500 ke pangkalan. Kemungkinan kerusakan pada produk dalam perjalanan adalah $0,002$. Temukan hukum distribusi variabel acak $X$ yang sama dengan jumlah produk rusak; apa itu $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan)$.

Misalkan variabel acak diskrit $X$ adalah jumlah produk yang rusak. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum distribusi Poisson dengan parameter $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Probabilitas nilainya sama dengan $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\kiri(X=0\kanan)=((1^0)\lebih (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\kiri(X=1\kanan)=((1^1)\lebih (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\kiri(X=2\kanan)=((1^2)\lebih (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\kiri(X=3\kanan)=((1^3)\lebih (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\kiri(X=4\kanan)=((1^4)\lebih (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\kiri(X=5\kanan)=((1^5)\lebih (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\kiri(X=6\kanan)=((1^6)\lebih (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\kiri(X=k\kanan)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Hukum distribusi variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

Untuk variabel acak seperti itu, ekspektasi dan varians matematisnya sama satu sama lain dan sama dengan parameter $\lambda $, yaitu $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.

3. Hukum distribusi geometri.

Jika variabel acak diskrit $X$ hanya dapat mengambil nilai natural $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ dengan probabilitas $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) kanan)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, maka mereka mengatakan bahwa variabel acak $X$ tunduk pada hukum geometri distribusi probabilitas. Faktanya, distribusi geometri merupakan uji Bernoulli hingga keberhasilan pertama.

Contoh . Contoh variabel acak yang mempunyai sebaran geometri dapat berupa: jumlah tembakan sebelum sasaran pertama mengenai sasaran; jumlah pengujian perangkat hingga kegagalan pertama; jumlah pelemparan koin sampai muncul kepala pertama, dan seterusnya.

Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak yang tunduk pada distribusi geometri masing-masing sama dengan $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ $2.

Contoh . Dalam perjalanan ikan menuju tempat pemijahan terdapat gembok $4$. Peluang ikan melewati setiap kunci adalah $p=3/5$. Buatlah rangkaian distribusi variabel acak $X$ - jumlah gembok yang dilewati ikan sebelum penahanan pertama pada gembok tersebut. Temukan $M\kiri(X\kanan),\ D\kiri(X\kanan),\ \sigma \kiri(X\kanan)$.

Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah gembok yang dilewati ikan sebelum gembok pertama kali ditangkap. Variabel acak seperti itu tunduk pada hukum geometri distribusi probabilitas. Nilai yang dapat diambil oleh variabel acak $X:$1, 2, 3, 4. Probabilitas nilai-nilai ini dihitung menggunakan rumus: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, dimana: $ p=2/5$ - peluang ikan tertahan melalui gembok, $q=1-p=3/5$ - peluang ikan melewati gembok, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\kiri(X=1\kanan)=((2)\lebih dari (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^0=((2)\ lebih (5))=0,4;$

$P\kiri(X=2\kanan)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=((6)\over (25))=0,24;

$P\kiri(X=3\kanan)=((2)\lebih (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^2=((2)\ lebih (5))\cdot ((9)\lebih (25))=((18)\lebih (125))=0,144;$

$P\kiri(X=4\kanan)=((2)\lebih dari (5))\cdot (\kiri(((3)\lebih (5))\kanan))^3+(\kiri(( (3)\over (5))\kanan))^4=((27)\over (125))=0,216.$

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\kiri(X_i\kanan) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$

Nilai yang diharapkan:

$M\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Penyebaran:

$D\kiri(X\kanan)=\jumlah^n_(i=1)(p_i(\kiri(x_i-M\kiri(X\kanan)\kanan))^2=)0,4\cdot (\ kiri( 1-2,176\kanan))^2+0,24\cdot (\kiri(2-2,176\kanan))^2+0,144\cdot (\kiri(3-2,176\kanan))^2+$

$+\0,216\cdot (\kiri(4-2,176\kanan))^2\kira-kira 1,377.$

Deviasi standar:

$\sigma \kiri(X\kanan)=\sqrt(D\kiri(X\kanan))=\sqrt(1,377)\kira-kira 1,173.$

4. Hukum distribusi hipergeometri.

Jika objek $N$, di antaranya objek $m$ memiliki properti tertentu. Objek $n$ diambil secara acak tanpa dikembalikan, di antaranya terdapat objek $k$ yang memiliki properti tertentu. Distribusi hipergeometri memungkinkan untuk memperkirakan probabilitas bahwa objek $k$ dalam sampel memiliki properti tertentu. Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah objek dalam sampel yang mempunyai properti tertentu. Maka peluang nilai variabel acak $X$:

$P\kiri(X=k\kanan)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Komentar. Fungsi statistik HYPERGEOMET dari wizard fungsi $f_x$ Excel memungkinkan Anda menentukan probabilitas bahwa sejumlah pengujian akan berhasil.

$f_x\ke$ statistik$\ke$ HIPERGEOMET$\ke$ OKE. Sebuah kotak dialog akan muncul yang perlu Anda isi. Di kolom Jumlah_kesuksesan_dalam_sampel menunjukkan nilai $k$. ukuran sampel sama dengan $n$. Di kolom Jumlah_kesuksesan_dalam_bersama menunjukkan nilai $m$. ukuran populasi sama dengan $N$.

Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak diskrit $X$, sesuai dengan hukum distribusi geometri, masing-masing sama dengan $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

Contoh . Departemen kredit bank mempekerjakan 5 spesialis dengan pendidikan keuangan tinggi dan 3 spesialis dengan pendidikan hukum tinggi. Manajemen bank memutuskan untuk mengirimkan 3 orang spesialis untuk meningkatkan kualifikasinya, memilih mereka secara acak.

a) Membuat rangkaian distribusi jumlah dokter spesialis dengan pendidikan tinggi keuangan yang dapat dikirim untuk meningkatkan kualifikasinya;

b) Temukan karakteristik numerik dari distribusi ini.

Misalkan variabel acak $X$ adalah jumlah spesialis dengan pendidikan keuangan yang lebih tinggi di antara tiga spesialis yang dipilih. Nilai yang dapat diambil $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Variabel acak $X$ ini didistribusikan menurut distribusi hipergeometri dengan parameter berikut: $N=8$ - ukuran populasi, $m=5$ - jumlah keberhasilan dalam populasi, $n=3$ - ukuran sampel, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - jumlah keberhasilan dalam sampel. Maka probabilitas $P\left(X=k\right)$ dapat dihitung dengan menggunakan rumus: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ lebih dari C_( N)^(n) ) $. Kita punya:

$P\kiri(X=0\kanan)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\kira-kira 0,018;$

$P\kiri(X=1\kanan)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\kira-kira 0,268;$

$P\kiri(X=2\kanan)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\kira-kira 0,536;$

$P\kiri(X=3\kanan)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\kira-kira 0,179.$

Kemudian deret distribusi variabel acak $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$

Mari kita menghitung karakteristik numerik dari variabel acak $X$ menggunakan rumus umum distribusi hipergeometri.

$M\kiri(X\kanan)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\kiri(X\kanan)=((nm\kiri(1-((m)\over (N))\kanan)\kiri(1-((n)\over (N))\kanan)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8 ))\kanan))\lebih dari (8-1))=((225)\lebih (448))\kira-kira 0,502.$

$\sigma \kiri(X\kanan)=\sqrt(D\kiri(X\kanan))=\sqrt(0,502)\kira-kira 0,7085.$

Itu. acak diskrit nilai X memiliki geom. distributor dengan parameter R dan penyebut Q, jika mengambil nilai 1,2,3,… k, ... dengan probabilitas

P(X) = hal.k-1 , dimana Q=1-R.

Distribusinya disebut geom., karena. kejujuran hal 1, hal 2, ... membentuk barisan geometri yang anggota pertamanya adalah R, dan penyebutnya adalah Q.

Jika jumlah tes tidak dibatasi, mis. jika suatu variabel acak dapat mengambil nilai 1, 2, ..., ∞, maka nilai dan varians yang diharapkan adalah geometri. distribusi dapat dicari dengan menggunakan rumus Mх = 1/p, Dх = q/p 2

Contoh. Pistol ditembakkan ke sasaran sampai pukulan pertama terjadi. Peluang mengenai sasaran adalah p = 0,6 dengan setiap tembakan. S.v. X adalah jumlah kemungkinan tembakan sebelum pukulan pertama.

A) Susun deret distribusi, temukan fungsi distribusi, buat grafiknya, dan temukan semua karakteristik numeriknya. b) Tentukan ekspektasi dan varians matematis untuk kasus tersebut jika penembak bermaksud melepaskan tidak lebih dari tiga tembakan.

A) Variabel acak dapat mengambil nilai 1, 2, 3, 4,..., ∞
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p = 0,4 2 0,6 = 0,096 ...
P(k) = q k-1 p = 0,4 k-1 0,6 ...
Rentang distribusi:

Kendali: Σp i = 0,6/(1-0,4) = 1 (jumlah barisan geometri)

Fungsi distribusi adalah probabilitas bahwa r.v. X akan mengambil nilai yang kurang dari nilai numerik spesifik x. Nilai fungsi distribusi ditemukan dengan menjumlahkan probabilitas.

Jika x ≤ 1, maka F(x) = 0

Jika 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Jika 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Jika 3< x ≤ 4, то F(x) = 0,84 + 0,096 = 0,936 ...
Jika k-1< x ≤ k, то F(x) = 0,6(1-0,4 k-1)/(1-0,4) = 1-0,4 k-1 (частичная сумма геом-ой прогрессии) ...

Mx = 1/p = 1/0,6 ≈ 1,667
Dх = q/p 2 = 0,4/0,36 ≈ 1,111
σ = √Dх ≈ 1,054

B) Variabel acak dapat mengambil nilai 1, 2, 3.
P(1) = p = 0,6
P(2) = qp = 0,4 0,6 = 0,24
P(3) = q 2 p + q 3 = 0,4 2 0,6 + 0,4 3 = 0,16
Rentang distribusi:

Kontrol: Σp i = 0,6 + 0,24 + 0,16 = 1
Fungsi distribusi.

Jika x ≤ 1, maka F(x) = 0
Jika 1< x ≤ 2, то F(x) = 0,6
Jika 2< x ≤ 3, то F(x) = 0,6 + 0,24 = 0,84
Jika x > 3, maka F(x) = 0,84 + 0,16 = 1
M(X) = 1 0,6 + 2 0,24 + 3 0,16 = 1,56
D(X) = 1 2 0,6 + 2 2 0,24 + 3 2 0,16 - 1,56 2 = 0,5664
σ(Х) ≈ 0,752

Kemiringan dan kurtosis

Asimetri adalah properti distribusi sampling yang mencirikan asimetri distribusi variabel acak. Dalam praktiknya, distribusi simetris jarang terjadi, dan untuk mengidentifikasi dan mengevaluasi derajat asimetri, konsep asimetri diperkenalkan. Dalam kasus koefisien asimetri negatif, “penurunan” yang lebih lembut diamati di sebelah kiri, jika tidak – di sebelah kanan. Dalam kasus pertama, asimetri disebut sisi kiri, dan yang kedua - sisi kanan.

Koefisien asimetri terpisah variabel acak dihitung menggunakan rumus:
Sebagai(X) = (X 1-M X) 3 hal 1 + (X 2 - M X) 3 hal 2 + ... + ( X nM X) 3 hal n

koefisien. asimetri kontinu sl.vel. dihitung dengan rumus:

Kelebihan adalah ukuran kecuraman kurva distribusi. Koefisien kurtosis suatu variabel acak diskrit dihitung dengan menggunakan rumus:

Contoh(X) = [(x 1 - M X) 4 p 1 + (x 2 - M X) 4 p 2 + ... + (x n - M X) 4 p n ] / σ 4 - 3

Koefisien kurtosis suatu variabel acak kontinu dihitung dengan menggunakan rumus:

Contoh.

Hukum distribusi variabel acak diskrit X adalah daftar semua kemungkinan nilai variabel berikutnya. X yang dapat diterima, dan probabilitas yang sesuai. Jumlah semua keyakinan harus sama dengan 1. Periksa: 0,1 + 0,2 + 0,5 + 0,1 + 0,1 = 1.

1. Nilai yang diharapkan: M(X) = -2 0,1 - 1 0,2 + 0 0,5 + 1 0,1 + 2 0,1 = -0,1
2. Penyebaran adalah ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat dari nilai vel berikutnya. X dari mat.ozh.nya: D(X) = (-2 + 0.1) 2 0.1 + (- 1 + 0.1) 2 0.2 + (0 + 0.1) 2 0.5 + (1 + 0.1) 2 0.1 + (2 + 0,1) 2 0,1 = 1,09
   atau D(X) = (-2) 2 0,1 + (-1) 2 0,2 ​​+ 0 2 0,5 + 1 2 0,1 + 2 2 0,1 - (-0 ,1) 2 = 1,1 - 0,01 = 1,09
3. Menikahi. persegi. mati adalah akar kuadrat dari varians: σ = √1.09 ≈ 1.044
4. Koefisien. asimetri As(X) = [(-2 + 0,1) 3 0,1 + (- 1 + 0,1) 3 0,2 + (0 + 0,1) 3 0,5 + (1 + 0,1) 3 0,1 + (2 + 0,1) 3 0,1] / 1,044 3 = 0,200353
5. Koefisien. kelebihan E X(X) = [(-2 + 0,1) 4 0,1 + (- 1 + 0,1) 4 0,2 + (0 + 0,1) 4 0,5 + (1 + 0 ,1) 4 ·0,1 + (2 + 0,1) 4 ·0,1 ]/1,044 4 - 3 = 0,200353
6. Fungsi distribusi adalah probabilitas bahwa variabel acak X akan mengambil nilai yang lebih kecil dari nilai numerik tertentu X: F(X) = P(X< X). Fungsi distribusi merupakan fungsi yang tidak menurun. Dibutuhkan nilai dalam rentang dari 0 hingga 1.

P(X< -0,1) = F(-0,1) = 0,3 P(X >-0,05) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,5 + 0,1 + 0,1 = 0,7

2) Variabel acak kontinu. Distribusi normal.

Kontinu variabel acak tidak mengambil sesuatu yang spesifik nilai numerik, tetapi nilai apa pun pada garis bilangan. Penjelasan hukum distribusi pada kasus kontinyu jauh lebih rumit dibandingkan pada kasus diskrit.

Kontinu disebut variabel acak yang dapat mengambil nilai berapa pun dari selang waktu tertentu, misalnya waktu tunggu pengangkutan, suhu udara pada suatu bulan, penyimpangan ukuran sebenarnya suatu bagian dari ukuran nominal, dan sebagainya. Interval pengaturannya bisa tidak terbatas pada satu atau kedua arah.

Perbedaan utama dalam permasalahan penghitungan probabilitas untuk kasus diskrit dan kontinu adalah sebagai berikut. Dalam kasus diskrit untuk acara seperti x = c(variabel acak mengambil nilai tertentu) probabilitas dicari R(Dengan). Dalam kasus yang berkelanjutan probabilitas jenis ini sama dengan nol, oleh karena itu, probabilitas kejadian seperti "variabel acak mengambil nilai dari segmen tertentu" adalah yang menarik, yaitu. A≤ X≤ B. Atau untuk acara seperti X≤ Dengan mencari kemungkinan R(X≤ Dengan). Kami memperoleh grafik fungsi distribusi F( X≤ Dengan).

Jadi, variasi variabel acaknya sangat besar. Jumlah nilai yang mereka terima bisa terbatas, dapat dihitung, atau tidak terhitung; nilai dapat ditempatkan secara terpisah atau mengisi interval sepenuhnya. Untuk menentukan probabilitas nilai-nilai variabel acak yang sifatnya sangat berbeda, dan terlebih lagi, untuk menentukannya dengan cara yang sama, konsep fungsi distribusi variabel acak.

Biarkan menjadi variabel acak dan X- bilangan real sembarang. Kemungkinan bahwa itu akan mengambil nilai kurang dari X, ditelepon fungsi distribusi probabilitas variabel acak: F(x)= P(<х}.

Mari kita rangkum apa yang telah dikatakan: variabel acak adalah besaran yang nilainya bergantung pada kasus dan fungsi distribusi probabilitasnya ditentukan.

Untuk variabel acak kontinu (ketika himpunan nilai yang mungkin dari variabel acak tidak dapat dihitung), hukum distribusi ditentukan menggunakan suatu fungsi. Paling sering ini fungsi distribusi :F( X) = P(X<X) .

Fungsi F( X) memiliki yang berikut ini properti:

1. 0 ≤ F( X) ≤ 1 ;

2.F( X) tidak berkurang;

3.F( X) kiri terus menerus;

4.F(- ∞ ) = 0, F( ∞ ) = 1.