Beberapa permasalahan dalam fisika dan matematika dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-sifat deret bilangan. Dua barisan bilangan paling sederhana yang diajarkan di sekolah adalah aljabar dan geometri. Pada artikel ini, kita akan melihat lebih dekat pertanyaan tentang bagaimana mencari jumlah barisan geometri menurun yang tak terhingga.

Perkembangan geometris

Kata-kata ini berarti serangkaian bilangan real yang elemen-elemennya a saya memenuhi ekspresi:

Di sini i adalah banyaknya elemen dalam deret tersebut, r adalah bilangan konstan yang disebut penyebut.

Definisi ini menunjukkan bahwa, dengan mengetahui anggota barisan mana pun dan penyebutnya, Anda dapat mengembalikan seluruh rangkaian bilangan. Misal diketahui unsur ke-10, maka membaginya dengan r akan diperoleh unsur ke-9, kemudian membaginya lagi akan memperoleh unsur ke-8, dan seterusnya. Argumen sederhana ini memungkinkan kita untuk menuliskan ekspresi yang valid untuk rangkaian angka yang dipertimbangkan:

Contoh barisan yang penyebutnya 2 adalah deret berikut:

1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Jika penyebutnya sama dengan -2, maka diperoleh deret yang sama sekali berbeda:

1, -2, 4, -8, 16, -32, ...

Perkembangan geometri jauh lebih cepat daripada perkembangan aljabar, yaitu suku-sukunya bertambah dengan cepat dan berkurang dengan cepat.

Jumlah i syarat perkembangan

Untuk memecahkan masalah praktis, seringkali perlu menghitung jumlah beberapa elemen barisan numerik yang sedang dipertimbangkan. Untuk kasus ini rumus berikut ini valid:

S saya = a 1 *(r saya -1)/(r-1)

Terlihat bahwa untuk menghitung jumlah suku i, Anda hanya perlu mengetahui dua bilangan: a 1 dan r, yang logis, karena keduanya secara unik menentukan seluruh barisan.

Penurunan barisan dan jumlah suku-sukunya

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus spesial. Kita asumsikan modulus penyebut r tidak melebihi satu, yaitu -1

Perkembangan geometri menurun menarik untuk dipertimbangkan karena jumlah suku-sukunya yang tak terhingga cenderung ke bilangan real yang berhingga.

Mari kita dapatkan rumus penjumlahannya. Hal ini mudah dilakukan jika Anda menuliskan ekspresi untuk S i yang diberikan di paragraf sebelumnya. Kita punya:

S saya = a 1 *(r saya -1)/(r-1)

Mari kita pertimbangkan kasus ketika i->∞. Karena modulus penyebutnya kurang dari 1, menaikkannya ke pangkat tak terhingga akan menghasilkan nol. Ini dapat diperiksa menggunakan contoh r=0,5:

0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009.

Akibatnya, jumlah suku-suku barisan geometri menurun tak terhingga akan berbentuk:

Rumus ini sering digunakan dalam praktek, misalnya untuk menghitung luas suatu bangun. Hal ini juga digunakan untuk memecahkan paradoks Zeno dari Elea dengan kura-kura dan Achilles.

Jelas sekali bahwa dengan mempertimbangkan jumlah perkembangan geometri tak terhingga (r>1) akan menghasilkan S ∞ = +∞.

Tugas mencari suku pertama suatu barisan

Mari kita tunjukkan bagaimana menerapkan rumus di atas dengan menggunakan contoh penyelesaian suatu masalah. Diketahui jumlah suatu barisan geometri tak hingga adalah 11. Selain itu, suku ke-7nya 6 kali lebih kecil dari suku ketiga. Apa unsur pertama deret bilangan tersebut?

Pertama, mari kita tuliskan dua ekspresi untuk menentukan unsur ke-7 dan ke-3. Kita mendapatkan:

Membagi ekspresi pertama dengan ekspresi kedua dan menyatakan penyebutnya, kita mendapatkan:

a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3)

Karena perbandingan suku ketujuh dan ketiga diberikan dalam rumusan masalah, Anda dapat menggantinya dan mencari r:

r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894

Kami menghitung r hingga lima tempat desimal. Karena nilai yang dihasilkan kurang dari satu, perkembangannya menurun, sehingga membenarkan penggunaan rumus untuk jumlah tak terhingganya. Mari kita tuliskan ekspresi suku pertama melalui jumlah S ∞:

Kami mengganti nilai yang diketahui ke dalam rumus ini dan mendapatkan jawabannya:

a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166.

Paradoks Zeno yang terkenal dengan Achilles yang cepat dan kura-kura yang lambat

Zeno dari Elea adalah seorang filsuf Yunani terkenal yang hidup pada abad ke-5 SM. e. Sejumlah puncak atau paradoksnya telah mencapai masa kini, yang dirumuskan masalah tak terhingga besarnya dan tak terhingga kecilnya dalam matematika.

Salah satu paradoks Zeno yang terkenal adalah persaingan antara Achilles dan kura-kura. Zeno percaya bahwa jika Achilles memberi keuntungan pada kura-kura dalam hal jarak, dia tidak akan pernah bisa mengejarnya. Misalnya saja Achilles berlari 10 kali lebih cepat dari seekor binatang yang merangkak, misalnya berada 100 meter di depannya. Ketika pendekar itu berlari 100 meter, penyu itu merangkak menjauh 10 meter. Setelah berlari 10 meter lagi, Achilles melihat penyu itu merangkak lagi sejauh 1 meter. Bisa dibilang begini ad infinitum, jarak antar kompetitor memang akan berkurang, namun penyu akan selalu berada di depan.

Membawa Zeno pada kesimpulan bahwa gerakan itu tidak ada, dan semua gerakan benda di sekitarnya hanyalah ilusi. Tentu saja filsuf Yunani kuno itu salah.

Solusi terhadap paradoks ini terletak pada kenyataan bahwa jumlah tak terhingga dari segmen-segmen yang terus menurun cenderung ke bilangan berhingga. Dalam kasus di atas, untuk jarak lari Achilles, kita peroleh:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ...

Dengan menerapkan rumus jumlah barisan geometri tak hingga, kita memperoleh:

S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 meter

Hasil ini menunjukkan bahwa Achilles akan menyusul kura-kura ketika merangkak hanya sejauh 11.111 meter.

Orang-orang Yunani kuno tidak tahu bagaimana bekerja dengan jumlah tak terhingga dalam matematika. Namun, paradoks ini dapat diatasi jika kita memperhatikan bukan pada banyaknya celah yang harus diatasi Achilles, tetapi pada terbatasnya jumlah langkah yang dibutuhkan seorang pelari untuk mencapai tujuannya.

Tujuan pelajaran: untuk memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - barisan geometri yang menurun tak terhingga.
Tugas:
merumuskan gagasan awal tentang limit suatu barisan bilangan;
mengenal cara lain untuk mengubah pecahan periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa menggunakan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga;
pengembangan kualitas intelektual kepribadian anak sekolah seperti berpikir logis, kemampuan melakukan tindakan evaluatif, dan generalisasi;
membina aktivitas, gotong royong, kolektivisme, dan minat terhadap mata pelajaran.

Unduh:

Pratinjau:

Pelajaran tentang topik tersebut “Perkembangan geometri yang menurun tanpa batas” (aljabar, kelas 10)

Tujuan pelajaran: memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Tugas:

merumuskan gagasan awal tentang limit suatu barisan bilangan; mengenal cara lain untuk mengubah pecahan periodik tak terhingga menjadi pecahan biasa menggunakan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga;

pengembangan kualitas intelektual kepribadian anak sekolah seperti berpikir logis, kemampuan melakukan tindakan evaluatif, dan generalisasi;

membina aktivitas, gotong royong, kolektivisme, dan minat terhadap mata pelajaran.

Peralatan: kelas komputer, proyektor, layar.

Jenis pelajaran: pelajaran - mempelajari topik baru.

Selama kelas

saya.Org. momen. Nyatakan topik dan tujuan pelajaran.

II. Memperbarui pengetahuan siswa.

Di kelas 9 Anda mempelajari perkembangan aritmatika dan geometri.

Pertanyaan

1. Definisi perkembangan aritmatika.

(Perkembangan aritmatika adalah barisan yang setiap anggotanya

Mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya ditambah bilangan yang sama).

2. Rumus n suku ke-th suatu barisan aritmatika

3. Rumus jumlah yang pertama N suku-suku barisan aritmatika.

( atau )

4. Pengertian barisan geometri.

(Perkembangan geometri adalah barisan bilangan bukan nol

Setiap suku yang dimulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan

Nomor yang sama).

5. Rumus n suku ke-t barisan geometri

6. Rumus jumlah yang pertama N anggota barisan geometri.

7. Rumus apa lagi yang kamu ketahui?

(, Di mana ; ;

; , )

Tugas

1. Perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus sebuah = 7 – 4n . Temukan 10. (-33)

2. Dalam perkembangan aritmatika sebuah 3 = 7 dan sebuah 5 = 1 . Temukan 4 . (4)

3. Dalam perkembangan aritmatika sebuah 3 = 7 dan sebuah 5 = 1 . Temukan 17 . (-35)

4. Dalam perkembangan aritmatika sebuah 3 = 7 dan sebuah 5 = 1 . Temukan S 17. (-187)

5. Untuk perkembangan geometritemukan suku kelima.

6. Untuk barisan geometri temukan suku ke-n.

7. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 4 . (4)

8. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 1 dan q.

9. Secara eksponensial b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan S5. (62)

AKU AKU AKU. Mempelajari topik baru(demonstrasi presentasi).

Perhatikan sebuah persegi yang sisinya sama dengan 1. Mari kita menggambar persegi lain, yang sisinya setengah ukuran persegi pertama, lalu persegi lain, yang sisinya adalah setengah persegi kedua, lalu persegi berikutnya, dan seterusnya. Setiap kali sisi persegi baru sama dengan setengah sisi persegi sebelumnya.

Hasilnya, kami mendapatkan rangkaian sisi persegimembentuk barisan geometri dengan penyebutnya.

Dan, yang sangat penting, semakin banyak kita membuat persegi tersebut, semakin kecil sisi persegi tersebut. Misalnya ,

Itu. Dengan bertambahnya jumlah n, suku-suku perkembangannya mendekati nol.

Dengan menggunakan gambar ini, Anda dapat mempertimbangkan urutan lainnya.

Misalnya barisan luas persegi:

Dan, sekali lagi, jika n bertambah tanpa batas, maka luasnya mendekati nol sedekat yang Anda inginkan.

Mari kita lihat contoh lainnya. Segitiga sama sisi dengan panjang sisi sama dengan 1 cm. Mari kita buat segitiga berikut dengan titik sudut di titik tengah sisi-sisi segitiga ke-1, sesuai dengan teorema tentang garis tengah segitiga - sisi ke-2 sama dengan setengah sisi segitiga pertama, sisi ke-3 sama dengan setengah sisi ke-2, dst. Sekali lagi kita memperoleh barisan panjang sisi-sisi segitiga.

Pada .

Jika kita mempertimbangkan barisan geometri dengan penyebut negatif.

Lalu, lagi-lagi dengan jumlah yang semakin bertambah N syarat perkembangannya mendekati nol.

Mari kita perhatikan penyebut barisan tersebut. Di mana-mana nilai absolut penyebutnya kurang dari 1.

Kita dapat menyimpulkan: suatu barisan geometri akan berkurang tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari 1.

Pekerjaan depan.

Definisi:

Kemajuan geometris disebut menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu..

Dengan menggunakan definisi tersebut, Anda dapat memutuskan apakah suatu barisan geometri menurun tak terhingga atau tidak.

Tugas

Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan dengan rumus:

Larutan:

Mari kita temukan q.

; ; ; .

perkembangan geometrik ini semakin menurun.

B) barisan ini bukanlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Misalkan sebuah persegi dengan sisi sama dengan 1. Bagilah menjadi dua, salah satu bagian menjadi dua, dan seterusnya. Luas semua persegi panjang yang dihasilkan membentuk barisan geometri yang semakin menurun:

Jumlah luas semua persegi panjang yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas persegi pertama dan sama dengan 1.

Namun di sisi kiri persamaan ini terdapat jumlah suku yang tak terhingga.

Mari kita perhatikan jumlah n suku pertama.

Menurut rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri adalah sama dengan.

Jika n meningkat tanpa batas, kalau begitu

atau . Oleh karena itu, yaitu. .

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhinggaada batas urutannya S 1, S 2, S 3, …, S n, ….

Misalnya untuk kemajuan,

kita punya

Karena

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhinggadapat dicari dengan menggunakan rumus.

AKU AKU AKU. Pemahaman dan konsolidasi(menyelesaikan tugas).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. Meringkas.

Urutan apa yang Anda kenali hari ini?

Definisikan barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Bagaimana membuktikan bahwa barisan geometri menurun tak terhingga?

Berikan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

V.Pekerjaan Rumah.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google dan masuk ke akun tersebut: https://accounts.google.com

Keterangan slide:

Setiap orang harus mampu berpikir secara konsisten, menilai dengan bukti, dan menyangkal kesimpulan yang salah: seorang fisikawan dan penyair, seorang pengemudi traktor dan seorang ahli kimia. E. Kolman Dalam matematika, yang harus diingat bukanlah rumusnya, tetapi proses berpikirnya. V.P. Ermakov Lebih mudah menemukan kuadrat sebuah lingkaran daripada mengecoh seorang ahli matematika. Augustus de Morgan Sains apa yang lebih mulia, lebih mengagumkan, lebih berguna bagi umat manusia daripada matematika? Franklin

Perkembangan geometri yang menurun tanpa batas kelas 10

SAYA. Perkembangan aritmatika dan geometri. Soal 1. Pengertian barisan aritmatika. Barisan aritmatika adalah suatu barisan yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama. 2. Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika. 3. Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika. 4. Pengertian barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan bilangan bukan nol yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama 5. Rumus suku ke-n suatu barisan geometri. 6. Rumus jumlah n suku pertama suatu barisan geometri.

II. Perkembangan aritmatika. Tugas Perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus a n = 7 – 4 n Temukan a 10 . (-33) 2. Dalam barisan aritmatika, a 3 = 7 dan a 5 = 1. Temukan 4 . (4) 3. Dalam barisan aritmatika a 3 = 7 dan a 5 = 1. Temukan 17 . (-35) 4. Dalam perkembangan aritmatika, a 3 = 7 dan a 5 = 1. Temukan S 17. (-187)

II. Kemajuan geometris. Tugas 5. Untuk suatu barisan geometri, carilah suku kelima 6. Untuk suatu barisan geometri, carilah suku ke-n. 7. Pada barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 4 . (4) 8. Pada barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan b 1 dan q. 9. Pada barisan geometri b 3 = 8 dan b 5 = 2. Temukan S5. (62)

definisi: Suatu barisan geometri disebut menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu.

Soal No. 1 Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan dengan rumus: Penyelesaian: a) barisan geometri tersebut menurun tak terhingga. b) barisan ini bukan barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga adalah limit barisan S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Misalnya, untuk barisan yang kita miliki. Karena Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dapat dicari dengan menggunakan rumus

Menyelesaikan tugas Temukan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama 3, suku kedua 0,3. 2. Nomor 13; Nomor 14; buku teks, hal.138 3. No.15(1;3); No.16(1;3) No.18(1;3); 4. Nomor 19; Nomor 20.

Urutan apa yang Anda kenali hari ini? Definisikan barisan geometri yang menurun tak terhingga. Bagaimana membuktikan bahwa barisan geometri menurun tak terhingga? Berikan rumus jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Pertanyaan

Matematikawan Polandia terkenal Hugo Steinhaus dengan bercanda menyatakan bahwa ada hukum yang dirumuskan sebagai berikut: seorang ahli matematika akan melakukannya dengan lebih baik. Yaitu, jika Anda mempercayakan dua orang, salah satunya adalah ahli matematika, untuk melakukan pekerjaan apa pun yang tidak mereka kenal, maka hasilnya akan selalu sebagai berikut: ahli matematika tersebut akan melakukannya dengan lebih baik. Hugo Steinhaus 14/01/1887-25/02/1972

URUTAN NUMERIK VI

§ l48. Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga

Sampai saat ini, jika berbicara tentang penjumlahan, kita selalu berasumsi bahwa banyaknya suku dalam penjumlahan tersebut berhingga (misalnya 2, 15, 1000, dst). Tetapi ketika memecahkan beberapa masalah (terutama matematika tingkat tinggi) kita harus berurusan dengan jumlah suku yang jumlahnya tak terhingga

S= A 1 + A 2 + ... + A N + ... . (1)

Berapa jumlah ini? A-priori jumlah suku yang tak terhingga banyaknya A 1 , A 2 , ..., A N , ... disebut limit jumlah S N Pertama P angka kapan P -> ∞ :

S = S N = (A 1 + A 2 + ... + A N ). (2)

Batas (2), tentu saja, mungkin ada atau tidak ada. Oleh karena itu, mereka mengatakan bahwa jumlah (1) ada atau tidak ada.

Bagaimana kita dapat mengetahui apakah jumlah (1) ada pada setiap kasus tertentu? Keputusan bersama Masalah ini jauh melampaui cakupan program kami. Namun, ada satu kasus khusus penting yang kini harus kita pertimbangkan. Kita akan membahas tentang menjumlahkan suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Membiarkan A 1 , A 1 Q , A 1 Q 2, ... adalah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Artinya | Q |< 1. Сумма первых P syarat kemajuan ini adalah sama

Dari teorema dasar batas variabel (lihat § 136) kita memperoleh:

Tapi 1 = 1, a qn = 0. Oleh karena itu

Jadi, jumlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga sama dengan suku pertama barisan tersebut dibagi satu dikurangi penyebut barisan tersebut.

1) Jumlah barisan geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... sama dengan

dan jumlah barisan geometrinya adalah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama

2) Ubah pecahan periodik sederhana 0,454545… menjadi pecahan biasa.

Untuk menyelesaikan soal ini, bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Bagian kanan Persamaan ini adalah jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, suku pertamanya adalah 45/100, dan penyebutnya adalah 1/100. Itu sebabnya

Dengan menggunakan metode yang dijelaskan, itu juga bisa diperoleh peraturan umum konversi pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa (lihat Bab II, § 38):

Untuk mengubah pecahan periodik sederhana menjadi pecahan biasa, Anda perlu melakukan hal berikut: di pembilangnya masukkan periode pecahan desimal, dan di penyebutnya - bilangan yang terdiri dari sembilan, diambil sebanyak jumlah digit dalam periode tersebut dari pecahan desimal.

3) Ubah pecahan periodik campuran 0,58333….menjadi pecahan biasa.

Mari kita bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Di sisi kanan persamaan ini, semua suku, mulai dari 3/1000, membentuk barisan geometri yang menurun tak terhingga, suku pertamanya sama dengan 3/1000, dan penyebutnya adalah 1/10. Itu sebabnya

Dengan menggunakan metode yang dijelaskan, aturan umum untuk mengubah pecahan periodik campuran menjadi pecahan biasa dapat diperoleh (lihat Bab II, § 38). Kami sengaja tidak menyajikannya di sini. Tidak perlu mengingat aturan rumit ini. Jauh lebih berguna untuk mengetahui bahwa pecahan periodik campuran apa pun dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari barisan geometri yang menurun tak terhingga dan suatu bilangan tertentu. Dan rumusnya

untuk jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, tentu saja Anda harus ingat.

Sebagai latihan, kami menyarankan agar Anda, selain soal No. 995-1000 yang diberikan di bawah ini, sekali lagi beralih ke soal No. 301 § 38.

Latihan

995. Apa yang disebut jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga?

996. Temukan jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga:

997. Pada nilai apa X kemajuan

apakah jumlahnya terus berkurang? Temukan jumlah perkembangan tersebut.

998. Pada segitiga sama sisi yang mempunyai sisi A segitiga baru dibuat dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; segitiga baru dimasukkan ke dalam segitiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya tanpa batas.

a) jumlah keliling semua segitiga tersebut;

b) jumlah luasnya.

999. Persegi dengan sisi A sebuah persegi baru dibuat dengan menghubungkan titik tengah sisi-sisinya; sebuah persegi dituliskan ke dalam persegi ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Temukan jumlah keliling semua persegi dan jumlah luasnya.

1000. Buatlah suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga sehingga jumlahnya sama dengan 25/4, dan jumlah kuadrat suku-sukunya sama dengan 625/24.

Tingkat pertama

Kemajuan geometris. Panduan komprehensif dengan contoh (2019)

Urutan nomor

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa mengatakan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.

Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-n.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Jenis barisan yang paling umum adalah aritmatika dan geometri. Dalam topik ini kita akan berbicara tentang tipe kedua - perkembangan geometri.

Mengapa deret geometri diperlukan dan sejarahnya?

Bahkan di zaman kuno, biarawan matematikawan Italia Leonardo dari Pisa (lebih dikenal sebagai Fibonacci) menangani kebutuhan praktis perdagangan. Bhikkhu tersebut dihadapkan pada tugas untuk menentukan berapa jumlah anak timbangan terkecil yang dapat digunakan untuk menimbang suatu produk? Dalam karyanya, Fibonacci membuktikan bahwa sistem bobot seperti itu optimal: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang harus berurusan dengan deret geometri, yang mungkin pernah Anda dengar dan setidaknya pernah Anda dengar. konsep umum. Setelah Anda memahami topiknya sepenuhnya, pikirkan mengapa sistem seperti itu optimal?

Saat ini, dalam praktik kehidupan, perkembangan geometris memanifestasikan dirinya ketika menginvestasikan uang di bank, ketika jumlah bunga dibebankan pada jumlah yang terakumulasi dalam rekening untuk periode sebelumnya. Dengan kata lain, jika Anda menaruh uang pada deposito berjangka di bank tabungan, maka setelah satu tahun simpanan tersebut akan bertambah sebesar jumlah aslinya, yaitu. jumlah baru akan sama dengan kontribusi dikalikan. Di tahun berikutnya, jumlah ini akan meningkat sebesar, yaitu. jumlah yang diperoleh saat itu akan dikalikan lagi dan seterusnya. Situasi serupa dijelaskan dalam masalah penghitungan yang disebut bunga majemuk- persentasenya diambil setiap kali dari jumlah yang ada di rekening, dengan memperhitungkan bunga sebelumnya. Kami akan membicarakan tugas-tugas ini nanti.

Masih banyak lagi kasus sederhana yang menerapkan perkembangan geometri. Misalnya, penyebaran influenza: satu orang menulari orang lain, mereka kemudian menulari orang lain, dan dengan demikian gelombang infeksi kedua adalah seseorang, dan mereka, pada gilirannya, menulari orang lain... dan seterusnya.. .

Omong-omong, piramida keuangan, MMM yang sama, adalah perhitungan sederhana dan kering berdasarkan sifat-sifat deret geometri. Menarik? Mari kita cari tahu.

Kemajuan geometris.

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan:

Anda akan langsung menjawab bahwa ini mudah dan nama barisan tersebut adalah barisan aritmatika dengan selisih suku-sukunya. Bagaimana dengan ini:

Jika Anda mengurangkan angka sebelumnya dari angka berikutnya, Anda akan melihat bahwa setiap kali Anda mendapatkan selisih baru (dan seterusnya), namun barisannya pasti ada dan mudah diperhatikan - setiap angka berikutnya kali lebih besar dari angka sebelumnya!

Urutan bilangan seperti ini disebut perkembangan geometri dan ditunjuk.

Perkembangan geometri () adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

Batasan suku pertama ( ) tidak sama dan tidak acak. Anggap saja tidak ada, dan suku pertamanya masih sama, dan q sama dengan, hmm.. biarlah, maka ternyata:

Setuju bahwa ini bukan lagi sebuah kemajuan.

Seperti yang anda pahami, kita akan mendapatkan hasil yang sama jika ada bilangan selain nol, a. Dalam kasus ini, tidak akan ada perkembangan, karena seluruh rangkaian bilangan akan semuanya nol, atau satu angka, dan sisanya akan menjadi nol.

Sekarang mari kita bahas lebih detail tentang penyebut suatu barisan geometri, yaitu o.

Mari kita ulangi: - ini nomornya berapa kali setiap suku berikutnya berubah? perkembangan geometri.

Menurutmu bisa menjadi apa? Itu benar, positif dan negatif, tetapi bukan nol (kita membicarakannya sedikit lebih tinggi).

Mari kita asumsikan bahwa kita positif. Misalkan dalam kasus kita, a. Berapakah nilai suku kedua dan? Anda dapat dengan mudah menjawabnya:

Itu benar. Oleh karena itu, jika, maka semua suku-suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif.

Bagaimana jika hasilnya negatif? Misalnya, a. Berapakah nilai suku kedua dan?

Ini adalah cerita yang sangat berbeda

Coba hitung syarat-syarat perkembangan ini. Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki. Jadi, jika, maka tanda-tanda suku-suku barisan geometri itu berselang-seling. Artinya, jika Anda melihat suatu barisan yang anggota-anggotanya berganti tanda, maka penyebutnya negatif. Pengetahuan ini dapat membantu Anda menguji diri sendiri ketika memecahkan masalah pada topik ini.

Sekarang mari kita berlatih sedikit: coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan geometri dan mana yang merupakan barisan aritmatika:

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:

• Perkembangan geometri - 3, 6.
• Perkembangan aritmatika - 2, 4.
• Ini bukan barisan aritmatika atau geometri - 1, 5, 7.

Mari kita kembali ke perkembangan terakhir kita dan mencoba mencari anggotanya, seperti dalam aritmatika. Seperti yang sudah Anda duga, ada dua cara untuk menemukannya.

Kami secara berturut-turut mengalikan setiap suku dengan.

Jadi, suku ke-th barisan geometri yang dijelaskan adalah sama dengan.

Seperti yang sudah Anda duga, sekarang Anda sendiri akan mendapatkan rumus yang akan membantu Anda menemukan anggota barisan geometri mana pun. Atau apakah Anda sudah mengembangkannya sendiri, menjelaskan cara menemukan anggota ke-th langkah demi langkah? Jika ya, periksa kebenaran alasan Anda.

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh mencari suku ke-th dari barisan ini:

Dengan kata lain:

Temukan sendiri nilai suku barisan geometri yang diberikan.

Telah terjadi? Mari kita bandingkan jawaban kita:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kita mengalikan secara berurutan dengan setiap suku sebelumnya dari barisan geometri.
Mari kita coba untuk "depersonalisasi" rumus ini- Mari kita masukkan ke dalam bentuk umum dan dapatkan:

Rumus turunannya berlaku untuk semua nilai - baik positif maupun negatif. Periksa sendiri dengan menghitung suku-suku barisan geometri dengan kondisi berikut: , A.

Apakah kamu menghitung? Mari kita bandingkan hasilnya:

Setuju bahwa suku suatu perkembangan dapat ditemukan dengan cara yang sama seperti suku, namun ada kemungkinan perhitungannya salah. Dan jika kita telah menemukan suku ke-th dari barisan geometri tersebut, lalu apa yang lebih sederhana daripada menggunakan bagian rumus yang “terpotong”.

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas.

Baru-baru ini, kita berbicara tentang fakta bahwa itu bisa lebih besar atau lebih kecil dari nol, namun ada nilai khusus yang disebut deret geometri. menurun tanpa batas.

Menurut Anda mengapa nama ini diberikan?
Pertama, mari kita tuliskan beberapa barisan geometri yang terdiri dari suku-suku.
Katakanlah:

Kita melihat bahwa setiap suku berikutnya lebih kecil satu faktor dari suku sebelumnya, tetapi apakah akan ada bilangan? Anda akan segera menjawab - “tidak”. Itulah sebabnya ia terus berkurang tanpa batas - ia berkurang dan berkurang, tetapi tidak pernah menjadi nol.

Untuk memahami dengan jelas tampilannya secara visual, mari kita coba menggambar grafik perkembangan kita. Jadi, untuk kasus kita, rumusnya berbentuk sebagai berikut:

Pada grafik kita terbiasa memplot ketergantungan, oleh karena itu:

Inti dari ekspresi tersebut tidak berubah: pada entri pertama kami menunjukkan ketergantungan nilai anggota barisan geometri pada bilangan urutnya, dan pada entri kedua kami hanya mengambil nilai anggota barisan geometri sebagai , dan menetapkan nomor urut bukan sebagai, tetapi sebagai. Yang perlu dilakukan hanyalah membuat grafik.
Mari kita lihat apa yang Anda punya. Berikut grafik yang saya buat:

Apakah kamu lihat? Fungsinya mengecil, cenderung nol, tetapi tidak pernah melewatinya, sehingga menurun tak terhingga. Mari kita tandai titik-titik kita pada grafik, sekaligus koordinat dan artinya:

Cobalah untuk menggambarkan secara skematis grafik suatu barisan geometri jika suku pertamanya juga sama. Analisa apa bedanya dengan grafik kita sebelumnya?

Apakah Anda berhasil? Berikut grafik yang saya buat:

Sekarang setelah Anda memahami sepenuhnya dasar-dasar topik barisan geometri: Anda tahu apa itu barisan geometri, Anda tahu cara mencari sukunya, dan Anda juga tahu apa itu barisan geometri yang menurun tak terhingga, mari kita beralih ke sifat utamanya.

Sifat perkembangan geometri.

Apakah Anda ingat sifat-sifat suku-suku suatu barisan aritmatika? Ya, ya, bagaimana cara mencari nilai suatu bilangan suatu perkembangan jika ada nilai sebelumnya dan selanjutnya dari suku-suku perkembangan tersebut. Apakah kamu ingat? Ini:

Sekarang kita dihadapkan pada pertanyaan yang persis sama tentang suku-suku barisan geometri. Untuk mendapatkan rumus seperti itu, mari kita mulai menggambar dan menalar. Soalnya, caranya sangat mudah, dan jika lupa, Anda bisa mengeluarkannya sendiri.

Mari kita ambil barisan geometri sederhana lainnya yang kita ketahui dan. Bagaimana cara menemukannya? Dengan perkembangan aritmatika itu mudah dan sederhana, tapi bagaimana dengan disini? Sebenarnya, tidak ada yang rumit dalam geometri juga - Anda hanya perlu menuliskan setiap nilai yang diberikan kepada kita sesuai rumus.

Anda mungkin bertanya, apa yang harus kita lakukan sekarang? Ya, sangat sederhana. Pertama, mari kita gambarkan rumus-rumus ini pada gambar dan coba lakukan dengannya berbagai manipulasi untuk sampai pada suatu nilai.

Mari kita abstrak dari angka-angka yang diberikan kepada kita, mari kita fokus hanya pada ekspresi mereka melalui rumus. Kita perlu mencari nilai yang disorot dengan warna oranye, mengetahui suku-suku yang berdekatan dengannya. Mari kita coba berproduksi bersama mereka berbagai tindakan, sebagai hasil yang bisa kita dapatkan.

Tambahan.
Mari kita coba menambahkan dua ekspresi dan kita mendapatkan:

Dari ungkapan ini, seperti yang Anda lihat, kami tidak dapat mengungkapkannya dengan cara apa pun, oleh karena itu, kami akan mencoba opsi lain - pengurangan.

Pengurangan.

Seperti yang Anda lihat, kami juga tidak dapat mengungkapkannya, oleh karena itu, mari kita coba mengalikan ekspresi ini satu sama lain.

Perkalian.

Sekarang perhatikan baik-baik apa yang kita miliki dengan mengalikan suku-suku barisan geometri yang diberikan kepada kita dibandingkan dengan apa yang perlu dicari:

Coba tebak apa yang saya bicarakan? Itu benar, untuk menemukannya kita perlu mengambil Akar pangkat dua dari bilangan deret geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan dikalikan satu sama lain:

Ini dia. Anda sendiri yang memperoleh properti perkembangan geometri. Coba tulis rumus ini di pandangan umum. Telah terjadi?

Lupa kondisinya? Pikirkan mengapa itu penting, misalnya coba hitung sendiri. Apa yang akan terjadi dalam kasus ini? Benar sekali, benar-benar tidak masuk akal karena rumusnya terlihat seperti ini:

Oleh karena itu, jangan lupakan batasan ini.

Sekarang mari kita hitung apa persamaannya

Jawaban yang benar - ! Jika Anda tidak melupakan yang kedua saat menghitung arti yang mungkin, maka Anda adalah orang yang hebat dan dapat segera melanjutkan ke pelatihan, dan jika Anda lupa, bacalah apa yang dibahas di bawah ini dan perhatikan mengapa kedua akar tersebut perlu dituliskan pada jawabannya.

Mari kita menggambar kedua barisan geometri kita - yang satu memiliki nilai dan yang lainnya memiliki nilai dan memeriksa apakah keduanya berhak untuk ada:

Untuk memeriksa apakah barisan geometri tersebut ada atau tidak, perlu dilihat apakah semua suku-sukunya sama? Hitung q untuk kasus pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita harus menulis dua jawaban? Karena tanda istilah yang dicari tergantung positif atau negatifnya! Dan karena kita tidak tahu apa itu, kita perlu menuliskan kedua jawaban tersebut dengan plus dan minus.

Sekarang setelah Anda menguasai poin-poin utama dan memperoleh rumus sifat-sifat barisan geometri, temukan, ketahui dan

Bandingkan jawaban Anda dengan jawaban yang benar:

Bagaimana menurut anda, bagaimana jika kita tidak diberi nilai suku-suku barisan geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan, tetapi berjarak sama dari bilangan tersebut. Misalnya, kita perlu mencari, dan diberikan dan. Bisakah kita menggunakan rumus yang kita peroleh dalam kasus ini? Cobalah untuk mengkonfirmasi atau menyangkal kemungkinan ini dengan cara yang sama, dengan menjelaskan isi setiap nilai, seperti yang Anda lakukan saat pertama kali menurunkan rumus, di.
Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang perhatikan baik-baik lagi.
dan dengan demikian:

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa rumus tersebut berhasil tidak hanya dengan tetangga dengan suku-suku barisan geometri yang diinginkan, tetapi juga dengan sama jauh dari apa yang dicari anggotanya.

Jadi, rumus awal kita berbentuk:

Artinya, kalau dulu kita bilang begitu, sekarang kita bilang bisa sama dengan apa pun bilangan asli, yang lebih kecil. Yang utama adalah angkanya sama untuk kedua angka yang diberikan.

Berlatihlah dengan contoh spesifik, berhati-hatilah!

1. , . Menemukan.
2. , . Menemukan.
3. , . Menemukan.

Diputuskan? Saya harap Anda sangat perhatian dan memperhatikan tangkapan kecil.

Mari kita bandingkan hasilnya.

Dalam dua kasus pertama, kami dengan tenang menerapkan rumus di atas dan mendapatkan nilai berikut:

Dalam kasus ketiga, setelah diperiksa lebih dekat nomor serial angka-angka yang diberikan kepada kami, kami memahami bahwa jaraknya tidak sama dengan angka yang kami cari: itu adalah angka sebelumnya, tetapi dihilangkan posisinya, sehingga tidak mungkin untuk menerapkan rumus.

Bagaimana cara mengatasinya? Ini sebenarnya tidak sesulit kelihatannya! Mari kita tuliskan terdiri dari apa setiap nomor yang diberikan kepada kita dan nomor yang kita cari.

Jadi kita punya dan. Mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan dengan mereka? Saya sarankan membaginya dengan. Kita mendapatkan:

Kami mengganti data kami ke dalam rumus:

Langkah selanjutnya yang bisa kita temukan adalah - untuk ini kita perlu mengambil akar pangkat tiga dari bilangan yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat lagi apa yang kita miliki. Kami memilikinya, tetapi kami perlu menemukannya, dan hasilnya sama dengan:

Kami menemukan semua data yang diperlukan untuk perhitungan. Substitusikan ke dalam rumus:

Jawaban kami: .

Coba selesaikan sendiri masalah serupa lainnya:
Diberikan: ,
Menemukan:

Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki - .

Seperti yang Anda lihat, pada dasarnya Anda membutuhkannya ingat satu rumus saja- . Anda dapat menarik sendiri sisanya tanpa kesulitan apa pun kapan saja. Untuk melakukan ini, cukup tuliskan barisan geometri paling sederhana pada selembar kertas dan tuliskan masing-masing bilangannya, sesuai dengan rumus yang dijelaskan di atas.

Jumlah suku-suku suatu barisan geometri.

Sekarang mari kita lihat rumus yang memungkinkan kita menghitung dengan cepat jumlah suku suatu barisan geometri dalam interval tertentu:

Untuk mendapatkan rumus jumlah suku suatu barisan geometri berhingga, kalikan semua bagian persamaan di atas dengan. Kita mendapatkan:

Perhatikan baik-baik: apa persamaan dari dua rumus terakhir? Benar, anggota biasa misalnya, dan seterusnya, kecuali anggota pertama dan terakhir. Mari kita coba kurangi persamaan ke-1 dari persamaan ke-2. Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang nyatakan suku barisan geometri melalui rumus dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus terakhir kita:

Kelompokkan ekspresi tersebut. Anda harus mendapatkan:

Yang perlu dilakukan hanyalah mengungkapkan:

Oleh karena itu, dalam hal ini.

Bagaimana jika? Rumus apa yang berhasil? Bayangkan suatu barisan geometri di. Apa yang dia suka? Rangkaian angka yang identik sudah benar, sehingga rumusnya akan terlihat seperti ini:

Ada banyak legenda tentang perkembangan aritmatika dan geometri. Salah satunya adalah legenda Set, pencipta catur.

Banyak orang mengetahui bahwa permainan catur ditemukan di India. Ketika raja Hindu bertemu dengannya, dia senang dengan kecerdasannya dan berbagai posisi yang mungkin ada dalam dirinya. Setelah mengetahui bahwa itu ditemukan oleh salah satu rakyatnya, raja memutuskan untuk memberinya hadiah secara pribadi. Dia memanggil penemunya dan memerintahkannya untuk meminta semua yang dia inginkan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling terampil sekalipun.

Seta meminta waktu untuk berpikir, dan ketika keesokan harinya Seta muncul di hadapan raja, dia mengejutkan raja dengan permintaannya yang rendah hati dan belum pernah terjadi sebelumnya. Dia meminta untuk memberikan sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, sebutir gandum untuk kotak kedua, sebutir gandum untuk kotak ketiga, keempat, dan seterusnya.

Raja marah dan mengusir Seth, mengatakan bahwa permintaan pelayan itu tidak sesuai dengan kemurahan hati raja, tetapi berjanji bahwa pelayan itu akan menerima gandumnya untuk semua kotak papan.

Dan sekarang pertanyaannya: dengan menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri, hitung berapa banyak butir yang harus diterima Set?

Mari kita mulai berpikir. Karena menurut syarat Seth meminta sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, untuk kotak kedua, untuk kotak ketiga, untuk kotak keempat, dan seterusnya, maka kita melihat bahwa masalahnya adalah tentang barisan geometri. Apa persamaannya dalam kasus ini?
Benar.

Jumlah luas papan catur. Masing-masing, . Kami memiliki semua datanya, yang tersisa hanyalah memasukkannya ke dalam rumus dan menghitung.

Untuk membayangkan setidaknya kira-kira “skala” suatu bilangan tertentu, kita mentransformasikannya menggunakan sifat-sifat derajat:

Tentu saja, jika mau, Anda dapat mengambil kalkulator dan menghitung angka yang Anda dapatkan, dan jika tidak, Anda harus percaya pada kata-kata saya: nilai akhir dari ekspresi tersebut adalah.
Itu adalah:

triliun kuadriliun triliun miliar juta ribu.

Fiuh) Jika Anda ingin membayangkan besarnya jumlah ini, maka perkirakan berapa luas sebuah gudang yang dibutuhkan untuk menampung seluruh jumlah gandum.
Jika gudang itu tingginya m dan lebarnya m, maka panjangnya harus diperpanjang hingga km, yaitu. dua kali jarak Bumi ke Matahari.

Jika raja kuat dalam matematika, dia bisa saja mengundang ilmuwan itu sendiri untuk menghitung butir, karena untuk menghitung satu juta butir, dia memerlukan setidaknya satu hari penghitungan yang tak kenal lelah, dan mengingat menghitung triliunan butir, butir itu perlu. harus dihitung sepanjang hidupnya.

Sekarang mari kita selesaikan soal sederhana yang melibatkan jumlah suku suatu barisan geometri.
Seorang siswa kelas 5A Vasya terserang flu, namun tetap bersekolah. Setiap hari Vasya menulari dua orang, yang kemudian menulari dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya ada orang di kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan terkena flu?

Jadi, suku pertama barisan geometri adalah Vasya, yaitu seseorang. Suku ke-tiga dari deret geometri tersebut adalah dua orang yang tertular pada hari pertama kedatangannya. jumlah total anggota perkembangannya sama dengan jumlah siswa pada 5A. Oleh karena itu, kita berbicara tentang kemajuan di mana:

Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri:

Seluruh kelas akan sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya rumus dan angka? Cobalah untuk menggambarkan sendiri “penularan” siswa. Telah terjadi? Lihat tampilannya bagi saya:

Hitung sendiri berapa hari yang dibutuhkan siswa untuk terserang flu jika masing-masing menulari satu orang, dan hanya ada satu orang di kelas.

Nilai apa yang Anda dapatkan? Ternyata semua orang mulai sakit setelah satu hari.

Seperti yang Anda lihat, tugas dan gambar seperti itu menyerupai piramida, di mana setiap tugas berikutnya “membawa” orang baru. Namun, cepat atau lambat akan tiba saatnya ketika yang terakhir tidak dapat menarik perhatian siapa pun. Dalam kasus kita, jika kita membayangkan kelas tersebut terisolasi, orang dari menutup rantai (). Jadi, jika seseorang terlibat di dalamnya piramida keuangan, dimana uang diberikan jika membawa dua peserta lain, maka orang tersebut (atau kasus umum) tidak akan membawa siapa pun, dan karenanya, mereka akan kehilangan semua yang mereka investasikan dalam penipuan keuangan ini.

Segala sesuatu yang dikatakan di atas mengacu pada barisan geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang Anda ingat, kami memiliki tipe khusus - barisan geometri yang menurun tanpa batas. Bagaimana cara menghitung jumlah anggotanya? Dan mengapa perkembangan jenis ini memiliki ciri-ciri tertentu? Mari kita cari tahu bersama.

Jadi, pertama-tama, mari kita lihat kembali gambar barisan geometri yang menurun tak terhingga dari contoh kita:

Sekarang mari kita lihat rumus jumlah suatu barisan geometri, yang diturunkan sedikit sebelumnya:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Betul, grafiknya cenderung nol. Artinya, pada, akan hampir sama, masing-masing, saat menghitung ekspresi yang akan kita dapatkan hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahwa ketika menghitung jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, tanda kurung ini dapat diabaikan, karena akan sama.

- rumus adalah jumlah suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga.

PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah tersebut tak terbatas jumlah anggota.

Jika bilangan tertentu n ditentukan, maka kita menggunakan rumus jumlah n suku, meskipun atau.

Sekarang mari kita berlatih.

1. Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri dengan dan.
2. Tentukan jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan dan.

Saya harap Anda sangat berhati-hati. Mari kita bandingkan jawaban kita:

Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri, dan inilah saatnya beralih dari teori ke praktik. Soal barisan geometri yang paling banyak ditemui dalam ujian adalah soal menghitung bunga majemuk. Inilah yang akan kita bicarakan.

Masalah dalam menghitung bunga majemuk.

Anda mungkin pernah mendengar apa yang disebut rumus bunga majemuk. Apakah Anda mengerti maksudnya? Jika belum, mari kita cari tahu, karena begitu Anda memahami proses itu sendiri, Anda akan langsung memahami apa hubungannya deret geometri dengan proses tersebut.

Kita semua pergi ke bank dan mengetahui bahwa ada kondisi yang berbeda pada deposito: ini istilahnya, dan layanan tambahan, dan bunganya dua cara yang berbeda perhitungannya - sederhana dan kompleks.

DENGAN bunga sederhana semuanya kurang lebih jelas: bunga dibebankan satu kali pada akhir jangka waktu simpanan. Artinya, jika kita mengatakan bahwa kita menyetor 100 rubel selama setahun, maka mereka hanya akan dikreditkan pada akhir tahun. Oleh karena itu, pada akhir setoran kami akan menerima rubel.

Bunga majemuk- ini adalah opsi yang memunculkannya kapitalisasi bunga, yaitu penambahannya pada jumlah simpanan dan perhitungan pendapatan selanjutnya bukan dari awal, tetapi dari akumulasi jumlah simpanan. Kapitalisasi tidak terjadi terus-menerus, tetapi dengan frekuensi tertentu. Biasanya, periode tersebut sama dan paling sering bank menggunakan bulan, kuartal, atau tahun.

Misalkan kita menyetorkan rubel yang sama setiap tahunnya, namun dengan kapitalisasi setoran bulanan. Apa yang kita lakukan?

Apakah Anda memahami semuanya di sini? Jika belum, mari kita cari tahu langkah demi langkah.

Kami membawa rubel ke bank. Pada akhir bulan, kita akan memiliki jumlah di rekening kita yang terdiri dari rubel ditambah bunganya, yaitu:

Setuju?

Kita bisa mengeluarkannya dari tanda kurung dan kemudian kita mendapatkan:

Setuju, rumus ini sudah lebih mirip dengan yang kami tulis di awal. Yang tersisa hanyalah mencari tahu persentasenya

Dalam rumusan masalah kita diberitahu tentang tarif tahunan. Seperti yang Anda ketahui, kami tidak mengalikan dengan - kami mengonversi persentase menjadi desimal, itu adalah:

Benar? Sekarang Anda mungkin bertanya, dari mana nomor tersebut berasal? Sangat sederhana!
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan tentang TAHUNAN bunga yang timbul BULANAN. Seperti yang Anda ketahui, dalam satu tahun bulan, bank akan membebankan kepada kita sebagian dari bunga tahunan per bulan:

Menyadarinya? Sekarang coba tuliskan seperti apa bagian rumus ini jika saya mengatakan bahwa bunga dihitung setiap hari.
Apakah Anda berhasil? Mari kita bandingkan hasilnya:

Bagus sekali! Mari kita kembali ke tugas kita: tulis berapa banyak yang akan dikreditkan ke rekening kita pada bulan kedua, dengan mempertimbangkan bunga yang dikenakan pada jumlah akumulasi deposit.
Inilah yang saya dapatkan:

Atau dengan kata lain:

Saya pikir Anda telah memperhatikan sebuah pola dan melihat perkembangan geometris dalam semua ini. Tuliskan berapa jumlah anggotanya, atau dengan kata lain berapa jumlah uang yang akan kita terima pada akhir bulan.
Telah melakukan? Mari kita periksa!

Seperti yang Anda lihat, jika Anda menaruh uang di bank selama setahun dengan tingkat bunga sederhana, Anda akan menerima rubel, dan jika dengan tingkat bunga majemuk, Anda akan menerima rubel. Manfaatnya kecil, tapi ini hanya terjadi pada tahun ke-th, tapi lebih jangka waktu yang lama kapitalisasi jauh lebih menguntungkan:

Mari kita lihat jenis permasalahan lain yang melibatkan bunga majemuk. Setelah apa yang Anda ketahui, itu akan menjadi dasar bagi Anda. Jadi, tugasnya:

Perusahaan Zvezda mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2000, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2001 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Berapa keuntungan yang diperoleh perusahaan Zvezda pada akhir tahun 2003 jika keuntungan tidak ditarik dari peredaran?

Ibukota perusahaan Zvezda pada tahun 2000.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2001.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2002.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2003.

Atau kita bisa menulis secara singkat:

Untuk kasus kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Masing-masing:
rubel
Perlu diketahui bahwa dalam soal ini kami tidak melakukan pembagian dengan atau dengan, karena persentasenya diberikan SETIAP TAHUN dan dihitung SETIAP TAHUN. Artinya, ketika membaca soal bunga majemuk, perhatikan berapa persentase yang diberikan dan pada periode berapa dihitung, baru kemudian dilanjutkan ke perhitungan.
Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri.

Pelatihan.

1. Tentukan suku barisan geometri jika diketahui, dan
2. Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri jika diketahui, dan
3. Perusahaan MDM Capital mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2003, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2004 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Perusahaan Arus Kas MSK mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2005 sebesar $10.000, dan mulai menghasilkan keuntungan pada tahun 2006 sebesar. Berapa dolar modal suatu perusahaan lebih besar dari perusahaan lain pada akhir tahun 2007, jika laba tidak ditarik dari peredaran?

Jawaban:

1. Karena rumusan masalah tidak menyatakan bahwa perkembangannya tidak terbatas dan diperlukan untuk mencari jumlah sejumlah suku tertentu, maka perhitungannya dilakukan sesuai dengan rumus:
2. 
   Perusahaan Modal MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - meningkat 100%, yaitu 2 kali lipat.
   Masing-masing:
   rubel
   Perusahaan Arus Kas MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - bertambah, yaitu berkali-kali lipat.
   Masing-masing:
   rubel
   rubel

Mari kita rangkum.

1) Barisan geometri ( ) adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

2) Persamaan suku-suku barisan geometri adalah .

3) dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.

• jika, maka semua suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua suku perkembangan berikutnya tanda-tanda alternatif;
• kapan - perkembangannya disebut menurun tak terhingga.

4) , di - properti barisan geometri (suku-suku yang berdekatan)

atau
, di (istilah yang berjarak sama)

Ketika Anda menemukannya, jangan lupakan itu seharusnya ada dua jawaban.

Misalnya,

5) Jumlah suku-suku barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

Jika perkembangannya menurun tak terhingga, maka:
atau

PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah suku-suku yang tak terhingga banyaknya.

6) Soal bunga majemuk dihitung juga dengan rumus suku ke-th suatu barisan geometri, dengan syarat uang tunai tidak ditarik dari peredaran:

PROGRESI GEOMETRIS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Kemajuan geometris( ) adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Nomor ini dipanggil penyebut suatu barisan geometri.

Penyebut barisan geometri dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.

• Jika, maka semua suku perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - positif;
• jika, maka semua anggota perkembangan selanjutnya berganti tanda;
• kapan - perkembangannya disebut menurun tak terhingga.

Persamaan suku-suku barisan geometri - .

Jumlah suku suatu barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

Pelajaran tentang topik tersebut “Perkembangan geometri yang menurun tanpa batas” (aljabar, kelas 10)

Tujuan pelajaran: memperkenalkan siswa pada jenis barisan baru - barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Peralatan: layar proyektor.

Jenis pelajaran: pelajaran - mempelajari topik baru.

Selama kelas

SAYA . Organisasi. momen. Nyatakan topik dan tujuan pelajaran.

II . Memperbarui pengetahuan siswa.

Di kelas 9 Anda mempelajari perkembangan aritmatika dan geometri.

Pertanyaan

1. Pengertian barisan aritmatika. (Perkembangan aritmatika adalah suatu barisan yang setiap sukunya, dimulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya yang dijumlahkan dengan bilangan yang sama).

2. Rumus N suku ke-dari barisan aritmatika (
)

3. Rumus jumlah yang pertama N suku-suku barisan aritmatika.

(
atau
)

4. Pengertian barisan geometri. (Garisan geometri adalah barisan bilangan bukan nol yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan bilangan yang sama).

5. Rumus N suku ke-t barisan geometri (

)

6. Rumus jumlah yang pertama N anggota barisan geometri. (
)

7. Rumus apa lagi yang kamu ketahui?

(
, Di mana
;
;
;
,
)

5. Untuk perkembangan geometri
temukan suku kelima.

6. Untuk barisan geometri
menemukan N anggota ke-th.

7. Secara eksponensial B 3 = 8 Dan B 5 = 2 . Menemukan B 4 . (4)

8. Secara eksponensial B 3 = 8 Dan B 5 = 2 . Menemukan B 1 Dan Q .

9. Secara eksponensial B 3 = 8 Dan B 5 = 2 . Menemukan S 5 . (62)

AKU AKU AKU . Mempelajari topik baru(demonstrasi presentasi).

Perhatikan sebuah persegi yang sisinya sama dengan 1. Mari kita menggambar persegi lain, yang sisinya setengah ukuran persegi pertama, lalu persegi lain, yang sisinya adalah setengah persegi kedua, lalu persegi berikutnya, dan seterusnya. Setiap kali sisi persegi baru sama dengan setengah sisi persegi sebelumnya.

Hasilnya, kami mendapatkan rangkaian sisi persegi membentuk barisan geometri dengan penyebutnya.

Dan, yang sangat penting, semakin banyak kita membuat persegi tersebut, semakin kecil sisi persegi tersebut. Misalnya,

Itu. Dengan bertambahnya jumlah n, suku-suku perkembangannya mendekati nol.

Dengan menggunakan gambar ini, Anda dapat mempertimbangkan urutan lainnya.

Misalnya barisan luas persegi:

. Dan sekali lagi, jika N bertambah tanpa batas, maka luasnya mendekati nol sedekat yang Anda inginkan.

Mari kita lihat contoh lainnya. Segitiga sama sisi dengan panjang sisi sama dengan 1 cm. Mari kita buat segitiga berikut dengan titik sudut di titik tengah sisi-sisi segitiga ke-1, sesuai dengan teorema tentang garis tengah segitiga - sisi ke-2 sama dengan setengah sisi segitiga pertama, sisi ke-3 sama dengan setengah sisi ke-2, dst. Sekali lagi kita memperoleh barisan panjang sisi-sisi segitiga.

pada
.

Jika kita perhatikan barisan geometri yang penyebutnya negatif.

Lalu, lagi-lagi dengan jumlah yang semakin bertambah N syarat perkembangannya mendekati nol.

Mari kita perhatikan penyebut barisan tersebut. Di mana-mana nilai absolut penyebutnya kurang dari 1.

Kita dapat menyimpulkan: suatu barisan geometri akan berkurang tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari 1.

Definisi:

Suatu barisan geometri dikatakan menurun tak terhingga jika modulus penyebutnya kurang dari satu.
.

Dengan menggunakan definisi tersebut, Anda dapat memutuskan apakah suatu barisan geometri menurun tak terhingga atau tidak.

Tugas

Apakah barisan tersebut merupakan barisan geometri yang menurun tak terhingga jika diberikan dengan rumus:

;
.

Larutan:

. Kami akan menemukannya Q .

;
;
;
.

perkembangan geometrik ini semakin menurun.

B) barisan ini bukanlah barisan geometri yang menurun tak terhingga.

Misalkan sebuah persegi dengan sisi sama dengan 1. Bagilah menjadi dua, salah satu bagian menjadi dua, dan seterusnya. Luas semua persegi panjang yang dihasilkan membentuk barisan geometri yang semakin menurun:

Jumlah luas semua persegi panjang yang diperoleh dengan cara ini akan sama dengan luas persegi pertama dan sama dengan 1.