Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol dan setiap suku berikutnya sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama.

Konsep perkembangan geometri

Perkembangan geometri dilambangkan dengan b1,b2,b3, …, bn, ….

Perbandingan suatu suku pada galat geometri dengan suku sebelumnya sama dengan bilangan yang sama, yaitu b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Ini mengikuti langsung dari definisinya perkembangan aritmatika. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri. Biasanya penyebut suatu barisan geometri dilambangkan dengan huruf q.

Jumlah barisan geometri tak hingga untuk |q|<1

Salah satu cara untuk menyatakan suatu barisan geometri adalah dengan menentukan suku pertamanya b1 dan penyebut kesalahan geometri q. Misalnya, b1=4, q=-2. Kedua kondisi ini menentukan barisan geometri 4, -8, 16, -32, ….

Jika q>0 (q tidak sama dengan 1), maka barisan tersebut merupakan barisan monotonik. Misalnya barisan 2, 4,8,16,32, ... adalah barisan naik monoton (b1=2, q=2).

Jika penyebut suatu galat geometri adalah q=1, maka semua suku-suku barisan geometri tersebut akan sama satu sama lain. Dalam kasus seperti ini, perkembangannya dikatakan sebagai barisan yang konstan.

Agar suatu barisan bilangan (bn) menjadi suatu barisan geometri, setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, harus merupakan rata-rata geometri dari anggota-anggota yang berdekatan. Artinya, persamaan berikut harus dipenuhi
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), untuk sembarang n>0, dimana n termasuk dalam himpunan bilangan asli N.

Sekarang mari kita masukkan (Xn) - suatu barisan geometri. Penyebut barisan geometri q, dan |q|∞).
Jika sekarang kita menyatakan dengan S jumlah barisan geometri tak hingga, maka rumus berikut akan berlaku:
S=x1/(1-q).

Mari kita lihat contoh sederhana:

Tentukan jumlah barisan geometri tak hingga 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

Untuk mencari S, kita menggunakan rumus jumlah barisan aritmatika tak terhingga. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Jika semua orang bilangan asli N cocok dengan bilangan real sebuah , lalu mereka mengatakan bahwa itu diberikan urutan nomor :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah , . . . .

Jadi, barisan bilangan merupakan fungsi dari argumen natural.

Nomor A 1 ditelepon suku pertama barisan tersebut , nomor A 2 — suku kedua barisan tersebut , nomor A 3 — ketiga dan seterusnya. Nomor sebuah ditelepon istilah ke-n urutan , dan bilangan asli N — nomornya .

Dari dua anggota yang berdekatan sebuah Dan sebuah +1 anggota urutan sebuah +1 ditelepon setelah (terhadap sebuah ), A sebuah — sebelumnya (terhadap sebuah +1 ).

Untuk menentukan suatu barisan, Anda perlu menentukan metode yang memungkinkan Anda menemukan anggota barisan dengan nomor berapa pun.

Seringkali urutannya ditentukan menggunakan rumus suku ke-n , yaitu rumus yang memungkinkan Anda menentukan anggota suatu barisan berdasarkan nomornya.

Misalnya,

barisan bilangan ganjil positif dapat diberikan dengan rumus

sebuah= 2N- 1,

dan urutan bergantian 1 Dan -1 - rumus

B N = (-1)N +1 . ◄

Urutannya dapat ditentukan rumus berulang, yaitu rumus yang menyatakan setiap anggota barisan, dimulai dari beberapa, hingga anggota sebelumnya (satu atau lebih).

Misalnya,

Jika A 1 = 1 , A sebuah +1 = sebuah + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika sebuah 1= 1, sebuah 2 = 1, sebuah +2 = sebuah + sebuah +1 , maka tujuh suku pertama barisan bilangan tersebut ditetapkan sebagai berikut:

sebuah 1 = 1,

sebuah 2 = 1,

sebuah 3 = sebuah 1 + sebuah 2 = 1 + 1 = 2,

sebuah 4 = sebuah 2 + sebuah 3 = 1 + 2 = 3,

sebuah 5 = sebuah 3 + sebuah 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutannya bisa terakhir Dan tak ada habisnya .

Urutannya disebut terakhir , jika jumlah anggotanya terbatas. Urutannya disebut tak ada habisnya , jika anggotanya sangat banyak.

Misalnya,

barisan bilangan asli dua angka:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

terakhir.

Barisan bilangan prima:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tak ada habisnya. ◄

Urutannya disebut meningkat , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih besar dari anggota sebelumnya.

Urutannya disebut menurun , jika masing-masing anggotanya, mulai dari anggota kedua, lebih kecil dari anggota sebelumnya.

Misalnya,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . — meningkatkan urutan;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . — urutan menurun. ◄

Barisan yang unsur-unsurnya tidak berkurang seiring bertambahnya bilangan, atau sebaliknya tidak bertambah disebut urutan monoton .

Barisan monotonik khususnya adalah barisan naik dan barisan menurun.

Perkembangan aritmatika

Perkembangan aritmatika adalah barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya, yang ditambahi bilangan yang sama.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , sebuah, . . .

adalah barisan aritmatika jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

sebuah +1 = sebuah + D,

Di mana D - nomor tertentu.

Jadi, selisih antara suku-suku berikutnya dan suku-suku sebelumnya dari suatu perkembangan aritmatika tertentu selalu konstan:

sebuah 2 - A 1 = sebuah 3 - A 2 = . . . = sebuah +1 - sebuah = D.

Nomor D ditelepon perbedaan perkembangan aritmatika.

Untuk menentukan suatu barisan aritmatika, cukup dengan menunjukkan suku pertamanya dan selisihnya.

Misalnya,

Jika A 1 = 3, D = 4 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

sebuah 1 =3,

sebuah 2 = sebuah 1 + D = 3 + 4 = 7,

sebuah 3 = sebuah 2 + D= 7 + 4 = 11,

sebuah 4 = sebuah 3 + D= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + D= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk barisan aritmatika dengan suku pertama A 1 dan perbedaannya D dia N

sebuah = sebuah 1 + (N- 1)D.

Misalnya,

tentukan suku ketiga puluh barisan aritmatika tersebut

1, 4, 7, 10, . . .

sebuah 1 =1, D = 3,

sebuah 30 = sebuah 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

sebuah n-1 = sebuah 1 + (N- 2)D,

sebuah= sebuah 1 + (N- 1)D,

sebuah +1 = A 1 + dan,

maka jelas

sebuah=	n-1 + n+1
	2

Setiap suku suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata aritmatika suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku yang berurutan dari suatu barisan aritmatika jika dan hanya jika salah satunya sama dengan rata-rata aritmatika dari dua bilangan lainnya.

Misalnya,

sebuah = 2N- 7 , adalah barisan aritmatika.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

sebuah = 2N- 7,

sebuah n-1 = 2(N- 1) - 7 = 2N- 9,

sebuah n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2N- 5.

Karena itu,

n+1 + n-1	=	2N- 5 + 2N- 9	= 2N- 7 = sebuah,
2		2

◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan aritmatika tidak hanya dapat dicari melalui A 1 , tetapi juga sebelumnya sebuah k

sebuah = sebuah k + (N- k)D.

Misalnya,

Untuk A 5 dapat dituliskan

sebuah 5 = sebuah 1 + 4D,

sebuah 5 = sebuah 2 + 3D,

sebuah 5 = sebuah 3 + 2D,

sebuah 5 = sebuah 4 + D. ◄

sebuah = sebuah nk + kd,

sebuah = sebuah n+k - kd,

maka jelas

sebuah=	A nk + sebuah n+k
	2

setiap anggota suatu barisan aritmatika, mulai dari suku kedua, sama dengan setengah jumlah anggota barisan aritmatika tersebut yang berjarak sama darinya.

Selain itu, untuk setiap perkembangan aritmatika, persamaan berikut berlaku:

am + an = a k + a l,

m + n = k + aku.

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = sebuah 10 = sebuah 3 + 7D= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) sebuah 10= 28 = (19 + 37)/2 = (angka 7 + angka 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Karena

sebuah 2 + sebuah 12= 4 + 34 = 38,

sebuah 5 + sebuah 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= sebuah 1 + sebuah 2 + sebuah 3 + . . .+ sebuah,

Pertama N suku-suku suatu barisan aritmatika sama dengan hasil kali setengah jumlah suku ekstrim dan banyaknya suku:

Oleh karena itu, khususnya, jika Anda perlu menjumlahkan suku-sukunya

sebuah k, sebuah k +1 , . . . , sebuah,

maka rumus sebelumnya mempertahankan strukturnya:

Misalnya,

dalam perkembangan aritmatika 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika diberikan perkembangan aritmatika, maka besarannya A 1 , sebuah, D, N DanS N dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang bersesuaian dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Barisan aritmatika merupakan barisan monotonik. Di mana:

• Jika D > 0 , kemudian meningkat;
• Jika D < 0 , maka menurun;
• Jika D = 0 , maka barisan tersebut akan stasioner.

Kemajuan geometris

Kemajuan geometris adalah suatu barisan yang setiap sukunya, mulai dari suku kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama.

B 1 , B 2 , B 3 , . . . , bn, . . .

adalah barisan geometri jika untuk sembarang bilangan asli N syaratnya terpenuhi:

bn +1 = bn · Q,

Di mana Q ≠ 0 - nomor tertentu.

Jadi, perbandingan suku berikutnya suatu barisan geometri tertentu dengan suku sebelumnya adalah bilangan konstan:

B 2 / B 1 = B 3 / B 2 = . . . = bn +1 / bn = Q.

Nomor Q ditelepon penyebut barisan geometri.

Untuk menentukan suatu barisan geometri, cukup dengan menunjukkan suku pertama dan penyebutnya.

Misalnya,

Jika B 1 = 1, Q = -3 , maka kita carilah lima suku pertama barisan tersebut sebagai berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · Q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · Q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · Q= 9 · (-3) = -27,

B 5 = B 4 · Q= -27 · (-3) = 81. ◄

B 1 dan penyebut Q dia N Suku ke-th dapat dicari dengan menggunakan rumus:

bn = B 1 · qn -1 .

Misalnya,

tentukan suku ketujuh barisan geometri tersebut 1, 2, 4, . . .

B 1 = 1, Q = 2,

B 7 = B 1 · Q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

bn = b 1 · qn -1 ,

bn +1 = B 1 · qn,

maka jelas

bn 2 = bn -1 · bn +1 ,

setiap anggota barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan rata-rata geometri (sebanding) suku-suku sebelumnya dan selanjutnya.

Karena kebalikannya juga benar, pernyataan berikut ini berlaku:

bilangan a, b, dan c adalah suku-suku berurutan suatu barisan geometri jika dan hanya jika kuadrat salah satu bilangan tersebut sama dengan hasil kali dua bilangan lainnya, yaitu salah satu bilangan tersebut merupakan rata-rata geometri dua bilangan lainnya.

Misalnya,

Mari kita buktikan barisan yang diberikan oleh rumus bn= -3 2 N , adalah barisan geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kita punya:

bn= -3 2 N,

bn -1 = -3 2 N -1 ,

bn +1 = -3 2 N +1 .

Karena itu,

bn 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) · (-3 · 2 N +1 ) = bn -1 · bn +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang diinginkan. ◄

Perhatikan itu N Suku ke suatu barisan geometri dapat dicari tidak hanya melalui B 1 , tetapi juga anggota sebelumnya bk , untuk itu cukup menggunakan rumus saja

bn = bk · qn - k.

Misalnya,

Untuk B 5 dapat dituliskan

b 5 = b 1 · Q 4 ,

b 5 = b 2 · pertanyaan 3,

b 5 = b 3 · pertanyaan 2,

b 5 = b 4 · Q. ◄

bn = bk · qn - k,

bn = bn - k · qk,

maka jelas

bn 2 = bn - k· bn + k

kuadrat suatu suku suatu barisan geometri, mulai dari suku kedua, sama dengan hasil kali suku-suku barisan tersebut yang berjarak sama dari suku tersebut.

Selain itu, untuk setiap barisan geometri persamaannya benar:

bm· bn= bk· b l,

M+ N= k+ aku.

Misalnya,

dalam deret geometri

1) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = B 5 · B 7 ;

2) 1024 = B 11 = B 6 · Q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) B 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = B 4 · B 8 ;

4) B 2 · B 7 = B 4 · B 5 , Karena

B 2 · B 7 = 2 · 64 = 128,

B 4 · B 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= B 1 + B 2 + B 3 + . . . + bn

Pertama N anggota barisan geometri yang penyebutnya Q ≠ 0 dihitung dengan rumus:

Dan kapan Q = 1 - sesuai rumus

S n= catatan 1

Perhatikan bahwa jika Anda perlu menjumlahkan persyaratannya

bk, bk +1 , . . . , bn,

maka rumus yang digunakan adalah:

S n- S k -1 = bk + bk +1 + . . . + bn = bk ·	1 - qn - k +1	.
	1 - Q

Misalnya,

dalam deret geometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu barisan geometri diberikan, maka besarannya B 1 , bn, Q, N Dan S n dihubungkan dengan dua rumus:

Oleh karena itu, jika nilai dari tiga besaran ini diberikan, maka nilai yang sesuai dari dua besaran lainnya ditentukan dari rumus ini, digabungkan menjadi sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Untuk barisan geometri dengan suku pertama B 1 dan penyebut Q berikut ini terjadi sifat monotonisitas :

• kemajuan meningkat jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan Q> 1;

B 1 < 0 Dan 0 < Q< 1;

• Perkembangannya menurun jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

B 1 > 0 Dan 0 < Q< 1;

B 1 < 0 Dan Q> 1.

Jika Q< 0 , maka barisan geometri tersebut berselang-seling: suku-suku yang berbilangan ganjil mempunyai tanda yang sama dengan suku pertamanya, dan suku-suku yang berbilangan genap bertanda berlawanan. Jelaslah bahwa barisan geometri bolak-balik tidak monoton.

Produk yang pertama N suku suatu barisan geometri dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

hal= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · bn = (b 1 · bn) N / 2 .

Misalnya,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas disebut barisan geometri tak hingga yang modulus penyebutnya lebih kecil 1 , itu adalah

|Q| < 1 .

Perhatikan bahwa barisan geometri yang menurun tak terhingga belum tentu merupakan barisan menurun. Ini sesuai dengan kesempatan itu

1 < Q< 0 .

Dengan penyebut seperti itu, barisannya bergantian. Misalnya,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga sebutkan bilangan yang jumlah bilangan pertama mendekati tanpa batas N anggota suatu kemajuan dengan peningkatan jumlah yang tidak terbatas N . Bilangan ini selalu terbatas dan dinyatakan dengan rumus

S= B 1 + B 2 + B 3 + . . . =	B 1	.
	1 - Q

Misalnya,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara barisan aritmatika dan geometri

Aritmatika dan perkembangan geometri mempunyai kekerabatan yang erat satu sama lain. Mari kita lihat dua contoh saja.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . D , Itu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Misalnya,

1, 3, 5, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan 2 Dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - barisan geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

B 1 , B 2 , B 3 , . . . - barisan geometri dengan penyebut Q , Itu

catatan ab 1, catatan ab 2, catatan ab 3, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan catatan aQ .

Misalnya,

2, 12, 72, . . . - barisan geometri dengan penyebut 6 Dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - perkembangan aritmatika dengan perbedaan lg 6 . ◄

Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri, yaitu setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya sebanyak q kali. (Kami akan berasumsi bahwa q ≠ 1, jika tidak, semuanya terlalu sepele). Tidak sulit untuk melihatnya rumus umum suku ke-n barisan geometri b n = b 1 q n – 1 ; suku dengan bilangan b n dan b m berbeda q n – m kali.

Sudah di Mesir Kuno tidak hanya mengetahui aritmatika, tetapi juga perkembangan geometri. Misalnya, berikut adalah soal dari papirus Rhind: “Tujuh wajah memiliki tujuh kucing; Setiap kucing memakan tujuh tikus, setiap tikus memakan tujuh bulir jagung, dan setiap bulir jelai dapat menumbuhkan tujuh takaran jelai. Berapa besar bilangan-bilangan pada deret tersebut dan jumlahnya?

Beras. 1. Masalah perkembangan geometri Mesir kuno

Tugas ini diulangi berkali-kali dengan variasi yang berbeda-beda antar bangsa pada waktu yang lain. Misalnya saja yang ditulis pada abad ke-13. “Kitab Sempoa” karya Leonardo dari Pisa (Fibonacci) mempunyai masalah dimana 7 wanita tua muncul dalam perjalanan ke Roma (jelas peziarah), yang masing-masing memiliki 7 bagal, masing-masing memiliki 7 tas, yang masing-masing berisi 7 tas. berisi 7 buah roti yang masing-masing mempunyai 7 pisau yang masing-masing mempunyai 7 sarung. Soal menanyakan berapa banyak objek yang ada.

Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Rumus ini dapat dibuktikan misalnya seperti ini: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Tambahkan angka b 1 q n ke S n dan dapatkan:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Dari sini S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), dan kita mendapatkan rumus yang diperlukan.

Sudah ada di salah satu tablet tanah liat Babel Kuno berasal dari abad ke-6. SM e., berisi jumlah 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Benar, seperti dalam beberapa kasus lainnya, kita tidak tahu bagaimana fakta ini diketahui orang Babilonia .

Peningkatan pesat perkembangan geometri di sejumlah kebudayaan, khususnya di India, berulang kali digunakan sebagai simbol visual dari luasnya alam semesta. Dalam legenda terkenal tentang kemunculan catur, penguasa memberikan kesempatan kepada penemunya untuk memilih sendiri hadiahnya, dan dia menanyakan jumlah butir gandum yang akan diperoleh jika satu ditempatkan di kotak pertama papan catur, dua di kotak pertama papan catur. yang kedua, empat pada yang ketiga, delapan pada yang keempat, dan seterusnya, setiap kali jumlahnya menjadi dua kali lipat. Vladyka mengira paling banyak yang kita bicarakan adalah beberapa tas, tapi dia salah perhitungan. Sangat mudah untuk melihat bahwa untuk seluruh 64 kotak papan catur, penemunya harus menerima (2 64 - 1) butir, yang dinyatakan sebagai angka 20 digit; bahkan jika seluruh permukaan bumi ditaburkan, dibutuhkan setidaknya 8 tahun untuk mengumpulkan jumlah biji-bijian yang dibutuhkan. Legenda ini terkadang ditafsirkan sebagai indikasi kemungkinan tak terbatas yang tersembunyi dalam permainan catur.

Sangat mudah untuk melihat bahwa angka ini sebenarnya terdiri dari 20 digit:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (perhitungan yang lebih akurat menghasilkan 1,84∙10 19). Tapi saya ingin tahu apakah Anda bisa mengetahui digit apa yang diakhiri dengan angka ini?

Suatu barisan geometri dapat bertambah jika penyebutnya lebih besar dari 1, atau berkurang jika penyebutnya kurang dari satu. Dalam kasus terakhir, bilangan q n untuk n yang cukup besar dapat menjadi kecil secara sembarang. Meskipun perkembangan geometri yang meningkat meningkat secara tidak terduga dengan cepat, perkembangan geometri yang menurun juga menurun dengan cepat.

Semakin besar n, semakin lemah bilangan q n berbeda dengan nol, dan semakin dekat jumlah n suku barisan geometri S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) dengan bilangan S = b 1 / ( 1 – q). (Misalnya, F. Viet beralasan seperti ini). Bilangan S disebut jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga. Namun, selama berabad-abad pertanyaan tentang apa arti menjumlahkan SELURUH barisan geometri, dengan jumlah sukunya yang tak terhingga, masih belum cukup jelas bagi para ahli matematika.

Perkembangan geometri yang menurun dapat dilihat, misalnya, dalam aporia Zeno “Setengah Divisi” dan “Achilles dan Kura-kura.” Dalam kasus pertama, terlihat jelas bahwa seluruh jalan (dengan asumsi panjang 1) adalah jumlah totalnya jumlah yang tak terbatas segmen 1/2, 1/4, 1/8, dst. Tentu saja demikian juga dari sudut pandang gagasan tentang jumlah berhingga suatu barisan geometri tak terhingga. Namun - bagaimana ini bisa terjadi?

Beras. 2. Perkembangan dengan koefisien 1/2

Dalam aporia tentang Achilles, situasinya sedikit lebih rumit, karena di sini penyebut perkembangannya bukan 1/2, melainkan bilangan lain. Misalkan Achilles berlari dengan kecepatan v, kura-kura bergerak dengan kecepatan u, dan jarak awal antara keduanya adalah l. Achilles akan menempuh jarak ini dalam waktu l/v, dan selama waktu tersebut penyu akan menempuh jarak lu/v. Ketika Achilles menjalankan segmen ini, jarak antara dia dan kura-kura akan menjadi sama dengan l (u /v) 2, dst. Ternyata mengejar kura-kura berarti mencari jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan suku pertama l dan penyebut u /v. Jumlah ini - segmen yang pada akhirnya akan dilalui Achilles ke tempat pertemuan dengan penyu - sama dengan l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Namun, sekali lagi, bagaimana hasil ini harus diinterpretasikan dan mengapa hal ini masuk akal? untuk waktu yang lama itu tidak terlalu jelas.

Beras. 3. Perkembangan geometri dengan koefisien 2/3

Archimedes menggunakan jumlah barisan geometri untuk menentukan luas ruas parabola. Misalkan ruas parabola ini dibatasi oleh tali busur AB dan biarkan garis singgung di titik D parabola sejajar dengan AB. Misalkan C adalah titik tengah AB, E adalah titik tengah AC, F adalah titik tengah CB. Mari kita menggambar garis sejajar DC melalui titik A, E, F, B; Misalkan garis singgung yang ditarik di titik D memotong garis-garis tersebut di titik K, L, M, N. Mari kita menggambar juga segmen AD dan DB. Misalkan garis EL memotong garis AD di titik G, dan parabola di titik H; garis FM memotong garis DB di titik Q, dan parabola di titik R. Menurut teori umum penampang kerucut, DC adalah diameter parabola (yaitu segmen yang sejajar dengan sumbunya); itu dan garis singgung di titik D dapat berupa sumbu koordinat x dan y, dimana persamaan parabola ditulis sebagai y 2 = 2px (x adalah jarak dari D ke suatu titik dengan diameter tertentu, y adalah panjang segmen yang sejajar dengan garis singgung tertentu dari titik diameter ini ke suatu titik pada parabola itu sendiri).

Berdasarkan persamaan parabola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, dan karena DK = 2DL, maka KA = 4LH. Karena KA = 2LG, LH = HG. Luas ruas ADB parabola sama dengan luas segitiga ADB dan luas gabungan ruas AHD dan DRB. Pada gilirannya, luas segmen AHD juga sama dengan luas segitiga AHD dan sisa segmen AH dan HD, yang masing-masing dapat melakukan operasi yang sama - dipecah menjadi segitiga (Δ) dan dua segmen yang tersisa (), dll.:

Luas segitiga AHD sama dengan setengah luas segitiga ALD (mereka mempunyai alas yang sama AD, dan tingginya berbeda 2 kali), yang selanjutnya sama dengan setengah luas ​​segitiga ΔAKD, sehingga setengah luas segitiga ΔACD. Jadi, luas segitiga ΔAHD sama dengan seperempat luas segitiga ΔACD. Demikian pula luas segitiga ΔDRB sama dengan seperempat luas segitiga ΔDFB. Jadi, luas segitiga ΔAHD dan ΔDRB jika digabungkan sama dengan seperempat luas segitiga ΔADB. Mengulangi operasi ini ketika diterapkan pada segmen AH, HD, DR dan RB akan memilih segitiga dari segmen tersebut, yang luasnya jika digabungkan akan 4 kali lebih kecil dari luas segitiga AHD dan DRB jika digabungkan, dan oleh karena itu 16 kali lebih kecil dari luas segitiga ADB. Dan seterusnya:

Dengan demikian, Archimedes membuktikan bahwa “setiap ruas antara garis lurus dan parabola merupakan empat pertiga segitiga yang mempunyai alas dan tinggi yang sama”.

Tingkat pertama

Kemajuan geometris. Panduan komprehensif dengan contoh (2019)

Urutan nomor

Jadi, mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Misalnya:

Anda dapat menulis angka apa saja, dan jumlahnya bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, ada angka tersebut). Berapapun banyaknya angka yang kita tulis, kita selalu bisa menentukan mana yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya sampai yang terakhir, yaitu kita bisa memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan:

Urutan nomor adalah sekumpulan angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.

Misalnya, untuk urutan kami:

Nomor yang ditetapkan khusus hanya untuk satu nomor dalam urutan. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam barisan tersebut. Angka kedua (seperti angka ke-th) selalu sama.

Bilangan yang mempunyai bilangan disebut anggota barisan ke-n.

Kita biasanya menyebut seluruh barisan dengan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota barisan ini adalah huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan nomor anggota ini: .

Dalam kasus kami:

Jenis barisan yang paling umum adalah aritmatika dan geometri. Dalam topik ini kita akan berbicara tentang tipe kedua - perkembangan geometri.

Mengapa deret geometri diperlukan dan sejarahnya?

Bahkan di zaman kuno, biarawan matematikawan Italia Leonardo dari Pisa (lebih dikenal sebagai Fibonacci) menangani kebutuhan praktis perdagangan. Bhikkhu tersebut dihadapkan pada tugas untuk menentukan berapa jumlah anak timbangan terkecil yang dapat digunakan untuk menimbang suatu produk? Dalam karyanya, Fibonacci membuktikan bahwa sistem bobot seperti itu optimal: Ini adalah salah satu situasi pertama di mana orang harus menghadapi barisan geometri, yang mungkin pernah Anda dengar dan setidaknya pernah Anda dengar. konsep umum. Setelah Anda benar-benar memahami topiknya, pikirkan mengapa sistem seperti itu optimal?

Saat ini, dalam praktik kehidupan, perkembangan geometris memanifestasikan dirinya ketika menginvestasikan uang di bank, ketika jumlah bunga dibebankan pada jumlah yang terakumulasi dalam rekening untuk periode sebelumnya. Dengan kata lain, jika Anda menaruh uang pada deposito berjangka di bank tabungan, maka setelah satu tahun simpanan tersebut akan bertambah sebesar jumlah aslinya, yaitu. jumlah baru akan sama dengan kontribusi dikalikan. Di tahun berikutnya, jumlah ini akan meningkat sebesar, yaitu. jumlah yang diperoleh saat itu akan dikalikan lagi dan seterusnya. Situasi serupa dijelaskan dalam masalah penghitungan yang disebut bunga majemuk- persentasenya diambil setiap kali dari jumlah yang ada di rekening, dengan memperhitungkan bunga sebelumnya. Kami akan membicarakan tugas-tugas ini nanti.

Masih banyak lagi kasus sederhana yang menerapkan perkembangan geometri. Misalnya, penyebaran influenza: satu orang menulari orang lain, mereka kemudian menulari orang lain, dan dengan demikian gelombang infeksi kedua adalah seseorang, dan mereka, pada gilirannya, menulari orang lain... dan seterusnya.. .

Omong-omong, piramida keuangan, MMM yang sama, adalah perhitungan sederhana dan kering berdasarkan sifat-sifat deret geometri. Menarik? Mari kita cari tahu.

Kemajuan geometris.

Katakanlah kita mempunyai barisan bilangan:

Anda akan langsung menjawab bahwa ini mudah dan nama barisan tersebut adalah barisan aritmatika dengan selisih suku-sukunya. Bagaimana dengan ini:

Jika Anda mengurangkan bilangan sebelumnya dari bilangan berikutnya, Anda akan melihat bahwa setiap kali Anda mendapatkan selisih baru (dan seterusnya), namun barisan tersebut pasti ada dan mudah diperhatikan - setiap bilangan berikutnya kali lebih besar dari bilangan sebelumnya!

Urutan bilangan seperti ini disebut perkembangan geometri dan ditunjuk.

Perkembangan geometri () adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

Batasan suku pertama ( ) tidak sama dan tidak acak. Anggap saja tidak ada, dan suku pertamanya masih sama, dan q sama dengan, hmm.. biarlah, maka ternyata:

Setuju bahwa ini bukan lagi suatu kemajuan.

Seperti yang anda pahami, kita akan mendapatkan hasil yang sama jika ada bilangan selain nol, a. Dalam kasus ini, tidak akan ada perkembangan, karena seluruh rangkaian bilangan akan semuanya nol, atau satu angka, dan sisanya akan menjadi nol.

Sekarang mari kita bahas lebih detail tentang penyebut suatu barisan geometri, yaitu o.

Mari kita ulangi: - ini nomornya berapa kali setiap suku berikutnya berubah? perkembangan geometri.

Menurutmu bisa menjadi apa? Itu benar, positif dan negatif, tetapi bukan nol (kita membicarakannya sedikit lebih tinggi).

Mari kita asumsikan bahwa kita positif. Misalkan dalam kasus kita, a. Berapakah nilai suku kedua dan? Anda dapat dengan mudah menjawabnya:

Itu benar. Oleh karena itu, jika, maka semua suku-suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif.

Bagaimana jika hasilnya negatif? Misalnya, a. Berapakah nilai suku kedua dan?

Ini adalah cerita yang sangat berbeda

Coba hitung syarat-syarat perkembangan ini. Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki. Jadi, jika, maka tanda-tanda suku-suku barisan geometri itu berselang-seling. Artinya, jika Anda melihat suatu barisan yang anggota-anggotanya berganti tanda, maka penyebutnya negatif. Pengetahuan ini dapat membantu Anda menguji diri sendiri ketika memecahkan masalah pada topik ini.

Sekarang mari kita berlatih sedikit: coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan geometri dan mana yang merupakan barisan aritmatika:

Mengerti? Mari kita bandingkan jawaban kita:

• Perkembangan geometri - 3, 6.
• Perkembangan aritmatika - 2, 4.
• Ini bukan barisan aritmatika atau geometri - 1, 5, 7.

Mari kita kembali ke perkembangan terakhir kita dan mencoba mencari anggotanya, seperti pada bilangan aritmatika. Seperti yang sudah Anda duga, ada dua cara untuk menemukannya.

Kami secara berturut-turut mengalikan setiap suku dengan.

Jadi, suku ke-th barisan geometri yang dijelaskan adalah sama dengan.

Seperti yang sudah Anda duga, sekarang Anda sendiri akan mendapatkan rumus yang akan membantu Anda menemukan anggota barisan geometri mana pun. Atau apakah Anda sudah mengembangkannya sendiri, menjelaskan cara menemukan anggota ke-th langkah demi langkah? Jika ya, periksa kebenaran alasan Anda.

Mari kita ilustrasikan hal ini dengan contoh mencari suku ke-th dari barisan ini:

Dengan kata lain:

Temukan sendiri nilai suku barisan geometri yang diberikan.

Telah terjadi? Mari kita bandingkan jawaban kita:

Harap dicatat bahwa Anda mendapatkan angka yang persis sama seperti pada metode sebelumnya, ketika kita mengalikan secara berurutan dengan setiap suku sebelumnya dari barisan geometri.
Mari kita coba untuk "depersonalisasi" rumus ini- Mari kita masukkan ke dalam bentuk umum dan dapatkan:

Rumus turunannya berlaku untuk semua nilai - baik positif maupun negatif. Periksa sendiri dengan menghitung suku-suku barisan geometri dengan kondisi berikut: , A.

Apakah kamu menghitung? Mari kita bandingkan hasilnya:

Setuju bahwa suku suatu perkembangan dapat ditemukan dengan cara yang sama seperti suku, namun ada kemungkinan perhitungannya salah. Dan jika kita telah menemukan suku ke-th dari barisan geometri tersebut, lalu apa yang lebih sederhana daripada menggunakan bagian rumus yang “terpotong”.

Kemajuan geometri yang menurun tanpa batas.

Baru-baru ini, kita berbicara tentang fakta bahwa itu bisa lebih besar atau lebih kecil dari nol, namun ada nilai khusus yang disebut deret geometri. menurun tanpa batas.

Menurut Anda mengapa nama ini diberikan?
Pertama, mari kita tuliskan beberapa barisan geometri yang terdiri dari suku-suku.
Katakanlah:

Kita melihat bahwa setiap suku berikutnya lebih kecil satu faktor dari suku sebelumnya, tetapi apakah akan ada bilangan? Anda akan segera menjawab - “tidak”. Itulah sebabnya ia terus berkurang tanpa batas - ia berkurang dan berkurang, tetapi tidak pernah menjadi nol.

Untuk memahami dengan jelas tampilannya secara visual, mari kita coba menggambar grafik perkembangan kita. Jadi, untuk kasus kita, rumusnya berbentuk sebagai berikut:

Pada grafik kita terbiasa memplot ketergantungan, oleh karena itu:

Inti dari ekspresi tersebut tidak berubah: pada entri pertama kami menunjukkan ketergantungan nilai anggota barisan geometri pada bilangan urutnya, dan pada entri kedua kami hanya mengambil nilai anggota barisan geometri sebagai , dan menetapkan nomor urut bukan sebagai, tetapi sebagai. Yang perlu dilakukan hanyalah membuat grafik.
Mari kita lihat apa yang Anda punya. Berikut grafik yang saya buat:

Apakah kamu lihat? Fungsinya mengecil, cenderung nol, tetapi tidak pernah melewatinya, sehingga menurun tak terhingga. Mari kita tandai titik-titik kita pada grafik, sekaligus koordinat dan artinya:

Cobalah untuk menggambarkan secara skematis grafik suatu barisan geometri jika suku pertamanya juga sama. Analisa apa bedanya dengan grafik kita sebelumnya?

Apakah Anda berhasil? Berikut grafik yang saya buat:

Sekarang setelah Anda sepenuhnya memahami dasar-dasar topik barisan geometri: Anda tahu apa itu barisan geometri, Anda tahu cara mencari sukunya, dan Anda juga tahu apa itu barisan geometri yang menurun tak terhingga, mari kita beralih ke sifat utamanya.

Sifat perkembangan geometri.

Apakah Anda ingat sifat-sifat suku-suku suatu barisan aritmatika? Ya, ya, bagaimana cara mencari nilai suatu bilangan suatu perkembangan jika ada nilai sebelumnya dan selanjutnya dari suku-suku perkembangan tersebut. Apakah kamu ingat? Ini:

Sekarang kita dihadapkan pada pertanyaan yang persis sama tentang suku-suku barisan geometri. Untuk mendapatkan rumus seperti itu, mari kita mulai menggambar dan menalar. Soalnya, caranya sangat mudah, dan jika lupa, Anda bisa mengeluarkannya sendiri.

Mari kita ambil barisan geometri sederhana lainnya yang kita ketahui dan. Bagaimana cara menemukannya? Dengan perkembangan aritmatika itu mudah dan sederhana, tapi bagaimana dengan disini? Sebenarnya, tidak ada yang rumit dalam geometri juga - Anda hanya perlu menuliskan setiap nilai yang diberikan kepada kita sesuai rumus.

Anda mungkin bertanya, apa yang harus kita lakukan sekarang? Ya, sangat sederhana. Pertama, mari kita gambarkan rumus-rumus ini pada gambar dan coba lakukan dengannya berbagai manipulasi untuk sampai pada suatu nilai.

Mari kita abstrak dari angka-angka yang diberikan kepada kita, mari kita fokus hanya pada ekspresi mereka melalui rumus. Kita perlu menemukan nilai yang disorot dengan warna oranye, mengetahui suku-suku yang berdekatan dengannya. Mari kita coba berproduksi bersama mereka berbagai tindakan, sebagai hasil yang bisa kita dapatkan.

Tambahan.
Mari kita coba menambahkan dua ekspresi dan kita mendapatkan:

Dari ungkapan ini, seperti yang Anda lihat, kami tidak dapat mengungkapkannya dengan cara apa pun, oleh karena itu, kami akan mencoba opsi lain - pengurangan.

Pengurangan.

Seperti yang Anda lihat, kami juga tidak dapat mengungkapkannya, oleh karena itu, mari kita coba mengalikan ekspresi ini satu sama lain.

Perkalian.

Sekarang perhatikan baik-baik apa yang kita miliki dengan mengalikan suku-suku barisan geometri yang diberikan kepada kita dibandingkan dengan apa yang perlu dicari:

Coba tebak apa yang saya bicarakan? Itu benar, untuk menemukannya kita perlu mengambil Akar pangkat dua dari bilangan deret geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan dikalikan satu sama lain:

Ini dia. Anda sendiri yang memperoleh properti perkembangan geometri. Coba tulis rumus ini di pandangan umum. Telah terjadi?

Lupa kondisinya? Pikirkan mengapa itu penting, misalnya coba hitung sendiri. Apa yang akan terjadi dalam kasus ini? Benar sekali, benar-benar tidak masuk akal karena rumusnya terlihat seperti ini:

Oleh karena itu, jangan lupakan batasan ini.

Sekarang mari kita hitung apa persamaannya

Jawaban yang benar - ! Jika Anda tidak melupakan yang kedua saat menghitung arti yang mungkin, maka anda sudah hebat dan bisa langsung melanjutkan ke latihan, dan jika anda lupa bacalah pembahasan dibawah ini dan perhatikan mengapa kedua akar tersebut harus dituliskan pada jawabannya.

Mari kita menggambar kedua barisan geometri kita - yang satu memiliki nilai dan yang lainnya memiliki nilai dan memeriksa apakah keduanya berhak untuk ada:

Untuk memeriksa apakah barisan geometri tersebut ada atau tidak, perlu dilihat apakah semua suku-sukunya sama? Hitung q untuk kasus pertama dan kedua.

Lihat mengapa kita harus menulis dua jawaban? Karena tanda istilah yang dicari tergantung positif atau negatifnya! Dan karena kita tidak tahu apa itu, kita perlu menuliskan kedua jawaban tersebut dengan plus dan minus.

Sekarang setelah Anda menguasai poin-poin utama dan memperoleh rumus sifat-sifat barisan geometri, temukan, ketahui dan

Bandingkan jawaban Anda dengan jawaban yang benar:

Bagaimana menurut anda, bagaimana jika kita tidak diberi nilai suku-suku barisan geometri yang berdekatan dengan bilangan yang diinginkan, tetapi berjarak sama dari bilangan tersebut. Misalnya, kita perlu mencari, dan diberikan dan. Bisakah kita menggunakan rumus yang kita peroleh dalam kasus ini? Cobalah untuk mengkonfirmasi atau menyangkal kemungkinan ini dengan cara yang sama, dengan menjelaskan isi setiap nilai, seperti yang Anda lakukan saat pertama kali menurunkan rumus, di.
Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang perhatikan baik-baik lagi.
dan dengan demikian:

Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa rumus tersebut berhasil tidak hanya dengan tetangga dengan suku-suku barisan geometri yang diinginkan, tetapi juga dengan sama jauh dari apa yang dicari anggotanya.

Jadi, rumus awal kita berbentuk:

Artinya, jika pada kasus pertama kita mengatakan demikian, sekarang kita mengatakan bahwa bilangan tersebut dapat sama dengan bilangan asli apa pun yang lebih kecil. Yang utama adalah angkanya sama untuk kedua angka yang diberikan.

Berlatihlah dengan contoh spesifik, berhati-hatilah!

1. , . Menemukan.
2. , . Menemukan.
3. , . Menemukan.

Diputuskan? Saya harap Anda sangat perhatian dan memperhatikan tangkapan kecil.

Mari kita bandingkan hasilnya.

Dalam dua kasus pertama, kami dengan tenang menerapkan rumus di atas dan mendapatkan nilai berikut:

Dalam kasus ketiga, setelah diperiksa lebih dekat nomor serial angka-angka yang diberikan kepada kita, kita memahami bahwa jaraknya tidak sama dengan angka yang kita cari: itu adalah angka sebelumnya, tetapi dihilangkan posisinya, sehingga tidak mungkin menerapkan rumusnya.

Bagaimana cara mengatasinya? Ini sebenarnya tidak sesulit kelihatannya! Mari kita tuliskan terdiri dari apa setiap nomor yang diberikan kepada kita dan nomor yang kita cari.

Jadi kita punya dan. Mari kita lihat apa yang bisa kita lakukan dengan mereka? Saya sarankan membaginya dengan. Kita mendapatkan:

Kami mengganti data kami ke dalam rumus:

Langkah selanjutnya yang bisa kita temukan adalah - untuk ini kita perlu mengambil akar pangkat tiga dari bilangan yang dihasilkan.

Sekarang mari kita lihat lagi apa yang kita miliki. Kami memilikinya, tetapi kami perlu menemukannya, dan hasilnya sama dengan:

Kami menemukan semua data yang diperlukan untuk perhitungan. Substitusikan ke dalam rumus:

Jawaban kami: .

Coba selesaikan sendiri masalah serupa lainnya:
Diberikan: ,
Menemukan:

Berapa banyak yang kamu dapat? Saya memiliki - .

Seperti yang Anda lihat, pada dasarnya Anda membutuhkannya ingat satu rumus saja- . Anda dapat menarik sendiri sisanya tanpa kesulitan apa pun kapan saja. Untuk melakukan ini, cukup tuliskan barisan geometri paling sederhana pada selembar kertas dan tuliskan masing-masing bilangannya, sesuai dengan rumus yang dijelaskan di atas.

Jumlah suku-suku suatu barisan geometri.

Sekarang mari kita lihat rumus yang memungkinkan kita menghitung dengan cepat jumlah suku suatu barisan geometri dalam interval tertentu:

Untuk mendapatkan rumus jumlah suku suatu barisan geometri berhingga, kalikan semua bagian persamaan di atas dengan. Kita mendapatkan:

Perhatikan baik-baik: apa persamaan dari dua rumus terakhir? Benar, anggota biasa misalnya, dan seterusnya, kecuali anggota pertama dan terakhir. Mari kita coba kurangi persamaan ke-1 dari persamaan ke-2. Apa yang kamu dapatkan?

Sekarang nyatakan suku barisan geometri melalui rumus dan substitusikan ekspresi yang dihasilkan ke dalam rumus terakhir kita:

Kelompokkan ekspresi tersebut. Anda harus mendapatkan:

Yang perlu dilakukan hanyalah mengungkapkan:

Oleh karena itu, dalam hal ini.

Bagaimana jika? Rumus apa yang berhasil? Bayangkan suatu barisan geometri di. Apa yang dia suka? Rangkaian angka yang identik sudah benar, sehingga rumusnya akan terlihat seperti ini:

Ada banyak legenda tentang perkembangan aritmatika dan geometri. Salah satunya adalah legenda Set, pencipta catur.

Banyak orang mengetahui bahwa permainan catur ditemukan di India. Ketika raja Hindu bertemu dengannya, dia senang dengan kecerdasannya dan berbagai posisi yang mungkin ada dalam dirinya. Setelah mengetahui bahwa itu ditemukan oleh salah satu rakyatnya, raja memutuskan untuk memberinya hadiah secara pribadi. Dia memanggil penemunya dan memerintahkannya untuk meminta semua yang dia inginkan, berjanji untuk memenuhi keinginan yang paling terampil sekalipun.

Seta meminta waktu untuk berpikir, dan ketika keesokan harinya Seta muncul di hadapan raja, dia mengejutkan raja dengan permintaannya yang rendah hati dan belum pernah terjadi sebelumnya. Dia meminta untuk memberikan sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, sebutir gandum untuk kotak kedua, sebutir gandum untuk kotak ketiga, keempat, dan seterusnya.

Raja marah dan mengusir Seth, mengatakan bahwa permintaan pelayan itu tidak sesuai dengan kemurahan hati raja, tetapi berjanji bahwa pelayan itu akan menerima gandumnya untuk semua kotak papan.

Dan sekarang pertanyaannya: dengan menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri, hitung berapa banyak butir yang harus diterima Seth?

Mari kita mulai berpikir. Karena menurut syarat, Seth meminta sebutir gandum untuk kotak pertama papan catur, untuk kotak kedua, untuk kotak ketiga, untuk kotak keempat, dan seterusnya, maka kita melihat bahwa masalahnya adalah tentang barisan geometri. Apa persamaannya dalam kasus ini?
Benar.

Jumlah luas papan catur. Masing-masing, . Kami memiliki semua datanya, yang tersisa hanyalah memasukkannya ke dalam rumus dan menghitungnya.

Untuk membayangkan setidaknya kira-kira “skala” suatu bilangan tertentu, kita mentransformasikannya menggunakan sifat-sifat derajat:

Tentu saja, jika mau, Anda dapat mengambil kalkulator dan menghitung angka yang Anda dapatkan, dan jika tidak, Anda harus percaya pada kata-kata saya: nilai akhir dari ekspresi tersebut adalah.
Itu adalah:

triliun kuadriliun triliun miliar juta ribu.

Fiuh) Jika Anda ingin membayangkan besarnya jumlah ini, maka perkirakan berapa luas sebuah gudang yang dibutuhkan untuk menampung seluruh jumlah gandum.
Jika gudang itu tingginya m dan lebarnya m, maka panjangnya harus diperpanjang hingga km, yaitu. dua kali jarak Bumi ke Matahari.

Jika raja kuat dalam matematika, dia bisa saja mengundang ilmuwan itu sendiri untuk menghitung butir, karena untuk menghitung satu juta butir, dia memerlukan setidaknya satu hari penghitungan yang tak kenal lelah, dan mengingat menghitung triliunan butir, butir itu perlu. harus dihitung sepanjang hidupnya.

Sekarang mari kita selesaikan soal sederhana yang melibatkan jumlah suku suatu barisan geometri.
Seorang siswa kelas 5A Vasya terserang flu, namun tetap bersekolah. Setiap hari Vasya menulari dua orang, yang kemudian menulari dua orang lagi, dan seterusnya. Hanya ada orang di kelas. Dalam berapa hari seluruh kelas akan terkena flu?

Jadi, suku pertama barisan geometri adalah Vasya, yaitu seseorang. Suku ke-tiga dari deret geometri tersebut adalah dua orang yang tertular pada hari pertama kedatangannya. jumlah total anggota perkembangannya sama dengan jumlah siswa pada 5A. Oleh karena itu, kita berbicara tentang kemajuan di mana:

Mari kita substitusikan data kita ke dalam rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri:

Seluruh kelas akan sakit dalam beberapa hari. Tidak percaya rumus dan angka? Cobalah untuk menggambarkan sendiri “penularan” siswa. Telah terjadi? Lihat tampilannya bagi saya:

Hitung sendiri berapa hari yang dibutuhkan siswa untuk terserang flu jika masing-masing menulari satu orang, dan hanya ada satu orang di kelas.

Nilai apa yang Anda dapatkan? Ternyata semua orang mulai sakit setelah satu hari.

Seperti yang Anda lihat, tugas dan gambar seperti itu menyerupai piramida, di mana setiap tugas berikutnya “membawa” orang baru. Namun, cepat atau lambat akan tiba saatnya ketika yang terakhir tidak dapat menarik perhatian siapa pun. Dalam kasus kita, jika kita membayangkan kelas tersebut terisolasi, orang dari menutup rantai (). Jadi, jika seseorang terlibat di dalamnya piramida keuangan, dimana uang diberikan jika membawa dua peserta lain, maka orang tersebut (atau kasus umum) tidak akan membawa siapa pun, dan karena itu akan kehilangan semua yang mereka investasikan dalam penipuan keuangan ini.

Segala sesuatu yang dikatakan di atas mengacu pada barisan geometri yang menurun atau meningkat, tetapi, seperti yang Anda ingat, kami memiliki tipe khusus - barisan geometri yang menurun tanpa batas. Bagaimana cara menghitung jumlah anggotanya? Dan mengapa perkembangan jenis ini memiliki ciri-ciri tertentu? Mari kita cari tahu bersama.

Jadi, pertama-tama, mari kita lihat kembali gambar barisan geometri yang menurun tak terhingga dari contoh kita:

Sekarang mari kita lihat rumus jumlah suatu barisan geometri, yang diturunkan sedikit sebelumnya:
atau

Apa yang kita perjuangkan? Betul, grafiknya cenderung nol. Artinya, pada, akan hampir sama, masing-masing, saat menghitung ekspresi yang akan kita dapatkan hampir. Dalam hal ini, kami percaya bahwa ketika menghitung jumlah barisan geometri yang menurun tak terhingga, tanda kurung ini dapat diabaikan, karena akan sama.

- rumus adalah jumlah suku-suku barisan geometri yang menurun tak terhingga.

PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah tersebut tak terbatas jumlah anggota.

Jika bilangan tertentu n ditentukan, maka kita menggunakan rumus jumlah n suku, meskipun atau.

Sekarang mari kita berlatih.

1. Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri dengan dan.
2. Tentukan jumlah suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga dengan dan.

Saya harap Anda sangat berhati-hati. Mari kita bandingkan jawaban kita:

Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri, dan inilah saatnya beralih dari teori ke praktik. Soal barisan geometri yang paling banyak ditemui dalam ujian adalah soal menghitung bunga majemuk. Inilah yang akan kita bicarakan.

Masalah dalam menghitung bunga majemuk.

Anda mungkin pernah mendengar apa yang disebut rumus bunga majemuk. Apakah Anda mengerti maksudnya? Jika belum, mari kita cari tahu, karena begitu Anda memahami proses itu sendiri, Anda akan langsung memahami apa hubungannya deret geometri dengan proses tersebut.

Kita semua pergi ke bank dan mengetahui bahwa ada kondisi yang berbeda pada deposito: ini istilahnya, dan layanan tambahan, dan bunganya dua cara yang berbeda perhitungannya - sederhana dan kompleks.

DENGAN bunga sederhana semuanya kurang lebih jelas: bunga dibebankan satu kali pada akhir jangka waktu simpanan. Artinya, jika kita mengatakan bahwa kita menyetor 100 rubel selama setahun, maka mereka hanya akan dikreditkan pada akhir tahun. Oleh karena itu, pada akhir setoran kami akan menerima rubel.

Bunga majemuk- ini adalah opsi yang memunculkannya kapitalisasi bunga, yaitu penambahannya pada jumlah simpanan dan perhitungan pendapatan selanjutnya bukan dari awal, tetapi dari akumulasi jumlah simpanan. Kapitalisasi tidak terjadi terus-menerus, tetapi dengan frekuensi tertentu. Biasanya, periode tersebut sama dan paling sering bank menggunakan bulan, kuartal, atau tahun.

Misalkan kita menyetorkan rubel yang sama setiap tahunnya, namun dengan kapitalisasi setoran bulanan. Apa yang kita lakukan?

Apakah Anda memahami semuanya di sini? Jika belum, mari kita cari tahu langkah demi langkah.

Kami membawa rubel ke bank. Pada akhir bulan, kita akan memiliki jumlah di rekening kita yang terdiri dari rubel ditambah bunganya, yaitu:

Setuju?

Kita bisa mengeluarkannya dari tanda kurung dan kemudian kita mendapatkan:

Setuju, rumus ini sudah lebih mirip dengan yang kami tulis di awal. Yang tersisa hanyalah mencari tahu persentasenya

Dalam rumusan masalah kita diberitahu tentang tarif tahunan. Seperti yang Anda ketahui, kami tidak mengalikan dengan - kami mengonversi persentase menjadi desimal, itu adalah:

Benar? Sekarang Anda mungkin bertanya, dari mana nomor tersebut berasal? Sangat sederhana!
Saya ulangi: pernyataan masalah mengatakan tentang TAHUNAN bunga yang timbul BULANAN. Seperti yang Anda ketahui, dalam satu tahun bulan, bank akan membebankan kepada kita sebagian dari bunga tahunan per bulan:

Menyadarinya? Sekarang coba tuliskan seperti apa bagian rumus ini jika saya katakan bunga dihitung setiap hari.
Apakah Anda berhasil? Mari kita bandingkan hasilnya:

Bagus sekali! Mari kita kembali ke tugas kita: tulis berapa banyak yang akan dikreditkan ke rekening kita pada bulan kedua, dengan mempertimbangkan bunga yang dikenakan pada jumlah akumulasi deposit.
Inilah yang saya dapatkan:

Atau dengan kata lain:

Saya pikir Anda telah memperhatikan sebuah pola dan melihat perkembangan geometris dalam semua ini. Tuliskan berapa jumlah anggotanya, atau dengan kata lain berapa jumlah uang yang akan kita terima pada akhir bulan.
Telah melakukan? Mari kita periksa!

Seperti yang Anda lihat, jika Anda menaruh uang di bank selama setahun dengan tingkat bunga sederhana, Anda akan menerima rubel, dan jika dengan tingkat bunga majemuk, Anda akan menerima rubel. Manfaatnya kecil, tapi ini hanya terjadi pada tahun ke-th, tapi lebih jangka waktu yang lama kapitalisasi jauh lebih menguntungkan:

Mari kita lihat jenis permasalahan lain yang melibatkan bunga majemuk. Setelah apa yang Anda ketahui, itu akan menjadi dasar bagi Anda. Jadi, tugasnya:

Perusahaan Zvezda mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2000, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2001 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Berapa keuntungan yang diperoleh perusahaan Zvezda pada akhir tahun 2003 jika keuntungan tidak ditarik dari peredaran?

Ibukota perusahaan Zvezda pada tahun 2000.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2001.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2002.
- modal perusahaan Zvezda pada tahun 2003.

Atau kita bisa menulis secara singkat:

Untuk kasus kami:

2000, 2001, 2002 dan 2003.

Masing-masing:
rubel
Perlu diketahui bahwa dalam soal ini kami tidak melakukan pembagian dengan atau dengan, karena persentasenya diberikan SETIAP TAHUN dan dihitung SETIAP TAHUN. Artinya, ketika membaca soal bunga majemuk, perhatikan berapa persentase yang diberikan dan pada periode berapa dihitung, baru kemudian dilanjutkan ke perhitungan.
Sekarang Anda tahu segalanya tentang perkembangan geometri.

Pelatihan.

1. Tentukan suku barisan geometri jika diketahui, dan
2. Tentukan jumlah suku pertama barisan geometri jika diketahui, dan
3. Perusahaan MDM Capital mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2003, dengan modal dalam dolar. Setiap tahun sejak tahun 2004 memperoleh keuntungan sebesar modal tahun sebelumnya. Perusahaan Arus Kas MSK mulai berinvestasi di industri ini pada tahun 2005 sebesar $10.000, dan mulai menghasilkan keuntungan pada tahun 2006 sebesar. Berapa dolar modal suatu perusahaan lebih besar dari perusahaan lain pada akhir tahun 2007, jika laba tidak ditarik dari peredaran?

Jawaban:

1. Karena rumusan masalah tidak menyatakan bahwa perkembangannya tidak terbatas dan diperlukan untuk mencari jumlah sejumlah suku tertentu, maka perhitungannya dilakukan sesuai dengan rumus:
2. 
   Perusahaan Modal MDM:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - meningkat 100%, yaitu 2 kali lipat.
   Masing-masing:
   rubel
   Perusahaan Arus Kas MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - bertambah, yaitu berkali-kali lipat.
   Masing-masing:
   rubel
   rubel

Mari kita rangkum.

1) Barisan geometri ( ) adalah barisan bilangan yang suku pertamanya berbeda dengan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Bilangan ini disebut penyebut suatu barisan geometri.

2) Persamaan suku-suku barisan geometri adalah .

3) dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.

• jika, maka semua suku perkembangan berikutnya memiliki tanda yang sama - mereka positif;
• jika, maka semua suku perkembangan berikutnya tanda-tanda alternatif;
• kapan - perkembangannya disebut menurun tak terhingga.

4) , dengan - properti barisan geometri (suku-suku yang berdekatan)

atau
, di (istilah yang berjarak sama)

Ketika Anda menemukannya, jangan lupakan itu seharusnya ada dua jawaban.

Misalnya,

5) Jumlah suku-suku barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

Jika perkembangannya menurun tak terhingga, maka:
atau

PENTING! Kita menggunakan rumus jumlah suku-suku suatu barisan geometri yang menurun tak terhingga hanya jika kondisinya secara eksplisit menyatakan bahwa kita perlu mencari jumlah suku-suku yang tak terhingga banyaknya.

6) Soal bunga majemuk dihitung juga dengan rumus suku ke-th suatu barisan geometri, dengan syarat uang tunai tidak ditarik dari peredaran:

PROGRESI GEOMETRIS. SECARA SINGKAT TENTANG HAL-HAL UTAMA

Kemajuan geometris( ) adalah barisan bilangan yang suku pertamanya bukan nol, dan setiap suku mulai dari suku kedua sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama. Nomor ini dipanggil penyebut suatu barisan geometri.

Penyebut barisan geometri dapat mengambil nilai apa pun kecuali dan.

• Jika, maka semua suku perkembangan berikutnya mempunyai tanda yang sama - positif;
• jika, maka semua anggota perkembangan selanjutnya berganti tanda;
• kapan - perkembangannya disebut menurun tak terhingga.

Persamaan suku-suku barisan geometri - .

Jumlah suku suatu barisan geometri dihitung dengan rumus:
atau

Kemajuan geometris tidak kalah pentingnya dalam matematika dibandingkan dengan aritmatika. Barisan geometri adalah barisan bilangan b1, b2,..., b[n], yang setiap suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap. Angka ini, yang juga mencirikan laju pertumbuhan atau penurunan perkembangan, disebut penyebut barisan geometri dan menunjukkan

Untuk menyatakan secara lengkap suatu barisan geometri, selain penyebutnya, perlu juga diketahui atau ditentukan suku pertamanya. Jika penyebutnya bernilai positif, maka barisan tersebut merupakan barisan monotonik, dan jika barisan bilangan tersebut monotonik menurun dan jika meningkat secara monoton. Kasus ketika penyebutnya sama dengan satu tidak dipertimbangkan dalam praktiknya, karena kita memiliki barisan bilangan yang identik, dan penjumlahannya bukanlah kepentingan praktis.

Istilah umum barisan geometri dihitung dengan rumus

Jumlah n suku pertama suatu barisan geometri ditentukan oleh rumus

Mari kita lihat solusi untuk masalah deret geometri klasik. Mari kita mulai dengan hal yang paling sederhana untuk dipahami.

Contoh 1. Suku pertama suatu barisan geometri adalah 27 dan penyebutnya adalah 1/3. Tentukan enam suku pertama barisan geometri tersebut.

Solusi: Mari kita tuliskan kondisi masalahnya dalam bentuk

Untuk perhitungannya kita menggunakan rumus suku ke-n suatu barisan geometri

Berdasarkan hal tersebut, kami menemukan syarat-syarat perkembangan yang tidak diketahui

Seperti yang Anda lihat, menghitung suku-suku suatu barisan geometri tidaklah sulit. Perkembangannya sendiri akan terlihat seperti ini

Contoh 2. Tiga suku pertama suatu barisan geometri diberikan: 6; -12; 24. Tentukan penyebut dan suku ketujuhnya.

Penyelesaian: Kita menghitung penyebut barisan geomitri berdasarkan definisinya

Kami memperoleh barisan geometri bolak-balik yang penyebutnya sama dengan -2. Suku ketujuh dihitung dengan menggunakan rumus

Ini menyelesaikan masalahnya.

Contoh 3 Suatu barisan geometri dinyatakan oleh dua sukunya . Temukan suku kesepuluh dari perkembangan tersebut.

Larutan:

Mari kita tuliskan nilai yang diberikan menggunakan rumus

Menurut aturan, seseorang perlu mencari penyebutnya dan kemudian mencarinya nilai yang diinginkan, tapi untuk suku kesepuluh kita punya

Rumus yang sama dapat diperoleh berdasarkan manipulasi sederhana dengan data masukan. Bagilah suku keenam deret tersebut dengan suku lain, dan hasilnya kita peroleh

Jika nilai yang dihasilkan dikalikan dengan suku keenam, kita mendapatkan suku kesepuluh

Jadi, untuk permasalahan seperti itu, gunakan transformasi sederhana menjadi cara cepat Anda dapat menemukan solusi yang tepat.

Contoh 4 Perkembangan geometri diberikan dengan rumus berulang

Temukan penyebut barisan geometri dan jumlah enam suku pertama.

Larutan:

Mari kita tuliskan data yang diberikan dalam bentuk sistem persamaan

Nyatakan penyebutnya dengan membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama

Mari kita cari suku pertama barisan dari persamaan pertama

Mari kita hitung lima suku berikut untuk mencari jumlah barisan geometri